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专题12.5
二项分布及其应用
一、考纲要求
1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念；
2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布.能解决一些简单的实际问题；
3.了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义，并进行简单应用.
二、考点梳理
知识点一
条件概率
条件概率的定义
条件概率的性质
设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率
(1)0≤P(B|A)≤1；(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)
知识点二
事件的相互独立性
(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立.
(2)性质：若事件A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立，P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A).
知识点三
独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，其中Ai(i＝1，2，…，n)是第i次试验结果，则
P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An).
(2)二项分布
在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率.
【知识必备】
1.相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
三、题型分析
考点一
条件概率
例1．（2021·全国高二课时练习）播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子.用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为（
）
A．0.8
B．0.832
5
C．0.532
5
D．0.482
5
【答案】D
【分析】
设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件分别是A1，A2，A3，A4，利用全概率公式即可求出.
【详解】
设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件分别是A1，A2，A3，A4，
则它们构成样本空间的一个划分.设B＝“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”，则：
.
故选：D.
【变式训练1-1】．（2021·全国高二课时练习）设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5
盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为（
）
A．0.08
B．0.1
C．0.15
D．0.2
【答案】A
【分析】
利用条件概率公式即可求解.
【详解】
以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，
B表示取得的X光片为次品，
P=，P=，P=，
P=，P=，P=；
则由全概率公式，
所求概率为P=P+P+P
=×+×+×=0.08.
【变式训练1-2】．（2021·全国高二课时练习）市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是（
）
A．0.665
B．0.564
C．0.245
D．0.285
【答案】A
【分析】
记事件A为“甲厂产品”，事件B为“合格产品”，则由P(AB)＝P(A)·P(B|A)可求.
【详解】
记事件A为“甲厂产品”，事件B为“合格产品”，则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95，
∴P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665.
故选：A.
故选：A
【变式训练1-3】．（2021·全国高二课时练习）设P(A|B)＝P(B|A)＝，P(A)＝，则P(B)等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
由已知可求出，再由即可求出.
【详解】
，
由，得.
故选：B.
考点二
相互独立事件同时发生的概率
例2．（2021·广东韶关市·高三一模）假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响.若在两次射击中至多命中一次的概率是，则该射手每次射击的命中率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
设该射手射击命中的概率为，两次射击命中的次数为，由可得答案.
【详解】
设该射手射击命中的概率为，两次射击命中的次数为，则，
由题可知：，即，
解得.
故选：C.
【变式训练2-1】．（2021·安徽高三期末（理））李克强总理提出，要在960万平方公里土地上掀起“大众创业”?“草根创业”的新浪潮，形成“万众创新”?“人人创新”的新势态.为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每个店铺招收了两名员工，若某节假日每位员工的休假概率均为，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店铺，使得该店铺能够正常营业，否则该店就停业.则两家店铺该节假日能正常开业的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
设两家店铺都不能正常营业为事件A，则应该包括四人休假或三人休假分别计算概率再求和，最后求事件A的对立事件的概率可得答案.
【详解】
设两家店铺都不能正常营业为事件A，若有四人休假概率为，有三个人休假的概率为，所以两家店铺都不能正常营业的概率为，所以两家店铺该节假日能正常开业的概率为.
故选：D.
【点睛】
方法点睛：含有或者词语中体现出“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较烦琐时，可考虑其反面，即对立事件，然后应用对立事件的性质进一步求解.
【变式训练2-2】（2021·安徽蚌埠市·高一期末）甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局比赛结束且甲赢得比赛的概率为______.
【答案】
【分析】
根据题意可得恰好进行了4局比赛结束且甲赢得比赛的情况为：甲第一局赢，第二局输，第三局和第四局赢，由此可求出概率.
【详解】
根据题意可得恰好进行了4局比赛结束且甲赢得比赛的情况为：甲第一局赢，第二局输，第三局和第四局赢，
则恰好进行了4局比赛结束且甲赢得比赛的概率为.
故答案为：.
【变式训练2-3】（2021·全国高一课时练习）事件互相独立，若，则__________.
【答案】
【分析】
根据独立事件的乘法公式和对立事件的概率公式解方程组可得结果.
【详解】
因为事件互相独立，所以，
所以，所以，.
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：根据独立事件的乘法公式和对立事件的概率公式求解是解题关键.
考点三
独立重复试验与二项分布
例3．（1）（2021·全国高二课时练习）已知X~B（5，），则P（≤X≤）=_________
【答案】
【分析】
利用二项分布的概率计算公式即可求解.
【详解】
P(≤X≤)=P(X=2)+P(X=3)
=)2()3+)3()2=.
故答案为：
（2）．（2021·陕西西安市·高三月考（理））已知随机变量，则__________（用数字作答）.
【答案】
【分析】
随机变量服从二项分布，根据二项分布的概率计算公式即可求解.
【详解】
由随机变量，
则.
故答案为：
（3）．（2021·河南新乡市·高三二模（理））某同学上学的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为，则该同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
由题意，遇绿灯服从二项分布，结合互斥事件概率的求法，即可求同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率.
