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9.7　抛物线
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的　　　　　　　的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的　　　　,直线l叫作抛物线的　　　　.?
注意若定点F在定直线l上,则动点的轨迹为过点F且垂直于l的一条直线.
2.抛物线的几何性质
标准方程
y2=2px
(p>0)
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
图　形
顶　点
　　　　?
对称轴
x轴
　　　?
焦　点
F,0
F-,0
F0,
F0,-
离心率
e=　　?
准线方程
x=-
x=
y=-
y=
范　围
x≥0,y∈R
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径(其
中P(x0,y0))
|PF|=
x0+
|PF|=
-x0+
|PF|=
y0+
|PF|=
-y0+
1.设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),如图所示,则
(1)x1x2=,y1y2=-p2;
(2)弦长|AB|=x1+x2+p=(α为弦AB所在直线的倾斜角);
(3)以弦AB为直径的圆与准线相切;
(4)S△AOB=(α为弦AB所在直线的倾斜角);
(5)∠CFD=90°.
2.抛物线y2=2px(p>0)的通径长为2p.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.
(　　)
(2)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.
(　　)
(3)若一抛物线过点P(-2,3),则其标准方程可写为y2=2px(p>0).
(　　)
(4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.
(　　)
(5)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是,0.
(　　)
2.(2020天津河北区线上测试,5)已知抛物线y2=4x与x2=2py(p>0)的焦点间的距离为2,则p的值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2
B.4
C.6
D.12
3.(2020北京,7)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l.P是抛物线上异于O的一点,过P作PQ⊥l于Q,则线段FQ的垂直平分线(　　)
A.经过点O
B.经过点P
C.平行于直线OP
D.垂直于直线OP
4.(2020全国1,理4)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=(　　)
A.2
B.3
C.6
D.9
5.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),过点P(1,1)的直线l与抛物线C交于A,B两点,若P恰好为线段AB的中点,则|AB|=　　　　　.?
关键能力学案突破　
考点
抛物线的定义及其应用
【例1】(1)(2020辽宁大连模拟,文12)已知抛物线y2=2x的焦点为F,以点P为圆心,|PF|为半径作一圆与抛物线在x轴上方交于M,N两点,则|MF|+|NF|等于
(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.8
B.18
C.2
D.4
(2)(2020新高考全国1,13)斜率为的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则|AB|=　　　　　.?
思考如何灵活应用抛物线的定义解决距离问题?
解题心得1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时,一般运用定义转化为到准线距离处理.
2.若P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p>0)上一点,由定义易得|PF|=x0+;若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长为|AB|=x1+x2+p,x1+x2可由根与系数的关系整体求出;若遇到其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.
对点训练1(1)如图,过抛物线y2=8x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,与抛物线的准线交于点C,若B是AC的中点,则|AB|=(　　)
A.8
B.9
C.10
D.12
(2)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与抛物线C的一个交点,若=4,则|QF|=(　　)
A.
B.
C.3
D.2
考点
抛物线的方程及几何性质
【例2】(1)(2020重庆调研)已知抛物线y2=2px(p>0),点C(-4,0),过抛物线的焦点F作垂直于x轴的直线,与抛物线交于A,B两点,若△CAB的面积为24,则以直线AB为准线的抛物线的标准方程为(　　)
A.y2=4x
B.y2=-4x
C.y2=8x
D.y2=-8x
(2)(2020全国3,理5)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为(　　)
A.,0
B.,0
C.(1,0)
D.(2,0)
思考求抛物线标准方程的常用方法和关键是什么?
解题心得1.求抛物线的标准方程主要利用待定系数法,因为抛物线方程有四种形式,所以在求抛物线方程时,需先定位,再定量,必要时要进行分类讨论.标准方程有时可设为y2=mx或x2=my(m≠0).
2.由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离,从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程.
对点训练2(1)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M(x0,2是抛物线C上的一点,以点M为圆心的圆与直线x=交于E,G两点,若sin∠MFG=,则抛物线C的方程为(　　)
A.y2=x
B.y2=2x
C.y2=4x
D.y2=8x
(2)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2),若线段AF的中点B在抛物线上,则|BF|=(　　)
A.
B.
C.
D.
考点
与抛物线相关的最值问题
【例3】(1)(2020山东泰安一模,8)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A,B是抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=,设线段AB的中点M在l上的投影为N,则的最大值是(　　)
A.
B.
C.
D.
(2)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A,B两点,直线l2与抛物线C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为(　　)
A.16
B.14
C.12
D.10
思考求与抛物线有关的最值问题的一般思路是怎样的?
解题心得与抛物线有关的最值问题的两个转化策略
转化策略一:将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得以解决.
转化策略二:将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.
对点训练3(1)(2020河南郑州二模)已知抛物线C:y2=2x,过原点作两条互相垂直的直线分别交抛物线C于A,B两点(A,B均不与坐标原点重合),则抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为(　　)
A.2
B.3
C.
D.4
(2)(2020山东日照一模,15)直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与C交于M,N两点,则p=　　　　　,的最小值是　　　　　.?
考点
抛物线与其他圆锥曲线的综合
【例4】(1)已知过抛物线C:y2=4x焦点F的直线交抛物线C于P,Q两点,交圆x2+y2-2x=0于M,N两点,其中P,M位于第一象限,则的值不可能为
(　　)
A.3
B.4
C.5
D.6
(2)已知P是抛物线y2=4x上任意一点,Q是圆(x-4)2+y2=1上任意一点,则|PQ|的最小值为(　　)
A.
B.3
C.+1
D.2-1
思考求解抛物线与其他圆锥曲线的综合问题要注意什么?
解题心得求解抛物线与其他圆锥曲线的综合问题,要注意距离的转换,将抛物线上的点到焦点的距离转换成抛物线上的点到准线的距离,这样可以简化运算过程.
对点训练4(1)(2020河南洛阳模拟)已知F为抛物线C1:y2=2px(p>0)的焦点,曲线C2是以F为圆心,为半径的圆,直线4x-3y-2p=0与曲线C1,C2从上到下依次相交于点A,B,C,D,则=(　　)
A.16
B.4
C.
D.
(2)(2020山东滨州二模,16)动圆E与圆M(x-1)2+y2=外切,并与直线x=-相切,则动圆圆心E的轨迹方程为　　　　　;过点P(1,2)作倾斜角互补的两条直线,分别与圆心E的轨迹相交于A,B两点,则直线AB的斜率为　　　　　.?
考点
直线与抛物线的关系
【例5】(1)设抛物线y2=8x的焦点为F,其准线与x轴的交点为Q,过点Q作斜率为k(k<0)的直线交抛物线于A,B两点,若|AF|=2|BF|,则k的值为(　　)
A.-
B.-
C.-
D.-
(2)(2020山东临沂二模,8)已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,AB的中点为C,过点C作抛物线准线的垂线交准线于点C1,若CC1的中点为M(1,4),则p=(　　)
A.4
B.8
C.4
D.8
解题心得求解抛物线综合问题的方法
(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似,一般是用方程法,但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时,要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用.
(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p(焦点在x轴正半轴),若不过焦点,则必须用弦长公式.
对点训练5(1)(2020山西太原二模,理9)过抛物线y2=4x的焦点的直线l与抛物线交于A,B两点,设点M(3,0).若△MAB的面积为4,则|AB|=(　　)
A.2
B.4
C.2
D.8
(2)已知直线kx-y-k=0(k>0)与抛物线y2=4x交于A,B两点,过B作x轴的平行线交抛物线的准线于点M,O为坐标原点,若S△OBM∶S△OBA=1∶2,则k=　　　　　.?
1.认真区分四种形式的标准方程:
(1)区分y=ax2与y2=2px(p>0),前者不是抛物线的标准方程.
(2)求抛物线标准方程要先确定形式,必要时要进行分类讨论,标准方程有时可设为y2=mx或x2=my(m≠0).
2.解决有关抛物线的焦点弦问题,熟记有关的常用结论是突破解题思路、提高解题速度的有效途径.
1.求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p值,但首先要判断抛物线是不是标准方程,以及是哪一种标准方程.
2.求过焦点的弦或与焦点有关的距离问题,要多从抛物线的定义入手,这样可以简化问题.
指点迷津(二)　求曲线轨迹方程的方法
曲线C与方程F(x,y)=0满足两个条件:(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解;(2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.则称曲线C为方程F(x,y)=0的曲线,方程F(x,y)=0为曲线C的方程.求曲线方程的基本方法主要有:
(1)直接法:直接将几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程.
(2)定义法:利用曲线的定义,判断曲线类型,再由曲线的定义直接写出曲线方程.
(3)代入法(相关点法)
题中有两个动点,一个为所求,设为(x,y),另一个在已知曲线上运动,设为(x0,y0),利用已知条件找出两个动点的关系,用所求表示已知,即将x0,y0代入已知曲线即得所求.
(4)参数法:引入参数t,求出动点(x,y)与参数t之间的关系消去参数即得所求轨迹方程.
(5)交轨法:引入参数表示两动曲线的方程,将参数消去,得到两动曲线交点的轨迹方程.
一、直接法求轨迹方程
【例1】已知△ABC的三个顶点分别为A(-1,0),B(2,3),C(1,2),定点P(1,1).
(1)求△ABC外接圆的标准方程;
(2)若过定点P的直线与△ABC的外接圆交于E,F两点,求弦EF中点的轨迹方程.
解(1)由题意得AC的中点坐标为(0,),AB的中点坐标为,kAC=,kAB=1,故AC中垂线的斜率为-,AB中垂线的斜率为-1,则AC的中垂线的方程为y-=-x,AB的中垂线的方程为y-=-.
由
得
所以△ABC的外接圆的圆心为(2,0),半径r=2+1=3,故△ABC外接圆的标准方程为(x-2)2+y2=9.
(2)设弦EF的中点为M(x,y),△ABC外接圆的圆心为N,则N(2,0).
由MN⊥MP,得=0,
所以(x-2,y)·(x-1,y-1)=0,
整理得x2+y2-3x-y+2=0,
所以弦EF中点的轨迹方程为.
方法总结直接法求轨迹的方法和注意问题
(1)若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系,则可用直接法,其一般步骤是:设点→列式→化简→检验.求动点的轨迹方程时要注意检验,即除去多余的点,补上遗漏的点.
(2)若是只求轨迹方程,则把方程求出,把变量的限制条件附加上即可;若是求轨迹,则要说明轨迹是什么图形.
对点训练1已知坐标平面上动点M(x,y)与两个定点P(26,1),Q(2,1),且|MP|=5|MQ|.
(1)求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;
(2)记(1)中轨迹为C,若过点N(-2,3)的直线l被C所截得的线段长度为8,求直线l的方程.
二、定义法求轨迹方程
【例2】已知圆C与两圆x2+(y+4)2=1,x2+(y-2)2=1外切,圆C的圆心轨迹为L,设L上的点与点M(x,y)的距离的最小值为m,点F(0,1)与点M(x,y)的距离为n.
(1)求圆C的圆心轨迹L的方程;
(2)求满足条件m=n的点M的轨迹Q的方程.
解(1)两圆半径都为1,两圆圆心分别为C1(0,-4),C2(0,2),由题意得|CC1|=|CC2|,可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线,C1C2的中点为(0,-1),直线C1C2的斜率不存在,所以圆C的圆心轨迹L的方程为y=-1.
(2)L上的点与点M(x,y)的距离的最小值是点M到直线y=-1的距离,因为m=n,所以M(x,y)到直线y=-1的距离与到点F(0,1)的距离相等,故点M的轨迹Q是以y=-1为准线,点F(0,1)为焦点,顶点在原点的抛物线,而=1,即p=2,所以,轨迹Q的方程是x2=4y.
方法总结定义法求轨迹方程
(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时,若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据曲线的方程,写出所求的轨迹方程.
(2)利用定义法求轨迹方程时,还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线,如果不是完整的曲线,则应对其中的变量x或y进行限制.
对点训练2如图所示,已知圆A:(x+2)2+y2=1与点B(2,0),分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程.
(1)△PAB的周长为10;
(2)圆P与圆A外切,且过B点(P为动圆圆心);
(3)圆P与圆A外切,且与直线x=1相切(P为动圆圆心).
三、代入法(相关点法)求轨迹方程
【例3】如图所示,抛物线E:y2=2px(p>0)与圆O:x2+y2=8相交于A,B两点,且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0,y0)作圆O的切线交抛物线E于C,D两点,分别以C,D为切点作抛物线E的切线l1,l2,l1与l2相交于点M.
(1)求p的值;
(2)求动点M的轨迹方程.
解(1)由点A的横坐标为2,可得点A的坐标为(2,2),
代入y2=2px,解得p=1.
(2)由(1)知抛物线E:y2=2x.
设C,D,y1≠0,y2≠0,切线l1的斜率为k,则切线l1:y-y1=k,代入y2=2x,
得ky2-2y+2y1-k=0,由Δ=0,解得k=,
所以l1的方程为y=x+,
同理l2的方程为y=x+.
联立解得
易知CD的方程为x0x+y0y=8,
其中x0,y0满足=8,x0∈[2,2],
由得x0y2+2y0y-16=0,
则代入
可得M(x,y)满足
代入=8,化简得-y2=1,
因为x0∈[2,2],所以x∈[-4,-2].所以动点M的轨迹方程为-y2=1,x∈[-4,-2].
方法总结
对点训练3如图,已知P是椭圆+y2=1上一点,PM⊥x轴于点M.若=λ.
(1)求点N的轨迹方程;
(2)当点N的轨迹为圆时,求λ的值.
四、参数法求轨迹方程
【例4】点A和点B是抛物线y2=4px(p>0)上除原点以外的两个动点,已知OA⊥OB,OM⊥AB于点M,求点M的轨迹方程.
解当AB所在直线的斜率不存在时,M为一定点,坐标为(4p,0).
当AB所在直线的斜率存在时,设其方程为y=kx+b(k≠0),
由得k2x2+2(kb-2p)x+b2=0.
设点A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=.
所以y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2=.
由OA⊥OB,知x1x2+y1y2=0,则b=-4pk.
①
设点M(x,y),由OM⊥AB,知·k=-1,y≠0,
则k=-.
②
由①②及y=kx+b消去k,b,得x2+y2-4px=0(y≠0).
又点(4p,0)的坐标满足x2+y2-4px=0,所以点M的轨迹方程为x2+y2-4px=0.
方法总结应用参数法求轨迹方程的程序:选参—求参—消参.注意消参后曲线的范围是否发生变化.
对点训练4在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A(1,0),B(2,2),若点C满足+t(),其中t∈R,则点C的轨迹方程是　　　　　.?
五、交轨法求轨迹方程
【例5】(2020东北三省四市一模)如图,已知椭圆C:=1的短轴端点分别为B1,B2,点M是椭圆C上的动点,且不与B1,B2重合,点N满足NB1⊥MB1,NB2⊥MB2.
(1)求动点N的轨迹方程;
(2)求四边形MB2NB1面积的最大值.
解(1)(方法1)设点N(x,y),M(x0,y0)(x0≠0).
由题意知点B1(0,-3),B2(0,3),
所以.
因为MB1⊥NB1,MB2⊥NB2,
所以直线NB1:y+3=-x,
①
直线NB2:y-3=-x,
②
①×②得y2-9=x2.
又=1,
所以y2-9=x2=-2x2,
所以动点N的轨迹方程为=1(x≠0).
(方法2)设点N(x,y),M(x0,y0)(x0≠0).
由题意知点B1(0,-3),B2(0,3),
所以.
因为MB1⊥NB1,MB2⊥NB2,
所以直线NB1:y+3=-x,
①
直线NB2:y-3=-x,
②
联立①②,解得
又=1,所以x=-,
故代入=1,得=1.
所以动点N的轨迹方程为=1(x≠0).
(方法3)设直线MB1:y=kx-3(k≠0),
则直线NB1:y=-x-3.
①
直线MB1与椭圆C:=1的交点M的坐标为.
则直线MB2的斜率为=-.
所以直线NB2:y=2kx+3.
②
由①②得点N的轨迹方程为=1(x≠0).
(2)由(1)(方法3)得直线NB1:y=-x-3,
①
直线NB2:y=2kx+3.
②
联立①②,解得x=,即xN=,
又xm=,故四边形MB2NB1的面积S=|B1B2|(|xM|+|xN|)=3×,当且仅当|k|=时,S取得最大值.
方法总结交轨法一般根据动点在两条动直线上,利用动直线方程,消去不必要的参数得到动点的轨迹方程,注意通过几何意义确定曲线的范围.
对点训练5(2020河北唐山一模,文20)已知P是x轴上的动点(异于原点O),点Q在圆O:x2+y2=4上,且|PQ|=2.设线段PQ的中点为M.
(1)当直线PQ与圆O相切于点Q,且点Q在第一象限时,求直线OM的斜率;
(2)当点P移动时,求点M的轨迹方程.
