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7.5　数学归纳法
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.数学归纳法的定义
一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:
(1)(归纳奠基)验证:当n取第一个值n0(n0∈N+)时命题成立;
(2)(归纳递推)在假设n=k(k≥n0,k∈N+)时命题成立的前提下,推出当n=　　　　　时,命题成立.?
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫作数学归纳法.
2.数学归纳法的框图表示
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立.(　　)
(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.(　　)
(3)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项.(　　)
(4)用数学归纳法证明等式“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,验证n=1时,左边式子应为1+2+22+23.(　　)
(5)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时,n0=3.(　　)
2.用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=(n∈N+),验证n=1时,左边应取的项是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1
B.1+2
C.1+2+3
D.1+2+3+4
3.(2020新疆巴楚一中期中)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n-3)条时,第一步验证n等于(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
4.(2020上海实验学校期中)已知f(k)=k+(k+1)+(k+2)+…+2k(k∈N+),则(　　)
A.f(k+1)-f(k)=2k+2
B.f(k+1)-f(k)=3k+3
C.f(k+1)-f(k)=4k+2
D.f(k+1)-f(k)=4k+3
5.已知Sn=+…+(n∈N+),利用数学归纳法证明不等式Sn>的过程中,从n=k到n=k+1(k∈N+)时,不等式的左边=Sk+　　　　　　　　.?
关键能力学案突破　
考点
用数学归纳法证明等式
【例1】已知函数f(n)=-1+3-5+…+(-1)n·(2n-1)(n∈N+).
(1)求f(n+1)-f(n);
(2)用数学归纳法证明f(n)=(-1)n·n.
解题心得用数学归纳法证明等式的注意点
(1)用数学归纳法证明等式问题,要“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始值n0是多少.
(2)由n=k时等式成立,推出n=k+1时等式成立,一要找出等式两边的变化(差异),明确变形目标;二要充分利用归纳假设,进行合理变形,正确写出证明过程.
(3)不利用归纳假设的证明,就不是数学归纳法.
对点训练1用数学归纳法证明12+22+32+…+n2=(n∈N+).
考点
利用数学归纳法证明不等式
【例2】给定数列{xn},其中x1=a,xn+1=(n=1,2,3,…).
(1)当a>2时,求证:xn>2;
(2)当a=时,是否存在区间[s,t],使得对任意的n∈N+,xn∈[s,t].若存在,求出t-s的最小值;若不存在,请说明理由.
解题心得1.当遇到与正整数n有关的不等式证明时,若用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法.
2.证明的关键是:由n=k时命题成立证n=k+1时命题也成立,在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明,充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧,使问题得以简化.
对点训练2(2020上海高三专题练习)设实数c>0,整数p>1,n∈N+.
证明:当x>-1,且x≠0时,(1+x)p>1+px.
考点
归纳—猜想—证明(多考向探究)
考向1　与函数有关的证明
【例3】设函数f(x)=ln
(1+x),g(x)=xf'(x),x≥0,其中f'(x)是f(x)的导函数.
(1)令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,求gn(x)的表达式;
(2)若f(x)≥ag(x)恒成立,求实数a的取值范围.
思考与函数有关的证明是何时使用数学归纳法?
解题心得一般的若函数涉及解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中,常常利用特值探索一下结论,再进行猜想、证明.此时往往用到数学归纳法.
对点训练3已知函数f(x)=x2-x+1,记f1(x)=f(x),当n≥2时,fn(x)=(f(x)).
(1)求证:f2(x)在(1,+∞)上是增加的;
(2)对于任意n∈N+,判断fn(x)在(1,+∞)上的单调性,并证明.
考向2　与数列有关的证明
【例4】观察以下等式:
13=12
13+23=(1+2)2
13+23+33=(1+2+3)2
13+23+33+43=(1+2+3+4)2
(1)请用含n的等式归纳猜想出一般性结论,并用数学归纳法加以证明.
(2)设数列{an}的前n项和为Sn,且an=n3+n,求S10.
对点训练4已知数列{an}满足a1=-1,an+1=(n∈N+),数列{bn}满足bn=(n∈N+).
(1)求证:数列(n∈N+)为等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)求证:当n≥2(n∈N+)时,bn+1+bn+2+…+b2n<.
(3)设数列{bn}的前n项和为Sn,求证:当n≥2时,>2+…+(n∈N+).
7.5　数学归纳法
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.(2)k+1
考点自诊
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√
2.D　在等式1+2+3+…+(n+3)=(n∈N
)中,当n=1时,n+3=4,而等式左边是起始为1的连续的正整数的和,故n=1时,等式左边的项为1+2+3+4,故选D.
3.C　因为多边形的边数最少是3,即三角形,故在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n-3)条时,第一步验证n等于3,故选C.
4.B　由题得f(k+1)=k+1+(k+2)+(k+3)+…+2k+2k+1+2(k+1),
f(k)=k+(k+1)+(k+2)+…+2k,
所以f(k+1)-f(k)=-k+2k+1+2k+2=3k+3.故选B.
5.　当n=k时,不等式左边为Sk=+…+,
当n=k+1时,不等式左边为Sk+1=+…+,
所以=Sk+=Sk+.
关键能力·学案突破
例1(1)解∵f(n)=-1+3-5+…+(-1)n·(2n-1)(n∈N
),
∴f(n+1)-f(n)=(-1)n+1·(2n+1).
(2)证明(i)n=1时,f(1)=-1成立.
(ii)假设n=k∈N
时成立,即f(k)=(-1)k·k.
则n=k+1时,f(k+1)=f(k)+(-1)k+1·(2k+1)=(-1)k·k+(-1)k+1·(2k+1)=(-1)k+1·(2k+1-k)=(-1)k+1·(k+1).∴n=k+1时也成立.综上可得,对于任意n∈N
,f(n)=(-1)n·n.
对点训练1证明①当n=1时,左边=12=1,右边==1,等式成立;
②假设当n=k(k∈N
)时等式成立,即12+22+32+…+k2=(k∈N
).则当n=k+1(k∈N
)时,12+22+32+…+k2+(k+1)2=+(k+1)2
=
=
=
=(k∈N
).
即当n=k+1时等式也成立.由①②知,等式对任何n∈N
都成立.
例2(1)证明数学归纳法
①由条件a>2及x1=a知,当n=1时,x1>2成立;
②假设当n=k(k∈N
)时,不等式成立,则当n=k+1(k∈N
)时,因为由条件及归纳假设知,xk+1-2=-2=>0,故xk+1>2.
由①②知,不等式xn>2对于所有的正整数n成立.
(2)解由x1=,得x2=>2,由(1)及x2>2知,当n≥2时,xn>2,则=x1=.
下证:<1(n=2,3,…),由条件及xn>2(n=2,3,…)知,<1?<1?xn>2,因此不等式<1(n=2,3,…)成立.故从第二项开始,数列{xn}递减,于是=x2=.
所以满足题意的区间[s,t]存在,(t-s)min=.
对点训练2证明①当p=2时,(1+x)2=1+2x+x2>1+2x,原不等式成立;
②假设p=k(k≥2,k∈N
)时,不等式(1+x)k>1+kx成立.
