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2.9　函数模型及其应用
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.常见的函数模型
(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0);
(2)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0);
(3)反比例函数模型:f(x)=(k为常数,k≠0);
(4)指数型函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1);
(5)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,a≠1);
(6)幂型函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0);
(7)分段函数模型:y=
(8)对勾函数模型:y=x+(a为常数,a>0).
2.指数、对数、幂函数模型的性质比较
性质
函数
y=ax
(a>1)
y=logax
(a>1)
y=xα
(α>0)
在(0,+∞)
内的增减性
　　　　?
　　　　?
　　　　?
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图像的变化
随x的增大
逐渐表现为
与　　　平行?
随x的增大逐
渐表现为与
　平行?
随α值变化
而各有不同
值的比较
存在一个x0,当x>x0时,有logax考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)幂函数增长比一次函数增长更快.
(　　)
(2)在(0,+∞)内,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=xα(α>0)的增长速度.
(　　)
(3)指数型函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际问题.
(　　)
(4)f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,恒有h(x)(　　)
(5)“指数爆炸”是指数型函数y=a·bx+c(a>0,b>1)增长速度越来越快的形象比喻.
(　　)
2.(2020山东潍坊临朐模拟二,3)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.
加油时间
加油量(升)
加油时的累计里程(千米)
2020年5月1日
12
35
000
2020年5月15日
48
35
600
注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.
在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.6升
B.8升
C.10升
D.12升
3.(2020北京平谷二模,9)溶液酸碱度是通过pH计算的,pH的计算公式为pH=-lg
[H+],其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升,若人体胃酸中氢离子的浓度为2.5×10-2摩尔/升,则胃酸的pH是(　　)(参考数据:lg
2≈0.301
0)
A.1.398
B.1.204
C.1.602
D.2.602
4.某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额x为8万元时,奖励1万元,销售额x为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为y=alog4x+b.某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为　　　　万元.?
5.(2020北京朝阳期中质检,13)在一个房间使用某种消毒剂后,该消毒剂中的某种药物含量y(单位:mg/m3)随时间t(单位:h)变化的规律可表示为y=(a>0)如图所示,则a=　　　　.?
实验表明,当房间中该药物含量不超过0.75
mg/m3时对人体无害,为了不使人体受到该药物的伤害,则使用该消毒剂对这个房间进行消毒后至少经过　　　　小时方可进入.?
关键能力学案突破　
考点
利用函数图像刻画实际问题
【例1】(2020北京东城一模,10)
假设存在两个物种,前者有充足的食物和生存空间,而后者仅以前者为食物,则我们称前者为被捕食者,后者为捕食者.现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量以x(t)表示,被捕食者的数量以y(t)表示.如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系,其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法正确的是(　　)
A.若在t1,t2时刻满足:y(t1)=y(t2),则x(t1)=x(t2)
B.如果y(t)数量是先上升后下降的,那么x(t)的数量一定也是先上升后下降
C.被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值
D.被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时,捕食者的数量也会达到最大值
解题心得用函数图像刻画实际问题的解题思路
将实际问题中两个变量间变化的规律(增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(单调性、最值等)、图像(增加、减少的缓急等)相吻合即可.
对点训练1(2020北京顺义一模,14)某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为y,观影人数记为x,其函数图像如图1所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图2、图3中的实线分别为调整后y与x的函数图像.
给出下列四种说法:
①图2对应的方案是:提高票价,并提高成本;
②图2对应的方案是:保持票价不变,并降低成本;
③图3对应的方案是:提高票价,并保持成本不变;
④图3对应的方案是:提高票价,并降低成本.
其中,正确的说法是　　　.(填写所有正确说法的编号)?
考点
已知函数模型解决实际问题
【例2】(1)(2020全国3,理4)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=,其中K为最大确诊病例数.当I(t
)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t
约为(　　)(参考数据:ln
19≈3)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.60
B.63
C.66
D.69
(2)(2020北京人大附中二模,15)对于某种类型的口服药,口服x小时后,由消化系统进入血液中药物浓度y(单位:单位)与时间x(单位:小时)的关系为y=k(e-at-e-bt),其中k>0,b>a>0为常数,对于某一种药物k=4,a=1,b=2.
①口服药物后　　　　小时血液中药物浓度最高;?
②这种药物服药n(n∈N+)小时后血液中药物浓度如下表,
n
1
2
3
4
5
6
7
8
f(n)
0.954
5
0.930
4
0.693
2
0.468
0
0.301
0
0.189
2
0.116
3
0.072
一个病人上午8:00第一次服药,要使得病人血液中药物浓度保持在0.5个单位以上,第三次服药时间是　　　.(时间以整点为准)?
解题心得利用已知函数模型解决实际问题的步骤
若题目给出了含参数的函数模型,或可确定其函数模型的图像,求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值,再用求得的函数解析式解决实际问题.
对点训练2(1)(2020北京房山区二模,9)把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是θ1℃,空气的温度是θ0℃,经过t分钟后物体的温度θ℃可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt求得,其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数.现有80
℃的物体,放在20
℃的空气中冷却,4分钟以后物体的温度是40
℃,则k约等于(参考数据:ln
3≈1.099)(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.0.6
B.0.5
C.0.4
D.0.3
(2)对于一个声强为I(单位:W/m2)的声波,其声强级L(单位:dB)可由如下公式计算:L=10lg(其中I0是能引起听觉的最弱声强).设声强为I1时的声强级为70
dB,声强为I2时的声强级为60
dB,则I1是I2的　　　　倍.?
考点
构建函数模型解决实际问题
(多考向探究)
考向1　二次函数模型
【例3】(2020山东省实验中学月考)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元,0.5万元.
(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系;
(2)若该家庭有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎样分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元?
解题心得在现实生活中,很多问题涉及的两个变量之间是二次函数关系,如面积问题、利润问题、产量问题等.构建二次函数模型,利用二次函数的图像与单调性解决.
对点训练3经市场调查,某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t(单位:天)的函数,且日销售量近似地满足g(t)=-t+(1≤t≤100,t∈N).前40天价格为f(t)=t+22(1≤t≤40,t∈N),后60天价格为f(t)=-t+52(41≤t≤100,t∈N),试求该商品的日销售额S(t)的最大值和最小值.
考向2　分段函数模型
【例4】国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在30人或30人以下,飞机票每张收费900元;若每团人数多于30人,则给予优惠:每多1人,机票每张减少10元,直到达到规定人数75人为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15
000元.
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数;
(2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?
解题心得1.在现实生活中,很多问题的两个变量之间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成分段函数.如出租车票价与路程之间的关系就是分段函数.
2.分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其作为几个不同问题,将各段的规律找出来,再将其合在一起.要注意各段变量的范围,特别是端点.
对点训练4已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万元,每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完,每万部的销售收入为R(x)万元,且R(x)=
(1)写出年利润W(单位:万元)关于年产量x(单位:万部)的函数解析式;
(2)当年产量为多少万部时,该公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.
考向3　指数型、对数型函数模型
【例5】某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答以下问题:
(1)写出该城市人口总数y(单位:万人)与年份x(单位:年)的函数关系式;
(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人);
(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人.(精确到1年)
(参数数据:1.01210≈1.127,1.01215≈1.196,1.01216≈1.210,log1.0121.2≈15.3)
解题心得1.在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表示为y=N(1+p)x(其中N为基础数,p为增长率,x为时间)的形式.解题时,往往用到对数运算,要注意与参考数据对应求解.
2.有关对数型函数的应用题,一般都会给出函数解析式,要求根据实际情况求出函数解析式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据值回答其实际意义.
对点训练5(1)(2020北京东城一模,9)已知某池塘中的荷花每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍,若荷叶20天可以完全长满池塘水面,则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时,荷叶已生长了(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.10天
B.15天
C.19天
D.2天
(2)(2020北京延庆一模,9)某企业生产A,B两种型号的产品,每年的产量分别为10万支和40万支,为了扩大再生产,决定对两种产品的生产线进行升级改造,预计改造后的A,B两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%,那么至少经过多少年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量(取lg
2≈0.301
0)(　　)
A.6年
B.7年
C.8年
D.9年
1.解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;
(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;
(3)解模:求解数学模型,得出数学结论;
(4)还原:将数学结论还原为实际问题的意义.
以上过程用框图表示如下:
2.实际问题中往往涉及一些最值问题,我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值.
1.解应用题的关键是审题,不仅要明白、理解问题讲的是什么,还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年”),学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读,导致题目不会做或函数解析式写错.
2.解应用题建模后一定要注意定义域.
3.解决完数学模型后,注意转化为实际问题写出总结答案.
2.9　函数模型及其应用
必备知识·预案自诊
知识梳理
2.递增　递增　递增　y轴　x轴
考点自诊
1.(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√
2.B　因为第一次油箱加满,所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量,故耗油量V=48升.而这段时间内行驶的里程数S=35600-35000=600(千米).所以这段时间内,该车每100千米平均耗油量为×100=8(升),故选B.
3.C　依题意pH=-lg(2.5×10-2)=-lg=lg=lg40=lg(4×10)=lg4+lg10=2lg2+1≈2×0.3010+1=1.602.故选C.
4.1
024　依题意得解得a=2,b=-2.则y=2log4x-2,当y=8时,即2log4x-2=8,解得x=1024.
5.2　　由图像可知,当t=时,y=1,即=1,解得a=2.当t≥时,y=,令y≤0.75,得t≥.
关键能力·学案突破
例1C　由图可知,曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等,故选项A不正确;在曲线上半段中观察到y(t)是先上升后下降,而x(t)是不断变小的,故选项B不正确;捕食者数量最大时是在图像最右端,最小值是在图像最左端,此时都不是被捕食者的数量的最值处,同样被捕食者的数量最大是在图像最上端,最小是在图像最下端,也不是捕食者数量取最值的时候,所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大值和最小值,故选项C正确;当捕食者数量最大时在图像最右端,x(t)∈(25,30),y(t)∈(0,50),此时二者总和x(t)+y(t)∈(25,80),由图像可知存在点x(t)=10,y(t)=100,x(t)+y(t)=110,所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时,捕食者数量也会达到最大值,故D错误.
对点训练1②③　由图1可设盈利额y与观影人数x的函数为y=kx+b,k>0,b<0,即k为票价,当k=0时,y=b,则-b为固定成本,由图2知,直线向上平移,k不变,即票价不变,b变大,则-b变小,成本减小.故①错误,②正确;由图3知,直线与y轴的交点不变,直线斜率变大,k变大,即提高票价,b不变,则-b不变,成本不变.故③正确,④错误.
例2(1)C　(2)①ln
2　②15:00　(1)由=0.95K,得,两边取以e为底的对数,得-0.23(t
-53)=-ln19≈-3,所以t
≈66.
(2)①将k=4,a=1,b=2代入可得y=4(e-t-e-2t)=-4=-42+1,所以当时,即t=ln2时y取得最大值.
②病人上午8:00第一次服药3小时后血液中药物浓度将低于0.5个单位,则第二次服药时间在11:00;第一次服药后7个小时后药物残留为0.1163,第二次服药后4小时的药物残留为0.4680,而0.1163+0.4680=0.5843>0.5.
第一次服药后8小时的药物残留为0.072,第二次服药后5小时的药物残留为0.3010,而0.072+0.3010=0.3730<0.5.
综上可知,第三次服药时间为第一次服药后的7小时,即为15:00.
对点训练2(1)D　(2)10　(1)由题知,80℃的物体,放在20℃的空气中冷却,4分钟以后物体的温度是40℃,则40=20+(80-20)e-4k,从而e-4k=,则-4k=ln=-ln3,得k=ln3≈≈0.3.故选D.
(2)依题意,可知70=10lg,60=10lg,
所以70-60=10lg-10lg,则1=lg,所以=10.
例3解(1)设投资额为x(x≥0),则两类产品的收益与投资的函数关系分别为f(x)=k1x,g(x)=k2.由已知得f(1)==k1,g(1)==k2,所以f(x)=x(x≥0),g(x)=(x≥0).
(2)设投资股票类产品为x(0≤x≤20)万元,则投资债券类产品为(20-x)万元.
依题意得
y=f(20-x)+g(x)
=
=
=(0≤x≤20).
所以当=2,即x=4时,收益最大,ymax=3万元.
故投资债券类产品16万元,投资股票类产品4万元时获得最大收益,为3万元.
对点训练3解由题意知,S(t)=g(t)f(t).
S(t)=
当1≤t≤40,t∈N时,S(t)=-(t-12)2+,
则S(40)≤S(t)≤S(12),即768≤S(t)≤,
当41≤t≤100,t∈N时,S(t)=(t-108)2-,
则S(100)≤S(t)≤S(41),即8≤S(t)≤,
综上,当t=12时,S(t)取最大值为;
当t=100时S(t)取最小值为8.
例4解(1)设旅行团人数为x人,由题意得0),飞机票价为y元,
则y=
即y=
(2)设旅行社获利S元,
则S=
即S=
因为S=900x-15000在区间(0,30]上单调递增,
故当x=30时,S取最大值12000.
又因为S=-10(x-60)2+21000的对称轴为x=60,
所以当x=60时,S在区间(30,75]上取最大值21000.
故每团人数为60时,旅行社可获得最大利润.
对点训练4解(1)当0当x>40时,W=xR(x)-(16x+40)=--16x+7360.
所以W=
(2)①当0②当x>40时,W=--16x+7360,由于+16x≥2=1600,当且仅当=16x,即x=50时,取等号,所以W取最大值为5760.
综合①②,当x=32时,W取最大值为6104万元.故当年产量为32万部时,该公司在该款手机的生产中所获得的利润最大,最大利润为6104万元.
例5解(1)1年后该城市人口总数为y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%).
2年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2.
3年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)2×1.2%=100×(1+1.2%)3.
……
x年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)x.
所以该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式是y=100×(1+1.2%)x(x∈N
).
(2)10年后该城市人口总数为100×(1+1.2%)10≈112.7(万).
所以10年后该城市人口总数约为112.7万.
(3)设x年后该城市人口将达到120万人,即100(1+1.2%)x≥120,1.012x≥,所以x≥log1.012=log1.0121.2≈15.3≈16(年).
即大约16年后该城市人口总数将达到120万人.
对点训练5(1)C　(2)B　(1)设荷叶覆盖水面的初始面积为a,则x天后荷叶覆盖水面的面积y=a·2x(x∈N
),根据题意,令a·2x=a·220,解得x=19,故选C.
(2)设至少经过n年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量,则10×(1+50%)n>40×(1+20%)n,化简得n>4,取对数可得n>≈7.故至少经过7年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量.2.8　函数与方程
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y=f(x)(x∈D),把使　　　　成立的实数x叫作函数y=f(x)(x∈D)的零点.?
(2)与函数零点有关的等价关系
方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图像与　　　　有交点?函数y=f(x)有　　　　.?
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像与零点的关系
函　数
y=ax2+bx+c(a>0)
Δ>0
Δ=0
Δ<0
图　像
与x轴
的交点
　　　　?
　　　　?
无交点
零点个数
　　　　?
　　　　?
　　　　?
3.二分法
函数y=f(x)的图像在区间[a,b]上连续不断,且　　　　　　,通过不断地把它的零点所在区间　　　　　,使所得区间的两个端点逐步逼近　　　　　　,进而得到零点近似值的方法叫作二分法.?
1.若y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像连续不断,且有f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)一定有零点.
2.f(a)f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.
3.若函数f(x)在[a,b]上是单调函数,且f(x)的图像连续不断,则f(a)f(b)<0?函数f(x)在区间[a,b]上有且只有一个零点.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)函数f(x)=x2-1的零点是(-1,0)和(1,0).(　　)
(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点.
(　　)
(3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.
(　　)
(4)已知函数f(x)在(a,b)内图像连续且单调,若f(a)f(b)<0,则函数f(x)在[a,b]上有且只有一个零点.
(　　)
(5)函数y=2sin
x-1的零点有无数多个.
(　　)
2.(2020云南玉溪一中二模)函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(-2,-1)
B.(-1,0)
C.(0,1)
D.(1,2)
3.(2020山东济南二模,2)函数f(x)=x3+x-4的零点所在的区间为(　　)
A.(-1,0)　　B.(0,1)　　C.(1,2)　　D.(2,3)
4.若函数f(x)=2x-a2-a在(-∞,1]上存在零点,则正实数a的取值范围是(　　)
A.(0,1)
B.(0,1]
C.(0,2)
D.(0,2]
5.(2020天津和平区一模)已知[x]表示不超过实数x的最大整数,g(x)=[x]为取整函数,x0是函数f(x)=ln
x+x-4的零点,则g(x0)=　　　　.?
