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4.6　正弦、余弦定理与解三角形
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.正弦定理和余弦定理
在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则
正弦定理
余弦定理
内容
=2R(R为△ABC外接圆的半径)
a2=b2+c2-2bccos
A;
b2=a2+c2-2cacos
B;
c2=a2+b2-2abcos
C
续　表
正弦定理
余弦定理
常见
变形
(1)a=2Rsin
A,b=
2Rsin
B,c=2Rsin
C;
(2)sin
A=,sin
B=,sin
C=;
(3)a∶b∶c=sin
A∶
sin
B∶sin
C
cos
A=;
cos
B=;
cos
C=
续　表
正弦定理
余弦定理
解决的
问题
(1)已知两角和任一边,求其他两边和一角;
(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角
(1)已知三边,求三个角;
(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两角
2.△ABC的面积公式
(1)S△ABC=a·h(h表示a边上的高).
(2)S△ABC=absin
C=acsin
B=bcsin
A=.
(3)S△ABC=r(a+b+c)(r为内切圆半径).
3.实际问题中的常用角
(1)仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方的角叫作仰角,目标视线在水平视线下方的角叫作俯角(如图1).
(2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东30°、北偏西45°、西偏北60°等.
(3)方位角:指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如点B的方位角为α(如图2).
(4)坡角:坡面与水平面所成的二面角的平面角.
1.在△ABC中,常有以下结论
(1)∠A+∠B+∠C=π.
(2)在三角形中大边对大角,大角对大边.
(3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
(4)sin(A+B)=sin
C;cos(A+B)=-cos
C;tan(A+B)=-tan
C;sin=cos;cos=sin.
(5)tan
A+tan
B+tan
C=tan
A·tan
B·tan
C.
(6)∠A>∠B?a>b?sin
A>sin
B?cos
AB.
　　2.用余弦定理判断三角形角的大小
设a,b,c是△ABC的角A,B,C的对边,则:
(1)若a2+b2=c2,则C=90°;
(2)若a2+b2>c2,则C<90°;
(3)若a2+b290°.
3.三角形中的射影定理
在△ABC中,a=bcos
C+ccos
B;b=acos
C+ccos
A;c=bcos
A+acos
B.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)在△ABC中,已知a,b和角B,能用正弦定理求角A;已知a,b和角C,能用余弦定理求边c.
(　　)
(2)在三角形中,已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形.
(　　)
(3)在△ABC中,sin
A>sin
B的充分不必要条件是A>B.
(　　)
(4)在△ABC中,a2+b2(　　)
(5)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.
(　　)
2.(2020北京房山二模,2)在△ABC中,若A=,B=,a=2,则b=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2
B.3
C.2
D.3
3.(2020全国3,理7)在△ABC中,cos
C=,AC=4,BC=3,则cos
B=(　　)
A.
B.
C.
D.
4.(2019全国2,理15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=,则△ABC的面积为　　　　.?
5.(2020北京东城一模,14)△ABC是等边三角形,点D在边AC的延长线上,且AD=3CD,BD=2,则CD=　　　,sin∠ABD=　　　　.?
关键能力学案突破　
考点
利用正弦、余弦定理解三角形
【例1】(1)(2019全国1,文11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin
A-bsin
B=4csin
C,cos
A=-,则=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.6
B.5
C.4
D.3
(2)(2020河北石家庄二模,文5)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a+b)(sin
A-sin
B)=c(sin
C+sin
B),b=1,c=2,则△ABC的面积为(　　)
A.
B.
C.1
D.
解题心得1.已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理解三角形.正弦定理的形式多样,其中a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC能够实现边角互化.
2.已知两边和它们的夹角、已知两边和一边的对角或已知三边都能直接运用余弦定理解三角形,在运用余弦定理时,要注意整体思想的运用.
3.已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的“有界性”和“大边对大角”进行判断.
对点训练1(1)(2020福建福州三模,理15)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2sin2A+cos
B=1,则的取值范围为　　　　　　.?
(2)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin
C+csin
B=4asin
Bsin
C,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为　　　　.?
考点
判断三角形的形状
【例2】(1)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos
C+ccos
B=asin
A,则△ABC的形状为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
(2)(2020山东济宁5月模拟,17)在①sin
A,sin
B,sin
C成等差数列;②sin
B,sin
A,sin
C成等比数列;③2bcos
C=2a-c三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并加以解答.
已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,面积为S.若　　　　　,且4S=(b2+c2-a2),试判断△ABC的形状.?
变式发散1若本例(1)条件改为“asin
A+bsin
BC”,那么△ABC的形状为　　　　　　　　.?
变式发散2若本例(1)条件改为“c-acos
B=(2a-b)cos
A”,那么△ABC的形状为　　　　　　　　　.?
变式发散3若本例(1)条件改为“”,那么△ABC的形状为　　　　　　　　.?
解题心得判断三角形的形状时主要的两种方法
(1)利用正弦定理、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.
(2)利用正弦定理、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数之间的关系,通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论.
考点
正弦、余弦定理与三角变换的综合问题
【例3】(2020河北保定二模,文16,理16)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2+b2-c2=absin
C,acos
B+bsin
A=c,a=,则b=　　　　　.?
解题心得在三角形中进行三角变换要注意隐含条件:A+B+C=π的使用;运用正弦定理、余弦定理能够进行边角互化以及化异角为同角,从而实现消元的目的,为三角变换提供了条件.
对点训练2(1)(2020安徽马鞍山二模,9)已知△ABC三内角A,B,C满足cos
2A+cos
2B=1+cos
2C,且2sin
Asin
B=sin
C,则下列结论正确的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　
A.A=B,C≠
B.A≠B,C=
C.A≠B,C≠
D.A=B,C=
(2)(2020江苏镇江三模,14)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(b-sin
C)cos
A=sin
Acos
C,且a=2,则的最大值为　　　　　.?
考点
正弦、余弦定理在实际问题中的应用
【例4】如图,
一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶,到A处时测得公路北侧一山脚C在西偏北30°的方向上,行驶600
m后到达B处,测得此山脚C在西偏北75°的方向上,山顶D的仰角为30°,则此山的高度CD=　　　　　
m.?
解题心得利用正弦、余弦定理解决实际问题的一般思路
1.实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解;
2.实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先求解条件充足的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.
对点训练3(2020河南实验中学4月模拟,14)如图,为测量出高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点,从点A测得点M的仰角∠MAN=60°,点C的仰角∠CAB=45°,∠MAC=75°.从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100
m,则山高MN=　　　　　m.?
1.正弦定理和余弦定理其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系.
2.在已知关系式中,既含有边又含有角,通常的解题思路:先将角都化成边或将边都化成角,再结合正弦定理、余弦定理即可求解.
3.在△ABC中,已知a,b和A,利用正弦定理时,会出现解的不确定性,一般可根据“大边对大角”来取舍.
1.在解三角形中,三角形内角和定理起着重要作用,在解题中要注意根据这个定理确定角的范围,确定三角函数值的符号,防止出现增解等扩大范围的现象.
2.在判断三角形的形状时,等式两边一般不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、测量高度问题的模型
【例1】(2020山东牟平一中模拟)如图,在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°,在塔底D的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°,A,B的距离是84
m,则塔高CD=　　　　　m.?
答案12
解析设塔高CD=xm,则AD=xm,DB=xm.又由题意得∠ADB=90°+60°=150°,
在△ABD中,利用余弦定理,得842=x2+(x)2-2x2cos150°,
解得x=12(负值舍去),故塔高为12m.
解题心得求解高度问题的三个关注点
(1)在处理有关高度问题时,理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键.
(2)在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错.
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题.
对点训练1(2020吉林四平一中模拟)一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°,沿点A向北偏东30°前进100
m到达点B,在B点测得水柱顶端的仰角为30°,则水柱的高度是(　　)
A.50
m
B.100
m
C.120
m
D.150
m
【例2】(2019江苏,18)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为AC和BD(C,D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).
(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;
(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;
(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P,Q两点间的距离.
解(方法1)
(1)过A作AE⊥BD,垂足为E.
由已知条件得,四边形ACDE为矩形,DE=BE=AC=6,AE=CD=8.
因为PB⊥AB,
所以cos∠PBD=sin∠ABE=.
所以PB==15.
因此道路PB的长为15(百米).
(2)①若P在D处,由(1)可得E在圆上,则线段BE上的点(除B,E)到点O的距离均小于圆O的半径,所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处,连接AD,由(1)知AD==10,从而cos∠BAD=>0,
所以∠BAD为锐角.
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此Q选在D处也不满足规划要求.
综上,P和Q均不能选在D处.
(3)先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;
当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.
设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,
此时P1D=P1Bsin∠P1BD=P1Bcos∠EBA=15×=9;
当∠OBP>90°时,在△PP1B中,PB>P1B=15.
由上可知,d≥15.
再讨论点Q的位置.
由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,CQ==3.
此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上,当PB⊥AB,点Q位于点C右侧,且CQ=3时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+3.
因此,d最小时,P,Q两点间的距离为17+3(百米).
(方法2)
(1)如图,过O作OH⊥l,垂足为H.
以O为坐标原点,直线OH为y轴,建立平面直角坐标系.
因为BD=12,AC=6,
所以OH=9,直线l的方程为y=9,点A,B的纵坐标分别为3,-3.
因为AB为圆O的直径,AB=10,
所以圆O的方程为x2+y2=25.
从而A(4,3),B(-4,-3),直线AB的斜率为.
因为PB⊥AB,所以直线PB的斜率为-,
直线PB的方程为y=-x-.
所以P(-13,9),PB==15.
因此道路PB的长为15(百米).
(2)①若P在D处,取线段BD上一点E(-4,0),则EO=4<5,所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处,连接AD,由(1)知D(-4,9),
又A(4,3),
所以线段AD:y=-x+6(-4≤x≤4).
在线段AD上取点M,
因为OM==5,
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此Q选在D处也不满足规划要求.
综上,P和Q均不能选在D处.
(3)先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;
当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.
设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,此时P1(-13,9);
当∠OBP>90°时,在△PP1B中,PB>P1B=15.
由上可知,d≥15.
再讨论点Q的位置.
由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,设Q(a,9),由AQ==15(a>4),
得a=4+3,所以Q(4+3,9).
此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上,当P(-13,9),Q(4+3,9)时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=4+3-(-13)=17+3.
因此,d最小时,P,Q两点间的距离为17+3(百米).
解题心得1.测量距离问题,无论题型如何变化,即两点的情况如何,实质都是要求这两点间的距离,无非就是两点所在三角形及其构成元素所知情况不同而已,恰当地画出(找出)适合解决问题的三角形是解题的基础,将已知线段长度和角度转化为要解的三角形的边长和角是解题的关键.
2.处理距离问题的策略
(1)选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接求解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.
(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.
对点训练2(2020广东湛江一中模拟)一船以每小时15
km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°的方向上,行驶4
h后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15°的方向上,这时船与灯塔的距离为　　　　
km.?
