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5.4　数系的扩充与复数的引入
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.复数的有关概念
内　容
意　　义
备　　注
复数
的概念
形如　　　　(a∈R,b∈R)的数叫作复数,其中实部为　　,虚部为　　?
当b=0时,a+bi为实数;当a=0,且b≠0时,a+bi为纯虚数;当b≠0时,a+bi为虚数
复数
相等
a+bi=c+di(a,b,c,d∈R)?　　　　　?
实数能比较大小,虚数不能比较大小
共轭
复数
a+bi与c+di共轭(a,b,c,d∈R)?　　　　　　　?
实数a的共轭复数是a本身
复平面
建立平面直角坐标系来表示复数的平面,叫作复平面,　　　　叫作实轴,y轴叫作虚轴?
实轴上的点都表示实数;除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,各象限内的点都表示虚数
复数的
模
设对应的复数为z=a+bi(a,b∈R),则向量的长度叫作复数z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或|a+bi|
|z|=|a+bi|=(a,b∈R)
2.复数的几何意义
3.复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=　　　　　　;?
②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=　　　　　　;?
③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=　　　　　　;?
④除法:i(c+di≠0).
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=　　　　　,(z1+z2)+z3=　　　　　　　　.?
(3)复数加、减法的几何意义
若复数z1,z2对应的向量不共线,则复数z1+z2是以为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数;复数z1-z2是所对应的复数.
1.(1±i)2=±2i;=i;=-i.
2.-b+ai=i(a+bi)(a,b∈R).
3.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N+).
4.i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N+).
5.复数z的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心,以a和b为半径的两圆所夹的圆环;
(2)|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)为圆心,r为半径的圆.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)若a∈C,则a2≥0.(　　)
(2)已知z=a+bi(a,b∈R),当a=0时,复数z为纯虚数.(　　)
(3)复数z=a+bi(a,b∈R)的虚部为bi.(　　)
(4)方程x2+x+1=0没有解.(　　)
(5)由于复数包含实数,在实数范围内两个数能比较大小,因此在复数范围内两个数也能比较大小.(　　)
2.(2020浙江,2)已知a∈R,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1
B.-1
C.2
D.-2
3.(2020北京,2)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,2),则iz=(　　)
A.1+2i
B.-2+i
C.1-2i
D.-2-i
4.(2020全国2,文2)(1-i)4=(　　)
A.-4
B.4
C.-4i
D.4i
5.(2020江苏,2)已知i是虚数单位,则复数z=(1+i)·(2-i)的实部是　　　　.?
关键能力学案突破　
考点
复数的有关概念
【例1】(1)(2020全国1,文2)若z=1+2i+i3,则|z|=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.0
B.1
C.
D.2
(2)(2020陕西宝鸡三模,文2)已知复数z在复平面内对应的点为(1,m),若iz为纯虚数,则实数m的值为(　　)
A.-1
B.0
C.1
D.1或-1
(3)(2019江苏,2)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是　　　　　.?
思考求解与复数概念相关问题的基本思路是什么?
解题心得求解复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数以及求复数的实部、虚部时都与复数的实部与虚部有关,通常需先把所给复数化为代数形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,再根据题意求解.
对点训练1(1)(2020全国3,理2)复数的虚部是(　　)
A.-
B.-
C.
D.
(2)(2020福建福州三模,理1)已知纯虚数z满足(1-i)z=2+ai,则实数a=(　　)
A.2
B.1
C.-1
D.-2
考点
复数的几何意义
【例2】(1)(2019全国1,理2)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则(　　)
A.(x+1)2+y2=1
B.(x-1)2+y2=1
C.x2+(y-1)2=1
D.x2+(y+1)2=1
(2)(2020全国2,理15)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,则|z1-z2|=　　　　　.?
思考复数具有怎样的几何意义?几何意义的作用是什么?
解题心得1.复数z=a+bi(a,b∈R)Z(a,b)=(a,b).
2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.
对点训练2(1)设复数z满足|z-i|+|z+i|=4,z在复平面内对应的点为(x,y),则(　　)
A.=1
B.=1
C.=1
D.=1
(2)(2020山东历城二中模拟四,2)已知复数z满足|z+1-i|=|z|,z在复平面内对应的点为P(x,y),则(　　)
A.y=x+1
B.y=x
C.y=x+2
D.y=-x
考点
复数的代数运算
【例3】(1)(2020新高考全国1,2)=(　　)
A.1
B.-1
C.i
D.-i
(2)(2020江苏南京六校5月联考,2)已知复数z=(a+2i)·(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,a为实数,则5.3　平面向量的数量积与平面向量的应用
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量|a||b|cos
θ叫做a与b的数量积,记作a·b
续　表
投影
|a|cos
θ叫作向量a在b方向上的投影,|b|cos
θ叫作向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos
θ的乘积
2.向量数量积的运算律
交换律
a·b=b·a
分配律
(a+b)·c=a·c+b·c
数乘结
合律
(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数)
3.平面向量数量积的性质及坐标表示
已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.
