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1.4　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.简单的逻辑联结词
(1)命题中的　　　　　　　　　叫作逻辑联结词.?
(2)若p表示命题,则?p是命题的否定,命题的否定只否定命题的　　　　　,而否命题则既否定结论又否定条件.?
(3)命题p且q,p或q,?p的真假判断
p
q
p且q
p或q
?p
真
真
　?
　?
假
真
假
　?
　?
假
真
　?
　?
真
假
假
　?
　?
2.全称量词和存在量词
量词名称
常见量词
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个、任给等
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等
3.全称命题和特称命题
命题名称
命题结构
全称命题
对M中任意一个x,有p(x)成立
特称命题
存在M中的一个x,使p(x)成立
4.含有一个量词的命题的否定
命　　题
命题的否定
任意x∈M,p(x)
　　　　　　　　　　?
存在x∈M,p(x)
　　　　　　　　　　?
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)若命题p且q为假命题,则命题p,q都是假命题.
(　　)
(2)命题“4>6或3>2”是真命题.
(　　)
(3)若p且q为真,则p或q必为真;反之,若p或q为真,则p且q必为真.
(　　)
(4)“梯形的对角线相等”是特称命题.
(　　)
(5)命题“菱形的对角线相等”的否定是“菱形的对角线不相等”.
(　　)
2.(2020山东日照一中月考)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(　　)
A.锐角三角形有一个内角是钝角
B.至少有一个实数x,使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x,>2
3.命题“偶函数的图像关于y轴对称”的否定是(　　)
A.所有偶函数的图像不关于y轴对称
B.存在偶函数的图像关于y轴对称
C.存在偶函数的图像不关于y轴对称
D.不存在偶函数的图像不关于y轴对称
4.(2020“四省八校”质检三,理3)已知命题p:任意x∈R,ex+e-x>2,命题q:存在x∈R,ln
x=-1,则下列判断正确的是(　　)
A.(?p)且q是真命题
B.p或(?q)是真命题
C.p且(?q)是真命题
D.(?p)或(?q)是假命题
5.已知命题p:x2-5x+4≤0,q:<1,若(?q)且p是真命题,则x的取值范围是　　　　　.?
关键能力学案突破　
考点
含简单逻辑联结词的命题的真假
【例1】(2020全国2,理16)设有下列四个命题:
p1:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2:过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3:若空间两条直线不相交,则这两条直线平行.
p4:若直线l?平面α,直线m⊥平面α,则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是　　　　　.?
①p1且p4　②p1且p2　③?p2或p3　④?p3或?p4
思考如何判断含简单逻辑联结词的命题的真假.
解题心得若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假,需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假,再依据“p或q见真即真”“p且q见假即假”“p与?p真假相反”作出判断即可.
对点训练1已知命题p:任意x∈R,2x<3x;命题q:存在x∈R,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.p且q
B.(?p)且q
C.p且(?q)
D.(?p)且(?q)
考点
全称命题、特称命题
(多考向探究)
考向1　全称命题、特称命题真假的判断
【例2】已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数,则下列命题一定为真命题的是(　　)
A.任意x∈R,f(-x)≠f(x)
B.任意x∈R,f(-x)≠-f(x)
C.存在x∈R,f(-x)≠f(x)
D.存在x∈R,f(-x)≠-f(x)
思考如何判断一个全称命题是真命题?又如何判断一个特称命题是真命题?
解题心得1.判定全称命题“任意x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每个元素x,证明p(x)成立;要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内至少能找到一个x,使p(x)成立.
2.不管是全称命题,还是特称命题,若其真假不容易正面判断时,可先判断其否定的真假.
对点训练2已知命题p:存在x∈(-∞,0),2x<3x;命题q:任意x∈,sin
xA.p且q
B.p且(?q)
C.(?p)且q
D.(?p)且(?q)
考向2　全(特)称命题的否定
【例3】(1)(2020山东淄博一模,3)设m∈R,命题“存在m>0,使方程x2+x-m=0有实根”的否定是(　　)
A.任意m>0,使方程x2+x-m=0无实根
B.任意m≤0,使方程x2+x-m=0有实根
C.存在m>0,使方程x2+x-m=0无实根
D.存在m≤0,使方程x2+x-m=0有实根
(2)命题“实数的平方都是正数”的否定是　　　　　.?
思考如何对全(特)称命题进行否定?
解题心得1.对全(特)称命题进行否定的方法是改量词,否结论.没有量词的要结合命题的含义加上量词.
2.常见词语的否定形式:
词语
是
都是
=
>(<)
至少
有一个
至多
有一个
且
词语的
否定
不是
不都是
≠
≤
(≥)
一个也
没有
至少
有两个
或
对点训练3(1)(2020山东淄博4月模拟,2)命题“存在x∈(0,+∞),ln
x=x-1”的否定是(　　)
A.任意x∈(0,+∞),ln
x≠x-1
B.任意x?(0,+∞),ln
x=x-1
C.存在x∈(0,+∞),ln
x≠x-1
D.存在x?(0,+∞),ln
x=x-1
(2)命题p:“有些三角形是等腰三角形”,则?p是
(　　)
A.有些三角形不是等腰三角形
B.有些等腰三角形不是三角形
C.所有三角形都不是等腰三角形
D.所有三角形都是等腰三角形
考向3　由全(特)称命题的真假求参数的范围
【例4】(1)已知命题p:任意x∈R,log2(x2+x+a)>0恒成立,命题q:存在x∈[-2,2],2a≤2x,若命题p且q为真命题,则实数a的取值范围为　　　　　.?
(2)已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=-m,若对任意x1∈[0,3],存在x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是　　　　　.?
思考如何依据命题的真假求参数的取值范围?
解题心得以命题真假为依据求参数的取值范围时,首先要对两个简单命题进行化简,然后依据命题“p或q”“p且q”“?p”的真假,判断出每个简单命题的真假,最后列出含有参数的不等式(组)求解即可.
对点训练4(1)已知命题p:“关于x的方程x2-4x+a=0有实根”,若?p为真命题的充分不必要条件为a>3m+1,则实数m的取值范围是(　　)
A.[1,+∞)
B.(1,+∞)
C.(-∞,1)
D.(-∞,1]
(2)(2020山东青岛5月模拟,13)已知命题“存在x∈R,x2-mx+1<0”是假命题,则实数m的取值范围是　　　　　　　.?
