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6.4　数列求和
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.基本数列求和方法
(1)等差数列求和公式:Sn==na1+d.
(2)等比数列求和公式:Sn=
(3)使用已知求和公式求和的方法,即等差、等比数列或可化为等差、等比数列的求和方法.
2.非基本数列求和常用方法
(1)倒序相加法:如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的.
(2)分组求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和后再相加减.如已知an=2n+(2n-1),求Sn.
(3)并项求和法:若一个数列的前n项和中两两结合后可求和,则可用并项求和法.如已知an=(-1)nf(n),求Sn.
(4)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求,如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.
(5)裂项相消法:把数列的通项公式拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.
常见的裂项公式:
①;
②;
③;
④).
3.常用求和公式
(1)12+22+32+…+n2=;
(2)13+23+33+…+n3=.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)当n≥2时,.
(　　)
(2)利用倒序相加法可求得sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°=44.5.(　　)
(3)若Sn=a+2a2+3a3+…+nan,则当a≠0,且a≠1时,Sn的值可用错位相减法求得.
(　　)
(4)如果数列{an}是周期为k的周期数列,那么Skm=mSk(m,k为大于1的正整数).
(　　)
(5)已知等差数列{an}的公差为d,则有.
(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
2.已知数列{an}满足:当n≥2且n∈N+时,有an+an-1=(-1)n×3.则数列{an}的前200项的和为(　　)
A.300
B.200
C.100
D.0
3.若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则数列{an}的前n项和为(　　)
A.2n+n2-1
B.2n+1+n2-1
C.2n+1+n2-2
D.2n+n-2
4.(2020湖南师大附中一模,理10)设Sn是数列{an}的前n项和,若an+Sn=2n,=2an+2-an+1(n∈N+),则数列的前99项和为(　　)
A.
B.
C.
D.
5.(2020新高考全国1,14)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为　　　　　.?
关键能力学案突破　
考点
分组求和
【例1】(2020陕西榆林一模,理19)已知数列{an},{bn}满足a1=1,b1=,2an+1=an+bn,2bn+1=an+bn.
(1)证明:数列{an+bn},{an-bn}为等比数列;
(2)记Sn为数列{an}的前n项和,证明:Sn<.
思考具有什么特点的数列适合分组求和?
解题心得具有下列特点的数列适合分组求和:
(1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差数列或等比数列,可采用分组求和法求{an}的前n项和;
(2)通项公式为an=的数列,其中数列{bn},{cn}是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和.
对点训练1(2020天津河东一模,16)已知递增等差数列{an},等比数列{bn},数列{cn},a1=c1=1,c4=9,a1,a2,a5成等比数列,bn=an+cn,n∈N+.
(1)求{an},{bn}的通项公式;
(2)求数列{cn}的前n项和Sn.
考点
并项求和
【例2】(2020河南安阳二模,理17)记数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn=2an-2n+1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记bn=(-1)n·log2(an+4)-,数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn.
思考具有什么特点的数列适合并项求和?
解题心得若数列{an}的通项公式为an=(-1)nf(n),则一般利用并项求和法求数列{an}的前n项和.
对点训练2已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,S3+S4=S5.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=(-1an,求数列{bn}的前n项和Tn.
考点
错位相减法求和
【例3】(2020全国3,理17)设数列{an}满足a1=3,an+1=3an-4n.
(1)计算a2,a3,猜想{an}的通项公式并加以证明;
(2)求数列{2nan}的前n项和Sn.
思考具有什么特点的数列适合用错位相减法求和?
解题心得1.一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和时,可采用错位相减法求和,解题思路是:和式两边先同乘等比数列{bn}的公比,再作差求解.
2.在写出“Sn”与“qSn”的表达式时,应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.
对点训练3(2020全国1,理17)设{an}是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项.
(1)求{an}的公比;
(2)若a1=1,求数列{nan}的前n项和.
考点
裂项相消法求和
【例4】已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=-2,且满足Sn=an+1+n+1(n∈N+).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=log3(-an+1),设数列的前n项和为Tn,求证:Tn<.
思考裂项相消法的基本思想是什么?
解题心得裂项相消法的基本思想就是把an分拆成an=bn+k-bn(k∈N+)的形式,从而达到在求和时绝大多数项相消的目的.在解题时要善于根据这个基本思想变换数列{an}的通项公式,使之符合裂项相消的条件.
对点训练4(2020山东潍坊二模,18)已知数列{an}为各项均为正数的等比数列,a1=1;数列{bn}满足b2=3,a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=3+(2n-3)2n.
(1)求an;
(2)求的前n项和Tn.
1.数列求和,一般应从通项入手,若通项未知,先求通项,再通过对通项变形,转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式,从而选择合适的方法求和.
2.解决非等差、非等比数列的求和,主要有两种思路
(1)转化的思想,即将一般数列设法转化为等差或等比数列,这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成;
(2)不能转化为等差或等比数列的数列,往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和.
1.直接应用公式求和时,要注意公式的应用范围.
2.在应用错位相减法求和时,注意观察未合并项的正负号.
3.在应用裂项相消法求和时,要注意消项的规律具有对称性,即前面剩多少项,后面就剩多少项.
6.4　数列求和
必备知识·预案自诊
考点自诊
1.(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　(5)×
2.A　由题意,当n取偶数时,an+an-1=3,S200=a1+a2+a3+a4+…+a200=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a199+a200)=3×(1+1+…+1)=300,故选A.
3.C　Sn==2n+1-2+n2.
4.C　当n≥2时,an-1+Sn-1=2n-1,则an-an-1+(Sn-Sn-1)=2n-2n-1=2n-1,
即2an-an-1=2n-1,所以2an+2-an+1=2n+1(n∈N
),则bn=log22n+1=n+1,所以,
故+…+=1-+…+=1-.故选C.
5.3n2-2n　数列{2n-1}的项均为奇数,数列{3n-2}的所有奇数项均为奇数,所有偶数项均为偶数.并且显然{3n-2}中的所有奇数均能在{2n-1}中找到,所以{2n-1}与{3n-2}的所有公共项就是{3n-2}的所有奇数项,这些项从小到大排列式的新数列{an}为以1为首项,以6为公差的等差数列.所以{an}的前n项和为Sn=n×1+×6=3n2-2n.
关键能力·学案突破
例1证明(1)由题意,得两式相加,
得an+1+bn+1=(an+bn),
∵a1=1,b1=,∴a1+b1=,
∴{an+bn}是首项为,公比为的等比数列.
两式相减,得an+1-bn+1=(an-bn),∵a1-b1=,∴{an-bn}是首项为,公比为的等比数列.
(2)由(1)可得an+bn=,
①
an-bn=,
②
两式相加,得an=,∴Sn=.
