资源简介

专题
25
配方法
阅读与思考
把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧.
配方法的作用在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具.
配方法解题的关键在于“配方”，恰当的“拆”与“添”是配方常用的技巧，常见的等式有：
1、
2、
3、
4、
配方法在代数式的求值，解方程、求最值等方面有较广泛的应用，运用配方解题的关键在于：
(1)
具有较强的配方意识，即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系，如
能联想起配方法.
(2)
具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式.
例题与求解
【例1】
已知实数，，满足
，那么_____
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
解题思路：对题设条件实施变形，设法确定x，
y的值.
【例2】
若实数，，
c满足
，则代数式
的最大值是
(
)
A、27
B、18
C、15
D、12
(全国初中数学联赛试题)
解题思路：运用乘法公式
，将原式变形为含常数项及完全平方式的形式.
配方法的实质在于揭示式子的非负性，而非负数有以下重要性质；
(1)
非负数的最小值为零；
(2)
有限个非负数的和为零，则每一个非负数都为零.
【例3】
已知，
求a
+
b
+
c的值.
解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式，怎样才能确定未知量的值呢？不妨用配方法试一试.
复合根式的化简，含多元的根式等式问题，常常用到配方法.
【例4】
证明数列49，4489，
444889，44448889，…的每一项都是一个完全平方数.
解题思路：
，由此可猜想
，只需完成从左边到右边的推导过程即可.
几个有趣的结论：
(1)
(2)
这表明：只出现1个奇数或只出现1个偶数的完全平方数分别有无限多个.
【例5】
一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意，现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼）．
(全国初中数学联赛试题)
解题思路：通过引元，把不满意的总分用相关字母的代数式表示，解题的关键是对这个代数式进行恰当的配方，进而求出代数式的最小值.
把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题条件的目的，这种解题方法叫配方法.
配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具.
【例6】
已知自然数n使得
为完全平方数，求n的值.
(“希望杯”邀请赛试题)
解题思路：原式中n的系数为奇数，不能直接配方，可想办法化奇为偶，解决问题.
能力训练
1、计算
=_________.
(“希望杯”邀请赛试题)
2、已知
，则.
3、，y为实数，且
，则+
y的值为__________.
4、当＞2时，化简代数式
，得___________.
5、已知
，当=________，y=______时，的值最小.
(全国通讯赛试题)
6、若
，则M－N的值
(
)
A、负数
B、正数
C、非负数
D、可正可负
7、计算
的值为
(
)
A、1
B、
C、
D、
(全国初中数学联赛试题)
8、设，,
为实数，
，则x，y，z中至少有一个值
(
)
A、大于零
B、等于零
C、不大于零
D、小于零
(全国初中数学竞赛试题)
9、下列代数式表示的数一定不是某个自然数的平方(其中n为自然数)的是(
)
A、
B、
C、
D、
E、
10、已知实数，，
c满足
，则a
+
b
+
c的值等于
(
)
A、2
B、3
C、4
D、5
(河北省竞赛试题)
解“存在”、“不存在”“至少存在一个”等形式的问题时，常从整体考虑并经常用到一下重要命题：
设x1，x2，x3,…
xn为实数.
(1)
若
则x1，x2，x3,…
xn中至少有(或存在)一个为零；
(2)
若，则x1，x2，x3，…
xn中至少有(或存在)一个大于零；
(3)
若，则x1，x2，x3，…
xn中至少有(或存在)一个小于零.
11、解方程组
(苏州市竞赛试题)
12、能使
是完全平方数的正整数n的值为多少？
(全国初中数学联赛试题)
13、已知，且
，，为自然数，求，的值.
(天津市竞赛试题)
13、设a为质数，b为正整数，且
，求，的值.
(全国初中数学联赛试题)
14、某宾馆经市场调研发现，每周该宾馆入住的房间数y与房间单价x之间存在如图所示的一次函数关系.
(1)
根据图象求y与x之间的函数关系式(0＜＜160)；
(2)
从经济效益来看，你认为该宾馆如何制定房间单价，能使其每周的住宿收入最高？每周最高住宿收入是多少元？
专题25
配方法
例1
10
提示：x=5-y代入，然后配方.
例2
A
提示：原式=
例3
a+b+c=20
提示：将等式整理，得
即=0
例4
原式=+1=++1=4+8+1=4
例5
已知，这32个人恰好是第2至第33层各住1人，对于每个乘电梯上、的人，他所住的层数一定不小于直接上楼的人所住的层数，事实上，设住S层的人乘电梯，而住t层的人直接上楼，S＜t，交换两人的上楼方式，其余的人不变，则不满意总分减少.
设电梯停在第x层，在第一层有y人没有乘电梯而直接上楼，那么不满意总分为：
=
=
=
=
又当x=27，y=6时，.
故当电梯停在第27层时，总分最小，最小值为316分.
例6
若为完全平方数，则也是完全平方数.
设（m为自然数）配方得，
∴（m+2n-19）（m-2n+19）=3
于是
解得：
故当n=9或10时是完全平方数.
能力训练
1.
2.
0
3.
6
4.
5.
-3，-2,
5
6.
B
7.
C
8.
A
提示：大于0
.
9.
B
提示：取n=2和3可否定
A、C、D、E，而，，故不是完全平方数.
10.
B
11.
（x，y，z）=（0,0,0）或（1,1,1）
提示：取倒数.
12.
提示：当n<8时，，若它是完全平方数，则n必为偶数.
若n=2，则；若n=4，则；若n=6，则；若n=8，则.所以当n
8时，都不是完全平方数.
当n>8时，，若它是完全平方数，则为一奇数的平方，设（k为自然数），则，由于k和k+1一奇一偶，∴k=1，于是，故n=11.
13.
提示：设a=kb（k为正整数），则，解得
14.
由，得到2a+b=509k，b=509k-2a，代入原式得，，因为a为质数，故有以下情况：
⑴当k=1时，，为质数，b=509k-2a=7.
⑵当k=2时，a=511-18=493=17×29，不为质数，舍去.
⑶当k>2且k为奇数时，为质数且k>2，则，此方程无整数解，舍去.
⑷当k>2且k为偶数时，为质数，且，则511-9k=1，此方程无整数解，舍去.
综上所述，a=251，b=7.
15.
提示：⑴
y=-9x+1440
（0⑵每周的住宿收入是S元，则
当x=80时，元.