关键能力学案突破　
考点
判断函数零点所在的区间
【例1】(1)(2020陕西西安中学八模,理4)根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为(k,k+1)(k∈N),则k的值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
x
-1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x+2
1
2
3
4
5
A.-1
B.0
C.1
D.2
(2)设定义域为(0,+∞)内的单调函数f(x),对任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)-ln
x]=e+1,若x0是方程f(x)-f'(x)=e的一个解,则x0可能存在的区间是(　　)
A.(0,1)
B.(e-1,1)
C.(0,e-1)
D.(1,e)
解题心得判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点的方法
(1)解方程:当对应方程易解时,可通过解方程,观察方程是否有根落在给定区间上.
(2)利用函数零点存在定理进行判断:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是否连续,然后看是否有f(a)f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点,若没有,则不一定有零点.
(3)通过画函数图像,观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
对点训练1(1)(2020辽宁沈阳二中五模,文6)函数f(x)=ln(x+1)-的一个零点所在的区间是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)
(2)如图是二次函数f(x)=x2-bx+a的部分图像,则g(x)=ex+f'(x)的零点所在的大致区间是
(　　)
A.(-1,0)
B.(0,1)
C.(1,2)
D.(2,3)
考点
判断函数零点的个数
【例2】(1)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为
(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
(2)(2020广东肇庆二模,理11)已知函数f(x)为定义域为R的偶函数,且满足f(1+x)=f(1-x),当x∈[-1,0]时,f(x)=-x,则函数F(x)=f(x)+在区间[-9,10]上零点的个数为(　　)
A.10
B.12
C.18
D.20
解题心得判断函数零点个数的方法
(1)解方程法:若对应方程f(x)=0可解时,通过解方程,有几个解就有几个零点.
(2)零点存在定理法:利用定理不仅要判断函数的图像在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)<0,还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点.
(3)数形结合法:转化为两个函数的图像的交点个数问题.先画出两个函数的图像,再看其交点的个数,其中交点的个数就是函数零点的个数.
对点训练2(1)(2020山东青岛二模,8)已知图像连续不断的函数f(x)的定义域为R,且f(x)是周期为2的奇函数,y=|f(x)|在区间[-1,1]上恰有5个零点,则f(x)在区间[0,2
020]上的零点个数为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.5
050
B.4
041
C.4
040
D.2
020
(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且对于任意的x∈[0,+∞),满足f(x+2)=f(x),若当x∈[0,2)时,f(x)=|x2-x-1|,则函数y=f(x)-1在区间[-2,4]上的零点个数为　　　　.?
考点
函数零点的应用
(多考向探究)
考向1　已知函数零点所在区间求参数
【例3】(1)(2020山东烟台模拟,6)函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(1,3)
B.(1,2)
C.(0,3)
D.(0,2)
(2)(2020湖南湘潭三模,理16)已知函数f(x)=若在区间[-1,1]上方程f(x)=1只有一个解,则实数m的取值范围为　　　.?
解题心得对于已知函数零点所在区间求参数的问题:若已知函数在所给区间上连续且单调,则由零点存在定理列出含参数的不等式,求出参数的范围;若已知函数在所给区间上不单调,则要作出函数的图像利用数形结合法求参数的范围.
对点训练3(1)已知函数f(x)=2ax-a+3,若存在x∈(-1,1),f(x)=0,则实数a的取值范围是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(-∞,-3)∪(1,+∞)
B.(-∞,-3)
C.(-3,1)
D.(1,+∞)
(2)若函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,则实数a的取值范围是　　　　.?
考向2　已知函数零点个数求参数问题
【例4】(1)(2020东北三省四市模拟,理11)已知函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2-2af(x)+3a=0有6个不相等的实数根,则实数a的取值范围为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.3,
B.3,
C.(3,4)
D.(3,4]
(2)(2020四川成都七中三模,文16)若指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与一次函数y=x的图像恰好有两个不同的交点,则实数a的取值范围是　　　　.?
解题心得已知函数有零点(方程有根),求参数的取值范围常用的方法:
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.
(2)分离参数法:先将参数分离,再转化成求函数值域问题加以解决.
(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图像,再数形结合求解.
对点训练4(1)(2020天津河北区一模,9)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-x-a有3个零点,则实数a的取值范围是(　　)
A.[0,2)
B.[0,1)
C.(-∞,2]
D.(-∞,1]
(2)(2020山东济宁5月模拟,16)设f(x)是定义在R上的偶函数,任意x∈R都有f(2-x)=f(2+x),且当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2.若函数g(x)=f(x)-loga(x+1)(a>0,a≠1)在区间(-1,9]内恰有三个不同零点,则实数a的取值范围是　　　.?
1.函数零点的常用判定方法:
(1)零点存在性定理;(2)数形结合;(3)解方程f(x)=0.
2.研究方程f(x)=g(x)的解,实质就是研究G(x)=f(x)-g(x)的零点.
3.转化思想:方程解的个数问题可转化为两个函数图像交点的个数问题;已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.
1.函数f(x)的零点是一个实数,是方程f(x)=0的根,也是函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标.
2.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件,而不是必要条件;判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图像等综合考虑.
2.8　函数与方程
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.(1)f(x)=0　(2)x轴　零点　(3)连续不断的　f(a)·f(b)<0　f(x0)=0
2.(x1,0),(x2,0)　(x1,0)　2　1　0
3.f(a)f(b)<0　一分为二　零点
考点自诊
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√
2.B　易知f(x)=2x+3x在R上递增,且f(-2)=2-2-6<0,f(-1)=2-1-3<0,f(0)=1>0,所以由函数零点存在定理得,零点所在的区间是(-1,0).故选B.
3.C　易知函数f(x)=x3+x-4在R上递增,因f(0)=-4<0,f(1)=-2<0,f(2)=6>0,故函数在(1,2)上有唯一零点.故选C.
4.B　由f(x)=2x-a2-a=0,得2x=a2+a,由x∈(-∞,1],得2x∈(0,2],可得05.2　∵函数f(x)=lnx+x-4在定义域(0,+∞)上单调递增,且其图像是连续不断的,f(e)=1+e-4<0,f(3)=ln3-1>0,∴函数的零点所在的区间为(e,3),g(x0)=[x0]=2.
关键能力·学案突破
例1(1)C　(2)D　(1)令f(x)=ex-x-2,由表格知f(1)<0,f(2)>0,所以方程ex-x-2=0的一个零点所在的区间是(1,2),所以k=1,故选C.
(2)令f(x)-lnx=k,则f(x)=lnx+k.由f[f(x)-lnx]=e+1,得f(k)=e+1.
又f(k)=lnk+k=e+1,可知k=e.故f(x)=lnx+e,所以f'(x)=,x>0.
所以f(x)-f'(x)=lnx-+e.令g(x)=lnx-+e-e=lnx-,x∈(0,+∞).
因为g(x)=lnx-在(0,+∞)内的图像是连续的,且g(1)=-1<0,g(e)=1->0,
所以存在x0∈(1,e),使g(x0)=0.故选D.
对点训练1(1)B　(2)B　(1)∵f(1)=ln2-2<0,f(2)=ln3-1>lne-1=0,即f(1)f(2)<0,∴函数f(x)的零点在区间(1,2)上.故选B.
(2)由图像知<1,得10,所以g(0)g(1)<0,则g(x)的零点在区间(0,1)上,故选B.
例2(1)B　(2)A　(1)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点也就是方程2x|log0.5x|-1=0的根,即2x|log0.5x|=1,整理得|log0.5x|=.
令g(x)=|log0.5x|,h(x)=,画出g(x),h(x)的图像如图所示.
因为两个函数的图像有两个交点,所以f(x)有两个零点.
(2)求F(x)在[-9,10]上零点的个数,等价于f(x)与g(x)=-的图像在[-9,10]上交点的个数,
∵f(x)为偶函数,且当x∈[-1,0]时,f(x)=-x,∴当x∈[0,1]时,f(x)=x,
又f(1+x)=f(1-x),
∴f(x+2)=f[(x+1)+1]=f(1-1-x)=f(-x)=f(x),即f(x)的周期为2,g(x)=-,
∴g(x)的图像关于点对称,作出f(x)与g(x)在,10上的函数图像如图所示,
由图像可知f(x)与g(x)在,10上有5个交点,根据对称性可知在-9,上也有5个交点,故选A.
对点训练2(1)B　(2)7　(1)由f(x)是定义域为R的奇函数,得f(0)=0,由f(x)的周期为2,得f(0)=f(2)=…=f(2020)=0,由y=|f(x)|是偶函数,得其图像关于y轴对称,由y=|f(x)|在[-1,1]上恰有5个零点,则y=|f(x)|在[-1,0)和(0,1]上各有两个零点,因f(x)的周期为2,所以y=|f(x)|的周期为1,所以y=|f(x)|在(1,2]上也有两个零点,同理在(2,3],…,(2019,2020]上各有两个零点.因为函数|f(x)|的图像是由f(x)的图像关于x轴对称到x轴上面,故两个函数的零点个数相等,则f(x)在区间[0,2020]上的零点个数为1+2020×2=4041.
(2)由题意作出y=f(x)在区间[-2,4]上的图像,如图所示,可知与直线y=1的交点共有7个,故函数y=f(x)-1在区间[-2,4]上的零点个数为7.
例3(1)C　(2)m,或m=1　(1)函数f(x)=2x--a在区间(1,2)内连续,因为f(x)的一个零点在区间(1,2)内,所以f(1)f(2)<0,即(2-2-a)(4-1-a)<0,解得0(2)当0≤x≤1时,由f(x)=1,得2x(x2+m)=1,即x=x2+m;
当-1≤x≤0时,由f(x)=1,得2x+1-x2-m=1,即2x+1-1=x2+m.
设g(x)=h(x)=x2+m,则问题转化为g(x)与h(x)=x2+m的图像在[-1,1]上只有一个交点.
画出g(x)与h(x)在[-1,1]上的图像如图所示,
结合图像可知,当h(0)=1,即m=1时,两个函数的图像只有一个交点;
当解得-1≤m<-时,两个函数的图像只有一个交点,故所求实数m的取值范围是m-1≤m<-,或m=1.
对点训练3(1)A　(2)-,2　(1)由f(x)=2ax-a+3,若存在x∈(-1,1),f(x)=0,可得f(-1)f(1)<0,即(-3a+3)(a+3)<0,可得a∈(-∞,-3)∪(1,+∞).
(2)因为函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,所以方程4x-2x-a=0在[-1,1]上有解,即方程a=4x-2x在[-1,1]上有解.方程a=4x-2x可变形为a=2x-2-,
因为x∈[-1,1],所以2x∈,2,
所以2x-2-∈-,2.
所以实数a的取值范围是-,2.
例4(1)B　(2)1,　　(1)令f(x)=t,则t2-2at+3a=0,作出函数f(x)和直线y=t的图像如图所示,
由图像可知y=t与y=f(x)最多有3个不同交点,又当x≤0时,2x+1+2>2,
要使关于x的方程[f(x)]2-2af(x)+3a=0有6个不相等的实数根,则t2-2at+3a=0有两个不同的根t1,t2∈(2,4],设g(t)=t2-2at+3a由根的分布可知,解得3(2)由题意,ax=x,两边取对数得,xlna=lnx,
所以lna=,设y=,则y'=,故y=在(0,e)上递增,在(e,+∞)上递减,
所以当x=e时,得ymax=,所以当0对点训练4(1)A　(2)∪()　(1)函数g(x)=f(x)-x-a有3个零点,等价于方程f(x)-x-a=0有3个实数根,即方程a=f(x)-x有3个实数根,设h(x)=f(x)-x,当x≤0时,h(x)=x3-3x,h'(x)=3x2-3,由h'(x)>0得x<-1或x>1(舍去),此时h(x)递增.由h'(x)<0得-10时,h(x)=f(x)-x=-lnx-x递减,作出函数h(x)的图像如图所示,
要使a=h(x)有3个根,则0≤a<2,即实数a的取值范围为[0,2),故选A.
(2)∵f(x)是定义在R上的偶函数,且f(2-x)=f(2+x),∴f(x-2)=f(2+x),令x-2=t,则f(t)=f(4+t),∴f(x)的周期为4.
由g(x)=f(x)-loga(x+1)=0得f(x)=loga(x+1)(a>0,且a≠1).
函数y=f(x)和y=loga(x+1)的图像在区间(-1,9]内有3个不同的公共点.
作函数f(x)与y=loga(x+1)在(-1,9]上的图像如下,
当a>1时,
解得当0解得必备知识预案自诊　
知识梳理
1.利用描点法作函数图像的流程
2.函数图像间的变换
(1)平移变换
对于平移,往往容易出错,在实际判断中可熟记口诀:左加右减,上加下减.
(2)对称变换
(3)伸缩变换
y=f(x)y=f(ax),
y=f(x)y=Af(x).
1.函数图像自身的轴对称
(1)f(-x)=f(x)?函数y=f(x)的图像关于y轴对称;
(2)函数y=f(x)的图像关于x=a对称?f(a+x)=f(a-x)?f(x)=f(2a-x)?f(-x)=f(2a+x);
(3)若函数y=f(x)的定义域为R,且有f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=对称.
2.函数图像自身的中心对称
(1)f(-x)=-f(x)?函数y=f(x)的图像关于原点对称;
(2)函数y=f(x)的图像关于(a,0)对称?f(a+x)=-f(a-x)?f(x)=-f(2a-x)?f(-x)=-f(2a+x);
(3)函数y=f(x)的图像关于点(a,b)成中心对称?f(a+x)=2b-f(a-x)?f(x)=2b-f(2a-x);
(4)若函数y=f(x)的定义域为R,且满足条件f(a+x)+f(b-x)=c(a,b,c为常数),则函数y=f(x)的图像关于点对称.
3.两个函数图像之间的对称关系
(1)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于直线x=对称(由a+x=b-x得对称轴方程);
(2)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x=a对称;
(3)函数y=f(x)与y=2b-f(-x)的图像关于点(0,b)对称;
(4)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图像关于点(a,b)对称.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)将函数y=f(x)的图像先向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度得到函数y=f(x+1)+1的图像.(　　)
(2)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图像相同.
(　　)
(3)函数y=f(x)与y=-f(-x)的图像关于原点对称.
(　　)
(4)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图像关于直线x=1对称.
(　　)
(5)若函数y=f(x)满足f(x-1)=f(x+1),则函数f(x)的图像关于直线x=1对称.
(　　)
2.(2020山东师大附中月考)函数y=log2|x|的图像大致是(　　)
3.(2020天津,3)函数y=的图像大致为(　　)
4.(2020浙江,4)函数y=xcos
x+sin
x在区间[-π,π]上的图像可能是(　　)
5.已知函数f(x)=2x-x-1,则不等式f(x)>0的解集是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(-1,1)
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(0,1)
D.(-∞,0)∪(1,+∞)
关键能力学案突破　
考点
作函数的图像
【例1】作出下列函数的图像:
(1)y=|lg
x|;(2)y=2x+2;
(3)y=x2-2|x|-1;(4)y=.
解题心得作函数图像的一般方法
(1)直接法.当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时,就可根据这些函数的特征直接作出.
(2)图像变换法.变换包括平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换.
(3)描点法.当上面两种方法都失效时,则可采用描点法.为了通过描少量点,就能得到比较准确的图像,常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质作出.
对点训练1作出下列函数的图像:
(1)y=10|lg
x|;
(2)y=|x-2|·(x+1);
(3)y=.
考点
函数图像的识辨
(多考向探究)
考向1　知式判图
【例2】(2020山东潍坊一模,5)函数f(x)=在[-π,π]上的图像大致为(　　)
考向2　知图判式
【例3】(2020河北沧州一模,理5)已知函数f(x)的图像如图所示,则f(x)可以为(　　)
A.f(x)=　　
B.f(x)=
C.f(x)=-x
D.f(x)=
考向3　知图判图
【例4】已知定义在区间[0,2]上的函数y=f(x)的图像如图所示,则y=-f(2-x)的图像为(　　)
解题心得函数图像辨识的入手方面
(1)从函数的定义域判断图像“左右”的位置;从函数的值域判断图像的“上下”位置.
(2)从函数的单调性判断图像的变化趋势.
(3)从函数的奇偶性判断图像的对称性.
(4)从函数的周期性判断图像的循环往复.
(5)必要时可求导研究函数性质,从函数的特征点,排除不合要求的图像.
利用上述方法,可排除、筛选错误与正确的选项.
对点训练2(1)(2019全国1,理5)函数f(x)=在[-π,π]的图像大致为(　　)
(2)(2020山东青岛5月模拟,4)下列函数的解析式(其中e=2.718
28…为自然对数的底数)与所给图像最符合的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=sin(ex+e-x)
B.y=sin(ex-e-x)
C.y=tan(ex-e-x)
D.y=cos(ex+e-x)
(3)已知函数y=f(x)和函数y=g(x)的图像,则函数y=f(x)·g(x)的部分图像可能是(　　)
考点
函数图像的应用
(多考向探究)
考向1　与函数零点有关的参数范围
【例5】(2018全国1,理9)已知函数f(x)=
g(x)=f(x)+x+a,若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是(　　)
A.[-1,0)
B.[0,+∞)
C.[-1,+∞)
D.[1,+∞)
解题心得将函数的零点转化为方程的根,构造方程两边的函数,通过函数图像的交点个数满足已知函数零点个数,求出参数的取值范围.