向量的有
关概念
几何表示
坐标表示
模
|a|=
|a|=
数量积
|a||b|cos
θ
x1x2+y1y2
夹角
cos
θ=
cos
θ=
A(x1,y1),
B(x2,y2)
两点的距离
|AB|=||
|AB|=
a⊥b的充
要条件
a·b=0
x1x2+y1y2=0
|a·b|与
|a||b|的关系
|a·b|≤
|a||b|
|x1x2+y1y2|≤
4.向量在平面几何中的应用
(1)要证AB=CD,可转化为证明或||=||.
(2)要证两线段AB,CD平行,只要证存在唯一实数λ≠0,使等式=λ成立即可.
(3)要证两线段AB,CD垂直,只需证=0.
(4)求夹角问题,利用夹角公式cos
θ=.
1.平面向量数量积运算的常用公式:
(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2.
(2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.
2.当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.
3.a与b的夹角θ为锐角,则有a·b>0,反之不成立(θ为0时不成立);a与b的夹角为钝角,则有a·b<0,反之不成立(θ为π时不成立).
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)一个非零向量在另一个非零向量方向上的投影为数量,且有正有负.
(　　)
(2)若a·b>0,则a和b的夹角为锐角;若a·b<0,则a和b的夹角为钝角.
(　　)
(3)若a·b=0,则必有a⊥b.
(　　)
(4)(a·b)·c=a·(b·c).
(　　)
(5)在△ABC中,若<0,则△ABC为钝角三角形.
(　　)
2.(2020全国3,理6)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-
B.-
C.
D.
3.(2019全国2,理3)已知=(2,3),=(3,t),||=1,则=(　　)
A.-3
B.-2
C.2
D.3
4.(2020全国1,文14)设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若a⊥b,则m=　　　　　.?
5.(2020全国2,理13)已知单位向量a,b的夹角为45°,ka-b与a垂直,则k=　　　　　.?
关键能力学案突破　
考点
平面向量数量积的运算
【例1】(1)(2020新高考全国1,7)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则的取值范围是
(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(-2,6)
B.(-6,2)
C.(-2,4)
D.(-4,6)
(2)(2020北京,13)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足),则||=　　　　　;=　　　　　.?
思考求向量数量积的运算有几种形式?
解题心得1.求两个向量的数量积有三种方法:
(1)当已知向量的模和夹角时,利用定义求解,即a·b=|a||b|cosθ(其中θ是向量a与b的夹角).
(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.
(3)利用数量积的几何意义.数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.
2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可利用向量的加减运算或数量积的运算律化简.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.
对点训练1(1)(2020北京朝阳期中,7)在△ABC中,AB=4,AC=3,且||=||,则=(　　)
A.-12
B.-9
C.9
D.12
(2)(2020北京海淀期中,14)在边长为2的正三角形ABC中,M是BC的中点,D是线段AM的中点.①若=x+y,则x+y=　　　　;②=　　　　.?
考点
平面向量的模及应用
【例2】(1)(2020陕西二模,文3)已知向量a=(1,-1),b=(x,2),且a⊥b,则|a+b|的值为(　　)
A.
B.
C.2
D.
(2)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为　　　　　.?
思考求向量的模及求向量模的最值有哪些方法?
解题心得1.求向量的模的方法:(1)公式法,利用|a|=及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算;(2)几何法,利用向量的几何意义求解.
2.求向量模的最值(范围)的方法:(1)代数法,把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解;(2)几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解.
对点训练2(1)(2020湖南衡阳高三一模,文5)若|a|=,|b|=2,且(a-b)⊥a,则|a-b|=(　　)
A.2
B.2
C.0
D.
(2)已知向量满足||=||=2,点C在线段AB上,且||的最小值为,则|t|(t∈R)的最小值为(　　)
A.
B.
C.
D.2
考点
平面向量数量积的应用
(多考向探究)
考向1　求平面向量的夹角
【例3】(1)(2019全国1,理7)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为(　　)
A.
B.
C.
D.
(2)(2020山西太原三模,文8)已知向量e1,e2是夹角为的两个单位向量,则a=2e1+e2与b=-3e1+2e2的夹角为(　　)
A.
B.
C.
D.
思考两向量数量积的正负与两向量的夹角有怎样的关系?
考向2　求参数的值或范围
【例4】(2020河北5月模拟,理9)已知=(1,0),=(-2,2).若(λ+μ)⊥且|μ|=,则λ+μ的值为(　　)
A.4
B.±4
C.6
D.±6
思考两向量的垂直与其数量积有何关系?
考向3　在三角函数中的应用
【例5】(2020河南高三质检,17)已知向量a=(2sin
x,-sin
2x),b=(-2sin
x,2),函数f(x)=a·b+2+1.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)的递减区间.
思考利用向量求解三角函数问题的一般思路是什么?
考向4　在解析几何中的应用
【例6】(2020全国3,文6)在平面内,A,B是两个定点,C是动点.若=1,则点C的轨迹为(　　)
A.圆
B.椭圆
C.抛物线
D.直线
思考在向量与解析几何相结合的题目中,向量起到怎样的作用?
解题心得1.数量积大于0说明不共线的两个向量的夹角为锐角;数量积等于0说明不共线的两个向量的夹角为直角;数量积小于0说明不共线的两个向量的夹角为钝角.
