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专题14.2
不等式选讲
一、考纲要求
1.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．
2.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b，c∈R)；
3.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a.
二、考点梳理
知识点一
绝对值三角不等式
定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|
≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立；
定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.
知识点二
绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|a的解集
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|{x|－a?
?
|x|>a
{x|x>a或x<－a}
{x|x∈R且x≠0}
R
(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
3.|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想.
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想.
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.
【知识必备】
1.在解决有关绝对值不等式的问题时，充分利用绝对值不等式的几何意义解决问题能有效避免分类讨论不全面的问题.若用零点分段法求解，要掌握分类讨论的标准，做到不重不漏.
2.绝对值三角不等式|a±b|≤|a|＋|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值.绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件.
三、题型分析
例1．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）利用零点分段法，解不等式组即可得到结果.
（2）由绝对值三角不等式可得，从而得到，然后解不等式可得的范围．
【详解】
（1），
∴
或
或
，
解得：，
不等式的解集为；
（2）因为，当时可取到等号，所以，令，
则为上的增函数，且，
所以，
故的取值范围为．
例2．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数f(x)=|x-2|+|x+1|.
（1）解不等式f(x)>x+2；
（2）记f(x)的最小值为m，正实数a，b，c满足a+b+c=m，证明：
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）利用“零点分段法”，分为，，三种情形，解不等式即可；
（2）根据绝对值三角不等式求出的值，可得，由柯西不等式可得结果.
【详解】
（1）当时，，解得，所以；
当时，解得所以
当时，解得所以
综上，或故不等式的解集是.
（2）因为当且仅当时等号成立，
所以
当且仅当即时等号成立，
所以.
【点睛】
关键点点睛：（1）利用“零点分段法”解三角不等式；
（2）通过构造柯西不等式.
例3．（2021·河南新乡市·高三一模（理））（1）已知，证明：；
（2）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）利用
证明即可.
（2）对进行分类讨论，使得即可.
【详解】
（1）证明：因为，
所以
.
所以要证，
只需证.
因为
.
所以.
因为，所以.
所以.
（2）解：设，则“对任意实数，不等式恒成立”等价于“”.
当时，，此时，
要使恒成立，必须，解得.
当时，，即，显然不恒成立.
当时，，此时，
要使恒成立，必须，解得.
综上所述，实数的取值范围为.
【点睛】
对于恒成立问题，可以分离变量转化为函数的最值问题，
即
恒成立
恒成立
.
例4．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三一模（文））已知.
（1）求不等式的解集；
（2）若的最小值为，正实数，，满足，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）分，，讨论求解.
（2）由，得到，再利用“1”的代换，利用基本不等式求解.
【详解】
（1）①当时，，无解
②当时，，解得
③当时，，无解
综上：不等式的解集为；
（2）因为，
所以，
所以，，
，
，
，
当且仅当，即时，等号成立，
【点睛】
方法点睛：（1）利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或乘积为定值，主要有两种思路：①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．
（2）有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式．常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等．
例5．（2021·云南高三其他模拟（理））设，，均为正实数，且.
（1）证明：.
（2）求的最大值.
【答案】（1）证明见解析；（2）最大值为.
【分析】
（1）利用基本不等式得，，，由此可证明不等式成立；
（2）利用柯西不等式求最大值．
【详解】
（1）证明：因为，，，
所以，即，
当且仅当时，等号成立，所以不等式得证.
（2）解：由柯西不等式，得，
当且仅当，即，时，等号成立.
因为，所以，
则，
故的最大值为.
【点睛】
思路点睛：本题考查不等式的证明，证明方法是基本不等式和柯西不等式．基本基本不等式可以看作是柯西不等式的二维形式的特例．如果用基本不等式求最值，注意取得最值的条件：一正二定三相等，一个都不能少．第（1）小题也可以利用柯西不等式证明：，当且仅当时等号成立．
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不等式选讲
一、考纲要求
1.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．
2.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b，c∈R)；
3.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a.
二、考点梳理
知识点一
绝对值三角不等式
定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|
≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立；
定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.
知识点二
绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|a的解集
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|{x|－a?
?
|x|>a
{x|x>a或x<－a}
{x|x∈R且x≠0}
R
(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
3.|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想.
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想.
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.
【知识必备】
1.在解决有关绝对值不等式的问题时，充分利用绝对值不等式的几何意义解决问题能有效避免分类讨论不全面的问题.若用零点分段法求解，要掌握分类讨论的标准，做到不重不漏.
2.绝对值三角不等式|a±b|≤|a|＋|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值.绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件.
三、题型分析
例1．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围．
例2．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数f(x)=|x-2|+|x+1|.
（1）解不等式f(x)>x+2；
（2）记f(x)的最小值为m，正实数a，b，c满足a+b+c=m，证明：
例3．（2021·河南新乡市·高三一模（理））（1）已知，证明：；
（2）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
例4．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三一模（文））已知.
（1）求不等式的解集；
（2）若的最小值为，正实数，，满足，求证：.
例5．（2021·云南高三其他模拟（理））设，，均为正实数，且.
（1）证明：.
（2）求的最大值.
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