9.7　抛物线
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.距离相等　焦点　准线
2.(0,0)　y轴　1
考点自诊
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×
2.A　由题意,两抛物线的焦点坐标分别为(1,0),,两焦点的距离为=2,解得p=2.故选A.
3.B　因为线段FQ的垂直平分线上的点到F,Q的距离相等,又点P在抛物线上,根据抛物线定义可知,|PQ|=|PF|,所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B.
4.C　设点A的坐标为(x,y).由点A到y轴的距离为9可得x=9,由点A到抛物线C的焦点的距离为12,可得x+=12,解得p=6.
5.　由于焦点F(1,0),故=1,p=2,抛物线方程为y2=4x.设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知直线l的斜率存在且不为零,设l:y-1=k(x-1),由消去x,得ky2-4y+4-4k=0,由P为线段AB的中点可知y1+y2==2,所以k=2,所以直线l的方程为y=2x-1,y1y2=-2,所以|AB|=.
关键能力·学案突破
例1(1)A　(2)　(1)设M(x1,y1),N(x2,y2),抛物线的焦点坐标为,
则|PF|==4,则圆的方程为+y2=16,与抛物线方程联立,消去y,得x2-7x+=0,则x1+x2=7.
根据抛物线性质可知|MF|+|NF|=x1++x2+=8.故选A.
(2)
如图所示,直线与抛物线交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),F(1,0),准线方程为x=-1,作AA',BB'垂直于准线,交准线于点A',B',由抛物线的定义知|AA'|=|AF|,|BB'|=|BF|.
|AB|=|AF|+|BF|=|AA'|+|BB'|=x1++x2+=x1+x2+p.
由得3x2-10x+3=0,
所以x1+x2=,
则|AB|=+2=.
对点训练1(1)B　(2)C　
(1)如图,分别过点A,B作准线的垂线,垂足分别为D,E,设|AB|=|BC|=m,直线l的倾斜角为α.则|BE|=m|cosα|,
所以|AD|=|AF|=|AB|-|BF|=|AB|-|BE|=m(1-|cosα|),
所以|cosα|=,
解得|cosα|=.
由抛物线焦点弦长公式|AB|=,可得|AB|==9.故选B.
(2)∵=4,∴||=4||.
∴.过Q作QQ'⊥l,垂足为Q',设l与x轴的交点为A(图略),则|AF|=4,∴,
∴|QQ'|=3,根据抛物线定义可知|QF|=|QQ'|=3,故选C.
例2(1)D　(2)B　(1)因为AB⊥x轴,且AB过焦点F,所以|AB|=2p,所以S△CAB=×2p×=24,解得p=4或p=-12(舍去).所以抛物线方程为y2=8x,所以直线AB的方程为x=2,所以以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y2=-8x.故选D.
(2)∵抛物线C关于x轴对称,直线x=2垂直于x轴,又OD⊥OE,
∴△ODE是等腰直角三角形.
不妨设点D在第一象限,则点D的坐标为(2,2),将其代入y2=2px,得p=1,所以抛物线C的焦点坐标为,0.
对点训练2(1)C　(2)D
(1)如图所示,作MD⊥EG,垂足为D.因为点M(x0,2在抛物线上,所以8=2px0,即px0=4.
①
由题意,可知|DM|=x0-,|MF|=x0+,因为sin∠MFG=,所以|DM|=|MF|,即x0-,
解得x0=p.
②
由①②,解得x0=p=-2(舍去)或x0=p=2.故抛物线C的方程为y2=4x.故选C.
(2)由已知得点F的坐标为,0,因为点A(0,2),所以AF的中点B的坐标为,1.因为点B在抛物线上,所以1=,解得p=或p=-(舍去).所以点F的坐标为,0,点B的坐标为,1,所以|BF|=.故选D.
例3(1)B　(2)A　(1)设A,B在直线l上的投影分别是A1,B1,则|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|.
又因为M是AB中点,所以|MN|=(|AA1|+|BB1|),
则.
在△ABF中,|AB|2=|AF|2+|BF|2-2|AF||BF|cos=|AF|2+|BF|2+|AF||BF|=(|AF|+|BF|)2-|AF||BF|≥(|AF|+|BF|)2-(|AF|+|BF|)2,当且仅当|AF|=|BF|时,等号成立.
所以,
即,
所以.故选B.
(2)由题意,可知直线l1,l2的斜率都存在且不为0,点F(1,0).
设点A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),直线l1的方程为y=k(x-1)(k≠0).由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,则x1+x2=.因为l1⊥l2,所以直线l2的方程为y=-(x-1).
同理,x3+x4=2+4k2.
由抛物线的定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+2+x3+x4+2=+2+4k2+4=4k2++8≥2+8=16,当且仅当4k2=,即k=±1时,等号成立.故|AB|+|DE|的最小值为16.
对点训练3(1)C　(2)2　-　(1)设直线AB的方程为x=my+t,点A(x1,y1),B(x2,y2).
由得y2-2my-2t=0,所以y1y2=-2t.
由题意可知,则x1x2+y1y2=+y1y2=0,即t2-2t=0.由题意可知t≠0,所以t=2,所以直线AB过定点(2,0).所以抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为2-.故选C.
(2)因为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),所以p=2.
设点M(x1,y1),N(x2,y2),直线l:x=my+1,联立得y2-4my-4=0,
所以y1+y2=4m,y1y2=-4,所以x1x2=1.
(方法1)-1≥-,当且仅当x1+1=3,即x1=2时,等号成立.
(方法2)
=
==1,所以-1≥-,当且仅当|MF|=3时,等号成立.
例4(1)A　(2)D　(1)作图如下.
由题意可知,F为圆x2+y2-2x=0的圆心,设|PF|=m,|QF|=n,则|PM|=m-1,=n-1.
根据抛物线的常用结论,可知=1,则=1,即m+n=mn,
所以=4m+n-5.
又4m+n=(4m+n)·=4++1≥5+2=9,当且仅当m=,n=3时,等号成立,所以4m+n-5≥4,即≥4.故的值不可能为3.故选A.
(2)设点P的坐标为m2,m,由圆的方程(x-4)2+y2=1,可得圆心坐标为A(4,0),半径r=1,所以|PA|2=+m2=(m2-8)2+12≥12,所以|PA|≥2.
因为Q是圆(x-4)2+y2=1上任意一点,所以|PQ|的最小值为2-1.故选D.
对点训练4(1)A　(2)y2=4x　-1　(1)由题意可知直线4x-3y-2p=0过抛物线C1的焦点F,所以|BF|=|CF|=,所以.设点A(xA,yA),D(xD,yD),由抛物线的定义得|AF|-=xA,|DF|-=xD.由整理得8x2-17px+2p2=0,解得xA=2p,xD=.故=16.故选A.
(2)如图,由题意可知,|NE|=|ME|-,则|NE|+=|ME|,
所以点E到直线x=-1的距离等于到点M(1,0)的距离,
所以动圆圆心E的轨迹是以M为焦点,以x=-1为准线的抛物线,
则其轨迹方程为y2=4x.
点P坐标为(1,2),则点P在圆心E的轨迹上.
设A(x1,y1),B(x2,y2).
由已知设直线PA:m(y-2)=x-1,即x=my-2m+1,
代入抛物线的方程得y2=4my-8m+4,即y2-4my+8m-4=0,
则y1+2=4m,故y1=4m-2.
设直线PB:-m(y-2)=x-1,即x=-my+2m+1,
代入抛物线的方程得y2=-4my+8m+4,即y2+4my-8m-4=0,
则y2+2=-4m,故y2=-4m-2.
x1-x2=my1-2m+1-(-my2+2m+1)=m(y1+y2)-4m=-8m.直线AB的斜率kAB==-1.
例5(1)A　(2)B　(1)(方法1)韦达定理消去x
抛物线的焦点为F(2,0),准线x=-2,设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|=x1+2,|BF|=x2+2,由|AF|=2|BF|得x1+2=2(x2+2),即有x1=2x2+2,
①
联立y2=8x与直线y=k(x+2)的方程得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,则有x1+x2=(k<0),
②
x1x2=4.
③
由①③得x1=4,x2=1,代入②中得5=(k<0),解得k=-.故选A.
(方法2)韦达定理消去y
设抛物线的准线m:x=-2,分别过点A,B作AA'⊥m于A',BB'⊥m于B',由|AF|=2|BF|,得|AA'|=2|BB'|,则有|QA'|=2|QB'|.设A(x1,y1),B(x2,y2),从而有y1=2y2.联立y2=8x与直线y=k(x+2)的方程得ky2-8y+16k=0,则有y1+y2=,
①
y1y2=16,
②
由y1=2y2则有y1+y2=3y2=,
③
y1y2=2=16,
④
消去y2得(k<0),解得k=-,故选A.
(方法3)几何法
设抛物线的准线m:x=-2,分别过点A,B作AA'⊥m于A',BB'⊥m于B',由|AF|=2|BF|,得|AA'|=2|BB'|,则有|QA'|=2|QB'|,则B'是QA'的中点,设A(xA,yA),B(xB,yB),从而有yA=2yB.
则B是QA的中点,则有|OB|=|AF|(O是原点),而|BF|=|AF|,则|OB|=|FB|,故点B在线段OF的垂直平分线上,则xB=1,从而yB=-2,则yA=-4,xA=4,故k=-,
故选A.
(2)设A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC).由题意CC1的中点坐标为(1,4),
所以可得yA+yB=8,xC-=2×1,
所以xC=2+,xA+xB=4+p.
设直线AB的方程为x=my+,代入抛物线的方程可得y2-2pmy-p2=0,
所以yA+yB=2pm,xA+xB
=m(yA+yB)+p=8m+p.
则
解得p=8,m=.
对点训练5(1)D　(2)2　(1)抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),可设直线l的方程为x=ty+1,代入抛物线方程,可得y2-4ty-4=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),可得y1+y2=4t,y1y2=-4,则|AB|=·|y1-y2|=,
△MAB的面积为|MF|·|y1-y2|=×2|y1-y2|=4,
即=4,解得t=±1.
则|AB|==8.故选D.
(2)联立消去x,得y2-y-4=0,设A(x1,y1)(y1>0),B(x2,y2),则M(-1,y2),则y1+y2=,y1y2=-4,
∵kOM==-y2=,kOA=,∴A,O,M三点共线,
∴S△OBM∶S△OAB=|OM|∶|OA|=1∶2,
∴|OA|2=4|OM|2,=4(1+),+4x1=4+4x1=4,
则(-4)=0,∵x1>0,
∴x1=2,∴A(2,2).
又直线kx-y-k=0恒过定点(1,0),
∴k==2,故答案为2.
指点迷津(二)　求曲线轨迹方程的方法
对点训练1解(1)由|MP|=5|MQ|,
得
=5,
化简得x2+y2-2x-2y-23=0,
所以点M的轨迹方程是(x-1)2+(y-1)2=25,轨迹是以(1,1)为圆心,5为半径的圆.
(2)当直线l的斜率不存在时,l:x=-2,此时所截得的线段的长度为2×=8,
所以l:x=-2符合题意.
当直线l的斜率存在时,设l的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0,
圆心(1,1)到l的距离d=.
由题意,得+42=52,解得k=,所以直线l的方程为x-y+=0,即5x-12y+46=0.
综上,直线l的方程为x=-2或5x-12y+46=0.
对点训练2解(1)根据题意,知|PA|+|PB|+|AB|=10,即|PA|+|PB|=6>4=|AB|,故点P轨迹为椭圆,且2a=6,2c=4,即a=3,c=2,b=.又点P不在x轴上,因此所求轨迹方程为=1(y≠0).
(2)设圆P的半径为r,则|PA|=r+1,|PB|=r,因此|PA|-|PB|=1.
由双曲线的定义知,点P的轨迹为双曲线的右支,且2a=1,2c=4,即a=,c=2,b=,因此所求轨迹方程为4x2-y2=1.
(3)依题意,知动点P到定点A的距离等于到定直线x=2的距离,故所求轨迹为抛物线,且开口向左,p=4.
因此所求轨迹方程为y2=-8x.
对点训练3解(1)设点P(x1,y1),N(x,y),
则M的坐标为(x1,0),且x=x1,
所以=(x-x1,y-y1)=(0,y-y1),
=(x1-x,-y)=(0,-y),
由=λ得(0,y-y1)=λ(0,-y).
所以y-y1=-λy,即y1=(1+λ)y.
因为点P(x1,y1)在椭圆+y2=1上,所以=1,所以+(1+λ)2y2=1,故+(1+λ)2y2=1为所求的N点的轨迹方程.
(2)要使点N的轨迹为圆,则(1+λ)2=,解得λ=-或λ=-.故当λ=-或λ=-时,N点的轨迹是圆.
对点训练4y=2x-2　设点C(x,y),则=(x,y),+t()=(1+t,2t),所以消去参数t得点C的轨迹方程为y=2x-2.
对点训练5解(1)连接OQ,直线PQ与圆O相切于点Q,则OQ⊥PQ.
又|OQ|=|PQ|=2,则|OP|=2.
又点Q在第一象限,得P(2,0),Q().由M为PQ的中点,得M,所以直线OM的斜率为.
(2)设M(x,y)(x≠0),P(xP,yP),Q(xQ,yQ).
由|OQ|=|PQ|=2,可得xP=2xQ.
由M为PQ的中点,得x=,所以xQ=,xP=x,
则P,Q,
把Q代入x2+y2=4,整理得+y2=1,所以点M的轨迹方程为+y2=1(x≠0).9.6　双曲线
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的　　　　　　　　　　　等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作　　　　　　　　　,两焦点间的距离叫作　　　　　　　　.?
集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数.
(1)若a　　　c,则点M的轨迹是双曲线;?
(2)若a　　　c,则点M的轨迹是两条射线;?
(3)若a　　　c,则点M不存在.?
2.标准方程
(1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0);
(2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0).
3.双曲线的性质
标准方程
=1(a>0,b>0)
=1(a>0,b>0)
图　形
续　表
标准方程
=1(a>0,b>0)
=1(a>0,b>0)
性
质
范围
x≥a或x≤-a,y∈R
y≤-a或y≥a,x∈R
对称性
对称轴:　　　　　,对称中心:　　　　?
顶点
A1　　　,A2　　　?
A1　　　,A2　　　?
渐近线
y=±x
y=±x
离心率
e=,e∈(1,+∞)
a,b,c
的关系
c2=　　　?
实虚轴
线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=　　;?
线段B1B2叫作双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=　　;?
a叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长
1.过双曲线=1(a>0,b>0)上一点M(x0,y0)的切线方程为=1.
2.双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P(x0,y0)为双曲线上任意一点,且不与点F1,F2共线,∠F1PF2=θ,则△F1PF2的面积为.
3.若点P(x0,y0)在双曲线=1(a>0,b>0)内,则被点P所平分的中点弦的方程为.
　　4.双曲线中点弦的斜率公式
设点M(x0,y0)为双曲线=1(a>0,b>0)的弦AB(不平行y轴)的中点,则kAB·kOM=,即kAB=.
5.双曲线的焦半径公式
双曲线=1(a>0,b>0)的焦点为F1(-c,0),F2(c,0),当点M(x0,y0)在双曲线右支上时,|MF1|=ex0+a,|MF2|=ex0-a;当点M(x0,y0)在双曲线左支上时,|MF1|=-ex0-a,|MF2|=-ex0+a.
6.若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.
7.双曲线的同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴所在直线的弦),其长为;异支的弦中最短的为实轴,其长为2a.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.
(　　)
(2)双曲线=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是=0,即=0.
(　　)
(3)关于x,y的方程=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.
(　　)
(4)与双曲线=1(其中mn>0)共渐近线的双曲线方程可设为=λ(λ≠0).
(　　)
(5)若双曲线=1(a>0,b>0)与=1(a>0,b>0)的离心率分别是e1,e2,则=1.
(　　)
2.(2020山东济南期末)方程=1表示双曲线的一个充分不必要条件是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-3B.-3C.-3D.-13.(2020山东菏泽一模,5)已知双曲线=1的一条渐近线上存在一点到x轴的距离与到原点O的距离之比为,则实数a的值为(　　)
A.2
B.4
C.6
D.8
4.(2020上海期末)已知双曲线的渐近线方程为y=±x,且过点A(4,),则此双曲线的方程为　　　　　.?
5.(2020全国3,文14)设双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=x,则C的离心率为　.?
关键能力学案突破　
考点
双曲线的定义
【例1】(1)(2020全国1,文11)设F1,F2是双曲线C:x2-=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为(　　)
A.
B.3
C.
D.2
(2)已知点F2为双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点,直线y=kx交双曲线C于A,B两点,若∠AF2B==2,则双曲线C的虚轴长为　　　　　.?
思考如何灵活运用双曲线的定义或如何解焦点三角形?
