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突破13.5
复数（理科）
一、考纲要求
1.理解复数的基本概念；
2.理解复数相等的充要条件；
3.了解复数的代数表示法及其几何意义；
4.会进行复数代数形式的四则运算；
5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
二、考点梳理
知识点一
复数的有关概念
内容
意义
备注
复数的概念
形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b
若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数
复数相等
a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
共轭复数
a＋bi与c＋di共轭?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)
复平面
建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数
复数的模
设对应的复数为z＝a＋bi，则向量的长度叫做复数z＝a＋bi的模
|z|＝|a＋bi|＝
知识点二
复数的几何意义
复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
知识点三
复数的运算
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(4)除法：＝＝＝(c＋di≠0).
【知识必备】
1.i的乘方具有周期性
in＝(k∈Z).
2.复数的模与共轭复数的关系
z·＝|z|2＝||2.
3.两个注意点
(1)两个虚数不能比较大小；
(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件.
四、题型分析
一、复数的有关概念
例1．（2020·四川高三月考）复数的实部与虚部之和为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】，的实部与虚部之和为.
故选：C
【变式训练1-1】、（2020·浙江高三期中）已知，若（i为虚数单位），则a的取值范围是（
）
A．或
B．或
C．
D．
【答案】A
【解析】因为，，所以，，所以或.
故选：A
【变式训练1-2】、（2020·广东湛江·高三其他模拟）已知i是虚数单位，a为实数，且，则a＝（
）
A．2
B．1
C．-2
D．-1
【答案】B
【解析】由，得a＝1.故选：B．
【变式训练1-3】、（多选题）已知复数满足为虚数单位，复数的共轭复数为，则（
）
A．
B．
C．复数的实部为
D．复数对应复平面上的点在第二象限
【答案】BD
【解析】因为复数满足，所以
所以，故A错误；
，故B正确；
复数的实部为
，故C错误；复数对应复平面上的点在第二象限，故D正确.
故选：BD
二、复数的四则运算
例2．（2020·四川遂宁·高三零模）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为在复平面内，复数对应的点的坐标是，
所以,所以,故选：A
【变式训练2-1】、（多选题）已知复数(i为虚数单位)，则下列说法错误的是（
）
A．z的实部为2
B．z的虚部为1
C．
D．
【答案】AC
【解析】因为复数，所以z的虚部为1，，
故AC错误，BD正确.故选：AC
【变式训练2-2】、（多选题）若复数，则（
）
A．
B．z的实部与虚部之差为3
C．
D．z在复平面内对应的点位于第四象限
【答案】AD
【解析】，，
z的实部为4，虚部为，则相差5，
z对应的坐标为，故z在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD正确，故选：AD.
三、复数的几何意义
例3．（2020·江苏徐州·高三期中）复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【解析】由，知在复平面内对应的点位于第一象限，
故选：A.
【变式训练3-1】、复数满足，则在复平面上对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【解析】设复数，
由得，
所以，解得，
因为时，不能满足，舍去；
故，所以，其对应的点位于第二象限，故选：B.
【变式训练3-2】、已知为整数，复数，复数在复平面内对应的点在第三象限，则______.
【答案】
【解析】复数，
若复数在复平面内对应的点在第三象限，
则，解得，
又为整数，则，，。
【变式训练3-3】、（2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三第一次调研）已知的共轭复数是，且（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【解析】设，
因为，所以，
所以，解得：，
所以复数在复平面内对应的点为，此点位于第四象限.
四、复数的综合应用
例4、（2020·全国高三月考）已知复数，为的共轭复数，则（
）
A．
B．2
C．10
D．
【答案】D
【解析】因为，所以，，
所以，故选:D.
【变式训练4-1】、（2020·河南焦作·高三一模）设，复数，若，则（
）
A．10
B．9
C．8
D．7
【答案】D
【解析】，解得.故选：D．
【变式训练4-2】、（多选题）已知为虚数单位，则下面命题正确的是（
）
A．若复数，则．
B．复数满足，在复平面内对应的点为，则．
C．若复数，满足，则．
D．复数的虚部是3．
【答案】ABC
【解析】由，故A正确；
由在复平面内对应的点为，则，即，
则，故B正确；
设复数，则，所以，故C正确；
复数的虚部是-3，故D不正确.
故选：A、B、C
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精品试卷·第
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复数（理科）
一、考纲要求
1.理解复数的基本概念；
2.理解复数相等的充要条件；
3.了解复数的代数表示法及其几何意义；
4.会进行复数代数形式的四则运算；
5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
二、考点梳理
知识点一
复数的有关概念
内容
意义
备注
复数的概念
形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b
若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数
复数相等
a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
共轭复数
a＋bi与c＋di共轭?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)
复平面
建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数
复数的模
设对应的复数为z＝a＋bi，则向量的长度叫做复数z＝a＋bi的模
|z|＝|a＋bi|＝
知识点二
复数的几何意义
复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
知识点三
复数的运算
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(4)除法：＝＝＝(c＋di≠0).
【知识必备】
1.i的乘方具有周期性
in＝(k∈Z).
2.复数的模与共轭复数的关系
z·＝|z|2＝||2.
3.两个注意点
(1)两个虚数不能比较大小；
(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件.
四、题型分析
一、复数的有关概念
例1．（2020·四川高三月考）复数的实部与虚部之和为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-1】、（2020·浙江高三期中）已知，若（i为虚数单位），则a的取值范围是（
）
A．或
B．或
C．
D．
【变式训练1-2】、（2020·广东湛江·高三其他模拟）已知i是虚数单位，a为实数，且，则a＝（
）
A．2
B．1
C．-2
D．-1
【变式训练1-3】、（多选题）已知复数满足为虚数单位，复数的共轭复数为，则（
）
A．
B．
C．复数的实部为
D．复数对应复平面上的点在第二象限
二、复数的四则运算
例2．（2020·四川遂宁·高三零模）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-1】、（多选题）已知复数(i为虚数单位)，则下列说法错误的是（
）
A．z的实部为2
B．z的虚部为1
C．
D．
【变式训练2-2】、（多选题）若复数，则（
）
A．
B．z的实部与虚部之差为3
C．
D．z在复平面内对应的点位于第四象限
三、复数的几何意义
例3．（2020·江苏徐州·高三期中）复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【变式训练3-1】、复数满足，则在复平面上对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【变式训练3-2】、已知为整数，复数，复数在复平面内对应的点在第三象限，则______.
【变式训练3-3】、（2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三第一次调研）已知的共轭复数是，且（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
四、复数的综合应用
例4、（2020·全国高三月考）已知复数，为的共轭复数，则（
）
A．
B．2
C．10
D．
【变式训练4-1】、（2020·河南焦作·高三一模）设，复数，若，则（
）
A．10
B．9
C．8
D．7
【变式训练4-2】、（多选题）已知为虚数单位，则下面命题正确的是（
）
A．若复数，则．
B．复数满足，在复平面内对应的点为，则．
C．若复数，满足，则．
D．复数的虚部是3．
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