二、测量角度问题的模型
【例3】如图,甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处,两船相距a海里,乙船正向北行驶,若甲船速度是乙船速度的倍,问甲船应沿什么方向前进才能在最短时间内追上乙船,此时乙船行驶了多少海里?
解设甲船沿北偏东θ角去追赶乙船,在C点处追上,若乙船行驶的速度是v海里/时,则甲船行驶的速度是v海里/时.
由于甲、乙两船到C的时间相等,都设为t小时,
则BC=vt海里,AC=vt海里,∠ABC=120°.
由余弦定理可知AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos120°,
即3v2t2=a2+v2t2+vat,
∴2v2t2-vat-a2=0.
∴t1=,t2=-(舍去).∴BC=a海里.
∴∠CAB=30°.
∴甲船应沿北偏东30°的方向去追乙船,乙船行驶了a海里.
解题心得1.解决角度问题的注意事项
(1)测量角度时,首先应明确方位角及方向角的含义.
(2)求角的大小时,先在三角形中求出其正弦或余弦值.
(3)在解应用题时,要根据题意正确画出示意图,通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题,解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点.
2.测量角度问题的基本思路
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解.
对点训练3(2020山东淄博八中模拟)如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援,则cos
θ的值为　　　　　.?
4.6　正弦、余弦定理与解三角形
必备知识·预案自诊
考点自诊
1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×
2.B　根据正弦定理,故,解得b=3.故选B.
3.A　∵AB2=AC2+BC2-2·AC·BC·cosC=16+9-24×=9,∴AB=3,∴cosB=.
4.6　∵b2=a2+c2-2accosB,
∴(2c)2+c2-2×2c×c×=62,
即3c2=36,解得c=2或c=-2(舍去).
∴a=2c=4.∴S△ABC=acsinB=×4×2=6.
5.
2　　如图所示,等边△ABC中,因为AD=3CD,所以AC=2CD,又BD=2,所以BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD,即(2)2=(2CD)2+CD2-4CD·CDcos120°,解得CD=2,所以AD=6.
由,即,解得sin∠ABD=.
关键能力·学案突破
例1(1)A　(2)B　(1)由已知及正弦定理,得a2-b2=4c2,由余弦定理的推论,得-=cosA=,∴=-,
∴-=-,
∴×4=6,故选A.
(2)由(a+b)(sinA-sinB)=c(sinC+sinB),应用正弦定理得(a+b)(a-b)=c(c+b),即a2=b2+c2+bc,故cosA==-,故A=,
又因为b=1,c=2,所以△ABC的面积S=bcsinA=.故选B.
对点训练1(1)(2,3)　(2)　(1)在△ABC中,因为2sin2A+cosB=1,
所以cosB=cos2A,所以B=2A.
由正弦定理,
=
=
=
==2cosA+1,
由得0故(2)由正弦定理及条件,得bc+cb=4absinC,所以=2a.
设△ABC的外接圆半径为R,
则=2R,所以a=R.
因为b2+c2-a2=8>0,
所以cosA>0,0因为=2R,
所以sinA=,A=30°,
所以cosA=,
所以bc=,
所以S△ABC=bcsinA=.
例2(1)B　(方法1)由bcosC+ccosB=asinA,应用正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,即sin(B+C)=sinAsinA,
所以sinA=1,即A=,
因此△ABC是直角三角形.
(方法2)因为bcosC+ccosB=b·+c·=a,
所以asinA=a,即sinA=1,故A=,因此△ABC是直角三角形.
(2)解方案一:选条件①.
由4S=(b2+c2-a2),可得2bcsinA=2bccosA,所以tanA=.
又因为0由余弦定理可得a2=b2+c2-bc,
因为sinA,sinB,sinC成等差数列,
所以2sinB=sinA+sinC,即2b=a+c,
即(2b-c)2=b2+c2-bc,可得b=c.
所以△ABC为等边三角形.
方案二:选条件②.
由4S=(b2+c2-a2),可得2bcsinA=2bccosA,所以tanA=.
又因为0由余弦定理可得a2=b2+c2-bc,
因为sinB,sinA,sinC成等比数列,
所以sin2A=sinBsinC,即a2=bc,
所以(b-c)2=0,所以b=c.
所以△ABC为等边三角形.
方案三:选条件③.
由4S=(b2+c2-a2),可得2bcsinA=2bccosA,所以tanA=.
又因为0因为2bcosC=2a-c,
所以2sinBcosC=2sinA-sinC,
即2sinBcosC=2sin(B+C)-sinC,
可得cosB=,所以B=,所以C=.所以△ABC为直角三角形.
变式发散1钝角三角形　根据正弦定理可得a2+b2所以△ABC是钝角三角形.
变式发散2等腰三角形或直角三角形　因为c-acosB=(2a-b)cosA,C=π-(A+B),所以由正弦定理得sinC-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA,所以sinAcosB+cosAsinB-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA,
所以cosA(sinB-sinA)=0,
所以cosA=0或sinB=sinA,所以A=或B=A或B=π-A(舍去),所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.
变式发散3直角三角形　因为,由正弦定理得,
所以sin2A=sin2B.
由,可知a≠b,所以A≠B.
又因为A,B∈(0,π),所以2A=π-2B,即A+B=,所以C=,于是△ABC是直角三角形.
例33　∵a2+b2-c2=absinC,
即2abcosC=absinC,
∴tanC=2>0,C为锐角.
将sinC=2cosC代入sin2C+cos2C=1,
解得sinC=,cosC=.
∵acosB+bsinA=c,∴sinAcosB+sinAsinB=sinC=sin(A+B)
=sinAcosB+cosAsinB,
∴sinAsinB=cosAsinB.
∵00,则tanA=1,
∵0∴sinB=sin(A+C)=sin+C=(sinC+cosC)=.
由正弦定理得
b==3.
对点训练2(1)D　(2)3-　(1)∵cos2A+cos2B=1+cos2C,
∴1-2sin2A+1-2sin2B=1+1-2sin2C,整理得sin2A+sin2B=sin2C,
由正弦定理得a2+b2=c2,∴C=.
∵2sinAsinB=sinC,
得2sinAsinB=2sinBcosB=2sinAcosA=1,即sin2B=sin2A=1,由于A,B为锐角,可得A=B=.故选D.
(2)由(b-sinC)cosA=sinAcosC,得bcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB,
由,得,
∴2cosA=sinA,即tanA=2.
则tan(B+C)=-tanA=-2.
即=-2,
∴tanB+tanC=2tanBtanC-2,
又△ABC为锐角三角形,
∴tanB>0,tanC>0,
∴tanB+tanC≥2,
当且仅当tanB=tanC时,等号成立,
∴2tanBtanC-2≥2,
解得tanBtanC≥,
∴=3-,故的最大值为3-.
例4100　在△ABC中,∵∠BAC=30°,∠ABC=180°-75°=105°,
∴∠BCA=45°.∵AB=600,∴由正弦定理得,解得BC=300.在Rt△BCD中,∠CBD=30°,∠DCB=90°,∴CD=BCtan30°=300=100(m).
对点训练3150　在△ABC中,∵∠BAC=45°,∠ABC=90°,BC=100m,
∴AC==100(m).
在△AMC中,∵∠MAC=75°,∠MCA=60°,∴∠AMC=45°,,即,解得AM=100(m).
在Rt△AMN中,MN=AM·sin∠MAN=100×sin60°=150(m).
素养提升微专题4——
正弦、余弦定理在实际应用中的几个重要数学建模
对点训练1A　作出示意图如图所示,设水柱高度是hm,水柱底端为C,则在△ABC中,∠BAC=60°,AC=h,AB=100,在Rt△BCD中,BC=h,根据余弦定理得,(h)2=h2+1002-2×100hcos60°,即h2+50h-5000=0,即(h-50)(h+100)=0,即h=50,故水柱的高度是50m.
对点训练230　如图,由题意知,∠BAC=30°,∠ACB=105°,
∴B=45°,AC=15×4=60,由正弦定理得,∴BC=30.
对点训练3　在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,
由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=2800,得BC=20.
由正弦定理,得,
即sin∠ACB=·sin∠BAC=.由∠BAC=120°,知∠ACB为锐角,
则cos∠ACB=.由θ=∠ACB+30°,得cosθ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=.第2课时　简单的三角恒等变换
必备知识预案自诊　
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)y=3sin
x+4cos
x的最大值是7.
(　　)
(2)在斜三角形ABC中,tan
A+tan
B+tan
C=tan
Atan
Btan
C.
(　　)
(3)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的.
(　　)
(4)存在实数α,使tan
2α=2tan
α.
(　　)
2.化简:=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2cos
B.cos
C.2sin
D.sin
3.已知sin-α=,那么cos
2α+sin
2α=
(　　)
A.
B.-
C.-
D.
4.若tan
α=-3,则的值为(　　)
A.
B.
C.
D.-2
5.设α1,α2∈R,且=2
019,则tan(α1+α2)=　　　　　.?
关键能力学案突破　
考点
三角函数式的化简
【例1】(1)等于(　　)
　　　　　　　　　　　　　　
A.-sin
α
B.-cos
α
C.sin
α
D.cos
α
(2)化简:-2cos(α+β).
解题心得1.三角函数式化简、求值的一般思路:异名三角函数化为同名三角函数,异角化为同角,异次化为同次,切化弦,特殊值与特殊角的三角函数互化等.
2.三角化简的标准:三角函数名称尽量少,次数尽量低,最好不含分母,能求值的尽量求值.
3.化简、求值的主要技巧:
(1)寻求角与角之间的关系,化非特殊角为特殊角;
(2)正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值.
对点训练1(1)化简:=　　　　.?
(2)化简:.
考点
三角函数式的求值
(多考向探究)
考向1　给角求值
【例2】的值是　　　　.?
解题心得三角函数给角求值问题的解题策略
一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角与特殊角间的关系,利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题,另外此类问题也常通过代数变形(比如:正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值.
对点训练2求值:=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1
B.2
C.
D.
考向2　给值求值
【例3】已知sinα+=,α∈,π.
求:(1)cos
α的值;
(2)sin2α-的值.
解题心得三角函数给值求值问题的基本步骤
(1)先化简所求式子或已知条件;
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数的名及角入手);
(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.
对点训练3(1)(2020河北保定二模,文6,理6)已知sin+α=cos-α,则cos
2α=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　
A.0
B.1
C.
D.
(2)设α为锐角,若cosα+=,则sin2α+的值为　　　　　.?
考向3　给值求角
【例4】(1)(2020湖南师大附中一模,理7)已知α为锐角,且cos
α(1+tan
10°)=1,则α的值为(　　)
A.20°
B.40°
C.50°
D.70°
(2)若sin
2α=,sin(β-α)=,且α∈,π,β∈π,,则α+β的值是(　　)
A.
B.
C.
D.
解题心得解决“给值求角”问题的一般思路
从给的条件中先求出角的某种三角函数的值;然后根据已知条件确定角的范围;最后根据角的范围写出所求的角.在求角的某种三角函数值时,选函数的原则:(1)已知正切函数值,选正切函数;(2)已知正弦、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是0,,选正弦、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为-,选正弦较好.