对点训练1解(1)设等差数列{an}的公差为d,d>0,由已知,得an=1+(n-1)d,=a1a5,即(1+d)2=1+4d,解得d=2或d=0(舍去),
所以an=2n-1,n∈N
;
设等比数列{bn}的公比为q,因为b1=a1+c1=2,所以bn=2qn-1,又因为b4=a4+c4=2×4-1+9=16,所以q3==8,解得q=2,所以bn=2n,n∈N
.
(2)由(1)可得cn=bn-an=2n-(2n-1),则Sn=c1+c2+…+cn=2-1+22-3+…+2n-(2n-1)
=(2+22+…+2n)-[1+3+…+(2n-1)]==2n+1-2-n2,n∈N
.
例2解(1)当n=1时,由Sn=2an-2n+1,可得a1=S1=2a1-2+1,即有a1=1.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2n+1-2an-1+2(n-1)-1,
即an=2an-1+2,可得an+2=2(an-1+2),显然an-1+2≠0.
所以数列{an+2}是首项为3,公比为2的等比数列,则an+2=3·2n-1,即有an=3·2n-1-2.
(2)bn=(-1)n·log2(3·2n-1+2)-=(-1)n·log22n=(-1)n·n.
当n为偶数时,Tn=(-1+2)+(-3+4)+…+(-n+1+n)=,当n为奇数时,Tn=Tn-1+bn=-n=.
综上可得,Tn=
对点训练2解(1)设等差数列{an}的公差为d,由S3+S4=S5可得a1+a2+a3=a5,即3a2=a5,
∴3(1+d)=1+4d,解得d=2.
∴an=1+(n-1)×2=2n-1.
(2)由(1)可得bn=(-1·(2n-1).当n为偶数时,Tn=1-3+5-7+…+(2n-3)-(2n-1)=-n.
当n为奇数时,Tn=Tn-1+bn=-(n-1)+(-1)n-1(2n-1)=-(n-1)+(2n-1)=n.综上,Tn=(-1)n+1n.
例3解(1)a2=5,a3=7.
猜想an=2n+1.
由已知可得an+1-(2n+3)=3[an-(2n+1)],
an-(2n+1)=3[an-1-(2n-1)],
……
a2-5=3(a1-3).
因为a1=3,所以an=2n+1.
(2)由(1)得2nan=(2n+1)2n,所以8Sn=3×2+5×22+7×23+…+(2n+1)×2n.
①
从而2Sn=3×22+5×23+7×24+…+(2n+1)×2n+1.
②
①-②得
-Sn=3×2+2×22+2×23+…+2×2n-(2n+1)×2n+1.
所以Sn=(2n-1)2n+1+2.
对点训练3解(1)设{an}的公比为q,由题设得2a1=a2+a3,即2a1=a1q+a1q2.
所以q2+q-2=0,解得q=1(舍去),q=-2.故{an}的公比为-2.
(2)记Sn为{nan}的前n项和.
由(1)及题设可得,an=(-2)n-1.
所以Sn=1+2×(-2)+…+n×(-2)n-1,
-2Sn=-2+2×(-2)2+…+(n-1)×(-2)n-1+n×(-2)n.
可得3Sn=1+(-2)+(-2)2+…+(-2)n-1-n×(-2)n
=-n×(-2)n.
所以Sn=.
例4(1)解由Sn=an+1+n+1(n∈N
),得Sn-1=an+n(n≥2,n∈N
),
两式相减,并化简得an+1=3an-2,即an+1-1=3(an-1),
又a1-1=-2-1=-3≠0,∴数列{an-1}是以-3为首项,3为公比的等比数列,∴an-1=(-3)·=-3n.故an=-3n+1.
(2)证明由bn=log3(-an+1)=log33n=n,
得,
∴Tn=1-+…+
=1+=.
对点训练4解(1)令n=1,得a1b1=3+(2-3)×2=1,所以b1=1,
令n=2,得a1b1+a2b2=7,所以a2b2=6.又b2=3,所以a2=2,
设数列{an}的公比为q,则q==2.
所以an=2n-1.
(2)当n≥2时,a1b1+a2b2+…+an-1bn-1=3+(2n-5)2n-1,
①
又a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=3+(2n-3)2n,
②
②-①,得anbn=3+(2n-3)2n-[3+(2n-5)2n-1]=(2n-1)2n-1,
得bn=2n-1,当n=1时也成立,所以bn=2n-1,
=.
所以Tn=1-++…+=1-+…+=1-=.6.3　等比数列及其前n项和
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.等比数列的定义
一般地,如果一个数列从　　　　　　起,每一项与它的前一项的比都等于　　　　　　常数,那么这个数列叫作等比数列,这个常数叫作等比数列的　　　　　　,公比通常用字母q表示(显然q≠0).?
2.等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则它的通项公式为an=　　　　　　　　;通项公式的推广an=amqn-m.?
3.等比中项
如果在a与b中间插入一个数G,使　　　　　　成等比数列,那么G叫作a与b的等比中项,此时,　　　　　　.?
4.等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn,当q=1时,Sn=na1;
当q≠1时,Sn=.
设数列{an}是等比数列,Sn是其前n项和.
(1)若m+n=p+q,则aman=apaq;若2s=p+r,则apar=,其中m,n,p,q,s,r∈N+.
(2)ak,ak+m,ak+2m,…仍是等比数列,公比为qm(k,m∈N+).
(3)若数列{an},{bn}是两个项数相同的等比数列,则数列{ban},{pan·qbn}和也是等比数列.
(4)Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn.
(5)若a1·a2·…·an=Tn,则Tn,,…成等比数列.
　　(6)若数列{an}的项数为2n,则=q;若项数为2n+1,则=q.
(7)当公比q≠-1时,Sn,-Sn,仍成等比数列,其公比为qn.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)满足an+1=qan(n∈N+,q为常数)的数列{an}为等比数列.
(　　)
(2)G为a,b的等比中项?G2=ab.
(　　)
(3)等比数列中不存在数值为0的项.
(　　)
(4)如果{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,那么数列{bn}也是等比数列.
(　　)
(5)如果数列{an}为等比数列,那么数列{ln
an}是等差数列.
(　　)
(6)若数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn=.
(　　)
2.(2020江西上饶三模,文3)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,a3+4S2=0,则a10=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-512
B.512
C.1
024
D.-1
024
3.(2020湖南衡阳一模)在等比数列{an}中,a1a3=a4=4,则a6的所有可能值构成的集合是(　　)
A.{6}
B.{-8,8}
C.{-8}
D.{8}
4.(2020全国1,文10)设{an}是等比数列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则a6+a7+a8=(　　)
A.12
B.24
C.30
D.32
5.若数列{an}是等比数列,且公比q=4,a1+a2+a3=21,则an=　　　　　.?
关键能力学案突破　
考点
等比数列的基本运算
【例1】(2020全国3,文17)设等比数列{an}满足a1+a2=4,a3-a1=8.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记Sn为数列{log3an}的前n项和.若Sm+Sm+1=Sm+3,求m.