1.逻辑联结词“或”“且”“非”对应着集合运算中的“并”“交”“补”.因此,可以借助集合的“并”“交”“补”的意义来求解含“或”“且”“非”的命题的问题.
2.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀:p或q见真即真,p且q见假即假,p与?p真假相反.
3.全称命题(特称命题)的否定是特称命题(全称命题),其真假性与原命题相反.要写一个命题的否定,需先分清其是全称命题还是特称命题,再对照否定结构去写,否定的规律是“改量词,否结论”.
4.判断一个全称命题为真命题,必须对任意一个元素验证p(x)成立;若有一个x0,使p(x0)不成立,则这个全称命题为假命题;判断一个特称命题是真命题,只要有一个x0,使p(x0)成立即可,否则为假命题.
1.命题的否定与否命题的区别:否命题是对原命题“若p,则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题,它既否定其条件,又否定其结论;命题的否定即“非p”,只是否定命题p的结论.
2.命题的否定包括:(1)对“若p,则q”形式的命题的否定;(2)对含有逻辑联结词的命题的否定;(3)对全称命题和特称命题的否定,要特别注意常见词语的否定.
1.4　简单的逻辑联结词、
全称量词与存在量词
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.(1)“且”“或”“非”　(2)结论　(3)真　真
假　真　假　真　假　假
4.存在x∈M,?p(x)　任意x∈M,?p(x)
考点自诊
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×
2.B　A中锐角三角形的内角都是锐角,所以A是假命题;B中当x=0时,x2=0,满足x2≤0,所以B既是特称命题又是真命题;C中因为+(-)=0不是无理数,所以C是假命题;D中对于任意一个负数x,都有<0,不满足>2,所以D是假命题.
3.C　“偶函数的图像关于y轴对称”等价于“所有的偶函数的图像关于y轴对称”,根据全称命题否定规则,全称量词改写为存在量词,条件不变,否定结论.所以原命题的否定是“存在偶函数的图像不关于y轴对称”.故选C.
4.A　当x=0时,ex+e-x=2,命题p为假命题;当x=时,lnx=-1,命题q为真命题;则(?p)且q是真命题,p或(?q)是假命题,p且(?q)是假命题,(?p)或(?q)是真命题.故选A.
5.[2,3]　若p为真命题,则1≤x≤4;若q为真命题,则x<2或x>3.
∵(?q)且p为真命题,
∴∴2≤x≤3.
关键能力·学案突破
例1①③④　∵p1,p4为真命题,p2,p3为假命题,∴?p2,?p3为真命题,
∴p1且p4为真命题,p1且p2为假命题,?p2或p3为真命题,?p3或?p4为真命题.故填①③④.
对点训练1B　由20=30知,p为假命题.∴存在x∈R,x3=1-x2,即命题q为真命题.由此可知(?p)且q为真命题.故选B.
例2C　∵定义域为R的函数f(x)不是偶函数,∴任意x∈R,f(-x)=f(x)为假命题,
∴存在x∈R,f(-x)≠f(x)为真命题.
对点训练2C　因为当x<0时,>1,即2x>3x,所以命题p为假命题,从而?p为真命题;因为当x∈时,x>sinx,所以命题q为真命题,所以(?p)且q为真命题.
例3(1)A　(2)至少有一个实数的平方不是正数　(1)由特称命题的否定是全称命题,知“存在m>0,使方程x2+x-m=0有实根”的否定是“对任意m>0,方程x2+x-m=0无实根”.故选A.
(2)全称命题的否定是特称命题.“实数的平方都是正数”是全称命题,只是省略了“所有”两字.故其否定是“至少有一个实数的平方不是正数”.
对点训练3(1)A　(2)C　(1)因为已知的是特称命题,所以它的否定为全称命题,故选A.
(2)因命题p:“有些三角形是等腰三角形”是特称命题,所以?p为全称命题,由特称命题的否定得命题?p:“所有三角形都不是等腰三角形”,故选C.
例4(1)　(2)　(1)由题知,命题p:任意x∈R,log2(x2+x+a)>0恒成立,即x2+x+a-1>0恒成立,所以Δ=1-4(a-1)<0,解得a>;命题q:存在x∈[-2,2],使得2a≤2x,则a≤2.当p且q为真命题时,须满足故实数a的取值范围为.
(2)当x∈[0,3]时,f(x)min=f(0)=0,当x∈[1,2]时,g(x)min=g(2)=-m,对任意x1∈[0,3],存在x2∈[1,2]使得f(x1)≥g(x2)等价于f(x)min≥g(x)min,得0≥-m,所以m≥.故m的取值范围为,+∞.
对点训练4(1)B　(2)[-2,2]　(1)?p为“方程x2-4x+a=0没有实根”,由?p为真命题可得Δ=16-4a<0,解得a>4,由?p为真命题的充分不必要条件为a>3m+1,可得3m+1>4,解得m>1,故选B.
(2)因为命题“存在x∈R,x2-mx+1<0”是假命题,所以命题“任意x∈R,x2-mx+1≥0”是真命题,所以Δ=m2-4≤0,解得-2≤m≤2.故m的取值范围是[-2,2].1.3　命题及其关系、充要条件
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.命题
概念
用语言、符号或式子表达的,可以判断　　　　的陈述句?
特点
(1)能判断真假;(2)陈述句
分类
　　命题、　　命题?
2.四种命题及其关系
(1)四种命题的表示及相互之间的关系
(2)四种命题的真假关系
①互为逆否的两个命题　　　　(　　　　或　　　　).?
②互逆或互否的两个命题真假性　　　　　.?
3.充分条件、必要条件与充要条件的概念
p?q
p是q的　　　　　　　　条件,?
q是p的　　　　　　　　条件?
p?q,且qp
p是q的　　　　　　　　条件?
pq,且q?p
p是q的　　　　　　　　条件?
p?q
p是q的　　　　条件?
pq,且qp
p是q的　　　　　　　　　　　条件?
1.在四种形式的命题中,真命题的个数只能为0,2,4.
