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专题13.2
直接证明与间接证明（理科）
一、考纲要求
1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；
2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点.
二、考点梳理
知识点一
直接证明
内容
综合法
分析法
定义
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立
从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止
实质
由因导果
执果索因
框图表示
→→…→
→→…→
文字语言
因为……所以……或由……得……
要证……只需证……即证……
知识点二
间接证明
间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法.
(1)反证法的定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立的证明方法.
(2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立.
【知识必备】
1.分析法是执果索因，实际上是寻找使结论成立的充分条件；综合法是由因导果，就是寻找已知的必要条件.
2.综合法与分析法都是直接证明的方法，反证法是间接证明的方法.
3.用反证法证题时，首先否定结论，否定结论就是找出结论的反面的情况，然后推出矛盾，矛盾可以与已知、公理、定理、事实或者假设等相矛盾.
三、题型分析
例1．设，用综合法证明：．
【来源】专题12不等式的证明技巧的求解策略解题模板
【答案】证明见解析.
【分析】
作差、分解因式、判断符号即可
【详解】
证明如下：
又，而
故
即
【点睛】
本题考查的是利用综合法证明不等式，较简单.
例2．已知，，且，求证：与中至少有一个小于2．
【来源】陕西省宝鸡市扶风县法门高中2018-2019学年高二下学期第一次月考数学（文）试题
【答案】证明见解析.
【分析】
假设与都大于或等于2，即，两式相加得出与已知矛盾，可证得原命题成立．
【详解】
证明：假设与都大于或等于2，即，
因为，，故可化为，两式相加，得，
与已知矛盾．所以假设不成立，即原命题成立．
【点睛】
本题考查反证法的证明，考查学生逻辑思维能力，属于中档题．
例3．已知，求证：.
【来源】广西桂林市2019-2020学年高二下学期期末质量检测数学（文）试题
【答案】证明见解析
【分析】
用分析法证明即可.
【详解】
要证，
只需证，
即.
只需证.
因为显然成立，因此成立.
【点睛】
本题考查的是不等式的证明，较简单.
例4．证明：（1）；
（2）如果，则．
【来源】陕西省宝鸡市渭滨区2019-2020学年高二下学期期末数学（理）试题
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）利用分析法证明，两边平方化简可得；
（2）利用基本不等式，结合在（0，+∞）上增函数即可证明；
【详解】
证明：（1）要证，只要证，
即，显然成立的，所以，原不等式成立．
（2）当时，有，∴，
∴，∴（当且仅当时等号成立）.
【点睛】
本题考查综合法或分析法，考查对数函数的单调性和定义域，基本不等式的应用，掌握这两种方法证明不等式是关键，属于中档题目．
例5．不等式证明：
（1）证明不等式：（其中皆为正数）
（2）已知，，，求证：至少有一个小于2.
【来源】河南省南阳华龙高级中学2019-2020学年高二5月月考数学（文）试题
【答案】(1)证明见详解；(2)证明见详解.
【分析】
（1）用分析法，将不等式进行转化，即可容易证明；
（2）用反证法，假设都大于等于2，结合已知条件，推出矛盾即可证明.
【详解】
（1）要证，因为，
即证：，
也就是证：，
只需证：，
即只要证：，
而显然成立，
则上述不等式也成立，
故原不等式成立，证明完毕.
（2）假设都大于等于2，
即，
又因为，，
故可得，
两式相加可得，
即，
这与矛盾，
故假设不成立，
则至少有一个小于2.
【点睛】
本题考查利用分析法和反证法证明不等式，这两种方法都是证明不等式的重要方法，需熟练掌握.
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精品试卷·第
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直接证明与间接证明（理科）
一、考纲要求
1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；
2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点.
二、考点梳理
知识点一
直接证明
内容
综合法
分析法
定义
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立
从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止
实质
由因导果
执果索因
框图表示
→→…→
→→…→
文字语言
因为……所以……或由……得……
要证……只需证……即证……
知识点二
间接证明
间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法.
(1)反证法的定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立的证明方法.
(2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立.
【知识必备】
1.分析法是执果索因，实际上是寻找使结论成立的充分条件；综合法是由因导果，就是寻找已知的必要条件.
2.综合法与分析法都是直接证明的方法，反证法是间接证明的方法.
3.用反证法证题时，首先否定结论，否定结论就是找出结论的反面的情况，然后推出矛盾，矛盾可以与已知、公理、定理、事实或者假设等相矛盾.
三、题型分析
例1．设，用综合法证明：．
例2．已知，，且，求证：与中至少有一个小于2．
例3．已知，求证：.
例4．证明：（1）；
（2）如果，则．
例5．不等式证明：
（1）证明不等式：（其中皆为正数）
（2）已知，，，求证：至少有一个小于2.
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