当p=k+1时,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x.
所以p=k+1时,原不等式成立.综合①②,知当x>-1,且x≠0时,对一切整数p>1,不等式(1+x)p>1+px均成立.
例3解由题设得g(x)=(x≥0).
(1)由已知,g1(x)=,g2(x)=g(g1(x))=,g3(x)=,…,可猜想gn(x)=.
下面用数学归纳法证明.
①当n=1时,g1(x)=,结论成立.
②假设当n=k(k≥1,k∈N
)时结论成立,即gk(x)=.
则当n=k+1时,gk+1(x)=g(gk(x))=,即结论成立.由①②可知,结论对n∈N
成立.
(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立,即ln(1+x)≥恒成立.设φ(x)=ln(1+x)-(x≥0),则φ'(x)=,当a≤1时,φ'(x)≥0(当且仅当x=0,a=1时等号成立),
∴φ(x)在[0,+∞)上递增.
又φ(0)=0,∴φ(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,∴当a≤1时,ln(1+x)≥恒成立(当且仅当x=0时等号成立).
当a>1时,对x∈(0,a-1],有φ'(x)≤0,∴φ(x)在(0,a-1]上递减,
∴φ(a-1)<φ(0)=0,
即当a>1时,存在x>0,使φ(x)<0,
∴ln(1+x)≥不恒成立.
综上可知,a的取值范围是(-∞,1].
对点训练3证明(1)因为f2(x)=f(f(x))=f(x2-x+1),所以f2'(x)=(2x-1)f'(x2-x+1),因为x>1,所以2x-1>0,x2-x+1>1,所以f'(x2-x+1)=2(x2-x+1)-1>0,所以f2'(x)>0,
所以f2(x)在(1,+∞)上是增加的.
(2)对于任意x∈N
,f(x)在(1,+∞)上递增.证明如下:
①当n=1时,结论显然成立;
②假设当n=k时结论也成立,即fk(x)在(1,+∞)上是增加的,
所以fk'(x)>0在(1,+∞)上恒成立.
当n=k+1时,fk+1(x)=fk(f(x))=fk(x2-x+1),
所以fk+1'(x)=(2x-1)fk'(x2-x+1).
又当x>1时,2x-1>0,x2-x+1>1,
所以fk'(x2-x+1)>0在(1,+∞)上恒成立,
所以fk+1'(x)=(2x-1)fk'(x2-x+1)>0在(1,+∞)上恒成立,
所以(x)在(1,+∞)上是增加的.
由①②得证,对于任意n∈N
,fn(x)在(1,+∞)上均是增加的.
例4解(1)猜想13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2.
当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立;
假设n=k时,13+23+33+…+k3=(1+2+3+…+k)2,
当n=k+1时,13+23+33+…+k3+(k+1)3=(1+2+3+…+k)2+(k+1)3
=2+(k+1)3=(k+1)2·=2
=(1+2+…+k+1)2,
可得n=k+1时,猜想也成立.
综上可得对任意的正整数n,13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2.
(2)数列{an}的前n项和为Sn,且an=n3+n,
S10=(13+23+…+103)+(1+2+3+…+10)=(1+2+…+10)2+
=552+55=3080.
对点训练4证明(1)由题意=3,即=3=3n-1(n∈N
),所以数列为等比数列,首项为1,公比为3,∴an=n·3n-1-2(n∈N
).
(2)当n=2时,b3+b4=,即n=2时,命题成立.
假设n=k(k≥2)时命题成立,即+…+.
当n=k+1时,+…+
=,即n=k+1时命题也成立.
综上,对于任意n≥2,bn+1+bn+2+…+b2n<(n∈N
).
(3)由(1)知,bn=,当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=,Sn-=Sn-1,
平方得,∴,
叠加得-1=2+…+-+…+,
∴=2+…++1-+…+,
∵,
∴+…+<1-++…+
=1-<1,
∴>2+…+.7.4　综合法、分析法、反证法
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.综合法与分析法
内容
综合法
分析法
定义
从命题的　　　　出发,利用　　　　　　　　,通过演绎推理,一步一步地接近要证明的　　　　,直到完成命题的证明.我们把这样的思维方法称为综合法.?
从　　　　　　出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的　　　　　,直到归结为这个命题的条件,或者归结为定义、公理、定理等.我们把这样的思维方法称为分析法.?
实质
由因导果
执果索因
框图
表示
P?Q1→Q1?Q2→…→Qn?Q
Q?P1→P1?P2→…→得到一个明显
成立的条件
文字
语言
因为……所以……
或由……得……
要证……只需证……
即证……
2.反证法
(1)反证法的定义:在假定命题结论　　　　　的前提下,经过推理,若推出的结果与定义、公理、定理矛盾,或与命题中的已知条件相矛盾,或与假定相矛盾,从而说明命题结论的反面不可能成立,由此断定命题结论成立的方法叫反证法.?
(2)用反证法证明的一般步骤:①反设——假设命题的结论不成立;②归谬——根据假设进行推理,直到推出矛盾为止;③结论——断言假设不成立,从而肯定原命题的结论成立.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)综合法是直接证明,分析法是间接证明.
(　　)
(2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件.
(　　)
(3)反证法是指将结论和条件同时否定,推出矛盾.
(　　)
(4)在解决问题时,常常用分析法寻找解题的思路与方法,再用综合法展现解决问题的过程.
(　　)
(5)证明不等式最合适的方法是分析法.
(　　)
2.命题:“对于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos
2θ”的证明过程“cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)·(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos
2θ”应用了(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.分析法
B.综合法
C.综合法与分析法结合使用
D.反证法
3.用反证法证明“凸四边形的四个内角中至少有一个不小于90°”时,首先要作出的假设是(　　)
A.四个内角都大于90°
B.四个内角中有一个大于90°
C.四个内角都小于90°
D.四个内角中有一个小于90°
4.(2020四川树德中学期中)欲证成立,只需证(　　)
A.
B.
C.
D.
5.(2020吉林油田十一中月考)比较大小:3-2　　　　?(填“>”“<”或“=”).
关键能力学案突破　
考点
综合法的应用
【例1】若x,y,z是互不相等的实数,且x+=y+=z+,求证:x2y2z2=1.
思考综合法的适用题型是哪些?综合法证明问题是怎样实现的?
解题心得1.综合法的适用范围:(1)定义明确的问题,如证明函数的单调性、奇偶性等,求证没有限制条件的等式或不等式.(2)已知条件明确,并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型.
2.综合法是一种由因索果的证明方法,其逻辑依据也是三段论式的演绎推理方法,因此要保证前提条件正确,推理合乎规律,这样才能保证结论的正确性.其过程一般是从命题的条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则,通过演绎推理,一步一步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明.
对点训练1已知a,b,c>0,a+b+c=1.求证:
(1);
(2).
考点
分析法的应用
【例2】已知非零向量a,b,且a⊥b,用分析法证明:.
思考分析法的证明思路是什么,适用于何种题型?