2.若a,b为非零向量,cosθ=(夹角公式),则a⊥b?a·b=0.
3.求一向量在另一向量上的投影有两种方法:一是利用向量投影的概念求,二是利用向量的数量积求.
4.解决与向量有关的三角函数问题的一般思路是应用转化与化归的数学思想,即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题.
5.向量在解析几何中的作用
(1)载体作用:解决向量在解析几何中的问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.
(2)工具作用:利用数量积与共线定理可解决垂直、平行问题.特别地,向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.
对点训练3(1)(2020湖南长郡中学联考)已知非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=|a|,则向量a+b与a-b的夹角为　　　　　.?
(2)(2020山东模考卷,3)设向量a=(1,1),b=(-1,3),c=(2,1),且(a-λb)⊥c,则λ=(　　)
A.3
B.2
C.-2
D.-3
(3)(2020福建师大附中段考,10)设圆M,圆N的半径分别为1,2,且两圆外切于点P,点A,B分别是圆M,圆N上的两动点,则的取值范围是(　　)
A.-8,
B.-16,
C.[-8,1]
D.[-16,1]
(4)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cos(A-B),sin(A-B)),n=(cos
B,-sin
B),且m·n=-.
①求sin
A的值;
②若a=4,b=5,求角B的大小及向量方向上的投影.
1.平面向量的坐标表示与向量表示的比较:
已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是向量a与b的夹角.
有关概念向量表示坐标表示向量a的模|a|==|a|=a与b的数量积a·b=|a||b|cosθa·b=x1x2+y1y2a与b共线的
充要条件a∥b(b≠0)?a=λba∥b?x1y2-x2y1=0非零向量a,b垂直
的充要条件a⊥b?a·b=0a⊥b?x1x2+y1y2=0向量a与b的夹角cosθ=cosθ=
2.计算数量积的三种方法:定义、坐标运算、数量积的几何意义,要灵活选用,与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.
3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.
　　4.向量在三角函数中的应用
对于向量与三角函数结合的题目,其解题思路是用向量运算进行转化,化归为三角函数问题或三角恒等变形问题或解三角形等问题.
5.向量在解析几何中的应用
向量在解析几何中的应用,主要是以向量的数量积给出一种条件,通过向量转化,进而利用直线和圆锥曲线的位置关系等相关知识来解答.
6.向量在物理中的应用
物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解、合成与向量的加减法相似,因此可以用向量的知识来解决某些物理问题;物理学中的功是一个标量,是力F与位移s的数量积,即W=|F||s|cosθ(θ为F与s的夹角).
1.根据两个非零向量夹角为锐角或钝角与数量积的正、负进行转化时,不要遗漏向量共线的情况.
2.|a·b|≤|a||b|当且仅当a∥b时等号成立.
3.注意向量夹角和三角形内角的关系.
1.平面向量与三角形的“重心”问题
【例1】已知A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)],λ∈R,则点P的轨迹一定经过(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.△ABC的内心
B.△ABC的垂心
C.△ABC的重心
D.AB边的中点
答案C
解析取AB的中点D,则2,
因为[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)],
所以[2(1-λ)+(1+2λ)]=,又因为=1,
所以P,C,D三点共线,所以点P的轨迹一定经过△ABC的重心.
2.平面向量与三角形的“垂心”问题
【例2】已知O是平面上的一个定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足+λ,λ∈(0,+∞),则动点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.重心
B.垂心
C.外心
D.内心
答案B
解析因为+λ,所以=λ.
所以·λ=λ=λ(-||+||)=0.
所以,则点P在边BC的高线上.故动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心.
3.平面向量与三角形的“内心”问题
【例3】在△ABC中,AB=5,AC=6,cos
A=,O是△ABC的内心,若=x+y,其中x,y∈[0,1],则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为(　　)
A.
B.
C.4
D.6
答案B
解析根据向量加法的平行四边形法则可知,动点P的轨迹是以OB,OC为邻边的平行四边形及其内部,其面积为△BOC的面积的2倍.
在△ABC中,设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得a=7.
设△ABC的内切圆的半径为r,则bcsinA=(a+b+c)r,解得r=,
所以S△BOC=×a×r=×7×.
故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△BOC=.
4.平面向量与三角形的“外心”问题
【例4】已知在△ABC中,AB=1,BC=,AC=2,点O为△ABC的外心,若=x+y,则有序实数对(x,y)为(　　)
A.
B.
C.-
D.-
答案A
解析取AB的中点M和AC的中点N,连接OM,ON,则-(x+y)=-x-y-(x+y)=-y-x,
由,得-x-y=0,
①
由,得-y-x=0.
②
又因为=()2=-2,所以=-,
③
把③代入①,②得解得故实数对(x,y)为.
5.3　平面向量的数量积与
平面向量的应用
必备知识·预案自诊
考点自诊
1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×
2.D　∵a·(a+b)=a2+a·b=25-6=19,|a+b|2=a2+b2+2a·b=25+36-12=49,∴|a+b|=7,∴cos=.
3.C　由=(1,t-3),||==1,得t=3,则=(1,0).所以=(2,3)·(1,0)=2×1+3×0=2.故选C.