对点训练4(1)已知锐角α,β满足sin
α=,cos
β=,则α+β等于(　　)
　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.
D.2kπ+(k∈Z)
(2)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tan
β=-,则2α-β的值为　　　　　.?
考点
三角恒等变换的综合应用
【例5】(2020江西名校大联考,理17)已知函数f(x)=2asin-xcos,且f=1.
(1)求a的值及f(x)的最小正周期;
(2)若f(α)=-,α∈,求sin
2α.
解题心得解决三角函数图像与性质综合问题的方法
先将y=f(x)化为y=asinx+bcosx的形式,然后用辅助角公式化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再借助y=Asin(ωx+φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题.
对点训练5(2019浙江,18)设函数f(x)=sin
x,x∈R.
(1)已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数,求θ的值;
(2)求函数y=fx+2+fx+2的值域.
1.三角恒等变换主要有以下四变:
(1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其方法通常是“配凑”.
(2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其方法通常有切化弦、正弦与余弦互化等.
(3)变幂:通过“升幂与降幂”,把三角函数式的各项变成同次,目的是有利于应用公式.
(4)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其方法通常有:常值代换、逆用或变用公式、通分与约分、分解与组合、配方与平方等.
2.三角函数恒等变换“四大策略”:
(1)常值代换:特别是“1”的代换,1=sin2θ+cos2θ=tan45°等.
(2)角的配凑:如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β),α=[(α+β)+(α-β)].
(3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次.
(4)弦、切互化:一般是切化弦.
三角变换的应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合,通过变换先把函数化为最简形式y=Asin(ωx+φ),再研究其性质,解题时注意观察角、三角函数名、式子结构等特征,注意利用整体思想解决相关问题.
第2课时　简单的三角恒等变换
必备知识·预案自诊
考点自诊
1.(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2.A　原式==2cos.
3.A　∵cos2α+sin2α=2sin2α+=2sin+2α=2sin-2-α=2cos
=2-4sin2-α=.
4.D　tanα=-3,即=-2.故选D.
5.1　∵α1,α2∈R,且=2019,∴sinα1+2=1,2+sin2α2=1,
求得sinα1=-1,sin2α2=-1,
∴α1=2kπ-,且2α2=2nπ-,k,n∈Z,∴α2=nπ-,n∈Z,
∴α1+α2=(2k+n)π-,n,k∈Z,
∴tan(α1+α2)=tan=1.
关键能力·学案突破
例1(1)D　=cosα.
(2)解原式=
=
=
=
=.
对点训练1(1)2cos
α　原式==2cosα.
(2)解原式==1.
例22　原式=
==2.
对点训练2C　原式=
=
=
=
=
=.
例3解(1)由sinα+=,得
sinαcos+cosαsin,
化简得sinα+cosα=,
①
又sin2α+cos2α=1,
②
且α∈,π,解得cosα=-.
(2)∵α∈,π,cosα=-,
∴sinα=,
∴cos2α=1-2sin2α=-,sin2α=2sinαcosα=-,
∴sin2α-=sin2αcos-cos2αsin=-.
对点训练3(1)A　(2)　(1)由sin+α=cos-α,得cosα+sinα=cosα+sinα,所以sinα=cosα,cos2α=cos2α-sin2α=0.
(2)∵α为锐角,且cosα+=>0,∴α+∈,
∴sinα+=.
∴sin2α+=sin2α+-=sin2α+cos-cos2α+sinsinα+cosα+-2cos2α+-1=2×2-1=.
例4(1)B　(2)A　(1)由cosα(1+tan10°)=1可得cosα·=1,
即cosα·=1,
∴cosα==cos40°.
∵α为锐角,∴α=40°.故选B.
(2)∵α∈,π,∴2α∈,2π.
∵sin2α=,∴2α∈,π,
∴α∈,且cos2α=-.
又sin(β-α)=,β∈π,,
∴β-α∈,cos(β-α)=-,
∴cos(α+β)=cos[(β-α)+2α]
=cos(β-α)cos2α-sin(β-α)sin2α
=-×--,
又α+β∈,2π,∴α+β=.
对点训练4(1)C　(2)-　(1)由sinα=,cosβ=,且α,β为锐角,可知cosα=,sinβ=,
故cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=,
又0<α+β<π,故α+β=.
(2)因为tanα=tan[(α-β)+β]
=
=>0,
所以0<α<.
又因为tan2α=>0,所以0<2α<.
所以tan(2α-β)==1.
因为tanβ=-<0,
所以<β<π,-π<2α-β<0,
所以2α-β=-.
例5解(1)由已知f=1,得2a×=1,解得a=2.
所以f(x)=4cosxsinx-cosx
=2sinxcosx-2cos2x
=sin2x-cos2x-1
=2sin-1.
所以f(x)=2sin-1的最小正周期为π.
(2)f(α)=-,2sin-1=-,sin,因为α∈,所以2α-.
又因为sin,
所以2α-.
所以cos=
,
则sin2α=sin=sincos+cossin
=.
对点训练5解(1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以,对任意实数x都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),即sinxcosθ+cosxsinθ=-sinxcosθ+cosxsinθ,故2sinxcosθ=0,所以cosθ=0.又θ∈[0,2π),因此θ=.
(2)y=fx+2+fx+2=sin2x++sin2x+=
=1-cos2x-sin2x
=1-cos2x+.
因此,函数的值域是1-,1+.www.
4.5　三角恒等变换
第1课时　两角和与差的正弦、余弦与正切公式
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
两角差的余弦公式:cos(α-β)=　　　　　　　　　;?
两角和的余弦公式:cos(α+β)=　　　　　　　　　;?
两角差的正弦公式:sin(α-β)=　　　　　　　　　;?
两角和的正弦公式:sin(α+β)=　　　　　　　　　;?
两角和的正切公式:tan(α+β)=　　　　　　　　　;?
两角差的正切公式:tan(α-β)=　　　　　　　　　.?
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin
2α=　　　　　　　　;?
(2)cos
2α=　　　　　=　　　　　=　　　　　;?
(3)tan
2α=.
3.半角公式
sin=±,
cos=±,
tan=±.
1.公式的常用变式:tan
α±tan
β=tan(α±β)(1?tan
αtan
β).
2.降幂公式:(1)sin2α=;(2)cos2α=;(3)sin
αcos
α=sin
2α.
3.升幂公式:(1)1+cos
α=2cos2;(2)1-cos
α=2sin2;(3)1±sin
α=sin±cos2.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式中的角α,β是任意的.(　　)
(2)公式asin
x+bcos
x=sin(x+φ)中φ的取值与a,b的值无关.(　　)
(3)cos
θ=2cos2-1=1-2sin2.(　　)
(4)当α是第一象限角时,sin.(　　)
(5)=tan.(　　)
2.(2020全国3,理9)已知2tan
θ-tanθ+=7,则tan
θ=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-2
B.-1
C.1
D.2
3.(2020广东揭阳一模,4)若sin-2α=,则sin4α-cos4α的值为(　　)
A.
B.
C.-
D.-
4.(2020湖南常德一模,文13)已知sin
20°+mcos
20°=2cos
130°,则m=　　　　　.?
5.(2020全国2,文13)若sin
x=-,则cos
2x=　　　　　.?
关键能力学案突破　
考点
公式的直接应用
【例1】(1)(2020湖南郴州二模,文4)已知角α的终边在直线y=x上,则tan-α=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.-
C.7
D.-7
(2)(2020浙江,13)已知tan
θ=2,则cos
2θ=　　　;tan=　　　　.?
解题心得三角函数和、差、倍、半公式对使公式有意义的任意角都成立.在解题时要注意观察已知条件中的角和所求函数值的角之间的和、差、倍、互补、互余等关系,以便于用已知角表示未知角.
对点训练1(1)(2020山西太原五中6月模拟,理8)已知α∈π,,2sin
2α=1-cos
2α,则tan=(　　)
A.
B.-
C.-
D.
(2)已知sin
α=,α∈,π,则=　　　　　.?
考点
公式的逆用及变用
【例2】(1)(2020全国3,文5)已知sin
θ+sinθ+=1,则sinθ+=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.
D.
(2)(2020陕西宝鸡三模,文11)数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用,黄金分割比t=≈0.618还可以表示成2sin218°,则=(　　)
A.4
B.-1
C.2
D.
(3)计算:tan
25°+tan
35°+tan
25°tan
35°=　　　.?
解题心得运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练公式的直接应用,而且要熟悉公式的逆用及变形,如tanα+tanβ=tan(α+β)·(1-tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路,培养从正向思维向逆向思维转化的能力.
对点训练2(1)设a=cos
50°cos
127°+cos
40°cos
37°,b=(sin
56°-cos
56°),c=,则a,b,c的大小关系是(　　)
A.a>b>c
B.b>a>c
C.c>a>b
D.a>c>b
(2)已知cosα-+sin
α=,则sinα+=　　　　.?
考点
角的变换与名的变换(多考向探究)
考向1　三角公式中角的变换
【例3】(1)(2020河北石家庄二模,文7)在平面直角坐标系中,角α+的终边经过点P(1,2),则sin
α=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.
D.
(2)(2020山东聊城二模,13)已知cosα+=,α∈0,,则sin2α-=　　　.?
解题心得1.三角公式求值中变角的解题思路
(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;
(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
2.常见的配角技巧
2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=,α==α+-+β.
对点训练3(1)(2020四川成都模拟,理7)在平面直角坐标系xOy中,若角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆O交于点P(x0,y0),且α∈-,0,cosα+=,则x0的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
(2)(2020山东济宁5月模拟,14)已知tan(α+β)=,tan
β=,则tanα+的值为　　　　.?
考向2　三角公式中名的变换
【例4】已知α,β为锐角,tan
α=,cos(α+β)=-.
(1)求cos
2α的值;
(2)求tan(α-β)的值.
解题心得三角函数名的变换技巧:明确各个三角函数名称之间的联系,常常用到同角关系、诱导公式,把正弦、余弦化为正切,或者把正切化为正弦、余弦.
对点训练4(1)已知tan
θ+=4,则cos2θ+=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.
D.
(2)(2019江苏,13)已知=-,则sin2α+的值是　　　　　.?
1.解决三角函数问题要重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”.变角:对角的分拆要尽可能化成同角、余角、补角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.
2.三角函数式的化简要遵循“三看”原则:
一看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,灵活使用公式;二看函数名称之间的差异,确定使用的公式,常见的有“切化弦”;三看结构特征,找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等.
1.解题时注意观察角、名、结构等特征,注意利用整体思想解决相关问题.
2.运用公式时要注意公式成立的条件,要注意和、差、倍角的相对性,要注意升幂、降幂的灵活运用,要注意“1”的各种变形.
3.在三角求值时,往往要估计角的范围后再求值.特别是在(0,π)内,正弦值对应的角不唯一.