解题心得双曲线定义的应用主要有两个方面:一是判定平面内动点轨迹是否为双曲线,进而求出曲线方程;二是在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|·|PF2|的联系.
　　　　　　　　　　　　　　　　
对点训练1(1)已知(x-2)2+y2=9的圆心为C.过点M(-2,0)且与x轴不重合的直线l交圆C于A,B两点,点A在点M与点B之间.过点M作直线AC的平行线交直线BC于点P,则点P的轨迹为(　　)
A.圆的一部分
B.椭圆的一部分
C.双曲线的一部分
D.抛物线的一部分
(2)(2020河北廊坊省级示范学校联考)设F1,F2分别为双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交双曲线C的左支于A,B两点,且|AF2|=3,|BF2|=5,|AB|=4,则△BF1F2的面积为　　　　　.?
考点
双曲线的标准方程
【例2】(1)已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A.=1(x≥)
B.=1(x≤-)
C.=1(x≥)
D.=1(x≤-)
(2)(2020云南大理月考)已知双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线均与圆C:x2+y2-8x+12=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则双曲线的方程为　　　　　.?
思考双曲线的标准方程的求解方法是什么?
解题心得1.待定系数法:设出双曲线方程的标准形式,根据已知条件,列出参数a,b,c的方程并求出a,b,c的值.与双曲线=1有相同渐近线时,可设所求双曲线方程为=λ(λ≠0).
2.定义法:依定义得出距离之差的等量关系式,求出a的值,由定点位置确定c的值.
对点训练2(1)已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A,若()·=0,则双曲线的标准方程可能为(　　)
A.=1
B.=1
C.=1
D.=1
(2)已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为,过右焦点F作渐近线的垂线,垂足为M,若△FOM的面积为,其中O为坐标原点,则双曲线的标准方程为(　　)
A.x2-=1
B.=1
C.=1
D.=1
考点
双曲线的几何性质
(多考向探究)
考向1　求双曲线的渐近线方程
【例3】(2020福建厦门一模)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一个焦点为F,点A,B是双曲线C的一条渐近线上关于原点对称的两点,以AB为直径的圆过点F且交双曲线C的左支于M,N两点,若|MN|=2,△ABF的面积为8,则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A.y=±x
B.y=±x
C.y=±2x
D.y=±x
解题心得求双曲线的渐近线方程的方法
依据题设条件,求出双曲线方程=1(a>0,b>0)中a,b的值或a与b的比值,进而得出双曲线的渐近线方程.
对点训练3(1)(2020山东德州高三第二次模拟)已知椭圆=1(a>b>0)与双曲线的焦点相同,则双曲线渐近线方程为(　　)
A.y=±x
B.y=±x
C.y=±x
D.y=±x
(2)椭圆Γ:=1(a>b>0)与双曲线Ω:=1(m>0,n>0)焦点相同,F为左焦点,曲线Γ与Ω在第一象限、第三象限的交点分别为A,B,且∠AFB=,则当这两条曲线的离心率之积最小时,双曲线的一条渐近线的方程是
(　　)
A.x-2y=0
B.2x+y=0
C.x-y=0
D.x+y=0
考向2　求双曲线的离心率
【例4】(2020福建福州三模,理16)已知梯形ABCD满足AB∥CD,∠BAD=45°,以A,D为焦点的双曲线Γ经过B,C两点.若|CD|=7|AB|,则Γ的离心率为　　　　　.?
解题心得求双曲线离心率的值或取值范围的方法
(1)求a,b,c的值,由e=直接求出e.
(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助b2=c2-a2消去b,然后转化为关于e的方程(或不等式)求解.
对点训练4(1)(2020山东潍坊二模,8)已知O为坐标原点,双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F且与x轴垂直的直线与双曲线C的一条渐近线交于点A(点A在第一象限),点B在双曲线C的渐近线上,且BF∥OA.若=0,则双曲线C的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.2
(2)(2020山东济宁三模,16)设双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=2c,过F2作x轴的垂线,与双曲线在第一象限的交点为A,点Q坐标为,且满足|F2Q|>|F2A|.若在双曲线C的右支上存在点P使得|PF1|+|PQ|<|F1F2|成立,则双曲线的离心率的取值范围是　　　　　.?
考点
双曲线与圆的综合问题
【例5】已知点P为双曲线C:=1(a>0,b>0)上一点,F1,F2为双曲线C的左、右焦点,若|PF1|=|F1F2|,且直线PF2与以双曲线C的实轴为直径的圆相切,则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A.y=±x
B.y=±x
C.y=±x
D.y=±x
思考如何解答双曲线与圆的综合问题?
解题心得解答双曲线与圆的综合问题一般要画出几何图形,多借助圆的几何性质,挖掘出隐含条件,如垂直关系、线段或角的等量关系等.
对点训练5(2019全国2,理11)设F为双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为(　　)
A.
B.
C.2
D.
1.双曲线中的参数a,b,c三者之间的关系为a2+b2=c2.
2.与双曲线=1(a>0,b>0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为=λ(λ≠0).
3.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时,只要令双曲线的标准方程中的“1”为“0”就得到两渐近线方程,即方程=0就是双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程.
4.双曲线中的焦点三角形的面积公式为.(其中P为双曲线上任意一点,但不能与点F1,F2共线,F1,F2是双曲线的左、右焦点,θ为∠F1PF2的大小)
1.双曲线的标准方程的两种形式的区分要结合x2,y2前系数的正负.
2.关于双曲线离心率的取值范围问题,不要忘记双曲线离心率的取值范围是(1,+∞).
3.双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线方程是y=±x,=1(a>0,b>0)的渐近线方程是y=±x.
4.若利用弦长公式计算,在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况.
5.当直线与双曲线交于一点时,不一定相切,例如:当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点,但不是相切;反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有一个交点.
9.6　双曲线
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.距离的差的绝对值　双曲线的焦点　双曲线的焦距　(1)<　(2)=　(3)>
3.坐标轴　原点　(-a,0)　(a,0)　(0,-a)　(0,a)　a2+b2　2a　2b
考点自诊
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√
2.A　方程=1表示双曲线,则有(m-2)(m+3)<0,解得-3由题意,所给集合必须是{m|-33.B　由题意,双曲线的一条渐近线的斜率为.由双曲线=1,得实半轴长为,虚半轴长为.
故,解得a=4.
4.=1　双曲线的渐近线方程为y=±x,可设双曲线方程为4y2-x2=m.
双曲线经过点A(4,),
可得8-16=m,m=-8.
故所求双曲线方程为=1.
5.　由题意得,即b=a.
所以c2=a2+b2=3a2,即c=a,所以e=.
关键能力·学案突破
例1(1)B　(2)2　(1)由题意知a=1,b=,c=2.不妨设F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,则F1(-2,0),F2(2,0).
因为|OP|=2,所以点P在以O为圆心,F1F2为直径的圆上,
故PF1⊥PF2,则|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=16.由双曲线的定义可知||PF1|-|PF2||=2a=2,所以|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4,
所以|PF1|·|PF2|=6,所以△PF1F2的面积为|PF1|·|PF2|=3.
(2)设双曲线C的左焦点为F1,连接AF1,BF1,由对称性可知四边形AF1BF2为平行四边形,因为∠AF2B==2,所以=2,∠F1AF2=.设|AF1|=r1,|AF2|=r2,则4c2=-2r1r2cos,又|r1-r2|=2a,故r1r2=4b2.又r1r2sin=2,所以b2=2,所以该双曲线的虚轴长为2.
对点训练1(1)C　(2)　(1)圆(x-2)2+y2=9的圆心为C(2,0),半径为R=3.如图,
∵|CB|=|CA|=R=3,
∴∠CBA=∠CAB.∵AC∥MP,
∴∠CAB=∠PMA,
∴∠CBA=∠PMA,
∴|PM|=|PB|=|PC|+|BC|,
∴|PM|-|PC|=|BC|=3(定值),且3<|MC|.∴点P的轨迹是双曲线的一部分,故选C.
(2)因为|AF2|=3,|BF2|=5,
|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,
所以|AF2|+|BF2|-|AB|=3+5-4=4=4a,所以a=1,所以|BF1|=3.
又|AF2|2+|AB|2=|BF2|2,
所以∠F2AB=90°,所以|BF1||AF2|=×3×3=.
例2(1)A　(2)=1　(1)设动圆M的半径为r,由题意可得|MC1|=r+,|MC2|=r-,|C1C2|=8,所以|MC1|-|MC2|=2<|C1C2|,所以由双曲线的定义可知动点M在以C1(-4,0),C2(4,0)为焦点,实轴长为2的双曲线的右支上,所以a=,c=4,所以b2=16-2=14,故动圆圆心M的轨迹方程为=1(x≥).
(2)圆C的标准方程为(x-4)2+y2=4,圆心C(4,0),半径为2.
双曲线的渐近线方程为y=±x,由题意=2,解得.
又双曲线的右焦点为圆C的圆心,所以=4.
联立解得
故双曲线的方程为=1.
对点训练2(1)D　(2)C　(1)由()·=0,可知()·()=0,即||2-||2=0,所以|F2A|=|F1F2|=2c.
又AF2的斜率为,所以cos∠AF2F1=-.在△AF1F2中,由余弦定理得|AF1|=c.由双曲线的定义得c-2c=2a,即,所以a∶b=3∶4.所以此双曲线的标准方程可能为=1.故选D.
(2)由题意可得e=,可得,设F(c,0),渐近线为y=x,可得F到渐近线的距离为|MF|==b,由勾股定理可得|OM|==a,因为△FOM的面积为,所以ab=,又a2+b2=c2,联立解得b=,a=2,c=3,所以双曲线的方程为=1,故选C.
例3B　不妨设点A,B在直线y=x上,点F(c,0),则设点A,B-x0,-x0.因为以AB为直径的圆过点F,所以,所以=c2-=c2-=0,所以x0=±a.所以S△ABF=·c·=bc=8.
由得y=±,
则|MN|==2,即b2=c.
所以b=2,c=4,所以a==2.
所以双曲线C的渐近线方程为y=±x.故选B.
对点训练3(1)A　(2)C　(1)由椭圆=1(a>b>0)与双曲线,即=1的焦点相同,可得a2-b2=,
即a2=3b2,所以.所以双曲线的渐近线方程为y=±x.故选A.
(2)设双曲线的右焦点为F1,由题意点A与点B关于原点对称,因此|AF1|=|BF|,又∠AFB=,所以∠FAF1=.由椭圆与双曲线定义可得|AF|+|AF1|=2a,|AF|-|AF1|=2m,所以|AF|=a+m,|AF1|=a-m,根据余弦定理可得|FF1|2=|AF|2+-2|AF||AF1|cos∠FAF1,即4c2=(a+m)2+(a-m)2-2(a+m)(a-m)cos,化简得4c2=3m2+a2≥2=2ma,当且仅当3m2=a2①时,取等号.所以离心率乘积为,由a2-b2=m2+n2,所以4c2-3m2-b2=m2+n2,所以b2=3n2②,再将①②代入a2-b2=m2+n2可得m2=2n2,所以双曲线的渐近线方程为x-y=0或x+y=0,故选C.
例4　(方法1)如图所示,以AD的中点O为原点,以AD为x轴,建立平面直角坐标系.
设点C关于点O对称的点为C',由对称性知,B,A,C'三点共线.
设Γ的方程为=1(a>0,b>0),A(-c,0),B(x1,y1),C'(x2,y2),则直线BC'的方程为y=x+c.
由得(b2-a2)y2-2b2cy+b4=0,所以Δ=4b4c2-4b4(b2-a2)>0,y1+y2=,y1y2=.
因为|CD|=7|AB|,所以|y2|=7|y1|.
因为y1,y2异号,所以y2=-7y1.
由
解得
代入y1y2=,得-7c2=9(b2-a2),因为b2=c2-a2,所以9a2=8c2.
所以Γ的离心率e=.
(方法2)如图,连接AC,BD.
设该双曲线的焦距AD=2c,实轴长为2a,则|BD|-|AB|=|AC|-|CD|=2a.
设AB=m,则CD=7m,BD=2a+m,AC=2a+7m.
依题意,∠BAD=45°,∠ADC=135°,
在△ABD中,由余弦定理及题设得(2a+m)2=m2+4c2-2mc,
在△ACD中,由余弦定理及题设得(2a+7m)2=49m2+4c2+14mc,
整理得(c2-a2)=m(a+c),(c2-a2)=7m(a-c),
两式相除得1=,即6a=8c,故Γ的离心率e=.
对点训练4(1)A　(2)
(1)如图所示,设双曲线的焦距为2c,渐近线方程为y=±x,
则点F(c,0),A.
设点B.∵BF∥OA,
∴kOA=kBF,即,解得x0=,∴B.
∴.
又=0,∴-=0,即a2=3b2.
∵c2=a2+b2,∴a2=3(c2-a2),即3c2=4a2,∴离心率e=.故选A.
(2)将x=c代入双曲线的方程,得y=±b=±,所以A.
又因为|F2Q|>|F2A|,所以,
所以,所以e=.
因为|PF1|+|PQ|=2a+|PF2|+|PQ|≥2a+|F2Q|,又在双曲线C的右支上存在点P使得|PF1|+|PQ|<|F1F2|成立,所以有2a+|F2Q|<|F1F2|,即2a+a<×2c,解得e>.又因为e>1,所以例5A　如图.
由已知得|PF1|=|F1F2|=2c.因为直线PF2与以双曲线C的实轴为直径的圆相切,设切点为M,所以|OM|=a,OM⊥PF2,所以|MF2|==b.由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=2a,所以|PF2|=2a+2c,所以cos∠OF2M=,整理得c=2b-a.又c2=a2+b2,解得.所以双曲线C的渐近线方程为y=±x.故选A.
对点训练5
A　如图,设PQ与x轴交于点A,由对称性可知PQ⊥x轴.
∵|PQ|=|OF|=c,
∴|PA|=.
∴PA为以OF为直径的圆的半径,A为圆心,∴|OA|=.∴P.
又点P在圆x2+y2=a2上,∴=a2,即=a2,∴e2==2,∴e=.故选A.9.5　椭圆
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点,两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.
已知集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数.
(1)若a　　　c,则点M的轨迹为椭圆;?
(2)若a　　　c,则点M的轨迹为线段;?
(3)若a　　　c,则点M不存在.?
2.椭圆的标准方程及性质
标准方程
=1(a>b>0)
=1(a>b>0)
图　形
性
质
范围
-a≤x≤a,-b≤y≤b
-b≤x≤b,-a≤y≤a
对称性
对称轴:坐标轴,对称中心:点(0,0)
顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a)
B1(-b,0),B2(b,0)
焦点
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
轴
长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b
离心率
e=,且e∈(0,1)
a,b,c
的关系
c2=a2-b2
(1)过椭圆=1上一点M(x0,y0)的切线方程为=1.
(2)若点P(x0,y0)在椭圆=1外,过点P作椭圆的两条切线,切点为P1,P2,则切点弦P1P2所在的直线方程是=1.
(3)设椭圆=1(a>b>0)上任意一点P(x,y),则当x=0时,|OP|有最小值b,这时,P为短轴端点;当x=±a时,|OP|有最大值a,这时,P为长轴端点.
(4)若P为椭圆=1(a>b>0)上任意一点,则a-c≤|PF|≤a+c.
(5)椭圆的焦半径公式
设M(x0,y0)是椭圆=1(a>b>0)上的任意一点,椭圆的焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则|MF1|=a+ex0,|MF2|=a-ex0(其中e是离心率).
(6)椭圆中点弦的斜率公式
若M(x0,y0)是椭圆=1(a>b>0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点,则有kAB·kOM=-,即kAB=-.
　　(7)弦长公式:若直线y=kx+b与椭圆相交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=|x1-x2|=|y1-y2|=.
(8)若P是椭圆=1(a>b>0)上的点,F1,F2为焦点,若∠F1PF2=θ,则△F1PF2的面积为b2tan.
(9)椭圆=1的通径长为.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆.
(　　)
(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.
(　　)
(3)关于x,y的方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.
(　　)
(4)椭圆=1(a>b>0)与椭圆=1(a>b>0)的焦距相同.
(　　)
(5)椭圆上一点P与两个焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距).
(　　)
2.设F1,F2分别是椭圆=1的左、右焦点,P为椭圆上一点,M是F1P的中点,|OM|=3,则点P与椭圆左焦点间的距离为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.4
B.3
C.2
D.5
3.(2020江西南昌三中期末)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点,若△AF1B的周长为4,则椭圆C的方程为(　　)
A.=1
B.+y2=1
C.=1
D.=1
4.“05.(2020天津河北区线上测试,12)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2,则椭圆的方程为　　　　　.?
关键能力学案突破　
考点
椭圆的定义及应用
【例1】(1)已知F1,F2分别是椭圆E:=1的左、右焦点,P为椭圆E上一点,直线l为∠F1PF2的外角平分线,过点F2作l的垂线,交F1P的延长线于点M,则|F1M|=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.10
B.8
C.6
D.4
(2)(2020山东东营联考)设F1,F2是椭圆=1(0A.