4.5　由a⊥b,可得a·b=1×(m+1)+(-1)×(2m-4)=0,解得m=5.
5.　由题意可知,a·b=|a||b|cos45°=.∵ka-b与a垂直,∴(ka-b)·a=k|a|2-a·b=k-=0,∴k=.
关键能力·学案突破
例1
(1)A　(2)　-1
(1)如图,以AB所在的直线为x轴,AE所在的直线为y轴建立平面直角坐标系,易知A(0,0),B(2,0),F(-1,),C(3,).设P(x,y),则=(x,y),=(2,0),∴=2x+0×y=2x.
∵-1(2)
以点A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴建立如下图所示的平面直角坐标系,
则点A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),=(2,1),则点P(2,1),∴=(-2,1),=(0,-1),
因此,||==0×(-2)+1×(-1)=-1.
对点训练1(1)B　(2)　1　(1)因为||=||,所以以AB,AC为邻边组成的四边形的对角线相等,所以该四边形为矩形.
故=()·(-)=-=-9+||||cosA=-9+0=-9.
(2)如下图,)==,所以x=,y=,x+y=.
=·×2×2×cos60°+×4==1.
例2(1)D　(2)5　(1)由a⊥b,得a·b=x-2=0,解得x=2.所以a+b=(3,1),所以|a+b|=.故选D.
(2)建立平面直角坐标系如图所示,则A(2,0),
设P(0,y),C(0,b),则B(1,b).所以+3=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y),
所以|+3|=(0≤y≤b),所以当y=b时,|+3|取得最小值5.
对点训练2(1)D　(2)D　(1)∵|a|=,|b|=2,(a-b)⊥a,
∴(a-b)·a=a2-a·b=2-a·b=0,∴a·b=2,
∴|a-b|=.故选D.
(2)由于||=||=2,说明O点在AB的垂直平分线上.当C是AB的中点时,||取最小值,最小值为,此时的夹角为45°,的夹角为45°,
∴的夹角为90°,∴|t|2=+t2-2t=4t2+4(t∈R),当t=0时,4t2+4的最小值是4,
即|t|的最小值是2.故选D.
例3(1)B　(2)C　(1)因为(a-b)⊥b,
所以(a-b)·b=a·b-b2=0,
所以a·b=b2.设a与b的夹角为θ,
则cosθ=,
所以a与b的夹角为,故选B.
(2)根据条件,∵|e1|=|e2|=1,e1·e2=,∴a·b=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)=-6+e1·e2+2=-6++2=-,a2=4+4e1·e2+=7,
b2=9-12e1·e2+4=7.
∴cos==-,∴a与b的夹角为.
例4B　因为=(1,0),=(-2,2),所以=(-1,2),由|μ|=,得|μ|=,所以|μ|=.因为(λ+μ)⊥,所以(λ+μ)·=0,即λ+μ=0,即-2λ+6μ=0,所以λ=3μ,所以λ+μ=4μ=±4.故选B.
例5解(1)因为a=(2sinx,-sin2x),b=(-2sinx,2),所以a·b=-4sin2x-2sin2x=-4-2sin2x=2cos2x-2sin2x-2.所以f(x)=2cos2x-2sin2x+1=4cos2x++1,故函数f(x)的最小正周期是T==π.
(2)由f(x)=4cos2x++1,得2kπ≤2x+≤2kπ+π(k∈Z),解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),所以函数f(x)的递减区间为kπ-,kπ+(k∈Z).
例6A　以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.
设A(-a,0),则B(a,0),C(x,y),则=(x+a,y),=(x-a,y),由=1,得(x+a)(x-a)+y2=1,整理得x2+y2=a2+1,即点C的轨迹为圆.故选A.
对点训练3(1)　(2)A　(3)C　(1)由|a+b|=|a-b|,得a⊥b,则a·b=0,
将|a+b|=|a|两边平方,得a2+b2+2a·b=a2,所以b2=a2.
设a+b与a-b的夹角为θ,所以cosθ=.又因为θ∈[0,π],所以θ=.
(2)因为a=(1,1),b=(-1,3),所以a-λb=(1+λ,1-3λ).又因为(a-λb)⊥c,c=(2,1),所以2(1+λ)+(1-3λ)=0,即2+2λ+1-3λ=0,解得λ=3.
(3)
圆M,圆N的半径分别为1,2,且两圆外切于点P,点A,B分别是圆M,圆N上的两动点,则=
||||cos∠APB,当三点A,P,B共线,两个向量方向相反时,数量积取得最小值为2×4×(-1)=-8.当∠BPN=60°,∠APB=60°时,
=||||cos∠APB=1×2×=1.则的取值范围是[-8,1].
(4)解①由m·n=-,
得cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-,所以cosA=-.
因为0所以sinA=.
②由正弦定理得,
则sinB=,
因为a>b,所以A>B,且B是△ABC一内角,则B=.
由余弦定理得(4)2=52+c2-2×5c×-,解得c=1,c=-7(舍去),
故向量方向上的投影为
||cosB=ccosB=1×.5.2　平面向量基本定理及向量的坐标表示
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个　　　　　向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=　　　　　　　.其中,不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组　　　　.把一个向量分解为两个　　　　　　的向量,叫作把向量正交分解.?