思考解决等比数列基本运算问题的常见思想方法有哪些?
解题心得解决等比数列有关问题的常见思想方法
(1)方程思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和q,问题可迎刃而解.
(2)分类讨论思想:因为等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,所以当某一参数为公比进行求和时,就要对参数是否为1进行分类求和.
(3)整体思想:应用等比数列前n项和公式时,常把qn或当成整体进行求解.
对点训练1(1)(2019全国3,理5)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.16
B.8
C.4
D.2
(2)(2020全国2,文6)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则=(　　)
A.2n-1
B.2-21-n
C.2-2n-1
D.21-n-1
考点
等比数列的判定与证明
【例2】已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.
(1)证明:{an+bn}是等比数列;
(2)求{an}和{bn}的通项公式.
思考判断或证明一个数列是等比数列有哪些方法?
解题心得1.证明数列{an}是等比数列常用的方法:
(1)定义法,证明=q(n≥2,q为常数);
(2)等比中项法,证明=an-1·an+1(an·an-1·an+1≠0,n≥2,n∈N+);
(3)通项公式法,若数列通项公式可写成an=c·qn-1(c,q均是不为0的常数,n∈N+),则{an}是等比数列.
2.若判断一个数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
对点训练2(2020福建福州三模,理17)已知数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,a1=2,b1=1,且an+1=a1+2Tn.
(1)若数列{an}为等差数列,求Sn;
(2)若bn+1=b1+2Sn,证明:数列均为等比数列.
考点
等比数列性质的应用
(多考向探究)
考向1　等比数列项的性质的应用
【例3】(1)(2020河北沧州一模,理7)已知{an}为等比数列,a5+a8=-3,a4a9=-18,则a2+a11=(　　)
A.9
B.-9
C.
D.-
(2)(2020辽宁锦州一模,7)已知等比数列{an},若a5+a7=8,则a4(a6+2a8)+a3a11的值为(　　)
A.128
B.64
C.16
D.8
思考经常用等比数列的哪些性质简化解题过程?
考向2　等比数列和的性质及应用
【例4】(1)已知数列{an}是等比数列,Sn为其前n项和,若a1+a2+a3=4,a4+a5+a6=8,则S12等于(　　)
A.40
B.60
C.32
D.50
(2)已知数列{an}是各项都为正数的等比数列,Sn为其前n项和,且S10=10,S30=70,那么S40=(　　)
A.150
B.-200
C.150或-200
D.400
解题心得1.在解答等比数列的有关问题时,为简化解题过程常常利用等比数列项的如下性质:
(1)通项公式的推广:an=amqn-m;
(2)等比中项的推广与变形:=am·an(m+n=2p)及ak·al=am·an(k+l=m+n).
2.对已知条件为等比数列的前几项和,求其前多少项和的问题,应用公比不为-1的等比数列前n项和的性质:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列比较简便.
对点训练3(1)(2020东北三省四市教研体二模,5)在等比数列{an}中,a5,a7是函数f(x)=x2-4x+3的两个零点,则a3·a9=(　　)
A.-3
B.3
C.-4
D.4
(2)在等比数列{an}中,如果a1+a2=40,a3+a4=60,那么a7+a8=(　　)
A.135
B.100
C.95
D.80
(3)已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=　　　　.?
考点
等差、等比数列的综合问题
【例5】(1)(2020东北三省四市模拟,理6)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项的和为Sn,a1=2,且a1,a3,a9成等比数列,则S8=(　　)
A.56
B.72
C.88
D.40
(2)已知在等比数列{an}中,有a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,其前n项和为Sn,且b7=a7,则S13=(　　)
A.26
B.52
C.78
D.104
思考解决等差数列、等比数列的综合问题的基本思路是怎样的?
解题心得等差数列和等比数列的综合问题,涉及的知识面很宽,题目的变化也很多,但是万变不离其宗,只要抓住基本量a1,d(q),充分运用方程、函数、转化等数学思想方法,合理调用相关知识,就不难解决这类问题.
对点训练4(1)已知数列{an}是公差为d(d≠0)的等差数列,且a1,a3,a6成等比数列,则=(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
(2)已知数列{an}满足a1=2,=2,若bn=,则数列{bn}的前n项和Sn=.
1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求解,问题便可迎刃而解.
2.判定等比数列的方法
(1)定义法:=q(q是不为零的常数,n∈N+)?{an}是等比数列.
(2)通项公式法:an=cqn-1(c,q均是不为零的常数,n∈N+)?{an}是等比数列.
(3)等比中项法:=an·an+2(an·an+1·an+2≠0,n∈N+)?{an}是等比数列.
3.求解等比数列问题常用的数学思想
(1)方程思想:如求等比数列中的基本量;
(2)分类讨论思想:如求和时要分q=1和q≠1两种情况讨论,判断单调性时对a1与q分类讨论.
1.在等比数列中,易忽视每一项与公比都不为0.
2.在求等比数列的前n项和时,易忽略q=1这一特殊情形.
6.3　等比数列
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.第2项　同一个　公比
2.a1qn-1(a1≠0,q≠0)
3.a,G,b　G2=ab
考点自诊
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×　(6)×
2.A　因为在等比数列{an}中,a1=1,a3+4S2=0,所以q2+4(1+q)=0,解得q=-2,则a10=-512.
3.D　因为a1a3==4,a4=4,所以a2=2,所以q2==2,所以a6=a2q4=2×4=8,故a6的所有可能值构成的集合是{8}.
4.D　设等比数列{an}的公比为q,因为a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,所以q(a1+a2+a3)=2,解得q=2.所以a6+a7+a8=q5(a1+a2+a3)=25=32.
5.4n-1　因为数列{an}是等比数列,且公比q=4,a1+a2+a3=21,所以a1+4a1+16a1=21,解得a1=1,所以an=4n-1,故答案为4n-1.
关键能力·学案突破
例1解(1)设{an}的公比为q,则an=a1qn-1.
由已知得解得a1=1,q=3.所以{an}的通项公式为an=3n-1.
(2)由(1)知log3an=n-1,故Sn=.
由Sm+Sm+1=Sm+3得m(m-1)+(m+1)m=(m+3)·(m+2),即m2-5m-6=0,解得m=-1(舍去),m=6.
对点训练1(1)C　(2)B　(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0),
则解得
所以a3=a1q2=1×22=4.故选C.
(2)设等比数列{an}的公比为q.
∵a5-a3=12,a6-a4=24,
∴=q=2.
又a5-a3=a1q4-a1q2=12a1=12,
∴a1=1.∴an=a1·qn-1=2n-1,
Sn==2n-1.
∴=2-=2-21-n.
故选B.
例2(1)证明因为4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4,两式相加得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即an+1+bn+1=(an+bn).又因为a1+b1=1,所以{an+bn}是首项为1,公比为的等比数列.