对点训练3已知f(x)=若关于x的方程a=f(x)恰有两个不同实数根,则实数a的取值范围是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.∪[1,2)
B.∪[1,2)
C.(1,2)
D.[1,2)
考向2　已知函数不等式求参数的范围
【例6】(2020湖南永州二模,理9)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=2-|x+2|.若对任意的x∈[-1,2],f(x+a)>f(x)成立,则实数a的取值范围是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(0,2)
B.(0,2)∪(-∞,-6)
C.(-2,0)
D.(-2,0)∪(6,+∞)
解题心得有关函数不等式的问题,常常转化为两函数图像的上、下关系来解.
　　　　　　　　　　　　　　　　
对点训练4(2019全国2,理12)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-,则m的取值范围是(　　)
A.-∞,
B.-∞,
C.-∞,
D.-∞,
考点
函数图像对称性的应用
【例7】已知定义域在R上的函数f(x)满足f(x+1)+f(1-x)=2.当x>1时,f(x)=.则关于x的方程f(x)+2a=0没有负实数根时,实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-1]∪-,+∞
B.(0,1)
C.-1,-∪-,+∞
D.-2,-∪-,0
解题心得由f(-x)=-f(x)?y=f(x)的图像关于原点对称,f(-x)=-f(x)?f(0-x)=-f(0+x),当把0换成a时,则有f(a-x)=-f(a+x)?函数y=f(x)的图像关于点(a,0)对称,推广可得f(a+x)=2b-f(a-x)?函数y=f(x)的图像关于点(a,b)对称.
对点训练5(2020北京海淀一模,7)已知函数f(x)=|x-m|与函数g(x)的图像关于y轴对称.若g(x)在区间(1,2)内递减,则m的取值范围为(　　)
A.[-1,+∞)
B.(-∞,-1]
C.[-2,+∞)
D.(-∞,-2]
1.作图的方法有:
(1)直接法,利用基本初等函数作图;
(2)图像变换法,如平移变换、对称变换、伸缩变换等;
(3)描点法,为使图像准确,可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等了解图像的大体形状.
2.识图题与用图题的解决方法:
(1)识图:对于给定函数的图像,要从图像的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性,注意图像与函数解析式中参数的关系.
(2)用图:要用函数的思想指导解题,即方程、不等式的问题用函数图像来解.
1.确定函数的图像,一定要从函数的定义域及性质出发.
2.识图问题常常结合函数的某一性质或特殊点进行排除.
3.要注意一个函数的图像自身对称和两个不同的函数图像对称的区别.
2.7　函数的图像
必备知识·预案自诊
知识梳理
2.(1)y=f(x)-k　(2)函数y=-f(-x)的图像
考点自诊
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×
2.C　函数y=log2|x|为偶函数,作出x>0时y=log2x的图像,图像关于y轴对称,故选C.
3.A　∵函数y=为奇函数,∴排除选项C,D.再把x=1代入得y==2>0,排除选项B.故选A.
4.A　因为f(-x)=(-x)cos(-x)+sin(-x)=-(xcosx+sinx)=-f(x),x∈[-π,π],所以函数f(x)是奇函数,故排除C,D,当x∈时,xcosx+sinx>0,所以排除B.故选A.
5.D　因为f(x)=2x-x-1,所以f(x)>0等价于2x>x+1,
在同一直角坐标系中作出y=2x和y=x+1的图像.如图,
两函数图像的交点坐标为(0,1),(1,2),不等式2x>x+1的解为x<0或x>1.所以不等式f(x)>0的解集为(-∞,0)∪(1,+∞).故选D.
关键能力·学案突破
例1解(1)y=的图像如图1.
(2)y=2x+2的图像是将y=2x的图像向左平移2个单位长度.其图像如图2.
(3)y=的图像如图3.
(4)因为y=1+,先作出y=的图像,将其图像向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,
即得y=的图像,如图4.
对点训练1解(1)当x≥1时,lgx≥0,y=10|lgx|=10lgx=x;当0故y=
图1
这是分段函数,每段函数的图像可根据正比例函数或反比例函数图像作出,如图1.
(2)当x≥2,即x-2≥0时,y=(x-2)(x+1)=x2-x-2=;
当x<2,即x-2<0时,y=-(x-2)·(x+1)=-x2+x+2=-.
所以y=
图2
这是分段函数,每段函数的图像可根据二次函数的图像作出,如图2.
(3)y==1-,该函数图像可由函数y=-的图像向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度得到,如图3所示.
图3
例2A　当x∈(0,π)时,x>sinx,此时f(x)=>0,只有选项A符合题意,故选A.
例3A　首先对4个选项进行奇偶性判断,可知f(x)=为偶函数,不符合题意,排除选项B;其次对其在(0,+∞)上的零点个数进行判断,f(x)=在(0,+∞)上无零点,不符合题意,排除选项D;然后进行单调性判断,f(x)=-x在(0,+∞)上单调递减,不符合题意,排除选项C.故选A.
例4B　y=f(x)y=f(-x)y=f(2-x)y=-f(2-x).故选B.
对点训练2(1)D　(2)D　(3)A　(1)由f(-x)=-f(x)及区间[-π,π]关于原点对称,得f(x)是奇函数,其图像关于原点对称,排除选项A.又f>1,f(π)=>0,排除选项B,C.故选D.
(2)当x=0时,y=sin(e0+e0)=sin2>0,故排除选项A;y=sin(e0-e0)=0,故排除选项B;y=tan(e0-e0)=0,故排除选项C;y=cos(e0+e0)=cos2<0,符合题意.故选D.
(3)由已知图像可知,函数f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以函数y=f(x)·g(x)是奇函数,故排除选项B;当x∈-π,-时,f(x)·g(x)<0,当x∈-,0时,f(x)·g(x)>0,同时y=f(x)·g(x)在x=0处无定义,故选A.
例5C　要使得方程g(x)=f(x)+x+a有两个零点,等价于方程f(x)=-x-a有两个不同的实根,即函数y=f(x)的图像与直线y=-x-a的图像有两个交点,从图像可知,必须使得直线y=-x-a位于直线y=-x+1的下方,所以-a≤1,即a≥-1.故选C.
对点训练3B　关于x的方程a=f(x)恰有两个不同的实根,等价于y=a,y=f(x)的图像有两个不同的交点,画出y=a,y=f(x)的图像,如图,
由图可知,当a∈∪[1,2)时,y=a,y=f(x)的图像有两个不同的交点,此时,关于x的方程a=f(x)恰有两个不同的实根,所以实数a的取值范围是∪[1,2),故选B.
例6D　因为x<0时,f(x)=2-|x+2|,又因为f(x)是R上的奇函数,作出函数f(x)的图像如下图,
y=f(x+a)的图像可以看成是y=f(x)的图像向左(a>0时)或向右(a<0时)平移|a|个单位长度而得.当a>0时,y=f(x)的图像至少向左平移6个单位长度(不含6个单位长度)才能满足f(x+a)>f(x)成立,当a<0时,y=f(x)的图像向右平移至多2个单位长度(不含2个单位长度)才能满足f(x+a)>f(x)成立(对任意的x∈[-1,2]),故a∈(-2,0)∪(6,+∞).故选D.
对点训练4B　∵f(x+1)=2f(x),
∴f(x)=2f(x-1).
∵当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1),
∴f(x)的图像如图所示.
∵当2即(3x-7)(3x-8)=0,
解得x1=,x2=.
∵当x∈(-∞,m]时,f(x)≥-恒成立,即m≤,故m∈-∞,.
例7A　∵f(x)满足f(x+1)+f(1-x)=2,∴f(x)的图像关于点(1,1)中心对称,作出其大致图像,如图所示,
∵f(x)+2a=0没有负实数根,即y=f(x)的图像与y=-2a图像在(-∞,0)无交点,
∴-2a≤1或-2a≥2,解得a≥-或a≤-1.
故选A.
对点训练5D　因为f(x)=|x-m|与函数g(x)的图像关于y轴对称,又g(x)在区间(1,2)内递减,则f(x)在区间(-2,-1)内递增,而f(x)=|x-m|=在区间(m,+∞)上递增,则有m≤-2,即m的取值范围为(-∞,-2],故选D.2.6　对数与对数函数
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.对数的概念
(1)根据下图的提示填写与对数有关的概念:
(2)a的取值范围　　　　　　　　　.?
2.对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么
①loga(MN)=　　　　　　　;?
②loga=　　　　　　;?
③logaMn=　　　　　(n∈R).?
(2)对数的性质:=N(a>0,且a≠1,N>0).
(3)对数换底公式:logab=(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1).
3.对数函数的图像与性质
函数
y=logax(a>0,且a≠1)
a>1
0图像
性质
定义域:　　　　　　?
值域:R
过定点　　　　?
当x>1时,y>0;
当0当x>1时,y<0;
当00
在(0,+∞)内
是　　　　　?
在(0,+∞)内
是　　　　　?
4.反函数
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数　　　　　　　(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图像关于直线　　　对称.?
1.对数的性质(a>0,且a≠1,b>0)
(1)loga1=0;
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)log2x2=2log2x.
(　　)
(2)函数y=log2x及y=lo3x都是对数函数.
(　　)
(3)当x>1时,若logax>logbx,则a(　　)
(4)函数f(x)=lg与g(x)=lg(x-2)-lg(x+2)是同一个函数.
(　　)
(5)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像过定点(1,0),且过点(a,1),.
(　　)
2.(2020陕西西安中学八模,理3)已知x·log32=1,则4x=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.4
B.6
C.
D.9
3.(2020山东历城二中模拟四,3)已知a=lo,b=lo,c=,则a,b,c的大小关系是(　　)
A.bB.aC.cD.b4.若函数y'=a|x|(a>0,且a≠1)的值域为{y'|05.(2020河北保定一模,理13)若2a=10,b=log510,则=　　　　.?
关键能力学案突破　
考点
对数式的化简与求值
【例1】化简下列各式:
(1)lg+lg
70-lg
3-;
(2)log3·log5.
思考对数运算的一般思路是什么?
解题心得对数运算的一般思路
(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算性质化简合并.
(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.
对点训练1(1)(2020全国1,文8)设alog34=2,则4-a=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.
D.
(2)(2020山东泰安一模,5)已知定义在R上的函数f(x)的周期为4,当x∈[-2,2)时,f(x)=x-x-4,则f(-log36)+f(log354)=(　　)
A.
B.-log32
C.-
D.+log32
考点
对数函数的图像及其应用
【例2】(1)函数y=2log4(1-x)的图像大致是(　　)
(2)已知当0变式发散将本例(2)中的“4x=logax有解”改为“4x解题心得应用对数型函数的图像可求解的问题:
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,也常利用数形结合思想;
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题,利用数形结合法求解.
对点训练2(1)函数f(x)=loga|x|+1(0(2)函数y=|log2x|-x的零点个数是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.0
B.1
C.2
D.3
考点
对数函数的性质及其应用
(多考向探究)
考向1　比较含对数的函数值的大小
　　　　　　　　　　　　　　　　
【例3】(1)(2020全国3,文10)设a=log32,b=log53,c=,则(　　)
A.aB.aC.bD.c(2)(2020河北沧州一模,理9)已知a=log0.30.5,b=log30.5,c=log0.50.9,则(　　)
A.abB.a+bC.acD.ab解题心得比较含对数的函数值的大小,首先应确定对应函数的单调性,然后比较含对数的自变量的大小,同底数的可借助函数的单调性;底数不同、真数相同的可以借助函数的图像;底数、真数均不同的可借助中间值(0或1).
对点训练3(1)(2020山西太原二模,理3)已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.aB.aC.bD.c(2)(2020全国3,理12)已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=log138,则(　　)
A.aB.bC.bD.c考向2　解含对数的函数不等式
【例4】(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)内递增.若正实数a满足f(log2a)+f(loa)≤2f(1),则a的取值范围是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.[1,2]
B.0,
C.,2
D.(0,2]
(2)设函数f(x)=若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是(　　)
A.(-1,0)∪(0,1)
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞)
D.(-∞,-1)∪(0,1)
解题心得解简单对数不等式,先统一底数,化为形如logaf(x)>logag(x)(a>0,且a≠1)的不等式,再借助y=logax的单调性求解,当a>1时,logaf(x)>logag(x)?当0logag(x)?
对点训练4(1)定义在R上的奇函数f(x),当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,则不等式f(x)<-1的解集是　　　　　　.?
(2)不等式log(x-3)(x-1)≥2的解集为　　　　.?
考向3　对数型函数的综合问题
【例5】已知函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0,且a≠1.
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性,并予以证明;
(3)当a>1时,求使f(x)>0的x的取值范围.
解题心得有关对数型函数的综合问题要注意三点:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用.
对点训练5(1)(2020山东潍坊一模,7)已知定义在R上的偶函数f(x)=2|x-m|-1,记a=f(-ln
3),b=f(-log25),c=f(2m),则(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.aB.aC.cD.c(2)已知函数f(x)=loga(ax2-x+3)在[1,3]上递增,则a的取值范围是　　　　.?
1.多个对数函数图像比较底数大小的问题,可通过图像与直线y=1交点的横坐标进行判定.
2.研究对数型函数的图像时,一般从最基本的对数函数的图像入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,要注意底数a>1和03.利用对数函数单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题,其基本方法是“同底法”,即把不同底的对数式化为同底的对数式,然后根据单调性来解决.
1.在运算性质logaMn=nlogaM中,要特别注意M>0的条件,当n∈N+,且n为偶数时,在无M>0的条件下应为logaMn=nloga|M|.
2.解决与对数函数有关的问题时需注意两点:
(1)定义域优先的原则.
(2)要有分类讨论的意识.
2.6　对数与对数函数
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.(1)指数　对数　幂　真数　底数
(2)a>0,且a≠1
2.(1)①logaM+logaN　②logaM-logaN　③nlogaM
3.(0,+∞)　(1,0)　增函数　减函数
4.y=logax　y=x
考点自诊
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
2.D　∵x·log32=1,∴x=log23,∴4x==9,故选D.
3.D　a=lo>lo=1,b=lo4.A　函数y'=a|x|(a>0,且a≠1)的值域为{y'|05.1　∵2a=10,∴a=log210,又b=log510,∴=lg2+lg5=lg10=1.
关键能力·学案突破
例1解(1)原式=lg-
=lg10-
=1-|lg3-1|=lg3.
(2)原式=log3·log5[10-(]=(log3-1)·log5(10-3-2)
=·log55=-.
对点训练1(1)B　(2)A　(1)因为alog34=log34a=2,所以4a=32=9,所以4-a=.故选B.
(2)由题意,f(log354)=f(log354-4)=flog3,∵当x∈[-2,2)时,f(x)=x-x-4,且-log36∈[-2,2),log3∈[-2,2),∴f(-log36)+f(log354)=-(-log36)-4+-log3-4=+log36-log3-8=6++log39-8=.故选A.
例2(1)C　(2)0,　(1)函数y=2log4(1-x)的定义域为(-∞,1),排除A,B;又函数y=2log4(1-x)在定义域内递减,排除D.故选C.
(2)
构造函数f(x)=4x和g(x)=logax.当a>1时不满足条件,当0变式发散,1　设函数f(x)=4x和g(x)=logax,可知当a>1时不满足条件,当0,所以a的取值范围为,1.
对点训练2(1)A　(2)C　(1)由于函数f(x)=loga|x|+1(00时,f(x)=loga|x|+1(0(2)函数y=|log2x|-x的零点个数即为方程|log2x|=x的实数根的个数.在同一平面直角坐标系内作出函数y=|log2x|及y=x的图像(图像略),不难得出两个函数的图像有2个交点,故选C.
例3(1)A　(2)D　(1)∵a=log32=lo23=log98<1,∴a<.
∵b=log53=lo33=log2527>1,
∴b>.又c=,∴a(2)∵0=log0.31log30.50=log0.51∵=log0.50.3+log0.53=log0.50.9=c,即0<=c<1,
∴ab综上,ab对点训练3(1)B　(2)A　(1)∵log51log24=2,
∵0.51<0.50.2<0.50,
∴(2)∵a=log53=lo34=log12581<1,∴a<.
∵b=log85=lo54=log512625>1,∴b>.
∵55<84,∴b=log85=lo55<1,∴b<.
∵134<85,∴c=log138=lo85>1,∴c>.
综上,a例4(1)C　(2)C　(1)因为loa=-log2a,所以f(log2a)+f(loa)=f(log2a)+f(-log2a)=2f(log2a),原不等式变为2f(log2a)≤2f(1),即f(log2a)≤f(1).又因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)内递增,所以|log2a|≤1,即-1≤log2a≤1,解得≤a≤2,故选C.
(2)由题意可得解得a>1或-1对点训练4(1)(-∞,-2)∪0,　(2){x|4当x∈(0,+∞)时,f(x)<-1,即为log2x<-1,解得0当x∈(-∞,0)时,f(x)<-1,即为-log2(-x)<-1,解得x<-2.