解题心得1.逆向思考是用分析法证题的主要思想,通过反推,逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.
2.证明较复杂的问题时,可以采用两头凑的办法,即通过分析法找出某个结论等价(或充分)的中间结论,然后通过综合法由条件证明这个中间结论,从而使原命题得证.
3.当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需知识不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,从正面不易推导时,常考虑用分析法.
对点训练2(2020陕西临潼期末)证明:(1);
(2)如果a,b>0,则lg.
考点
反证法的应用
【例3】设{an}是公比为q的等比数列.
(1)推导{an}的前n项和公式;
(2)设q≠1,证明:数列{an+1}不是等比数列.
思考证明否定性问题的思路是什么?
解题心得对于含有否定概念的命题,直接证明不好证,但问题的反面比较具体易证,一般利用补集法或反证法解答证明.先假设肯定结论成立,然后根据有关的概念、定理、定义、推出与已知、公理、定理等有矛盾,从而说明原命题成立.
对点训练3(2020河南新安一高月考)(1)已知x>0,y>0,且x+y>2,求证:中至少有一个小于3.
(2)当a+b>0时,求证:(a+b).
1.分析法是从结论出发,逆向思维,寻找使结论成立的充分条件.应用分析法要严格按分析法的语言表达,下一步是上一步的充分条件.
2.证明问题的常用思路:在解题时,常常把分析法和综合法结合起来运用,先以分析法寻求解题思路,再用综合法表述解答或证明过程.
3.用反证法证明问题要把握三点:(1)必须先否定结论,即肯定结论的反面;(2)必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须依据这一条件进行推理;(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实矛盾等,但推导出的矛盾必须是明显的.
7.4　综合法、分析法、反证法
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.条件　定义、公理、定理及运算法则
结论　求证的结论　充分条件
2.(1)反面成立
考点自诊
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√
2.B　在证明的过程中使用了平方差公式,以及同角的三角函数的关系式,符合综合法的定义,故证明过程使用了综合法.
故选B.
3.C　首先要作出的假设是“凸四边形的四个内角中没有一个不小于90°”,即为“凸四边形的四个内角都小于90°”.故选C.
4.C　根据题意,欲证,则需证,即只需证.故选C.
5.<　平方后再比较.然后用综合法写出过程即可.∵72>70,∴2>2,即12>2,∴17-12<17-2,
即,∴3-2.
关键能力·学案突破
例1证明∵x+=y+,∴x-y=,∴x-y=,即yz=.
∵x+=z+,∴x-z=,
∴x-z=,即xy=.同理可得xz=.∴x2y2z2=(xy)(xz)(yz)==1.
对点训练1证明(1)∵,
∴)≤=1,∴,当且仅当a=b=c=时取等号.
(2)∵≥2,
≥2,≥2,
∴≥6,
∴≥9,
即≥9,
∴.
当且仅当a=b=c=时等号成立.
例2证明若证原不等式.
只需证|a|+|b|≤|a+b|,
只需证(|a|+|b|)2≤(|a+b|)2,
即证a2+b2+2|a||b|≤2a2+2b2+4a·b.
因为非零向量a,b,且a⊥b,所以a·b=0,即证2|a||b|≤a2+b2,
即证(|a|-|b|)2≥0,显然成立.
所以原不等式成立.
对点训练2证明(1)要证,只要证,
即2>2,显然成立的,所以,原不等式成立.
(2)当a>0,b>0时,要证lg,只要证lg≥lg,因为函数y=lgx在(0,+∞)上递增,即证>0,此不等式显然成立,当且仅当a=b时等号成立.所以lg.
例3(1)解设{an}的前n项和为Sn,则当q=1时,Sn=a1+a1+…+a1=na1;
当q≠1时,Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,
①
qSn=a1q+a1q2+…+a1qn,
②
①-②得,(1-q)Sn=a1-a1qn,
∴Sn=,
∴Sn=
(2)证明假设{an+1}是等比数列,则对任意的k∈N
,
(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1),
+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,
q2k+2a1qk=a1qk-1·a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1,
∵a1≠0,∴2qk=qk-1+qk+1.
∵q≠0,∴q2-2q+1=0,∴q=1,这与已知矛盾.∴假设不成立,故{an+1}不是等比数列.
对点训练3证明(1)(反证法)假设结论不成立,即有≥3,且≥3,由已知x>0,y>0,所以有1+2y≥3x,且1+2x≥3y,故2+2x+2y≥3x+3y,化简得2≥x+y,
与已知x+y>2矛盾,假设不成立.所以中至少有一个小于3成立.
(2)(分析法)要证(a+b),只需证,即证a2+b2≥(a2+b2+2ab),即证a2+b2≥2ab.因为a2+b2≥2ab对一切实数恒成立,所以(a+b)成立.7.3　归纳与类比
必备知识预案自诊　
知识梳理
合情推理
(1)归纳推理:根据一类事物中　　　　　　具有某种属性,推断该类事物中　　　　　　都有这种属性.我们将这种推理方式称为归纳推理.简言之,归纳推理是由　　　　到　　　　,由　　　　到　　　　的推理.?
归纳推理的基本模式:a,b,c∈M且a,b,c具有某属性.
结论:任意d∈M,d也具有某属性.
(2)类比推理:由于两类不同对象具有　　　　　　,在此基础上,根据　　　　　　　　的其他特征,推断　　　　　　　　也具有类似的其他特征,我们把这种推理过程称为类比推理.简言之,类比推理是由　　　　　　　的推理.?
类比推理的基本模式:A:具有属性a,b,c,d;B:具有属性:a',b',c';结论:B具有属性d'.(a,b,c,d与a',b',c',d'相似或相同)
(3)合情推理:根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些结果的推理方式.归纳推理和类比推理是最常见的合情推理.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确.
(　　)
(2)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理.
(　　)
(3)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.
(　　)
(4)一个数列的前三项是1,2,3,那么这个数列的通项公式是an=n(n∈N+).
(　　)
2.下列说法正确的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.合理推理就是类比推理
B.合情推理得到的结论一定是正确的
C.合情推理得到的结论不一定正确
D.归纳推理得到的结论一定是正确的
3.如图,根据图中的数构成的规律,a表示的数是
(　　)
A.12
B.48
C.60
D.144
4.(2020山东潍坊二模,3)甲、乙、丙三人中,一人是律师,一人是医生,一人是记者.已知丙的年龄比医生大;甲的年龄和记者不同;记者的年龄比乙小.根据以上情况,下列判断正确的是(　　)
A.甲是律师,乙是医生,丙是记者
B.甲是医生,乙是记者,丙是律师
C.甲是医生,乙是律师,丙是记者
D.甲是记者,乙是医生,丙是律师
5.(2020山西大同一中月考,理6)在等差数列{an}中,若an>0,公差d≠0,则有a4a6>a3a7.类比上述性质,在等比数列{bn}中,若bn>0,公比q≠0,则关于b5,b7,b4,b8的一个不等关系正确的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.b5b7>b4b8
B.b7b8>b4b5
C.b5+b7D.b7+b8关键能力学案突破　
考点
归纳推理
(多考向探究)
考向1　数的归纳
【例1】(2020安徽寿县一中,文7)下面的数表为“森德拉姆筛”,其特点是表中的每行每列上的数都成等差数列,则第n行第n个数字是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
2
3
4
5
…
3
5
7
9
…
4
7
10
13
…
5
9
13
17
…
…
…
…
…
…
A.n2-1
B.(n+1)2+1
C.n2+1
D.n2
思考归纳推理的步骤是什么?