(2)解由(1)知,an+bn=,
将4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4两式相减得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2.
所以{an-bn}是公差为2的等差数列.
又因为a1-b1=1,所以an-bn=2n-1,
所以an=[(an+bn)+(an-bn)]=+n-,bn=[(an+bn)-(an-bn)]=-n+.
对点训练2(1)解由an+1=a1+2Tn,得a2=a1+2b1,又a1=2,b1=1,解得a2=4.
因为数列{an}为等差数列,所以该数列的公差为a2-a1=2,
所以Sn=2n+×2=n2+n.
(2)证明当n≥2时,an=a1+2Tn-1,因为Tn-Tn-1=bn,所以an+1-an=2bn,即an+1=an+2bn,同理可得bn+1=bn+2an(n≥2).则an+1+bn+1=3(an+bn),所以=3(n≥2),又a2=a1+2b1=4,b2=b1+2a1=5,所以=3,
所以=3(n∈N
),所以数列是以3为首项,3为公比的等比数列.
因为an+1-bn+1=-(an-bn),所以=-1(n≥2),
又=-1,所以=-1(n∈N
),所以数列是以-1为首项,-1为公比的等比数列.
例3(1)C　(2)B　(1)∵{an}为等比数列,
∴a4a9=a5a8=-18,联立
设等比数列{an}的公比为q,则当时,q3==-,
∴a2+a11=+a8q3=+3×-=;
当时,q3==-2,∴a2+a11=+a8q3=+(-6)×(-2)=.故选C.
(2)a4(a6+2a8)+a3a11=a4a6+2a4a8+a3a11=+2a5a7+=64.故选B.
例4(1)B　(2)A　(1)由等比数列的性质可知,数列S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9是等比数列,即数列4,8,S9-S6,S12-S9是等比数列,因此S12=4+8+16+32=60,故选B.
(2)依题意,S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比数列,因此(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(S20-10)2=10(70-S20),故S20=-20或S20=30.又因为数列{an}的各项都为正数,即S20>0,因此S20=30,S20-S10=20,所以S40-S30=S10×3=80,S40=S30+(S40-S30)=70+80=150.故选A.
对点训练3(1)B　(2)A　(3)2　(1)由a5,a7是函数f(x)=x2-4x+3的两个零点,即a5,a7是方程x2-4x+3=0的两个实根.则a5·a7=3,所以在等比数列{an}中,a3·a9=a5·a7=3.故选B.
(2)由等比数列的性质知,a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8成等比数列,其首项为40,公比为,所以a7+a8=40×3=135.
(3)由题意,得解得所以q==2.
例5(1)B　(2)B　(1)由已知,=a1a9,a1=2,故=a1(a1+8d),解得d=2或d=0(舍),
故an=2+(n-1)×2=2n,S8==4×(2+2×8)=72.故选B.
(2)设等比数列{an}的公比为q,
∵a3a11=4a7,∴=4a7≠0,解得a7=4,数列{bn}是等差数列,且b7=a7.
∴S13==13b7=13a7=52,故选B.
对点训练4(1)D　(2)　(1)由a1,a3,a6成等比数列,得=a1·a6,即=a1(a1+5d),整理,得4d2=a1d.又因为d≠0,所以=4.
(2)数列{an}满足a1=2,=2,则数列是以=2为首项,2为公差的等差数列.故=2+2(n-1)=2n.
由于首项符合通项,故an=2n2,
所以bn==22n=4n.
因为=4,所以数列{bn}是以b1=4为首项,公比为4的等比数列,所以Sn=.故答案为.6.2　等差数列及其前n项和
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.等差数列
(1)定义:一般地,如果一个数列从　　　　　起,每一项与它的前一项的　　　　都等于　　　　　　　　　,那么这个数列就叫作等差数列,这个常数叫作等差数列的　　　　　,公差通常用字母d表示.数学语言表示为an+1-an=d(n∈N+),d为常数.?
(2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是　　　　　　　,其中A叫作a,b的　　　　　　　.?
(3)等差数列{an}的通项公式:an=　　　　　　　　,可推广为an=am+(n-m)d.?
(4)等差数列的前n项和公式:Sn==na1+d.
2.等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系
(1)an=a1+(n-1)d可化为an=dn+a1-d的形式.当d≠0时,an是关于n的一次函数;当d>0时,数列为递增数列;当d<0时,数列为递减数列.
(2)数列{an}是等差数列,且公差不为0?Sn=An2+Bn(A,B为常数).
1.已知{an}为等差数列,d为公差,Sn为该数列的前n项和.
(1)在等差数列{an}中,当m+n=p+q时,am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N+).特别地,若m+n=2p,则2ap=am+an(m,n,p∈N+).
(2)ak,ak+m,ak+2m,…仍是等差数列,公差为md(k,m∈N+).
(3)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也成等差数列,公差为n2d.
(4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.
　　(5)若项数为偶数2n,则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1);S偶-S奇=nd;.
(6)若项数为奇数2n-1,则S2n-1=(2n-1)an;S奇-S偶=an;.
2.若数列{an}与{bn}均为等差数列,且前n项和分别是Sn和Tn,则.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.
(　　)
(2)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列.
(　　)
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为关于n的一次函数.
(　　)
(4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N+,都有2an+1=an+an+2.
(　　)
(5)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.
(　　)
(6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.
(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
2.(2020湖南益阳期末)已知数列{an}是等差数列,且满足对任意n∈N+,an+an+1=2n,则数列的通项公式an=
(　　)
A.n
B.n-1
C.n-
D.n+
3.设Sn为等差数列{an}的前n项和,且2+a5=a6+a3,则S7=(　　)
A.28
B.14
C.7
D.2
4.(2019全国3,理14)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1≠0,a2=3a1,则=　　　　　.?
5.(2020全国2,文14)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=　　　　　.?
关键能力学案突破　
考点
等差数列中基本量的求解
【例1】(1)(2020安徽合肥二模,文4)已知数列{an}是等差数列,若a2=2,S6=39,则a7=(　　)
A.18
B.17
C.15
D.14
(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等于(　　)
A.3
B.4
C.5
D.6
思考求等差数列基本量的一般方法和解题思想是什么?如何减少这类问题的计算量?
解题心得1.等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.
2.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,已知其中三个就能求出另外两个,体现了用方程组解决问题的思想.
3.减少运算量的设元的技巧,若三个数成等差数列,可设这三个数分别为a-d,a,a+d;若四个数成等差数列,可设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d.
对点训练1(1)(2020北京陈经纶中学摸底,6)若等差数列{an}的前n项和为Sn,且S13=0,a3+a4=21,则S7的值为(　　)
A.21
B.63
C.13
D.84
(2)(2019江苏,8)已知数列{an}(n∈N+)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是　　　　　.?
考点
等差数列的判定与证明
【例2】已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.证明:{an-bn}是等差数列.
思考判断或证明一个数列为等差数列的基本方法有哪些?