间数（个）
y
x
0
50
100
540
990
单价（元）
y
x
0
50
100
单价（元）
y
x
0
50
100
单价（元）专题
22
关于中点的联想
阅读与思考
线段的中点把线段分成相等的两部分，图形中出现中点，可以引起我们丰富的联想：首先它和三角形的中线紧密联系；若中点是在直角三角形的斜边上，又可以引用“斜边上的中线等于斜边的一半”结论；其次，中点又与中位线息息相关；另外，中点还可以与中心对称相连．
解答中点问题的关键是恰当地添加辅助线，如作中线倍长、作直角三角形的斜边上的中线、构造三角形、梯形中位线、构造中心对称图形等，如图所示：
例题与求解
【例1】如图，△ABC边长分别为AB＝14，BC＝16，AC＝26，P为∠A的平分线AD上一点，且BP⊥AD，M为BC的中点，则PM的值为___________．
(安徽省竞赛试题)
解题思路：∠A的平分线与BP边上的垂线互相重合，通过作辅助线，点P可变为某线段的中点，利用三角形中位线定理解题．
【例2】如图，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在的平面上移动，始终保持EF∥AB，线段CF，DH的中点分别为M，N，则线段MN的长度为(
)
(北京市竞赛试题)
A．
EQ
\F(,2)
B．
EQ
\F(,2)
C．
EQ
\F(,3)
D．
EQ
\F(2,3)
解题思路：连接CG，取CG的中点T，构造三角形中位线、梯形中位线．
【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC，延长AB到D，使BD＝AB，E为AB中点，连接CE，CD，
求证：CD＝2EC．
(宁波市竞赛试题)
解题思路：图形中有两个中点E，B，联想到与中点相关的丰富知识，将线段倍分关系的证明转化为线段相等关系的证明，关键是恰当添加辅助线．
【例4】如图1，P是线段AB上一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使∠APC＝∠BPD，PC＝PA，PD＝PB，连接CD，点E，F，G，H分别是AC，AB，BD，CD的中点，顺次连接E，F，G，H．
(1)
猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；
(2)
当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，(1)中的结论还成立吗？说明理由；
(3)
如果(2)中，∠APC＝∠BPD＝90°，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
（营口市中考试题）
图①
图②
图③
解题思路：结论随着条件的改变也许发生变化，但解决问题的方法是一致的，即通过连线，为三角形中位线定理的应用创造条件．
【例5】如图，以△ABC的AB，AC边为斜边向形外作直角三角形ABD和ACE，且使∠ABD＝∠ACE，M是BC的中点，求证：DM＝EM．
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
解题思路：显然△DBM不全等于△ECM，必须通过作辅助线，构造全等三角形证明DM＝EM．
【例6】如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高CH与△ABC的两条内角平分线AM，BN分别交于P，Q两点，PM，QN的中点分别为E，F，求证：EF∥AB．
（全国初中数学联赛题）
解题思路：从图形的形成过程，逐步探索相应结论．将原问题分解为多个小问题．
A
级
1．如图，若E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是____________．
(1)如果把条件中的四边形ABCD依次改为矩形、菱形、正方形或等腰梯形，其他条件不变，那么所得的四边形EFGH分别为_______________________；
(2)如果把结论中的平行四边形EFGH依次改为矩形、菱形、正方形，那么原四边形ABCD应具备的条件是_______________________．
（湖北省黄冈市中考试题）
2．如图，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，若BF＝2，ED＝3，GC＝4，则△ABC的周长为_______________．
(重庆市竞赛试题)
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E是AC的中点，若BC＝16，DE＝5，则AD＝______________．
（南京市中考试题）
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN，EM，若AB＝13cm，BC＝10cm，DE＝5cm，则图中阴影部分的面积为________________．
（北京市中考试题）
5．A′，B′，C′，D′顺次为四边形ABCD的各边的中点，下面条件中使四边形A′B′C′D′为正方形的条件是（
）
A．四边形ABCD是矩形
B．四边形ABCD是菱形
C．四边形ABCD是等腰梯形
D．四边形ABCD中，AC⊥BD且AC＝BD
6．若等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为8cm，则该等腰梯形的面积为（
）
A．16cm2
B．32cm2
C．64cm2
D．112cm2
7．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是BD，AC的中点，若AD＝6cm，BC＝18cm，则EF的长为（
）
A．8cm
B．7cm
C．6cm
D．5cm
8．如图，在梯形ABCD中，AD∥EF∥GH∥BC，AE＝EG＝GB，AD＝18，BC＝32，则EF＋GH＝（
）
A．40
B．48
C．50
D．56
（泰州市中考试题）
第8题图
第9题图
9．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于点D，M是BC的中点，求证：DM＝AB．
10．
如图，在△ABC中，BD＝CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于点P，Q，求证：AP＝AQ．
11．在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M．
（1）如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM
=
MH，FM⊥MH；
（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：△FMH是等腰直角三角形；
（3）将图2中的CE缩短到图3的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）
(2009年河北省中考试题)
12．在六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥FA，AB＋DE＝BC＋EF，A1，B1，D1，E1分别是边AB，BC，DE，EF的中点，A1D1＝B1E1．求证：∠CDE＝∠AFE．
B
级
1．如图，正方形ABCD两条对角线相交于点E，∠CAD的平分线AF交DE于点G，交DC于点F，若GE＝24，则FC＝_________________．
2．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点F，M，N分别是AB，CD的中点，MN分别交BD，AC于点P，Q，且∠FPQ＝∠FQP，BD＝10，则AC＝_________．
（重庆市竞赛试题）
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，以AB，AC为边分别向形外作正三角形ABD和正三角形ACE，M为AD的中点，N为AE的中点，P为BC的中点，则∠MPN＝_________．
（北京市竞赛试题）
4．如图，已知A为DE的中点，设△DBC，△ABC，△EBC的面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是（
）
A．S2＝(S1＋S3)
B．S2＝(S3―S1)
C．S2＝(S1＋S3)
D．S2＝(S3―S1)
5．如图，在图形ABCD中，AB∥DC，M为DC的中点，N为AB的中点，则
(
)
A．MN＞(AD＋BC)
B．MN＜(AD＋BC)
C．MN＝(AD＋BC)
D．无法确定MN与(AD＋BC)的关系
6．如图，凸四边形ABCD的面积是a，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，那么图中的阴影部分的面积为(
)
A．a
B．a
C．a
D．a
（江苏省竞赛试题）
7．如图，在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA，CB到点E，F，使DE＝DF，过E，F分别作CA，CB的垂线，相交于点P．求证：∠PAE＝∠PBF．
（全国初中数学联赛试题）
8．如图，锐角△ABC中，作高BD和CE，过顶点B，C分别作DE的垂线BF和CG，求证：EF＝DG．
（全俄奥林匹克数学竞赛试题）
9．
如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点M在AB边上，点N在AC边上，并且∠MDN＝90°，如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2．求证：AD2＝(AB2＋AC2)．
（北京市竞赛试题）
10．已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD＝∠ACE＝90°．如图1，连接DE，设M为DE的中点．
(1)求证：MB＝MC；
(2)设∠BAD＝∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图2的位置，试问：MB＝MC是否还成立?请说明理由．
（江苏省竞赛试题）
11．已知△OAB，△OCD都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°．
(1)
如图1，点C在OA边上，点D在OB边上，连接AD，BC，M为线段AD的中点，求证：OM⊥BC．
(2)