2.平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,a为坐标平面内的任意向量,以坐标原点O为起点作=a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得=xi+yj,因此a=xi+yj,我们把实数对　　　　　　叫作向量a的坐标,记作a=　　　　　.?
3.平面向量的坐标运算
运算
坐标表示(设a=(x1,y1),b=(x2,y2))
和
a+b=(x1+x2,y1+y2)
差
a-b=(x1-x2,y1-y2)
数乘
λa=(λx1,λy1),其中λ∈R
设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1)
4.平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b?　　　　　　.?
5.向量的夹角
已知两个　　　　向量a和b,作=a,=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作　　　　　.?
1.若a与b不共线,λa+μb=0,则λ=μ=0.
2.已知P为线段AB的中点,若A(x1,y1),B(x2,y2),则P点坐标为.
3.已知△ABC的重心为G,若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则G.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.
(　　)
(2)平面向量不论经过怎样的平移变换,其坐标不变.
(　　)
(3)在△ABC中,向量的夹角为∠ABC.
(　　)
(4)已知向量a,b是一组基底,若实数λ1,μ1,λ2,μ2满足λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2.
(　　)
(5)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是.
(　　)
2.(2020安徽皖豫名校联考,理3)已知向量m=(2,λ),n=(-1,3),若(2m+n)∥(m-n),则实数λ的值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.6
B.3
C.-3
D.-6
3.(2019全国2,文3)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.2
C.5
D.50
4.已知向量a=(1,-2),同时满足条件①a∥b,②|a+b|<|a|的一个向量b的坐标为　　　　　.?
5.(2020北京海淀区调研)在△ABC中,D为三角形所在平面内一点,且.延长AD交BC于点E,若=λ+μ,则λ-μ的值是　　　　.?
关键能力学案突破　
考点
平面向量基本定理的应用
【例1】(1)(2020河南郑州模拟)如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,=3,F为AE的中点,则=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.-
D.-
(2)(2020山东聊城一中高三模考)在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E,F分别是AB,CD的中点,AC与BD交于点M,设=a,=b,则下列结论不正确的是
(　　)
A.a+b
B.=-a+b
C.=-a+b
D.=-a+b
思考用平面向量基本定理解决问题的一般思路是什么?
解题心得平面向量基本定理的实质及应用思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.
对点训练1(1)直线l与平行四边形ABCD中的两边AB,AD分别交于点E,F,且交其对角线AC于点M,若=2=3=λ-μ(λ,μ∈R),则μ-λ=(　　)
A.-
B.1
C.
D.-3
(2)(2020湖南湘潭三模,文8)已知向量a,b是两个不共线的向量,且=3a+5b,=4a+7b,=a+mb,若A,B,C三点共线,则m=(　　)
A.1
B.-1
C.2
D.-2
(3)设e1,e2是平面内一组基底,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为另一组基底a,b的线性组合,即e1+e2=　　　　　.?
考点
平面向量的坐标运算
【例2】(1)(2020河南高三质检,8)在边长为2的正方形ABCD中,E为CD的中点,AE交BD于点F.若=x+3y,则x+y=(　　)
A.1
B.
C.-
D.-
(2)已知M(3,-2),N(-5,-1),且,则点P的坐标为(　　)
A.(-8,1)
B.-1,-
C.1,
D.(8,-1)
(3)(2020湖南常德一模,文4)平面向量a与b的夹角为120°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|=(　　)
A.4
B.3
C.2
D.
思考利用向量的坐标运算解决问题的一般思路是什么?
解题心得1.向量问题坐标化
向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标来进行,实现了向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,通过建立平面直角坐标系,使几何问题转化为数量运算.
2.巧借方程思想求坐标
向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,求解过程中要注意方程思想的运用.
3.妙用待定系数法求系数
利用坐标运算求向量的基底表示,一般先求出基底向量和被表示向量的坐标,再用待定系数法求出系数.
对点训练2(1)已知点A(1,-2),若向量与向量a=(2,3)同向,且||=,则点B的坐标为(　　)
A.(2,3)
B.(-2,3)
C.(3,1)
D.(3,-1)
(2)(2020安徽合肥一中模拟,10)如图,矩形LMNK,LM=6,sin
∠MLN=,☉E半径为1,且E为线段NK的中点,P为圆E上的动点,设=λ+μ,则λ+μ的最小值是(　　)
A.1
B.
C.
D.5
(3)(2020山东济宁5月模拟,13)已知向量a=(-4,6),b=(2,x),满足a∥b,其中x∈R,那么|b|=　　　　　.?
考点
平面向量共线的坐标表示
(多考向探究)
类型1　利用向量共线求向量或点的坐标
【例3】已知O为坐标原点,点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为　　　　.?
类型2　利用向量共线求参数
【例4】已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+nb与a-3b共线,则=　　　　.?
解题心得平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略
(1)利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2=x2y1”解题比较方便.
(2)利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量.
对点训练3(1)设向量=(1,-2),=(2m,-1),=(-2n,0),m,n∈R,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则m+n的最大值为(　　)
A.-3
B.-2
C.2
D.3
(2)(2020北京东城一模,11)已知向量a=(m,1),b=(1,-2),c=(2,3),若a-b与c共线,则实数m=　　　.?