B.
C.
D.
思考具有哪些特征的问题常利用椭圆的定义求解?
解题心得常利用椭圆的定义求解的问题:(1)求解问题的结论中含有椭圆上动点到焦点的距离;
(2)求解问题的条件中含有椭圆上动点到焦点的距离.
对点训练1(1)过椭圆=1的中心任作一直线交椭圆于P,Q两点,F是椭圆的一个焦点,则△PFQ的周长的最小值为(　　)
A.12
B.14
C.16
D.18
(2)已知点P(x,y)在椭圆=1上,F1,F2是椭圆的两个焦点,若△PF1F2的面积为18,则∠F1PF2的余弦值为　　　　　.?
考点
椭圆的标准方程及应用
【例2】(1)(2020福建福州三模,理10)已知椭圆C:=1(a>b>0)的焦距为2,右顶点为A.过原点与x轴不重合的直线交椭圆C于M,N两点,线段AM的中点为B,若直线BN经过椭圆C的右焦点,则椭圆C的方程为(　　)
A.=1
B.=1
C.=1
D.=1
(2)椭圆的离心率为,F为椭圆的一个焦点,若椭圆上存在一点与F关于直线y=x+4对称,则椭圆的方程为　　　　　　　　　　.?
(3)已知方程=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是　　　　　　　　　.?
思考求椭圆的标准方程的基本方法是什么?利用该方法应注意些什么?
解题心得1.求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后根据条件建立关于a,b的方程组.
2.若椭圆的焦点位置不确定,则要分焦点在x轴上或在y轴上两种情况求解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n)的形式,避免讨论.
3.椭圆的标准方程的两个应用:(1)椭圆=1(a>b>0)与椭圆=λ(a>b>0,λ>0)有相同的离心率.
(2)与椭圆=1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为=1(a>b>0,b2+k>0).恰当运用椭圆系方程,可使运算简便.
4.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤.(1)作判断:根据条件判断椭圆的焦点在x轴上,还是在y轴上,还是两个坐标轴都有可能;(2)设方程:根据上述判断设椭圆标准方程为=1(a>b>0)或=1(a>b>0);(3)找关系:根据已知条件,建立关于a,b的方程组;(4)得方程:解方程组求出a,b,即可得到椭圆的标准方程.
对点训练2(1)(2020山东聊城调研)过点(3,2)且与椭圆3x2+8y2=24有相同焦点的椭圆方程为(　　)
A.=1
B.=1
C.=1
D.=1
(2)
如图,中心在坐标原点,焦点分别在x轴和y轴上的椭圆C1,C2都过点A(0,-),且椭圆C1,C2的离心率相等,以椭圆C1,C2的四个焦点为顶点的四边形面积为2,则椭圆C1的标准方程为　　　　　.?
(3)(2020湖南郴州二模)已知椭圆E的中心为原点,焦点在x轴上,椭圆上一点到焦点的最小距离为2-2,离心率为,则椭圆E的方程为　　　　.?
考点
椭圆的几何性质及应用
【例3】(1)(2020安徽合肥一中等六校检测)已知椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为P,直线l:4x-3y=0与椭圆相交于A,B两点.若|AF|+|BF|=6,点P到直线l的距离不小于,则椭圆离心率的取值范围为(　　)
A.
B.
C.
D.
(2)设F1,F2是椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=2a上一点,△F2PF1是底边为PF1的等腰三角形,且直线PF1的斜率为,则椭圆E的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
(3)已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2c,若椭圆上存在点M使得在△MF1F2中,,则该椭圆离心率的取值范围为(　　)
A.(0,-1)
B.
C.
D.(-1,1)
思考求离心率的方法有哪些?
解题心得求离心率常见的三种方法
①求出a,c,代入公式e=;②由a与b的关系求离心率,利用变形公式e=求解;③只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=c2-a2转化为a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).
对点训练3(1)(2020河南洛阳一模)已知椭圆=1的长轴在y轴上,且焦距为4,则m等于
(　　)
A.5
B.6
C.9
D.10
(2)设F是椭圆E:=1(a>b>0)的右焦点,A是椭圆E的左顶点,P为直线x=上一点,△APF是底角为30°的等腰三角形,则椭圆E的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
(3)设椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上运动,||·||的最大值为m,的最小值为n,且m≥2n,则该椭圆的离心率的取值范围为　　　　　.?
考点
直线与椭圆的综合问题
(多考向探究)
考向1　与弦长有关的问题
【例4】已知椭圆M:=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.
(1)求椭圆M的方程;
(2)若k=1,求|AB|的最大值;
(3)设点P(-2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D,若点C,D和点Q共线,求k的值.
思考利用哪种弦长公式能使求直线和椭圆相交所得的弦长变简单?如何设直线的方程能减少计算量?
解题心得与椭圆中点弦有关的问题应用椭圆中点弦的斜率公式kAB·kOM=-,即kAB=-比较方便快捷,其中点M的坐标为(x0,y0).解决此类问题常用方法是“韦达定理”和“点差法”.这两种方法的前提都是必须保证直线和椭圆有两个不同的公共点.
对点训练4(2020山东菏泽一模,21)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以M(-a,b),N(a,b),F2和F1为顶点的梯形的高为,面积为3.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设A,B为椭圆C上的任意两点,若直线AB与圆O:x2+y2=相切,求△AOB面积的取值范围.
考向2　中点弦、弦中点问题
【例5】已知椭圆+y2=1.
(1)求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程;
(2)求过点P且被点P平分的弦所在直线的方程.
思考如何快捷求解弦中点、中点弦的问题?点差法应用于何种题型?
解题心得直线方程的设法,根据题意,如果需要讨论斜率不存在的情况,则设直线方程为x=ty+m,避免讨论;若所研究的直线的斜率存在,则可设直线方程为y=kx+b的形式,若平行于坐标轴的直线都包含,则不要忘记斜率不存在的情况的讨论.
对点训练5(2020山西太原五中3月摸底)若过椭圆=1内一点P(3,1)的弦被该点平分,则该弦所在的直线方程为(　　)
A.3x+4y-13=0
B.3x-4y-5=0
C.4x+3y-15=0
D.4x-3y-9=0
考向3　直线与椭圆的综合
【例6】(2020北京,20)已知椭圆C:=1(a>b>0)过点A(-2,-1),且a=2b.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点B(-4,0)的直线l交椭圆C于点M,N,直线MA,NA分别交直线x=-4于点P,Q,求的值.
思考求解直线与椭圆的综合问题的基本思想是什么?什么是设而不求思想?
解题心得求解直线与椭圆的综合问题的基本思想是方程思想,即根据题意,列出有关的方程,利用代数的方法求解.为减少计算量,在代数运算中,经常运用设而不求的方法,即把题目中涉及的点的坐标利用未知量设出来,但不需求出这些未知量,只需联立方程,判别式Δ>0,然后根据韦达定理列出x1+x2,x1x2的关系式,利用弦长公式|AB|=|x1-x2|=|y1-y2|=,选好公式能减少计算量.
对点训练6(2020北京西城一模)设椭圆E:+y2=1,直线l1经过点M(m,0),直线l2经过点N(n,0),直线l1∥直线l2,且直线l1,l2分别与椭圆E相交于A,B两点和C,D两点.
(1)若M,N分别为椭圆E的左、右焦点,且直线l1⊥x轴,求四边形ABCD的面积;
(2)若直线l2的斜率存在且不为0,四边形ABCD为平行四边形,求证:m+n=0;
(3)在(2)的条件下,判断四边形ABCD能否为矩形,说明理由.
1.求椭圆标准方程的两种常用方法
定义法根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置可写出椭圆方程待定系
数法若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出a,b;若焦点位置不明确,则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)
求椭圆的方程,先定性,后定量,利用待定系数法求解,注意焦点位置不定的要讨论.
2.椭圆定义的应用技巧
求方程通过对题设条件分析、转化后,能够明确动点P满足椭圆的定义,便可直接求解其轨迹方程求最值抓住|PF1|与|PF2|之和为定值,可联系到基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值;利用定义|PF1|+|PF2|=2a转化或变形,借助三角形性质求最值
3.直线与椭圆相交时有关弦的问题的处理方法
一般是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,注意直线斜率存在与否的讨论和判别式的符号判断的应用.
数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象,得到数学研究对象的素养.主要包括:从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系,从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构,并用数学语言予以表征.
数学抽象主要表现为:获得数学概念和规则,提出数学命题和模型,形成数学方法与思想,认识数学结构与体系.
在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时,我们经常用弦中点的斜率公式:
一、问题的提出
在研究直线与椭圆相交形成的弦中点的有关问题时,往往需要求出弦的斜率.如果已知直线l与椭圆=1(a>b>0)相交于A、B两点,线段AB的中点为M(x0,y0),请抽象出弦AB的斜率公式并以结论的形式表达出来,然后给出结论的证明.
结论:若M(x0,y0)是椭圆=1(a>b>0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点,则有kAB=-.
证明设A(x1,y1),B(x2,y2),
则有kAB=两式相减,得=0,
整理得=-,
即=-(x1≠-x2).因为M(x0,y0)是弦AB的中点,所以kOM=,所以kAB·kOM=-即kAB=-.当x1=-x2时,AB平行于x轴,此时x0=0,kAB=0,kAB=-也成立,综上,kAB=-.
二、定理的应用
应用一　求椭圆的基本元素
【例1】已知椭圆=1(a>b>0),点F为左焦点,点P为下顶点,平行于FP的直线l交椭圆于A,B两点,且AB的中点为M,则椭圆的离心率为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.
D.
答案A
解析设A(x1,y1),B(x2,y2),∵AB的中点为M,∴x1+x2=2,y1+y2=1,又A,B在椭圆上,
∴=1,=1.两式相减,得=-,∵kAB==kFP=-,∴,
∴a2=2bc.∴a4=4(a2-c2)c2,
∴,∴.故选A.
评析1.中点弦斜率公式适用于有关椭圆的弦的中点问题.
2.利用中点弦的斜率公式求离心率,就是根据中点弦斜率与椭圆方程中的a,b,c之间的关系,利用椭圆的有关性质构造齐次方程,抽象转化为解关于a,b,c的方程.
应用二　求中点弦所在直线方程
【例2】过椭圆=1内一点M(2,1)画一条弦,使弦被点M平分,则这条弦所在的直线方程为　　　　　.?
答案x+2y-4=0
解析(方法1)设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),M(2,1)为AB的中点,所以x1+x2=4,y1+y2=2,又A,B两点在椭圆上,则+4=16,+4=16,两式相减,得()+4()=0,所以=-=-,即kAB=-.故所求直线方程为x+2y-4=0.
(方法2)设所求直线方程为y-1=k(x-2),代入椭圆方程并整理得,
(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0.
又设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程的两个根,于是
x1+x2=,又M为AB的中点,所以=2,解得k=-,故所求直线方程为x+2y-4=0.
(方法3)设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y),由于弦的中点为M(2,1),则另一个交点为B(4-x,2-y),因为A,B两点在椭圆上,所以两式相减得x+2y-4=0,由于过A,B的直线只有一条,
故所求直线方程为x+2y-4=0.
评析求中点弦所在的直线方程,一般先利用椭圆中点弦斜率公式求得中点弦的斜率,再根据点斜式求得中点弦所在的直线方程.
应用三　求曲线轨迹方程
【例3】过椭圆=1上一点P(-8,0)作直线交椭圆于Q点,则PQ中点的轨迹方程为　　　　　.?
答案=1(x≠-8)
解析(方法1)设弦PQ中点为M(x,y),弦端点P(x1,y1),Q(x2,y2),
则有两式相减得9()+16()=0,又因为x1+x2=2x,y1+y2=2y,所以9×2x(x1-x2)+16×2y(y1-y2)=0,
所以=-,而kPQ=,故-.化简可得9x2+72x+16y2=0(x≠-8).
所以PQ中点M的轨迹方程为=1(x≠-8).
(方法2)设弦中点M(x,y),Q(x1,y1),由x=,y=可得x1=2x+8,y1=2y,又因为Q在椭圆上,所以=1,即=1,所以PQ中点M的轨迹方程为=1(x≠-8).
评析求解椭圆的弦中点的轨迹问题,一般利用椭圆中点弦斜率公式求得弦的斜率,再根据已知点与弦中点连线的斜率与已知直线的斜率相等求得轨迹方程,注意弦中点对方程的限制.
应用四　求参数的范围
【例4】已知椭圆=1(a>b>0),A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线l与x轴交于点P(x0,0),求证:-证明设AB的中点为M(x1,y1),
由题设可知AB与x轴不垂直,∴y1≠0.由椭圆的中点弦斜率公式,得kAB=-,∴kl=.∴直线l的方程为y-y1=(x-x1).把(x0,0)代入得x1=x0.
∵|x1|评析利用中点弦斜率公式求得弦的斜率,写出弦所在直线的方程,并用弦中点的横坐标的范围抽象出不等式来求解参数范围.
技巧一　巧用平面几何性质
【例1】已知椭圆C:=1的右焦点为F,P为椭圆C上一动点,定点A(2,4),则|PA|-|PF|的最小值为　　　　　.?
答案1
解析设椭圆C的左焦点为F',则|PF|+|PF'|=4,
所以|PF|=4-|PF'|,所以|PA|-|PF|=|PA|+|PF'|-4.
如图,易知当点P在线段AF'上时,|PA|+|PF'|取最小值|AF'|==5.所以|PA|-|PF|的最小值为1.
解题心得解决此类问题要熟练掌握平面几何的性质,利用数形结合,找到解题的关键.
技巧二　设而不求,整体代换
【例2】已知椭圆E:=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A,B两点.若AB的中点坐标为M(1,-1),则椭圆E的标准方程为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.=1
B.=1
C.=1
D.=1
答案D
解析设点A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=2,y1+y2=-2,
=1,=1,
两式相减得=0,
所以kAB==-.
又kAB=,所以.
又a2-b2=c2=9,所以b2=9,a2=18.
所以椭圆E的标准方程为=1.
解题心得本题设出A,B两点的坐标,却不求出A,B两点的坐标,巧妙地表达出直线AB的斜率,通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系,从而快速解决问题.
技巧三　巧用“根与系数的关系”,化繁为简
【例3】已知椭圆+y2=1的左顶点为A,过点A作两条互相垂直的弦AM,AN交椭圆于M,N两点.
(1)当直线AM的斜率为1时,求点M的坐标;
(2)当直线AM的斜率变化时,直线MN是否过x轴上的一个定点?若过定点,请给出证明,并求出该定点;若不过定点,请说明理由.
解(1)当直线AM的斜率为1时,直线AM的方程为y=x+2,代入椭圆方程并化简得5x2+16x+12=0,
解得x1=-2,x2=-.所以点M.
(2)由题意可知直线AM,AN的斜率存在,且不为0.
设直线AM的斜率为k(k≠0),直线AM的方程为y=k(x+2),直线AN的方程为y=-(x+2).
由
化简得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0,
则xA+xM=-.
又xA=-2,
所以xM=-xA-=2-.
同理,可得xN=.
当xM=xN时,,解得k=±1.
此时直线MN的方程为x=-,直线MN过x轴上的点.
当xM≠xN时,k≠±1,因为点M,N,-,所以kMN=,
所以直线MN的方程为y-x-.令y=0,得x=-.
所以直线MN过x轴上的点.
综上所述,直线MN过x轴上的定点.
解题心得在圆锥曲线问题中,常设出直线与圆锥曲线的两个交点坐标,联立直线方程与圆锥曲线方程,消元得到一元二次方程,利用根与系数的关系,得到两个交点横坐标或纵坐标的关系.这是解决圆锥曲线问题的常用方法.通过设而不求,大大降低了运算量,体现了整体思想.
技巧四　巧妙“换元”减少运算量
【例4】如图,已知椭圆C的离心率为,A,B,F分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点,且S△ABF=1-.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知直线l:y=kx+m与圆O:x2+y2=1相切,若直线l与椭圆C交于M,N两点,求△OMN面积的最大值.
解(1)由已知得椭圆C的焦点在x轴上,设椭圆C的方程为=1(a>b>0),则点A(a,0),B(0,b),F(c,0),c=.
由已知得e2=,所以a2=4b2,
即a=2b,则c=b.
又S△ABF=|AF||OB|=(a-c)b=1-,
所以(2b-b)b=1-,解得b=1.
所以a=2,c=.所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)圆O的圆心坐标为(0,0),半径r=1,由直线l:y=kx+m与圆O:x2+y2=1相切,得=1,故m2=1+k2.
由消去y,得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0.
由题意可知k≠0,
所以Δ=16(4k2-m2+1)=48k2>0.
设点M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,所以|x1-x2|=,所以|x1-x2|=.所以|MN|=|x1-x2|=.