如图2，在图1的基础上，将△OCD绕点O逆时针旋转α(α为锐角)，M为线段AD的中点．
①求证：OM＝BC；
②OM⊥BC是否还成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
12．如图1，在△ABC中，点P为BC边的中点，直线a绕顶点A旋转，若点B，P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM，PN．
(1)延长MP交CN于点E(如图2)．
①求证：△BPM≌△CPE；
②求证：PM＝PN．
(2)若直线a绕点A旋转到如图3的位置时，点B，P在直线a的同侧，其他条件不变，此时PM＝PN还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)
)若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其他条件不变．请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM＝PN是否成立．不必说明理由．
（沈阳市中考试题）
专题22
关于中点的联想
例1
、6
例2
B
提示：取的中点，连，，则，，
例3
提示：取中点，连，证明
例4
（1）四边形为菱形；
（2）成立，连，，由≌，得，又，
，，，则，故四边
形为菱形；
（3）四边形是正方形
例5
证明：延长至，使，延长至，使，连，，
，，=，≌，有，又
，分别是与的中位线，，，故
例6
（1）如图，，，皆为等腰三角形，连，，则，
（2）如图，分别延长，交于，，则∥
A级
1.平行四边形
（1）菱形、矩形、正方形、菱形；（2）对角线互相垂直、对角线相等、对
角线互相垂直且相等
2.30
3.6
4.30
5.D
6.C
7.C
8.C
9.提示：取中点，连结，，则，证明
10.提示：取中点，连结，，则
11.（1）略
（2）连，，则四边形为平行四边形，可证明≌，则
，，延长交于，则
，则=，故是等腰直角三角形
（3）是
12.如图，作□，连接，取的中点，则四边形是梯形，连接，
，由梯形中位线定理知，∥∥∥，∥∥∥，
且，，同理作□，
取的中点，连接，，由梯形中位线定理知，∥∥∥，
∥∥∥
且，，
在与中，，。又，
≌，=，=
B级
1.48
提示：取中点，连接，则，=2HE．
2．10
提示：取AD中点E，连接ME，NE，则ME=NE．
3．60°
提示：分别取AB、AC中点F、G，连接FP、GP，FM，GN．
4．C
5．B
提示：连接AC，取AC中点P，连接PM，PN．
6．D
提示：连接EF，FG，GH，HE，AC．
7．分别取AP，BP的中点M，N，连接EM，DM，FN，DN．
∵
∴∠AMD=∠BND．
∵M，N分别是Rt△AEP，Rt△BFP斜边的中点，
∴EM=AM=DN，FN=BN=DM，
又DE=DF，∴△DEM≌△DFN，得∠EMD=∠FND，∠AME=∠BNF，
而△AME，△BNF均为等腰三角形，
∴∠PAE=∠PBF．
8．提示：分别取BC，DE中点M，N，连接EM，DM，MN，则EM=DM，MN⊥FG，FB∥MN∥CG．
9．证明：延长ND至P，使DP=DN，连接BP，则由△BPD≌△CND，得BP=CN，∠DBP=∠DCN
∴AC∥BP，MP=MN．
由MN2=BM2+CN2得MP2=BM2+BP2．
∴∠MBP=∠BAC=90°．
在Rt△ABC中，BC2=AB2+AC2，
把AD=代入上式，得AD2=．
10．（1）延长BM交CE于N，由△DBM≌△ENM，得BM=CM=MN．
（2）MB=MC仍能成立，取AD中点P，AE中点Q，连接PB，PM，CQ，MQ，MP=，MQ=，∠BPM=∠MQC，由△PBM≌△QMC得MB=MC．
11．（1）先证△ADO≌△BCO，则∠OAD=∠OBC，又∵M为AD中点，则∠AOM=∠OAD，∴∠OAD=∠CBO=∠AOM，推出OM⊥BC．
（2）①延长DO至N，使OD=ON，连AN，则OM=，OM∥AN，证明△BOC≌△AON，得BC=AN，则OM=．
②∵∠CBO=∠NAO，延长BC交AN于H，则∠AOB=∠AHC=90°，则BH⊥AN，又AN∥OM得BC⊥OM．
12．（1）略
（2）延长MP与NC的延长线交于点E，证明△BPM≌△CPE，得PM=PE，，在Rt△MNE中，PN=，∴PM=PN．
（3）四边形MBCN是矩形,PM=PN成立．
例3图
例5图
例6图
第1题图
第2题图
第3题图
第4题图
第7题图
第10题图
图1
A
H
C(M)
D
E
B
F
G(N)
G
图2
A
H
C
D
E
B
F
N
M
A
H
C
D
E
图3
B
F
G
M
N
第12题图
第1题图
第2题图
第3题图
第4题图
第5题图
第6题图
第7题图
第8题图
第9题图专题05
和差化积
——因式分解的应用
阅读与思考：
因式分解是代数变形的有力工具，在以后的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，其应用主要体现在以下几个方面：
1．复杂的数值计算；
2．代数式的化简与求值；
3．简单的不定方程（组）；
4．代数等式的证明等.
有些多项式分解因式后的结果在解题中经常用到，我们应熟悉这些结果：
1.
;
2.
;
3.
；
4.；
5.
．
例题与求解
【例1】已知，，那么的值为___________
.
（全国初中数学联赛试题）
解题思路：对已知等式通过因式分解变形，寻求a，b之间的关系，代入关系求值．
【例2】a，b，c是正整数，a＞b，且，则等于(
).
A.
－1
B．－1或－7
C．1
D.1或7
（江苏省竞赛试题）
解题思路：运用因式分解，从变形条件等式入手，
在字母允许的范围内，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称代数式的恒等变形，它是研究代数式、方程和函数的重要工具，换元、待定系数、配方、因式分解又是恒等变形的有力工具．
求代数式的值的基本方法有；
(1)代入字母的值求值；
(2)代入字母间的关系求值；
(3)整体代入求值．
【例3】计算：(1)
（“希望杯”邀请赛试题）
（2）
（江苏省竞赛试题）
解题思路：直接计算，则必然繁难，对于(1)，不妨用字母表示数，通过对分子、分母分解因式来探求解题思路；对于(2)，可以先研究的规律．
【例4】求下列方程的整数解．
(1);
（上海市竞赛试题）
(2).
（四川省竞赛试题）
解题思路：不定方程、方程组没有固定的解法，需具体问题具体分析，观察方程、方程组的特点，利用整数解这个特殊条件，从分解因式入手．
解不定方程的常用方法有：
(1)穷举法；
(2)配方法；
(3)分解法；
(4)分离参数法．
用这些方程解题时，都要灵活地运用质数合数、奇数偶数、整除等与整数相关的知识.
【例5】已知，，求下列各式的值：
(1)
；
(2)
；
(3)．
解题思路：先分解因式再代入求值.
【例6】一个自然数恰等于另一个自然数的立方，则称自然数为完全立方数，如27＝33，27就是一个完全立方数．若＝19951993×199519953－19951994×199519923，求证：是一个完全立方数．
（北京市竞赛试题）
解题思路：用字母表示数，将分解为完全立方式的形式即可．
能力训练
A
级
1.
如图，有三种卡片，其中边长为的正方形卡片1张，边长分别为，的长方形卡片6张，边长为的正方形卡片9张，用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为
________．
（烟台市初中考试题）
2．已知，则的值为__________．（江苏省竞赛试题）
3．方程的整数解是__________．
（“希望杯”邀请赛试题）
4.
如果是完全平方式，那么的值为__________．
（海南省竞赛试题）
5.
已知()，则的值是(
)．
A．2，
B．2
C．
D．
6．当，的值为(
)．
A.
－1
B．0
C．2
D．1
7．已知，，则M与N的大小关
系是(
)．
A.
M＜N
B．M＞N
C．M＝N
D．不能确定
（“希望杯”邀请赛试题）
8．为某一自然数，代入代数式中计算其值时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的结果只能是(
)．
A.
388944
B.388945
C.388954
D.388948
（五城市联赛试题）
9．计算：
(1)
（北京市竞赛试题）
(2)
(安徽省竞赛试题)
10.
一个自然数恰好等于另一个自然数的平方，则称自然数为完全平方数，如64＝82，64就是一个完全平方数，若＝19982＋19982×19992＋19992，求证：是一个完全平方数．
（北京市竞赛试题）
11.已知四个实数，，，，且，，若四个关系式，，，同时成立.
(1)求的值；
(2)分别求，，，的值．
（湖州市竞赛试题）
B
级
1．已知是正整数，且是质数，那么____________
.
（“希望杯”邀请赛试题）
2．已知三个质数的乘积等于这三个质数的和的5倍，则＝________
.
（“希望杯”邀请赛试题）
3.已知正数，，满足，则
＝_________
.
（北京市竞赛试题）
4．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取＝9，＝9时，则各个因式的值是：，于是就可以把“0181
62”作为一个六位数的密码，对于多项式，取＝10，＝10时，用上述方法产生的密码是：__________．（写出一个即可）．
（浙江省中考试题）
5．已知，，是一个三角形的三边，则的值(
)．
A.恒正
B．恒负
C．可正可负
D．非负
(太原市竞赛试题)
6．若是自然数，设，则(
)．
A.
一定是完全平方数
B．存在有限个，使是完全平方数
C.
一定不是完全平方数
D．存在无限多个，使是完全平方数
7．方程的正整数解有(
)组．
A.3
B．2
C．1
D．0
（“五羊杯”竞赛试题）
8．方程的整数解有(
)组．
A.2
B．4
C．6
D.8
（”希望杯”邀请赛试题）
9．设N＝695＋5×694＋10×693＋10×692＋5×69＋1.试问有多少个正整数是N的因数？
（美国中学生数学竞赛试题）
10．当我们看到下面这个数学算式时，大概会觉得算题的人用错了运算法则吧，因为我们知道．但是，如果你动手计算一下，就会发现上式并没有错，不仅如此，我们还可以写出任意多个这种算式：
，，，，…
你能发现以上等式的规律吗？
11.按下面规则扩充新数：
已有，两数，可按规则扩充一个新数，而以，，三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…每扩充一个新数叫做一次操作.