1.只要两个向量不共线,就可以作为平面的一组基底,对基底的选取不唯一,平面内任意向量a都可以用这个平面的一组基底e1,e2线性表示,且在基底确定后,这样的表示是唯一的.
2.平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则,将向量进行分解.
3.向量的坐标表示的本质是向量的代数表示,其中坐标运算法则是运算的关键,通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理,从而用向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题.
4.在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用.
5.向量中必须掌握的三个结论
(1)若a与b不共线,λa+μb=0,则λ=μ=0;
(2)已知=λ+μ(λ,μ为常数),则A,B,C三点共线的充要条件是λ+μ=1;
(3)平面向量的基底中一定不含零向量.
1.要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系,向量的终点坐标减去起点坐标就是向量坐标,当向量的起点是原点时,其终点坐标就是向量坐标.
2.若a,b为非零向量,当a∥b时,a,b的夹角为0°或180°,求解时容易忽视其中一种情形而导致出错.
5.2　平面向量基本定理及
向量的坐标表示
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.不共线　λ1e1+λ2e2　基底　互相垂直
2.(x,y)　(x,y)
4.x1y2-x2y1=0
5.非零　a⊥b
考点自诊
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×
2.D　依题意,2m+n=(3,2λ+3),m-n=(3,λ-3).因为(2m+n)∥(m-n),所以λ-3=2λ+3,解得λ=-6.
3.A　由题意,得a-b=(-1,1),则|a-b|=,故选A.
4.(-1,2)(答案不唯一)　∵a∥b,∴b=λa(λ∈R),|a+b|<|a|?|a+λa|<|a|?|a(1+λ)|<|a|?|1+λ|<1.∴-2<λ<0,不妨取λ=-1,∴向量b的坐标为(-1,2).
5.-　设=x,∵,∴.
∵E,B,C三点共线,∴=1,x=.根据平面向量基本定理,得λ=,μ=.因此λ-μ==-=-.
关键能力·学案突破
例1
(1)C　(2)C　(1)如图,取AB的中点G,连接DG,CG,易知四边形DCBG为平行四边形,所以,所以=,于是-=-,故选C.
(2)对于A,a+b,故A正确;对于B,=-=-a+b,故B正确;对于C,=-=-a+b,故C错误;对于D,=-=-a+b,故D正确.故选C.
对点训练1(1)A　(2)A　(3)a-b
(1)=λ-μ=λ-μ()=(λ-μ)-μ=2(λ-μ)-3μ.因为E,M,F三点共线,所以2(λ-μ)+(-3μ)=1,即2λ-5μ=1,所以μ-λ=-.
(2)由A,B,C三点共线,得=x+(1-x)=(4-x)a+(7-2x)b,故解得m=1.
(3)由题意,设e1+e2=ma+nb.
因为a=e1+2e2,b=-e1+e2,
所以e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2.由平面向量基本定理,得所以
即e1+e2=a-b.
例2(1)B　(2)B　(3)C
(1)
(方法1)建立以A为原点,AB所在的直线为x轴,AD所在的直线为y轴的平面直角坐标系,则=(2,0),=(0,2),x+3y=(2x,6y).根据题意,得=(1,2),则=,所以2x=,6y=,则x=,y=,x+y=.故选B.
(方法2)根据题意,得,所以DF=FB,所以DF=DB,所以)=,又因为=x+3y,所以解得所以x+y=,故选B.
(2)设P(x,y),则=(x-3,y+2),而×(-8,1)=-4,,所以解得所以点P的坐标为-1,-.
(3)由题目条件,两向量如图所示:
可知b=-,则|a+2b|=2,故选C.
对点训练2(1)C　(2)B　(3)
(1)设=(x,y),则=ka(k>0),即
由||=得k=1,故=(1,-2)+(2,3)=(3,1).故选C.
(2)由已知建系如图,由LM=6,sin∠MLN=,解得MN=,
则M3,-,N(3,0),L-3,-,设P(cosθ,sinθ),
因为=λ+μ=cosθ-3,sinθ+,=(-6,0),=0,.
所以=cosθ-3,sinθ+=λ(-6,0)+μ0,,
即解得
所以λ+μ=sinθ-cosθ=sin(θ+φ),当sin(θ+φ)=-1时,
λ+μ的最小值是.故选B.
(3)因为a∥b,所以-4x-2×6=0,解得x=-3,因此|b|=.
例3(3,3)　(方法1)由O,P,B三点共线,可设=λ=(4λ,4λ),则=(4λ-4,4λ).又因为=(-2,6),由共线,得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,解得λ=,所以=(3,3),所以点P的坐标为(3,3).
(方法2)设点P(x,y),则=(x,y),因为=(4,4),且共线,所以,即x=y.
又因为=(x-4,y),=(-2,6),且共线,所以(x-4)×6-y×(-2)=0,解得x=y=3,所以点P的坐标为(3,3).
例4-　因为,所以a与b不共线.a-3b=(2,3)-3(-1,2)=(5,-3)≠0,那么当ma+nb与a-3b共线时,有,即得=-.