4.5　三角恒等变换
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.cos
αcos
β+sin
αsin
β　cos
αcos
β-sin
αsin
β　sin
αcos
β-cos
αsin
β　sin
αcos
β+cos
αsin
β　
2.(1)2sin
αcos
α　(2)cos2α-sin2α　2cos2α-1　1-2sin2α
考点自诊
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
2.D　由已知得2tanθ-=7,即tan2θ-4tanθ+4=0,解得tanθ=2.
3.D　sin-2α=cos2α=,sin4α-cos4α=sin2α-cos2α=-cos2α=-.
4.-　已知sin20°+mcos20°=2cos130°=-2cos50°=-2cos(20°+30°)=sin20°-cos20°,所以m=-.
5.　∵sinx=-,
∴cos2x=1-2sin2x=1-2×.
关键能力·学案突破
例1(1)B　(2)-　(1)因为角α的终边在直线y=x上,所以tanα=,则tan-α==-.故选B.
(2)cos2θ=cos2θ-sin2θ==-;
tan.
对点训练1(1)B　(2)-　(1)由2sin2α=1-cos2α,得4sinαcosα=2sin2α,即2cosα=sinα,所以tanα=2,
由tanα==2,得tan2+tan-1=0,所以tan.
因α∈π,,则∈,
所以tan<0,
所以tan=-.
(2)∵sinα=,α∈,π,
∴cosα=-,
=
=cosα-sinα
=-.
例2(1)B　(2)D　(3)　(1)根据两角和的正弦公式展开得sinθ+sinθ+=sinθ+sinθ+cosθ=sinθ+cosθ=1,即sinθ+=1,解得sinθ+=.故选B.
(2)∵t=2sin18°,∴.
(3)原式
=tan(25°+35°)(1-tan25°tan35°)+tan25°tan35°
=(1-tan25°tan35°)+tan25°tan35°
=.
对点训练2(1)D　(2)　(1)a=cos50°cos127°+cos40°cos37°
=cos50°cos127°+sin50°sin127°
=cos(50°-127°)=cos(-77°)
=cos77°=sin13°,
b=(sin56°-cos56°)=sin56°-cos56°=sin(56°-45°)=sin11°,
c=
=cos239°-sin239°=cos78°=sin12°.
因为函数y=sinx,在区间0,上单调递增,
所以sin13°>sin12°>sin11°,所以a>c>b.
(2)由cosα-+sinα=,可得cosα+sinα+sinα=,
即sinα+cosα=,
∴sinα+=,即sinα+=.
例3(1)A　(2)-　(1)由题意知sinα+=,cosα+=,
sinα=sinα+-=sinα+cos-cosα+·sin
=,
故选A.
(2)由α∈0,,得α+∈,又cosα+=,
所以sinα+=.
sin2α-=sin2α-π+
=-sinπ-2α+
=-sin2α+
=-2sinα+cosα+
=-2×=-.
对点训练3(1)A　(2)　(1)由α∈-,0,得α+∈-,若α+∈0,,cosα+>cos,不符合题意,
所以α+∈-,0,sinα+=-,
所以x0=cosα=cosα+-=+-×.
(2)因为tanα=tan[(α+β)-β]=,
tanα+=
=.
例4解(1)因为tanα=,tanα=,所以sinα=cosα.因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=,所以cos2α=2cos2α-1=-.
(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π).
又因为cos(α+β)=-,
所以α+β∈,π.
所以sin(α+β)=,所以tan(α+β)=-2.
因为tanα=,
所以tan2α==-.
所以tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]==-.
对点训练4(1)C　(2)　(1)由tanθ+=4,得=4,即=4,∴sinθcosθ=,
∴cos2θ+=.
(2)由=-,得3tan2α-5tanα-2=0,解得tanα=2或tanα=-.
又sin=sin2αcos+cos2αsin(sin2α+cos2α)
=
=.(
)
①当tanα=2时,(
)式=;
②当tanα=-时,(
)式=.综上,sin.4.3　三角函数的图像与性质
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y=sin
x,x∈[0,2π]的图像中,五个关键点:(0,0),,1,(π,0),,-1,(2π,0).
(2)余弦函数y=cos
x,x∈[0,2π]的图像中,五个关键点:(0,1),,0,(π,-1),,0,(2π,1).
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质
函数
y=sin
x
y=cos
x
y=tan
x
图像
定义域
R
R
　　　　?
值域
　　　?
　　　?
R
周期性
2π
　　　?
　　　?
奇偶性
　　　?
　　　?
奇函数
递增
区间
(k∈Z)
　　　?
(k∈Z)
递减
区间
(k∈Z)
　　　?
对称
中心
(kπ,0)(k∈Z)
(k∈Z)
(k∈Z)
对称轴
x=kπ
(k∈Z)
(x=kπ)
3.三角函数的周期
函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)(x∈R,其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的周期均为T=;函数y=Atan(ωx+φ)x∈R,且ωx+φ≠+kπ,k∈Z,其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0的周期为T=.
1.对称与周期:正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期;正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期.
2.辅助角公式:asin
x+bcos
x=sin(x+φ),其中tan
φ=(a,b都不为零).
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)y=cos
x在第一、第二象限内是单调递减的.
(　　)
(2)若y=ksin
x+1,x∈R,则y的最大值是k+1.
(　　)
(3)若非零实数T是函数f(x)的周期,则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期.
(　　)
(4)函数y=sin
x图像的对称轴方程为x=2kπ+(k∈Z).(　　)
(5)函数y=tan
x在整个定义域上是增函数.
(　　)
2.(2020北京房山二模,3)函数f(x)=sin
πxcos
πx的最小正周期为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1
B.2
C.π
D.2π
3.(2020山东淄博一模,5)函数f(x)=sin(x+θ)在[0,π]上单调递增,则θ的值可以是(　　)
A.0
B.
C.π
D.
4.设函数f(x)=sin,若点是函数f(x)图像的对称中心,则实数m等于(　　)
A.
B.
C.
D.-
5.当0x<-1成立的x的取值范围为　　　　　.?
关键能力学案突破　
考点
三角函数的定义域
【例1】(1)函数y=的定义域为　　　　.?
(2)函数y=lg(sin
x)+的定义域为　　　.?
解题心得三角函数与基本初等函数的组合或复合,其定义域是使各部分式子有意义的实数的集合的交集.
对点训练1函数y=lg(sin
2x)+的定义域为　　　　　　　　　　　　　.?
考点
三角函数的值域、最大(小)值
【例2】(1)函数f(x)=3sin2x-在区间0,上的值域为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-
B.-,3
C.-
D.-,3
(2)函数f(x)=sin2x+cos
x-x∈0,的最大值是　　　　.?
解题心得求三角函数值域、最大(小)值的方法
(1)利用sinx和cosx的值域直接求.
(2)形如y=asinx+bcosx的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式求值域;形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数,可先设sinx=t,化为关于t的二次函数求值域(最大(小)值).
(3)利用sinx±cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域.
对点训练2(1)(2020河北衡水调研)已知函数f(x)=sinx+,其中x∈-,a,若f(x)的值域是-,1,则实数a的取值范围是　　　　　　.?
(2)函数y=sin
x-cos
x+sin
xcos
x的值域为　　　　　　　　.?
考点
三角函数的性质
(多考向探究)
考向1　三角函数的单调性及其应用
【例3】(1)已知函数f(x)=sin
ωx+cos
ωx(ω>0),y=f(x)的图像与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π,则f(x)的递增区间是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.kπ-,kπ+,k∈Z
B.kπ+,kπ+,k∈Z
C.kπ-,kπ+,k∈Z
D.kπ+,kπ+,k∈Z
(2)(2020湖南湘潭三模,文10)已知函数f(x)=2sin
ωx(ω>0)在x∈[a,2](a<0)上的最大值为1,且单调递增,则2-a的最大值为(　　)
A.6
B.7
C.9
D.8
解题心得1.求较为复杂的三角函数的单调区间时,首先把三角函数式化简成y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式,然后求y=Asin(ωx+φ)的单调区间,只需把(ωx+φ)看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可,注意要把ω化为正数.
2.已知函数在某区间上单调求参数ω的取值范围的解法:先确定出已知函数的单调区间,再利用已知的单调区间为函数的单调区间的子集的关系求解.
对点训练3(1)若函数f(x)=sin
ωx(ω>0)在区间0,上递增,在区间上递减,则ω等于(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.2
D.3
(2)函数f(x)=sin-2x+的递减区间为　　　　　　.?
考向2　三角函数的周期及其应用
【例4】(1)
(2020全国1,理7)设函数f(x)=cosωx+在[-π,π]的图像大致如右图,则f(x)的最小正周期为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.
D.
(2)若函数f(x)=2tan的最小正周期T满足1解题心得若求最小正周期,可把所给三角函数式化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式,则最小正周期为T=;奇偶性的判断关键是解析式是否为y=Asinωx或y=Acosωx+b的形式.
对点训练4(2020河南实验中学4月模拟,4)在函数:①y=cos
|2x|;②y=|cos
x|;③y=cos;④y=tan2x-中,最小正周期为π的所有函数为(　　)
A.①②③
B.①③④
C.②④
D.①③
考向3　三角函数的对称性及其应用
【例5】(1)已知函数f(x)=asin
x+cos
x(a为常数,x∈R)的图像关于直线x=对称,则函数g(x)=sin
x+acos
x的图像(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.关于点,0对称
B.关于点,0对称
C.关于直线x=对称
D.关于直线x=对称
(2)若函数f(x)=sin
ωx-cos
ωx(ω>0)图像的一个对称中心为M,0,距离点M最近的一条对称轴为直线x=,则ω=　　　　.?
解题心得三角函数图像的对称性包括轴对称和中心对称,求三角函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0)图像的对称轴及对称中心,要把(ωx+φ)看作一个整体,若求f(x)的对称轴,只需令ωx+φ=+kπ(k∈Z),求x;若求f(x)的对称中心,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z),求x;对于f(x)=Acos(ωx+φ),若求f(x)的对称轴,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z),求x;若求f(x)的对称中心,只需令ωx+φ=+kπ(k∈Z),求x.
对点训练5(1)(2020湖北武汉调研)设函数f(x)=sinx+θ-cosx+θ|θ|<的图像关于y轴对称,则θ=(　　)
A.-
B.
C.-
D.
(2)(2020河北衡水中学三模,理15)已知函数f(x)=2sin(2x+φ)的图像关于点,0对称,且f<0,则f=　　　　.?
考向4　三角函数性质的综合应用
【例6】(1)设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)的最小正周期为π,且f(-x)=f(x),则
(　　)
A.f(x)在内递减
B.f(x)在内递减
C.f(x)在内递增
D.f(x)在内递增
(2)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图像关于点M,0对称,且在区间0,上是单调函数,则ω=　　　　　,φ=　　　　.?
解题心得1.已知三角函数的周期性、奇偶性判断其单调性的基本思路:根据给出的三角函数的周期性、奇偶性求出三角函数式中的参数,然后把三角函数式化成y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式再判断其单调性.
