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抽象函数的定义域的类型及求法
抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数,其有关问题对同学们来说具有一定难度,特别是求其定义域时,许多同学解答起来总感觉棘手,下面结合实例具体探究一下抽象函数定义域问题的几种题型及求法.
类型一　已知f(x)的定义域,求f[g(x)]的定义域
其解法是:若f(x)的定义域为[a,b],则在f[g(x)]中,令a≤g(x)≤b,从中解得x的取值范围即为f[g(x)]的定义域.
【例1】已知函数f(x)的定义域为[-1,5],求f(3x-5)的定义域.
【解题指导】该函数是由u=3x-5和f(u)构成的复合函数,其中x是自变量,u是中间变量,由于f(x)与f(u)是同一个函数,因此这里是已知-1≤u≤5,即-1≤3x-5≤5,求x的取值范围.
解∵f(x)的定义域为[-1,5],
∴-1≤3x-5≤5,∴≤x≤,
故函数f(3x-5)的定义域为.
类型二　已知f[g(x)]的定义域,求f(x)的定义域
其解法是:若f[g(x)]的定义域为m≤x≤n,则由m≤x≤n确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域.
【例2】已知函数f(x2-2x+2)的定义域为[0,3],求函数f(x)的定义域.
【解题指导】令u=x2-2x+2,则f(x2-2x+2)=f(u),
由于f(u)与f(x)是同一函数,因此u的取值范围即为f(x)的定义域.
解由0≤x≤3,得1≤x2-2x+2≤5.
令u=x2-2x+2,则f(x2-2x+2)=f(u),1≤u≤5.
故f(x)的定义域为[1,5].
类型三　已知f[g(x)]的定义域,求f[h(x)]的定义域
其解法是:先由f[g(x)]的定义域求得f(x)的定义域,再由f(x)的定义域求f
[h(x)]的定义域.
【例3】函数y=f(x+1)的定义域是[-2,3],则y=f(2x-1)的定义域是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.0,
B.[-1,4]
C.[-5,5]
D.[-3,7]
答案A
解析因为f(x+1)的定义域是[-2,3],即-2≤x≤3,所以-1≤x+1≤4,则f(x)的定义域是[-1,4].由-1≤2x-1≤4,得0≤x≤,所以f(2x-1)的定义域是0,.故选A.
类型四　运算型的抽象函数
求由有限个抽象函数四则运算得到的函数的定义域,其解法是:先求出各个函数的定义域,然后再求交集.
【例4】若函数f(x)的定义域是[-3,5],求φ(x)=f(-x)+f(2x+5)的定义域.
解由f(x)的定义域为[-3,5],则φ(x)必有解得-4≤x≤0.
所以函数φ(x)的定义域为[-4,0].运用Venn图解题的三个阶梯www.
由于图形简明、直观,因此很多数学问题的求解往往借助于图形来分析,下面例析运用集合中Venn图的三个阶梯:识图——用图——构图.
阶梯一　识图:用集合的交、并、补运算表示给出的Venn图
【例1】(2020山东泰安一模,1)已知全集U=R,集合M={x|-3　　　　　　　　　　　　　　　　
A.[-1,1]
B.(-3,1]
C.(-∞,-3)∪(-1,+∞)
D.(-3,-1)
答案D
解析由图可知,阴影部分表示的集合为M∩(?UN).由U=R,N={x||x|≤1},可得?UN={x|x<-1,或x>1},
又M={x|-3对点训练1如图,I是全集,M,P,S是I的3个子集,则阴影部分所表示的集合是(　　)
A.(M∩P)∩S
B.(M∩P)∪S
C.(M∩P)∩(?IS)
D.(M∩P)∪(?IS)
阶梯二　用图:借助Venn图求集合或集合的交、并、补
【例2】设全集U={x|0答案{1,3,5,7}　{2,3,4,6,8}
解析由题知U={1,2,3,…,9},根据题意,画出Venn图如右图所示,由Venn图易得A={1,3,5,7},B={2,3,4,6,8}.
对点训练2已知M,N为集合I的非空真子集,且M,N不相等,若N∩(?IM)=?,则M∪N=　　　　.?
阶梯三　构图:构造Venn图解某些应用题
【例3】(2020新高考全国1,5)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.62%
B.56%
C.46%
D.42%
答案C
解析设既喜欢足球又喜欢游泳的学生比例数为x.
由Venn图可知,82%-x+60%=96%,
解得x=46%,故选C.
对点训练3向100名学生调查对A,B两件事的看法,得到如下结果:赞成A的人数是全体的,其余不赞成;赞成B的人数比赞成A的人数多3人,其余不赞成.另外,对A,B都不赞成的人数比对A,B都赞成的学生人数的多1人,则对A,B都赞成的学生人数为　　　　,对A,B都不赞成的学生人数为　　　　　.?
解答集合问题时应注意的五点注意事项
(1)注意集合中元素的性质——互异性的应用,解答时要注意检验.
(2)注意描述法给出的集合的代表元素的特征.如{y|y=2x},{x|y=2x},{(x,y)|y=2x}表示不同的集合.
(3)注意?的特殊性.在利用A?B解题时,应对A是否为?进行讨论.
(4)注意数形结合思想的应用.在进行集合运算时,要尽可能借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.
(5)注意补集思想的应用.在解决A∩B≠?时,可以利用补集思想,先研究A∩B=?的情况,再取补集.
素养提升微专题1——运用Venn图解题的三个阶梯
对点训练1C　阴影部分是集合M与P的公共部分,且在集合S的外部,即(M∩P)∩(?IS),故选C.
对点训练2M　因为M,N为集合I的非空真子集,且M,N不相等,N∩(?IM)=?,所以由Venn图可知N?M,所以M∪N=M.
对点训练336　13　由题意知赞成A的人数为100×=60,赞成B的人数为60+3=63.如图,记100名学生组成的集合为U,赞成A的学生的全体记为集合A,赞成B的学生的全体记为集合B,并设对A,B都赞成的学生数为x,则对A,B都不赞成的人数为+1,由题意,知(60-x)+(63-x)+x++1=100,解得x=36.
所以对A,B都赞成的学生人数为36人,对A,B都不赞成的学生人数为13人.

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