所以△OMN的面积S=|MN|×1=.
令t=4k2+1,则t>1,k2=,所以S=2.
当t=3,即4k2+1=3,即k=±时,S取得最大值,最大值为=1.
解题心得圆锥曲线中的最值问题往往转化为函数的最值问题,可先根据已知条件建立目标函数,再求出函数的最值.在求函数的最值时,有时会利用换元,起到消除根号、降次等目的.
9.5　椭圆
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.(1)>　(2)=　(3)<
考点自诊
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√
2.A　由题意知,OM是△PF1F2的中位线,所以|OM|=|PF2|,所以|PF2|=6,所以|PF1|=2a-|PF2|=10-6=4.
3.A　因为△AF1B的周长为4,且△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a,所以4a=4,则a=,又因为,解得c=1,所以b=,故椭圆C的方程为=1.
4.必要不充分　方程=1表示椭圆,即解得05.+y2=1　由题意,椭圆的焦距2c=2,所以c=,又离心率e=,所以a=2,所以b==1,所以椭圆C的方程为+y2=1.
关键能力·学案突破
例1(1)A　(2)A　(1)(1)如图,由直线l为∠F1PF2的外角平分线,l⊥F2M,可得|PM|=|PF2|.而在椭圆E:=1中,a=5,2a=|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PM|=|F1M|=10.故选A.
(2)因为=1,则a=2,由0因为过点F1的直线l交椭圆于A,B两点,则|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=8,
所以|BF2|+|AF2|=8-|AB|,
当AB垂直于x轴时|AB|最小,|BF2|+|AF2|值最大,此时|AB|=,又a=2,所以5=8-b2,解得b=,则椭圆的离心率e=.
对点训练1(1)D　(2)　(1)由椭圆的对称性可知,P,Q两点关于原点对称.
设F'为椭圆另一焦点,则四边形PFQF'为平行四边形,由椭圆定义可知|PF|+|PF'|+|QF|+|QF'|=4a=20.又|PF|=|QF'|,|QF|=|PF'|,
∴|PF|+|QF|=10.又PQ为椭圆内过原点的弦,∴|PQ|min=2b=8,∴△PFQ的周长的最小值为10+8=18.故选D.
(2)椭圆=1的两个焦点为F1(0,-8),F2(0,8),由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=20,两边平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=202,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2=|F1F2|2=162,两式相减得2|PF1||PF2|(1+cos∠F1PF2)=144.又|PF1||PF2|sin∠F1PF2=18,所以1+cos∠F1PF2=2sin∠F1PF2.解得cos∠F1PF2=.
例2(1)C　(2)=1或=1　(3)m<-1或1所以B,
由B,F,N三点共线,得,依题意,F(1,0),故=(-x0-1,-y0),,
即-(x0+1)y0=0,又y0≠0,解得a=3,
所以b2=32-12=8,所以椭圆C的标准方程为=1.故选C.
(方法2)设M(x0,y0),则N(-x0,-y0),依题意,A(a,0),因为AO和NB是△AMN的中线,所以F(1,0)为△AMN的重心,故=1,解得a=3,所以b2=32-12=8,所以椭圆C的标准方程为=1.故选C.
(2)由题意知,得a2=2b2=2c2.当焦点在x轴上时,设椭圆的方程为=1(a>b>0),在椭圆上任取一点P(x0,y0),取焦点F(-c,0),则PF的中点M为,根据条件可得+4,kPF==-1,联立两式解得x0=-4,y0=4-c,代入椭圆方程解得a=3,b=3.由此可得椭圆的方程为=1,同理,当焦点在y轴上时,椭圆的方程为=1.
(3)由=1表示焦点在y轴上的椭圆,得2-m>|m|-1>0,解得m<-1或1对点训练2(1)C　(2)=1
(3)=1　(1)椭圆3x2+8y2=24化为=1,它的焦点为(±,0),可得c=,设椭圆的方程为=1(a>b>0),可得=1,又a2-b2=5,所以a=,b=,
故所求的椭圆方程为=1.
(2)由题意可设椭圆C1:=1,C2:=1(a>,0由,得ab=2,由2=2,可得(a2-2)(2-b2)=2,解得a=2,b=1,即椭圆C1的标准方程为=1.
(3)因为椭圆上一点到焦点的最小距离为a-c,所以a-c=2-2,因为离心率e=,所以,
解得a=2,c=2,则b2=a2-c2=4,
所以椭圆E的方程为=1.
例3(1)C　(2)A　(3)D　(1)设椭圆的左焦点为F',P为短轴的上端点,连接AF',BF',如下图所示:
由椭圆的对称性可知,A,B关于原点对称,则|OA|=|OB|,
又|OF'|=|OF|,∴四边形AFBF'为平行四边形,∴AF=BF',
又|AF|+|BF|=|BF|+|BF'|=2a=6,∴a=3,
∵点P(0,b)到直线l距离d=,∴b≥2,∴≥2,
即0(2)由题意,因为△F2PF1是底边为PF1的等腰三角形,所以|PF2|=|F2F1|.
因为P为直线x=2a上一点,直线PF1的斜率为,△PDF2是直角三角形,所以|PD|2+|DF2|2=|PF2|2,
即+(2a-c)2=4c2,可得13e2+16e-20=0,
解得e=或e=-2(舍去).
故选A.
(3)由正弦定理,可得,结合题意可得,所以.根据椭圆的定义可得|MF1|+|MF2|=2a,所以|MF1|=,|MF2|=,易知|MF2|>|MF1|.
因为M为椭圆上一点,所以a-c<|MF2|整理得c2+2ac-a2>0,所以e2+2e-1>0,解得-1对点训练3(1)C　(2)B　(3),1　(1)由椭圆=1的长轴在y轴上,且焦距为4,可得=2,解得m=9.故选C.
(2)如图,设直线x=与x轴的交点为C,由△APF是底角为30°的等腰三角形和椭圆性质可知PF=AF=a+c,FC=OC-OF=-c,由题意可知∠PFC=60°,所以cos∠PFC=,解得e=.故选B.
(3)∵||+||=2a,
∴||=2a-||(a-c≤||≤a+c).
∴||·||=||(2a-||)=-||2+2a||=-(||-a)2+a2.
∵a-c≤||≤a+c,∴||·||=-(||-a)2+a2∈[b2,a2].
∴||·||的最大值m=a2.
设P(x,y),则=(-c-x,-y)·(c-x,-y)=x2+y2-c2=x2+(a2-x2)-c2=1-x2+b2-c2,
∵x∈[-a,a],∴x2∈[0,a2],的最小值为n=b2-c2.
由m≥2n,得a2≥2(b2-c2)=2(a2-2c2),∴a2≤4c2,解得e=∈,1.
例4解(1)由题意,得2c=2,所以c=.
又e=,所以a=,所以b2=a2-c2=1,所以椭圆M的方程为+y2=1.
(2)设直线AB的方程为y=x+m.
由消去y,得4x2+6mx+3m2-3=0,则Δ=36m2-4×4(3m2-3)=48-12m2>0,即m2<4.
设点A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-,x1x2=,所以|AB|=|x1-x2|=,易得当m2=0时,|AB|max=,故|AB|的最大值为.
(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),则+3=3,+3=3.
又P(-2,0),所以可设k1=kPA=,直线PA的方程为y=k1(x+2).由消去y,得(1+3)x2+12x+12-3=0,则x1+x3=-,即x3=--x1.
又k1=,代入上式可得x3=,所以y3=,
所以点C.
同理可得点D.
故.因为Q,C,D三点共线,所以-x4+=0.将点C,D的坐标代入化简可得=1,即k=1.
对点训练4解(1)由题意,得b=,且=3,所以a+c=3.
又a2-c2=3,解得a=2,c=1.
所以椭圆C的方程为=1.
(2)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2).
当圆O的切线l的斜率存在时,设l的方程为:y=kx+m.
切点为H,连接OH,则OH⊥AB.
联立整理得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.所以x1+x2=-,x1x2=.
又直线l与圆O:x2+y2=相切,
所以OH=.
所以m2=.
又|AB|=
=
=
=.
①若k≠0时,
|AB|=.
因为16k2+24+≥2+24=48,当且仅当k=±时,等号成立.
所以|AB|≤,
易知|AB|>,即②当k=0时,|AB|=.
所以≤|AB|≤.
又|OH|=,所以S△AOB=|AB|·|OH|=|AB|∈.
当圆O的切线斜率不存在时,则AB的方程为x=,或x=-.
此时A,B的坐标分别为,,-或-,-,-.
此时S△AOB=.综上,△AOB面积的取值范围为.
例5解设弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),中点为M(x0,y0),则有=1,=1,两式作差,得+(y2-y1)(y2+y1)=0,
因为x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,=kAB,所以kAB=-.
①
(1)设弦中点为M(x,y),由①式,2=-,所以x+4y=0.故所求的轨迹方程为x+4y=0-(2)由①式及题意可知,弦所在的直线的斜率k=-=-,所以其方程为y-=-x-,即2x+4y-3=0.
对点训练5A　设弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),P为AB中点.A,B在椭圆上,则=1,=1,两式相减,得=0,
又因为x1+x2=6,y1+y2=2,可得=-,则k=-,直线AB过点P(3,1),所以该弦所在的直线方程为y-1=-(x-3),整理得3x+4y-13=0.故选A.
例6解(1)由题意可得解得故椭圆C的方程为=1.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN的方程为y=k(x+4),与椭圆方程=1联立,可得x2+4k2(x+4)2=8,即(4k2+1)x2+32k2x+(64k2-8)=0,
则x1+x2=,x1x2=.
直线MA的方程为y+1=(x+2),令x=-4,可得yP=-2×-1=-2×,同理可得yQ=.很明显yPyQ<0,且,注意到yP+yQ=-(2k+1)=-(2k+1)×,而(x1+4)(x2+2)+(x2+4)(x1+2)=2[x1x2+3(x1+x2)+8]=2+3×+8=2×=0,故yP+yQ=0,yP=-yQ.从而=1.
对点训练6(1)解由题意可得M(-1,0),N(1,0),令x=-1,得y=±,所以|AB|=,因为|BC|=|MN|=2,且四边形ABCD是矩形,所以四边形ABCD的面积为S=|AB|·|BC|=2.
(2)证明设l1为y=k(x-m),
则故(2k2+1)x2-4k2mx+2m2k2-2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
故
|AB|=|x1-x2|
=
=,同理可得|CD|=,因为四边形ABCD为平行四边形,所以|AB|=|CD|,
故,
即m2=n2,又m≠n,所以m+n=0.
(3)解设AB中点为P(a,b),
则=1,=1,
两式相减,得+(y1+y2)(y1-y2)=0,即a+2kb=0,
同理可得CD的中点Q(c,d),满足c+2kd=0,
故kPQ==-≠-,故四边形ABCD不能为矩形.www.
9.4　直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.直线与圆的位置关系
设直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),
圆:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
d为圆心(a,b)到直线l的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
位置关系
方法
几何法
代数法
相交
d　　r?
Δ　　0?
相切
d　　r?
Δ　　0?
相离
d　　r?
Δ　　0?
2.圆与圆的位置关系
设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=(r1>0),
圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=(r2>0).
位置关系
方法
几何法:圆心距d与r1,r2的关系
代数法:两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离
　　　　　?
　　　　　?
外切
　　　　　?
一组实数解
相交
　　　　　?
两组不同的实数解
内切
d=|r1-r2|(r1≠r2)
　　　　　?
内含
0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)
　　　　　?
1.当两圆相交时,两圆方程(x2,y2项的系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程.
2.过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
3.过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
4.过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在的直线方程为x0x+y0y=r2.
5.直线与圆的位置关系的常用结论
(1)直线与圆相交时,弦心距d,半径r,弦长的一半l满足关系式r2=d2+.
(2)当直线与圆相交时,弦长公式|AB|=|xA-xB|=.
6.同心圆系方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是参数.
　　7.过直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R).
8.过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(-4F>0)和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(-4F>0)交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)(该圆系不含圆C2,解题时,注意检验圆C2是否满足题意,以防漏解).
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)若直线与圆组成的方程组有解,则直线与圆相交或相切.(　　)
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.(　　)
(3)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的必要不充分条件.(　　)
(4)过圆O:x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点为A,B,则O,P,A,B四点共圆且直线AB的方程是x0x+y0y=r2.(　　)
(5)联立两相交圆的方程,并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.(　　)
2.(2020山东泰安三模,4)已知抛物线C:x2=4y的准线恰好与圆M:(x-3)2+(y-4)2=r2(r>0)相切,则r=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.3
B.4
C.5
D.6
3.直线l:x+ay=2被圆x2+y2=4所截得的弦长为2,则直线l的斜率为(　　)
A.
B.-
C.
D.±
4.(2020全国2,理5)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为(　　)
A.
B.
C.
D.
5.(2020天津,12)已知直线x-y+8=0和圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点.若|AB|=6,则r的值为　　　　　.?
关键能力学案突破　
考点
直线与圆的位置关系及其应用
【例1】(1)(2020全国1,理11)已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点.过点P作☉M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|·|AB|最小时,直线AB的方程为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2x-y-1=0
B.2x+y-1=0
C.2x-y+1=0
D.2x+y+1=0
(2)(2020全国3,理10)若直线l与曲线y=和圆x2+y2=都相切,则l的方程为(　　)
A.y=2x+1
B.y=2x+
C.y=x+1
D.y=x+
(3)(2020浙江,15)已知直线y=kx+b(k>0)与圆x2+y2=1和圆(x-4)2+y2=1均相切,则k=　　　　;b=　　　　.?
思考在直线与圆的位置关系中,求参数的取值范围的常用方法有哪些?
解题心得1.判断直线与圆的位置关系时,若两方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法;若方程中含有参数或圆心到直线的距离的表达较烦琐,则用代数法.
2.已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时,可根据数形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式(组)解决.
对点训练1(1)已知直线l过点P(-2,0),当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时,其斜率k的取值范围为(　　)
A.(-2,2)
B.
C.(-)
D.
(2)(2020山东菏泽一模,15)已知直线Ax+By+C=0(其中A2+B2=C2,C≠0)与圆x2+y2=6交于点M,N,O是坐标原点,则|MN|=　　　　　,=　　　　　.?
考点
圆的切线与弦长问题
【例2】已知点M(3,1),直线ax-y+4=0及圆(x-1)2+(y-2)2=4.
(1)求过点M的圆的切线方程;
(2)若直线ax-y+4=0与圆相切,求a的值;
(3)若直线ax-y+4=0与圆相交于A,B两点,且弦AB的长为2,求a的值.
思考如何运用圆的几何性质求解圆的切线与弦长问题?
解题心得1.求过某点的圆的切线问题,应首先确定点与圆的位置关系,然后求切线方程.若点在圆上(即为切点),则过该点的切线只有一条;若点在圆外,则过该点的切线有两条,此时应注意斜率不存在的切线.
2.求直线被圆所截得的弦长,通常考虑由弦心距、弦长的一半、半径所构成的直角三角形,利用勾股定理来解决问题.
对点训练2(1)(2020全国1,文6)已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
(2)已知P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B为切点,若弦AB的长的最小值为,则k的值为　　　　　.?
考点
圆与圆的位置关系及其应用
【例3】(1)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是(　　)
A.内切
B.相交
C.外切
D.相离
(2)(2020山东日照一模,4)已知圆C:x2+y2=1,直线l:ax-y+4=0.若直线l上存在点M,以M为圆心且半径为1的圆与圆C有公共点,则a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-3]∪[3,+∞)
B.[-3,3]
C.(-∞,-]∪[,+∞)
D.[-]
(3)若圆C:x2+y2=5-m与圆E:(x-3)2+(y-4)2=16有三条公切线,则m的值为(　　)
A.2
B.
C.4
D.6
思考在两圆的位置关系中,圆心距与两圆半径的关系如何?
解题心得1.判断两圆的位置关系,通常用几何法,从圆心距d与两圆半径的和、差的关系入手.如果用代数法,那么从方程组解的个数来判断,但有时不能得到准确结论.
2.两圆位置关系中的含参问题有时需要将问题进行转化,要注重数形结合思想的应用.
对点训练3(1)设P,Q分别为圆O1:x2+(y-6)2=2和圆O2:x2+y2-4x=0上的动点,则P,Q两点间的距离的最大值是(　　)
A.2+2+
B.+2+
C.2+1+
D.+1+
(2)(2020江苏镇江三模,10)已知圆C1:(x-a)2+(y+2)2=4与圆C2:(x+b)2+(y+1)2=1外切,则ab的最大值为　　　　　.?
(3)已知圆C与圆D:x2+y2+10x+10y=0相切于原点,且过点A(0,-6),则圆C的标准方程为　　　　　.?
考点
直线与圆的综合问题
【例4】已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.
(1)求圆C1的圆心坐标.
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.
(3)是否存在实数k,使得直线l:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.