解题心得1.等差数列的四种判断方法:
(1)定义法:an+1-an=d(d是常数)?{an}是等差数列.
(2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N+)?{an}是等差数列.
(3)通项公式:an=pn+q(p,q为常数)?{an}是等差数列.
(4)前n项和公式:Sn=An2+Bn(A,B为常数)?{an}是等差数列.
2.若证明一个数列不是等差数列,则只需证明存在连续三项不成等差数列即可.
对点训练2各项均不为0的数列{an}满足=an+2an,且a3=2a8=.
(1)证明:数列是等差数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}的通项公式为bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.
考点
等差数列性质的应用
(多考向探究)
考向1　等差数列项的性质的应用
【例3】(1)等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,若,则等于(　　)
A.
B.
C.
D.
(2)(2020江西名校大联考,理14)已知等差数列{an},其前n项和为Sn,若a2+a5=24,S3=S9,则Sn的最大值为　　　　　.?
思考如何利用等差数列的性质快捷地求出结果?
考向2　等差数列和的性质及应用
【例4】(1)在等差数列{an}中,前m项的和为30,前2m项的和为100,则前3m项的和为　　　　.?
(2)(2020河北保定二模,理10)已知点(n,an)(n∈N+)在函数y=ln
x的图像上,若满足Sn=+…+≥m的n的最小值为5,则实数m的取值范围是(　　)
A.(10,15]
B.(-∞,15]
C.(15,21]
D.(-∞,21]
思考本例题应用数列和的什么性质求解比较简便?
解题心得1.利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想,应用时常将an+am=2ap(m+n=2p,m,n,p∈N+)与am+an=ap+aq(m+n=p+q,m,n,p,q∈N+)相结合,可减少运算量.
2.在等差数列{an}中,依据题意应用其前n项和的性质解题能比较简便地求出结果,常用的性质有:在等差数列{an}中,数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列,且有S2n=n(a1+)=…=n(an+an+1);S2n-1=(2n-1)an.
对点训练3(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4=20,S5=30,am=40,则m=(　　)
A.6
B.10
C.20
D.40
(2)(2020河南安阳联考)在等差数列{an}中,若a2+a8=8,则(a3+a7)2-a5=(　　)
A.60
B.56
C.12
D.4
(3)(2020湖北宜昌一模)等差数列{an}的前n项和为Sn,若公差d>0,(S8-S5)(S9-S5)<0,则(　　)
A.a7=0
B.|a7|=|a8|
C.|a7|>|a8|
D.|a7|<|a8|
考点
等差数列前n项和的最值问题
【例5】在等差数列{an}中,设Sn为其前n项和,且a1>0,S3=S11,则当n为多大时,Sn最大?
解题心得求等差数列前n项和Sn最值的两种方法
(1)函数法:将等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数)看作二次函数,根据二次函数的性质求最值.
(2)邻项变号法:①利用等差数列的单调性,求出其正负转折项,当a1>0,d<0时,满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm;当a1<0,d>0时,满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.
②利用性质求出其正负转折项,便可求得前n项和的最值.
对点训练4(2020陕西汉中质检二,文17)设等差数列{an}满足a3=-9,a10=5.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最小的n的值.
1.等差数列的判断方法
(1)定义法;
(2)等差中项法;
(3)利用通项公式判断;
(4)利用前n项和公式判断.
2.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数,且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数,则该数列不是等差数列,它从第2项起成等差数列.
3.方程思想和化归思想:在解有关等差数列的问题时,可以先考虑把已知条件都化归为a1和d等基本量的关系,再通过建立方程(组)求解.
1.当公差d≠0时,等差数列的通项公式是n的一次函数;当公差d=0时,an为常数.
2.注意利用“an-an-1=d”时加上条件“n≥2”;否则,当n=1时,a0无定义.
【例1】中国古代数学名著《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘,并而开方除之”,用符号表示为a2+b2=c2(a,b,c∈N+),我们把a,b,c叫作勾股数.下列给出几组勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41,以此类推,可猜测第5组勾股数的三个数依次是　　　　　.?
答案11,60,61
解析由前四组勾股数可得第五组的第一个数为11,第二、三个数为相邻的两个整数,可设为x,x+1,∴(x+1)2=112+x2?x=60,所以第5组勾股数的三个数依次是11,60,61.
【例2】设数列{an}是等差数列,Sn是其前n项的和,且S5S8,则下列结论错误的是(　　)
A.d<0
B.a7=0
C.S9>S5
D.S6和S7均为Sn的最大值
答案C
解析由S50,由S6=S7>S8,得a7=0,a8<0,故公差d=a8-a7<0,所以a1>a2>a3>a4>a5>a6>a7=0>a8>a9>a10>…,所以S6和S7均为Sn的最大值.因为S9-S5=a6+a7+a8+a9=a6+a8+a9=3a7+2d=2d<0,所以S9【例3】已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若公差d>0,(S8-S5)(S9-S5)<0,则(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.a7=0
B.|a7|=|a8|
C.|a7|>|a8|
D.|a7|<|a8|
答案D
解析∵公差d>0,(S8-S5)(S9-S5)<0,
∴S80,∴a6+a7+a8=3a7<0,
∴a6+a7+a8+a9=2(a7+a8)>0,∴a7<0,a7+a8>0,
∴|a7|<|a8|,故选D.
【例4】已知等差数列{an}的前n项和是Sn,则“-am0,<0”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
答案C
解析由等差数列的前n项和公式可知,若a1+an>0,则Sn=>0.
若Sn=>0,则a1+an>0.所以若-am0,则Sm=>0;
若Sm=>0,则a1+am>0,即-am同理可知,若a1<-,即a1+<0,则<0,反之也成立.故选C.
6.2　等差数列及其前n项和
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.(1)第2项　差　同一个常数　公差
(2)A=　等差中项
(3)a1+(n-1)d
考点自诊
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√　(6)×
2.C　由an+an+1=2n,得an+1+an+2=2n+2,两式相减得an+2-an=2,因为an+2-an=2d,所以d=1,所以an+an+1=2n,所以an=n-.故选C.
3.B　因为2+a5=a6+a3=a5+a4,所以a4=2,S7=7×=7a4=14,故选B.
4.4　设等差数列{an}的公差为d.∵a1≠0,a2=3a1,∴a1+d=3a1,即d=2a1.
∴=4.
5.25　设等差数列{an}的公差为d.
∵a1=-2,∴a2+a6=a1+d+a1+5d=2a1+6d=-4+6d=2,解得d=1.
∴S10=10a1+d=-20+45=25.
关键能力·学案突破
例1(1)B　(2)C　(1)设等差数列{an}的公差为d.∵数列{an}是等差数列,a2=2,S6=39,∴解得∴a7=-1+6×3=17.故选B.
(2)(方法1)由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,∵数列{an}为等差数列,∴d=am+1-am=1.