2.有关三角函数性质的综合性问题,要注重结合函数图像,通过数形结合求解.
对点训练6(1)(2020河北武邑中学三模,10)已知x0=是函数f(x)=coscos
φ+cos
3xsin
φ的一个极小值点,则f(x)的一个递增区间是(　　)
A.
B.
C.
D.
(2)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<的最小正周期为4π,且任意x∈R,有f(x)≤f成立,则f(x)图像的一个对称中心坐标是(　　)
A.
B.
C.
D.
1.讨论三角函数性质,应先把函数式化成y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式.
2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t=ωx+φ,将其转化为研究y=sint的性质.
3.正弦函数、正切函数是奇函数,余弦函数是偶函数;正弦函数y=sinx图像的对称轴是x=kπ+,k∈Z,对称中心为(kπ,0),k∈Z,余弦函数y=cosx图像的对称轴是x=kπ,k∈Z,对称中心为,k∈Z,即正弦函数、余弦函数图像的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线,对称中心是图像与x轴的交点;正切函数图像没有对称轴,其对称中心为,k∈Z.
1.求三角函数的单调区间时,当单调区间有无穷多个时,注明k∈Z.
2.求三角函数式的最小正周期时,要尽可能地化为只含一个三角函数的式子,否则很容易出现错误.
4.3　三角函数的图像与性质
必备知识·预案自诊
知识梳理
2.xx∈R,且x≠kπ+,k∈Z　[-1,1]　[-1,1]　2π　π　奇函数　偶函数　[2kπ-π,2kπ](k∈Z)　[2kπ,2kπ+π](k∈Z)　
考点自诊
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
2.A　f(x)=sinπxcosπx=sin2πx,故周期T==1.故选A.
3.D　当θ=0时,f(x)=sinx在[0,π]上不单调,故A不正确;当θ=时,f(x)=cosx在[0,π]上递减,故B不正确;当θ=π时,f(x)=-sinx在[0,π]上不单调,故C不正确;当θ=时,f(x)=-cosx在[0,π]上递增,故D正确.故选D.
4.A　∵点是函数f(x)图像的对称中心,∴m-=kπ,k∈Z,即m=k+,k∈Z,则m=,k∈Z,
当k=0时,m=,k=1时,m=,k=2时,m=,故选A.
5.　由正切函数的图像知,当0即实数x的取值范围是.
关键能力·学案突破
例1(1)xx≠+kπ,且x≠+kπ,k∈Z　(2)x2kπ即
故函数的定义域为xx≠+kπ,且x≠+kπ,k∈Z.
(2)函数有意义,则
即
解得
所以2kπ所以函数的定义域为x2kπ对点训练1-3,-∪0,　由题意可知
得
解得-3≤x<-或0故函数y=lg(sin2x)+的定义域为-3,-∪0,.
例2(1)B　(2)1　(1)当x∈0,时,2x-∈-,sin2x-∈-,1,
故3sin2x-∈-,3,即此时函数f(x)的值域是-,3.
(2)由题意可得f(x)=-cos2x+cosx+=-cosx-2+1.
∵x∈0,,∴cosx∈[0,1].
∴当cosx=,即x=时,f(x)取最大值为1.
对点训练2(1),π　(2)-,1　(1)由x∈-,a,知x+∈-,a+,
∵当x+∈-时,f(x)的值域为-,1,
∴由函数的图像知≤a+,
∴≤a≤π.
故实数a的取值范围为,π.
(2)设t=sinx-cosx,则t2=sin2x+cos2x-2sinxcosx,sinxcosx=,且-≤t≤.
∴y=-+t+=-(t-1)2+1.
当t=1时,ymax=1;当t=-时,ymin=-.
∴函数的值域为-,1.
例3(1)C　(2)D　(1)f(x)=sinωx+cosωx=2sinωx+.
由函数y=f(x)的图像与直线y=2的两个相邻交点的距离为π,知函数y=f(x)的最小正周期T=π,所以T==π,解得ω=2,即f(x)=2sin2x+.
令2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).
(2)由题意可知,[a,2]?-,f(2)=2sin2ω=1,2ω=,ω=,
则amin=-6,故2-a的最大值为8.
对点训练3(1)B　(2)kπ-,kπ+(k∈Z)　(1)∵f(x)=sinωx(ω>0)过原点,∴当0≤ωx≤,
即0≤x≤时,y=sinωx递增;
当≤ωx≤,即≤x≤时,y=sinωx递减.
由f(x)=sinωx(ω>0)在区间0,上递增,在区间上递减知,,∴ω=.
(2)求函数f(x)=sin-2x+的递减区间,只需求f(x)=sin2x-的递增区间.由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.故所给函数的递减区间为kπ-,kπ+(k∈Z).
例4(1)C　(2)2或3　(1)由题图知f=cos=0,
所以-ω++kπ(k∈Z),
化简得ω=-(k∈Z).
因为T<2π<2T,即<2π<,
所以1<|ω|<2,解得-当且仅当k=-1时,1<|ω|<2.
所以ω=,最小正周期T=.
(2)由题意知1<<2,即k<π<2k.
解得又k∈N,所以k=2或k=3.
对点训练4A　y=cos|2x|=cos2x,该函数为偶函数,最小正周期T==π;将函数y=cosx在x轴下方的图像向上翻折即可得到y=|cosx|的图像,该函数的最小正周期为×2π=π;函数y=cos2x+的最小正周期为T==π;函数y=tan的最小正周期为T=.综上可得最小正周期为π的所有函数为①②③.故选A.
例5(1)C　(2)3　(1)因为函数f(x)=asinx+cosx(a为常数,x∈R)的图像关于直线x=对称,所以f(0)=f,所以1=a+,a=,所以g(x)=sinx+cosx=sinx+,函数g(x)的对称轴方程为x+=kπ+(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z).当k=0时,对称轴为直线x=,所以g(x)=sinx+acosx的图像关于直线x=对称.
(2)函数f(x)=sinωx-cosωx=2sinωx-,因为图像的一个对称中心为M,0,距离点M最近的一条对称轴为x=,所以,即T=.故ω==3.
对点训练5(1)A　(2)-2　(1)f(x)=sinx+θ-cosx+θ=2sinx+θ-,由题意可得f(0)=2sinθ-=±2,即sinθ-=±1,
∴θ-+kπ(k∈Z),
∴θ=+kπ(k∈Z).
∵|θ|<,
∴当k=-1时,θ=-.
(2)函数f(x)的图像关于点,0对称,且函数f(x)周期为π,
而x=距离x=的长度为,所以直线x=是f(x)图像的一条对称轴,又,且f<0,所以f=-2.
例6(1)A　(2)或2　　(1)题意知f(x)
=sin.
∵f(x)的最小正周期为π,
∴ω=2,
∴f(x)=sin.
由f(x)=f(-x)知f(x)是偶函数,
因此φ+=kπ+(k∈Z).
又|φ|<,
∴φ=,
∴f(x)=cos2x.
当0<2x<π,即0(2)由题意,y轴为函数f(x)图像的对称轴,所以f(0)=sinφ=±1,又0≤φ≤π,所以φ=.
由f(x)的图像关于点M,0对称,得f=0,即sinω+=cosω=0.
又ω>0,所以ω=kπ+,
所以ω=k+,k∈Z.
当k=0时,ω=,f(x)=sinx+=cosx,在区间0,上递减,
当k=1时,ω=2,f(x)=sin2x+=cos2x,在区间0,上递减,
当k≥2时,ω≥,f(x)=sinωx+=cosωx,在区间0,上不是单调函数,综上,ω=或2,φ=.
对点训练6(1)A　(2)A　(1)f(x)=coscosφ+cos3xsinφ=sin(3x+φ).
由已知直线x0=是函数f(x)=sin(3x+φ)过最小值点的对称轴,
结合图像可知是函数f(x)的一个递增区间.
因为,所以是函数f(x)的一个递增区间.故选A.
(2)由f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为4π,得ω=.因为f(x)≤f恒成立,所以f(x)max=f,即+φ=+2kπ(k∈Z),由|φ|<,得φ=,
故f(x)=sin.
令x+=kπ(k∈Z),得x=2kπ-(k∈Z),故f(x)图像的对称中心为2kπ-,0(k∈Z),当k=0时,f(x)图像的对称中心为-,0.4.2　同角三角函数的基本关系及诱导公式
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:sin2α+cos2α=　　　　.?
(2)商数关系:=　　　?.
2.三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+α
(k∈Z)
π+α
-α
π-α
-α
+α
正弦
sin
α
　　?
　　?
　　?
　　?
　　?
余弦
cos
α
　　?
　　?
　　?
　　?
　　?
正切
tan
α
　　?
　　?
　　?
续　表
公式
一
二
三
四
五
六
口诀
函数名不变,符号看象限
函数名改变,
符号看象限
1.特殊角的三角函数值
2.同角三角函数基本关系式的常用变形
(1)(sin
α±cos
α)2=1±2sin
αcos
α;
(2)sin
α=tan
αcos
αα≠+kπ,k∈Z;
(3)sin2α=;
(4)cos2α=.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)对任意的角α,β有sin2α+cos2β=1.
(　　)
(2)若α∈R,则tan
α=恒成立.
(　　)
(3)sin(π+α)=-sin
α成立的条件是α为锐角.
(　　)
(4)若cos(nπ-θ)=(n∈Z),则cos
θ=.
(　　)
2.(2020河北衡水中学模拟一,理3)已知cosα-=-,α∈π,,则tan
α=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2
B.
C.1
D.
3.(2020河北唐山模拟,理4)已知角α的顶点在原点,始边与x轴的正半轴重合,终边上一点A(2sin
α,3)(sin
α≠0),则cos
α=(　　)
A.
B.-
C.
D.-
4.函数f(x)=sinx++cosx-的最大值为(　　)
A.
B.1
C.
D.
关键能力学案突破　
考点
同角三角函数基本关系式的应用
【例1】(1)若tan(α-π)=,则=
(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-
B.-2
C.
D.2
(2)已知tan
θ=2,则sin2θ+sin
θcos
θ-2cos2θ等于
(　　)
A.-
B.
C.-
D.
解题心得1.利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用tanα=可以实现角α的弦切互化.
2.“1”的灵活代换:1=cos2α+sin2α=(sinα+cosα)2-2sinαcosα=tan.
3.关于sinα,cosα的齐次式,往往化为关于tanα的式子.
对点训练1(1)已知α是第四象限角,sin
α=-,则tan
α等于(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-
B.
C.-
D.
(2)若3sin
α+cos
α=0,则的值为
(　　)
A.
B.
C.
D.-2
考点
利用sinα±cosα与sinαcosα关系求值
【例2】(1)(2020山西太原三模,理3)已知sin
θ-cos
θ=,θ∈(0,π),则tan
θ=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-1
B.-
C.
D.1
(2)已知θ为第二象限角,sin
θ,cos
θ是关于x的方程2x2+(-1)x+m=0(m∈R)的两根,则sin
θ-cos
θ=
(　　)
A.