考向2　式的归纳
【例2】观察下列各式:,…,则+…+等于(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.
D.
思考式的归纳如何实现?
考向3　形的归纳
【例3】(2020湖南大学附中9月摸底,理10)如图所示,在著名的汉诺塔问题中有三根针和套在一根针上的若干金属片,按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上:①每次只能移动一个金属片;②在每次移动过程中,每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f(n),则f(6)=(　　)
A.61
B.33
C.63
D.65
思考形的归纳有几种?
解题心得1.归纳推理的一般步骤:(1)通过观察个别情况发现某些相同的性质.(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).
2.常见的归纳推理分为数、式的归纳和形的归纳两类:
(1)与数字有关的等式的推理:观察数字的变化特点,找出等式左右两侧的规律及符号可解.
(2)与式子有关的归纳推理:
①与不等式有关的推理:观察每个不等式的特点,注意是纵向看,找到规律后可解;
②与数列有关的推理:通常是先求出几个特殊项,采用不完全归纳法,找出数列的项与项数的关系,列出即可.
(3)与图形变化有关的推理:合理利用特殊图形归纳推理得出结论,采用赋值检验法验证其真伪性.
对点训练1(1)如下分组正整数对:第一组为{(1,2),(2,1)},第二组为{(1,3),(3,1)},第三组为{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},第四组为{(1,5),(2,4),(4,2),(5,1)},依此规律.则第30组第20个数对是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(12,20)
B.(20,10)
C.(21,11)
D.(20,12)
(2)对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”:23,33,43,…,仿此,若m3的“分裂数”中有一个是123,则m为(　　)
A.9
B.10
C.11
D.12
(3)如图所示,由若干个圆点组成形如三角形的图形,每条边(包括两个端点)有n(n>1,n∈N+)个点,每个图形总的点数记为an,则+…+=　　　　.?
考点
类比推理
【例4】(1)对于命题:如果O是线段AB上一点,则||·+||·=0;将它类比到平面的情形是:若O是△ABC内一点,有S△OBC·+S△OCA·+S△OBA·=0;将它类比到空间的情形应该是:若O是四面体ABCD内一点,则有　.?
(2)我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式1+中“…”即代表无限次重复,但原式却是个定值,它可以通过方程1+=x求得x=,类似上述过程,则=(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
思考类比推理的关键是什么?
解题心得类比推理的关键及类型
(1)类比推理是指依据两类数学对象的相似性,将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去.一般步骤:①找出两类事物之间的相似性或者一致性.②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(或猜想).
(2)类比推理常见的情形有:平面与空间类比;低维与高维类比;等差数列与等比数列类比;运算类比(加与积,乘与乘方,减与除,除与开方);数的运算与向量运算类比;圆锥曲线间的类比等.
对点训练2设an=n(n+1),利用n(n+1)=求出数列{an}的前n项和Sn=,设bn=n(n+1)(n+2),类比这种方法可以求得数列{bn}的前n项和Tn=　　　　　.?
考点
生活中的合情推理
【例5】(1)(2020北京八中模拟二,10)为配合促销活动,某公司的四个商品派送点如图环形分布,并且公司给A,B,C,D四个派送点准备某种商品各50个.根据平台数据中心统计发现,需要将发送给A,B,C,D四个派送点的商品数调整为40,45,54,61,但调整只能在相邻派送点进行,每次调动可以调整1件商品.为完成调整,则(　　)
A.最少需要16次调动,有2种可行方案
B.最少需要15次调动,有1种可行方案
C.最少需要16次调动,有1种可行方案
D.最少需要15次调动,有2种可行方案
(2)(2020湖南长郡中学四模,文14)甲、乙、丙、丁四人进行一项益智游戏,方法如下:第一步,先由四人看着平面直角坐标系中方格内的16个棋子(如图所示),甲从中记下某个棋子的坐标;第二步,甲分别告诉其他三人:告诉乙棋子的横坐标,告诉丙棋子的纵坐标,告诉丁棋子的横坐标与纵坐标相等;第三步,由乙、丙、丁依次回答.对话如下:乙先说我无法确定,丙接着说我也无法确定.最后丁说我知道.则甲记下的棋子的坐标为　　　　　.?
思考如何解决生活中的合情推理问题?
解题心得在进行合情推理时,要依据一定的“规则”——已知条件、公式、法则、推理等.只有不断地观察、比较、分析、推理,才能得到正确的答案.
对点训练3(1)(2020山东济南一模,5)某方舱医院医疗小组有七名护士,每名护士从周一到周日轮流安排一个
夜班.若甲的夜班比丙晚一天,丁的夜班比戊晚两天,乙的夜班比庚早三天,己的夜班在周四,且恰好在乙和丙的正中间,则周五值夜班的护士为(　　)
A.甲
B.丙
C.戊
D.庚
(2)(2020陕西榆林一模,理5)关于甲、乙、丙三人参加高考的结果有下列三个正确的判断:①若甲未被录取,则乙、丙都被录取;②乙与丙中必有一个未被录取;③或者甲未被录取,或者乙被录取.则三人中被录取的是(　　)
A.甲
B.丙
C.甲与丙
D.甲与乙
1.合情推理
(1)归纳推理是由特殊到一般的推理;
(2)类比推理是由特殊到特殊的推理;
(3)从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待证明.
2.在数学研究中,在得到一个新结论前,合情推理能帮助猜测和发现结论.在证明一个数学结论之前,合情推理常常能为证明提供思路与方向.数学结论的证明主要通过演绎推理来进行.
7.3　归纳与类比
必备知识·预案自诊
知识梳理
(1)部分事物　每一个　部分　整体　个别　一般　(2)某些类似的特征　一类对象　另一类对象　特殊到特殊
考点自诊
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.C　合情推理包括类比推理和归纳推理,故A错误;由类比推理和归纳推理的概念可知,它们得到的结论不一定正确,故B,D错误,C正确.故选C.
3.D　根据题意得,第n行有n个数,且当n≥3时,每一行的第一个数与最后一个数都等于n,中间每个数等于其肩上两个数的积,则a所表示的数是12×12=144.故选D.
4.C　由甲的年龄和记者不同,记者的年龄比乙小,得到丙是记者,从而排除B和D;由丙的年龄比医生大且比乙小,得到乙不是医生,从而乙是律师,甲是医生.故选C.
5.C　在等差数列{an}中,由4+6=3+7时,有a4a6>a3a7,类比到等比数列{bn}中,由5+7=4+8时,有b4+b8>b5+b7,因为b4+b8-(b5+b7)=b4+b4q4-b4q-b4q3=b4(1-q)+b4q3(q-1)=b4(1-q)(1-q3)=b4(1-q)2(1+q+q2)>0,所以b4+b8>b5+b7成立.故选C.