又Sm==0,∴m(a1+2)=0.∵m≠0,∴a1=-2,
又am=a1+(m-1)d=2,∴m=5.
(方法2)由=-2,Sm=0,=3,得am=Sm-=2,-Sm=3,∴等差数列的公差为d=-am=3-2=1.
由
得
解得
(方法3)∵数列{an}为等差数列,且前n项和为Sn,∴数列也为等差数列.
∴,即=0,解得m=5.经检验是原方程的解.故选C.
对点训练1(1)B　(2)16　(1)设数列{an}的公差为d,因为S13=0,a3+a4=21,所以解得
则S7=7×18+×7×6×(-3)=63.故选B.
(2)设数列{an}的公差为d,由题意得
整理②得a1+4d=3,
即a1=3-4d,③
把③代入①解得d=2,即a1=-5.所以S8=8a1+28d=16.
例2证明因为4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4,两式相减,得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2.又因为a1-b1=1,所以{an-bn}是首项为1,公差为2的等差数列.
对点训练2(1)证明依题意得,an+1an+an+2an+1=2an+2an,等式两边同时除以anan+1an+2,可得,故数列是等差数列.设数列的公差为d.因为a3=2a8=,所以=5,=10,所以=5=5d,即d=1,
所以+(n-3)d=5+(n-3)×1=n+2,故an=.
(2)解由(1)可知bn=,
故Sn=+…+==.
例3(1)A　(2)72　(1)
=
=.
(2)由S3=S9,得a4+a5+a6+a7+a8+a9=0,所以a6+a7=0,又因为a2+a5=24>0,所以a1+a6=24>0,因为等差数列的通项公式an是关于n的单调函数,所以数列{an}的前6项为正,所以当n=6时,Sn有最大值,且S6=3(a1+a6)=3×24=72.
例4(1)210　(2)A　
(1)记数列{an}的前n项和为Sn,由等差数列前n项和的性质知Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,则2(S2m-Sm)=Sm+(S3m-S2m).又Sm=30,S2m=100,S2m-Sm=100-30=70,
∴S3m-S2m=2(S2m-Sm)-Sm=110,∴S3m=110+100=210.
(2)由于点(n,an)(n∈N
)在函数y=lnx的图像上,则an=lnn,则=n,所以Sn=+…+=1+2+…+n=,所以Sn是关于n的增函数,
由于满足Sn=+…+≥m的n的最小值为5,则S4对点训练3(1)C　(2)A　(3)D　(1)等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4=20,S5=30,进而得到a5=10,
根据等差数列的性质得到S5=30=5a3,故a3=6,根据等差数列的性质得到a5-a3=2d,d=2,am=40=a5+2(m-5),解得m=20.故选C.
(2)因为在等差数列{an}中,a2+a8=8,所以a2+a8=2a5=8,解得a5=4,(a3+a7)2-a5=(2a5)2-a5=64-4=60.
(3)因为公差d>0,(S8-S5)(S9-S5)<0,所以S9>S8,所以S80,即3a7<0,2(a7+a8)>0,所以|a7|<|a8|.
例5解(方法1)由S3=S11,得3a1+d=11a1+d,解得d=-a1,从而Sn=n2+a1-n=-(n-7)2+a1,因为a1>0,所以-<0.
故当n=7时,Sn最大.
(方法2)由解法1可知,d=-a1.
要使Sn最大,则有
即
解得6.5≤n≤7.5,故当n=7时,Sn最大.
(方法3)由S3=S11,可得2a1+13d=0,即(a1+6d)+(a1+7d)=0,
故a7+a8=0,又由a1>0,S3=S11可知d<0,所以a7>0,a8<0,所以当n=7时,Sn最大.
对点训练4解(1)设等差数列{an}的公差为d,由a3=-9,a10=5,
得解得
∴数列{an}的通项公式为an=2n-15.
(2)由(1)得Sn=-13n+×2=n2-14n,∵Sn=(n-7)2-49,
∴当n=7时,Sn取得最小值.第六章　数列
6.1　数列的概念与表示
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.数列的有关概念
概　念
含　义
数列
按照　　　　　　排列的一列数?
数列的项
数列中的　　　　　?
通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫作这个数列的通项公式
数列{an}的
前n项和
把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=　　　?
2.数列的表示方法
列表法
列表格表达n与an的对应关系
图像法
把点　　　　　　画在平面直角坐标系中?
公式法
通项
公式
把数列的通项用　　　　　　表达的方法?
递推
公式
使用初始值a1和an+1=f(an)或a1,a2和an+1=f(an,an-1)等表达数列的方法
3.数列的函数特征
数列的三种表示方法也是函数的表示方法,数列可以看作是定义域为正整数集(或它的有限子集{1,2,…,n})的函数an=f(n),当自变量由小到大依次取值时所对应的一列　　　　　　.?
4.数列的性质
单调性
递增数列
任意n∈N+,　　　　　?
递减数列
任意n∈N+,　　　　　?
常数列
任意n∈N+,an+1=an
摆动数列
从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列
周期性
任意n∈N+,存在正整数常数k,an+k=an
5.an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn,则an=
在数列{an}中,若an最大,则
若an最小,则
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)所有数列的第n项都能使用公式表达.
(　　)
(2)数列{an}和集合{a1,a2,a3,…,an}是一回事.
(　　)
(3)若数列用图像表示,则从图像上看都是一群孤立的点.
(　　)
(4)一个确定的数列,它的通项公式只有一个.
(　　)
(5)若数列{an}的前n项和为Sn,则对任意n∈N+,都有an=Sn-Sn-1.
(　　)
2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+n,则a2的值是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2
B.4
C.5
D.6
3.(2020北京海淀期中,7)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=an(n=1,2,3,…),则a2
020=(　　)
A.0
B.1
C.2
020
D.2
021
4.已知数列{an}满足an=,则S3=　　　　.?
5.(2020天津河东一模)设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=,若a4=32,则a1=　　　　　.?
关键能力学案突破　
考点
由数列的前几项求数列的通项公式
【例1】根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式:
(1)-1,7,-13,19,…;
(2)-,-,…;
(3),…;
(4)5,55,555,5
555,….
思考如何由数列的前几项写出一个数列的通项公式?
解题心得求数列通项公式或指定项,通常用观察法,观察出前几项与项数之间的关系,抽象出an与n的关系,对于正、负项相间的数列,一般用(-1)n或(-1来区分奇偶项的符号.
对点训练1根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式:
(1),2,,8,,…;
(2)1,-3,5,-7,9,…;
(3)1,2,1,2,1,2,…;
(4)9,99,999,9
999,….
考点
由an与Sn的关系求通项an
【例2】(1)(2020辽宁大连模拟,文15)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2n+2-3,则an=　　　　　.?
(2)(2020山西太原三模,文15)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+an=-2,则数列{an}的通项公式an=　　　　　.?
