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突破12.6
离散型随机变量的均值与方差、正态分布
一、考纲要求
1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；
2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题．
二、考点梳理
知识点一
离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
(2)方差
称D(X)＝
(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差.
知识点二
均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数).
知识点三
两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
【知识必备】
1.若x1，x2相互独立，则E(x1·x2)＝E(x1)·E(x2).
2.均值与方差的关系：D(X)＝E(X2)－E2(X).
3.超几何分布的均值：若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝.
三、题型分析
(一)
离散型随机变量的均值与方差
例1．已知离散型随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，且，，若的数学期望，则（
）
A．19
B．16
C．
D．
【答案】A
【分析】
首先设，利用期望公式，计算，求实数，再根据分布列求,根据方差的性质，计算结果.
【详解】
由题知，设，则，因此，解得，因此离散型随机变量的分布列如下：
0
1
2
3
则，因此.
故选：A
【变式训练1-1】．已知随机变量服从二项分布，若，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
由二项分布的均值和方差公式列方程组求解．
【详解】
由题意，解得．
故选：A．
【变式训练1-2】．某人进行一项实验，若实验成功，则停止实验，若实验失败，再重新实验一次，若实验3次均失败，则放弃实验，若此人每次实验成功的概率为，则此人实验次数的期望是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
列出实验次数的分布列，根据数学期望的数学计算公式即可求解.
【详解】
由题意可得，每次实验成功的概率为，则失败的概率为，
，
，
则实验次数的分布列如下：
所以此人实验次数的期望是.
故选：B
【变式训练1-3】．已知，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
利用二项分布的期望与方差公式代入运算.
【详解】
因为服从二项分布，所以，得，故．
故选：D.
(二)
二项分布的均值与方差
例2．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则{ξ＝5}表示的试验结果是（
）
A．第5次击中目标
B．第5次未击中目标
C．前4次均未击中目标
D．第4次击中目标
【答案】C
【分析】
根据击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为，即可得到答案．
【详解】
{ξ＝5}表示前4次均未击中，而第5次可能击中，也可能未击中，
故选：C．
【变式训练2-1】．投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏晋代在广泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳(投入壶耳)”.每一局投壶，每一位参赛者各有四支箭，投入壶口一次得分.投入壶耳一次得分，现有甲?乙两人进行投壶比赛(两人投中壶口?壶耳是相互独立的)，甲四支箭已投完，共得分，乙投完支箭，目前只得分，乙投中壶口的概率为，投中壶耳的概率为.四支箭投完，以得分多者赢请问乙赢得这局比赛的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
按照乙第三支箭的情况可分为两类：（1）第三支箭投中壶口，第四支箭必须投入表耳；（2）第三支箭投入壶耳，第四支箭投入壶口?壶耳均可，即可求解.
【详解】
由题意，若乙要赢得这局比赛，按照乙第三支箭的情况可分为两类：
（1）第三支箭投中壶口，第四支箭必须投入表耳，其概率为；
（2）第三支箭投入壶耳，第四支箭投入壶口?壶耳均可，其概率为，
所以乙赢得这局比赛的概率为.
故选：A.
【变式训练2-2】．如图所示，高尔顿钉板是一个关于概率的模型，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间．小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落，当有大量的小球都滚下时，最终在钉板下面不同位置收集到小球．若一个小球从正上方落下，落到号位置的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
记小球经过第层的第号通道（从左到右）的概率为，利用独立事件的概率公式计算出、的值，再由可求得结果.
【详解】
当小球经过第层时，第一次碰到钉子，向左或向右滚下的概率均为，所以，.
当小球经过第层时，共碰到次钉子，要使得小球经过第号通道，必须满足次向右、次向左滚下，所以，，同理可得.
要使得小球经过号位置（即第层号通道），可由第层号通道向右滚下、也可以由第层号通道向左滚下，
因此，.
故选：C.
【点睛】
思路点睛：求相互独立事件同时发生的概率的步骤：
（1）首先确定各事件是相互独立的；
（2）再确定各事件会同时发生；
（3）先求出每个事件发生的概率，再求其积.