思考如何求解直线与圆的综合问题?
解题心得1.利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化),把它转化为代数问题,通过代数的计算,使问题得到解决.
2.直线与圆和平面几何联系十分紧密,可充分考虑平面几何知识的运用,如在直线与圆相交的有关线段长度计算中,要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长放到一起综合考虑.
对点训练4(2020浙江杭州第二中学高三期中)已知圆心在x轴上的圆C与直线l:x+2y-10=0相切于点E(m,2),圆P:x2+(a+2)x+y2-ay+a+1=0.
(1)求圆C的标准方程.
(2)已知a>1,圆P与x轴相交于两点M,N(点M在点N的右侧).过点M任作一条倾斜角不为0的直线与圆C相交于A,B两点.问:是否存在实数a,使得∠ANM=∠BNM?若存在,求出实数a的值,若不存在,请说明理由.
1.直线与圆、圆与圆的位置关系问题,考虑到圆的几何性质,一般用几何法解决.
2.直线与圆、圆与圆的交点问题,要联立直线与圆的方程,或联立圆与圆的方程来解决.
3.圆的切线问题:
(1)过圆上一点的切线方程的求法是先求切点与圆心连线的斜率,再根据垂直关系求得切线斜率,最后通过直线方程的点斜式求得切线方程;
(2)过圆外一点的切线方程的求法,一般是先设出所求切线方程的点斜式,再利用圆心到切线的距离等于半径列出等式求出所含的参数即可.若只求出一条切线方程,则斜率不存在的直线也是切线.
4.圆的弦长问题首选几何法,即利用圆的半径、弦心距、弦长的一半满足勾股定理;弦长问题若涉及直线与圆的交点、直线的斜率,则选用代数法.
1.过圆外一定点作圆的切线,有两条,若在某种条件下只求出一个结果,则斜率不存在的直线也是切线.
2.本节问题的解决多注意数形结合,圆与其他知识的交汇问题多注意问题的转化.
3.若圆与圆相交,则可以利用两个圆的方程作差的方法求得公共弦所在直线的方程.
9.4　直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.<　>　=　=　>　<
2.d>r1+r2　无解　d=r1+r2　|r1-r2|考点自诊
1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√
2.C　抛物线C:x2=4y的准线方程为y=-1,则r=|4+1|=5.
3.D　由题意可得圆心(0,0)到直线l:x+ay=2的距离d=,则d2+3=22,可得d=1,即d==1,所以a=±,可得直线l的方程为x+y-2=0,或x-y-2=0,故斜率为±.故选D.
4.B　由题意可知,圆心在第一象限.
设圆心为(a,a)(a>0),则(2-a)2+(1-a)2=a2,
解得a=1或a=5.当a=1时,圆心为(1,1),此时圆心到直线2x-y-3=0的距离为d1=;
当a=5时,圆心为(5,5),此时圆心到直线2x-y-3=0的距离为d2=.
综上,圆心到直线2x-y-3=0的距离为.故选B.
5.
5　如图.
∵|AB|=6,
∴|AD|=3.
圆x2+y2=r2的圆心为(0,0).
圆心到直线的距离|CD|==4,
∴|AC|=5,即r=5.
关键能力·学案突破
例1(1)D　(2)D　(3)　-　(1)由已知得☉M:(x-1)2+(y-1)2=4.
因为S四边形PAMB=|PM|·|AB|=2S△PAM=|PA|·|AM|=2|PA|=2,
所以|PM|·|AB|最小,即|PM|最小,此时PM与直线l垂直,PM所在直线的方程为y=x+,直线PM与直线l的交点为P(-1,0).|PM|=,在Rt△APM中,|AP|==1.
又|AP|=|BP|=1,
以P(-1,0)为圆心,|AP|=1为半径作圆,则AB为☉M与☉P的公共弦,☉P的方程为(x+1)2+y2=1,即x2+2x+y2=0.
两圆方程相减,得4x+2y+2=0,即直线AB的方程为2x+y+1=0.
(2)由y=得y'=,设直线l与曲线y=的切点为(x0,),则直线l的方程为y-(x-x0),
即x-y+=0,
由直线l与圆x2+y2=相切,得圆心(0,0)到直线l的距离等于圆的半径r=,即,解得x0=1(负值舍去),所以直线l的方程为y=x+.
(3)由对称性可知直线l必过点(2,0),即2k+b=0,①
并且=1,②
由①②解得k=,b=-.
对点训练1(1)B　(2)2　-10　(1)直线l为kx-y+2k=0,又直线l与圆x2+y2=2x有两个交点,故<1,所以-(2)由已知A2+B2=C2,C≠0,得圆心到直线Ax+By+C=0的距离d==1,则|MN|=2=2.
设的夹角为θ,则cos(π-θ)=,
所以cosθ=-,所以×2=-10.
例2解(1)由题意知圆心的坐标为(1,2),半径r=2.当直线的斜率不存在时,直线方程为x=3.由圆心(1,2)到直线x=3的距离d=3-1=2=r知,此时直线与圆相切.
当直线的斜率存在时,设直线方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0.
由题意知=2,解得k=.
所以直线方程为y-1=(x-3),
即3x-4y-5=0.故过点M的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0.
(2)由题意得=2,
解得a=0或a=.
(3)因为圆心(1,2)到直线ax-y+4=0的距离为,
所以=4,
解得a=-.
对点训练2(1)B　(2)　(1)圆的方程可化为(x-3)2+y2=9.
因为=2<3,
所以点(1,2)在圆内.
如图所示,设圆心O1(3,0),A(1,2),当弦BC与O1A垂直时弦最短,因为|O1A|=2,|O1B|=3,
所以|AB|==1,
所以|BC|=2|AB|=2.
(2)
圆C:x2+y2-2y=0的圆心为C(0,1),半径r=1,如图所示,根据圆的性质知AB⊥PC,∵|AB|=2|PB|sin∠BPC=2|PB|×=2×,∴|AB|2=4×
=4=41-,当|PC|取得最小值时,|AB|取得最小值,即有2=41-,解得|PC|=,此时圆心C到直线的距离就是|PC|的最小值,即,解得k=(负值舍去).
例3(1)B　(2)C　(3)C　(1)由题意得圆M的标准方程为x2+(y-a)2=a2(a>0),圆心(0,a)到直线x+y=0的距离d=,所以2=2,解得a=2.
故圆M与圆N的圆心距|MN|=.
因为2-1<<2+1,所以两圆相交.
(2)由题意知,圆C:x2+y2=1的圆心(0,0)到直线l:ax-y+4=0的距离d≤2,d=≤2,解得a≤-或a≥,所以a的取值范围是(-∞,-]∪[,+∞).故选C.
(3)由题意可知两圆外切,圆C的圆心坐标为(0,0),半径为,圆E的圆心坐标为(3,4),半径为4,则+4,解得m=4.故选C.
对点训练3
(1)A　(2)2　(3)(x+3)2+(y+3)2=18　(1)圆O1的圆心为O1(0,6),半径r1=,将圆O2的方程化为标准方程为(x-2)2+y2=4,故圆心O2(2,0),半径r2=2.则|O1O2|==2>r1+r2=2+,所以两圆相离,则|PQ|max=2+2+.故选A.
(2)由题意,得|C1C2|==2+1,所以(a+b)2=8,即a2+b2+2ab=8,4ab≤8,当且仅当a=b时,等号成立,故ab的最大值为2.
(3)由已知得圆心D的坐标为(-5,-5),因为圆C与圆D相切于原点O,
则圆心C在直线OD:y=x上.又圆C过点A,则圆心C在线段OA的中垂线y=-3上,则圆心C的坐标为(-3,-3),
半径r=|OC|=3,故圆C的标准方程为(x+3)2+(y+3)2=18.
例4解(1)因为圆C1的方程x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,所以圆心坐标为(3,0).
(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),M(x0,y0),则x0=,y0=.由题意可知直线l的斜率必存在,
设直线l的方程为y=tx.
将上述方程代入圆C1的方程,
化简得(1+t2)x2-6x+5=0.
由题意可得x1+x2=,Δ=36-20(1+t2)>0,所以x0=,代入直线l的方程,得y0=.因为=3x0,所以.由Δ>0解得t2<.又t2≥0,所以(3)存在实数k满足条件.由(2)知,曲线C是在区间上的一段圆弧.
如图,D,E,-,F(3,0),直线l过定点G(4,0).
联立直线l的方程与曲线C的方程,消去y整理得(1+k2)x2-(3+8k2)x+16k2=0.
由Δ=0,解得k=±,此时直线l与曲线C相切,由根与系数的关系易得切点的横坐标为x=,
又kDG=-,kEG=,由图可知要使直线l与曲线C只有一个交点,则k∈-∪.
故k的取值范围为-∪.
对点训练4解(1)设圆心C(c,0),∵点E(m,2)在直线l:x+2y-10=0上,
∴m+2×2-10=0,解得m=2.
∴点E(2,2).
由题意得,解得c=1.∴圆心C(1,0),半径r=3.
故圆C的标准方程为(x-1)2+y2=9.
(2)在圆P的方程中,令y=0,可得x2+(a+2)x+a+1=0,
解得x1=-1-a,x2=-1.
∵a>1,点M在点N的右侧,
∴点N(-1-a,0),M(-1,0).
设点A(x1,y1),B(x2,y2),过点M,倾斜角不为0且不垂直于x轴的直线的方程为y=k(x+1)(k≠0),代入圆C的方程,消去y,得(1+k2)x2+2(k2-1)x+k2-8=0,
∴x1+x2=,x1x2=.
设直线AN,BN的斜率分别为k1,k2,则k1=,k2=,
∴k1+k2==k=k·=k·.
令t=2x1x2+(2+a)(x1+x2)+2+2a=+2+2a=.由∠ANM=∠BNM,知k1+k2=0,则t=0,即=0,解得a=.当直线垂直于x轴时,显然满足∠ANM=∠BNM.故存在实数a=满足题意.9.3　圆的方程
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.圆的定义及方程
定义
平面上到　　　　的距离等于　　　　的点的集合(轨迹)叫作圆?
标准
方程
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
圆心:　　?
半径:　　?
一般
方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)
圆心:-,-
半径:　　　　?
注意:当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个点;当D2+E2-4F<0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有意义,不表示任何图形.
2.点与圆的位置关系
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),点M(x0,y0),
(1)(x0-a)2+(y0-b)2　　　r2?点M在圆上;?
(2)(x0-a)2+(y0-b)2　　　r2?点M在圆外;?
(3)(x0-a)2+(y0-b)2　　　r2?点M在圆内.?
以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径的两端点的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(公式推导:设圆上任一点P(x,y),则有kPA·kPB=-1,由斜率公式代入整理即可).
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)已知圆的方程为x2+y2-2y=0,过点A(1,2)作该圆的切线只有一条.
(　　)
(2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为t的一个圆.
(　　)
(3)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆心为-,-a,半径为的圆.
(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
(4)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则以AB为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
(　　)
(5)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则+Dx0+Ey0+F>0.
(　　)
2.已知圆C经过点A(1,5),且圆心为C(-2,1),则圆C的方程为(　　)
A.(x-2)2+(y+1)2=5
B.(x+2)2+(y-1)2=5
C.(x-2)2+(y+1)2=25
D.(x+2)2+(y-1)2=25
3.(2020山东聊城模拟)圆x2+y2-6x-2y+3=0的圆心到直线x+ay-1=0的距离为1,则a=(　　)
A.-
B.-
C.
D.2
4.(2020山东青岛实验高中测试)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是(　　)
A.a<-2
B.-C.-2D.-25.已知点A(2,0),B(0,4),O为坐标原点,则△ABO外接圆的方程是　　　　　.?
关键能力学案突破　
考点
求圆的方程
【例1】(1)(2020山东青岛实验高中测试)圆心为(2,-1)的圆,在直线x-y-1=0上截得的弦长为2,那么这个圆的方程为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(x-2)2+(y+1)2=4
B.(x-2)2+(y+1)2=2
C.(x+2)2+(y-1)2=4
D.(x+2)2+(y-1)2=2
(2)已知圆C的圆心在直线x+y=0上,圆C与直线x-y=0相切,且被直线x-y-3=0截得的弦长为,则圆C的方程为　　　　　.?
思考求圆的方程有哪些常见方法?
解题心得求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说,求圆的方程有两种方法:(1)几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质:①圆心在过切点且与切线垂直的直线上;②圆心在任一弦的垂直平分线上;③两圆内切或外切时,切点与两圆圆心共线;(2)代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解.
对点训练1(1)在平面直角坐标系xOy中,过A(4,4),B(4,0),C(0,4)三点的圆被x轴截得的弦长为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.4
B.4
C.2
D.2
(2)一个圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且在直线y=x上截得的弦长为2,则该圆的方程为　　　　　　　　　　.?
考点
与圆有关的轨迹问题
【例2】点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)
A.(x-2)2+(y+1)2=1
B.(x-2)2+(y+1)2=4
C.(x+4)2+(y-2)2=4
D.(x+2)2+(y-1)2=1
思考求与圆有关的轨迹方程都有哪些常用方法?
解题心得1.求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同,常采用以下方法:(1)直接法,直接根据题目提供的条件列出方程;(2)定义法,根据圆、直线等定义列方程;(3)几何法,利用圆的几何性质列方程;(4)代入法,找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等.
2.求与圆有关的轨迹问题时,题目的设问有两种常见形式,作答也应不同.若求轨迹方程,则把方程求出化简即可;若求轨迹,则必须根据轨迹方程,指出轨迹是什么曲线.
对点训练2古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义:平面内,到两个定点A,B距离之比是常数λ(λ>0,λ≠1)的点M的轨迹是圆.若两定点A,B的距离为3,动点M满足|MA|=2|MB|,则点M的轨迹围成区域的面积为(　　)
A.π
B.2π
C.3π
D.4π
考点
与圆有关的最值问题
(多考向探究)
考向1　借助目标函数的几何意义求最值
【例3】已知点M(m,n)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点.
(1)求m+2n的最大值;
(2)求的最大值和最小值.
解题心得借助几何性质求与圆有关的最值问题,常根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解.
(1)形如u=形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题.
(2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.
(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
对点训练3已知实数x,y满足(x-2)2+(y-1)2=1,则z=的最大值与最小值分别为　　　　　和　　　　　.?
考向2　借助圆的几何性质求最值
【例4】已知点A(0,2),点P在直线x+y+2=0上运动,点Q在圆C:x2+y2-4x-2y=0上运动,则|PA|+|PQ|的最小值是　　　　　.?
思考如何求解折线段和长的最值问题?
解题心得形如|PA|+|PQ|形式的与圆有关的折线段问题(其中P,Q均为动点),要立足两点:
(1)减少动点的个数;
(2)“曲化直”,即将折线段转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.
对点训练4(2020山东济宁模拟)已知两点A(0,-3),B(4,0),若点P是圆C:x2+y2-2y=0上的动点,则△ABP的面积的最小值为　　　　　.?
考向3　建立函数关系求最值
【例5】(2020江苏,14)在平面直角坐标系xOy中,已知P,A,B是圆C:x2+=36上的两个动点,满足PA=PB,则△PAB面积的最大值是　　　　.?
解题心得利用函数关系求最值时,先根据已知条件列出相关的函数关系式,再根据函数知识或基本不等式求最值.
对点训练5(2020宁夏银川模拟)设点P(x,y)是圆(x-3)2+y2=4上的动点,定点A(0,2),B(0,-2),则||的最大值为　　　　　.?
求半径常有以下方法:
(1)若已知直线与圆相切,则圆心到切点(或切线)的距离等于半径;
(2)若已知弦长、弦心距,则可利用弦长的一半、弦心距、半径三者满足勾股定理的关系求得.
1.求圆的方程需要三个独立条件,因此不论选用哪种形式的圆的方程都要列出三个独立的关系式.
2.解答与圆有关的最值问题一般要结合代数式的几何意义进行,注意数形结合,充分运用圆的性质.
3.解决与圆有关的轨迹问题,一定要看清要求,是求轨迹方程还是求轨迹.
9.3　圆的方程
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.定点　定长　(a,b)　r　
2.(1)=　(2)>　(3)<
考点自诊
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√
2.D　因为圆C经过A(1,5),且圆心为C(-2,1),所以圆C的半径为r==5,则圆C的方程为(x+2)2+(y-1)2=25.故选D.
3.B　由题意,圆x2+y2-6x-2y+3=0,即(x-3)2+(y-1)2=7.圆心(3,1)到直线x+ay-1=0的距离d==1,所以a=-.
4.D　方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,所以a2+4a2-4(2a2+a-1)>0,所以3a2+4a-4<0,所以(a+2)(3a-2)<0,即-25.(x-1)2+(y-2)2=5　方法1　由题知OA⊥OB,故△ABO外接圆的圆心为AB的中点(1,2),半径为|AB|=,所以△ABO外接圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5.