现有数1和4，求：
(1)
按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；
(2)
能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由．
（重庆市竞赛试题）
12.设，，为正整数．被整除所得的商分别为，.
(1)若，互质，证明与互质；
(2)当，互质时．求的值；
(
3)若，的最大公约数为5，求的值．
（江苏省竞赛试题）
专题05　和差化积
——因式分解的应用
例1　或
例2　D　提示：（a－b）（a－c）＝7．a－b>0，a－c>0．
例3　（1）　提示：设1997＝a，则原式＝　
（2）221　提示：
例4　（1）x＝1，y＝－1　提示：（2x－3）（2＋3y）＝1；
（2）提示：（2x＋y）（x＋2y）＝2007×1＝669×3＝223×9＝（－1）×（－669）＝（－9）×（－223）．
例5　（1）a2b＋ab2＝ab（a＋b）＝2×3＝6．
（2）a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝32－2×2＝5．
（3）．
例6　提示：设m＝19951993，则a＝．
A组
1．a＋3b　　　　　
2．36　　　　　
3．（x，y）＝（6，5）或（4，5）
4．1或－3
5．A
6．D　　　　　
7．B　
8．A
9．（1）3　（2）　提示：设a＝22223，b＝11112，则原式＝．10.设，则.
11.(1)由,得,故.
(2)由
,,得
,而,
∴,从而,又.
当时,,解得,,；
当时,,解得,,；
B
级
1.
3
提示：原式=，
1.
78
1.
8
提示：
1.
101030或103010或301010
1.
Ｂ
提示：原式=
1.
Ｃ
提示：
7.
Ｃ
8.
Ｃ
9.
提示：原式=，共有个因数.
10.
===
11.
(1)499就是扩充三次的最大数
(2)，
取可得新数
∴
取可得新数
∴,设扩充后的新数为，则总可以表示为，式中为整数.
当时,,又,故1999可以通过上述规则扩充得到.
12.(1)设s为与的最大公因数，则，（于是
.可见,是的因数,∵互质,
∴也互质,可见,
即与互质,同理可得:
与互质.
(2)
∵,∴.又都是正整数，
∴整除.因与互质，∴整除116，即.
而,具有相同的奇偶性,且,
∴或,解得或,∵互质,
.
∴,∴.
(3)若设,则同(2)有
即,,且.根据(2)有,.∴.专题13
三角形的基本知识
阅读与思考
三角形是最基本的几何图形，是研究复杂几何图形的基础，许多几何问题都可转化为三角形的问题来解.三角形基本知识主要包括三角形基本概念、三角形三边关系定理及推论、三角形内角和定理及推论等，它们在线段和角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用.
解与三角形的基本知识相关的问题时，常用到数形结合及分类讨论法，即用代数方法解几何计算题及简单的证明题，对三角形按边或按角进行恰当分类.
应熟悉以下基本图形：
例题与求解
【例1】
在△ABC中，∠A=50°，高BE，CF交于O，则∠BOC=________.
（“东方航空杯”——上海市竞赛试题）
解题思路：因三角形的高不一定在三角形内部，故应注意符合题设条件的图形多样性.
【例2】
等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形底边的长为（
）
A.17cm
B.5cm
C.5cm或17cm
D.无法确定
（北京市竞赛试题）
解题思路：中线所分两部分不等的原因在于等腰三角形的腰与底的不等，应分情况讨论.
【例3】
如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A的大小.
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：运用凹四边形的性质计算.
【例4】
在△ABC中，三个内角的度数均为正数，且∠A＜∠B＜∠C，4∠C＝7∠A，求∠B的度数.
（北京市竞赛试题）
解题思路：把∠A，∠C用∠B的代数式表示，建立关于∠B的不等式组，这是解本题的突破口.
【例5】
（1）周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？
（2）现有长为150cm的铁丝，要截成小段，每段的长不小于1cm的整数，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求的最大值.此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的段.
（江苏省竞赛试题）
解题思路：对于（1），不妨设三角形三边为，，，且，由条件及三角形三边关系定理可确定的取值范围，从而可以确定整数的值.
对于（2），因段之和为定值150cm，故欲使尽可能的大，必须使每段的长度尽可能的小.这样依题意可构造一个数列.
【例6】
在三角形纸片内有2
008个点，连同三角形纸片的3个顶点，共有2
011个点，在这些点中，没有三点在一条直线上.问：以这2
011个点为顶点能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角形？
（天津市竞赛试题）
解题思路：本题的解题关键是找到规律：三角形内角每增加1个内点，就增加了2个三角形和3条边.
能力训练
A级
1.设，，是△ABC的三边，化简=____________.
2.三角形的三边分别为3，，8，则的取值范围是__________.
3.已知一个三角形三个外角度数比为2:3:4，这个三角形是_______（按角分类)三角形.
4.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为____________.
（“缙云杯“试题）
（第4题）
（第5题）
（第6题）
5.如图，已知AB∥CD，GM，HM分别是∠AGH，∠CHG的角平分线，那么∠GMH=_________.
（第7题）
（第9题）
6.如图，△ABC中，两外角平分线交于点E，则∠BEC等于（
）
A.
B.
C.
D.
7.如图，在△ABC中，BD，BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H.下列结论：
①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=（∠BAC-∠C）；④∠BGH=∠ABE+∠C.
其中正确的是（
）
A.①②③
B.①③④
C.①②③
D.①②③④
8.已知三角形的每条边长的数值都是2
001的质因数，那么这样的不同的三角形共有（
）
A.6个
B.7个
C.8个
D.9个
9.如图，将纸片△ABC沿着DE折叠压平，则（
）
A.∠A=∠1+∠2
B.∠A=（∠1+∠2）
C.∠A=（∠1+∠2）
D.∠A=（∠1+∠2）
（北京市竞赛试题）
10.一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别是4和1
997，则满足上述条件的三角形的个数是（
）
A.1个
B.3个
C.5个
D.7个
（北京市竞赛试题）
11.如图，已知∠3=∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D=180°.
（河南省竞赛试题）
12.平面内，四条线段AB，BC，CD，DA首尾顺次连接，∠ABC=24°，∠ADC=42°.
（1）∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M（如图1），求∠AMC的大小.
（2）点E在BA的延长线上，∠DAE的平分线和∠BCD平分线交于点N（如图2），求∠ANC.
图1
图2
13.三角形不等式是指一个三角形的两边长度之和大于第三边的长度.在下图中，E位于线段CA上，D位于线段BE上.
（1）证明：AB+AE＞DB+DE；
（2）证明：AB+AC＞DB+DC；
（3）AB+BC+CA与2（DA+DB+DC）哪一个更大？证明你的结论；
（4）AB+BC+CA与DA+DB+DC哪一个更大？证明你的结论.
（加拿大埃蒙德顿市竞赛试题）
B级
1.已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是4，但不是最短边，这样的三角形的
个数有_______个.
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
2.以三角形的3个顶点和它内部的9个点共12个点为顶点能把原三角形分割成______个没有公共部分的小三角形.
3.△ABC中，∠A是最小角，∠B是最大角，且有2∠B=5∠A，若∠B的最大值是，最小值是，则___________.
（上海市竞赛试题）
4.如图，若∠CGE=，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=_______.
（山东省竞赛试题）
（第4题）
（第5题）
5.如图，在△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点，与的平分线相交于点，依此类推，与的平分线相交于点，则的大小是（
）
A.3°
B.5°
C.8°
D.19.2°
6.四边形ABCD两组对边AD，BC与AB，DC延长线分别交于点E，F，∠AEB，∠AFD的平分线交于点P.∠A=64°，∠BCD=136°，则下列结论中正确的是（
）
①∠EPF=100°；
②∠ADC+∠ABC=160°；
③∠PEB+∠PFC+∠EPF=136°；
④∠PEB+∠PFC=136°.