2.p是q的充分不必要条件,等价于?q是?p的充分不必要条件.其他情况依次类推.
3.集合与充要条件:设p,q成立的对象构成的集合分别为A,B,p是q的充分不必要条件?A?B;p是q的必要不充分条件?A?B;p是q的充要条件?A=B.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)命题“若α=,则tan
α=1”的否命题是“若α=,则tan
α≠1”.
(　　)
(2)命题“若x2-3x+2>0,则x>2或x<1”的逆否命题是“若1≤x≤2,则x2-3x+2≤0”.
(　　)
(3)一个命题的逆命题与否命题,它们的真假性没有关系.
(　　)
(4)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.
(　　)
(5)“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件是q”表达的意义相同.
(　　)
2.(2020山西太原五中6月模拟,理2)设z=a+bi,且a,b∈R,“z是纯虚数”是“a=0”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
3.(2020江西上饶三模,文5)已知a,b∈R,则“a>b”是“>1”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
4.已知命题“若x=5,则x2-8x+15=0”,则它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中,真命题有(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
5.命题“在空间中,若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线”的逆否命题是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.?
关键能力学案突破　
考点
命题及其相互关系
【例1】(1)已知原命题为“若　　　　　　　　　　　　　　　　
A.真、真、真
B.假、假、真
C.真、真、假
D.假、假、假
(2)设a,b∈R,原命题“若x>(a+b)2,则x>a2+b2”,则关于其逆命题、否命题、逆否命题的结论正确的是
(　　)
A.逆命题与否命题均为真命题
B.逆命题为假命题,否命题为真命题
C.逆命题为假命题,逆否命题为真命题
D.否命题为假命题,逆否命题为真命题
思考由原命题写出其他三种命题应注意什么?如何判断命题的真假?
解题心得1.写一个命题的其他三种命题时,需注意:
(1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写;
(2)若命题有大前提,则写其他三种命题时需保留大前提.
2.判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题为假命题,只需举出反例即可.
3.根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.
对点训练1(1)命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是(　　)
A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数
B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数
C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数
D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数
(2)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是(　　)
A.真、假、真
B.假、假、真
C.真、真、假
D.假、假、假
考点
充分条件、必要条件的判断
(多考向探究)
考向1　定义法判断
【例2】(2020辽宁实验中学五模,文3)已知a为正数,则“a>1”是“+log2a>0”的(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
考向2　集合法判断
【例3】(2020山东烟台模拟,3)“a<2”是“任意x>0,a≤x+”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
考向3　等价转化法判断
【例4】函数f(x)=有且只有一个零点的充分不必要条件是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.a<0
B.0C.D.a≤0或a>1
解题心得充要条件的三种判断方法
(1)定义法:根据p?q,q?p是否同时成立进行判断.
(2)集合法:根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法:指对所给题目的条件进行一系列的等价转化,直到转化成容易判断充要条件为止.
对点训练2(1)(2020河南开封三模,文3,理3)已知a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
(2)设p:关于x的方程4x-2x-a=0有解;q:关于x的不等式log2(x+a-2)>0对于任意x>0恒成立,则p是q的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
(3)(2020江苏镇江期末,3)使不等式1+>0成立的一个充分不必要条件是(　　)
A.x>-1
B.x≥0
C.x<-1或x>1
D.-1考点
充分条件、必要条件的应用
【例5】若不等式m-1思考如何求与充分条件、必要条件有关的参数问题?
解题心得1.与充要条件有关的参数问题的求解方法:解决此类问题一般是根据条件把问题转化为集合之间的关系,并由此列出关于参数的不等式(组)求解.
2.充要条件的证明方法:在解答题中证明一个命题是另一个命题的充要条件时,其基本方法是分“充分性”和“必要性”两个方面进行证明.
对点训练3已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,求m的取值范围.
变式发散1本题条件不变,问是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件?并说明理由.
变式发散2本题条件不变,若?P是?S的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
1.写一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论,然后按定义来写;在判断命题的真假时,可以借助原命题与其逆否命题同真或同假的关系来判定.
2.充分必要关系的几种判断方法:
(1)定义法:直接判断“若p,则q”“若q,则p”的真假.
(2)等价法:利用p?q与?q??p;q?p与?p??q;p?q与?q??p的等价关系.对于条件或结论是否定形式的命题,一般运用等价法.
(3)集合间关系法:设A={x|p(x)},B={x|q(x)},利用集合A,B的关系来判断.
1.当一个命题中含有大前提时,其他三种命题也必须含有该大前提,也就是大前提不变.
2.在判断命题的真假及写四种命题时,一定要明确命题的结构,可以先把命题改写成“若p,则q”的形式.
3.判断条件之间的关系,要注意条件之间的推出方向,正确理解“p的一个充分不必要条件是q”等语言.
1.3　命题及其关系、充要条件
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.真假　真　假
2.(2)①等价　同真　同假　②没有关系
3.充分　必要　充分不必要　必要不充分　充要　既不充分又不必要
考点自诊
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×
2.A　由z是纯虚数,可得a=0;当a=0时,若b=0,则z为实数0,故选A.
3.D　由a>b>1,由>1a>b,故选D.
4.B　原命题“若x=5,则x2-8x+15=0”为真命题,又当x2-8x+15=0时,x=3或x=5,故其逆命题“若x2-8x+15=0,则x=5”为假命题.又由四种命题之间的关系知该命题的逆否命题为真命题,否命题为假命题,故选B.
5.在空间中,若四点中存在三点共线,则这四点共面　逆否命题是既否条件又否结论,故答案为:在空间中,若四点中存在三点共线,则这四点共面.
关键能力·学案突破
例1(1)A　(2)A　(1)从原命题的真假入手,由于(2)∵原命题:设a,b∈R,原命题“若x>(a+b)2,则x>a2+b2”是假命题,
∴原命题的逆否命题是假命题.
原命题的逆命题“若x>a2+b2,则x>(a+b)2”是真命题,
∴原命题的否命题是真命题.故选A.
对点训练1(1)C　(2)B　(1)由于“x,y都是偶数”的否定表达是“x,y不都是偶数”,“x+y是偶数”的否定表达是“x+y不是偶数”,故原命题的逆否命题为“若x+y不是偶数,则x,y不都是偶数”.