【变式训练2-3】．某同学上学的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为，则该同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
由题意，遇绿灯服从二项分布，结合互斥事件概率的求法，即可求同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率.
【详解】
4次均不是绿灯的概率为，
3次不是绿灯的概率为，
∴至少遇到2次绿灯的概率为.
故选：D.
【变式训练2-4】．设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正.一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4.
（1）该射手任取一支枪射击，中靶的概率是多少？
（2）若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率.
【答案】（1）0.7；（2）0.8.
【分析】
设A表示枪已校正，B表示射击中靶，计算出，
，，，，，
（1）由全概率公式可得答案；
（2）由可得答案.
【详解】
设A表示枪已校正，B表示射击中靶，
则，
，，
，，，
（1）由全概率公式可得
.
（2）由题意可得
.
(三)
正态分布
例3．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（
）
A．
B．
C．对任意正数，
D．对任意正数，
【答案】C
【分析】
根据正态分布密度曲线的性质判断即可．
【详解】
由正态分布密度曲线的性质可知，，的密度曲线分别关于直线，对称，因此结合题中所给图象可得，，所以，故错误；又得密度曲线较的密度曲线“瘦高”，所以，所以，B错误；对任意正数，，，C正确，D错误
故选：C
【变式训练3-1】．设随机变量，函数没有零点的概率是，则（
）
附：若，则，．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
首先根据函数没有零点求出的取值范围，再根据没有零点的概率是，得到，再根据正态曲线的性质得到的值；然后再根据正态曲线的对称性求出的值即可．
【详解】
函数没有零点，即二次方程无实根，
，，又没有零点的概率是，
，由正态曲线的对称性知，，，，
，，，，
，，
所以，，
故选：B．
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查正态分布的曲线的性质，二次方程的解等知识点，考查运算求解能力；解本题的方法是根据没有零点得到，再结合正态分布的图象的对称性得到值，然后再利用正态分布函数图象的性质求解即可；解题的关键点是要熟知正态分布函数图象的对称性．
【变式训练3-2】．在某次数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概率为0.6，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率为（
）
A．0.16
B．0.24
C．0.32
D．0.48
【答案】C
【分析】
根据服从正态分布，得到曲线的对称轴是直线，利用在内取值的概率为0.6，求出成绩不高于80的概率，再利用相互独立事件的概率公式即可求得结论．
【详解】
解：服从正态分布
曲线的对称轴是直线，
在内取值的概率为0.6，
在内取值的概率为0.3，
在内取值的概率为．
现任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率
故选：C
【变式训练3-3】．已知随机变量服从正态分布，若，则（
）
A．0.1
B．0.2
C．0.3
D．0.4
【答案】C
【分析】
利用正态密度曲线的对称性，可知，再利用对称性求.
【详解】
因为，所以，即正态曲线的对称轴为，所以，又，所以.
故选：C.
【变式训练3-4】．中长跑是一项对学生身体锻炼价值较高的运动项目.在某校的一次中长跑比赛中，全体参赛学生的成绩近似地服从正态分布，已知成绩在90分以上（含90分）的学生有32名.则参赛的学生总数约为（
）.（参考数据：，，）
A．208
B．206
C．204
D．202
【答案】D
【分析】
由正态分布，求得平均值和标准差，继而求得成绩在90分以上（含90分）的学生的概率，可得选项.
【详解】
由正态分布得：平均值，标准差，设参赛的学生总数约为人，
则成绩在的人数为人，成绩在的人数为人，而成绩在分以上的有人，
所以成绩在90分以上（含90分）的学生有32名，解得，
故选：D.
【变式训练3-5】．2020年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人．2019年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时．为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长（单位：小时），并绘制如图所示的频率分布直方图．
（1）求这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；
（2）由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且．
（ⅰ）利用直方图得到的正态分布，求；
（ⅱ）从该地随机抽取20名志愿者，记表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求（结果精确到0.001）以及的数学期望．
参考数据：，．若，则．
【答案】（1）9，1.64；（2）（ⅰ）0.7734，（ⅱ）0.994，4.532.