所以f(x)<-1的解集为(-∞,-2)∪0,.
(2)原不等式等价于解得4例5解(1)因为f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),所以解得-1(2)f(x)为奇函数.证明如下:
由(1)知f(x)的定义域为{x|-1故f(x)为奇函数.
(3)因为当a>1时,f(x)在定义域{x|-1由f(x)>0,得>1,解得0对点训练5(1)C　(2)0,∪(1,+∞)
(1)根据题意,有f(-x)=f(x),即2|x-m|-1=2|-x-m|-1,可得m=0,
则f(x)=2|x|-1=
则f(x)在(0,+∞)上递增,
a=f(-ln3)=f(ln3),b=f(log25),c=f(20)=f(1),
又0<1(2)令t=ax2-x+3,则原函数化为y=f(t)=logat.
当a>1时,f(t)为定义域上的增函数,所以要保证t=ax2-x+3在[1,3]上递增,
所以解得a>1.
当0故a的取值范围为0,∪(1,+∞).2.5　指数与指数函数
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.根式
(1)根式的概念
xn=a?
(2)根式的性质
①()n=a(n∈N+).
②
2.实数指数幂
(1)分数指数幂的表示
①正数的正分数指数幂的意义是(a>0,m,n∈N+,n>1).
②正数的负分数指数幂的意义是(a>0,m,n∈N+,n>1).
③0的正分数指数幂等于　　　　,0的负分数指数幂没有意义.?
(2)有理数指数幂的运算性质
①aras=　　　　(a>0,r,s∈Q).?
②(ar)s=　　　　(a>0,r,s∈Q).?
③(ab)r=　　　　(a>0,b>0,r∈Q).?
(3)无理数指数幂
一般地,无理数指数幂aα(a>0,α为无理数)是一个　　　　的实数.整数指数幂的运算性质　　　　　于实数指数幂.?
3.指数函数的图像和性质
函　数
y=ax(a>0,且a≠1)
0a>1
图　像
图像特征
在x轴　　　　,过定点　　　　?
当x逐渐增大时,图像逐渐下降
当x逐渐增大时,图像逐渐上升
续　表
性
质
定义域
　　?
值域
　　　　?
单调性
在R上是　　　?
在R上是　　　?
函数
值变
化规律
当x=0时,　　　　?
当x<0时,　　　　;?
当x>0时,　　　?
当x<0时,　　　　;?
当x>0时,　　　?
1.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图像过三个定点:(1,a),(0,1),.
2.指数函数y=ax与y=bx的图像特征,在第一象限内,图像越高,底数越大;在第二象限内,图像越高,底数越小.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)=π-4.
(　　)
(2)与()n都等于a(n∈N+).
(　　)
(3)(-1=(-1.
(　　)
(4)函数y=3·2x与y=2x+1都不是指数函数.(　　)
(5)若am>an,则m>n.
(　　)
2.(2020山东实验中学月考,3)已知m　　　　　　　　　　　　　　　　
A.m>n>0
B.0>m>n
C.n>m>0
D.0>n>m
3.(2020广东广州模拟,4)已知函数f(x)=x,则不等式f(a2-4)>f(3a)的解集为(　　)
A.(-4,1)
B.(-1,4)
C.(1,4)
D.(0,4)
4.(2020天津卷,6)设a=30.7,b=,c=log0.70.8,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.aB.bC.bD.c5.不等式<2-2x的解集是　　　　　　　　.?
关键能力学案突破　
考点
指数幂的化简与求值
【例1】(1)化简(x<0,y<0)的化简结果为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2x2y
B.2xy
C.4x2y
D.-2x2y
(2)=　　　(a>0,b>0).?
解题心得指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里面的,没有括号的先做指数运算.
(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.
(3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数的,先化成假分数.
(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.
(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数.
对点训练1化简下列各式:
(1)(a>0,b>0);
(2)-+(0.002-10(-2)-1+()0.
考点
指数函数的图像及其应用
(多考向探究)
考向1　指数函数型图像的判别
【例2】(2020安徽马鞍山二模,理7)已知函数f(x)=,则f(x)的图像大致为(　　)
解题心得1.画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图像,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),-1,.
2.已知函数解析式判断其图像一般是依据函数的单调性、奇偶性,再结合一些特殊点,判断所给的图像是否符合,若不符合则排除.
对点训练2函数f(x)=1-e|x|的图像大致是(　　)
考向2　指数函数图像的应用
【例3】(1)若函数y=|3x-1|的图像与直线y=m有两个不同交点,则实数m的取值范围是　　　　.?
(2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是　　　　.?
变式发散1若本例(1)的条件变为:方程3|x|-1=m有两个不同实根,则实数m的取值范围是　　　.?
变式发散2若本例(1)的条件变为:函数y=|3x-1|+m的图像不经过第二象限,则实数m的取值范围是　　　　.?
解题心得1.对于有关指数型函数图像的应用问题,一般是从最基本的指数函数的图像入手,通过平移、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
2.一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解.
对点训练3(1)(2020安徽蒙城月考,4)已知0A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
(2)函数f(x)=ax-b的图像如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是(　　)
A.a>1,b<0
B.a>1,b>0
C.00
D.0(3)若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图像有两个公共点,则a的取值范围是　　　　　　.?
考点
指数函数的性质及其应用
(多考向探究)
考向1　指数函数单调性的应用
【例4】(1)(2020湖南永州二模,理3)已知a=0.40.3,b=0.30.3,c=0.30.4,则(　　)
A.a>c>b
B.a>b>c
C.c>a>b
D.b>c>a
(2)若x0是方程x=的解,则x0属于区间(　　)
A.,1
B.
C.
D.0,
解题心得比较两个指数幂大小时,尽量化同底或同指,当底数相同,指数不同时,构造同一指数函数,然后比较大小;当指数相同,底数不同时,构造两个指数函数,利用图像比较大小;当底数、指数均不同时,可以利用中间值比较.
对点训练4(1)(2019全国1,文3,理3)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.aB.aC.cD.b(2)当x∈(-∞,-1]时,不等式(m2-m)·4x-2x<0恒成立,则实数m的取值范围是(　　)
A.(-2,1)
B.(-4,3)
C.(-3,4)
D.(-1,2)
考向2　解简单的指数方程或指数不等式
【例5】(1)不等式<2-2x的解集是　　　　.?
(2)设函数f(x)=若f(a)<1,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-3)
B.(1,+∞)
C.(-3,1)
D.(-∞,-3)∪(1,+∞)
解题心得解决简单的指数方程或不等式的问题主要利用指数函数的单调性:
(1)af(x)=ag(x)?f(x)=g(x);
(2)af(x)>ag(x),当a>1时,等价于f(x)>g(x);当0对点训练5(1)已知函数f(x)=a+的图像过点1,-,若-≤f(x)≤0,则实数x的取值范围是　　　　　　　　　　.?
(2)方程4x+|1-2x|=11的解为　　　　.?
考向3　指数型函数与函数性质的综合
【例6】(1)函数f(x)=a+(a,b∈R)是奇函数,且图像经过点ln
3,,则函数f(x)的值域为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(-1,1)
B.(-2,2)
C.(-3,3)
D.(-4,4)
(2)若不等式1+2x+4x·a>0在x∈(-∞,1]时恒成立,则实数a的取值范围是　　　　.?
解题心得指数函数的综合问题,主要涉及单调性、奇偶性、最值问题,应在有关性质的基础上,结合指数函数的性质进行解决,而指数函数性质的重点是单调性,注意利用单调性实现问题的转化.
对点训练6(1)函数y=的值域是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(-∞,4)
B.(0,+∞)
C.(0,4]
D.[4,+∞)
(2)函数y=x-x+1在x∈[-3,2]上的值域是　　　　.?
1.比较大小问题,常利用指数函数的单调性及中间值.
2.指数型函数、方程及不等式问题,可利用指数函数的图像、性质求解.
3.与指数型函数有关的恒成立问题:
(1)当a>1时,af(x)≥ag(x)恒成立?f(x)≥g(x)恒成立?f(x)-g(x)≥0恒成立?[f(x)-g(x)]min≥0.
(2)当0解决与指数函数有关的问题时,若底数不确定,应注意对a>1及02.5　指数与指数函数
必备知识·预案自诊
知识梳理
2.(1)③0　(2)①ar+s　②ars　③arbr
(3)确定　同样适用
3.上方　(0,1)　R　(0,+∞)　减函数
增函数　y=1　y>1　01
考点自诊
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×
2.A　因为指数函数y=x在R上递减,所以由mn>0,故选A.
3.B　因为函数f(x)=x在R上递减,所以由不等式f(a2-4)>f(3a),得a2-4<3a,解得-14.D　∵b==30.8>30.7=a>30=1,c=log0.70.85.{x|x>3或x<-1}　∵<2-2x,∴.
∵y=在R上递减,
∴x2-3>2x,解得x>3或x<-1,
故答案为{x|x>3或x<-1}.
关键能力·学案突破
例1(1)D　(2)　(1)=(16x8y4=[24·(-x)8·(-y)4
=·(-x·(-y
=2(-x)2(-y)=-2x2y.
(2)原式=.
对点训练1解(1)原式==ab-1=.
(2)原式=-++1=-+50-10(+2)+1=+10-10-20+1=-.
例2A　函数的定义域为{x|x≠0},故排除B,由函数的解析式易得f(x)=-f(-x),则函数为奇函数,故排除C,D,故选A.
对点训练2A　由题知f(x)=1-e|x|是偶函数,图像关于y轴对称,故排除B,D,又e|x|≥1,则f(x)≤0,故排除C,故选A.
例3(1)(0,1)　(2)[-1,1]　
(1)如图,函数y=|3x-1|的图像是由函数y=3x的图像向下平移一个单位长度后,再把位于x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方得到的,而直线y=m的图像是平行于x轴的一条直线.如图所示,由图像可得,如果曲线y=|3x-1|与直线y=m有两个公共点,则m的取值范围是(0,1).
(2)曲线|y|=2x+1与直线y=b的图像如图所示.
由图像可得,若|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则-1≤b≤1.故b的取值范围是[-1,1].
变式发散1(0,+∞)　作出函数y=3|x|-1与y=m的图像如图所示,数形结合可得m的取值范围是(0,+∞).
变式发散2(-∞,-1]　作出函数y=|3x-1|+m的图像如图所示.
由图像知m≤-1,即m∈(-∞,-1].
对点训练3(1)A　(2)D　(3)0,　(1)因为0(2)由图像知f(x)是减函数,所以00,所以b<0.故选D.
(3)①当0因为y=2a与y=|ax-1|的图像有两个交点,所以0<2a<1.所以0②当a>1时,y=|ax-1|的图像如下图,
而此时直线y=2a不可能与y=|ax-1|的图像有两个交点.
综上,a的取值范围是0,.
例4(1)B　(2)C　(1)因为y=0.3x是减函数,所以0.30.3>0.30.4,即c1,即a>b,则a>b>c,故选B.
(2)设f(x)=x-,f(0)=1>0,f=-,由幂函数y=递增,得f=->0;f=-,由指数函数y=x递减,得f=-<0.所以对点训练4(1)B　(2)D　(1)因为a=log20.2<0,b=20.2>20=1,又0(2)∵(m2-m)·4x-2x<0在区间(-∞,-1]上恒成立,∴m2-m<在区间(-∞,-1]上恒成立.∵y=在(-∞,-1]上递减,∴当x∈(-∞,-1]时,y=≥2,∴m2-m<2,解得-1例5(1){x|x>3,或x<-1}　(2)C　
(1)∵<2-2x,
∴<2x.
∵y=x在R上递减,
∴x2-3>2x,
解得x>3或x<-1,故不等式解集为{x|x>3,或x<-1}.
(2)当a<0时,不等式f(a)<1可化为a-7<1,则a<8,即a<-3,因为y=x在定义域内是减函数,所以a>-3,则-3对点训练5(1)0,　(2)x=log23　(1)∵f(x)=a+的图像过点1,-,∴a+=-,解得a=-,即f(x)=-.
∵-≤f(x)≤0,
∴-≤0,
∴,
∴2≤4x+1≤3,
即1≤4x≤2,∴0≤x≤.
(2)当x≥0时,原方程化为4x+2x-12=0,即(2x)2+2x-12=(2x-3)(2x+4)=0,解得2x=3,或2x=-4(舍).∴x=log23.
当x<0时,原方程化为4x-2x-10=0.令t=2x,则t2-t-10=0(0由求根公式得t=均不符合题意,故x<0时,方程无解.
例6(1)A　(2)-,+∞　(1)函数f(x)为奇函数,定义域是R,则f(0)=a+=0,又函数图像过点ln3,,则f(ln3)=a+.结合两式可得a=1,b=-2,则f(x)=1-.因为ex>0,所以ex+1>1,所以0<<2,所以-1<1-<1,即函数f(x)的值域为(-1,1).故选A.
(2)从已知不等式中分离出实数a,得a>-x+x.因为函数y=x和y=x在R上都是减函数,所以当x∈(-∞,1]时,x≥,x≥,所以x+x≥,从而得-x+x≤-.故实数a的取值范围为-,+∞.
对点训练6(1)C　(2),57　(1)设t=x2+2x-1,则y=t,且y=t为关于t的减函数.因为t=(x+1)2-2≥-2,所以0(2)因为x∈[-3,2],若令t=x,则t∈,8.
则y=t2-t+1=t-2+.
当t=时,ymin=;
当t=8时,ymax=57.
所以函数y的值域为,57.2.4　幂函数与二次函数
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.幂函数
(1)幂函数的定义:形如　　　　　(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是　　　　　　,α是　　　　.?
(2)五种幂函数的图像
(3)五种幂函数的性质
幂函数
y=x
y=x2
y=x3
y=
y=x-1
定义域
　　?
　　?
　　?
　　?
　　　　?
值域
　　?
　　?
　　?
　　?
　　　　?
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
　?
　　　　?
　　?
　　?
　　　　?
定点
(1,1),(0,0)
(1,1)
2.二次函数
(1)二次函数的三种形式
一般式:　　　　　　　　　　　　;?
顶点式:　　　　　　　　　　　,其中　　　　　为顶点坐标;?
零点式:　　　　　　　　　　　,其中　　　　　为二次函数的零点.?
(2)二次函数的图像和性质
函　数
y=ax2+bx+c(a≠0)
a>0
a<0
图　像
定义域
R
值　域
单调性
在上是减少的,在上是增加的
在上是增加的,在上是减少的
奇偶性
当b=0时,y为偶函数;当b≠0时,y既不是奇函数也不是偶函数
图像特点
①对称轴:　　　　　;②顶点:?
1.幂函数y=xα的图像在第一象限的两个重要结论:
(1)恒过点(1,1);
(2)当x∈(0,1)时,α越大,函数值越小;当x∈(1,+∞)时,α越大,函数值越大.
2.研究二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在区间[m,n](m3.设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)图像的对称轴为x=m,当a>0时,若|x1-m|>|x2-m|,则f(x1)>f(x2);
当a<0时,若|x1-m|>|x2-m|,则f(x1)4.一元二次方程f(x)=x2+px+q=0的实根分布:
(1)方程f(x)=0在区间(m,+∞)内有根的充要条件为f(m)<0或
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)函数y=-x2与y=2都是幂函数.
(　　)
(2)幂函数的图像经过第四象限,当α>0时,幂函数y=xα是定义域上的增函数.
(　　)
(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当x=-时,y取得最小值.
(　　)
(4)幂函数的图像不经过第四象限.
(　　)
(5)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值恒为负的充要条件是
(　　)
2.如图是①y=xa;②y=xb;③y=xc在第一象限的图像,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.a>b>c　　　　　
B.aC.bD.a3.(2020湖北荆州质检)若对任意x∈[a,a+2]均有(3x+a)3≤8x3,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-2]
B.(-∞,-1]
C.(-∞,0]
D.[0,+∞)
4.(2020河南新乡三模,理3)若抛物线x2=ay的准线与函数y=-x2-2x+1的图像相切,则a=　　　　.?
关键能力学案突破　
考点
幂函数的概念
【例1】(1)已知幂函数f(x)=k·xα的图像经过点,则k+α=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.1
C.
D.2
(2)幂函数f(x)=(m2-4m+4)在(0,+∞)上递增,则m的值为(　　)
A.1或3
B.1
C.3
D.2
解题心得1.幂函数y=xα的特点:①系数必须为1,②指数必须为常数.
2.幂函数中底数是自变量,指数是常数,而指数函数中底数是常数,指数是自变量.