方法2　设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,因为过A(2,0),B(0,4),O(0,0)三点,所以解得D=-2,E=-4,F=0,则△ABO外接圆的方程是x2+y2-2x-4y=0,即△ABO外接圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5.
关键能力·学案突破
例1(1)A　(2)(x-1)2+(y+1)2=2
(1)因为圆心(2,-1)到直线x-y-1=0的距离d=,弦长为2,所以圆的半径r==2,则圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=4.
(2)由圆C的圆心在直线x+y=0上,可设圆心坐标为(a,-a),又圆C与直线x-y=0相切,所以圆的半径r=|a|.因为圆心到直线x-y-3=0的距离d=,圆C被直线x-y-3=0截得的弦长为,所以d2+=r2,即=2a2,解得a=1,所以圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.
对点训练1(1)A　(2)x2+y2-6x-2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0　(1)根据题意,设过A,B,C三点的圆为圆M,其方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,又由A(4,4),B(4,0),C(0,4),则有
解得D=-4,E=-4,F=0,即圆M的方程为x2+y2-4x-4y=0,令y=0可得x2-4x=0,解得x1=0,x2=4,即圆与x轴的交点的坐标为(0,0),(4,0),则圆被x轴截得的弦长为4.故选A.
(2)方法1　∵所求圆的圆心在直线x-3y=0上,
∴设所求圆的圆心为(3a,a),
又所求圆与y轴相切,∴半径r=3|a|,
又所求圆在直线y=x上截得的弦长为2,圆心(3a,a)到直线y=x的距离d=,∴d2+()2=r2,即2a2+7=9a2,∴a=±1.
故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9,即x2+y2-6x-2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0.
方法2　设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
则圆心(a,b)到直线y=x的距离为,∴r2=+7,即2r2=(a-b)2+14.
①
∵所求圆与y轴相切,∴r2=a2,
②
∵所求圆的圆心在直线x-3y=0上,
∴a-3b=0,
③
联立①②③,解得
故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9,即x2+y2-6x-2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0.
方法3　设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心坐标为-,-,半径r=.
在圆的方程中,令x=0,得y2+Ey+F=0.
由于所求圆与y轴相切,∴Δ=0,则E2=4F.
①
圆心-,-到直线y=x的距离d=,
由已知得d2+()2=r2,
即(D-E)2+56=2(D2+E2-4F).
②
又圆心-,-在直线x-3y=0上,∴D-3E=0.
③
联立①②③,解得
故所求圆的方程为x2+y2-6x-2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0.
例2A　设圆上任一点为Q(x0,y0),PQ中点为M(x,y),根据中点坐标公式,得因为Q(x0,y0)在圆x2+y2=4上,所以=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,化为(x-2)2+(y+1)2=1,故选A.
对点训练2D　以A为原点,直线AB为x轴建立平面直角坐标系,则B(3,0).设M(x,y),依题意有=2,化简整理得x2+y2-8x+12=0,即(x-4)2+y2=4,则圆的面积为4π.故选D.
例3解(1)(方法1)依题意,圆心C(2,7),半径r=2.
设m+2n=t,则点M(m,n)为直线x+2y=t与圆C的公共点,所以圆心C到该直线的距离d=≤2,
解得16-2≤t≤16+2.
所以m+2n的最大值为16+2.
(方法2)由x2+y2-4x-14y+45=0,得(x-2)2+(y-7)2=8.
因为点M(m,n)为圆C上任意一点,
所以可设(θ为参数)
即(θ为参数)
所以m+2n=2+2cosθ+2(7+2sinθ)=16+2cosθ+4sinθ
=16+2sin(θ+φ),其中tanφ=.
因为-1≤sin(θ+φ)≤1,
所以m+2n的最大值为16+2.
(2)设点Q(-2,3).
则直线MQ的斜率k=.
设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),
即kx-y+2k+3=0.
由直线MQ与圆C有公共点,
得≤2,
解得2-≤k≤2+,
即2-≤2+.所以的最大值为2+,最小值为2-.
对点训练3　由题意,得表示过点A(0,-1)和圆(x-2)2+(y-1)2=1上的动点P(x,y)的直线的斜率.当且仅当直线与圆相切时,直线的斜率分别取得最大值与最小值.设切线方程为y=kx-1,即kx-y-1=0,则=1,解得k=.所以zmax=,zmin=.
例42　依题意,圆心C(2,1),半径r=.
设点A(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为A'(m,n),
则解得
故A'(-4,-2).连接A'C交直线x+y+2=0于点P,交圆C于点Q(图略),此时|PA|+|PQ|取得最小值.由对称性可知此时|PA|+|PQ|=|PA'|+|PQ|=|A'Q|=|A'C|-r=2.
对点训练4　
依题意,圆心C(0,1),半径r=1.
如图,过圆心C向直线AB作垂线交圆C于点P,连接BP,AP,此时△ABP的面积最小.因为直线AB的方程为=1,即3x-4y-12=0,所以圆心C到直线AB的距离d=.
又|AB|==5,所以△ABP的面积的最小值为×5×.
例510　本题考查圆与直线的位置关系.
如图,由已知,得C,CP=1,AB⊥CP.
设过点P的直径为EF,AB与EF相交于点D,设CD=d.
(1)当点D与P在圆心C的异侧时,
S△PAB=×2×(1+d)
=(0≤d<6).
设f(d)=(36-d2)(1+d)2,
则f'(d)=-2d(d+1)2+2(36-d2)(d+1)=-2(d+1)(d-4)(2d+9).
所以f(d)在区间[0,4)上单调递增,在区间(4,6)上单调递减,
所以当d=4时,f(d)取得最大值f(4)=500,此时,S△PAB=10.
(2)当点D与P在圆心C的同侧时,①当点D在点C,P之间时,△PAB的高为1-d;
②当点D在CP的延长线上时,△PAB的高为d-1.
根据圆的对称性,
当AB与(1)中相等时,相应的高都小于(1)中AB对应的高,所以相应△PAB的面积也小.
综上,△PAB面积的最大值是10.
对点训练510　由题意,知=(-x,2-y),=(-x,-2-y),所以=(-2x,-2y),所以||=2.因为点P(x,y)是圆(x-3)2+y2=4上的点,所以(x-3)2+y2=4,1≤x≤5,所以y2=-(x-3)2+4,所以||=2=2.因为1≤x≤5,所以当x=5时,||的值最大,最大值为2=10.9.2　点与直线、两条直线的位置关系
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.两条直线的位置关系
平面内两条直线的位置关系包括　　　　　　　　　三种情况.?
(1)两直线平行
①对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1∥l2?k1=k2,且b1≠b2.
②当直线l1,l2不重合且斜率都不存在时,l1∥l2.
(2)两条直线垂直
①对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1⊥l2?k1k2=-1.
②当直线l1,l2中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0时,l1⊥l2.
(3)由一般式确定两直线位置关系的方法
直线方程
l1:A1x+B1y+C1=0(≠0);
l2:A2x+B2y+C2=0(≠0)
l1与l2平行的充要条件
A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0)
l1与l2垂直的充要条件
A1A2+B1B2=0
l1与l2相交的充要条件
A1B2-A2B1≠0
l1与l2重合的充要条件
A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1=0(或A1C2-A2C1=0)
2.两条直线的交点
直线l1和l2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组的解.
相交?方程组有　　　　　　;?
平行?方程组　　　　;?
重合?方程组有　　　　　　　　.?
3.三种距离
点点
距
点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离
|P1P2|=　　　　　　　　　?
点线
距
点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离
d=　　　　　　　?
线线
距
两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离
d=　　　　　　　?
1.三种常见的直线系方程
(1)平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程为Ax+By+C0=0(C≠C0);
(2)垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程为Bx-Ay+C0=0;
　　(3)过两条已知直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R,这个直线系不包括直线l2,解题时,注意检验l2是否满足题意,以防漏解).
2.四种常见的对称
(1)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x).
(2)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b-y).
(3)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).
(4)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x),关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k).
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)如果直线l1与直线l2互相平行,那么这两条直线的斜率相等.
(　　)
(2)如果直线l1与直线l2互相垂直,那么它们的斜率之积一定等于-1.
(　　)
(3)点P(x1,y1)到直线y=kx+b的距离为.
(　　)
(4)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离.
(　　)
(5)两平行直线2x-y+1=0,4x-2y+1=0间的距离是0.
(　　)
2.设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
3.(2020全国3,文8)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为(　　)
A.1
B.
C.
D.2
4.光线从点A(-3,5)射到x轴上,经x轴反射后经过点B(2,10),则光线从A到B的距离为(　　)
A.5
B.2
C.5
D.10
5.已知倾斜角为α的直线l与直线m:x-2y+3=0垂直,则cos
2α=　　　　　.?
关键能力学案突破　
考点
两直线的位置关系
(多考向探究)
考向1　判断两直线的位置关系
【例1】(2020天津静海区联考)“a=1”是“直线ax+2y-8=0与直线x+(a+1)y+4=0平行”的(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分又不必要条件
考向2　由两直线的位置关系求参数
【例2】(1)(2020安徽芜湖四校联考)若直线(2m-1)x+my+1=0和直线mx+3y+3=0垂直,则实数m的值为(　　)
A.1
B.0
C.2
D.-1或0
(2)(2020陕西宝鸡中学二模)若直线x+(1+m)y-2=0与直线mx+2y+4=0平行,则实数m的值为(　　)
A.1
B.-2
C.1或-2
D.-
考向3　由两直线的位置关系求直线方程
【例3】经过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点,且垂直于直线3x+4y-7=0的直线的方程为　　　　　　　　.?
解题心得利用直线方程的一般式判断两直线的平行或垂直时可避免讨论直线斜率不存在的情况,但要注意由A1B2-A2B1=0不能推出两直线平行.根据两直线平行求参数时,要注意检验求得的参数值是否满足题意.
对点训练1(1)求满足下列条件的直线方程.
①过点P(-1,3)且平行于直线x-2y+3=0;
②已知A(1,2),B(3,1),线段AB的垂直平分线.
(2)已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0.
①当l1∥l2时,求a的值;
②当l1⊥l2时,求a的值.
考点
两条直线的交点和距离问题
【例4】(1)(2020广东广州模拟)已知点P(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则a的取值范围为　　　　　.?
(2)(2020福建厦门模拟)若两平行直线3x-2y-1=0,6x+ay+c=0之间的距离为,则c的值是　.?
解题心得利用距离公式应注意
(1)点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|;
(2)两平行线间的距离公式要求两条直线方程中x,y的系数分别相等.
对点训练2(1)已知A(2,0),B(0,2),若点C在函数y=x2的图像上,则使得△ABC的面积为2的点C的个数为(　　)
A.4
B.3
C.2
D.1
(2)已知直线l过点P(-1,2),且点A(2,3),B(-4,5)到直线l的距离相等,则直线l的方程为　　　　　.?
考点
对称问题
(多考向探究)
考向1　点关于点的对称
【例5】过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为　　　　　.?
考向2　点关于线的对称
【例6】如图,已知两点A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后射到直线OB上,再经直线OB反射后又回到点P,则光线所经过的路程是(　　)
A.2
B.6
C.3
D.2
考向3　线关于线的对称
【例7】直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是(　　)
A.x-2y+3=0
B.x-2y-3=0
C.x+2y+1=0
D.x+2y-1=0
解题心得1.中心对称问题的两个类型及求解方法
(1)点关于点对称:
若点M(x0,y0)及N(x,y)关于点P(a,b)对称,则由中点坐标公式得进而求解.
(2)直线关于点对称:
①先在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式得到所求直线方程.
②先在已知直线上取一点,求出它关于已知点的对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求直线方程.
2.轴对称问题的两个类型及求解方法
(1)点关于直线对称:
若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)对称,
则由方程组
可得到点P1关于l对称的点P2的坐标.
(2)直线关于直线对称:
一般转化为点关于直线的对称来解决.
对点训练3(1)已知直线l1:2x+y+2=0与l2:4x+by+c=0关于点P(1,0)对称,则b+c=　　　　　.?
(2)设光线l从点A(-4,)出发,经x轴反射后经过点B,则光线l与x轴交点的坐标为　　　　　,若该光线l经x轴发生折射,折射角为入射角的一半,则折射光线所在直线的纵截距为　　　　　.?
(3)已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).
①求点A关于直线l的对称点A'的坐标;
②求直线m:3x-2y-6=0关于直线l对称的直线m'的方程;
③求直线l关于点A(-1,-2)对称的直线l'的方程.
1.对于两条直线的位置关系的判断或求解:
(1)若直线斜率均存在且不重合,则一定有l1∥l2?k1=k2.
(2)若直线斜率均存在,则一定有l1⊥l2?k1·k2=-1.
2.中心对称问题
(1)点关于点的对称一般用中点坐标公式解决.
(2)直线关于点的对称,可以在已知直线上任取两点,利用中点坐标公式先求出它们关于已知点对称的两点的坐标,再根据这两点确定直线的方程;也可以先求出一个对称点的坐标,再利用两对称直线平行关系,由点斜式得到所求直线即可.
3.轴对称问题
(1)点关于直线的对称
若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,一般由方程组可得到点P1关于直线l的对称点P2的坐标(x2,y2)(其中B≠0,x1≠x2).
(2)直线关于直线的对称,若两直线平行,则可用距离公式解决;若两直线不平行,则转化为点关于直线的对称问题.
1.运用两平行直线间的距离公式时,一定要统一两个方程中x,y的系数,还要清楚该公式其实是通过点到直线的距离公式推导而来的.
2.在讨论直线的位置关系过程中,当涉及含参数直线方程时,一定不要遗漏斜率不存在、斜率为0等特殊情形.
3.“l1⊥l2?A1A2+B1B2=0”适用于任意两条互相垂直的直线.
9.2　点与直线、两条直线的位置关系
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.平行、相交、重合
2.唯一解　无解　无数个解
3.
考点自诊
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×
2.A　当a=1时,直线l1:x+2y-1=0与直线l2:x+2y+4=0的斜率都是-,截距不相等,所以两直线平行,故前者是后者的充分条件.若两直线平行,则,解得a=1,或-2,所以后者不能推出前者.故a=1是两直线平行的充分不必要条件.
3.B　直线y=k(x+1)过定点(-1,0),当过点(0,-1)与点(-1,0)的直线与直线y=k(x+1)垂直时,点(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离最大,故最大距离等于(0,-1)和(-1,0)两点之间的距离,为.故选B.
4.C　点B(2,10)关于x轴的对称点为B'(2,-10),由对称性可得光线从A到B的距离为|AB'|==5.故选C.
5.-　直线m:x-2y+3=0的斜率是,∵l⊥m,∴直线l的斜率是-2,故tanα=-2,∴<α<,cosα=-,
∴cos2α=2cos2α-1=2×-1=-.
关键能力·学案突破
例1A　设直线l1:ax+2y-8=0,直线l2:x+(a+1)y+4=0.若l1与l2平行,则a(a+1)-2=0,即a2+a-2=0,解得a=1或a=-2.当a=-2时,直线l1的方程为-2x+2y-8=0,即x-y+4=0,直线l2的方程为x-y+4=0,此时两直线重合,故a≠-2.当a=1时,直线l1的方程为x+2y-8=0,直线l2的方程为x+2y+4=0,此时两直线平行.故“a=1”是“直线ax+2y-8=0与直线x+(a+1)y+4=0平行”的充要条件.故选A.
例2(1)D　(2)A　(1)由题意可知m(2m-1)+3m=0,解得m=0或m=-1.故选D.
(2)由题意可知2-m(1+m)=0,解得m=-2或m=1.
经检验,当m=-2时,两直线重合,不符合题意,舍去;当m=1时,符合题意.
故m的值为1.故选A.
例34x-3y+9=0　(方法1)由解得故交点的坐标为,
因为所求直线与直线3x+4y-7=0垂直,所以所求直线的斜率为.
所以所求直线的方程为y-,即4x-3y+9=0.
(方法2)由垂直关系可设所求直线方程为4x-3y+m=0.
由可解得交点的坐标为.
将点的坐标代入4x-3y+m=0,得m=9,
故所求直线的方程为4x-3y+9=0.
(方法3)由题意可设所求直线的方程为(2x+3y+1)+λ(x-3y+4)=0,
即(2+λ)x+(3-3λ)y+1+4λ=0.
因为所求直线与直线3x+4y-7=0垂直,所以3(2+λ)+4(3-3λ)=0,
解得λ=2.所以所求直线的方程为4x-3y+9=0.
对点训练1解(1)①设所求直线方程为x-2y+c=0(c≠3),将P(-1,3)的坐标代入直线方程,得c=7.
故所求直线方程为x-2y+7=0.
②由已知得线段AB的中点的坐标为,直线AB的斜率kAB==-,故线段AB的垂直平分线的斜率k=2,
所以线段AB的垂直平分线的方程为y-=2(x-2),即4x-2y-5=0.