【详解】
4次均不是绿灯的概率为，
3次不是绿灯的概率为，
∴至少遇到2次绿灯的概率为.
故选：D.
【变式训练3-1】（2021·全国高三月考（理））2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为，那么三人中恰有两人通过的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据积事件与和事件的概率公式可求解得到结果.
【详解】
记甲、乙、丙三人通过强基计划分别为事件，显然为相互独立事件，
则“三人中恰有两人通过”相当于事件，且互斥，
所求概率.
故选：C.
【变式训练3-2】（2020·全国高三专题练习）某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记件产品中恰有件不合格品的概率为,求的最大值点；
（2）现对一箱产品检验了件，结果恰有件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
【答案】（1）；（2）（i）；（ii）应该对余下的产品作检验.
【分析】
（1）利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得，之后对其求导，利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点，这里要注意的条件；
（2）先根据第一问的条件，确定出，在解（i）的时候,先求件数对应的期望，之后应用变量之间的关系，求得赔偿费用的期望；在解（ii）的时候，就通过比较两个期望的大小，得到结果.
【详解】
（1）件产品中恰有件不合格品的概率为.
因此.
令，得.当时，；当时，.
所以的最大值点为；
（2）由（1）知，.
（i）令表示余下的件产品中的不合格品件数，依题意知，，即.
所以.
（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于，故应该对余下的产品作检验.
【点睛】
该题考查的是有关随机变量的问题，在解题的过程中，一是需要明确独立重复试验成功次数对应的概率公式，再者就是对其用函数的思想来研究，应用导数求得其最小值点，在做第二问的时候，需要明确离散型随机变量的可取值以及对应的概率，应用期望公式求得结果，再有就是通过期望的大小关系得到结论.
【变式训练3-3】（2020·全国高三专题练习）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率；
（2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；
（3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率.
【详解】
（1）记事件甲连胜四场，则；
（2）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，
则四局内结束比赛的概率为
，
所以，需要进行第五场比赛的概率为；
（3）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，
记事件甲赢，记事件丙赢，
则甲赢的基本事件包括：、、、
、、、、，
所以，甲赢的概率为.
由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，
所以丙赢的概率为.
【点睛】
本题考查独立事件概率的计算，解答的关键就是列举出符合条件的基本事件，考查计算能力，属于中等题.
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精品试卷·第
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二项分布及其应用
一、考纲要求
1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念；
2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布.能解决一些简单的实际问题；
3.了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义，并进行简单应用.
二、考点梳理
知识点一
条件概率
条件概率的定义
条件概率的性质
设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率
(1)0≤P(B|A)≤1；(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)
知识点二
事件的相互独立性
(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立.
(2)性质：若事件A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立，P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A).
知识点三
独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，其中Ai(i＝1，2，…，n)是第i次试验结果，则
P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An).
(2)二项分布
在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率.
【知识必备】
1.相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
三、题型分析
考点一
条件概率
例1．（2021·全国高二课时练习）播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子.用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为（
）
A．0.8
B．0.832
5
C．0.532
5
D．0.482
5
【变式训练1-1】．（2021·全国高二课时练习）设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5
盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为（
）
A．0.08
B．0.1
C．0.15
D．0.2
【变式训练1-2】．（2021·全国高二课时练习）市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是（
）
A．0.665
B．0.564
C．0.245
D．0.285
【变式训练1-3】．（2021·全国高二课时练习）设P(A|B)＝P(B|A)＝，P(A)＝，则P(B)等于（
）
A．
B．
C．
D．
考点二
相互独立事件同时发生的概率
例2．（2021·广东韶关市·高三一模）假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响.若在两次射击中至多命中一次的概率是，则该射手每次射击的命中率为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-1】．（2021·安徽高三期末（理））李克强总理提出，要在960万平方公里土地上掀起“大众创业”?“草根创业”的新浪潮，形成“万众创新”?“人人创新”的新势态.为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每个店铺招收了两名员工，若某节假日每位员工的休假概率均为，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店铺，使得该店铺能够正常营业，否则该店就停业.则两家店铺该节假日能正常开业的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-2】（2021·安徽蚌埠市·高一期末）甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局比赛结束且甲赢得比赛的概率为______.
【变式训练2-3】（2021·全国高一课时练习）事件互相独立，若，则__________.
考点三
独立重复试验与二项分布
例3．（1）（2021·全国高二课时练习）已知X~B（5，），则P（≤X≤）=_________
（2）．（2021·陕西西安市·高三月考（理））已知随机变量，则__________（用数字作答）.
（3）．（2021·河南新乡市·高三二模（理））某同学上学的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为，则该同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-1】（2021·全国高三月考（理））2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为，那么三人中恰有两人通过的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-2】（2020·全国高三专题练习）某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记件产品中恰有件不合格品的概率为,求的最大值点；
（2）现对一箱产品检验了件，结果恰有件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
【变式训练3-3】（2020·全国高三专题练习）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
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