(2)先证原命题为真,当z1,z2互为共轭复数时,设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=a-bi,则|z1|=|z2|=,∴原命题为真,故其逆否命题为真;再证其逆命题为假,取z1=1,z2=i,满足|z1|=|z2|,但是z1,z2不互为共轭复数,∴其逆命题为假,故其否命题也为假,故选B.
例2C　由a>1,可得+log2a>0,反之,令f(a)=+log2a=log2a-+1,易知函数f(a)在(0,+∞)上递增,又f(1)=0,所以要使+log2a>0,则a>1,所以“a>1”是“+log2a>0”的充要条件.故选C.
例3A　若任意x>0,a≤x+,则a≤x+min,因为x+≥2,当且仅当x=时,等号成立,所以a≤2,因为{a|a<2}?{a|a≤2},所以“a<2”是“任意x>0,a≤x+”的充分不必要条件,故选A.
例4A　因为函数f(x)过点(1,0),即x=1为f(x)的一个零点,所以函数f(x)有且只有一个零点?函数y=-2x+a(x≤0)没有零点?函数y=2x(x≤0)与直线y=a无公共点.由数形结合,可得a≤0或a>1.又因为{a|a<0}?{a|a≤0,或a>1},故选A.
对点训练2(1)C　(2)B　(3)C　(1)设f(x)=x|x|=由二次函数的单调性可得函数f(x)为增函数,则若a>b,则f(a)>f(b),即a|a|>b|b|,反之也成立,所以“a>b”是“a|a|>b|b|”的充分必要条件,故选C.
(2)若p成立,则a=4x-2x=,所以a≥-,即a的取值范围为;若q成立,则x+a-2>1对任意x>0恒成立,所以a>3-x对任意x>0恒成立,则a≥3.即a的取值范围为[3,+∞).由于[3,+∞)?,所以p是q的必要不充分条件,故选B.
(3)不等式1+>0?>0?(x+1)x>0,故不等式的解集为(-∞,-1)∪(0,+∞).A,B,C,D四个选项中,只有C对应的集合为(-∞,-1)∪(0,+∞)的真子集.故选C.
例5-　∵∴?(m-1,m+1),
即
∴-≤m<,或-∴-≤m≤.
对点训练3解由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10,∴P={x|-2≤x≤10}.
∵x∈P是x∈S的必要条件,则S?P.
∴解得m≤3.
又S为非空集合,∴1-m≤1+m,解得m≥0.综上,m的取值范围是[0,3].
变式发散1解不存在.由原题知P={x|-2≤x≤10}.
若x∈P是x∈S的充要条件,则P=S,
∴m不存在.
变式发散2解由原题知P={x|-2≤x≤10},∵?P是?S的必要不充分条件,∴P?S且SP.
∴[-2,10]?[1-m,1+m],
∴
∴m≥9,即m的取值范围是[9,+∞).1.2　简单不等式的解法
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2.不等式的性质
(1)对称性:a>b?b(2)传递性:a>b,b>c?a>c.
(3)可加性:a>b?a+c>b+c;a>b,c>d?a+c>b+d.
(4)可乘性:a>b,c>0?ac>bc;a>b,c<0?acb>0,c>d>0?ac>bd.
(5)可乘方:a>b>0?an>bn(n∈N,n≥2).
(6)可开方:a>b>0?(n∈N,n≥2).
3.三个“二次”之间的关系
判别式Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根
有两个相异
实根x1,x2
(x1有两个相等
实根x1=
x2=-
没有实
数根
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
　　　　?
R
续　表
判别式Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
　　　　?
　　　?
　　　?
1.若a>b>0,m>0,则(b-m>0);(b-m>0).
2.(x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0型不等式的解法口诀:大于取两边,小于取中间.
3.恒成立问题的转化:a>f(x)恒成立?a>f(x)max;a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.
4.能成立问题的转化:a>f(x)能成立?a>f(x)min;a≤f(x)能成立?a≤f(x)max.
5.恰成立问题的转化:a>f(x)在M上恰成立?a>f(x)的解集为M?
另一转化方法:若x∈D,f(x)≥A在D上恰成立,等价于f(x)在D上的最小值f(x)min=A;若x∈D,f(x)≤B在D上恰成立,则等价于f(x)在D上的最大值f(x)max=B.
注:例如“恒、能、恰”成立:x+1>0在x>-5上是能成立的,在x>-1上是恰成立也是恒成立的.而在-1考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)a>b?ac2>bc2.
(　　)
(2)a>b>0,c>d>0?.
(　　)
(3)若关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.
(　　)
(4)不等式≤0的解集是[-1,2].
(　　)
(5)若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为R.
(　　)
2.设a,b,c,d∈R,且a>b,c>d,则下列结论中正确的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.a-c>b-d
C.ac>bd
D.a+c>b+d
3.(2020福建厦门期末检测)实数x,y满足x>y,则下列不等式恒成立的是(　　)
A.<1
B.2-x<2-y
C.lg(x-y)>0
D.x2>y2
4.(2020安徽马鞍山二模,理1)已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈Z},B={x||x|≤2,x∈Z},则A∩B=(　　)
A.{-1,0,1}
B.{-2,-1,0,1}
C.{-1,0,1,2}
D.{-2,-1,0,1,2,3}
5.设a,b,c是任意实数,能够说明“若c关键能力学案突破　
考点
比较两个数(式)的大小
【例1】(1)已知a1,a2∈(0,1),若M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.MB.M>N
C.M=N
D.不确定
(2)若a=,b=,c=,则(　　)
A.aB.cC.cD.b思考比较两个数(式)大小常用的方法有哪些?
解题心得比较大小常用的方法有作差法、作商法、构造函数法.
(1)作差法的一般步骤:①作差;②变形;③定号;④下结论.变形常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.
(2)作商法一般适用于分式、指数式、对数式,作商只是思路,关键是化简变形,从而使结果能够与1比较大小.
(3)构造函数法:构造函数,利用函数的单调性比较大小.