【分析】
（1）根据平均数和方差的公式直接求解即可.
（2）（ⅰ）由（1）可得由题知，，所以，则可得答案.
（ⅱ）（ⅰ）知,则从而可得答案.
【详解】
解：（1）．
．
（2）（ⅰ）由题知，，所以，．
所以．
（ⅱ）由（ⅰ）知，可得．
．
故的数学期望．
【点睛】
关键点睛：本题考查根据频率分布直方图求平均数和方差以及根据正态分布求概率和二项分布问题，解答本题的关键是将问题“从该地随机抽取20名志愿者，记表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数”，转化为得到，属于中档题.
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突破12.6
离散型随机变量的均值与方差、正态分布
一、考纲要求
1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；
2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题．
二、考点梳理
知识点一
离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
(2)方差
称D(X)＝
(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差.
知识点二
均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数).
知识点三
两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
【知识必备】
1.若x1，x2相互独立，则E(x1·x2)＝E(x1)·E(x2).
2.均值与方差的关系：D(X)＝E(X2)－E2(X).
3.超几何分布的均值：若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝.
三、题型分析
(一)
离散型随机变量的均值与方差
例1．已知离散型随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，且，，若的数学期望，则（
）
A．19
B．16
C．
D．
【变式训练1-1】．已知随机变量服从二项分布，若，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-2】．某人进行一项实验，若实验成功，则停止实验，若实验失败，再重新实验一次，若实验3次均失败，则放弃实验，若此人每次实验成功的概率为，则此人实验次数的期望是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-3】．已知，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
.
(二)
二项分布的均值与方差
例2．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则{ξ＝5}表示的试验结果是（
）
A．第5次击中目标
B．第5次未击中目标
C．前4次均未击中目标
D．第4次击中目标
【变式训练2-1】．投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏晋代在广泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳(投入壶耳)”.每一局投壶，每一位参赛者各有四支箭，投入壶口一次得分.投入壶耳一次得分，现有甲?乙两人进行投壶比赛(两人投中壶口?壶耳是相互独立的)，甲四支箭已投完，共得分，乙投完支箭，目前只得分，乙投中壶口的概率为，投中壶耳的概率为.四支箭投完，以得分多者赢请问乙赢得这局比赛的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-2】．如图所示，高尔顿钉板是一个关于概率的模型，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间．小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落，当有大量的小球都滚下时，最终在钉板下面不同位置收集到小球．若一个小球从正上方落下，落到号位置的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
.
【变式训练2-3】．某同学上学的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为，则该同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-4】．设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正.一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4.
（1）该射手任取一支枪射击，中靶的概率是多少？
（2）若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率.
(三)
正态分布
例3．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（
）
A．
B．
C．对任意正数，
D．对任意正数，
【变式训练3-1】．设随机变量，函数没有零点的概率是，则（
）
附：若，则，．
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-2】．在某次数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概率为0.6，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率为（
）
A．0.16
B．0.24
C．0.32
D．0.48
【变式训练3-3】．已知随机变量服从正态分布，若，则（
）
A．0.1
B．0.2
C．0.3
D．0.4
【变式训练3-4】．中长跑是一项对学生身体锻炼价值较高的运动项目.在某校的一次中长跑比赛中，全体参赛学生的成绩近似地服从正态分布，已知成绩在90分以上（含90分）的学生有32名.则参赛的学生总数约为（
）.（参考数据：，，）
A．208
B．206
C．204
D．202
【变式训练3-5】．2020年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人．2019年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时．为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长（单位：小时），并绘制如图所示的频率分布直方图．
（1）求这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；
（2）由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且．
（ⅰ）利用直方图得到的正态分布，求；
（ⅱ）从该地随机抽取20名志愿者，记表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求（结果精确到0.001）以及的数学期望．
参考数据：，．若，则．
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