关键能力·学案突破
例1C　设第n行第n个数字是ann,由题意知,第n行是首项为n+1,公差为n的等差数列,所以ann=(n+1)+(n-1)×n=n2+1,故选C.
例2C　,…,则+…+.故选C.
例3C　由题设可得f(1)=1,求出f(2)=2×1+1=3,由于每次移动过程中,每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面,所以f(3)=2f(2)+1=7,f(4)=2f(3)+1=15,推导出f(n+1)=2f(n)+1,所以f(6)=63.故选C.
对点训练1(1)C　(2)C　(3)　(1)由题意可知第一组的各个数字和为3,第二组各个数字和为4,第三组各个数字和为5,第四组各个数字和为6,…,第n组各个数字和为n+2,且各个数对无重复数字,可得第30组各个数字和为32,则第30组第20个数对为(21,11).故选C.
(2)由题意,从23到m3,正好用去从3开始的连续奇数共2+3+4+…+m=个,
123是从3开始的第+1=61个奇数,当m=10时,用去了=54个奇数,
当m=11时,用去了=65个奇数,故m=11.故选C.
(3)每个边有n个点,把每个边的点数相加得3n,这样角上的点数被重复计算了一次,故第n个图形的点数为3n-3,即an=3n-3,令Sn=+…++…+=1-+…+,故答案为.
例4(1)VO-BCD·+VO-ACD·+VO-ABD·+VO-ABC·=0　(2)B　(1)线段长度类比到空间为体积,再结合类比到平面的结论,可得空间中的结论为VO-BCD·+VO-ACD·+VO-ABD·+VO-ABC·=0.
(2)由题知的值可以通过方程=x求出,
因为=x,解得x=2,所以=2.故选B.
对点训练2　类比题中的方法裂项可得,
n(n+1)(n+2)=,
则数列{bn}的前n项和Tn=.
例5(1)A　(2)(5,5)　(1)根据题意A,B两处共需向C,D两处调15个商品,这15个商品应给D处11个商品,C处4个商品,按照调动次数最少的原则,有以下两种方案:
方案一:A调动11个给D,B调动1个给A,B调动4个给C,共调动16次;
方案二:A调动10个给D,B调动5个给C,C调动1个给D,共调动16次.故选A.
(2)由题意,乙只知道棋子的横坐标,又无法确定,所以棋子必落在横坐标为2,5,6,7上,接下来丙知道棋子的纵坐标,又无法确定,所以棋子必落在纵坐标为0,1,3,4,5,7上,这些横纵坐标相等的点只有(5,5),所以丁说棋子的坐标为(5,5).
对点训练3(1)D　(2)D　(1)因为己的夜班在周四,且恰好在乙和丙的正中间,所以乙可能在星期一,二,三,五,六,日,因为乙的夜班比庚早三天,所以乙可能在星期二,三,如果乙在星期三,则庚在周六,且丙在周五,庚比丙晚一天,但与甲的夜班比丙晚一天矛盾,则乙在周二,庚在周五,故选D.
(2)若甲被录取,对于命题①,其逆否命题成立,即若乙、丙未全被录取,则甲被录取,命题②成立,则乙、丙有且只有一人录取,命题③成立,则乙被录取,三个命题能同时成立;
若乙被录取,命题②成立,则丙未被录取,命题③成立,命题①成立,其逆否命题成立,即若乙、丙未全被录取,则甲被录取,三个命题能同时成立;
若丙被录取,命题②成立,则乙未被录取,命题③成立,则甲未被录取,那么命题①就不能成立,三个命题不能同时成立.
综上所述,甲与乙被录取.故选D.www.
7.2　基本不等式及其应用
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.基本不等式:
(1)基本不等式成立的条件:　　　　　　　.?
(2)等号成立的条件:当且仅当　　　　时取等号.?
(3)其中称为正数a,b的算术平均数,称为正数a,b的几何平均数.
2.利用基本不等式求最值
已知x>0,y>0,
(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当　　　时,x+y有最　　值是2(简记:积定和最小).?
(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当　　　时,xy有最　　值是(简记:和定积最大).?
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
(2)ab≤(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
(3)(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
(4)≥2(a,b∈R,且a,b同号),当且仅当a=b时取等号.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)当a≥0,b≥0时,.(　　)
(2)两个不等式a2+b2≥2ab与成立的条件是相同的.(　　)
(3)函数y=x+的最小值是2.(　　)
(4)函数f(x)=sin
x+的最小值为2.(　　)
(5)x>0且y>0是≥2的充要条件.(　　)
2.若a>0,b>0,ab=2,则a+2b的最小值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2
B.4
C.4
D.6
3.(2020北京海淀期中,4)设a,b∈R,且aA.
B.
C.
D.>2
4.(2020山东淄博4月模拟,14)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为　　　　　.?
5.(2020北京陈经纶中学摸底,14)设x>0,y>0,x+2y=2,则xy的最大值为　　　　　.?
关键能力学案突破　
考点
利用基本不等式证明不等式
【例1】(2020黑龙江哈尔滨香坊区期末)已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,求证:
(1)≥9;
(2)-1-1-1≥8.
思考利用基本不等式证明不等式的方法技巧有哪些?
解题心得利用基本不等式证明不等式时,首先要观察题中要证明的不等式的形式,若不能直接使用基本不等式,则考虑利用拆项、配凑等方法对不等式进行变形,使之达到能使用基本不等式的条件;若题目中还有已知条件,则首先观察已知条件和所证不等式之间的联系,当已知条件中含有1时,要注意1的代换.另外,解题中要时刻注意等号能否取到.
对点训练1已知a>0,b>0,a+b=1,求证:≥9.
考点
利用基本不等式求最值(多考向探究)
考向1　求不含等式条件的最值问题
【例2】(1)若x>0,则函数y=x+的最小值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.+1
D.-1
(2)的最小值为　　　　.?
(3)已知0　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.
D.
考向2　求含有等式条件的最值问题
【例3】(1)(2020江西名校大联考,理11)若x>0,y>-1,且满足2x+y=1,则的最小值是(　　)
A.3
B.
C.2
D.
(2)(2020天津河北线上测试,15)已知a>0,b>0,且=1,则的最小值为　　　　　.?
对点训练2(1)(2020江苏联考)已知x>0,y>0,则x+的最小值为　　　　　.?
(2)(2020天津,14)已知a>0,b>0,且ab=1,则的最小值为　　　　　.?
考点
基本不等式的实际应用
【例4】(2020广东高州一中月考)某楼盘的建筑成本由土地使用权费和材料工程费构成,已知土地使用权费为6
000元/m2.材料工程费在建造第一层时为500元/m2,以后每增加一层费用增加30元/m2.(每一层的建筑面积都相同)
(1)若把楼盘的楼房设计成x层,平均每平方米建筑面积的成本为y元,将y表示成x的函数;
(2)若平均每平方米建筑面积的成本不高于1
235元,求楼房设计层数最少为多少层?