对点训练1(1)在函数y=,y=2x2,y=x2+x,y=3x中,幂函数的个数为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.0
B.1
C.2
D.3
(2)已知幂函数f(x)=xα(α是常数)的图像过点2,,则函数f(x)的值域为(　　)
A.(-∞,0)
B.(0,+∞)
C.(-∞,0)∪(0,+∞)
D.(-∞,+∞)
考点
幂函数的图像
【例2】(1)幂函数y=f(x)的图像过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图像是(　　)
(2)已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)·(n∈Z)的图像关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减少的,则n的值为
(　　)
A.-3
B.1
C.2
D.1或2
解题心得探讨幂函数图像的分布规律,应先观察图像是否过原点,过原点时α>0,否则α≤0;若α>0,再观察第一象限的图像是上凸还是下凸,上凸时0<α<1,下凸时α>1;最后由x>1时,在第一象限内α的值按逆时针方向依次增大得出结论.
对点训练2(1)下面给出4个幂函数的图像,则图像与函数的大致对应的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.①y=;②y=x2;③y=;④y=x-1
B.①y=x3;②y=x2;③y=;④y=x-1
C.①y=x2;②y=x3;③y=;④y=x-1
D.①y=;②y=;③y=x2;④y=x-1
(2)(2020河北定州模拟,理4)已知点a,在幂函数f(x)=(a-1)xb的图像上,则函数f(x)是(　　)
A.奇函数
B.偶函数
C.定义域内的减函数
D.定义域内的增函数
考点
幂函数的性质及应用
【例3】(1)若(a+1<(3-2a,则实数a的取值范围是　　　　.?
(2)设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是　　　　.?
解题心得1.幂函数的主要性质
(1)当α>0时,幂函数的图像都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增;
(2)当α<0时,幂函数的图像都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.
2.比较两个幂的大小,如果指数相同而底数不同,此时利用幂函数的单调性来比较大小;如果底数相同而指数不同,此时利用指数函数的单调性来比较大小;如果两个幂指数、底数全不同,此时需要引入中间变量,常用的中间变量有0,1或由一个幂的底数和另一个幂的指数组成的幂.
对点训练3(1)已知幂函数f(x)=,若f(a+1)(2)已知a=,b=,c=2,则(　　)
A.bB.aC.bD.c考点
求二次函数的解析式
【例4】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.
解题心得确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选择规律如下:
变式发散1将本例中的“f(2)=-1,f(-1)=-1”改为“与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(-2,0)”,其他条件不变,试确定f(x)的解析式.
变式发散2将本例中条件变为:二次函数f(x)的图像经过点(4,3),在x轴上截得的线段长为2,且任意x∈R,都有f(2+x)=f(2-x),试确定f(x)的解析式.
考点
二次函数的图像与性质
(多考向探究)
考向1　二次函数的单调性及应用
【例5】(1)已知函数f(x)=-x2+2ax+3在区间(-∞,4)上递增,则实数a的取值范围是　　　　　.?
(2)已知函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是减少的,则实数a的取值范围是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.[-3,0)
B.(-∞,-3]
C.[-2,0]
D.[-3,0]
解题心得二次函数的单调性在其图像对称轴的两侧不同,因此,研究二次函数的单调性时要依据其图像的对称轴进行分类讨论.
对点训练5(1)已知函数f(x)=在R上为增函数,则a的取值范围是(　　)
A.(-∞,1]
B.[1,+∞)
C.(-∞,2]
D.[2,+∞)
(2)函数f(x)=x2-bx+c满足f(x+1)=f(1-x),且f(0)=3,则f(bx)与f(cx)的大小关系是(　　)
A.f(bx)≤f(cx)
B.f(bx)≥f(cx)
C.f(bx)>f(cx)
D.与x有关,不确定
考向2　二次函数的最值问题
【例6】(1)已知函数f(x)=(x+2
013)(x+2
015)(x+2
017)(x+2
019),x∈R,则函数f(x)的最小值是　　　.?
(2)若函数f(x)=ax2+2ax+1在[1,2]上有最大值4,则a的值为　　　　　.?
解题心得二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是考虑对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论,当确定了对称轴和区间的关系,就明确了函数的单调性,从而确定函数的最值.
对点训练6(1)已知y=f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=(x-1)2,若当x∈时,n≤f(x)≤m恒成立,则m-n的最小值为(　　)
A.
B.
C.
D.1
(2)如果函数f(x)=x2-ax-a在区间[0,2]上的最大值为1,那么实数a=　　　　.?
考向3　与二次函数有关的恒成立问题
【例7】设函数f(x)=mx2-mx-1,若对于x∈[1,3],f(x)<-m+4恒成立,则实数m的取值范围为(　　)
A.(-∞,0]
B.0,
C.(-∞,0)∪0,
D.-∞,
解题心得由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
(1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是:a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.
对点训练7已知函数f(x)=x2+2(a-2)x+4,若任意x∈[-3,1],f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围是　　　　　　.?
考向4　二次函数中的双变量问题
【例8】已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),对任意的x1∈[-1,2]都存在x0∈[-1,2],使得g(x1)=f(x0),则实数a的取值范围是　　　　　　　.?
解题心得已知函数f(x),g(x),若对任意的x1∈[a,b]都存在x0∈[c,d],使得g(x1)=f(x0)等价于g(x1)在[a,b]上的值域是f(x0)在[c,d]上的值域的子集.
对点训练8(2020河北唐山模拟)已知函数f(x)=-x2+ax-6,g(x)=x+4,若对任意x1∈(0,+∞),存在x2∈(-∞,-1],使f(x1)≤g(x2),则实数a的最大值为
(　　)
A.6
B.4
C.3
D.2
考点
二次函数、方程、不等式的关系
(多考向探究)
考向1　一元二次方程与一元二次不等式
【例9】关于x的不等式x2+px-2<0的解集是(q,1),则p+q的值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-2
B.-1
C.1
D.2
考向2　二次函数与一元二次方程
【例10】已知函数f(x)=3x2-2(m+3)x+m+3的值域为[0,+∞),则实数m的取值范围为(　　)
A.{0,-3}
B.[-3,0]
C.(-∞,-3]∪[0,+∞)
D.{0,3}
考向3　二次函数与一元二次不等式
【例11】已知f(x)是R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=|x2-3x|,则不等式f(x)≤2的解集为　　　　　　　　　　　　　.?
解题心得对于二次函数f(x)=ax2+bx+c>0(a≠0),f(x)>0的x的范围即为一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集;一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集的端点值即为一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
对点训练9(1)已知不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-1　　　　　　　　　　　　　　　　
A.x
B.x
C.{x|-2D.{x|x<-2,或x>1}
(2)若关于x的不等式x2-ax+1≤0的解集中只有一个整数,且该整数为1,则a的取值范围为(　　)
A.2,
B.2,
C.2,
D.2,
(3)不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集,则实数a的取值范围为(　　)
A.-2,
B.-2,
C.-2,
D.-2,∪{2}
1.幂函数y=xα(α∈R)的图像的特征:
当α>0时,图像过原点和点(1,1),在第一象限内从左到右图像逐渐上升;
当α<0时,图像过点(1,1),但不过原点,在第一象限内从左到右图像逐渐下降.
2.求二次函数的解析式时,应根据题目给出的条件,选择恰当的表示形式.
3.“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系,即
【例1】关于x的方程x2+(m-3)x+m=0满足下列条件,求m的取值范围.
(1)有两个正根;
(2)有两个负根;
(3)有一正一负根.
思考对于(1)(2)(3),都是判断两根的符号,那么如何利用韦达定理给出判断?
解(1)由题意得解得0故m的取值范围为(0,1].
(2)由题意得解得m≥9.
故m的取值范围为[9,+∞).
(3)由题意得解得m<0.
故m的取值范围为(-∞,0).
【例2】关于x的方程x2+(m-3)x+m=0满足下列条件,求m的取值范围.
(1)一个根大于1,一个根小于1;
(2)一个根在(-2,0)内,另一个根在(0,4)内;
(3)一个根小于2,一个根大于4;
(4)两个根都在(0,2)内.
思考对于此题,韦达定理适合吗?还有哪些方法可以解决此问题呢?能否利用数形结合的思想列出符合题意的不等式?
解令f(x)=x2+(m-3)x+m,
(1)若方程x2+(m-3)x+m=0的一个根大于1,一个根小于1,则f(1)=2m-2<0,解得m<1.
故m的取值范围为(-∞,1).
(2)若方程x2+(m-3)x+m=0的一个根在(-2,0)内,另一个根在(0,4)内,则解得-故m的取值范围为-,0.
(3)若方程x2+(m-3)x+m=0的一个根小于2,一个根大于4,则解得-5故m的取值范围为(-5,-1).
(4)若方程x2+(m-3)x+m=0的两个根都在(0,2)内,则解得故m的取值范围为,1.
【例3】将例2的问题一般化,即关于x的方程ax2+bx+c=0(a>0)满足下列条件,请画出方程对应函数的图像,列出满足条件的不等式.
(1)一个根在(m,n),另一根在(p,q);
(2)两个根都在(m,n).
解设f(x)=ax2+bx+c(a>0),满足题意的图像如图,则
(1)
(2)
归纳小结设函数f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)
分布情况
两根都在(m,n)内
两根有且仅有一根在(m,n)内
一根在(m,n)内,另一根在(p,q)内
大致图像(a>0)
得出的结论
f(m)f(n)<0
大致图像(a<0)
得出的结论
f(m)f(n)<0
2.4　幂函数与二次函数
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.(1)y=xα　自变量　常数　(3)R　R　R
[0,+∞)　{x|x∈R,且x≠0}　R　[0,+∞)　R　[0,+∞)　{y|y∈R,且y≠0}
增　x∈[0,+∞)时,增,x∈(-∞,0)时,减　增　增　x∈(0,+∞)时,减,x∈(-∞,0)时,减　
2.(1)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)　f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)　(h,k)　f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)　x1,x2　(2)①x=-
考点自诊
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√
2.D　根据幂函数的性质,可知选D.
3.B　因为y=x3在R上是增函数,由(3x+a)3≤8x3,得3x+a≤2x,即x≤-a,
所以对任意x∈[a,a+2],x≤-a恒成立.所以a+2≤-a,因此a≤-1.
4.-8　抛物线x2=ay的准线方程为y=-,抛物线y=-x2-2x+1的顶点为(-1,2),则-=2,故a=-8.
关键能力·学案突破
例1(1)C　(2)B　(1)由幂函数的定义知k=1.又因为f=,所以α=,解得α=,从而k+α=,故选C.
(2)由题意,可知解得m=1.故选B.
对点训练1(1)B　(2)C　(1)显然,根据幂函数定义可知,只有y==x-2是幂函数.故选B.
(2)由题意得=2α,∴α=-1.
∴f(x)=x-1=≠0,∴f(x)的值域为(-∞,0)∪(0,+∞).故选C.
例2(1)C　(2)B　(1)令f(x)=xα,则4α=2,∴α=,∴f(x)=.所以其图像为选项C.
(2)由于f(x)为幂函数,且在(0,+∞)上是减少的,所以解得n=1,所以f(x)=x-2,f(-x)=f(x),即f(x)关于y轴对称.故选B.
对点训练2(1)B　(2)A　(1)y=x2为偶函数,对应②;y=的定义域为x≥0,对应③;y=x-1为奇函数,且图像与坐标轴不相交,对应④;y=x3与y=均为奇函数,在第一象限内,y=x3的图像下凸,y=的图像上凸,故①对应y=x3.故选B.
(2)∵函数f(x)=(a-1)xb是幂函数,∴a-1=1,解得a=2.又点a,在该函数的图像上,∴2b=,∴b=-1,∴f(x)=x-1,∴函数f(x)是定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)的奇函数,且在每一个区间上递减.故选A.
例3(1)-1,　(2)a>c>b　(1)易知函数y=的定义域为[0,+∞),在定义域内为增函数,所以
解得-1≤a<.
(2)∵y=(x≥0)为增加的,∴a>c.
∵y=x(x∈R)为减少的,∴c>b.∴a>c>b.
对点训练3(1)(3,5)　(2)A　(1)∵f(x)=(x>0)为减函数,又f(a+1)∴解得
∴3(2)因为a=,c=2,b=,且函数y=在[0,+∞)上递增,所以,即b例4解(方法1)(利用一般式)
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由题意得
解得
∴所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
(方法2)(利用顶点式)
设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).
∵f(2)=f(-1),∴抛物线的对称轴为x=.
∴m=.又根据题意函数有最大值8,∴n=8.
∴y=f(x)=ax-2+8.
∵f(2)=-1,∴a2-2+8=-1,解得a=-4,
∴f(x)=-4x-2+8=-4x2+4x+7.
(方法3)(利用两根式)
由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即f(x)=ax2-ax-2a-1.
又函数有最大值f(x)max=8,即=8.
解得a=-4或a=0(舍去).
∴所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
变式发散1解设f(x)=ax(x+2).因为函数f(x)的最大值为8,
所以a<0,且f(x)max=f(-1)=-a=8,所以a=-8,
所以f(x)=-8x(x+2)=-8x2-16x.
变式发散2解因为f(2-x)=f(2+x)对x∈R恒成立,所以f(x)的对称轴为直线x=2.
又f(x)的图像在x轴上截得的线段长为2,所以f(x)=0的两根为1和3.
设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0).
又f(x)的图像过点(4,3),所以3a=3,所以a=1.
所以f(x)的解析式为f(x)=(x-1)(x-3),即f(x)=x2-4x+3.
例5(1)[4,+∞)　(2)D　(1)f(x)=-x2+2ax+3对称轴方程为x=a,
f(x)在区间(-∞,4)上递增,所以a≥4.故a的取值范围为[4,+∞).
(2)当a=0时,f(x)=-3x+1在[-1,+∞)是减少的,满足题意.
当a≠0时,f(x)的对称轴为x=,由f(x)在[-1,+∞)上是减少的知解得-3≤a<0.
综上,a的取值范围为[-3,0].
对点训练5(1)D　(2)A　(1)若函数f(x)在R上为增函数,则在两段上都应递增,当x<1时,f(x)=-x2+ax-a2+1,对称轴为x=,所以≥1,且在x=1处,二次函数对应的值应小于等于对数函数的值,即a-a2≤0,所以解得所以a≥2.故选D.
(2)由题意知,函数f(x)的图像关于直线x=1对称,∴b=2.又f(0)=3,∴c=3,则bx=2x,cx=3x.易知f(x)在区间(-∞,1)上递减,在区间[1,+∞)上递增.若x≥0,则3x≥2x≥1,∴f(3x)≥f(2x);若x<0,则3x<2x<1,∴f(3x)>f(2x).∴f(3x)≥f(2x),即f(bx)≤f(cx).故选A.
例6(1)-16　(2)　(1)令x+2016=t,则f(t-2016)=(t-3)(t-1)(t+1)(t+3)=t4-10t2+9=(t2-5)2-16,当t2=5时,有最小值-16,故f(x)的最小值是-16.
(2)对函数f(x)=a(x+1)2+1-a,
①当a=0时,f(x)在区间[1,2]上的值为常数1,不符合题意,舍去;
②当a>0时,f(x)在区间[1,2]上递增,最大值为f(2)=8a+1=4,解得a=;
③当a<0时,f(x)在区间[1,2]上递减,最大值为f(1)=3a+1=4,解得a=1,不符合题意.综上可知,a的值为.
对点训练6(1)D　(2)1　(1)设x<0,则-x>0.有f(-x)=(-x-1)2=(x+1)2.又∵f(-x)=f(x),∴当x<0时,f(x)=(x+1)2,
∴该函数在上的最大值为1,最小值为0,
依题意,n≤f(x)≤m恒成立,则n≤0,m≥1,即m-n≥1,故m-n的最小值为1.
(2)因为函数f(x)=x2-ax-a的图像为开口向上的抛物线,所以函数的最大值在区间的端点取得.
因为f(0)=-a,f(2)=4-3a,所以解得a=1.
例7D　由题意,f(x)<-m+4对于x∈[1,3]恒成立,即m(x2-x+1)<5对于x∈[1,3]恒成立.∵当x∈[1,3]时,x2-x+1∈[1,7],∴不等式f(x)<-m+4等价于m<.∵当x=3时,取最小值,∴若要不等式m<对于x∈[1,3]恒成立,则必须满足m<,因此,实数m的取值范围为-∞,,故选D.
对点训练7-,4　因为f(x)=x2+2(a-2)x+4,其图像的对称轴为x=-(a-2),任意x∈[-3,1],f(x)>0恒成立,所以讨论对称轴与区间[-3,1]的位置关系得解得a∈?或1≤a<4或-例80,　对任意的x1∈[-1,2]都存在x0∈[-1,2],使得g(x1)=f(x0)?在[-1,2]上g(x)的值域?f(x)的值域,
g(x)=ax+2(a>0)在[-1,2]上的值域为[2-a,2+2a],
因为f(x)=x2-2x在[-1,2]的最小值为f(1)=-1,最大值为f(-1)=3,即f(x)在[-1,2]的值域为[-1,3].
所以解得a≤.
故实数a的取值范围是0,.
对点训练8A　问题可转化为在给定区间上f(x)的值域是g(x)值域的子集,即f(x)max≤g(x)max.
f(x)=-x2+ax-6=-x-2+-6,
当x=≤0,即a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递减,f(x)当x=>0,即a>0时,f(x)max=f=-6.