B.
C.
D.-
解题心得1.通过平方,对称式sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα之间可建立联系,若令sinα+cosα=t,则sinαcosα=,sinα-cosα=±(注意根据α的范围选取正、负号).
2.利用上述关系,对于sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα这三个式子,可以知一求二.
对点训练2(2020江西名校大联考,理3)已知α∈,sin(π-2α)=-,则sin
α-cos
α=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.-
C.
D.-
考点
诱导公式的应用
【例3】(1)已知sin(π-α)=log8,且α∈-,0,则tan(2π-α)的值为(　　)
A.-
B.
C.±
D.
(2)已知θ是第四象限角,且sinθ+=,则tanθ-=　　　　.?
解题心得1.利用诱导公式化简三角函数的基本思路:(1)分析结构特点,选择恰当公式;(2)利用公式化成单角三角函数;(3)整理得最简形式.
2.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.
3.用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有-α与+α,+α与-α,+α与-α等,常见的互补关系有-θ与+θ,+θ与-θ,+θ与-θ等.
对点训练3(1)已知A=(k∈Z),则A的值构成的集合是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.{1,-1,2,-2}
B.{-1,1}
C.{2,-2}
D.{1,-1,0,2,-2}
(2)sin
600°+tan
240°的值等于　　　　.?
(3)已知sin+α=,则cosα-=　　　.?
考点
同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
【例4】(1)(2020河北邯郸联考)已知3sin+α=-5cos+α,则tan+α=(　　)
A.-
B.-
C.
D.
(2)已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cos+β+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,则sin
α=(　　)
A.
B.
C.
D.
解题心得1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.
2.注意角的范围对三角函数值符号的影响.
对点训练4(1)已知角tan
θ=,则sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-cos2θ等于(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-
B.
C.-
D.
(2)已知sin
α=,则tan(π+α)+=　　　　.?
1.同角三角函数基本关系式可用于统一函数名;诱导公式主要用于统一角,其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明.
2.三角函数求值与化简必会的三种方法:
(1)弦切互化法:主要利用公式tanα=α≠kπ+,k∈Z;形如,asin2x+bsinxcosx+ccos2x等类型可进行弦化切.
(2)“1”的灵活代换法:1=sin2θ+cos2θ=(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ=tan等.
(3)和积转换法:利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ,(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2的关系进行变形、转化.
3.利用诱导公式化简求值的步骤:
(1)负化正;(2)大化小;(3)小化锐;(4)锐求值.
1.同角三角函数的基本关系式及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号的影响,尤其是利用平方关系求三角函数值,进行开方时要根据角的范围,判断符号后,正确取舍.
2.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.
4.2　同角三角函数的基
本关系及诱导公式
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.(1)1　(2)tan
α
2.-sin
α　-sin
α　sin
α　cos
α　cos
α　-cos
α　cos
α　-cos
α　sin
α　-sin
α
tan
α　-tan
α　-tan
α
考点自诊
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.A　∵cosα-=sinα=-,又α∈π,,∴cosα=-,∴tanα=2.故选A.
3.A　由三角函数定义得tanα=,即,得3cosα=2sin2α=2(1-cos2α),解得cosα=或cosα=-2(舍去).故选A.
4.A　因为cosx-=cos-x+=sinx+,所以f(x)=sinx++sinx+=sinx+,故函数f(x)的最大值为.故选A.
关键能力·学案突破
例1(1)D　(2)D　(1)tan(α-π)=-tan(π-α)=tanα=,
==2.
(2)sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ
=
=,
又tanθ=2,故原式=.
对点训练1(1)C　(2)A　(1)因为α是第四象限角,sinα=-,所以cosα=,故tanα==-.
(2)由题知,3sinα+cosα=0,且cosα≠0,故tanα=-,
.
例2(1)A　(2)B　(1)由sinθ-cosθ=,得1-2sinθcosθ=2,所以2sinθcosθ=-1,又α∈(0,π),所以cosθ<0,所以θ∈,π,则(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=0,解得sinθ+cosθ=0,所以tanθ=-1.
(2)由题意,sinθ+cosθ=,sinθcosθ=,则(sinθ+cosθ)2=1+2sinθ·cosθ=1+m=,
解得m=-.因为θ为第二象限角,所以sinθ>0,cosθ<0,即sinθ-cosθ>0,
因为(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=1-m=1+,所以sinθ-cosθ=.故选B.
对点训练2D　因为sin(π-2α)=-,所以sin2α=-,即2sinαcosα=-.所以(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1+.又因为α∈,所以sinα例3(1)B　(2)-　(1)sin(π-α)=sinα=log8=-,又因为α∈-,0,则cosα=,∴tan(2π-α)=tan(-α)=-tanα=-.
(2)∵sinθ+=,
∴cosθ-=cosθ+-=sinθ+=.
又θ是第四象限角,∴θ-是第三或第四象限角.∴sinθ-=-.
∴tanθ-=-.
对点训练3(1)C　(2)　(3)-
(1)当k为偶数时,A==2;
当k为奇数时,A==-2.
(2)sin600°+tan240°=sin(720°-120°)+tan(180°+60°)=-sin120°+tan60°=-.
(3)cosα-=cos-α=cosπ-+α=-cos+α,而sin+α=sin++α=cos+α=,故cosα-=-.
例4(1)A　(2)C　(1)由3sin+α=-5cos+α,得sin+α=-cos+α,
所以tan+α==-.
(2)由已知得
消去sinβ,得tanα=3,
∴sinα=3cosα,代入sin2α+cos2α=1,
化简得sin2α=,则sinα=(α为锐角).
对点训练4(1)D　(2)或-　
(1)sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-cos2θ
=sin2θ+sinθcosθ-cos2θ
=
=
=.
(2)∵sinα>0,∴α为第一或第二象限角,tan(α+π)+=tanα+.
①当α是第一象限角时,cosα=,原式=;
②当α是第二象限角时,cosα=-=-,原式==-.综合①②知,原式=或-.第四章　三角函数、解三角形
4.1　任意角、弧度制及任意角的三角函数
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.角的概念的推广
(1)角的定义:一条射线绕着它的　　旋转所成的图形.?
(2)角的分类
(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义:长度等于　　　　　的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角.弧度单位用符号rad表示,读作弧度.?
(2)公式:
角α的弧度数公式
|α|=(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
①1°=
rad,②1
rad=°
弧长公式
弧长l=　　　　?
扇形面积公式
S=lr=|α|r2
3.任意角的三角函数
三角函数
正弦
余弦
正切
定　义
设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么
y叫作α的正弦,记作sin
α
x叫作α的余弦,记作cos
α
(x≠0)叫作α的正切,记作tan
α
各象
限符
号
Ⅰ
+
+
+
Ⅱ
+
-
-
Ⅲ
-
-
+
Ⅳ
-
+
-
三角函
数线
有向线段　　　　　为正弦线?
有向线段　　　　　为余弦线?
有向线段　　　　　　　为正切线?
1.象限角
2.轴线角
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)小于90°的角是锐角.
(　　)
(2)三角函数线的方向与坐标轴同向的三角函数值为正.
(　　)
(3)若sin
α>0,则α是第一、第二象限的角.
(　　)
(4)相等的角终边一定相同,终边相同的角也一定相等.
(　　)
(5)若角α为第一象限角,则sin
α+cos
α>1;若α∈,则tan
α>cos
α>sin
α.
(　　)
2.已知扇形的半径为12
cm,弧长为18
cm,则扇形圆心角的弧度数是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.π
D.π
3.sin
2cos
3tan
4的值(　　)
A.小于0
B.大于0
C.等于0
D.不存在
4.设角α的终边与单位圆相交于点P,-,则sin
α-cos
α的值是(　　)
A.-
B.-
C.
D.
5.(2020北京东城一模,12)已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,将角α的终边按逆时针方向旋转后经过点(-1,),则sin
α=　　　　　.?
关键能力学案突破　
考点
角的表示及象限的判定
【例1】(1)(2020江西九江一模)若sin
α<0,且sin(cos
α)>0,则角α是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
(2)终边在直线y=x上的角的集合为　　　　　　　　　.?
(3)若角θ的终边与角的终边相同,则在[0,2π)内终边与角的终边相同的角为　　　　　.?
解题心得1.角的终边在一条直线上比在一条射线上多一种情况.
2.判断角β所在的象限,先把β表示为β=2kπ+α,α∈[0,2π),k∈Z,再判断角α的象限即可.
3.确定角kα,(k≥2,且k∈N+)的终边的位置:先用终边相同角的形式表示出角α的范围,再写出kα或的范围,最后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在位置.
对点训练1(1)设集合M=x·180°+45°,k∈Z,N=x·180°+45°,k∈Z,那么(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.M=N
B.M?N
C.N?M
D.M∩N=N
(2)(2020陕西榆林一中检测,3)若角θ满足sin
θ>0,tan
θ<0,则是(　　)
A.第二象限角
B.第一象限角
C.第一或第三象限角
D.第一或第二象限角
(3)已知角α为第三象限角,则2α的终边所在的位置范围为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.?
考点
三角函数定义的应用
(多考向探究)
考向1　利用定义求三角函数值
【例2】(1)(2020山东潍坊一模,3)在平面直角坐标系xOy中,点P(,1),将向量绕点O按逆时针方向旋转后得到向量,则点Q的坐标是(　　)
A.(-,1)
B.(-1,)
C.(-,1)
D.(-1,)
(2)已知角α的终边在直线3x+4y=0上,则5sin
α+5cos
α+4tan
α=　　　　　　　　.?
解题心得用三角函数定义求三角函数值的两种情况
(1)已知角α终边上一点P的坐标,则直接用三角函数的定义求解三角函数值;
(2)已知角α的终边所在的直线方程,注意终边位置有两个,对应的三角函数值有两组.
对点训练2(2020陕西宝鸡一中检测)已知角α的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴.若角α的终边过点P,-,则cos
αtan
α的值是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-
B.
C.-
D.
考向2　利用定义求参数的值
【例3】已知角α终边上一点P(m,4),且cos
α=m,则m的值为　　　　.?
解题心得利用三角函数的定义求参数的值应用的方程思想,由已知条件及三角函数的定义得到关于参数的一个方程,解方程得参数的值.
对点训练3已知角α的终边过点P(-8m,-6sin
30°),且cos
α=-,则m的值为(　　)
A.-
B.
C.-
D.
考向3　利用定义判定三角函数值的符号
【例4】若角α的终边落在直线y=-x上,则　　　0(填“>”“<”或“=”).?
解题心得判定三角函数值的符号,先搞清三角函数中的角是第几象限角,再根据正弦、余弦函数值在各象限的正负情况确定.如果不知角所在象限,需要分类讨论求解.
对点训练4若θ是第二象限角,则　　　0.(填“>”“<”或“=”)?
考向4　利用三角函数线解三角不等式
【例5】(1)已知点P(sin
α-cos
α,tan
α)在第一象限,且α∈[0,2π],则角α的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
(2)函数y=的定义域为?
