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突破14.1
坐标系与参数方程（理科）
一、考纲要求
1.了解参数方程，了解参数的意义；
2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．
3.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；
4.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；
5.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．
二、考情分析
三、考点梳理
1.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:
点
直角坐标
极坐标
互化公式
参数方程和直角坐标的互化
(1)曲线的参数方程
普通方程，消去参数。
方法一；相加或者相减
方法二；
3.直线的参数方程
直线参数方程中的几何意义的应用
表示直线上任意一点到定点的距离.
直线参数方程（为参数），椭圆方程，相交于两点，直线上定点
将直线的参数方程带入椭圆方程，得到关于的一元二次方程，则：
若为的中点，则
四、题型分析
一、直角坐标方程
参数方程与极坐标方程的性质及其互化
例1.在极坐标系下，已知圆O：和直线
.求圆0和直线l的直角坐标方程；
.当时，求圆0和直线l公共点的极坐标.
【答案】（1），，（2）
【解析】（1）由题意得：圆O的极坐标方程：，
，
所以圆O的直角坐标方程：，
直线，，
整理：，所以直线的直角坐标方程：，
（2）当时，联立直线与圆的极坐标方程：
联立，
解得：，
带回直线方程，得，故直线与圆的交点极坐标为
【变式训练1】在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（I）直接写出圆的普通方程；
（II）直线的极坐标方程为，射线与圆的交点为，两点，与直线的交点为，求线段的长.
【解析】：（I）；
（II）圆的极坐标方程为.
设，则，解得，解得.
【变式训练2】在直角坐标系中，圆的参数方程为为参数，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求的极坐标方程；
（2）射线:与圆的交点为，与，直线的交点为，求的范围.
【解析】（1）圆的普通方程是，将，，代入上述方程，
得，
由，化简得圆的极坐标方程为.
（2）设，则有，
设，且直线的方程是，则有，
所以，
所以.
二、直线的参数方程应用
例2.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，，为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线的极坐标方程为.
（1）求，，的值；
（2）已知点的直角坐标为，与曲线交于，两点，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由，得，
则，所以，所以曲线的参数方程为，
因为，，所以.
（2）将代入，得.
设，两点对应的参数分别为，，则，.
所以.
【变式训练1】.
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（Ⅰ）写出直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点M的极坐标为，若点M是曲线C截直线l所得线段的中点，求l的斜率．
【解析】：（Ⅰ）当时，直线的直角坐标方程为；（1分）
当时，直线的直角坐标方程为．
（2分）
（Ⅱ）点的直角坐标为，曲线的直角坐标方程为，（6分）
把代入曲线的直角坐标方程，化简得，由，得，所以直线的斜率为．（10分）
【变式训练2】.(2018全国卷Ⅱ)在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．
(1)求和的直角坐标方程；
(2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．
【解析】(1)曲线的直角坐标方程为．
当时，的直角坐标方程为，
当时，的直角坐标方程为．
(2)将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程
．①
因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．
又由①得，故，于是直线的斜率．
三、椭圆及圆的参数方程应用
例3．已知平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程以及曲线的参数方程；
（2）过曲线上任意一点作与直线的夹角为的直线，交于点，求的最小值．
【答案】：（1）；（2）
【解析】：（1）
设
【变式训练1】.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（为实数）。
（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）当时，设分别为曲线和曲线上的动点，求的最小值。
【答案】：（1）
（2）
【解析】：（1）由：
普通方程为
由：有：
直角坐标方程为：
（2）当时，即：
设，则为点到直线距离的最小值
当时，.
【变式训练2】.（2017新课标Ⅰ）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，(为参数)，
直线的参数方程为(为参数)．
(1)若，求与的交点坐标；
(2)若上的点到距离的最大值为，求．
【解析】（1）曲线的普通方程为．
当时，直线的普通方程为．由解得或．
从而与的交点坐标为，．
（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为
．
当时，的最大值为．由题设得，所以；
当时，的最大值为．由题设得，所以．
综上，或．
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精品试卷·第
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（共
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坐标系与参数方程（理科）
一、考纲要求
1.了解参数方程，了解参数的意义；
2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．
3.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；
4.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；
5.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．
二、考情分析
三、考点梳理
1.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:
点
直角坐标
极坐标
互化公式
参数方程和直角坐标的互化
(1)曲线的参数方程
普通方程，消去参数。
方法一；相加或者相减
方法二；
3.直线的参数方程
直线参数方程中的几何意义的应用
表示直线上任意一点到定点的距离.
直线参数方程（为参数），椭圆方程，相交于两点，直线上定点
将直线的参数方程带入椭圆方程，得到关于的一元二次方程，则：
若为的中点，则
四、题型分析
一、直角坐标方程
参数方程与极坐标方程的性质及其互化
例1.在极坐标系下，已知圆O：和直线
.求圆0和直线l的直角坐标方程；
.当时，求圆0和直线l公共点的极坐标.
【变式训练1】在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（I）直接写出圆的普通方程；
（II）直线的极坐标方程为，射线与圆的交点为，两点，与直线的交点为，求线段的长.
【变式训练2】在直角坐标系中，圆的参数方程为为参数，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求的极坐标方程；
（2）射线:与圆的交点为，与，直线的交点为，求的范围.
二、直线的参数方程应用
例2.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，，为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线的极坐标方程为.
（1）求，，的值；
（2）已知点的直角坐标为，与曲线交于，两点，求.
【变式训练1】.
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（Ⅰ）写出直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点M的极坐标为，若点M是曲线C截直线l所得线段的中点，求l的斜率．
【变式训练2】.(2018全国卷Ⅱ)在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．
(1)求和的直角坐标方程；
(2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．
三、椭圆及圆的参数方程应用
例3．已知平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程以及曲线的参数方程；
（2）过曲线上任意一点作与直线的夹角为的直线，交于点，求的最小值．
【变式训练1】.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（为实数）。
（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）当时，设分别为曲线和曲线上的动点，求的最小值。
【变式训练2】.（2017新课标Ⅰ）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，(为参数)，
直线的参数方程为(为参数)．
(1)若，求与的交点坐标；
(2)若上的点到距离的最大值为，求．
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