A.①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②③④
7.三角形的三角内角分别为，，，且，，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
（重庆市竞赛试题）
8.已知周长小于15的三角形三边的长都是质数，且其中一边的长为3，这样的三角形有（
）
A.4个
B.5个
C.6个
D.7个
（山东省竞赛试题）
9.不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长.
（第三十二届美国邀请赛试题）
10.设，，均为自然数，满足且，试问以，，为三边长的三角形有多少个？
11.锐角三角形用度数来表示时，所有角的度数为正整数，最小角的度数是最大角的度数的，求满足此条件的所有锐角三角形的度数.
（汉城国际数学邀请赛试题）
12.如图1，A为轴负半轴上一点，B为轴正半轴上一点，C（0，-2），D（-2，-2）.
（1）求△BCD的面积；
（2）如图2，若∠BCO=∠BAC，作AQ平分∠BAC交轴于P，交BC于Q.
求证：∠CPQ=∠CQP；
（3）如图3，若∠ADC=∠DAC，点B在轴正半轴上运动，∠ACB的平分线交直线AD于E，DF∥AC交轴于F，FM平分∠DFC交DE于M，的值是否发生变化？证明你的结论.
图1
图2
图3
13.如图1，，.且，满足.
图1
图2
（1）求A，B的坐标；
（2）C为轴正半轴上一动点，D为△BCO中∠BCO的外角平分线与∠COB的平分线的交点，问是否存在点C，使∠D=∠COB.若存在，求C点坐标；
（3）如图2，C为轴正半轴上A的上方一动点，P为线段AB上一动点，连CP延长交轴于E，
∠CAB和∠CEB平分线交于F，点C在运动过程中的值是否发生变化？若不
变求其值；若变化，求其范围.
专题13
三角形的基本知识
例1
130°或50°
例2
B
例3
80°
提示：∠A＝2∠BGC－∠BDC
例4
设∠C＝x°，则∠A＝(x)°，
∠B＝180°－∠C－∠A＝180°－x°
由∠A＜∠B＜∠C，得x＜180－x＜x．
解得70＜x＜84．
∵x是整数，∴
x＝77．
故∠C＝77°，则∠A＝44°，∠B＝180°－77°－44°＝59°．
例5
（1）不妨设a＜b＜c，则由，得10＜c＜15．
∵c是整数，∴
c＝11，12，13，14．
当c＝11时，b＝10，a＝9．
当c＝12时，b＝11，a＝7；b＝10，a＝8．
当c＝13时，b＝12，a＝5；b＝11，a＝6；b＝10，a＝7；b＝19，a＝8．
当c＝14时，b＝13，a＝3；b＝12，a＝4；b＝11，a＝5；b＝10，a＝6；b＝9，a＝7．
（2）这些小段的长度只可能分别是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89…
但1＋1＋2＋5＋8＋13＋21＋34＋55＝143＜150，1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＋21＋34＋55＋89＞150，故n的最大值为10.共有以下7种方式：
（1，1，2，3，5，8，13，21，34，62）；
（1，1，2，3，5，8，13，21，35，61）；
（1，1，2，3，5，8，13，21，36，60）；
（1，1，2，3，5，8，13，21，37，59）；
（1，1，2，3，5，8，13，22，35，60）；
（1，1，2，3，5，8，13，22，36，59）；
（1，1，2，3，5，8，14，22，36，58）.
例6
解法1
我们不妨先考察三角形内有1个点、2个点、3个点…的简单情况，有下表所示的关系：
三角形内点数
1
2
3
4
…
连线得到的小三角形个数
3
5
7
9
…
不难发现，三角形内有一个点时，连线可得到3个小三角形，以后每增加一个点，这个点必落在某一个小三角形内，它与该三角形的三个顶点可得到三个小三角形，从而增加了两个小三角形，于是可以推出，当三角形内有2008个点是，连线可得到小三角形的个数为：3＋2×（2008－1）＝4017（个）.
解法2
整体核算法
设连线后把原三角形分割成n个小三角形，则它们的内角和为180°·n，又因为原三角形内每一个点为小三角形顶点时，能为小三角形提供360°的内角，2008个点共提供内角2008×360°，于是得方程180n＝360×2008＋180，解得n＝4017，即这2008个点能将原三角形纸片分割成4017个小三角形.
A级
1.
2（b＋c）
2.
－5＜a＜－2
3.
钝角
4.
180°
5.
90°
6.
C
7.
D
8.
B
9.
B
10.
B
11.
提示：过G作GH∥EB，可推得BE∥CF.
12.
（1）∠AMC＝（∠ABC＋∠ADC）＝×（24°＋42°）＝33°
（2）∵AN、CN分别平分∠DAE，∠BCD，
∴可设∠EAN＝∠DAB＝x，∠BCN＝∠DCN＝y，∴∠BAN＝180°－x，设BC与AN交于S，∴∠BSA＝∠CSN，∴180°－x＋∠B＝y＋∠ANC，①
同理：180°－2x＋∠B＝2y＋∠D，②
由①×2－②得：2∠ANC＝180°＋∠B＋∠D.
∴∠ANC＝（180°＋24°＋42°）＝123°.
13.
（1）（2）略
提示：（3）DA＋DB＞AB，DB＋DC＞DC，DC＋DA＞CA，将三个不等式相加，得2（DA＋DB＋DC）＞AB＋CB＋CA.
（4）由（2）知AB＋AC＞DB＋DC，同理BC＋BA＞DC＋DA，CA＋CB＞DA＋DB，
故AB＋BC＋CA＞DA＋DB＋DC
B级
1.
8
2.
19
3.
175
提示：设∠A＝（2x）°，∠B＝（5x）°，则∠C＝180°－（7x）°，由∠A≤∠C≤∠B得15≤x≤20
4.
2a
5.
A
6.
D
7.
D
8.
B
9.
提示：设长度为4和12的高分别是边a，b上的，边c上的高为h，△ABC的面积为S，
则，，，由得，故.
10.
7
11.
设锐角三角形最小角的度数为x，最大角的度数为4x，另一角为y，则
，解得20≤x≤22.5，故x＝20或21或22.
所有锐角三角形的度数为：(20°，80°，80°)，(21°，75°，84°)，(22°，70°，88°).
12.
（1）S△BCD＝2
（2）略
（3）设∠ABC＝x，则∠BCF＝90°＋x，可证：∠E＝x，∠DMF＝45°.
∴专题11
双曲线
阅读与思考
形如的函数叫做反比例函数，这也是现实生活中普遍使用的模型，如通过改变电阻来控制电流的变化，从而使舞台的灯光达到变幻的效果；又如过湿地时，在地面上铺上木板，人对地面的压强减小，从而使人不陷入泥中.
反比例函数的基本性质有：
1.
反比例函数图象是由两条曲线组成的双曲线，双曲线向坐标轴无限延伸，但不能与坐标轴相交；
2.
k的正负性，决定双曲线大致位置及y随x的变化情况；
3.
双曲线上的点是关于中心对称的，双曲线也是轴对称图形，对称轴是直线及.
反比例函数与一次函数有着内在的联系.
如在作图时都要经历列表、描点、连线的过程；研究它们的性质时，都是通过几个具体的函数归纳出一般的规律，但它们毕竟不同.
反比例函数中的几何意义是：等于双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线所得的矩形的面积，如图：
（1）；
（2）.
求两个函数图象的交点坐标，常通过解由这两个函数解析式组成的方程组得到.
求符合某种条件的点的坐标，常根据问题的数量关系和几何元素间的关系建立关于横纵坐标的方程（组），解方程（组）求得相关点的坐标.
解反比例函数有关问题时，应充分考虑它的对称性，这样既能从整体上思考问题，又能提高思维的周密性.