(2)①依题意,
即解得a=-1.故a的值为-1.
②依题意,a+2(a-1)=0,
解得a=.故a的值为.
例4(1)[0,10]　(2)2或-6　(1)由题意得,点P到直线的距离为.
由≤3,即|15-3a|≤15,得0≤a≤10.所以a的取值范围为[0,10].
(2)依题意,,解得a=-4,c≠-2,则直线方程6x+ay+c=0可化为3x-2y+=0.又两平行线之间的距离为,所以,解得c=2或c=-6.
对点训练2(1)A　(2)x+3y-5=0或x=-1　(1)设点C(t,t2).由已知得直线AB的方程为x+y-2=0,|AB|=2,则点C到直线AB的距离d=.
因为△ABC的面积为2,所以×2=2,
即|t2+t-2|=2,即t2+t-2=2或t2+t-2=-2.
解方程可知t的值有4个,故满足题意的点C有4个.
(2)(方法1)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.由题意知,即|3k-1|=|-3k-3|,解得k=-.所以直线l的方程为x+3y-5=0.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,符合题意.故直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.
(方法2)当AB∥l时,直线l的斜率k=kAB=-,则直线l的方程为y-2=-(x+1),即x+3y-5=0.当直线l过AB的中点(-1,4)时,又直线l过点P(-1,2),所以直线l的方程为x=-1.故直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.
例5x+4y-4=0　设l1与l的交点为A(a,8-2a),由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,把点B的坐标代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.
因为点A(4,0),P(0,1)在直线l上,
所以直线l的方程为x+4y-4=0.
例6A　易得直线AB的方程为x+y=4,则点P关于直线AB的对称点为P1(4,2),点P关于y轴的对称点为P2(-2,0).依题意,光线所经过的路程为P1(4,2)与P2(-2,0)之间的距离,即|P1P2|==2.
例7A　设所求直线上任意一点P(x,y),点P关于直线x-y+2=0的对称点为P'(x0,y0),
由
因为点P'(x0,y0)在直线2x-y+3=0上,所以2(y-2)-(x+2)+3=0,即x-2y+3=0.
故所求直线方程为x-2y+3=0.
对点训练3(1)-10　(2)(-1,0)　-
(1)在直线l1:2x+y+2=0上取点M(-1,0),N(0,-2),则点M,N关于点P(1,0)的对称点分别为M1(3,0),N1(2,2).
因为点M1(3,0),N1(2,2)在直线l2:4x+by+c=0上,所以12+c=0,8+2b+c=0,解得c=-12,b=2,所以b+c=-10.
(2)点A(-4,)关于x轴的对称点为A'(-4,-),则直线A'B的方程为y=x+,直线A'B与x轴交于点(-1,0),故光线l与x轴的交点的坐标为(-1,0).
易知入射角为60°,则折射角为30°,且折射光线经过点(-1,0),故折射光线所在直线方程为y=-x-,所以折射光线所在直线的纵截距为-.
(3)解①设A'(x,y),
依题意,
解得所以A'.
②在直线m上取点M(2,0),
则点M(2,0)关于直线l的对称点M'必在直线m'上.设M'(a,b),
则
解得故M'.
设直线m与直线l的交点为N,则由得N(4,3).又m'经过点M',所以直线m'的方程为9x-46y+102=0.
③设P(x,y)为l'上任意一点,则P(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为P'(-2-x,-4-y).
因为点P'在直线l上,所以2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,即2x-3y-9=0.
所以直线l'的方程为2x-3y-9=0.第九章　解析几何
9.1　直线的倾斜角、斜率与直线的方程
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.直线的倾斜角
(1)定义:当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴　　　　与直线l　　　　的方向之间所成的角α叫作直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为　　　.?
(2)直线的倾斜角α的取值范围为　　　　　.?
2.直线的斜率
(1)定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=tan
α,倾斜角是90°的直线没有斜率.
(2)过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=.
3.直线方程的五种形式
名称
几何条件
方　　程
适用条件
点斜式
过点(x0,y0),斜率为k
　　　　　?
与x轴不垂直的直线
斜截式
在y轴上的截距为b,斜率为k
　　　　　?
两点式
过两点(x1,y1),(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)
　　　　　?
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
在x轴、y轴上的截距分别为a,b(a,b≠0)
　　　　　?
不过原点,且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式
—
Ax+By+C=0
(A2+B2≠0)
平面内所有直线
1.特殊直线的方程:
(1)过点P1(x1,y1),垂直于x轴的直线方程为x=x1;
(2)过点P1(x1,y1),垂直于y轴的直线方程为y=y1;
(3)y轴的方程为x=0;
(4)x轴的方程为y=0.
2.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系:
α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0不存在k<0
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)直线的倾斜角越大,其斜率越大.
(　　)
(2)过点M(a,b),N(b,a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°.
(　　)
(3)若直线的斜率为tan
α,则其倾斜角为α.
(　　)
(4)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.
(　　)
(5)直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离.
(　　)
2.直线2x·sin
210°-y-2=0的倾斜角是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.45°
B.135°
C.30
D.150°
3.如图所示,在同一直角坐标系中能正确表示直线y=ax与y=x+a的是(　　)
4.(2020山东德州高三诊测)过直线l:y=x上的点P(2,2)作直线m,若直线l,m与x轴围成的三角形的面积为2,则直线m的方程为　　　　　.?
5.(2020云南丽江高三月考)经过点(4,1),且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程为　　　　　.?
关键能力学案突破　
考点
直线的倾斜角与斜率
【例1】(1)直线x-y+1=0的斜率为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.-
C.
D.-
(2)已知点A(2,3),B(-3,-2),若直线l过点P(1,1),且与线段AB始终没有交点,则直线l的斜率k的取值范围是(　　)
A.,2
B.-∞,∪(2,+∞)
C.,+∞
D.(-∞,2)
(3)若直线l的斜率为k,倾斜角为α,且α∈∪,π,则k的取值范围是　　　　　.?
思考直线的倾斜角和直线的斜率有怎样的关系?
解题心得直线的斜率与倾斜角的区别与联系
直线l的斜率k
直线l的倾斜角α
区别
当直线l垂直于x轴时,l的斜率k不存在
当直线l垂直于x轴时,l的倾斜角α为
联系
①k=tanα,α∈.
②当α∈0,时,α越大,l的斜率越大;当α∈,π时,α越大,l的斜率越大.
③所有直线都有倾斜角,但不是所有直线都存在斜率
对点训练1(1)直线xcos
α+y+2=0的倾斜角θ的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
(2)已知点A(2,-3),B(-3,-2),直线l的方程为-kx+y+k-1=0,且与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围为(　　)
A.(-∞,-4]∪,+∞
B.-∞,-∪,+∞
C.-4,
D.,4
考点
求直线的方程
【例2】(1)过点P(3,-1),且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有　　　　　条,方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.?
(2)已知一条直线经过点A(2,-),并且它的倾斜角等于直线x-y=0倾斜角的2倍,则这条直线的方程是　　　　　　　.?
(3)在△ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC的中点M在y轴上,BC的中点N在x轴上,则直线MN的方程为　　　　　　　　　　.?
思考求直线方程的方法是什么?求直线方程时应注意什么?
解题心得1.求直线方程的方法
(1)直接法:根据已知条件,选择恰当的直线方程形式,求出方程中的系数,写出直线方程;
(2)待定系数法:先根据已知条件设出恰当的直线方程,再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组),解得系数,最后代入设出的直线方程.
2.求直线方程应注意事项
(1)求直线方程时,应结合所给条件选择适当的直线方程形式,并注意各种形式的适用条件.
(2)选择直线方程时,应注意分类讨论思想的应用,选用点斜式或斜截式时,先分类讨论直线的斜率是否存在;选用截距式时,先分类讨论在两坐标轴上的截距是否存在或是否为0.
(3)求直线方程时,如果没有特别要求,求出的直线方程应化为一般式Ax+By+C=0,且A≥0.
对点训练2(1)已知直线l经过两条直线l1:x+y=2,l2:2x-y=1的交点,且直线l的一个方向向量v=(-3,2),则直线l的方程是(　　)
A.-3x+2y+1=0
B.3x-2y+1=0
C.2x+3y-5=0
D.2x-3y+1=0
(2)过点(-2,-3)且在x轴、y轴上的截距互为相反数的直线方程是　　　　　.?
(3)已知2x1-3y1=4,2x2-3y2=4,则过点A(x1,y1),B(x2,y2)的直线l的方程是　　　　　.?
考点
直线方程的应用
(多考向探究)
考向1　与基本不等式及函数性质相结合的最值问题
【例3】(1)已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,若0(2)
已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,如图所示,求△AOB的面积的最小值及此时直线l的方程.
解题心得求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程,建立目标函数,再利用函数的单调性或基本不等式求解.
考向2　与函数的导数的几何意义相结合的问题
【例4】设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为0,,则点P的横坐标的取值范围为(　　)
A.-1,-
B.[-1,0]
C.[0,1]
D.,1
思考直线方程与函数的导数的几何意义相结合的问题常见解法是什么?
解题心得解决与函数的导数的几何意义相结合的问题,一般是利用导数在切点处的值等于切线的斜率来求解相关问题.
对点训练3(1)若直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为(　　)
A.1
B.4
C.2
D.8
(2)曲线xy-x+2y-5=0在点A(1,2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　)
A.9
B.
C.
D.
1.涉及直线的倾斜角与斜率的转化问题,要想到k=tanα,必要时可结合正切函数的图像求解.
2.求直线方程常用的方法是直接法和待定系数法,但在特定条件下,应考虑下面的设法:
(1)已知直线在y轴上的截距,常设方程的斜截式;
(2)已知直线在x轴上的截距和在y轴上的截距,常设方程的截距式(截距均不为0);
(3)已知直线的斜率和所过的定点,常设方程的点斜式,但如果只给出一个定点,一定不要遗漏斜率不存在的情况;
(4)仅知道直线在x轴上的截距,常设方程形式为x=my+a(其中a是直线在x轴上的截距,m是参数),注意此种设法不包含斜率为0的情况,且在圆锥曲线章节中经常使用.
1.斜率公式k=(x1≠x2)与两点的顺序无关,且两点的横坐标不相等,若题目中未明确说明两点的横坐标不相等,则要分类讨论.
2.设直线方程时,一定要弄清题目中的信息,不要凭空想,涉及特殊情况最好单独处理,然后处理常规情况.
第九章　解析几何
9.1　直线的倾斜角、
斜率与直线的方程
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.(1)正向　向上　0°　(2)0°≤α<180°
3.y-y0=k(x-x0)　y=kx+b　=1
考点自诊
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×
2.B　由题意得斜率k=2sin210°=-2sin30°=-1,故倾斜角为135°.故选B.
3.C　当a>0时,由y=ax可知C,D错误,由y=x+a可知A,B也错误;当a<0时,由y=ax可知A,B错误,由y=x+a可知D错误,C正确.故选C.
4.x-2y+2=0或x=2　①若直线m的斜率不存在,则直线m的方程为x=2,此时直线m,直线l和x轴围成的三角形的面积为2,符合题意;②若直线m的斜率存在,则由题意可知其斜率k≠0,设直线m的方程为y-2=k(x-2)(k≠0),令y=0,得x=2-,依题意有×2=2,即=1,解得k=,故直线m的方程为y-2=(x-2),即x-2y+2=0.综上可知,直线m的方程为x-2y+2=0或x=2.
5.x-4y=0或x+y-5=0　设直线l在两坐标轴上的截距均为a.
若a=0,则直线l过点(0,0)和(4,1),所以直线l的方程为y=x,即x-4y=0.
若a≠0,则直线l的方程为=1,
因为直线l过点(4,1),所以=1,
解得a=5,所以直线l的方程为=1,即x+y-5=0.
综上可知,直线l的方程为x-4y=0或x+y-5=0.
关键能力·学案突破
例1(1)C　(2)A　(3)[-,0)∪
(1)x-y+1=0可化为y=x+,则斜率k=,故选C.
(2)由已知得kAP==2,kBP=.如图,因为直线l与线段AB始终没有交点,所以斜率k的取值范围是.故选A.
(3)当≤α<时,≤tanα<1,故≤k<1.当≤α<π时,-≤tanα<0,故-≤k<0.
综上可知,k∈[-,0)∪.
对点训练1(1)D　(2)A　(1)由已知得tanθ=-cosα.
∵cosα∈[-1,1],∴-≤-cosα≤,即-≤tanθ≤,解得θ∈.故选D.
(2)由-kx+y+k-1=0,即y-1=k(x-1),可知直线l恒过定点P(1,1),则kAP=-4,kBP=.
作出直线AP,BP(图略),可知当直线l与线段AB相交时,直线l的斜率k的取值范围为(-∞,-4]∪.故选A.
例2(1)3　x+3y=0,x+y-2=0,x-y-4=0　(2)x-y-3=0　(3)5x-2y-5=0
(1)①当截距不为0,且截距相等时,设直线方程为=1(a≠0),将点P的坐标代入直线方程,解得a=2,所以直线方程为x+y-2=0;
②当截距不为0,且截距互为相反数时,设直线方程为=1(b≠0),将点P的坐标代入直线方程,解得b=4,所以直线方程为x-y-4=0;
③当截距为0时,设直线方程为y=kx,将点P的坐标代入直线方程,解得k=-,所以直线方程为x+3y=0.
综上可知,直线有3条,方程为x+3y=0,x+y-2=0,x-y-4=0.
(2)由已知得直线x-y=0的斜率为,则其倾斜角为30°,故所求直线的倾斜角为60°,斜率为,故所求直线的方程为y-(-)=(x-2),即x-y-3=0.
(3)设C(x0,y0),则
M,N.
因为点M在y轴上,所以=0,解得x0=-5.因为点N在x轴上,所以=0,解得y0=-3.所以M,N(1,0),所以直线MN的方程为=1,即5x-2y-5=0.
对点训练2(1)C　(2)3x-2y=0或x-y-1=0　(3)2x-3y-4=0　(1)解方程组所以两直线的交点为(1,1).
因为直线l的一个方向向量v=(-3,2),所以k=-.所以直线l的方程为y-1=-(x-1),即2x+3y-5=0.故选C.
(2)根据题意,分两种情况讨论:
①若直线过原点,又由直线过点(-2,-3),则其方程为y=x,即3x-2y=0.
②若直线不过原点,由该直线在x轴、y轴上的截距互为相反数,设此时直线的方程为=1,
又由直线过点(-2,-3),则有=1,解得a=1,故此时直线的方程为x-y-1=0.
综上可得,所求直线的方程为3x-2y=0或x-y-1=0.
(3)因为(x1,y1)满足方程2x1-3y1=4,所以(x1,y1)在直线2x-3y=4上.同理(x2,y2)也在直线2x-3y=4上.由两点确定一条直线,可知过点A(x1,y1),B(x2,y2)的直线l的方程是2x-3y-4=0.
例3(1)　直线l1可写成a(x-2)=2(y-2),直线l2可写成2(x-2)=a2(2-y),所以直线l1,l2恒过定点P(2,2),直线l1在y轴上的截距为2-a,直线l2在x轴上的截距为a2+2,又0(2)解(方法1)依题意,设直线l的方程为=1(a>0,b>0),将点P(3,2)的坐标代入方程得=1≥2,即ab≥24,当且仅当时,等号成立,从而S△AOB=ab≥12,故△AOB的面积的最小值为12,此时直线l的斜率k=-=-,从而所求直线l的方程为2x+3y-12=0.所以△AOB的面积的最小值为12,此时直线l的方程为2x+3y-12=0.
(方法2)依题意,直线l的斜率k存在,且k<0,可设直线l的方程为y-2=k(x-3)(k<0),
则A,B(0,2-3k),
所以S△AOB=(2-3k)
=
≥
=×(12+12)=12,
当且仅当-9k=,即k=-时,等号成立.此时直线l的方程为2x+3y-12=0.
所以△AOB的面积的最小值为12,此时直线l的方程为2x+3y-12=0.
例4A　由题意知y'=2x+2.
设P(x0,y0),则在点P处的切线斜率k=2x0+2.
因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为,所以0≤k≤1,即0≤2x0+2≤1,解得-1≤x0≤-.
对点训练3(1)B　(2)B　(1)因为直线ax+by=ab过点(1,1),所以a+b=ab,即=1.因为直线在x轴上的截距为b,在y轴上的截距为a,所以直线在x轴、y轴上的截距之和为a+b.a+b=(a+b)=2+≥2+2=4,当且仅当a=b=2时取等号,故最小值为4.故选B.
(2)由xy-x+2y-5=0,
得y=,∴y'=,
∴曲线在点A(1,2)处的切线斜率k==-,
∴曲线在点A(1,2)处的切线方程为y-2=-(x-1).令x=0,得y=;令y=0,得x=7.∴所求三角形的面积S=×7=.故选B.

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