对点训练3(1)A　(2)3　(1)由题意易知,,其中=(2m-1,1),=(-2n-1,2),
所以(2m-1)×2=1×(-2n-1),得+2n=1.
+2n≥2,当且仅当m+1=n时,等号成立.所以,即m+n≤-3.故m+n的最大值为-3,故选A.
(2)由题意,得a-b=(m-1,3),因为a-b与c共线,所以3(m-1)=2×3,解得m=3.第五章　平面向量、数系的扩充与复数的引入
5.1　平面向量的概念及线性运算
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.平面向量的有关概念
名称
定　义
备　注
向量
既有　　　　　又有　　　　　的量叫作向量;向量的大小称为向量的　　　　　(或称　　　　　)?
记作
零向量
长度为　　　　　的向量叫作零向量;其方向是任意的?
记作0
单位
向量
长度等于　　　　　　　的向量,叫作单位向量?
非零向量a的单位向量为±
平行
向量
方向　　　　或　　　　的非零向量叫作平行向量?
零向量与任意向量　　　　或共线?
共线
向量
　　　　　　　的非零向量又叫作共线向量?
相等
向量
长度　　　　且方向　　　　的向量叫作相等向量?
两向量只有相等或不相等,不能比较大小
相反
向量
长度　　　　且方向　　　　的向量叫作相反向量?
零向量的相反向量仍是零向量
2.平面向量的线性运算
向量运算
定　　义
法则(或几何意义)
运　算　律
加法
求两个向量和的运算,叫作向量的加法
(1)交换律:a+b=　　　　　?
(2)结合律:
(a+b)+c=
　　　?
减法
向量a加上b的相反向量,叫作a与b的差.求两个向量差的运算叫作向量的减法
a-b=a+(-b)
续　表
向量运算
定　　义
法则(或几何意义)
运　算　律
数乘
求实数λ与向量a的积的运算叫作向量的数乘
(1)|λa|=　　　　;?
(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向　　　;当λ<0时,λa的方向与a的方向　　　　;当λ=0时,λa=0?
λ(μa)=　　　;?
(λ+μ)a=　　;?
λ(a+b)=?
(λ,μ为实数)
3.向量共线定理
(1)向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使得　　　　　　　.?
注:限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性.
(2)变形形式:已知直线l上三点A,B,P,O为直线l外任一点,有且只有一个实数λ,使得=(1-λ)+λ.
1.P为线段AB的中点?).
2.若G为△ABC的重心,则有
(1)=0;(2)).
3.首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量,一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量.
4.对于起点相同、终点共线的三个向量(O与P1,P2不共线),总有=u+v,u+v=1,即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量,且系数和为1.
5.对于任意两个向量a,b,都有:
(1)||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|;
(2)|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2).
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段表示向量.
(　　)
(2).
(　　)
(3)若两个向量共线,则其方向必定相同或相反.
(　　)
(4)若向量与向量是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上.
(　　)
(5)若a∥b,b∥c,则a∥c.
(　　)
2.(2020河南开封模拟)=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.
D.
3.(2020北京朝阳期中,4)如图,在△ABC中,D是BC的中点.若=a,=b,则=(　　)
A.3a-2b
B.a-2b
C.-a+2b
D.a+b
4.(2020山东菏泽调研)设a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与-(b-2a)共线,则λ=　　　　.?
5.(2020全国1,理14)设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|=　　　　　.?
关键能力学案突破　
考点
平面向量的有关概念
【例1】给出下列四个说法:
①若|a|=|b|,则a=b;
②若A,B,C,D是不共线的四点,则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件;
③若a=b,b=c,则a=c;
④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b.
其中正确说法的序号是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.②③
B.①②
C.③④
D.②④
解题心得平面向量有关概念的关键点
(1)平面向量定义的关键是方向和大小.
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制.
(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.
(4)单位向量的关键是长度都是1个单位.
(5)零向量的关键是长度是0,规定零向量与任意向量共线.
对点训练1给出下列命题:
①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量;
②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小;
③若λa=0(λ为实数),则λ必为零;
④已知λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.
其中错误命题的个数为(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
考点
平面向量的线性运算
【例2】(1)(2020湖南师大附中一模,理3)如图,在正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F满足=2,那么=(　　)
A.
B.
C.
D.
(2)在△ABC中,=2=0,若=x+y,则(　　)
A.y=3x
B.x=3y
C.y=-3x
D.x=-3y
思考在几何图形中,用已知向量表示未知向量的一般思路是什么?向量的线性运算与代数多项式的运算有怎样的联系?
解题心得1.进行向量运算时,要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线及相似三角形的对应边成比例等性质,把未知向量用已知向量表示出来.
2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形方法在向量的线性运算中同样适用.
对点训练2(1)(2020河南驻马店二模,文7)如图,在等腰直角三角形ABC中,D,E分别为斜边BC的三等分点(D靠近点B),过E作AD的垂线,垂足为F,则=(　　)
A.
B.
C.
D.
(2)如图所示,在正方形ABCD中,E为AB的中点,F为CE的中点,则=(　　)
A.
B.
C.
D.
考点
向量共线定理及其应用
【例3】设两个非零向设两个非零向量a与b不共线.