对点训练1(1)已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系是(　　)
A.c≥b>a
B.a>c≥b
C.c>b>a
D.a>c>b
(2)已知a,b是实数,且e考点
不等式的性质及应用
【例2】(1)(2020北京海淀一模,4)已知实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是(　　)
A.b-aB.c2C.
D.|b|c<|a|c
(2)(2020山西太原三模,理3)已知a>b>1,c<0,则
(　　)
A.
B.caC.acD.loga(b-c)>logb(a-c)
思考已知某些量的范围,求由这些量组成的代数式的范围常用不等式的哪些性质?
解题心得1.已知某些量的范围,在求由这些量组成的代数式的范围时,常用不等式同向可加性、同向同正可乘性;
2.在应用可乘方性时要注意应用的条件,当不等式两边异号时,平方后不等号不确定;
3.当ab>0时,对不等式a>b两边取倒数,或两边同乘以,化简得.
对点训练2(1)(2020海南高三期末,4)已知实数a,b满足a>b>0,则下列不等式一定成立的有(　　)
A.a2B.-a<-b
C.≥2
D.a+b>ab
(2)(2020山东青岛5月模拟,9改编)设a,b,c为实数,且a>b>0,则下列不等式中正确的是(　　)
A.log2(ab)B.ac2>bc2
C.<1<
D.
考点
一元二次不等式的解法
(多考向探究)
考向1　常系数一元二次不等式的解法
【例3】解下列不等式:
(1)2x2-3x-2>0;
(2)-3x2+6x-2>0;
(3)4x2-4x+1≤0;
(4)x2-2x+2>0.
思考如何解不含参数的一元二次不等式?
解题心得对于常系数一元二次不等式,可以用分解因式法求解,即把不等式分解成(x-a)(x-b)>0或(x-a)·(x-b)<0型不等式,再依据“大于取两边,小于取中间”的口诀写出解集;对难于因式分解的不等式可采用判别式法求解,先计算对应方程的判别式,若判别式不小于零,求出相应的一元二次方程的根,画出对应函数的简图,由图像得出不等式的解集,若判别式小于零,直接根据对应函数的图像确定不等式的解集.
对点训练3解下列不等式:
(1)x2-3x+2<0;
(2)3x2+5x-2>0;
(3)-2x2+3x+2≤0.
考向2　含参数的一元二次不等式的解法
【例4】解关于x的不等式ax2+2x+1<0.
思考如何解含参数的一元二次不等式?
解题心得含有参数的不等式的求解,需要对参数进行分类讨论,讨论有三层:第一,若二次项系数含参数,先讨论二次项系数是否为零,以确定不等式是一次不等式还是二次不等式;第二,当二次项系数不为零时,若不易分解因式,则依据判别式符号进行分类讨论;第三,对方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集.
对点训练4解关于x的不等式x2-ax-2a2<0.
考点
分式不等式的解法
【例5】已知全集U=R,集合A={x||x-1|<1},B=,则A∩(?UB)=(　　)
A.{x|1B.{x|1C.{x|1≤x<2}
D.{x|1≤x<4}
思考解分式不等式的基本思路是什么?
解题心得解分式不等式时,切忌直接去分母,一般先通过移项、通分,将分式不等式化简如化为>0或<0,再等价转化为整式不等式的形式,即转化为一次、二次或高次不等式.
对点训练5不等式≤2的解集为　.?
考点
一元二次不等式恒成立问题
(多考向探究)
考向1　主元x在R上恒成立求参数范围
【例6】若一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为(　　)
A.(-3,0]
B.[-3,0)
C.[-3,0]
D.(-3,0)
考向2　主元x在给定区间上恒成立求参数范围
【例7】设对任意实数x∈[-1,1],不等式x2+ax-3a<0恒成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.a>0
B.a>
C.a>0或a<-12
D.a>
思考解决在给定区间上恒成立问题有哪些方法?
考向3　给定参数范围的恒成立问题
【例8】已知对任意的k∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,则x的取值范围是　　　　　.?
解题心得1.ax2+bx+c≥0(a≠0)对任意实数x恒成立的条件是ax2+bx+c≤0(a≠0)对任意实数x恒成立的条件是
2.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题,常有两种解决方法:一是利用二次函数在区间上的最值来解决;二是先分离出参数,再通过求函数的最值来解决.
3.已知参数范围求函数自变量的范围的一般思路是更换主元法.把参数当作函数的自变量,得到一个新的函数,然后利用新函数求解.
对点训练6(1)已知a为常数,任意x∈R,ax2+ax+1>0,则a的取值范围是(　　)
A.(0,4)
B.[0,4)
C.(0,+∞)
D.(-∞,4)
(2)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是　　　　　　　　.?
(3)已知不等式xy≤ax2+2y2对x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,则实数a的取值范围是　　　　　　.?
1.比较法是不等式性质证明的理论依据,是不等式证明的主要方法之一.作差法的主要步骤为作差—变形—判断正负.
2.判断不等式是否成立,主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法,特别是对于有一定条件限制的选择题,用特殊值验证的方法更简单.
3.简单的分式不等式可以等价转化,利用一元二次不等式的解法进行求解.
4.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础;一般可把a<0的情形转化为a>0的情形.
5.(1)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.
1.2　简单不等式的解法
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.(1)>　=　<　(2)>　=　<
3.{x|x>x2或x考点自诊
1.(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×
2.D　∵a,b,c,d∈R,且a>b,c>d,根据同向不等式的可加性,得a+c>b+d,故选D.
3.B　由x>y,得-x<-y.由y=2t是增函数,得2-x<2-y.
4.C　由题意,得A={-1,0,1,2,3},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B={-1,0,1,2},故选C.
5.1,0,-1(答案不唯一)　由c关键能力·学案突破
例1(1)B　(2)B　(1)M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)·(a2-1).
∵a1∈(0,1),a2∈(0,1),
∴a1-1<0,a2-1<0.
∴(a1-1)(a2-1)>0,即M-N>0.
∴M>N.
(2)(方法1)易知a,b,c都是正数,=log8164<1,所以a>b;=log6251024>1,
所以b>c.故c(方法2)对于函数y=f(x)=,y'=,易知当x>e时,函数f(x)递减.