反比例函数是描述变量之间相互关系的重要数学模型之一，用反比例函数解决实际问题，既要分析问题情景，建立模型，又要综合方程、一次函数等知识.
例题与求解
【例1】（1）如图，已知双曲线经过矩形OABC边AB的中点F且交BC于点E，四边形OEBF的面积为2，则
.
（兰州市中考试题）
（2）如图，△P1OA1，△P2A1A2都是等腰直角三角形，点P1，P2在函数的图象上，斜边OA1，A1A2都在x轴上，则点A2的坐标是
.
（南通市中考试题）
解题思路：对于（1），通过连线，把相关图形的面积用k表示；对于（2），设，，把A，C两点坐标用a，b表示.
【例2】如图，P是函数图象上一点，直线交x轴于点A，交y轴于点B，PM⊥x轴于M，交AB于E，PN⊥y轴于N，交AB于F，则的值为
.
（北京市竞赛试题）
解题思路：设，把AF，BE用a，b的式子表示.
【例3】如图，已知直线与双曲线交于A、B两点，且点A的横坐标为4.
（1）求k的值；
（2）若双曲线上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；
（3）过原点O的另一条直线l交于P、Q两点（P点在第一象限），若由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标.
（福州市中考试题）
解题思路：对于（2），有下列不同的解法：
图1
图2
图3
对于（3），需要思考的是，四边形APBQ的形状，P点与A点有怎样的位置关系.
【例4】已知反比例函数和一次函数，其中一次函数的图象经过，两点.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，已知A点在第一象限且同时在上述两个函数的图象上，求A点坐标；
（3）利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由.
解题思路：对于（3），应分类讨论，并注意A点坐标隐含的信息.
【例5】一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点M、N，与反比例函数的图象相交于点A、B，过点A分别作AC⊥x轴，AE⊥y轴，垂足分别为C，E；过点B分别作BF⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为F，D，AC与BD交于点K，连接CD.
（1）若点A，B在反比例函数的图象的同一分支上，如图1，试证明：
①
；②
.
（2）若点A，B分别在反比例函数的图象的不同分支上，如图2，则AN与BM还相等吗？试证明你的结论.
图1
图2
（威海市中考试题）
解题思路：对于（1），通过连线证明面积相等，进而可证AB∥DC，则四边形ANDC，DCMB为平行四边形；（2）方法同（1）.
例5的拓展变化：
如图，点M，N在反比例函数的图象上，过点M作ME⊥x轴，过点N作NF⊥y轴，垂足分别为E、F，则MN∥EF.
【例6】点，与点C构成边长是3，4，5的直角三角形，如果点C在反比例函数的图象上，求k可能取的一切值.
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：本题是与反比例函数相关的综合题，运用了代数化、勾股定理、消元降次、分类讨论等思想方法.
能力训练
A
级
1.
已知是反比例函数，则
.
2.
若反比例函数的图象位于第二、四象限，则满足条件的正整数k的值是
.
（沈阳市中考试题）
3.
已知双曲线经过点，如果，两点在该双曲线上，且，那么
.
（威海市中考试题）
4.
已知函数（a为常数）的图象上有三点，，，则，，的大小关系是
.
5.
如图，一次函数与反比例函数相交于A，B两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是
.
（荆门市中考试题）
6.
如图，B为双曲线上一点，直线AB平行于y轴交直线于点A，若，则
.
（武汉市四月调考试题）
（第5题）
（第6题）
7.
如图，直线与双曲线交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴于M点，连接BM，若，则k的值是（
）
A.2
B.
C.
D.4
（鄂州市中考试题）
（第7题）
（第8题）
8.
如图，反比例函数的图象与直线的交点为A、B，过A作y轴的平行线与过B作x轴的平行线相交于点C，则△ABC的面积为（
）
A.8
B.6
C.4
D.2
（深圳市中考试题）
9.
函数与在同一坐标系中的图象可能是（
）
（山西省中考试题）
10.
如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点，AB⊥x轴于B，且.
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积.
（黄冈市中考试题）
11.
如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴、x轴分别交于点A、点B，与反比例函数在第一象限的图象交于点、，过C点作CE⊥y轴于E，过点D作DF⊥x轴于F.
（1）求m，n的值；
（2）求直线AB的函数解析式；
（3）求证：△AEC
≌△DFB.
（温州市中考试题）
12.
如图所示，已知双曲线的图象上有两点，，且，分别过，向x轴作垂线，垂足为B，D，过，向y轴作垂线，垂足分别为A，C.
（1）若记四边形和四边形的面积分别为，，周长分别为，，试比较和，和的大小；
（2）若P是双曲线上一点，分别过P向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M，N.
试问当P在何处时四边形PMON的周长最小，最小值为多少？
（黄冈市特长生选拔赛试题）
B
级
1.
已知，且与成反比例，与成反比例.
且当时，；当时，.
当时，
.
2.
直线与双曲线交于，两点，则
.
（荆门市中考试题）
3.
如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于点A，C，自点A和点C作x轴的垂线，垂足分别为B和D，则四边形ABCD的面积等于
.
（北京市竞赛试题）
（第3题）
（第4题）
4.
已知函数的图象与x轴、y轴分别交于点C，B，与双曲线交于点A，D，若，则k的值为
.
（十堰市中考试题）
5.
两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，有以下结论：
①
△ODB与△OCA的面积相等；
②
四边形PAOB的面积不会发生变化；
③
PA与PB始终相等；
④
当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点.
其中一定正确的是
.
（咸宁市中考试题）
6.
如图，正方形OABC，ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B，E在函数的图象上，则点E的坐标是（
）
A.
B.
C.
D.
（绍兴市中考试题）
7.
如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是曲线和，设P点在上，PE⊥x轴于点E，交于点A，PD⊥y轴于点D，交于点B，则四边形PAOB的面积为（
）
A.
B.
C.
D.
（浙江省竞赛试题）
8.
等腰直角三角形ABC位于第一象限，，直角顶点A在直线上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线与△ABC有交点，则k的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
（济南市中考试题）
9.
如图，正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数的图象上，点是函数的图象上的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E，F，并设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S.
（1）求B点坐标和k的值；
（2）当时，求点P的坐标；
（3）写出S关于m的函数关系式.
（温州市中考试题）
10.
如图，已知直线交x轴于A，交y轴于B，P为反比例函数上一点，过P作x轴平行线交直线l于E，过P作y轴平行线交直线l于F.
求的值.
11.
已知一次函数与反比例函数的图象交于点，.
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△MON的面积.
（太原市竞赛试题）
12.
已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴，y轴分别交于点A和点B，且.
这条曲线是函数的图象在第一象限内的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是，由点P向x轴、y轴作垂线PM，PN（垂足分别为M，N），分别与直线AB相交于点E和点F.
（1）设交点E和F都在线段AB上（如图），分别求E，F的坐标（用a的代数式表示E点坐标，用b的代数式表示F点坐标，只需写出答案，不要求写出计算过程）；
（2）求△OEF的面积（结果用a，b的代数式表示）；
（3）△AOF与△BOE是否一定相似？如果一定相似，请予以证明；如果不一定相似或者一定不相似，请简要说明理由；
（4）当点P在曲线上移动时，△OEF随之变动，指出在△OEF的三个内角中，是否有大小始终保持不变的那个角和它的大小，并证明你的结论.
（上海市竞赛试题）
专题11
双曲线
例1
（1）连结OB，则.
所以k=2
（2）作P1C⊥OA于C，P2D⊥OA2于D，P1C=OC，P2D=A1D=A2D，
设OA1
=a，A1A2=b，所以，所以a=4.
又因为P2D·OD=4，所以.则b=，
所以OA2
=
OA1+A1A2
=
4
+=4，则A2（4，0）.
例2
1
提示：作FG⊥x轴于G，EH⊥y轴于H，则AF=，BE=，
例3
（1）k=8
（2）可试一试用图2解答：C(1，8)，
==32-4-4-9=15.
