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突破13.3
数学归纳法（理科）
一、考纲要求
1.了解数学归纳法的原理；
2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
二、考点梳理
知识点一
数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N
)时命题成立；
(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N
)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.
知识点二
数学归纳法的框图表示
【知识必备】
1.应用数学归纳法证明数学命题时初始值n0不一定是1，要根据题目条件或具体问题确定初始值.
2.推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则就不是数学归纳法.
3.解“归纳——猜想——证明”问题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础.
三、题型分析
例1．用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练
1-1】．用数学归纳法证明不等式：，从到，不等式左边需要（
）
A．增加一项
B．增加两项、
C．增加，且减少一项
D．增加、，且减少一项
【变式训练
1-2】．用数学归纳法证明，且时，第一步应验证的不等式是（
）
A．
B．
C．
D．
例2．已知数列的前项和，满足，且．
（1）求、、；
（2）猜思的通项公式，并用数学归纳法证明．
【变式训练
2-1】．在数列中，
（1）求出并猜想的通项公式；
（2）用数学归纳方证明你的猜想.
【变式训练
2-2】．已知正项数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，记数列的前项和为，求证：．
【变式训练
2-3】．（1）请用分析法证明：；
（2）请用数学归纳法证明：.
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精品试卷·第
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页
（共
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突破13.3
数学归纳法（理科）
一、考纲要求
1.了解数学归纳法的原理；
2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
二、考点梳理
知识点一
数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N
)时命题成立；
(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N
)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.
知识点二
数学归纳法的框图表示
【知识必备】
1.应用数学归纳法证明数学命题时初始值n0不一定是1，要根据题目条件或具体问题确定初始值.
2.推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则就不是数学归纳法.
3.解“归纳——猜想——证明”问题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础.
三、题型分析
例1．用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据数学归纳法可知，首先验证时对应的不等式.
【详解】
因为用数学归纳法证明，
所以第一步先验证，当时，
不等式是否成立.
故选：C
【变式训练
1-1】．用数学归纳法证明不等式：，从到，不等式左边需要（
）
A．增加一项
B．增加两项、
C．增加，且减少一项
D．增加、，且减少一项
【答案】D
【分析】
理解数学归纳法到步骤，结合不等式的差异确定增减项即可.
【详解】
由数学归纳法知：若时，不等式成立，则有：成立，
那么时，有：，
∴，
综上知：不等式左边需要增加、，且减少一项
故选：D
【变式训练
1-2】．用数学归纳法证明，且时，第一步应验证的不等式是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
直接利用数学归纳法写出时左边的表达式即可.
【详解】
解：用数学归纳法证明，且时，时，第一步应验证不等式为：.
故选：.
【点睛】
在数学归纳法中，第一步是论证时结论是否成立，此时一定要分析不等式左边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误，属于基础题.
例2．已知数列的前项和，满足，且．
（1）求、、；
（2）猜思的通项公式，并用数学归纳法证明．
【答案】（1），，；（2）猜想，，证明见解析．
【分析】
（1）分别令、、，可求得、、的值；
（2）根据（1）猜想得出，，由可知当猜想成立，假设当时猜想成立，可得出，可得出当时，由整理得出，解出即可得出结论成立.
【详解】
（1）对任意的，，且．
当时，，整理得，且，所以；
当时，，整理得，且，所以；
当时，，整理得，且，所以；
（2）由（1）猜想，，
下面用数学归纳法加以证明：
①当时，由（1）知成立；
②假设当时，成立．
当时，，
所以，且，
所以，即当时猜想也成立．
综上可知，猜想对一切都成立．
【点睛】
思路点睛：“归纳——猜想——证明”的一般环节：
（1）计算：根据条件，准确计算出前若干项，这是归纳、猜想的前题；
（2）归纳、猜想：通过观察、分析、比较、综合、联想，猜想出一般的结论；
（3）证明：对一般结论利用数学归纳法进行证明.
【变式训练
2-1】．在数列中，
（1）求出并猜想的通项公式；
（2）用数学归纳方证明你的猜想.
【答案】（1）；；（2）见详解
【分析】
（1）先根据递推关系，依次求得的值，并猜想通项公式为；
（2）根据数学归纳法证明的过程，对猜想进行证明即可.
【详解】
解：(1)
∵，
∴
因此可猜想:
；
(2)当时，，等式成立，
假设时，等式成立，即，
则当时，，
即当时，等式也成立，
综上所述，对任意自然数，.
【点睛】
方法点睛：用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值并验证真假；②“假设时命题正确”并写出命题形式；③分析“时”命题是什么，并找出与“”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项；④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设.
【变式训练
2-2】．已知正项数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，记数列的前项和为，求证：．
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出，归纳出，用数学归纳法证明；
（2）变形，并结合基本不等式得，由此得，从1开始的个式子相加可得结论．
【详解】
（1）由题可得，，，，从而猜想．用数学归纳法证明如下：
①当时，有，猜想成立；②假设当时猜想成立，即，则当时，，所以当时，猜想也成立．
由①②可知，对任意都成立．∴数列的通项公式为，．
（2）证明：，由基本不等式可得，
所以，
所以．
【点睛】
关键点点睛：本题考查数学归纳法，考查基本不等式的应用及不等式的性质．在数列不易求得通项公式时，数学归纳法是解决数列问题有一种方法．
【变式训练
2-3】．（1）请用分析法证明：；
（2）请用数学归纳法证明：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）直接利用分析法证明；
（2）直接利用数学归纳法证明.
【详解】
证明：（1）要证：，
只需证：，
只需证：，
只需证：，
只需证：，
只需证：，
而显然成立，所以原不等式得证.
（2）①当时，左边，右边，等式成立.
②假设当时等式成立，即，
则当时，，
该等式成立
根据①②，原等式成立.
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