因为e<3<4<5,所以f(3)>f(4)>f(5),即c对点训练1(1)A　(2)ab>ba　(1)∵c-b=4-4a+a2=(a-2)2≥0,∴c≥b.
又b+c=6-4a+3a2,
∴2b=2+2a2.
∴b=a2+1.
∴b-a=a2-a+1=>0,
∴b>a.∴c≥b>a.
(2)令f(x)=,则f'(x)=,当x>e时,f'(x)<0,所以f(x)在(e,+∞)上递减,因为ef(b),即?blna>alnb?ab>ba.
例2(1)D　(2)C　(1)(方法1)根据数轴可得c|b|>|a|,对于A:因为cb,则c+a|b|>|a|,所以c2>b2>a2,且b2>ab,所以c2>b2>ab,即c2>ab,故B错误;对于C:因为b|a|,且c<0,所以|b|c<|a|c,故D正确.
(方法2)不妨令c=-5,b=-4,a=-1,则c+a=-6ab=4,故B错误;=5,故C错误;|b|c=-20<|a|c=-5,故D正确.故选D.
(2)由于a>b>1,所以0<,又c<0,故,选项A错误;当c=-2,a=4,b=3时,ca>cb,故选项B错误;由于a>b>1,c<0,故acb>1,c<0,所以a-c>b-c,故loga(b-c)对点训练2(1)B　(2)C　(1)因为a>b>0,于是a2>b2,故A不正确;由a>b>0,得-a<-b,故B正确;由基本不等式可知≥2=2,因为a>b,所以等号取不到,故C不正确;
当a=3,b=2时,3+2<2×3,故D不正确.故选B.
(2)由a>b>0,得ab>b2,所以log2(ab)>log2b2,故A不正确;
因为c2≥0,当c2=0时,ac2=bc2,故B不正确;
由a>b>0,两边同乘,得>1,由a>b>0,两边同乘,得<1,故C正确;由a>b,函数y=为减函数,得例3解(1)由2x2-3x-2=2(x-2)x+>0,得不等式的解集是xx<-,或x>2.
(2)不等式可化为3x2-6x+2<0.
因为3x2-6x+2=0的判别式Δ=36-4×3×2=12>0,所以方程3x2-6x+2=0的解是x1=1-,x2=1+.
因为函数y=3x2-6x+2是开口向上的抛物线,所以不等式的解集是x1-(3)方程4x2-4x+1=0的解是x1=x2=,函数y=4x2-4x+1是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集是xx=.
(4)因为x2-2x+2=0的判别式Δ<0,所以方程x2-2x+2=0无解.又因为函数y=x2-2x+2是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集为R.
对点训练3解(1)∵(x-1)(x-2)<0,∴1(2)方程3x2+5x-2=0的两解是x1=-2,x2=.
函数y=3x2+5x-2的图像是开口向上的抛物线,与x轴有两个交点(-2,0)和,0.不等式的解集为xx<-2,或x>.
(3)原不等式化为2x2-3x-2≥0,∵2x2-3x-2=0的两解为x1=-,x2=2,∴不等式的解集是xx≤-,或x≥2.
例4解(1)当a=0时,不等式的解集为xx<-,
(2)当a>0时,Δ=4-4a,
①Δ>0,即0②Δ≤0,即a≥1时,不等式的解集为?.
(3)当a<0时,Δ=4-4a>0,不等式的解集为xx<,或x>.
对点训练4解原不等式变形为(x-2a)(x+a)<0.
①若a>0,则-a②若a<0,则2a③若a=0,则原不等式即为x2<0,此时解集为?.
例5C　由题意得A={x||x-1|<1}={x|-1∴A∩(?UB)={x|1≤x<2}.故选C.
对点训练5　由≤2,得≥0,解得x>或x≤.
例6D　2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则必有
解得-3例7B　(方法1)y=x2+ax-3a的对称轴是x=-.
①当-≥1,即a≤-2时,区间[-1,1]是函数y=x2+ax-3a的递减区间,
当x=-1时,函数有最大值,所以1-4a<0,得a>,与a≤-2相矛盾.
②当0<-<1,即-2代入不等式得a>,与-2③当-1<-≤0,即0≤a<2时,当x=1有最大值时,代入不等式得1-2a<0,即a>,故要使不等式x2+ax-3a<0恒成立,
∴④当-≤-1,即a≥2时,区间[-1,1]是函数y=x2+ax-3a的递增区间,x=1时有最大值,代入不等式得1-2a<0,a>,∴a≥2.
综上所述,a>.故选B.
(方法2)设f(x)=x2+ax-3a,
∵对任意实数x∈[-1,1],不等式x2+ax-3a<0恒成立,
∴
即故a>.故选B.
例8{x|x<1或x>3}　x2+(k-4)x+4-2k>0恒成立,即g(k)=(x-2)k+(x2-4x+4)>0在k∈[-1,1]时恒成立.
只需g(-1)>0,且g(1)>0,即解得x<1或x>3.
对点训练6(1)B　(2)　(3)[-1,+∞)　(1)因为任意x∈R,ax2+ax+1>0,所以必有或a=0,即0≤a<4.
(2)对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0,则有
即
解得-(3)因为不等式xy≤ax2+2y2对任意的x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,
所以a≥-2对任意的x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立.
令t=,由x∈[1,2],y∈[2,3],可知1≤t≤3,
所以a≥t-2t2在区间[1,3]上恒成立.
令f(t)=-2t2+t,则f(t)=-2t2+t=-2.
因为f(t)在区间[1,3]上是减少的,所以f(t)max=f(1)=-1,所以a≥-1.第一章　集合与常用逻辑用语
1.1　集合的概念与运算
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.集合的含义与表示
(1)集合元素的三个特征:　　　　　、　　　　　、　　　　　.?
(2)元素与集合的关系有　　　　或　　　　　两种,用符号　　或　　表示.?
(3)集合的表示方法:　　　　　、　　　　　、　　　　　.?
(4)常见数集的记法.
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
　　　?
　　　?
　　?
　　　?
　　　?
2.集合间的基本关系
关系
自然语言
符号表示
Venn图
子集
对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集
　　　?
真子集
如果集合A?B,但存在元素x∈B,且x?A,就称集合A是集合B的真子集
　　　?