　　　　.?
解题心得三角函数线是三角函数的几何表示,正弦线、正切线的方向同y轴一致,向上为正,向下为负;余弦线的方向同x轴一致,向右为正,向左为负.
对点训练5函数y=lg(3-4sin2x)的定义域为　　　　　　　.?
考点
扇形弧长、面积公式的应用
【例6】(1)如图2,在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD,用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为S1,扇形OAB的面积为S2,当S1与S2的比值为时,扇面的形状较为美观,则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.3-
D.-2
(2)已知扇形的周长为c,则当扇形的圆心角(正角)α=　　　弧度时,其面积最大,最大面积是　　　　.?
解题心得求扇形面积的最值常用的思想方法是转化法.一般从扇形面积公式出发,在弧度制下先使问题转化为关于α的函数,再利用基本不等式或二次函数求最值.
对点训练6(1)一个半径为r的扇形,若它的周长等于弧所在的半圆的弧长,则扇形的圆心角(正角)是　　　　弧度,扇形的面积是　　　　.?
(2)已知在半径为10的圆O中,弦AB的长为10,则弦AB所对的圆心角α的大小为　　　,α所在的扇形弧长l为　　　　,弧所在的弓形的面积S为　　　　　.?
1.在三角函数定义中,点P可取终边上任意一点,但|OP|=r一定是正值.
2.在解简单的三角不等式时,利用三角函数线是一个小技巧.
3.三角函数也是一种函数,它可以看成是从一个角(弧度制)的集合到一个比值的集合的函数.
1.相等的角终边一定相同,但终边相同的角却不一定相等.
2.在同一个式子中,不能同时出现角度制与弧度制.
3.已知三角函数值的符号求角的终边位置时,不要遗忘终边在坐标轴上的情况.
4.三角函数线的长度表示三角函数值的绝对值,方向表示三角函数值的正负.
【例】
如图,在平面直角坐标系xOy中,某单位圆的圆心的初始位置在点(0,1)处,此时圆上一点P的位置在点(0,0)处,圆在x轴上沿正向滚动,当圆滚动到圆心位于(2,1)时,的坐标为　　　　　　　.?
审题要点(1)已知条件:滚动后的圆心坐标为(2,1)和圆的半径长为1;(2)隐含条件:点P转动的弧长是2;(3)等量关系:P转动的弧长等于弧长所对的圆心角;(4)解题思路:求点P坐标可借助已知坐标(2,1),通过构造直角三角形,并在直角三角形中利用三角函数定义求出.
答案(2-sin
2,1-cos
2)
解析如图,作CQ∥x轴,PQ⊥CQ,Q为垂足.
根据题意得劣弧的长为2,故∠DCP=2.
则在△PCQ中,∠PCQ=2-,|CQ|=cos=sin2,|PQ|=sin=-cos2,所以点P的横坐标为2-|CQ|=2-sin2,点P的纵坐标为1+|PQ|=1-cos2,所以点P的坐标为(2-sin2,1-cos2).
故=(2-sin2,1-cos2).
反思提升1.解决本例应抓住在旋转过程中角的变化,结合弧长公式、解直角三角形等知识来解决.
2.审题的关键是在明确已知条件的基础上,寻找出隐含条件;解题的关键是依据已知量寻求未知量,通过未知量的转化探索解题突破口.
第四章　三角函数、解三角形
4.1　任意角、弧度制及
任意角的三角函数
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.(1)端点　(2)正角　负角　零角　象限角
2.(1)半径长　(2)|α|r
3.MP　OM　AT
考点自诊
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√
2.B　由题意知l=|α|r,∴|α|=.
3.A　∵sin2>0,cos3<0,tan4>0,
∴sin2cos3tan4<0.
4.A　由题意知sinα=-,cosα=,所以sinα-cosα=-=-.故选A.
5.1　由题意,α+为第二象限角.tanα+==-,所以α+,此时α=,故sinα=1.
关键能力·学案突破
例1(1)D　(2)α+kπ,k∈Z
(3)　(1)∵-1≤cosα≤1,且sin(cosα)>0,∴0∴角α为第四象限角,故选D.
(2)∵在(0,2π)内终边在直线y=x上的角是,与角终边相同的角分别为2kπ+,2kπ+=(2k+1)π+,k∈Z,∴终边在直线y=x上的角的集合为.
(3)∵θ=+2kπ(k∈Z),
∴(k∈Z).
依题意,0≤<2π,k∈Z,解得-≤k<,k∈Z.∴k=0,1,2,即在[0,2π)内终边与相同的角为.
对点训练1(1)B　(2)C　(3)第一或第二象限或y轴的非负半轴　(1)由于M中,x=·180°+45°=k·90°+45°=(2k+1)45°,2k+1是奇数;而N中,x=·180°+45°=k·45°+45°=(k+1)45°,k+1是整数,因此必有M?N.
(2)由sinθ>0,tanθ<0,知θ为第二象限角,∴2kπ+<θ<2kπ+π(k∈Z),
∴kπ+∴为第一或第三象限角.
(3)由α是第三象限角,得π+2kπ<α<+2kπ(k∈Z),则2π+4kπ<2α<3π+4kπ(k∈Z).故角2α的终边在第一或第二象限或y轴的非负半轴.
例2(1)D　(2)-2或-4　(1)设向量与x轴的夹角为α,向量与x轴的夹角为β,点Q的坐标为(x,y).由三角函数的定义得tanα=,所以α=.由题意β=,|OP|=2,所以sinβ=sin=,得y=;cosβ=cos=,得x=-1.故选D.
(2)设α终边上任意一点为P(-4a,3a),r=|5a|.当a>0时,r=5a,sinα=,cosα=-,tanα=-,
5sinα+5cosα+4tanα=3-4-3=-4;
当a<0时,r=-5a,sinα=-,cosα=,tanα=-,5sinα+5cosα+4tanα=-3+4-3=-2.
综上可知,5sinα+5cosα+4tanα=-4或5sinα+5cosα+4tanα=-2.
对点训练2A　由三角函数的定义知cosα=,tanα==-,故cosαtanα=×-=-.
例30或±　由三角函数定义,cosα=m,解得,m=0或m=±.故m的值为0或±.
对点训练3B　∵r=,∴cosα==-,∴,且m>0,∴m=.
例4=　因为角α的终边落在直线y=-x上,所以角α的终边位于第二或第四象限.当角α的终边位于第二象限时,=0;当角α的终边位于第四象限时,=0.所以=0.
对点训练4<　∵θ是第二象限角,
∴-1∴sin(cosθ)<0,cos(sinθ)>0.
∴<0.
例5(1)B　(2)
(k∈Z)　(1)因为点P在第一象限,
所以
由tanα>0可知角α为第一或第三象限角,画出单位圆.
又sinα>cosα,用正弦线、余弦线得满足条件的角α的终边在如图所示的阴影部分(不包括边界),即∪.
(2)由题意,得sinx≥,作直线y=交单位圆于A,B两点,连接OA,OB,则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角x的终边的范围,故满足条件的角x的集合为≤x≤2kπ+.
对点训练5kπ-,kπ+(k∈Z)　
∵3-4sin2x>0,∴sin2x<.
∴-利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示),
故x∈(k∈Z).
例6(1)B　(2)2　　(1)设∠AOB=θ,半圆O的半径为r,扇形OCD的半径为r1,依题意,有,即,故=2,得.
(2)设扇形的半径为r,弧长为l,面积为S.
(方法1)∵c=2r+l,∴r=(l∴S=rl=×l=-l-2+,∴当l=时,Smax=,r=,此时α==2.
(方法2)S=rl=(c-l)l≤2=,当且仅当c-l=l,即l=时等号成立,此时Smax=,r=,α==2.
对点训练6(1)π-2　(π-2)r2　(2)　50　(1)设扇形的圆心角为θ,则扇形的周长是2r+rθ.
由题意知2r+rθ=πr,∴θ=π-2.
∴扇形的面积S=r2θ=(π-2)r2.
(2)在△AOB中,AB=OA=OB=10,
故△AOB为等边三角形.
因此弦AB所对的圆心角α的大小为.故α所在的扇形弧长为l=×10=,S弓=S扇-S△AOB=×10-×102×sinπ-=50.4.4　函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念
y=Asin(ωx+φ)
(A>0,ω>0),
x∈[0,+∞)
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T=
f=
ωx+φ
φ
2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的简图时,要找出的五个特征点如下表所示
x
ωx+φ
0
π
2π
y=Asin(ωx+φ)
0
A
0
-A
0
3.由y=sin
x的图像得y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像的两种方法
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像的作法:
(1)五点法:用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,设z=ωx+φ,由z取0,,π,,2π来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图像.
(2)图像变换法:由函数y=sin
x的图像通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图像,有两种主要途径“先平移后伸缩”(即“先φ后ω”)与“先伸缩后平移”(即“先ω后φ”).
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)把y=sin
x的图像上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,所得图像对应的函数解析式为y=sinx.(　　)
(2)将y=sin
2x的图像向右平移个单位长度,得到y=sin的图像.
(　　)
(3)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0)的最大值为A,最小值为-A.
(　　)
(4)如果y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T,那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为.
(　　)
(5)若函数y=Asin(ωx+φ)为偶函数,则φ=2kπ+(k∈Z).
(　　)
2.若将函数y=2sin
2x的图像向左平移个单位长度,则平移后图像的对称轴为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.x=(k∈Z)
B.x=(k∈Z)
C.x=(k∈Z)
D.x=(k∈Z)
3.(2020河南开封三模,理6)为了得到函数y=(sin
2x+cos
2x)的图像,只需把函数y=2sin
2x图像上所有的点(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
4.(2020安徽马鞍山二模,6)函数f(x)=sinx+的图像平移后对应函数g(x)=sinx++φ的图像,若g(x)为偶函数,则|φ|的最小值为(　　)
A.
B.
C.
D.
5.(2020江苏,10)将函数y=3sin的图像向右平移个单位长度,则平移后的图像中与y轴最近的对称轴的方程是　　　　.?
关键能力学案突破　
考点
函数y=Asin(ωx+φ)的图像及变换
【例1】某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一个周期内的图像,列表并填入了部分数据,如下表:
ωx+φ
0
π
2π
x
Asin(ωx+φ)
0
5
-5
0
(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;
(2)将y=f(x)图像上所有点向左平移θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图像,若y=g(x)图像的一个对称中心为,求θ的最小值.
解题心得1.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像的两种作法:
(1)五点法:用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,设z=ωx+φ,由z取0,,π,,2π来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图像.
(2)图像变换法:由函数y=sinx的图像通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图像,有两种主要途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
2.变换法作图像的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移,对于后者可利用ωx+φ=ω来确定平移单位.
对点训练1已知函数y=2sin.
(1)求它的振幅、周期、初相;
(2)用“五点法”作出函数y在一个周期内的图像;
(3)说明y=2sin的图像可由y=sin
x的图像经过怎样的变换而得到.