(3)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,=Sn,则Sn=　　　　　.?
思考由an与Sn的关系求通项公式an的一般方法是什么?
解题心得1.已知数列的前n项和Sn=f(n),则通项公式an=当n=1时,若a1适合Sn-Sn-1,则n=1的情况可并入n≥2时的通项公式an;当n=1时,若a1不适合Sn-Sn-1,则用分段函数的形式表示.
2.给出Sn与an的递推关系,求an的常用思路:一是利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为an的递推关系,再求其通项公式;二是转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n之间的关系,再求an.
对点训练2(1)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,Sn+1=2Sn-1,则a10=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.128
B.256
C.512
D.1
024
(2)(2020山东烟台一模,14)已知数列{an}的前n项和公式为Sn=2n2-n+1,则数列{an}的通项公式为　　　　　.?
(3)已知Sn为数列{an}的前n项和,且log2(Sn+1)=n+1,则数列{an}的通项公式为　　　　.?
考点
由数列的递推关系式求an
(多考向探究)
考向1　形如an+1=anf(n),求an
【例3】在数列{an}中,已知a1=1,nan-1=(n+1)an(n≥2),求数列{an}的通项公式.
思考已知在数列{an}中,an+1=anf(n),利用什么方法求an?
考向2　形如an+1=an+f(n),求an
【例4】(2020河北唐山一模,文15,理15)在数列{an}中,已知a1=1,an+1=an+tn(n∈N+,t为非零常数),且a1,a2,a3成等比数列,则an=　　　　　.?
思考已知在数列{an}中,=an+f(n),利用什么方法求an?
考向3　形如an+1=pan+q,求an
【例5】已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+2,求数列{an}的通项公式.
思考已知在数列{an}中,an+1=pan+q(p,q均为常数),利用什么方法求an?
考向4　由含an+1与an的二次三项式求an
【例6】已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,-(2an+1-1)an-2an+1=0.
(1)求a2,a3;
(2)求{an}的通项公式.
思考已知含有an+1与an的二次三项式的递推公式,如何求an?
解题心得根据给出的初始值和递推关系求数列通项的常用方法
(1)若递推关系为an+1=an+f(n)或an+1=f(n)·an,则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式,或用迭代法求得通项公式;
(2)当递推公式为an+1=pan+q(其中p,q均为常数)时,通常解法是先把原递推公式转化为an+1-t=p(an-t),其中t=,再利用换元法转化为等比数列求解;
(3)当递推公式含有an+1与an的二次三项式时,通常先对递推公式进行化简、变形,转化为等差或等比数列,再用公式法求an.
对点训练3(1)(2020辽宁大连模拟,文11)在数列{an}中,a1=1,a=(n,an),b=(an+1,n+1),且a⊥b,则a100=
(　　)
A.
B.-
C.100
D.-100
(2)在数列{an}中,a1=2,an+1=an+,则数列an=　　　　　.?
(3)(2020山西太原二模,理15)已知数列{an}满足-1+1(n∈N+),且a2=6,则{an}的通项公式为　　　　　　.?
(4)(2020陕西宝鸡三模,文15)已知数列{an},{bn}满足a1=1.1,b1=0.2,an+1=,bn+1=an+bn,n∈N,令cn=an-bn,则数列{cn}的通项公式为　　　　　.?
(5)已知数列{an}对任意的n∈N+都有an+1=an-2an+1an,若a1=,则a8=　　　　　.?
考点
数列的性质
(多考向探究)
考向1　数列的周期性
【例7】在数列{an}中,a1=0,an+1=,则S2
020=　　　　.?
解题心得解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值.
对点训练4数列{an}满足an+1=a1=,则数列的第2
019项为　　　　.?
考向2　数列的单调性
【例8】(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N+),且an=2n+λ,若数列{Sn}(n≥7,n∈N+)为递增数列,则实数λ的取值范围为　　　　　　.?
(2)已知f(x)=的定义域为R,数列{an}(n∈N+)满足an=f(n),且{an}是递增数列,则实数a的取值范围是(　　)
A.(1,+∞)
B.,+∞
C.(1,3)
D.(3,+∞)
解题心得解决数列的单调性问题的三种方法
作差比较法
根据an+1-an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或常数列
续　表
作商比较法
根据(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断
数形结合法
结合相应函数的图像直观判断
对点训练5已知数列{an}满足an=若对任意的n∈N+都有an>,则实数a的取值范围是(　　)
A.0,
B.
C.,1
D.,1
考向3　数列的最大(小)项
【例9】(1)已知数列{an}中,前n项和为Sn,且Sn=an,则的最大值为(　　)
A.-3
B.-1
C.3
D.1
(2)已知数列{an}的通项公式为an=,其最大项和最小项的值分别为(　　)
A.1,-
B.0,-
C.,-
D.1,-
解题心得求数列的最大项、最小项的常用思想
(1)利用“两边夹”思想
设an为数列{an}中的最大项,则有(n≥2).若设an为数列{an}中的最小项,则有(n≥2).
(2)利用函数思想
①构造函数,确定函数的单调性,再求出数列的最大(小)项.
②根据{an}对应函数的单调性确定,递增数列:a1a2>…>an,故(an)max=a1.
对点训练6(1)数列{an}的通项公式为an=,则数列{an}中的最大项的值是(　　)
A.3
B.19
C.
D.
(2)若数列{an}的前n项和Sn=n2-10n(n∈N+),则数列{nan}中数值最小的项是(　　)
A.第2项
B.第3项
C.第4项
D.第5项
1.求数列通项公式或指定项,通常用观察法,观察出前几项与项数之间的关系,抽象出an与n的关系,对于正、负项相间的数列,一般用(-1)n或(-1来区分奇偶项的符号.
2.已知递推关系求通项公式,一般有三种常见思路:
(1)先算出前几项,再归纳、猜想;
(2)形如“an+1=pan+q”这种形式通常转化为an+1+λ=p(an+λ),由待定系数法求出λ,再化为等比数列;
(3)递推公式化简整理后,若为an+1-an=f(n)型,则采用累加法;若为=f(n)型,则采用累乘法.
　　3.求数列最大项的方法:(1)判断{an}的单调性;(2)解不等式组
1.在利用函数观点研究数列时,一定要注意自变量的取值是正整数.
2.数列的通项公式不一定唯一.
3.注意an=Sn-Sn-1中需n≥2.
4.由Sn求an时,利用an=求出an后,要注意验证a1是否适合求出的an的关系式.
第六章　数列
6.1　数列的概念与表示
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.确定的顺序　每一个数　a1+a2+…+an
2.(n,an)　公式
3.函数值
4.an+1>an　an+1考点自诊
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
2.B　由题意,S2=22+2=6,S1=1+1=2,所以a2=S2-S1=6-2=4.故选B.
3.A　由Sn=an得,当n≥2时,an=Sn-=an-,所以=0.当n=2021时,a2020=0.