(3)应把楼盘的楼房设计成多少层,才能使平均每平方米建筑面积的成本费最低?
思考应用基本不等式解决实际应用问题的基本思路是什么?需注意什么事项?
解题心得1.利用基本不等式解决实际问题时,应先仔细阅读题目信息,理解题意,明确其中的数量关系,并引入变量,依题意列出相应的函数关系式,然后用基本不等式求解.
2.在用基本不等式求所列函数的最值时,若等号取不到,则可利用函数单调性求解.
3.在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.
对点训练3(2020福建期末联考)某品牌饮料原来每瓶成本为10元,售价为15元,月销售8万瓶.
(1)据市场调查,若售价每提高1元,月销售量将相应减少2
000瓶,要使月总利润不低于原来的月总利润(月总利润=月销售总收入-月总成本),该饮料每瓶售价最多为多少元?
(2)为提高月总利润,厂家决定下月进行营销策略改革,计划每瓶售价x(x≥16)元,并投入(x-16)万元作为营销策略改革费用.据市场调查,每瓶售价每提高1元,月销售量将相应减少万瓶,则当每瓶售价x为多少时,下月的月总利润最大?并求出下月最大总利润.
1.应用基本不等式求最值的常用方法有:
(1)若直接满足基本不等式的条件,则直接应用基本不等式.
(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,但可以通过添项、构造“1”的代换、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式.常用的方法还有拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等.
2.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,常常用于比较数(式)的大小或证明不等式,解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点,选择好利用基本不等式的切入点.
3.对于基本不等式还要掌握公式的逆用和变形,例如a2+b2≥2ab逆用就是ab≤(a>0,b>0)逆用就是ab≤(a>0,b>0).变形有ab≤(a>0,b>0)等,同时还要注意“添”“拆”项技巧和公式等号成立的条件等.
7.2　基本不等式及其应用
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.(1)a>0,b>0　(2)a=b
2.(1)x=y　小　(2)x=y　大
考点自诊
1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×
2.B　依题意,a>0,b>0,所以a+2b≥2.又ab=2,所以a+2b≥2=2=4,当且仅当a=2,b=1时,取得等号.故选B.
3.D　取a=-2,b=-1代入选项A,B,C都不成立,因为a0,>0,且.由基本不等式,得>2=2.
4.　由2a+=2a+2-3b≥2=2=2×2-3=2-2=,当且仅当a=-3b,即a=3,b=-1时,等号成立.
5.　x>0,y>0,x+2y≥2,即2≥2,整理得xy≤,当且仅当x=1,y=时取最大值.
关键能力·学案突破
例1证明(1)∵a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,∴=(a+b+c)=3+++≥3+2+2+2=9.
当且仅当a=b=c时,等号成立.
(2)-1-1-1=-1-1-1==8.
当且仅当a=b=c时上式等号成立.
对点训练1证明(方法1)∵a>0,b>0,a+b=1,
∴1+=1+=2+.
同理,1+=2+.
∴
=
=5+2≥5+4=9,
当且仅当,
即a=b=时,等号成立.
∴≥9,
当且仅当a=b=时,等号成立.
(方法2)
=1+
=1+=1+.
∵a,b为正数,a+b=1,
∴ab≤,当且仅当a=b=时,等号成立.
于是≥4,≥8,当且仅当a=b=时,等号成立.
∴≥1+8=9,
当且仅当a=b=时,等号成立.
例2(1)B　(2)9　(3)B　(1)x>0,函数y=x+=x++≥2,当且仅当x=时取等号.
∴函数y=x+的最小值为.故选B.
(2)=sin2θ+cos2θ=1+4+≥5+2=9.
当且仅当cos2θ=2sin2θ时取得等号.
(3)因为0例3(1)B　(2)4　(1)=2x++y+-1=,因为2x+y+1=2,所以(2x+y+1)=3+≥(3+2),当且仅当,2x+y=1时,等号成立,即x=2-,y=2-3时取得最小值.故选B.
(2)因为a>0,b>0,且=1,得a>1,b>1,且b=,
所以+4(a-1)≥2=4,
当且仅当a=时,等号成立,因此,的最小值为4.
对点训练2(1)4　(2)4　(1)由x>0,y>0,x+=x+≥x+=x+≥2=4,
当且仅当x=2,y=4时,等号成立.
(2)∵ab=1,∴b=.∴.令+a=t>0,则原式=≥2=2=4.
当且仅当t2=16,即t=4时,等号成立,此时+a=4.
例4解(1)设每层的面积为zm2,则该楼盘材料工程总费用为p=500z+(500+30)z+(500+60)z+…+[500+(x-1)×30]z=z500x+×30=z(15x2+485x),
则平均每平方米建筑面积的成本费为=485++15x,
故y=485++15x,x∈N
.
(2)依题意得y≤1235,所以+15x≤750,所以x2-50x+400≤0,解得10≤x≤40,
所以楼层设计层数最少为10层.
(3)y=485++15x≥485+2=1085,
当且仅当=15x,即x=20时,等号成立,故应把楼房设计成20层,才能使平均每平方米建筑面积的成本费最低.
对点训练3解(1)设每瓶定价为t元,依题意,有[8-(t-15)×0.2](t-10)≥5×8,整理得t2-65t+750≤0,解得15≤t≤50.
因此要使销售的总收入不低于原收入,每瓶定价最多为50元.
(2)设每瓶定价为x(x≥16)元,月总利润为f(x),则f(x)=(x-10)8-(x-15)-(x-16)
=-x-+52
=-(x-15+15)-+52
=-(x-15)++47.8≤-2+47.8=46.3.
当且仅当(x-15)=,即(x-15)2=9,
所以x-15=3或x-15=-3(舍去),
所以x=18.
因此当每瓶售价18元时,下月的月总利润最大,最大总利润为46.3万元.第七章　不等式、推理与证明
7.1　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.二元一次不等式表示的平面区域
(1)一般地,二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的　　　　　　.我们把直线画成虚线以表示区域　　　　　边界直线.当我们在平面直角坐标系中画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时,此区域应　　　　　　边界直线,则把边界直线画成　　　　　　.?
(2)因为把直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代入Ax+By+C,所得的符号都　　　　　,所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+C的　　　　　　即可判断Ax+By+C>0表示的是直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域.?
(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
2.线性规划的相关概念
名　称
意　　义
线性约束条件
由x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式组,是对x,y的约束条件
目标函数
关于x,y的解析式
线性目标函数
关于x,y的一次解析式
可行解
满足　　　　　　　　的解(x,y)?
可行域
所有　　　　　　组成的集合?
最优解
使目标函数达到　　　　　　或　　　　　　的可行解?
线性规划问题
求线性目标函数在线性约束条件下的　　　　　　或　　　　　　的问题?
1.二元一次不等式表示的平面区域
二元一次
不等式Ax+By+C
≥0(A>0,B>0)Ax+By+C≤0(A>0,B>0)Ax+By+C
≥0(A>0,B<0)Ax+By+C≤0(A>0,B<0)平面
区域
2.点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)位于直线Ax+By+C=0
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)不等式x-y-1>0表示的平面区域在直线x-y-1=0的上方.