而g(x)=x+4在(-∞,-1]上递增,故g(x)max=g(-1)=3.
故
解得a≤6,所以a的最大值是6,故选A.
例9B　依题意,得q,1是方程x2+px-2=0的两根,q+1=-p,即p+q=-1,故选B.
例10A　因为函数f(x)的值域为[0,+∞),所以f(x)=0有两个相等的实数根,所以Δ=[-2(m+3)]2-4×3×(m+3)=0,解得m=-3或m=0,所以实数m的取值范围为{0,-3},故选A.
例11-,-2∪[-1,1]∪2,　当x≥0时,f(x)=|x2-3x|,当0≤x≤3时,f(x)=-x2+3x,
f(x)≤2即-x2+3x≤2,解得x≤1或x≥2,∴0≤x≤1或2≤x≤3.
当x>3时,f(x)=x2-3x,f(x)≤2即x2-3x≤2,解得≤x≤,∴3∴当x≥0时,f(x)≤2解集为0≤x≤1或2≤x≤.
∵f(x)是R上的偶函数,∴当x<0时,f(x)≤2解集为-≤x≤-2或-1≤x<0.
∴f(x)≤2的解集为-,-2∪[-1,1]∪2,.
对点训练9(1)A　(2)A　(3)B　(1)由题意,知x=-1,x=2是方程ax2+bx+2=0的根,由根与系数的关系,
得解得
∴不等式2x2+bx+a<0,即2x2+x-1<0.解得-1(2)令f(x)=x2-ax+1,则f(0)=1>0,由题意可得解得2≤a<.
(3)当a=2时,不等式变为4x-1≥0,解得x≥,不符合题意;当a=-2时,不等式的解集为空集;当a≠±2时,不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集,等价于二次函数y=(a2-4)x2+(a+2)x-1的图像在x轴的下方,所以解得-2必备知识预案自诊　
知识梳理
1.函数的奇偶性
奇偶性
定　　义
图像特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有　　　　　　　,那么函数f(x)是偶函数?
关于　　　对称?
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有　　　　　　　,那么函数f(x)是奇函数?
关于　　　对称?
2.函数的周期性
(1)周期函数:T为函数f(x)的一个周期,则需满足条件:①T≠0;②　　　　　　　　　对定义域内的任意x都成立.?
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个　　　　　　　　,那么这个　　　　　　　　就叫作f(x)的最小正周期.?
(3)周期不唯一:若T是函数y=f(x)(x∈R)的一个周期,则nT(n∈Z,且n≠0)也是函数f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).
1.函数奇偶性的五个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在x=0处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.
(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).
(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
(4)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.
(5)只有f(x)=0(定义域是关于原点对称的非空数集)既是奇函数又是偶函数.
2.周期性的三个常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x(a,b为非零常数):
(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a;
(2)若f(x+a)=±,则T=2a;
(3)若f(x+a)=f(x-b),则T=a+b.
3.对称性的四个常用结论
(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称.
(2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图像关于直线x=a对称.
(3)若函数y=f(x+b)是奇函数,即f(-x+b)+f(x+b)=0,则函数y=f(x)的图像关于点(b,0)中心对称;
(4)若y=f(x)对任意的x∈R,都有f(a-x)=f(b+x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=对称;都有f(a-x)=b-f(x),即f(a-x)+f(x)=b,则函数y=f(x)的图像关于点中心对称.
(5)已知函数f(x)图像的对称轴为x=m,若f(x)在区间(m,+∞)上递增,则当|x1-m|>|x2-m|时,f(x1)>f(x2);若f(x)在区间(m,+∞)上递减,则当|x1-m|>|x2-m|时,f(x1)考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)函数y=x2在区间(0,+∞)内是偶函数.
(　　)
(2)偶函数的图像不一定过原点,奇函数的图像一定过原点.
(　　)
(3)若函数y=f(x-2)是偶函数,则函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称.
(　　)
(4)如果函数f(x),g(x)是定义域相同的偶函数,那么F(x)=f(x)+g(x)是偶函数.
(　　)
(5)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,若f(x)在(-∞,0)上递减,则f(x)在(0,+∞)上递增.
(　　)
(6)若T为y=f(x)的一个周期,则nT(n∈Z)是函数f(x)的周期.
(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
2.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=aln
x+a.若f(-e)=4,则f(0)+f(1)=(　　)
A.-1
B.0
C.-2
D.1
3.(2019全国2,文6)设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1,则当x<0时,f(x)=(　　)
A.e-x-1
B.e-x+1
C.-e-x-1
D.-e-x+1
4.(2020全国2,文10)设函数f(x)=x3-,则f(x)
(　　)
A.是奇函数,且在(0,+∞)递增
B.是奇函数,且在(0,+∞)递减
C.是偶函数,且在(0,+∞)递增
D.是偶函数,且在(0,+∞)递减
5.(2020江苏,7)已知y=f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=,则f(-8)的值是　　　　.?
关键能力学案突破　
考点
函数奇偶性的判断
【例1】判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=xlg(x+);
(2)f(x)=
(3)f(x)=.
思考判断函数的奇偶性要注意什么?
解题心得判断函数的奇偶性要注意两点
(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提.
(2)判断关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.
对点训练1(1)(2020河南实验中学4月模拟,3)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.f(x)·g(x)是偶函数
B.|f(x)|·g(x)是奇函数
C.f(x)·|g(x)|是奇函数
D.|f(x)·g(x)|是奇函数
(2)在下列函数中,与函数f(x)=2x-1-的奇偶性、单调性均相同的是(　　)
A.y=ex
B.y=ln(x+)
C.y=x2
D.y=tan
x
考点
函数奇偶性的应用
【例2】(1)设f(x)-x2=g(x),x∈R,若函数f(x)为偶函数,则g(x)的解析式可以为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.g(x)=x3
B.g(x)=cos
x
C.g(x)=1+x
D.g(x)=xex
(2)已知函数y=f(x+1)-2是奇函数,g(x)=,且f(x)与g(x)的图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),则x1+x2+…+x6+y1+y2+…+y6=　　　　　.?
(3)(2020河北武邑中学三模,5)已知f(x)是定义在[2b,1-b]上的偶函数,且在[2b,0]上递增,则f(x-1)≤f(2x)的解集为(　　)
A.-1,
B.-1,
C.[-1,1]
D.,1
思考函数的奇偶性有哪几个方面的应用?
解题心得1.函数奇偶性的应用主要有:利用函数的奇偶性求函数解析式;利用函数的奇偶性研究函数的单调性;利用函数的奇偶性解不等式;利用函数的奇偶性求最值等.
2.已知函数的奇偶性求函数的解析式,往往要抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式,或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程,从而可得f(x)的解析式.
对点训练2(1)已知f(x)是定义在R上的奇函数,若x>0时,f(x)=xln
x,则x<0时,f(x)=(　　)
A.xln
x
B.xln(-x)
C.-xln
x
D.-xln(-x)
(2)已知函数f(x)=a-(a∈R)为奇函数,则f(1)=(　　)
A.-
B.
C.
D.
(3)(2020湖南师大附中一模,理13)已知函数f(x)=ax-log2(2x+1)+cos
x(a∈R)为偶函数,则a=　　　.?
考点
函数的周期性的应用
【例3】(1)(2018全国2,理11)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=(　　)
A.-50
B.0
C.2
D.50
(2)(2020江西名校大联考,理13)已知函数f(x)=则f(5+log26)的值为　　　　.?
解题心得利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化为已知区间上的相应问题,再进行求解.
对点训练3(1)(2020陕西西安中学八模,理8)已知函数f(x)定义域为R且满足f(-x)=-f(x),f(x)=f(2-x),若f(1)=4,则f(6)+f(7)=(　　)
A.-8
B.-4
C.0
D.4
(2)(2020陕西二模,文6)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0019)=(　　)
A.-2
B.2
C.4
D.6
考点
函数的对称性
【例4】已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=与y=f(x)的图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则(xi+yi)=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.0
B.m
C.2m
D.4m
思考你知道的函数的对称性的结论有哪些?
解题心得函数对称性的判断与应用
(1)对定义域的要求:无论是轴对称还是中心对称,均要求函数的定义域要关于对称轴或对称中心对称.
(2)轴对称的等价描述:①f(a-x)=f(a+x)?f(x)的图像关于直线x=a轴对称(当a=0时,恰好就是偶函数);②f(a-x)=f(b+x)?f(x)的图像关于直线x=轴对称;③f(x+a)是偶函数,则f(x+a)=f(-x+a),进而可得到f(x)的图像关于直线x=a轴对称.
(3)中心对称的等价描述:①f(a-x)=-f(a+x)?f(x)的图像关于点(a,0)中心对称(当a=0时,恰好就是奇函数);②f(a-x)=-f(b+x)?f(x)的图像关于点,0中心对称;③f(x+a)是奇函数,则f(x+a)=-f(-x+a),进而可得到f(x)的图像关于点(a,0)中心对称.
对点训练4已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上递增.若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=　　　　.?
考点
函数性质的综合应用
【例5】(1)(2020江西名校大联考,理9)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(log24.1),b=g(-20.2),c=g(π),则a,b,c的大小关系为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.aB.cC.bD.b(2)(2020安徽合肥一中模拟,理5)已知函数f(x)的图像为[-1,1]上连续不断的曲线,且2
019f(-x)=,f(x)在[0,1]上递减.若flomA.(-1,2)
B.,2
C.,2
D.(0,2)
(3)(2020山东潍坊二模,5)设函数f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-cos
x,则不等式f(2x-1)+f(x-2)>0的解集为(　　)
A.(-∞,1)
B.-∞,
C.,+∞
D.(1,+∞)
思考解有关函数的单调性、奇偶性、周期性综合问题的策略有哪些?
解题心得函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略
(1)函数单调性与奇偶性结合.注意奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反.
(2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行转换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解.
(3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,再利用奇偶性和单调性求解.
对点训练5(1)(2020河南开封三模,文12,理11)若函数f(x)对任意a,b∈R,同时满足当a+b=0时有f(a)+f(b)=0;当a+b>0时有f(a)+f(b)>0,则称f(x)为Ω函数.下列函数:①f(x)=x-sin
x,②f(x)=ex-e-x,③f(x)=ex+e-x,④f(x)=是Ω函数的为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
(2)(2020河北张家口二模,文6,理6)已知函数f(x)是偶函数,f(x+1)为奇函数,并且当x∈[1,2]时,f(x)=1-|x-2|,则下列选项正确的是(　　)
A.f(x)在(-3,-2)上为减少的,且f(x)>0
B.f(x)在(-3,-2)上为减少的,且f(x)<0
C.f(x)在(-3,-2)上为增加的,且f(x)>0
D.f(x)在(-3,-2)上为增加的,且f(x)<0
1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个关键点:(1)“定义域关于原点对称”是“函数f(x)为奇函数或偶函数”的必要不充分条件;(2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.
2.奇函数、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性,有时需要将函数进行化简,或应用定义的等价形式:f(-x)=±f(x)?f(-x)?f(x)=0?=±1(f(x)≠0).
3.函数的奇偶性、对称性、周期性,知二断一.特别注意“奇函数若在x=0处有定义,则一定有f(0)=0;偶函数一定有f(|x|)=f(x)”在解题中的应用.
4.求函数周期的方法
1.判断函数的奇偶性不可忽视函数的定义域.
2.函数f(x)是奇函数,必须满足对定义域内的每一个x,都有f(-x)=-f(x),而不能说存在x0,使f(-x0)=-f(x0).同样偶函数也是如此.
2.3　函数的奇偶性与周期性
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.f(-x)=f(x)　y轴　f(-x)=-f(x)
原点
2.(1)②f(x+T)=f(x)　(2)最小的正数　最小的正数
考点自诊
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√　(6)×
2.C　由题意f(-e)=-f(e)=-2a=4,可得a=-2.所以当x>0时,f(x)=-2lnx-2,所以f(1)=-2.又因为f(0)=0,所以f(0)+f(1)=-2.故选C.
3.D　∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).
当x<0时,-x>0,f(-x)=e-x-1=-f(x),即f(x)=-e-x+1.故选D.
4.A　由题意可知,f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
∵f(x)=x3-,
∴f(-x)=(-x)3-=-=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
易知f(x)=x3-在区间(0,+∞)内递增.
故选A.
5.-4　∵y=f(x)是奇函数,
∴f(-8)=-f(8)=-=-4.
关键能力·学案突破
例1解(1)∵>|x|≥0,∴函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.又f(-x)=(-x)lg(-x+)
=-xlg(-x)
=xlg(+x)=f(x),
即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.
(2)由题意知函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称.
当x>0时,-x<0,此时f(x)=-x2+2x+1,f(-x)=x2-2x-1=-f(x);
当x<0时,-x>0,此时f(x)=x2+2x-1,f(-x)=-x2-2x+1=-f(x).
故对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),均有f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.
(3)∵
∴-2≤x≤2,且x≠0.
∴函数的定义域关于原点对称.
∴f(x)=.
又f(-x)==-,
∴f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.
对点训练1(1)C　(2)B　(1)∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,
∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).
f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x),故函数f(x)·g(x)是奇函数,故A错误;
|f(-x)|·g(-x)=|f(x)|·g(x),故函数|f(x)|·g(x)是偶函数,故B错误;
f(-x)·|g(-x)|=-f(x)·|g(x)|,故函数f(x)·|g(x)|是奇函数,故C正确;
|f(-x)·g(-x)|=|f(x)·g(x)|,故函数|f(x)·g(x)|为偶函数,故D错误.故选C.
(2)由题意,f(-x)=2-x-1--2x-1=-f(x),所以f(x)为R上的奇函数.因为2x-1和-都为R上的增函数,所以f(x)=2x-1-为R上的增函数.对于A,y=ex不是奇函数,排除A;对于B,由f(-x)=ln(-x+)=ln=-ln(x+)=-f(x),所以f(x)为奇函数,由复合函数的单调性知y=ln(x+)为增函数,故B正确;对于C,y=x2不是奇函数,排除C;对于D,y=tanx在R上不是单调函数,排除D.故选B.
例2(1)B　(2)18　(3)B　(1)因为f(x)=x2+g(x),且函数f(x)为偶函数,所以有(-x)2+g(-x)=x2+g(x),即g(-x)=g(x),所以g(x)为偶函数,由选项可知,只有选项B中的函数为偶函数,故选B.
(2)因为函数y=f(x+1)-2为奇函数,所以函数f(x)的图像关于点(1,2)对称,g(x)=+2关于点(1,2)对称,所以两个函数图像的交点也关于点(1,2)对称,则(x1+x2+…+x6)+(y1+y2+…+y6)=2×3+4×3=18.故答案为18.
(3)∵f(x)是定义在[2b,1-b]上的偶函数,∴2b+1-b=0,∴b=-1.
∵f(x)在[-2,0]上递增,
∴f(x)在[0,2]上递减.
由f(x-1)≤f(2x)可得|x-1|≥|2x|,即(x-1)2≥4x2,且-2≤x-1≤2,-2≤2x≤2,求得-1≤x≤,故选B.
对点训练2(1)B　(2)B　(3)　(1)设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-xln(-x).又因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(-x)=-f(x),所以f(x)=xln(-x).故选B.
(2)由题意得f(0)=0,∴a-=0,
∴a=1.经检验,当a=1时,函数f(x)是奇函数.
所以f(1)=1-.故选B.
(3)f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x),即a(-x)-log2(2-x+1)+cos(-x)=ax-log2(2x+1)+cosx,变形可得2ax=log2(2x+1)-log2(2-x+1)=x,解得a=.
例3(1)C　(2)12　(1)∵f(-x)=f(2+x)=-f(x),∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x).
∴f(x)的周期为4.∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0.∵f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0).∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.
∴f(1)+f(2)+…+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.
(2)由题意当x>4时,函数f(x)=f(x-1),所以f(x)在(4,+∞)上的周期为1.因为2对点训练3(1)B　(2)A　(1)由f(-x)=-f(x),得f(x)为奇函数,所以f(0)=0.由f(x)=f(2-x)=-f(x-2),则f(x-2)=-f(x-4)=-f(x),所以f(x)的周期为4.f(6)+f(7)=f(2)+f(-1)=f(0)-f(1)=0-4=-4.故选B.
(2)因为f(x)的周期为2,所以f-=f-,f(2019)=f(1).
因为f(x)为奇函数,所以f-=-f=-2,f(-1)=-f(1).又因为f(-1)=f(1),
所以f(-1)=f(1)=0.
故f-+f(2019)=-2.
故选A.
例4B　由f(-x)=2-f(x)得f(-x)+f(x)=2,即函数f(x)的图像关于点(0,1)中心对称.又y==1+的图像也关于点(0,1)中心对称,∴x1+x2+…+xm=0,y1+y2+…+ym=m,∴(xi+yi)=m.