4.10　因为an=,所以a1=1,a2=3,a3=6,所以S3=a1+a2+a3=1+3+6=10.
5.　∵Sn=,a4=32,则a4=S4-S3=32.∴=32,∴a1=.
关键能力·学案突破
例1解(1)偶数项为正,奇数项为负,故通项公式必含有因式(-1)n;观察各项的绝对值,后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6,故所求数列的一个通项公式an=(-1)n(6n-5).
(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的乘积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,故所求数列的一个通项公式an=(-1)n·.
(3)这是一个分数数列,其分子构成偶数数列,而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11,…,即分母的每一项都是两个相邻奇数的乘积,故所求数列的一个通项公式an=.
(4)将原数列改写为×9,×99,×999,…,易知数列9,99,999,…的通项公式为10n-1,故所求的数列的一个通项公式an=(10n-1).
对点训练1解(1)数列的项有的是分数,有的是整数,可先将各项都统一写成分数形式再观察:,…,所以它的一个通项公式为an=.
(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9,…,是连续的正奇数,并且奇数项为正,偶数项为负,所以它的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).
(3)这是一个周期数列,奇数项是1,偶数项是2,所以此数列的一个通项公式为an=
(4)这个数列的前4项可以写成10-1,100-1,1000-1,10000-1,所以它的一个通项公式为an=10n-1.
例2(1)an=　(2)an=-　(3)-　(1)根据题意,数列{an}满足Sn=2n+2-3,
当n≥2时,有an=Sn-Sn-1=(2n+2-3)-(2n+1-3)=2n+1,
当n=1时,有a1=S1=8-3=5,不符合an=2n+1,故an=
(2)当n=1时,S1+a1=-2,所以a1=-1.由Sn+=-2,得=-2,两式相减得2=an,所以数列{an}是以-1为首项,以为公比的等比数列,所以an=-.
(3)因为an+1=Sn+1-Sn,an+1=SnSn+1,所以由两式联立得Sn+1-Sn=SnSn+1.因为Sn≠0,所以=1,即=-1.又=-1,所以数列是首项为-1,公差为-1的等差数列.所以=-1+(n-1)×(-1)=-n,
所以Sn=-.
对点训练2(1)B　(2)an=　(3)an=
(1)∵Sn+1=2Sn-1,当n≥2时,Sn=2Sn-1-1,两式相减得an+1=2an.
当n=1时,a1+a2=2a1-1,a1=2,a2=1.∴数列{an}从第二项开始为等比数列,公比为2.则a10=a2×28=1×28=256,故选B.
(2)由题意,当n=1时,a1=S1=2;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-n-2(n-1)2+n-1=4n-3.又因为a1=2不满足an=4n-3,所以an=
(3)由log2(Sn+1)=n+1,得Sn+1=2n+1,当n=1时,a1=S1=3;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n,显然当n=1时,不满足上式.所以数列{an}的通项公式为an=
例3解∵nan-1=(n+1)an(n≥2),∴(n≥2).∴an=·…··a1=×…××1=.
又a1也满足上式,∴an=.
例4　∵a1=1,an+1=an+tn(n∈N
,t为非零常数),∴a2=a1+t=t+1,
a3=a2+2t=3t+1.∵a1,a2,a3成等比数列,∴=a1a3,即(t+1)2=1×(3t+1),整理得t2-t=0,解得t=1(t=0舍去).∴an+1-an=n,∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+1+2+…+(n-1)=1+.
例5解∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1).∴=3.
∴数列{an+1}为等比数列,且公比q=3.又a1+1=2,∴an+1=2·3n-1.
∴an=2·3n-1-1.
例6解(1)由题意得a2=,a3=.
(2)由-(2an+1-1)an-2an+1=0,得2an+1(an+1)=an(an+1).
因为{an}的各项都为正数,所以.故{an}是首项为1,公比为的等比数列,因此an=.
对点训练3(1)D　(2)3-　(3)2n2-n
(4)cn=0.9×　(5)　(1)因为a=(n,an),b=(an+1,n+1),且a⊥b,所以nan+1+(n+1)an=0,所以=-,所以=-=-,…,=-.以上各式左右分别相乘,得=-100,因为a1=1,所以a100=-100.故选D.
(2)由题意,得an+1-an=,
an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=++…++1-+2=3-.
又a1也满足上式,∴an=3-.
(3)由题意,得-1=-1,当n≥2时,,所以数列从第二项开始是常数列,又=2,所以=2,即an=2n2-n(n≥2),又n=1也满足,所以an=2n2-n.
(4)由题意,得an+1-bn+1=-bn+1=-bn+1+an=-an+bn+an=(an-bn),
即,即.又因为a1=1.1,b1=0.2,所以c1=a1-b1=0.9,故{cn}是首项为0.9,公比为的等比数列,所以cn=0.9×.
(5)由an+1=an-2an+1an,得=2,∴数列=2,公差d=2的等差数列,
∴=2+2(n-1)=2n,a8=.
例70　∵a1=0,an+1=,∴a2=,a3==-,a4==0,即数列{an}为周期数列,周期为3,且a1+a2+a3=0,则S2020=S3×673+1=a1=0.
对点训练4　由已知可得,a2=2×-1=,a3=2×,a4=2×,a5=2×-1=,
∴{an}为周期数列,且周期T=4,
∴a2019=a504×4+3=a3=.
例8(1)(-16,+∞)　(2)D　(1)当n≥7时,数列{Sn}为递增数列,设Sn+1>Sn,即Sn+1-Sn=an+1>0,
∴an+1=2(n+1)+λ>0,则λ>-2n-2.
又n≥7,∴-2n-2≤-16,即λ>-16.
(2)由于{an}是递增数列,所以a>1,且a2>a1,即a2>2a+3,解得a<-1或a>3,所以a>3.
对点训练5B　∵an>an+1恒成立,∴a满足解得例9(1)C　(2)A　(1)∵Sn=an,∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an-an-1,可化为=1+,由函数y=在区间(1,+∞)内单调递减,可得当n=2时,取得最大值2.
∴的最大值为3.
(2)因为n∈N
,所以当1≤n≤3时,an=<0,单调递减,当n≥4时,an=>0,单调递减,所以最小项为a3==-,最大项为a4==1,故选A.
对点训练6(1)C　(2)B　(1)an=,令f(x)=x+(x>0),运用基本不等式得f(x)≥6,当且仅当x=3时,等号成立.因为an=,n∈N
,所以,即当n=9或n=10时,an=最大.
(2)∵Sn=n2-10n,∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-11;当n=1时,a1=S1=-9也适合上式.∴an=2n-11(n∈N
).记f(n)=nan=n(2n-11)=2n2-11n,
∴此函数图像的对称轴为直线n=,又n∈N
,∴当n=3时,f(n)取最小值.
∴数列{nan}中数值最小的项是第3项.

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