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专题12.4
离散型随机变量及其分布列（理科）
一、考纲要求
1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；
2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单应用.
二、考点梳理
知识点一
离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.
知识点二
离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
称为离散型随机变量X的概率分布列.
(2)离散型随机变量的分布列的性质：
①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.
三、题型分析
(一)
离散型随机变量分布列的性质
例1．（2021·全国高二课时练习）设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
若随机变量Y=X-2，则P(Y=2)等于（
）
A．0.3
B．0.4
C．0.6
D．0.7
【变式训练1-1】．（2021·全国高二课时练习）下面给出三个变量:
（1）2013年地球上发生地震的次数ξ.
（2）在一段时间间隔内某种放射性物质发生的α粒子数η.
（3）在一段时间间隔内某路口通过的宝马车的辆数X.
其中是随机变量的是____.
(二)
超几何分布的应用
例2．（2020·全国高三专题练习（理））在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于的是（
）
A．P(X＝2)
B．P(X≤2)
C．P(X＝4)
D．P(X≤4)
【变式训练2-1】．（2020·全国）某小组有名男生、名女生，从中任选名同学参加活动，若表示选出女生的人数，则（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-2】．（2020·天津高二期末）某科技小组有5名男生、3名女生，从中任选3名同学参加活动，若X表示选出女生的人数，则______
(三)
求离散型随机变量的分布列
例3．（2021·全国高二课时练习）将一枚骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列.
例4．（2021·全国高二课时练习）一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量ξ的分布列.
例5．（2021·全国高二课时练习）写出下列随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果.
（1）一个袋中装有大小相同的2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X;
（2）抛掷两枚骰子各一次，第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差的绝对值Y.
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专题12.4
离散型随机变量及其分布列（理科）
一、考纲要求
1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；
2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单应用.
二、考点梳理
知识点一
离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.
知识点二
离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
称为离散型随机变量X的概率分布列.
(2)离散型随机变量的分布列的性质：
①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.
三、题型分析
(一)
离散型随机变量分布列的性质
例1．（2021·全国高二课时练习）设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
若随机变量Y=X-2，则P(Y=2)等于（
）
A．0.3
B．0.4
C．0.6
D．0.7
【答案】A
【分析】
由离散型随机变量分布列的性质计算即可.
【详解】
由0.2+0.1+0.1+0.3+m=1，得m=0.3.又P(Y=2)=P(X=4)=0.3．
故选：A．
【变式训练1-1】．（2021·全国高二课时练习）下面给出三个变量:
（1）2013年地球上发生地震的次数ξ.
（2）在一段时间间隔内某种放射性物质发生的α粒子数η.
（3）在一段时间间隔内某路口通过的宝马车的辆数X.
其中是随机变量的是____.
【答案】（2）（3）
【分析】
（1）因2013年地球上发生地震的次数是确定的，据此判定（1）是否是随机变量；
（2）某种放射性物质发生的α粒子数η是变化的，有限的，据此判定（2）是否是随机变量；
（3）通过的宝马车的辆数也是变化的，据此判定（3）是否是随机变量.
【详解】
（1）2013年地球上发生地震的次数ξ是确定的，故不是随机变量;（2）发出的α粒子数η是变化的，是随机变量;（3）通过的宝马车的辆数X是变化的，是随机变量.
故答案为：（2）（3）
(二)
超几何分布的应用
例2．（2020·全国高三专题练习（理））在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于的是（
）
A．P(X＝2)
B．P(X≤2)
C．P(X＝4)
D．P(X≤4)
【答案】C
【分析】
根据超几何分布列式求解即可．
【详解】
X服从超几何分布，P(X＝k)＝，故k＝4，
故选：C.
【变式训练2-1】．（2020·全国）某小组有名男生、名女生，从中任选名同学参加活动，若表示选出女生的人数，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
本题首先可以求出当时的概率，然后求出当时的概率，最后两者相加，即可得出结果.
【详解】
当时，；
当时，，
则，
故选：C.