(　　)
(2)两点(x1,y1),(x2,y2)在直线Ax+By+C=0异侧的充要条件是(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)<0.
(　　)
(3)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域.
(　　)
(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.
(　　)
(5)在目标函数z=ax+by(b≠0)中,z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴上的截距.
(　　)
2.不等式组表示的平面区域是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
3.(2020湖南长沙一中第三次调研)在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值是(　　)
A.1
B.
C.2
D.2
4.(2020福建漳州二模,文14)若实数x,y满足的最大值是　　　　　.?
5.(2020全国2,文15)若x,y满足约束条件则z=x+2y的最大值是　　　　　.?
关键能力学案突破　
考点
二元一次不等式(组)表示的平面
【例1】(1)(2020河南天一大联考)不等式组表示的平面区域的面积为　　　　　.?
(2)已知实数x,y满足若此不等式组所表示的平面区域形状为三角形,则m的取值范围为　　　　　.?
思考确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是什么?求平面区域的面积的技巧是什么?
解题心得1.确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法
(1)“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等式(组).若满足不等式(组),则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域;否则就表示直线与特殊点异侧的那部分区域.当不等式中带等号时,边界画为实线,不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.
(2)也常利用“同号上,异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域:对于Ax+By+C>0或Ax+By+C<0,则①当B(Ax+By+C)>0时,区域为直线Ax+By+C=0的上方;②当B(Ax+By+C)<0时,区域为直线Ax+By+C=0的下方.
2.求平面区域的面积的方法
(1)首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,应利用题目的已知条件转化为不等式组问题,从而再作出平面区域;
(2)对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高;若为规则的四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积公式直接求解;若为不规则四边形,则可分割成几个三角形分别求解再求和.
(3)利用几何意义求解的平面区域问题,也应作出平面图形,利用数形结合的方法去求解.
对点训练1(1)已知不等式组表示的可行域为D,则可行域D的面积为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2
B.2
C.
D.
(2)设命题p:实数x,y满足命题q:实数x,y满足(x+1)2+y2≤m,若p是q的必要不充分条件,则正实数m的取值范围是　　　　.?
考点
求目标函数的最值问题(多考向探究)
考向1　求线性目标函数的最值
【例2】(1)(2020全国1,理13)若x,y满足约束条件则z=x+7y的最大值为　　　　　.?
(2)(2020福建福州模拟,理13)设x,y满足约束条件则z=x-3y的最小值为　　　　　.?
思考求线性目标函数的最值的注意事项是什么?
考向2　求非线性目标函数的最值
【例3】(1)(2020河南郑州质检)已知变量x,y满足则k=的取值范围是(　　)
A.(-∞,-5]∪,+∞
B.-5,
C.(-∞,-5)∪,+∞
D.-5,
(2)(2020安徽马鞍山模拟)已知实数x,y满足则x2+y2的最大值与最小值之和为　　　　　.?
思考如何利用可行域求非线性目标函数最值?
考向3　求参数值或取值范围
【例4】(1)设x,y满足不等式组若z=ax+y的最大值为2a+4,最小值为a+1,则实数a的取值范围为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.[-1,2]
B.[-2,1]
C.[-3,-2]
D.[-3,1]
(2)(2020江西南昌十中月考)若实数x,y满足不等式组若目标函数z=ax-2y的最大值为13,则实数a的值是(　　)
A.3
B.4
C.5
D.6
思考如何利用可行域及最优解求参数及其取值范围?
考向4　最优解不唯一的条件下求参数的值
【例5】已知x,y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为　　　　　.?
思考最优解有无数多个时,目标函数有什么特点?
解题心得1.利用可行域求线性目标函数最值的方法:利用约束条件作出可行域,根据目标函数找到最优解时的点,解得点的坐标代入求解即可.
2.利用可行域及最优解求参数及其范围的方法:(1)若限制条件中含参数,依据参数的不同范围将各种情况下的可行域画出来,寻求最优解,确定参数的值;(2)若线性目标函数中含有参数,可对线性目标函数的斜率分类讨论,以此来确定线性目标函数经过哪个顶点取得最值,从而求出参数的值;也可以直接求出线性目标函数经过各顶点时对应的参数的值,然后进行检验,找出符合题意的参数值.
3.利用可行域求非线性目标函数最值的方法:画出可行域,分析目标函数的几何意义是斜率问题还是距离问题,依据几何意义可求得最值.
对点训练2(1)(2020山西太原五中二模,理5)若x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为
(　　)
A.4
B.5
C.6
D.7
(2)(2020浙江衢州二中检测)若实数x,y满足约束条件则z=2-y的最小值是(　　)
A.-
B.5
C.-1
D.-2
(3)(2020江西高三月考,文7)已知表示的平面区域为D,若“存在(x,y),2x+y>a”为假命题,则实数a的取值范围是(　　)
A.[5,+∞)
B.[2,+∞)
C.[1,+∞)
D.[0,+∞)
(4)(2020重庆一中模拟,文15)已知实数x,y满足则函数z=4x·的最小值为　　　　　.?
考点
线性规划的实际应用
【例6】某家具厂有方木料90
m3,五合板600
m2,准备加工成书桌和书橱出售,已知生产每张书桌需要方木料0.1
m3,五合板2
m2,生产每个书橱需要方木料0.2
m3,五合板1
m2,出售一张书桌可获利润80元,出售一个书橱可获利润120元.
(1)如果只安排生产书桌,可获利润多少?
(2)怎样安排生产可使所得利润最大?
思考利用线性规划解决实际应用问题的步骤是什么?其注意事项是什么?
解题心得利用线性规划求解实际问题的一般步骤
(1)认真分析并掌握实际问题的背景,收集有关数据;
(2)将影响该问题的各项主要因素作为决策量,设未知量;
(3)根据问题的特点,写出约束条件;
(4)根据问题的特点,写出目标函数,并求出最优解或其他要求的解.
对点训练3(2020河北张家口二模,理9)某市政府投入资金帮扶某农户种植蔬菜大棚脱贫致富,若该农户计划种植冬瓜和茄子,总面积不超过15亩,帮扶资金不超过4万元,冬瓜每亩产量10
000斤,成本2
000元,每斤售价0.5元,茄子每亩产量5
000斤,成本3
000元,每斤售价1.4元,则该农户种植冬瓜和茄子利润的最大值为(　　)
A.4万元
B.5.5万元
C.6.5万元
D.10万元
1.非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成.
2.线性目标函数最值问题的常见类型及解题策略:
(1)求线性目标函数的最值.线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得,因此对于一般的线性规划问题,我们可以直接解出可行域的顶点,然后将坐标代入目标函数求出相应的数值,从而确定目标函数的最值.
(2)由目标函数的最值求参数.求解线性规划中含参问题的基本方法有两种:一是把参数当成常数用,根据线性规划问题的求解方法求出最优解,代入目标函数确定最值,通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围;二是先分离含有参数的式子,通过观察的方法确定含参数的式子所满足的条件,确定最优解的位置,从而求出参数的值.