(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:A,B,D三点共线;
(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.
思考如何用向量的方法证明三点共线?
变式发散1若将本例(1)中“=2a+8b”改为“=a+mb”,则当m为何值时,A,B,D三点共线?
变式发散2若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”,则k为何值?
解题心得
1.
[提醒]证明三点共线时,需说明共线的两向量有公共点.
2.对于=λ+μ(λ,μ为实数),若A,B,C三点共线,则λ+μ=1.
3.a∥b?a与b共线?b=λa(a≠0).注意待定系数法和方程思想的运用.
对点训练3(1)设两个非零向量a与b不共线,若a与b的起点相同,且a,tb,(a+b)的终点在同一条直线上,则实数t的值为　　　　　.?
(2)(2020山东泰安一模,6)如图,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m=n,则m+n=(　　)
A.1
B.
C.2
D.3
1.平面向量的重要结论:
(1)若存在非零实数λ,使得=λ=λ=λ,则A,B,C三点共线.
(2)相等向量具有传递性,非零向量的平行具有传递性.
(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.
2.a与b共线?b=λa(a≠0,λ为实数).
3.向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则,做题时,要注意三角形法则与平行四边形法则的要素.向量加法的三角形法则要素是“首尾相接,指向终点”;向量减法的三角形法则要素是“起点重合,指向被减向量的终点”;平行四边形法则要素是“起点重合”.
1.若两个向量起点相同,终点相同,则这两个向量相等;但两个相等向量不一定有相同的起点和终点.
2.零向量和单位向量是两个特殊的向量.它们的模确定,但方向不确定.
3.注意区分向量共线与向量所在的直线平行之间的关系.向量是共线向量,但A,B,C,D四点不一定在同一条直线上.
4.在向量共线的充要条件中要注意“a≠0”,否则λ可能不存在,也可能有无数个.
第五章　平面向量、复数
5.1　平面向量的概念及线性运算
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.大小　方向　长度　模　0　1个单位
相同　相反　方向相同或相反　平行　相等　相同　相等　相反
2.b+a　a+(b+c)　|λ||a|　相同　相反
(λμ)a　λa+μa　λa+λb
3.(1)b=λa
考点自诊
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×
2.D　,故选D.
3.C　如图,=b-a,+2=a+2(b-a)=-a+2b.故选C.
4.-　依题意知向量a+λb与2a-b共线,设a+λb=k(2a-b),则有(1-2k)a+(k+λ)b=0,所以解得k=,λ=-.
5.　∵|a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=1+1+2a·b=1,∴a·b=-,
∴|a-b|2=(a-b)2=|a|2+|b|2-2a·b=3,∴|a-b|=.
关键能力·学案突破
例1A　①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.
②正确.∵,∴||=||,方向相同,又A,B,C,D是不共线的四点,∴四边形ABCD为平行四边形;
反之,若四边形ABCD为平行四边形,则||=||,方向相同,因此.
③正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同,又b=c,∴b,c的长度相等且方向相同,∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c.
④不正确.当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件.
综上所述,正确说法的序号是②③.
对点训练1C　①错误.当方向不同时,不是共线向量.
②正确.因为向量有方向,故它们不能比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小.
③错误.当a=0时,不论λ为何值,λa=0.
④错误.当λ=μ=0时,λa=μb,此时,a与b可以是任意向量.
例2(1)C　(2)D　(1)在△CEF中,.因为点E是DC的中点,所以.
因为=2,所以.
所以.故选C.
(2)由=2,得点D是BC的中点,由=0,得点E是AD的中点,
所以=-=-)=-,因此x=-,y=,所以x=-3y,故选D.
对点训练2(1)D　(2)D　(1)设BC=6,则AB=AC=3,BD=DE=EC=2,
AD=AE=,cos∠DAE=,
所以=cos∠DAE=,所以.因为)=,
所以×=.故选D.
(2)根据题意得),又因为,
所以=.故选D.
例3(1)证明∵=a+b,=2a+8b,=3(a-b),
∴=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5,∴共线,又它们有公共点B,∴A,B,D三点共线.
(2)解∵ka+b与a+kb共线,∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),即(k-λ)a=(λk-1)b.又a,b是两个不共线的非零向量,∴∴k2-1=0.∴k=±1.
变式发散1解=(a+mb)+3(a-b)=4a+(m-3)b,
若A,B,D三点共线,则存在实数λ,使=λ,即4a+(m-3)b=λ(a+b),
∴解得m=7.
故当m=7时,A,B,D三点共线.
变式发散2解因为ka+b与a+kb反向共线,所以存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb)(λ<0),所以所以k=±1.又因为λ<0,k=λ,所以k=-1.
故当k=-1时,两向量反向共线.
对点训练3(1)　(2)C　(1)∵a,tb,(a+b)三个向量的终点在同一条直线上,且a与b的起点相同,∴a-tb与a-(a+b)共线,即a-tb与a-b共线,∴存在实数λ,使a-tb=λa-bb,∴解得λ=,t=.
(2)
连接AO,
∵O为BC中点,∴)=,∵M,O,N三点共线,∴=1,
∴m+n=2.故选C.

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