【点睛】
本题考查超几何分布的概率计算公式，能否将分为、两种情况是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题.
【变式训练2-2】．（2020·天津高二期末）某科技小组有5名男生、3名女生，从中任选3名同学参加活动，若X表示选出女生的人数，则______
【答案】
【分析】
由超几何分布概率公式运算即可得解.
【详解】
由题意，从5名男生、3名女生中任选3名同学参加活动，
选出女生的人数为2的概率.
故答案为：.
(三)
求离散型随机变量的分布列
例3．（2021·全国高二课时练习）将一枚骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列.
【答案】分布列答案见解析
【分析】
首先确定随机变量ξ=1，2，3，4，5，6，再利用古典概型的概率计算公式求出各随机变量的概率即可得出分布列.
【详解】
[解]由题意知ξ=i(i=1，2，3，4，5，6)，
则P(ξ=1)==；P(ξ=2)=
==；
P(ξ=3)==；P(ξ=4)=
=；
P(ξ=5)===；P(ξ=6)==.
所以抛掷两次掷出的最大点数构成的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
6
P
例4．（2021·全国高二课时练习）一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量ξ的分布列.
【答案】分布列答案见解析
【分析】
由题意可得随机变量ξ的可能取值为3，4，5，则当ξ=3时，即取出的三只球中最大号码为3，则其他两只球的编号只能是1，2，当ξ=4时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他两只球只能在编号为1，2，3的3只球中取2只，当ξ=5时，即取出的三只球中最大号码为5，则其他两只球只能在编号为1，2，3，4的4只球中取2只，然后求出其对应的概率，进而可列出此ξ的分布列
【详解】
解：随机变量ξ的可能取值为3，4，5.
当ξ=3时，即取出的三只球中最大号码为3，则其他两只球的编号只能是1，2，
故有P(ξ=3)=；
当ξ=4时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他两只球只能在编号为1，2，3的3只球中取2只，故有P(ξ=4)=；
当ξ=5时，即取出的三只球中最大号码为5，则其他两只球只能在编号为1，2，3，4的4只球中取2只，故有P(ξ=5)=.
因此ξ的分布列为
ξ
3
4
5
P
例5．（2021·全国高二课时练习）写出下列随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果.
（1）一个袋中装有大小相同的2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X;
（2）抛掷两枚骰子各一次，第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差的绝对值Y.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【分析】
（1）先判断随机变量X的所有可能取值，再写出不同值表示的试验结果即可；
（2）先利用(a，b)表示一个样本点，确定a，b的取值情况，再判断随机变量的所有可能取值，并写出不同值表示的试验结果即可.
【详解】
解：（1）X的所有可能取值为0，1，2.
X=0表示所取的3个球是3个黑球；
X=1表示所取的3个球是1个白球、2个黑球；
X=2表示所取的3个球是2个白球、1个黑球；
（2）依题意，用(a，b)表示一个样本点，其中a为第一枚骰子掷出的点数，，b为第二枚骰子掷出的点数，，
则，故Y的所有可能取值为0，1，2，3，4，5.
Y=0表示掷出的两枚骰子的点数相同，其包含的样本点有(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)
；
Y=1表示掷出的两枚骰子的点数相差1，其包含的样本点有(1，2)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，(3，4)，(4，3)，(4，5)，(5，4)，(5，6)，(6，5)
；
Y=2表示掷出的两枚骰子的点数相差2，其包含的样本点有(1，3)，(3，1)，(2，4)，(4，2)，(3，5)，(5，3)，(4，6)，(6，4)
；
Y=3表示掷出的两枚骰子的点数相差3，其包含的样本点有(1，4)，(4，1)，(2，5)，(5，2)，(3，6)，(6，3)
；
Y=4表示掷出的两枚骰子的点数相差4，其包含的样本点有(1，5)，(5，1)，(2，6)，(6，2)
；
Y=5表示掷出的两枚骰子的点数相差5，其包含的样本点有(1，6)，(6，1)
.
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