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3.4基本不等式教材解读
一、知识结构解读
1．教材对基本不等式的推导给出了三种证法，即作差法、分析法和综合法，同时引导同学们探讨基本不等式的几何解释．
2．基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．应用基本不等式时一定要注意其成立的条件．基本不等式的应用过程蕴涵了函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想及化归与转化等数学思想．
二、重点、难点解读
本节的重点内容是掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”；掌握“两个正数的和为定值时积有最大值，积为定值时和有最小值”的结论．
难点是正确理解和使用基本不等式求某些函数的最值或证明不等式．
三、知识点精析
1．基本不等式的定义（详见课本）
基本不等式可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．
注意：不等式成立的条件是．
2．基本不等式的几何证明
已知在中，如右图所示，为斜边上的高，为的外接圆的圆心，的延长线交于点．，，证明：．
证明：由题意知，，
由于，，
因此，．
当时，在中，，即．
当且仅当点与点重合，即时，，即．
综上可知，，当且仅当时，式中等号成立．
通过上面的证明我们可以这样理解基本不等式的几何意义：在直角三角形中，斜边上的中线大于或等于斜边上的高线．
同学们共同探讨一下，基本不等式还有没有别的几何解释呢？
3．基本不等式的有关变形及推广
根据基本不等式可以得到一些常用的变形公式和推广公式：
（1）根式形式：
当且仅当时，等号成立．
（2）整式形式：
当且仅当时，等号成立；
，当且仅当时，等号成立；
，当且仅当时，等号成立；
，当且仅当时，等号成立．
（3）分式形式：
，当且仅当时，等号成立．
（4）倒数形式：
，当且仅当时，等号成立；
，当且仅当时，等号成立．
说明：用基本不等式及变形公式和推广公式，并结合不等式的性质，不但可以处理两个正数的和与积结构的不等式，还可以处理两个正数的平方和及其他形式的不等式．
4．基本不等式的应用
基本不等式是不等式变形的一个重要依据，是历年高考中不可缺少的解题工具，常应用于证明不等式、判断不等式是否成立、求函数的值域或最值、求字母或参数的变化范围、求解实际问题等．
（1）当，且为定值时，有（定值），当且仅当 时，等号成立，此时有最小值，即“积定和最小”．
（2）当，且为定值时，有（定值），当且仅当 时，等号成立，此时有最大值，即“和定积最大”．
说明：（1）在使用基本不等式求最值时，必须具备三个条件：①在所求最值的代数式中，各变量均应是正数；②各变量的和或积必须为常数，以确保不等式一边为定值；③等号能成立．以上三个条件简称为“一正、二定、三相等”．
（2）在证明不等式问题时，有时要多次使用基本不等式，然后再相加或相乘．这时字母应满足多次使用基本不等式中的等号一致都成立的条件．若不满足，则不等式中的等号不能成立．

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