集合
相等
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等
　　　?
3.集合的运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
Venn图
符号
语言
A∪B=　　　?
A∩B=　　　?
?UA=?
1.并集的性质:A∪?=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A?B?A.
2.交集的性质:A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A?B.
3.补集的性质:A∩(?UA)=?;A∪(?UA)=U;?U(?UA)=A;?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB);?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB).
4.若集合A中含有n个元素,则它的子集个数为2n,真子集的个数为2n-1,非空真子集的个数为2n-2.
5.
如图所示,用集合A,B表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分所表示的集合分别是A∩B,A∩(?UB),B∩(?UA),?U(A∪B).
6.card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)集合{x2+x,0}中的实数x可取任意值.
(　　)
(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.
(　　)
(3)对任意集合A,B,一定有A∩B?A∪B.
(　　)
(4)若A∩B=A∩C,则B=C.
(　　)
(5)直线y=x+3与y=-2x+6的交点组成的集合是{1,4}.
(　　)
2.(2020广东湛江测试,理1)已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=2x-3,x∈A},则集合A∩B的子集个数为
(　　)
A.1
B.2
C.4
D.8
3.(2020山东济南一模,1)已知全集U=R,集合A={x|x2>x},则?UA=(　　)
A.[0,1]
B.(0,1)
C.(-∞,1]
D.(-∞,1)
4.(2020山东潍坊二模,1)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则A∩(?UB)=(　　)
A.{1,4}
B.{1,4,5}
C.{4,5}
D.{6,7}
5.(2020江苏南京六校5月联考,1)已知集合A={x|x2-2x<0},B={x|x<1},则A∪B=　　　.?
关键能力学案突破　
考点
集合的基本概念
【例1】(1)已知集合A={x∈Z|-x2+x+2>0},则集合A的真子集个数为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.3
B.4
C.7
D.8
(2)(2020山东潍坊临朐二模,13)已知集合A={a,b,2},B={2,b2,2a},且A∩B=A∪B,则a=　　　　.?
思考求集合中元素的个数或求集合中某些元素的值应注意什么?
解题心得与集合中的元素有关问题的求解策略
(1)确定集合中的代表元素是什么,即集合是数集、点集,还是其他类型的集合.
(2)看这些元素满足什么限制条件.
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,但要注意检验集合是否满足元素的互异性.
对点训练1(1)(2020河北唐山一模,理1)已知集合A={-1,0,1,2},B={y|y=2x},M=A∩B,则集合M的子集个数是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2
B.3
C.4
D.8
(2)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为　　　　　.?
考点
集合间的基本关系
【例2】(1)设集合A={y|y=},B={x|y=},则下列结论正确的是(　　)
A.A=B
B.A?B
C.B?A
D.A∩B={x|x≥1}
(2)(2020河北石家庄二中模拟,理2)设集合P={x||x|>3},Q={x|x2>4},则下列结论正确的是(　　)
A.Q?P
B.P?Q
C.P=Q
D.P∪Q=R
思考判定集合间的基本关系有哪些方法?解决集合间基本关系问题的常用技巧有哪些?
解题心得1.判定集合间的基本关系的方法有两种:一是化简集合,从表达式中寻找集合间的关系;二是用列举法(或图示法等)表示各个集合,从元素(或图形)中寻找集合间的关系.
2.解决集合间基本关系问题的常用技巧有:(1)若给定的集合是不等式的解集,则结合数轴求解;(2)若给定的集合是点集,则用数形结合法求解;(3)若给定的集合是抽象集合,则用Venn图求解.
对点训练2(1)已知集合A=x,B={x|≤2,x∈Z},则满足条件A?C,且C?B的集合C的个数为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1
B.2
C.4
D.8
(2)集合M=x,N=yy=m+,m∈Z,则两集合M,N的关系为(　　)
A.M∩N=?
B.M=N
C.M?N
D.N?M
考点
集合的运算
(多考向探究)
考向1　利用集合运算的定义进行运算
【例3】(1)(2020新高考全国1,1)设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2　　　　　　　　　　　　　　　　
A.{x|2B.{x|2≤x≤3}
C.{x|1≤x<4}
D.{x|1(2)(2020全国3,理1)已知集合A={(x,y)|x,y∈N+,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},则A∩B中元素的个数为(　　)
A.2
B.3
C.4
D.6
(3)(2020全国2,理1)已知集合U={-2,-1,0,1,2,3},A={-1,0,1},B={1,2},则?U(A∪B)=(　　)
A.{-2,3}
B.{-2,2,3}
C.{-2,-1,0,3}
D.{-2,-1,0,2,3}
思考利用集合运算的定义进行运算的一般思路和求解的原则是什么?
解题心得1.求解思路:一般是先化简集合,再由交集、并集、补集的定义求解.
2.求解原则:一般是先算括号里面的,再按运算顺序求解.
对点训练3(1)(2020江西名校大联考,理1)已知集合A={x|x2-4x>0},B={x|x2-4≤0},则A∩B=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.[-2,0]
B.(-∞,0)
C.[-2,0)
D.[-4,4]
(2)(2019全国1,文2)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩(?UA)=(　　)
A.{1,6}
B.{1,7}
C.{6,7}
D.{1,6,7}
(3)(2020山东潍坊一模,1)设集合A={2,4},B={x∈N|x-3≤0},则A∪B=(　　)
A.{1,2,3,4}
B.{0,1,2,3,4}
C.{2}
D.{x|x≤4}
考向2　定义新集合运算法则进行集合运算
【例4】设P,Q是两个非空集合,定义集合间的一种运算“☉”:P☉Q={x|x∈P∪Q,且x?P∩Q}.如果P={y|y=},Q={y|y=4x,x>0},则P☉Q=(　　)
A.[0,1]∪(4,+∞)
B.[0,1]∪(2,+∞)
C.[1,4]
D.(4,+∞)
思考求解集合新定义运算的关键是什么?
解题心得求解集合新定义运算的关键是仔细分析新定义运算法则的特点,把新定义运算法则所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中.
对点训练4定义A
B={x|x=x1+2x2,x1∈A,x2∈B},若A={1,2,3},B={1,2},则A
B=　　　　　;(A∩(A
B))∪B=　　　　　.?