第七章　不等式、推理与证明
7.1　二元一次不等式(组)与
简单的线性规划问题
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.(1)平面区域　不包括　包括　实线
(2)相同　符号
2.线性约束条件　可行解　最大值　最小值
最大值　最小值
考点自诊
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×
2.C　
3.B　作出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分所示,因此|OM|的最小值为点O到直线x+y-2=0的距离,所以|OM|min=.
4.　作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分,
设=kOP,P为可行域上一点,其中O(0,0),P(x,y),由得A,
所以由图可知,当P位于A时,=kOA=.
5.8　作出可行域如图所示(阴影部分).
因为z=x+2y,所以y=-x+.
作出直线y=-x,平移直线可知,当直线过点A时,最大,即z最大.
由解得
故A(2,3).所以zmax=2+2×3=8.
关键能力·学案突破
例1(1)3　(2)(2,+∞)　(1)作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分所示,
平面区域为△ABC及其内部,其中A(2,0),B(0,2),C(2,3),
所以所求面积为×2×|AC|=3.
(2)如图所示,所表示的平面区域为图中的阴影部分,
易知直线x=1与x-2y+1=0的交点坐标为A(1,1),不等式组所表示的平面区域形状为三角形,则点A位于直线x+y=m下方,据此有1+1对点训练1(1)C　(2)0,　(1)作出不等式组对应的可行域如图,
由得A(0,0),由得C(,1),由得B(0,2),则区域D的面积S=×2×.故选C.
(2)根据题意,m为正实数,所以满足q的点(x,y)在以(-1,0)为圆心,以为半径的圆周及其内部,记作Q,
满足条件p的点构成的集合记作P,
因为p是q的必要不充分条件,所以Q?P.如图,设直线x=-2和直线x+2y=2的交点为A,直线x-y=0和直线x+2y=2的交点为B,
直线x=-2和直线y-x=0的交点为C,
则点(-1,0)到直线AC的距离d1=1,
点(-1,0)到直线BC的距离d2=,
点(-1,0)到直线AB的距离d3=,
所以点(-1,0)到三角形ABC边界的最小距离为.所以,
即m∈0,.
例2(1)1　(2)-7　(1)画出不等式组表示的平面区域,如图(阴影部分)所示,将目标函数z=x+7y变形可得y=-x+z,平移直线y=-x.
由图可得直线经过点A处时,z取得最大值.
由
所以A(1,0),所以zmax=1+7×0=1.
(2)在坐标系中画出x,y满足约束条件的可行域,如图所示,
由z=x-3y可得y=x-z,则-z表示直线z=x-3y在y轴上的截距,截距越大,z越小,平移直线x-3y=0,经过点A时,z最小,
由可得A(2,3),此时zmin=2-3×3=-7.
例3(1)A　(2)　(1)作不等式组表示的可行域,如图所示.
由于k=表示动点M(x,y)与定点P(3,-1)连线的斜率.
又kPA==-5,且直线x-2y+4=0的斜率为.
所以k的取值范围为(-∞,-5]∪,+∞.
(2)作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分所示,x2+y2的几何意义是原点O到可行域内点的距离的平方,由图可知,点O到直线x+y-1=0的距离最小,为.
可行域内的点B与坐标原点的距离最大,为.
所以x2+y2的最大值与最小值之和为5+.
例4(1)B　(2)A　(1)由z=ax+y得y=-ax+z,如图,作出不等式组对应的可行域(阴影部分),则A(1,1),B(2,4).
由题意和图可知,直线z=ax+y过点B时,取得最大值为2a+4,过点A时,取得最小值为a+1,
若a=0,则y=z,此时满足条件,
若a>0,k=-a<0,则目标函数的斜率满足-a≥kBC=-1,即0若a<0,k=-a>0,则目标函数的斜率满足-a≤kAC=2,即-2≤a<0.综上,a的取值范围是[-2,1].
(2)画出满足条件的可行域,如下图所示,根据图像可得a>0,目标函数化为y=x-,当目标函数过A(a,-a+1)时,z取得最大值,所以a2+2a-2=13,a2+2a-15=0,解得a=3,或a=-5(舍去).故选A.
例5-1或2　作出不等式组表示的可行域,如图.目标函数z=y-ax可化为y=ax+z,令l0:y=ax,平移l0,则当l0∥AB或l0∥AC时符合题意,故a=-1或a=2.
对点训练2(1)C　(2)C　(3)A　(4)
(1)作出不等式组表示的可行域,如图所示,
由z=3x+2y,得y=-x+,根据图像可知,当过M点时,z取最大值,
联立解得x=2,y=0,所以M(2,0),则z的最大值为6.故选C.
(2)作不等式组表示的可行域如图,
由z=2|x|-y可得y=2|x|-z,作y=2|x|图像,由图像可知,当向上平移y=2|x|过点A时,-z最大,即z最小,令x=0,由y=x+1可得A(0,1),所以zmin=2×0-1=-1,故选C.
(3)作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示,
令Z=2x+y,得y=-2x+Z,结合目标函数的几何意义可得目标函数在点A处取得最大值,联立直线方程得点A,所以Z=2x+y的最大值为5,
因为“存在(x,y)∈R,2x+y>a”为假命题,所以“任意(x,y),2x+y≤a”为真命题,所以实数a的取值范围是[5,+∞),故选A.
(4)作出不等式组所表示的可行域如下,
因为z=4x·=22x-3y,令t=2x-3y,则y=x-,
当直线y=x-过点M时,在y轴截距最大,此时t取最小值,则z=2t最小.
由得M(1,2),所以tmin=2-3×2=-4,则zmin=.
例6解由题意可画表格如下
家具
方木料/m3
五合板/m2
利润/元
书桌/个
0.1
2
80
书橱/个
0.2
1
120
(1)设只生产书桌x个,可获得利润z元,
则解得则x≤300.
因为z=80x,
所以当x=300时,zmax=80×300=24000(元),
即如果只安排生产书桌,最多可生产300张书桌,获得利润24000元.
(2)设生产书桌x张,书橱y个,利润总额为z元.
由题可得
z=80x+120y.
在直角坐标平面内作出不等式组所表示的可行域,如图.
作直线l0:80x+120y=0,即直线l0:2x+3y=0.
把直线l0向右上方平移至l1的位置时,直线经过可行域上的点M(100,400),
此时z=80x+120y取得最大值.
所以当x=100,y=400时,zmax=80×100+120×400=56000(元),
即生产书桌100张、书橱400个,可使所得利润最大.
对点训练3B　设冬瓜和茄子的种植面积分别为x,y亩,总利润z万元,
则目标函数z=(0.5x×10000-2000x)+(1.4y×5000-3000y)
=3000x+4000y=1000(3x+4y),
由题可得
即作出可行域如图,由可得即A(5,10),
平移直线l0:3x+4y=0,可知直线l0经过点A(5,10)时,
即x=5,y=10时,z取得最大值5.5万元,即该农户种植冬瓜和茄子利润的最大值为5.5万元.

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