对点训练4-8　∵f(x)是奇函数,∴f(x-4)=-f(x)可化为f(x)=-f(x-4)=f(4-x),即f(x)的图像关于直线x=2对称,且f(0)=0.由f(x-4)=-f(x)可知函数周期为8.不妨设x1例5(1)C　(2)C　(3)D　(1)因为奇函数f(x)在R上是增函数,所以当x>0时,f(x)>0.对任意的x1,x2∈(0,+∞)且x1(2)由2019f(-x)=,得2019f(-x)·2019f(x)=1,
即2019f(-x)+f(x)=1,即f(x)+f(-x)=0,故函数f(x)为奇函数,则f(x)在[-1,1]上递减.
所以
解得≤m<2.故选C.
(3)当x≥0时,f'(x)=ex+sinx>0,则f(x)在[0,+∞)上递增.f(x)为奇函数,则f(x)在区间(-∞,0]上也递增,故f(x)为R上的增函数.由f(2x-1)+f(x-2)>0,可得f(2x-1)>-f(x-2),即f(2x-1)>f(2-x),又因为f(x)在R上为增函数,所以2x-1>2-x,解得x>1,故选D.
对点训练5(1)A　(2)C　(1)当a+b=0时有f(a)+f(b)=0,即f(-a)=-f(a),则f(x)为R上的奇函数;当a+b>0时有f(a)+f(b)>0,即当a>-b时有f(a)>-f(b)=f(-b),可得f(x)为R上的增函数.则函数f(x)为R上的奇函数,且为增函数.
由①f(x)=x-sinx,定义域为R,f(-x)=-x-sin(-x)=-x+sinx=-f(x),即有f(x)为奇函数;
又f'(x)=1-cosx≥0,可得f(x)为R上的增函数,故①是Ω函数.
②f(x)=ex-e-x,定义域为R,f(-x)=e-x-ex=-f(x),即有f(x)为奇函数,
又f'(x)=ex+e-x>0,可得f(x)为R上的增函数,故②是Ω函数.
③f(x)=ex+e-x,定义域为R,f(-x)=e-x+ex=f(x),可得f(x)为偶函数,故③不是Ω函数.
④f(x)=定义域为R,当x≠0时,f(-x)==-f(x),可得f(x)为奇函数,
又f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上递增,但在R上不为增函数,比如f(-1)>f(1),故④不是Ω函数.故选A.
(2)根据题意,函数f(x+1)为奇函数,则有f(x+1)=-f(-x+1),
即f(x+2)=-f(-x).
又由f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x),
则有f(x+2)=-f(x),
即有f(x+4)=f(x).
当x∈[1,2]时,f(x)=1-|x-2|=x-1,
若x∈(-3,-2),则x+4∈(1,2),
则f(x+4)=(x+4)-1=x+3,
则当x∈(-3,-2)时,有f(x)=x+3,则f(x)为增加的且f(x)>f(-3)=0.
故f(x)在(-3,-2)上为增加的,且f(x)>0.故选C.2.2　函数的单调性与最值
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2
当x1当x1图像
描述
自左向右看图像是　　　　　?
自左向右看图像是　　　　　?
(2)单调区间的定义
如果函数y=f(x)在区间D上是　　　　　　　或　　　　　　,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,　　　　　叫作函数y=f(x)的单调区间.?
2.函数的最值
前提
设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意x∈I,都有　　　　　;?
(2)存在x0∈I,使得　　　　　　?
(3)对于任意x∈I,都有　　　　　;?
(4)存在x0∈I,使得　　　　?
结论
M为最大值
M为最小值
1.函数单调性的常用结论:
f(x)在区间D上是增函数f(x)在区间D上是减函数定义法x1f(x2)图像法从左到右函数图像上升从左到右函数图像下降导数法导数大于零导数小于零运算法增加的+增加的减少的+减少的复合函
数法内外层单调性相同内外层单调性相反
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)函数y=在(-∞,0)∪(0,+∞)内是减少的.
(　　)
(2)函数f(x)=log5(2x+1)的递增区间是(0,+∞).(　　)
(3)函数y=f(x)在[a,+∞)上是增加的,则函数的递增区间是[a,+∞).
(　　)
(4)设任意x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,那么f(x)在[a,b]上是增加的?>0.
(　　)
(5)所有的单调函数都有最值.
(　　)
2.(2020广东潮州检测)下列函数在区间(0,1)上为增加的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=-x3+1
B.y=cos
x
C.y=lox
D.y=x-
3.(2020广东佛山一中月考)已知a>0且a≠1,函数f(x)=在R上递增,那么实数a的取值范围是(　　)
A.(1,+∞)
B.(0,1)
C.(1,2)
D.(1,2]
4.已知函数f(x)=,其定义域是[-8,-4),则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)有最大值,无最小值
B.f(x)有最大值,最小值
C.f(x)有最大值,无最小值
D.f(x)有最大值2,最小值
5.(2020湖南三湘名校十月联考,14)已知函数f(x)的图像关于y轴对称,当x≥0时,f(x)递增,则不等式f(2x)>f(1-x)的解集为　　　　.?
关键能力学案突破　
考点
证明或判断函数的单调性
【例1】讨论函数f(x)=x+(a>0)在(0,+∞)内的单调性.
思考判断函数单调性的基本方法有哪些?
解题心得1.判断函数单调性的四种方法
(1)定义法;
(2)图像法;
(3)利用已知函数的单调性;
(4)导数法.
2.证明函数在某区间上的单调性有两种方法
(1)定义法:基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断;
(2)可导函数可以利用导数证明.
3.复合函数单调性的判断方法
复合函数y=f(g(x))的单调性,应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.
对点训练1判断并证明函数f(x)=(a≠0)在(-1,1)上的单调性.
考点
求函数的单调区间
【例2】(1)函数f(x)=|x2-3x+2|的递增区间是
(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.和[2,+∞)
C.(-∞,1]和
D.和[2,+∞)
(2)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的递增区间是(　　)
A.(-∞,-2)
B.(-∞,1)
C.(1,+∞)
D.(4,+∞)
(3)函数f(x)=(3-x2)ex的递增区间是　　　　　;递减区间是　　　　　.?
思考求函数的单调区间有哪些方法?
解题心得求函数的单调区间与确定函数单调性的方法一致,常用以下方法:
(1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间.
(2)定义法:先求定义域,再利用单调性的定义.
(3)图像法:如果f(x)是以图像形式给出的,或者f(x)的图像易作出,可由图像的直观性写出它的单调区间.
(4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间.
对点训练2(1)函数f(x)=log2(x2-3x-4)的递减区间为(　　)
A.(-∞,-1)
B.
C.
D.(4,+∞)
(2)已知函数f(x)=ln(x-2)+ln(6-x),则(　　)
A.f(x)在(2,6)上递增
B.f(x)在(2,6)上的最大值为2ln
2
C.f(x)在(2,6)上递减
D.y=f(x)的图像关于点(4,0)对称
(3)已知函数y=|x|(1-x)在区间A上递增,则区间A是(　　)
A.(-∞,0)
B.
C.[0,+∞)
D.
考点
函数单调性的应用
(多考向探究)
考向1　利用函数的单调性求函数的值域或最大(小)值
【例3】(1)(2020河南驻马店二模,文13)函数f(x)=9x2+的最小值为　　　.?
　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)函数y=,x∈(m,n]的最小值为0,则m的取值范围是(　　)
A.(1,2)
B.(-1,2)
C.[1,2)
D.[-1,2)
解题心得函数最大(小)值的几何意义
函数的最大值对应图像最高点的纵坐标,函数的最小值对应图像最低点的纵坐标.利用单调性求解最大(小)值问题,应先确定函数的单调性,再由单调性求解.
　　　　　　　　　　　　　　　　
对点训练3(2020辽宁大连模拟,文10)在实数的原有运算法则中,我们补充新运算“?”,定义如下,当a≥b时,a?b=a;当aA.-1
B.1
C.12
D.6
考向2　利用函数的单调性比较大小
【例4】(1)(2020全国1,理12)若2a+log2a=4b+2log4b,则(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.a>2b
B.a<2b
C.a>b2
D.a(2)(其中e为自然常数)的大小关系是(　　)
A.
B.
C.
D.
解题心得对已知函数解析式比较函数值大小的问题,应先将自变量转化到同一个单调区间内,再利用函数的单调性解决;对没有给出函数解析式的比较大小问题,需要先构造函数,再求函数的单调区间,最后利用函数的单调性比较大小.
对点训练4(2020天津和平一模,7)函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意两个正数x1,x2(x1　　　　　　　　　　　　　　　　
A.c>b>a
B.b>c>a
C.a>b>c
D.a>c>b
考向3　利用函数的单调性解不等式
【例5】(2020新高考全国1,8)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)上递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.[-1,1]∪[3,+∞)
B.[-3,-1]∪[0,1]
C.[-1,0]∪[1,+∞)
D.[-1,0]∪[1,3]
解题心得求解含“f”的不等式,应先将不等式转化为f(m)对点训练5已知函数f(x)为(0,+∞)上是增加的,若f(a2-a)>f(a+3),则实数a的取值范围为　　　　.?
考向4　利用函数的单调性求参数的值(或取值范围)
【例6】(2020山西太原三模,文10)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上递增.若实数a满足f(log2a)+f(loa)≤2f(1),则a的取值范围是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.,1
B.[1,2]
C.,2
D.(0,2]
解题心得利用单调性求参数时,应根据问题的具体情况,确定函数的单调区间,列出与参数有关的不等式,或把参数分离出来求解.
对点训练6已知函数f(x)=lo(x2-ax+3a)在[1,+∞)上递减,则实数a的取值范围是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(-∞,2]
B.[2,+∞)
C.-,2
D.-,2
1.函数单调性判定的常用方法:图像法、定义法、导数法、利用已知函数的单调性.
2.求函数值域或最值的常用方法:
(1)先确定函数的单调性,再由单调性求值域或最值.
(2)图像法:先作出函数在给定区间上的图像,再观察其最高点、最低点,求出值域或最值.
(3)配方法:对于二次函数或可化为二次函数形式的函数,可用配方法求解.
(4)换元法:对比较复杂的函数,可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求值域或最值.
(5)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正、二定、三相等”的条件后,再用基本不等式求出值域或最值.
(6)导数法:首先求导,然后求在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出值域或最值.
3.复合函数的单调性可依据“同增异减”的规律求解.
4.解决分段函数的单调性问题时,要高度关注:
(1)抓住对变量所在区间的讨论.
(2)保证各段上同增(减)时,要注意上段、下段的端点值之间的大小关系.
(3)弄清最终结果取并还是取交.
1.求函数的单调区间,应先确定函数的定义域,脱离定义域研究函数的单调性是常见的错误.
2.不同的单调区间之间不能用符号“∪”连接.
双变量问题中一般穿插有两个及以上的“任意”或“存在”量词,学生往往因为不知道如何等价转换致使解题走向迷茫,部分学生甚至机械地背诵结论导致走入误区.解决双变量“存在性或任意性”问题,关键是将含有全称量词和存在量词的条件等价转化为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系),旨在落实逻辑推理核心素养.
类型1　形如“对任意x1∈A,都存在x2∈B,使得g(x2)=f(x1)成立”
【例1】已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x,g(x)=x-,若对任意x1∈[-1,1],总存在x2∈[0,2],使得f'(x1)+2ax1=g(x2)成立,求实数a的取值范围.
解由题意知,g(x)在[0,2]上的值域为-,6.
令h(x)=f'(x)+2ax=3x2+2x-a(a+2),则h'(x)=6x+2,由h'(x)=0得x=-.
当x∈-1,-时,h'(x)<0;
当x∈-,1时,h'(x)>0.
所以[h(x)]min=h-=-a2-2a-.
又由题意可知,h(x)的值域是-,6的子集,
所以解得实数a的取值范围是[-2,0].
思维突破此类问题求解的策略是“等价转化”,即“函数f(x)的值域是g(x)的值域的子集”从而利用包含关系构建关于实数a的不等式组,求得参数的取值范围.
类型2　形如“存在x1∈A及x2∈B,使得f(x1)=g(x2)成立”
【例2】已知函数f(x)=函数g(x)=ksin-2k+2(k>0),若存在x1∈[0,1]及x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,求实数k的取值范围.
解由题意,易得函数f(x)在[0,1]上的值域为[0,1],g(x)在[0,1]上的值域为2-2k,2-,并且两个值域有公共部分.先求没有公共部分的情况,即2-2k>1或2-k<0,解得k<或k>,所以要使两个值域有公共部分,实数k的取值范围是.
思维突破本类问题的实质是“两函数f(x)与g(x)的值域的交集不为空集”,上述解法的关键是利用了补集思想.另外,若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”,则“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域相等”来求解参数的取值范围.
类型3　形如“对任意x1∈A,都存在x2∈B,使得f(x1)【例3】已知函数f(x)=x+,g(x)=2x+a,若任意x1∈,1,存在x2∈[2,3],使得f(x1)≤g(x2),则实数a的取值范围是　　　　.?
答案,+∞
解析依题意知f(x)max≤g(x)max.
∵f(x)=x+在,1上递减,∴f(x)max=f=.又g(x)=2x+a在[2,3]上递增,
∴g(x)max=8+a,因此≤8+a,解得a≥.
思维突破理解量词的含义,将原不等式转化为[f(x)]max≤[g(x)]max,利用函数的单调性,求f(x)与g(x)的最大值,得关于a的不等式,求得a的取值范围.
思考1:在[例3]中,若把“存在x2∈[2,3]”变为“任意x2∈[2,3]”时,其他条件不变,则实数a的取值范围是　　　　.?
提示问题“等价转化”为[f(x)]max≤[g(x)]min,请读者自行求解.
思考2:在[例3]中,若把“任意x1∈,1”改为“存在x1∈,1”,其他条件不变,则实数a的取值范围是　　　　.?
提示问题“等价转化”为f(x)min≤g(x)max,请读者自行求解.
思考3:在[例3]中,若把“使得f(x1)≤g(x2)”变为“f(x1)≥g(x2)”,其他条件不变,则实数a的取值范围是　　　　.?
提示问题“等价转化”为f(x)min≥g(x)min,请读者自行求解.
2.2　函数的单调性与最值
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.(1)f(x1)f(x2)　上升的
下降的　(2)增函数　减函数　区间D
2.f(x)≤M　f(x0)=M　f(x)≥M　f(x0)=M
考点自诊
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×
2.D　y=-x3+1,y=cosx,y=lox在区间(0,1)上都是减少的,y=x-在区间(0,1)上是增加的.
3.D　因为a>0且a≠1,f(x)=在R上递增,所以解得14.A　f(x)=+2在[-8,-4)上是减少的,故f(x)有最大值f(-8)=,无最小值,故选A.
5.(-∞,-1)∪,+∞　结合题意,f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)递增,要满足f(2x)>f(1-x),则要求|2x|>|1-x|,即(2x)2>(1-x)2,解得x<-1或x>.
关键能力·学案突破
例1解(方法1)
设x1,x2是任意两个正数,且0当0又x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2).
所以函数f(x)在(0,]上是减少的.
当≤x1a.
又x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)所以函数f(x)在[,+∞)上是增加的.
(方法2)
因为f(x)=x+,所以f'(x)=1-.
由f'(x)>0,得1->0,即x2>a,
解得x>;
由f'(x)<0,得1-<0,即x2解得0所以f(x)在(0,)内是减少的,在(,+∞)内是增加的.
对点训练1解当a>0时,f(x)在(-1,1)上递减,当a<0时,f(x)在(-1,1)上递增.证明如下:
(方法1　定义法)任取x1,x2∈(-1,1),且x1因为f(x)=a=a1+,则f(x1)-f(x2)=a1+-a1+=,
由于-10,x1-1<0,x2-1<0,故当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),函数f(x)在(-1,1)上递减;
当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)(方法2　导数法)f'(x)=,所以当a>0时,f'(x)<0,当a<0时,f'(x)>0,即当a>0时,f(x)在(-1,1)上递减,当a<0时,f(x)在(-1,1)上递增.
例2(1)B　(2)D　(3)(-3,1)　(-∞,-3),(1,+∞)　(1)y=|x2-3x+2|=
如图所示,函数的递增区间是和[2,+∞).
(2)函数y=x2-2x-8=(x-1)2-9图像的对称轴为直线x=1,由x2-2x-8>0,解得x>4或x<-2,所以(4,+∞)为函数y=x2-2x-8的一个递增区间.根据复合函数的单调性可知,函数f(x)=ln(x2-2x-8)的递增区间为(4,+∞).
(3)f'(x)=-2x·ex+ex(3-x2)=ex(-x2-2x+3)=ex[-(x+3)(x-1)],当-30,当x>1或x<-3时,f'(x)<0,所以函数y=(3-x2)ex的递增区间是(-3,1),递减区间是(-∞,-3),(1,+∞).
