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8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
课标解读
课标要求
核心素养
1.通过对圆柱、圆锥、圆台的研究,掌握圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的求法.(重点)
2.会运用公式求球的表面积和体积.(重点)
3.会求组合体的表面积和体积.(难点、易错点)
1.通过学习圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图,培养直观想象的核心素养.
2.通过圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算,培养数学运算的核心素养.
3.通过学习组合体的表面积和体积,培养直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
从生活经验中我们知道,不能将橘子皮展成平面,因为橘子皮近似于球面,这种曲面不能展成平面图形.那么,人们又是怎样计算球面的面积的呢?古人在计算圆周率时,一般是用割圆术,即用圆的内接或外切正多边形的周长来无限逼近圆的周长.理论上,只要取的圆的内接或外切正多边形的边数越多,圆周率就越精确.这种思想就是朴素的极限思想.
问题1:运用上述思想可以计算球的表面积和体积吗?
问题2:求球的表面积和体积需要什么条件?
1.圆柱、圆锥、圆台的表面积
几何体
侧面展开图
表面积公式
圆柱
S圆柱=S底+S侧
=2πr2+2πrl
=①2πr(r+l)
(r为底面半径,l为母线长)
圆锥
S圆锥=S底+S侧
=πr2+πrl
=②πr(r+l)
(r为底面半径,l为母线长)
圆台
S圆台=S底+S侧
=③π(r'2+r2+r'l+rl)
(r',r分别为上、下底面半径,l为母线长)
2.柱体、锥体、台体的体积
几何体
公式
说明
柱体
V柱体=④Sh
S为柱体的底面积,h为柱体的高
锥体
V锥体=⑤Sh
S为锥体的底面积,h为锥体的高
台体
V台体=⑥(S'++S)h
S',S分别为台体的上、下底面面积,h为台体的高
　　思考1:柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系?
提示　
V台体=(S'++S)h
　　V柱体=Sh　　V锥体=Sh
其中S'为台体的上底面面积,h为高,S为台体的下底面面积或柱体、锥体的底面面积.
　　3.球的表面积和体积
表面积
体积
球半径为R
S=⑦4πR2
V=⑧πR3
　　思考2:用一个平面去截球体,截面是什么形状?该截面的几何量与球的半径之间有什么关系?
提示　用一个平面去截球体,截面是圆面.在球的轴截面图中,截面圆与球的轴截面的关系如图所示.
若球的半径为R,截面圆的半径为r,OO'=d.在Rt△OO'C中,OC2=O'C2+OO'2,即R2=r2+d2.
探究一　圆柱、圆锥、圆台的表面积
　　例1　(1)轴截面为正方形的圆柱的侧面积与表面积的比是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1∶2
B.2∶3
C.1∶3
D.1∶4
(2)圆台OO'的母线长为6,两底面圆的半径分别为2,7,则圆台OO'的侧面积是(　　)
A.54π
B.8π
C.4π
D.16π
1-1　若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的表面积与侧面积的比是(　　)
A.
B.
C.
D.
1-2　若一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形,则它们的表面积之比为　　　　　.?
探究二　圆柱、圆锥、圆台的体积　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例2　(1)若半径为2的半圆围成一个圆锥,则它的体积为　　　　.?
(2)圆台的上底面面积为16π
cm2,下底面圆半径为6
cm,母线长为10
cm,那么,该圆台的侧面积和体积各是多少?
2-1　若一圆柱与圆锥的高相等,且轴截面面积也相等,那么圆柱与圆锥的体积的比值为(　　)
A.1
B.
C.
D.
2-2　在△ABC中,AB=2,BC=1.5,∠ABC=120°,若使△ABC绕直线BC旋转一周,则所形成的几何体的体积是　　　　.?
探究三　球的表面积和体积
　　例3　(易错题)(1)在高为5,底面边长为4的正三棱柱形容器(下有底)内,可放置的球的半径的最大值是(　　)
A.
B.2
C.
D.
(2)过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比为　　　　　.?
3-1　体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(　　)
A.12π
B.π
C.8π
D.4π
3-2　体积为8的正方体ABCD-A1B1C1D1内有一个体积为V的球,则V的最大值为(　　)
A.8π
B
.4π
C.
D.
3-3　用与球心距离为1的平面去截球,所得截面面积为2π,则球的体积为(　　)
A.π
B.
C.8π
D.4π
　　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
1.圆锥的母线长为5,底面半径为3,则其体积为(　　)
A.15π
B.30π
C.12π
D.36π
2.已知圆锥的表面积为12π
cm2,其侧面展开图是一个半圆,则其底面圆的半径为(　　)
A.1
cm
B.2
cm
C.3
cm
D.
cm
3.圆柱的底面直径与高都等于球的直径,则球的体积与圆柱的体积比为(　　)
A.1∶2
B.2∶3
C.3∶4
D.1∶3
4.若一个球的直径是12
cm,则它的体积为　　　　
cm3.?
5.若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π,则其母线与轴的夹角的大小为　　　　.?
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2018课标全国Ⅰ,5,5分)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为(　　)
A.12π
B.12π
C.8π
D.10π
2.圆锥的高扩大为原来的n倍,底面半径缩小为原来的,那么它的体积变为原来的(　　)
A.1倍
B.n倍
C.n2倍
D.
倍
3.已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为(　　)
A.
B.4π
C.2π
D.
4.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为(　　)
A.7
B.6
C.5
D.3
5.一个平面截一球得到直径为6
cm的圆面,球心到这个平面的距离为4
cm,则球的体积为(　　)
A.
cm3
B.
cm3
C.
cm3
D.
cm3
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