（3）因为反比例函数图像是关于原点O的中心对称图形，
所以OP=OQ，OA=OB.
所以四边形APBQ是平行四边形，
.
设P点的坐标为（）（m>0且m≠4），过点P、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F，
∵点P、A在双曲线上，∴.
若0∵
∴
即
解得：m=2，m=-8(舍去)
若m>4（如图b）
∵
∴
即
解得：m=8，m=-2(舍去)
故点P的坐标是P（2,4）或（8,1）
图
a
图b
例4
（1）
（2）解方程组得
，（舍去）
从而y=1，∴A（1,1）
（3）符合条件的点P存在，有下列情况（如图）：
①若OA为底，则∠AOP1=45°，OA=，由OP1
=P1A，得P1(1，0)；
②若OA为腰，AP为底，则由OP=OA=，得P2(-，0)，P3（，0）；
③若OA为腰，OP为底，则由AO=AP=，得OP=2，P4(2，0)
例5
（1）∵
∴
∴
②连AD、AO、BC、BO.
∵
，
∴
∴
CD∥MN.
又∵AC∥DN，BD∥CM，
∴四边形ANDC、BDCM为平行四边形，
∴AN=DC=BM
（2）AN与BM仍然相等，证法同（1）.
例6
点A与点B之间的距离是5，则它们之间的连线是直角三角形的斜边.
设点C（a，b），则
①
②
解①得或
所以C的坐标是（4，3）或（，）对应的k的值是12
或.
解②得
或
因为原点不可能在反比例函数图像上，
所以C的坐标是（，）对应的k的值是.
综上所述，k的值是12或.
A级
1.-2
2.1、2
3.<
4.y2>y1>y3
5.x<-1或06.2
7.A
8.A
9.A
10.(1)设A点坐标为（x，y)，由，得，|k|=3，k=±3.
∵A点在第四象限内，∴k=-3，两个函数的解析式分别为.
（2）由，得，，∴A（1，-3），C（-3，1）.
设直线AC与y轴交于点D，则D（0，-2）.故（平方单位）.
11.（1）m=6,n=2
(2)y=-2x+8
(3)A(0,8),
B(4,0),AE=DF=2,CE=BF=1，又∠AEC=∠DFB=900，故ΔAEC≌ΔDFB.
12.(1)而点P（x1，y1)在图象上，∴x1y1=k，即S1=k.同理，∴S1=S2，又C1=2（x1+y1)=
∴C2-C1=
∵双曲线在第一象限，∴
x1>0，x2>0.∴x1x2>0.又x1x22+kx1-x12x2-kx2=x1x2(x2-x1)-k(x2-x1)=(x1x2-k)(x2-x1)，且，当.
（2）设四边形PMON的周长为C，则C=2（x+y）.∵xy=k，
∴，这里x，k均大于0.
，当时，即时，四边形PMON的周长C最小，最小值为，此时P（）.
B级
1.
2.-3
3.14
4.
ΔBOC为等腰直角三角形，OB=OC=1，BC=，由对称性可知AB=CD=，作AE垂直x轴于E，则AE，OE=.
5.①②④
6.A
7.B
8.C
9.(1)设B点（x0，y0），S正方形OABC=x0y0=9，x0=y0=3，即B（3，3），k=x0y0=9.
(2)①如图a，P（m，n）在上，S矩形OEP1F=mn=9，S矩形OAGF=3n.,S=9-3n=，n=，m=6，
∴P1(6,
).
②如图a，同理可得P2（，6）.
（3）①如图b，当0②如图c，当m≥3时，S矩形OAGF=3n，S=9-3n=9-(m≥3).
10.设P（a，b），过E作ES⊥x轴于S，过F作FT⊥y轴于T，∴AE=，BF=2FT=2a.
∴AE·BF=.
11.（1）
（2）
12.（1）E（1，1-a），F（1-b，b）
（2）
（3）∽
（4）∠EOF=450专题3
和差化积----因式分解的方法（1）
阅读与思考
提公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法，有公因式的先提公因式，分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止．
一些复杂的因式分解问题经常用到以下重要方法：
1．换元法：
对一些数、式结构比较复杂的多项式，可把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新字母代替，从而可达到化繁为简的目的．从换元的形式看，换元时有常值代换、式的代换；从引元的个数看，换元时有一元代换、二元代换等．
2．拆、添项法：
拆项即把代数式中的某项拆成两项的和或差，添项即把代数式添上两个符号相反的项，因式分解中进行拆项与添项的目的是相同的，即经过拆项或添项后，多项式能恰当分组，从而可以运用分组分解法分解．
例题与求解
【例l】分解因式___________．
（浙江省中考题）
解题思路：把看成一个整体，用一个新字母代换，从而简化式子的结构．
【例2】观察下列因式分解的过程：
（1）；
原式＝；
（2）．
原式＝．
第（1）题分组后能直接提公因式，第（2）题分组后能直接运用公式．
仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：
（1）；
（西宁市中考试题）
（2）．
（临沂市中考试题）
解题思路：通过分组，使每一组分组因式后，整体能再分解，恰当分组是关键，经历“实验－－失败－－再试验－－再失败－－直至成功”的过程．
【例3】分解因式
（1）；
（重庆市竞赛题）
（2）；
（“缙云杯”邀请赛试题）
（3）．
（“五羊杯”竞赛试题）
解题思路：（1）式中系数较大，直接分解有困难，不妨把数字用字母来表示；（2）式中、反复出现，可用两个新字母代替，突出式子的特点；（3）式中前两项与后一项有密切联系．
【例4】把多项式因式分解后，正确的结果是（
）．
A．
B．
C．
D．
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：直接分组分解困难，可考虑先将常数项拆成几个数的代数和，比如－3＝－4＋1．
【例5】分解因式：
（1）；
（扬州市竞赛题）
（2）；（请给出多种解法）
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
（3）．
解题思路：按次数添上相应的项或按系数拆项法分解因式的基本策略．
【例6】分解因式：．
（河南省竞赛试题）
解题思路：拆哪一项？怎样拆？可有不同的解法．
能力训练
　　　　A　级
1．分解因式：
（1）＝___________________________．
（泰安市中考试题）
（2）＝__________________________．
（威海市中考试题）
2．分解因式：
（1）＝_________________________；
（2）＝_____________________________．
3．分解因式：＝____________________________．
4．多项式与多项式的公因式是____________________．
5．在1~100之间若存在整数，使能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的有_______个．
6．将多项式分解因式的积，结果是（
）．
A．
B．
C．
D．
7．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是（
）．
A．
B．
C．
D．
（“希望杯”邀请赛试题）
8．把分解因式，其中一个因式是（
）．
A．
B．
C．
D．
9．多项式有因式（
）．
A．
B．
C．
D．
（“五羊杯”竞赛试题）
10．已知二次三项式可分解成两个整系数的一次因式的积，那么（
）．
A．一定是奇数
B．一定是偶数
C．可为奇数也可为偶数
D．一定是负数
11．分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
（4）；
（重庆市竞赛试题）
（5）；
（6）．
12．先化简，在求值：
，其中
，．
B　级
1．分解因式：＝_______________．
（重庆市竞赛试题）
2．分解因式：＝_____________．
（“五羊杯”竞赛试题）
3．分解因式：＝_________________________．
（“希望杯”邀请赛试题）
4．分解因式：＝______________________．
（“五羊杯”竞赛试题）
5．将因式分解得（
）．
A．
B．
C．
D．
（陕西省竞赛试题）
6．已知是△ABC三边的长，且满足，则此三角形是（
）．
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．不能确定
7．的因式是（
）．
A．
B．
C．
D．
E.