考点
求集合中参数的值或取值范围
【例5】(1)(2020湖南湘潭三模,理1)已知集合A={x|ax=x2},B={0,1,2},若A?B,则实数a的值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1或2
B.0或1
C.0或2
D.0或1或2
(2)(2020全国1,理2)设集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a=(　　)
A.-4
B.-2
C.2
D.4
思考如何求集合表达式中参数的值或取值范围?
解题心得一般来讲,若集合中的元素是离散的,则用Venn图表示,根据Venn图得到关于参数的一个或多个方程,求出参数后要验证是否与集合元素的互异性矛盾;若集合中的元素是连续的,则用数轴表示,根据数轴得到关于参数的不等式,解之得到参数的取值范围,此时要注意端点的取舍.
对点训练5(1)已知集合A={x|x2-3x+2≥0},B={x|x+1≥a},若A∪B=R,则实数a的取值范围是
(　　)
A.[2,+∞)
B.(-∞,2]
C.[1,+∞)
D.(-∞,1]
(2)已知集合A={x|x<-3,或x>7},B={x|x<2m-1},若B?A,则实数m的取值范围是　　　　　.?
变式发散1将本题(2)中的B改为B={x|m+1≤x≤2m-1},其余条件不变,该如何求解?
变式发散2将本题(2)中的A改为A={x|-3≤x≤7},B改为B={x|m+1≤x≤2m-1},其余条件不变,又该如何求解?
学生用书正文答案与解析
第一章　集合与常用逻辑用语
1.1　集合的概念与运算
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.(1)确定性　互异性　无序性　(2)属于　不属于　∈　?　(3)列举法　描述法　Venn图法　(4)N　N+(或N
)　Z　Q　R
2.A?B(或B?A)　A?B(或B?A)　A=B
3.{x|x∈A,或x∈B}　{x|x∈A,且x∈B}
{x|x∈U,且x?A}
考点自诊
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×
2.C　因为A={1,2,3,4},B={y|y=2x-3,x∈A},所以B={-1,1,3,5},所以A∩B={1,3},所以A∩B的子集个数为22=4.
3.A　由x2>x,得x>1或x<0,即A={x|x>1,或x<0},所以?UA={x|0≤x≤1}=[0,1].
4.C　由题意得?UB={1,4,5},又A={2,3,4,5},所以A∩(?UB)={4,5},故选C.
5.(-∞,2)　∵集合A={x|x2-2x<0}={x|0关键能力·学案突破
例1(1)A　(2)0或　(1)因为A={x∈Z|-x2+x+2>0}={x∈Z|-1(2)因为A∩B=A∪B,所以A=B,则解得(舍去)或故a=0或.
对点训练1(1)C　(2)-　(1)因为B={y|y=2x}={y|y>0},A={-1,0,1,2},所以M=A∩B={1,2},因此,集合M的子集个数是22=4.故选C.
(2)由题意得m+2=3,或2m2+m=3,解得m=1或m=-.当m=1时,m+2=3,且2m2+m=3,根据集合中元素的互异性可知不满足题意;当m=-时,m+2=,而2m2+m=3,故m=-.
例2(1)D　(2)B　(1)∵A={y|y=}={y|y≥0},B={x|y=}={x|x≥1,或x≤-1},∴A∩B={x|x≥1},故选D.
(2)由题得,集合P={x||x|>3}={x|x<-3,或x>3},Q={x|x2>4}={x|x<-2,或x>2},所以P?Q,故选B.
对点训练2(1)D　(2)D　(1)由≤0,得0(2)∵M=x,N=y,又n+2为整数,2m+1为奇数,且奇数是整数的一部分,
∴N?M,故选D.
例3(1)C　(2)C　(3)A　(1)(数形结合)由数轴可知
所以A∪B={x|1≤x<4},故选C.
(2)满足x,y∈N
,y≥x,且x+y=8的元素(x,y)有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),共4个,故A∩B中元素的个数为4.
(3)∵A∪B={-1,0,1,2},
∴?U(A∪B)={-2,3}.故选A.
对点训练3(1)C　(2)C　(3)B　(1)由题得A={x|x2-4x>0}={x|x<0,或x>4},B={x|x2-4≤0}={x|-2≤x≤2},则A∩B={x|-2≤x<0},故选C.
(2)由已知得?UA={1,6,7},
所以B∩(?UA)={6,7}.故选C.
(3)因为A={2,4},B={x∈N|x-3≤0}={0,1,2,3},所以A∪B={0,1,2,3,4}.
例4B　∵P=[0,2],Q=(1,+∞),
∴P∪Q=[0,+∞),P∩Q=(1,2],
因此P☉Q=[0,1]∪(2,+∞).
对点训练4{3,4,5,6,7}　{1,2,3}　∵A={1,2,3},B={1,2},∴A
B={x|x=x1+2x2,x1∈A,x2∈B}={3,4,5,6,7};(A∩(A
B))∪B=({1,2,3}∩{3,4,5,6,7})∪{1,2}={3}∪{1,2}={1,2,3}.
例5(1)D　(2)B　(1)因为当a=0时,A={x|0=x2}={0},满足A?B;当a≠0时,A={0,a},若A?B,则a=1或2.综上a的值为0或1或2.故选D.
(2)由已知得A={x|-2≤x≤2},B=.
因为A∩B={x|-2≤x≤1},所以有-=1,解得a=-2.
对点训练5(1)B　(2)(-∞,-1]　(1)由题得集合A={x|x2-3x+2≥0}={x|x≤1,或x≥2},B={x|x+1≥a}={x|x≥a-1},又A∪B=R,
∴a-1≤1,解得a≤2,
∴实数a的取值范围是(-∞,2].
(2)由题意知2m-1≤-3,m≤-1,所以m的取值范围是(-∞,-1].
变式发散1解当B=?时,有m+1>2m-1,则m<2.当B≠?时,有解得m>6.综上可知,m的取值范围是(-∞,2)∪(6,+∞).
变式发散2解当B=?时,满足B?A,此时有m+1>2m-1,即m<2;当B≠?时,要使B?A,则有解得2≤m≤4.综上可知,m的取值范围是(-∞,4].

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