考点
求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
(多考向探究)
考向1　由函数的图像求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
【例2】(1)
(2020山东菏泽一模,11)已知函数f(x)=Asin(ωx+4φ)A>0,ω>0,0<φ<的部分图像如图所示,若将函数f(x)的图像纵坐标不变,横坐标变为原来的,再向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图像,则下列命题不正确的是(　　)
A.函数f(x)的解析式为f(x)=2sinx+
B.函数g(x)的解析式为g(x)=2sin
C.函数f(x)图像的一条对称轴是直线x=-
D.函数g(x)在区间上递增
　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)
函数y=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图像如图所示,则(　　)
A.y=2sin2x-
B.y=2sin2x-
C.y=2sinx+
D.y=2sinx+
解题心得由图像确定y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的解析式的步骤和方法:
(1)求A,b:确定函数的最大值M和最小值m,则A=,b=.
(2)求ω:确定函数的最小正周期T,则可得ω=.
(3)求φ:①把图像上的一个已知点代入来求.
②寻找“五点法”中的某一个点来求,具体如下:“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)时,ωx+φ=0;“第二点”(即图像的“峰点”)时,ωx+φ=;“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)时,ωx+φ=π;“第四点”(即图像的“谷点”)时,ωx+φ=;“第五点”时,ωx+φ=2π.
对点训练2(1)
(2020全国百强名校联考,理10)函数f(x)=Acos(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图像如图所示,则(　　)
A.f(x)=2cos2x-
B.f(x)=2cos2x+
C.f(x)=2cos2x-
D.f(x)=2cos2x+
　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)
函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图像如图所示,则f的值为(　　)
A.-
B.-
C.-
D.-1
考向2　由函数y=Asin(ωx+φ)的性质求解析式
【例3】(2020山东济南三模,19)已知函数f(x)=Asinωx+(A>0,ω>0)只能同时满足下列条件中的两个:①函数f(x)的最大值为2,②函数f(x)的图像可由y=sin的图像平移得到,③函数f(x)图像的相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)请写出这两个条件的序号,并求出f(x)的解析式;
(2)求方程f(x)+1=0在区间[-π,π]上所有解的和.
解题心得由函数y=Asin(ωx+φ)的性质确定其解析式的方法:由函数的最值确定A,由函数的周期性确定ω,由函数的奇偶性或对称性确定φ.
对点训练3(2020北京东城一模,17)已知函数f(x)=asin2x--2cos2x+(a>0),且满足　　　　　.?
(1)求函数f(x)的解析式及最小正周期;
(2)若关于x的方程f(x)=1在区间[0,m]上有两个不同解,求实数m的取值范围.
从①f(x)的最大值为1,②f(x)的图像与直线y=-3的两个相邻交点的距离等于π,③f(x)的图像过点这三个条件中选择一个,补充在上面问题中并作答.
考点
函数y=Asin(ωx+φ)的模型的应用
【例4】(2021河南高三质检,15)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.假定在水流稳定的情况下,筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图,将筒车抽象为一个几何图形(圆),筒车的半径为4
m,筒车转轮的中心O到水面的距离为2
m,筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定:盛水筒M对应的点P从水中浮现(即P0时的位置)时开始计算时间,且以水轮的圆心O为坐标原点,过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.设盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t(单位:s),且此时点P距离水面的高度为h(单位:m),则h与t的函数关系式为　　　　　　　,点P第一次到达最高点需要的时间为　　　　s.?
解题心得三角函数模型在实际应用中的2种类型及解题策略
(1)已知函数模型,利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则;
(2)把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是建模.
对点训练4(1)据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+BA>0,ω>0,|φ|<的模型波动(x为月份,且1≤x≤12,x∈N+),已知3月份达到最高价9千元,9月份价格最低为5千元,则7月份的出厂价格为　　　　元.?
(2)某城市一年中12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+Acos(x-6)(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高为28
℃,12月份的月平均气温最低为18
℃,则10月份的月平均气温为　　　　℃.?
1.由函数y=Asin(ωx+φ)的图像确定A,ω,φ的题型,常常以“五点法”中的五个点作为突破口,要从图像的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置.要善于抓住特殊量和特殊点.
2.函数y=Asin(ωx+φ)的图像与x轴的每一个交点均为其对称中心,若函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图像关于点(x0,0)成中心对称,则ωx0+φ=kπ(k∈Z);经过函数y=Asin(ωx+φ)图像的最高点或最低点,且与x轴垂直的直线都为其对称轴,两个相邻对称轴的距离是半个周期.若函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图像关于直线x=x0对称,则ωx0+φ=kπ+(k∈Z).
1.在三角函数的平移变换中,无论是先平移再伸缩,还是先伸缩再平移,只要平移|φ|个单位长度,都是相应的解析式中的x变为x±|φ|.
2.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间的确定,基本思想是把(ωx+φ)看作一个整体,若ω<0,则要根据诱导公式转化成ω>0.
4.4　函数y=Asin(ωx+φ)
的图像及应用
必备知识·预案自诊
考点自诊
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×
2.B　由题意可知,将函数y=2sin2x的图像向左平移个单位长度得y=2sin2x+=2sin2x+的图像,令2x++kπ(k∈Z),得x=(k∈Z).故选B.
3.B　由题得,y=(sin2x+cos2x)=2sin2x+=2sin2x+,故选B.
4.B　因为函数g(x)=sinx++φ为偶函数,所以+φ=kπ+(k∈Z),解得φ=kπ+(k∈Z).
当k=0时,φ=,
即|φ|的最小值为.
5.x=-　将函数y=3sin的图像向右平移个单位长度后得到函数y=3sin=3sin的图像.由2x-+kπ,k∈Z,得
平移后的对称轴的方程为x=,k∈Z.
当k=0时,x=,当k=-1时,x=-.所以与y轴最近的对称轴的方程是x=-.
关键能力·学案突破
例1解(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=-.
数据补充完整如下表
ωx+φ
0
π
2π
x
Asin(ωx+φ)
0
5
0
-5
0
函数解析式为f(x)=5sin.
(2)由(1)知f(x)=5sin,
得g(x)=5sin.
因为y=sinx图像的对称中心为(kπ,0),k∈Z,所以令2x+2θ-=kπ,k∈Z,
解得x=-θ,k∈Z.
由于函数y=g(x)的图像关于点成中心对称,令-θ=,k∈Z,解得θ=,k∈Z.由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值.
对点训练1解(1)y=2sin的振幅A=2,周期T==π,初相φ=.
(2)令x'=2x+,
则y=2sin=2sinx'.
列表,
x
-
x'=2x+
0
π
2π
y=2sin
0
2
0
-2
0
描点画图得函数图像,
(3)把y=sinx的图像上所有的点先向左平移个单位长度,得到y=sin的图像,再把y=sinx+的图像上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),得到y=sin2x+的图像,最后把y=sin上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin的图像.
例2(1)C　(2)A　(1)由图可知,A=2,=π,所以T=4π=,解得ω=,故f(x)=2sin.
因为图像过点C(0,1),所以1=2sin4φ,即sin4φ=.因为0<φ<,所以0<4φ<,所以4φ=,则f(x)=2sin,故A选项正确;若其纵坐标不变,横坐标变为原来的,所得到的函数解析式为y=2sin,
再向右平移个单位长度,所得到的函数解析式g(x)=2sin2x-+=2sin,故B选项正确;
当x=-时,f=2sin0=0,则x=-不是函数f(x)图像的一条对称轴,故C选项错误;
令2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
故函数g(x)的递增区间是(k∈Z),
当k=1时,g(x)在区间上递增,故D选项正确.
(2)由题图知,A=2,周期T=2--=π,
所以ω==2,y=2sin(2x+φ).
(方法1)因为函数图像过点,2,
所以2=2sin2×+φ.
所以+φ=2kπ+(k∈Z).
因为|φ|<,故令k=0,得φ=-,
所以y=2sin2x-,故选A.
(方法2)因为函数图像过点-,-2,所以-2=2sin2×-+φ,
所以2×-+φ=2kπ-,k∈Z,即φ=2kπ-,k∈Z.
因为|φ|<,故令k=0,得φ=-,所以y=2sin2x-.故选A.
对点训练2(1)A　(2)D　　(1)由图像可知A=2,T=4×=π,则ω==2,当x=时,函数取得最大值,所以2×+φ=kπ,k∈Z,因为|φ|<,所以φ=-,故选A.
(2)由图像可得A=,最小正周期T=4×=π,则ω==2.
由f=sin+φ=-,|φ|<,得φ=,则f(x)=sin2x+,所以f=sin=sin=-1.
例3解(1)函数f(x)=Asin满足的条件为①③.
由题意可知,条件①②互相矛盾,故③为函数f(x)=Asin满足的条件之一.
由③可知,T=π,所以ω=2,故②不合题意,所以函数f(x)=Asinωx+满足的条件为①③.
由①可知A=2,
所以f(x)=2sin2x+.
(2)因为f(x)+1=0,
所以sin=-.
所以2x+=-+2kπ(k∈Z)或2x++2kπ(k∈Z),
即x=-+kπ(k∈Z)或x=+kπ(k∈Z).
又因为x∈[-π,π],
所以x的取值为-,-,
所以方程f(x)+1=0在区间[-π,π]上所有解的和为.
对点训练3解(1)因为f(x)=asin2x--cos-1=asin2x--cos2x+-1=asin2x--cos2x-+-1=(a+1)sin2x--1,所以函数f(x)的最小正周期T=π.因为a>0,所以函数f(x)的最大值和最小值分别为a,-a-2.
若选①,则a=1,函数f(x)=2sin2x--1;
若选②,则-3为函数f(x)的最小值,从而a=1,函数f(x)=2sin-1;
若选③,则(a+1)sin2×-1=0,从而a=1,函数f(x)=2sin2x--1.
(2)由(1)知,函数f(x)的最大值为1.
因为关于x的方程f(x)=1在区间[0,m]上有两个不同解,当x∈[0,m]时,2x-∈-,2m-,所以≤2m-,解得≤m<.所以实数m的取值范围是.
例4h=4sint-+2　5　因为∠xOP0=,所以-是以Ox为始边,OP0为终边的角,由OP在ts内转过的角为t=t,可知以Ox为始边,以OP为终边的角为t-,则点P的纵坐标为4sint-,所以点P距水面的高度hm表示为时间ts的函数是h=4sint-+2.令h=4sint-+2=6,得sint-=1,
取t-,t=5,故经过5s后点P第一次到达最高点.
对点训练4(1)6
000　(2)20.5　(1)作出函数f(x)=Asin(ωx+φ)+BA>0,ω>0,|φ|<的简图如图所示,
由题意知A=2000,B=7000,T=2×(9-3)=12,∴ω=.故f(x)=2000sinx+φ+7000,
∵图像过点(3,9000),则有×3+φ=,∴φ=0,
故f(x)=2000sinx+7000(1≤x≤12,x∈N
),∴f(7)=2000×sin+7000=6000(元).
(2)由题意得
所以y=23+5cos(x-6),令x=10,得y=20.5.

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