对点训练2(1)A　(2)B　(3)B　(1)由x2-3x-4>0,得f(x)的定义域为x>4或x<-1,由y=log2x是增函数,知f(x)的递减区间即y=x2-3x-4的递减区间,
当x∈时,函数y=x2-3x-4递减,
结合f(x)的定义域,可得函数f(x)=log2(x2-3x-4)的递减区间为(-∞,-1).故选A.
(2)f(x)=ln(x-2)+ln(6-x)=ln[(x-2)(6-x)],定义域为(2,6),令t=(x-2)(6-x),则y=lnt,
二次函数t=(x-2)(6-x)的对称轴为直线x=4,
所以f(x)在(2,4)上递增,在(4,6)上递减,A错,C也错,D显然是错误的;当x=4时,t有最大值,所以f(x)max=ln(4-2)+ln(6-4)=2ln2,B正确.
(3)y=|x|(1-x)
=
画出函数的图像如图所示.
由图易知原函数在上递增.故选B.
例3(1)9　(2)D　(1)∵f(x)的定义域为[1,+∞),且f(x)在定义域上递增,
∴f(x)min=f(1)=9.故答案为9.
(2)函数y=-1在区间(-1,+∞)上递减.
当x=2时,y=0.根据题意x∈(m,n]时,ymin=0.所以m的取值范围是[-1,2).故选D.
对点训练3D　因为a?b=所以f(x)=(1?x)·x-(2?x)=易知函数在[-2,2]上递增,所以f(x)max=f(2)=6,故选D.
例4(1)B　(2)A　(1)由指数与对数运算可得,2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b.
因为22b+log2b<22b+log22b=22b+1+log2b,所以2a+log2a<22b+log22b.
令f(x)=2x+log2x,由指数函数与对数函数单调性可得f(x)在区间(0,+∞)上递增.由f(a)(2)由于,故可构造函数f(x)=(x≠0),于是f(4)=,f(5)=,f(6)=.而f'(x)='=,令f'(x)>0得x<0或x>2,即函数f(x)在(2,+∞)上递增,因此有f(4)对点训练4C　构造函数g(x)=,则函数g(x)是减函数.
a=25f(0.22)==g(0.22),
b=f(1)==g(1),
c=-log53f(lo5)==g(log35),
∵0.22<1b>c.
例5D　不等式xf(x-1)≥0可化为
∵f(2)=0,∴f(-2)=0.
∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0.
∵f(x)在(-∞,0)上递减,
∴f(x)在(0,+∞)上也递减.
∴
解得1≤x≤3或-1≤x≤0,
∴满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3],故选D.
对点训练5(-3,-1)∪(3,+∞)　由已知可得解得-33,所以实数a的取值范围为(-3,-1)∪(3,+∞).
例6C　原问题等价于f(log2a)+f(-log2a)=2f(log2a)≤2f(1),即f(log2a)≤f(1).因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上递增,所以f(|log2a|)≤f(1),所以|log2a|≤1.求解关于实数a的对数不等式,可得实数a的取值范围是,2.
对点训练6D　令t=g(x)=x2-ax+3a,易知f(t)=lot在其定义域上递减,要使f(x)=lo(x2-ax+3a)在[1,+∞)上递减,则t=g(x)=x2-ax+3a在[1,+∞)上递增,且t=g(x)=x2-ax+3a>0,即所以即-2.1　函数及其表示
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.函数与映射的概念
函　　数
映　　射
定　义
建立在两个　　　　　　A到B的一种确定的对应关系f,使对于集合A中的　　　　一个数x,在集合B中都有　　　　　　的数f(x)和它对应?
建立在两个　　　　　A到B的一种确定的对应关系f,使对于集合A中的　　　　　　元素x,在集合B中都有　　　　　　的元素y与之对应?
记　法
y=f(x),x∈A
f:A→B
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y=f(x),x∈A中,x叫作自变量,　　　　　　　　　　叫作函数的定义域;与x的值相对应的y值叫作函数值,　　　　　　　　　　　　　　叫作函数的值域,显然,值域是集合B的子集.?
(2)函数的三要素:　　　　　、　　　　和　　　　　　.?
(3)相等函数:如果两个函数的　　　　　相同,并且　　　　　　　完全一致,那么我们就称这两个函数相等.?
3.函数的表示方法
表示函数的常用方法有　　　　　、　　　　　　和　　　　　　　.?
4.分段函数
(1)定义:
如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应方式,则称其为分段函数.
(2)分段函数的相关结论
①分段函数虽然由几个部分组成,但是它表示的是一个函数.
②分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数的值域的并集.
1.映射:(1)映射是函数的推广,函数是特殊的映射,A,B为非空数集的映射就是函数;
(2)映射问题允许多对一,但不允许一对多.
2.判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)函数是其定义域到值域的映射.
(　　)
(2)函数y=f(x)的图像与直线x=1有两个交点.
(　　)
(3)定义域相同,值域也相同的两个函数一定是相等函数.(　　)
(4)对于函数f:A→B,其值域是集合B.
(　　)
(5)分段函数是由两个或几个函数组成的.
(　　)
2.(2020北京,11)函数f(x)=+ln
x的定义域是　　　　.?
3.已知f,g都是从A到A的映射(其中A={1,2,3}),其对应关系如下表:
x
1
2
3
f
3
1
2
g
3
2
1
则f(g(3))等于(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1
B.2
C.3
D.不存在
4.(2020辽宁大连模拟,文2)设函数f(x)=则f的值为(　　)
A.
B.-
C.
D.18
5.如图表示的是从集合A到集合B的对应,其中　　　　是映射,　　　　是函数.?
关键能力学案突破　
考点
函数及其有关的概念
【例1】以下给出的同组函数中,表示相等函数的有　　　　　.(只填序号)?
①f1(x)=,f2(x)=1;
②f1(x)=
f2(x):
x
x≤1
1x≥2
y
1
2
3
③f1(x)=2x,f2(x):如图所示.
思考怎样判断两个函数是否相等?
解题心得两个函数是否相等,取决于它们的定义域和对应关系是否相同,只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时,它们才相等.另外,函数的自变量习惯上用x表示,但也可以用其他字母表示,如:f(x)=2x-1,g(t)=2t-1,h(m)=2m-1均为相等函数.
对点训练1(1)下列四个图像中,是函数图像的是
(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.①
B.①③④
C.①②③
D.③④
(2)如图,函数f(x)的图像是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f(1)+f(3)=(　　)
A.3
B.0
C.1
D.2
考点
求函数的定义域、值域
【例2】(1)(2020福建厦门期末,理3)函数f(x)=log2(1-x)+的定义域为(　　)
A.(-∞,1)
B.[-1,1)
C.(-1,1]
D.[-1,+∞)
(2)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg
x的定义域和值域相同的是(　　)
A.y=x
B.y=lg
x
C.y=2x
D.y=
思考已知函数解析式,如何求函数的定义域?
解题心得1.函数的定义域是使解析式中各个部分都有意义的自变量的取值集合,求解时,把自变量的限制条件列成一个不等式(组),不等式(组)的解集就是函数的定义域,解集要用集合或者区间表示.
2.由实际问题求得的函数定义域,除了要使函数解析式有意义外,还要使实际问题有意义.
对点训练2(1)(2020湖南湘潭三模,文14)函数f(x)=+ln(ex-1)的定义域为　　　　.?
(2)若函数y=f(x+1)的值域为[-1,1],则函数y=f(3x+2)的值域为(　　)
A.[-1,1]
B.[-1,0]
C.[0,1]
D.[2,8]
(3)若函数f(x2+1)的定义域为[-1,1],则f(lg
x)的定义域为(　　)
A.[-1,1]
B.[1,2]
C.[10,100]
D.[0,lg
2]
考点
求函数的解析式
【例3】(1)已知f=lg
x,求f(x).
(2)已知f(x)是二次函数,且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x)的解析式.
(3)已知f(x)+2f=x(x≠0),求f(x).
(4)已知函数f(x)满足f(-x)+2f(x)=2x,求f(x)的解析式.
思考求函数解析式有哪些基本的方法?
解题心得函数解析式的求法
(1)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法;
(2)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围;
(3)方程法:已知关于f(x)与f或f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,与其组成方程组,通过解方程组求出f(x).
提醒:由于函数的解析式相同,定义域不同,则为不同的函数,因此求函数的解析式时,如果定义域不是R,一定要注明函数的定义域.
对点训练3(1)函数f,则函数f(x)的解析式是(　　)
A.
B.1+x
C.
D.x
(2)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则f(x)=　　　　　.?
(3)已知f(x)满足2f(x)+f=3x,则f(x)=　　　　　　　　.?
(4)已知函数的定义域为R,且f(x)+2f(-x)=x2-x,则f(x)=　　　　.?
考点
分段函数
(多考向探究)
考向1　分段函数求值
【例4】(2020广东汕头一模,文13)已知函数f(x)=则f[f(-2)]=　　　　.?
思考求分段函数的函数值如何选取函数的解析式?
考向2　已知分段函数的等式求参数的值
【例5】已知函数f(x)=若f(a)=1,则a的值是(　　)
A.1
B.2
C.-2或2
D.1或2
思考求分段函数的含有参数的函数值如何选取函数的解析式?
考向3　已知函数不等式求自变量的范围
【例6】(2020安徽合肥二模,文9)已知函数f(x)=则f(x)A.(-1,+∞)
B.(-1,1)
C.-,+∞
D.-,1
思考如何选取由分段函数构成的不等式中函数的解析式?
解题心得分段函数问题的求解策略
(1)分段函数的求值问题,应首先确定自变量的值属于哪个区间,然后选定相应的解析式代入求解.
(2)对求含有参数的自变量的函数值,如果不能确定自变量的范围,应分类讨论.
(3)解由分段函数构成的不等式,一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论.
对点训练4(1)(2020湖南郴州二模,文14)函数f(x)=则f(-6)+f(log37)=　　　　.?
(2)(2020山东青岛二模,4)已知函数f(x)=且ff-=1,则a=(　　)
A.
B.2
C.3
D.ln
2
(3)设函数f(x)=则满足f(x)+fx->1的x的取值范围是　　　　　　　.?
考点
函数在实际生活中的应用
【例7】某地区上年度电价为0.80元/kW·h,年用电量为a
kW·h.本年度计划将电价降到0.55元/kW·h至0.75元/kW·h之间,而用户期望电价为0.40元/kW·h.
经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.30元/kW·h.
(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式;
(2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时,仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?
解题心得利用函数的有关知识解决数学应用问题,关键是建立函数关系式,为此,要从题目的文字表述中寻找等量关系.
对点训练5(2020北京,15)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改,设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用-的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱,已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论:
①在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;
②在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;
③在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;
④在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,甲企业在[0,t1]的污水治理能力最强.
其中所有正确结论的序号是　　　　　　　　　.?
1.函数的定义域是研究函数的基础,它与函数的对应关系决定了函数的值域,同时,定义域和对应关系相同的两个函数是同一个函数.因此要树立函数定义域优先的意识.
2.求函数y=f(x)定义域的方法:
函数给出的方式确定定义域的方法列表法表中实数x的集合图像法图像在x轴上的投影所覆盖实数x的集合解析法使解析式有意义的实数x的集合实际问题有实际意义且使相应解析式有意义的x的集合
第二章　函数
2.1　函数及其表示
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.非空数集　任意　唯一确定　非空集合　任意一个　唯一确定　
2.(1)x的取值范围A　函数值的集合{f(x)|x∈A}　(2)定义域　值域　对应关系　(3)定义域　对应关系
3.解析法　图像法　列表法
考点自诊
1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×
2.(0,+∞)　由题意得则x>0,故答案为(0,+∞).
3.C　由题中表格知g(3)=1,
故f(g(3))=f(1)=3.
4.A　因为当x>1时,f(x)=x2+x-2,所以f(2)=4,.又当x≤1时,f(x)=1-x2,所以f=f=1-2=,故选A.
5.①②④　①②　函数与映射都要求对于集合A中的任一元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应,所以③不是映射也不是函数;①②④表示的对应是映射;①②是函数,由于④中集合A,B不是数集,所以不是函数.
关键能力·学案突破
例1②③　①不是相等函数.f1(x)的定义域为{x∈R|x≠0},f2(x)的定义域为R.
②是相等函数.x与y的对应关系完全相同且定义域相同.
③是相等函数.理由同②.
对点训练1(1)B　(2)A　(1)①③④图像中的每一个x的值对应唯一的y值,因此都是函数图像;②,当x>0时,每一个x的值对应两个不同的y值,因此不是函数图像.故选B.
(2)由题中函数f(x)的图像可得,f(1)=2,f(3)=1,故f(1)+f(3)=3,故选A.
例2(1)B　(2)D　(1)要使函数有意义,则x满足解得-1≤x<1,即函数f(x)=log2(1-x)+的定义域为[-1,1),故选B.
(2)y=10lgx=x,定义域与值域均为(0,+∞).y=x的定义域和值域均为R;y=lgx的定义域为(0,+∞),值域为R;y=2x的定义域为R,值域为(0,+∞);y=的定义域与值域均为(0,+∞).故选D.
对点训练2(1)0,　(2)A　(3)C
(1)要使函数f(x)=+ln(ex-1)有意义,则x满足解得所以0(2)函数y=f(x+1)的值域为[-1,1],由于函数中的自变量取定义域内的任意数时,函数的值域都为[-1,1],故函数y=f(3x+2)的值域为[-1,1].故选A.
(3)因为f(x2+1)的定义域为[-1,1],则-1≤x≤1,故0≤x2≤1,所以1≤x2+1≤2.因为f(x2+1)与f(lgx)的外函数是同一个对应关系,所以1≤lgx≤2,即10≤x≤100,所以函数f(lgx)的定义域为[10,100].
例3解(1)令+1=t.∵x>0,∴t>1,且x=.∴f(t)=lg.
故f(x)=lg(x>1).
(2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=0,知c=0,则f(x)=ax2+bx,
又由f(x+1)=f(x)+x+1,得a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1,即ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1,
所以解得a=b=.
所以f(x)=x2+x,x∈R.
(3)∵f(x)+2f=x,
∴f+2f(x)=.
解方程组
得f(x)=(x≠0).
(4)由f(-x)+2f(x)=2x,
①
得f(x)+2f(-x)=2-x,
②
①×2-②,得3f(x)=2x+1-2-x,
即f(x)=.故f(x)的解析式是f(x)=,x∈R.
对点训练3(1)A　(2)2x+7　(3)2x-(x≠0)　(4)x2+x　(1)令t=,t≠0,t≠-1.则有x=,所以f(t)=,t≠0,t≠-1,
所以f(x)=,x≠0,x≠-1,故选A.
(2)设f(x)=ax+b(a≠0),则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+5a+b,即ax+5a+b=2x+17不论x为何值都成立,则有解得故f(x)=2x+7.
(3)∵2f(x)+f=3x,
①
把①中的x换成,
得2f+f(x)=.
②
①×2-②,得3f(x)=6x-,
∴f(x)=2x-(x≠0).
(4)由f(x)+2f(-x)=x2-x,
①
得f(-x)+2f(x)=x2+x,
②
①-2×②,得f(x)=x2+x.
例4　已知f(x)=
则f[f(-2)]=f(2)=2-2=.
例5D　当ex-1=1时,x=1<2符合题意.
当log3(x2-1)=1时,x2-1=3,解得x=2(负根舍去),
故a的值为1或2.故选D.
例6C　当x≤0时,x+1≤1,则不等式f(x)当01,则不等式f(x)此时f(x)=x2-1<0当x>1时,不等式f(x)1.
综上可得,不等式的解集为-,+∞,故选C.
对点训练4(1)10　(2)A　(3)-,+∞　(1)由题意,得f(-6)+f(log37)=1+log39+=1+2+7=10.
故答案为10.
(2)因为f-=sin-=-sinπ+=sin,
所以ff-=f
=log2a+=1,
所以a+=2,a=.
(3)由题意得当x>时,2x+>1恒成立,即x>;当01恒成立,即0当x≤0时,x+1+x-+1>1,解得x>-,即-例7解(1)依题意,当实际电价为x元/kW·h时,用电量将增加至+akW·h,故电力部门的收益为y=+a(x-0.3)(0.55≤x≤0.75).
(2)易知,上年度的收益为[(0.8-0.3)a]元,依题意,+a(x-0.3)≥a(0.8-0.3)(1+20%),且0.55≤x≤0.75,解得0.60≤x≤0.75.所以,当电价最低定为0.60元/kW·h时,仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%.
对点训练5①②③　-表示区间端点连线斜率的相反数,在[t1,t2]这段时间内,甲的斜率比乙的小,所以甲的斜率的相反数比乙的大,因此甲企业的污水治理能力比乙企业强,故①正确;在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,甲企业在[t1,t2]这段时间内,斜率最小,其相反数最大,即在[t1,t2]的污水治理能力最强,故④错误;在t2时刻,甲切线的斜率比乙的小,所以甲切线的斜率的相反数比乙的大,甲企业的污水治理能力比乙企业强,故②正确;在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下,所以都已达标,故③正确.

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