（美国犹他州竞赛试题）
8．分解因式：
（1）；
（湖北省黄冈市竞赛试题）
（2）；
（江苏省竞赛试题）
（3）；
（陕西省中考试题）
（4）；
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
（5）；
（“五羊杯”竞赛试题）
（6）．
（太原市竞赛试题）
9．已知乘法公式：
利用或者不利用上述公式，分解因式：．
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
10．分解因式：
（1）；
（2）；
（3）．
11．对方程，求出至少一组正整数解．
（莫斯科市竞赛试题）
12．已知在△ABC中，，
求证：．
（天津市竞赛试题）
专题03
和差化积-------因式分解的方法(1)
例1.
例2.
(1)
原式
(2)
原式
例3.(1)
(2)
(3)
例4.
D
例5.(1)
提示:
原式
(2)
提示:
原式
(3)
提示:
原式
例6.
解法1
原式
解法2
原式
A级
1.
(1)
(2)
2.
(1)
(2)
3.
4.
5.
9
6.
D
7.
A
8.
D
9.
A
10.
A
11.
(1)
提示:
令
(2)
(3)
\
(4)
提示:
原式
(5)
提示:
原式
(6)
12.
原式
当原式
B
组
1.
(1)
(2)
3.
5.
D
6.
B
7.
A
提示:
原式
8.
(1)
(2)
提示:
令
(3)
(4)
提示:
原式
(5)
(6)
9.
由公式有
10.
(1)
(2)
(3)
11.
有或
解得
或
12.
是三角形三边长,
由条件只有,故专题21
梯形
阅读与思考
梯形是一类具有一组对边平行而另一组对边不平行的特殊四边形，梯形的主要内容是等腰梯形、直角梯形等相关概念及性质.
解决梯形问题的基本思路是：通过适当添加辅助线，把梯形转化为三角形或平行四边形，常见的辅助线的方法有：
（1）过一个顶点作一腰的平行线（平移腰）；
（2）过一个顶点作一条对角线的平行线（平移对角线）；
（3）过较短底的一个顶点作另一底的垂线；
（4）延长两腰，使它们的延长线交于一点，将梯形还原为三角形．
如图所示：
例题与求解
【例1】如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠D＝2∠B，AD和CD的长度分别为，，那么AB的长是___________.
（荆州市竞赛试题）
解题思路：平移一腰，构造平行四边形、特殊三角形．
【例2】如图1，四边形ABCD是等腰梯形，AB//CD．由四个这样的等腰梯形可以拼出图2所示的平行四边形．
（1）求四边形ABCD四个内角的度数；
（2）试探究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系，并说明理由；
（3）现有图1中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗？若能，请你画出大致的示意图．
（山东省中考试题）
解题思路：对于（1）、（2），在观察的基础上易得出结论，探寻上、下底和腰及上、下底之间的关系，从作出梯形的常见辅助线入手；对于（3），在（2）的基础上，展开想象的翅膀，就可设计出若干种图形．
【例3】如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，且AC⊥BD，AF是梯形的高，梯形的面积是49cm2，求梯形的高.
（内蒙古自治区东四盟中考试题）
解题思路：由于题目条件中涉及对角线位置关系，不妨从平移对角线入手．
【例4】
如图，在等腰梯形ABCD中，AB//DC，AB＝998，DC＝1001，AD＝1999，点P在线段AD上，问：满足条件∠BPC＝900的点P有多少个？
（全国初中数学联赛试题）
解题思路：根据AB＋DC＝AD这一关系，可以在AD上取点构造等腰三角形．
【例5】
如图，在等腰梯形ABCD中，CD//AB，对角线AC，BD相交于O，∠ACD＝600，点S，P，Q分别为OD，OA，BC的中点．
（1）求证：△PQS是等边三角形；
（2）若AB＝5，CD＝3，求△PQS的面积；
（3）若△PQS的面积与△AOD的面积的比是7：8，求梯形上、下两底的比CD：AB．
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：多个中点给人以广泛的联想：等腰三角形性质、直角三角形斜边中线、三角形中位线等.
【例6】如图，分别以△ABC的边AC和BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到边AB的距离是AB的一半．
（山东省竞赛试题）
解题思路：本题考查了梯形中位线定理、全等三角形的判定与性质．关键是要构造能运用条件EP＝PF的图形．
能力训练
A
级
1.
等腰梯形中，上底：腰：下底＝1：2：3，则下底角的度数是__________.
（天津市中考试题）
2.
如图，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD＝3，BC＝5，将腰DC绕点D逆时针方向旋转900至DE，连接AE，则△ADE的面积为______________.
（宁波市中考试题）
3．如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，∠A＝，∠1＝∠2，且梯形的周长为30cm，则这个等腰梯形的腰长为______________.
4.如图，梯形ABCD中，AD//BC，EF是中位线，G是BC边上任一点，如果，那么梯形ABCD的面积为__________.
（成都市中考试题）
5.等腰梯形的两条对角线互相垂直，则梯形的高和中位线的长之间的关系是
(
)
A．＞
B．＝
C．＜
D．无法确定
6.
梯形ABCD中，AB//DC，AB＝5，BC＝，∠BCD＝，∠CDA＝，则DC的长度是(
)
A
.
B．8
C.
D.
E.
（美国高中考试题）
7．如图，在等腰梯形ABCD中，AC＝BC＋AD，则∠DBC的度数是
(
)
A.300
B.450
C.600
D.900
（陕西省中考试
8．如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝DC＝5，点P在BC上移动，则当PA＋PD取最小值时，△APD中边AP上的高为(
)
A．
B．
C．
D．3
（鄂州市中考试题）
9．如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB＝CD，点P为BC边上一点，PE⊥AB，PF⊥CD，BG⊥CD，垂足分别为E，F，G．求证
：PE＋PF＝BG．
（哈尔滨市中考试题）
10.
如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E，F分别为AB，AC中点，BD与EF相交于G．
求证：．
11.如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E、F分别是AB、AC的中点，CE⊥BF于点O．
求证：（1）四边形EBCF是等腰梯形；
（2）．
（深圳市中考试题）
12.如图1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，过点E作EF//BC交CD于点F，AB＝4，BC＝6，∠B＝．
（1）求点E到BC的距离；
（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN//AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP＝．
①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由．
②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．
（江西省中考试题)
B
级
1.
如图，在梯形ABCD中，AB//DC，AD＝BC，AB＝10，CD＝4，延长BD到E，使DE＝DB，作
EF⊥AB交BA的延长线于点F，则AF＝__________.
（山东省竞赛试题）
2.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC＝10cm，AC与BD相交于G，且∠AGD＝，设E为CG中点，F是AB中点，则EF长为_________.
（“希望杯”邀请赛试题）
3.用四条线段：作为四条边，构成一个梯形，则在所构成的梯形中，中位线的长的最大值为_________.
（湖北赛区选拔赛试题）
4.如图，梯形ABCD的两条对角线AC，BD相交于O点，且AO：CO＝3：2，则两条对角线将梯形分成的四个小三角形面积之比为_________.
（安徽省中考试题）
第4题图
第5题图
第6题图
5.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，若△DEC的面积为S，则四边形ABCD的面积为
(
)
A．
B．2S
C．
D．
（重庆市竞赛试题）
6.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝，∠C＝，E，M，F，N分别为AB，BC，CD，
DA的中点，已知BC＝7，MN＝3，则EF的值为
(
)
A．4
B．
C．5
D．6
（全国初中数学联赛试题）
7.如图，梯形ABCD中，AB//DC，E是AD的中点，有以下四个命题：①若AB＋DC＝BC，则∠BEC＝；②若∠BEC＝，则AB＋DC＝BC；③若BE是∠ABC的平分线，则∠BEC＝；
④若AB＋DC＝BC，则CE是∠DCB的平分线.其中真命题的个数是
(
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
（重庆市竞赛试题）
8.如图，四边形ABCD是一梯形，AB//CD，∠ABC＝，AB＝9cm，BC＝8cm，CD＝7cm，M是AD的中点，从M作AD的垂线交BC于N，则BN的长等于
(
)
A．1cm
B．1.5cm
C．2cm
D．2.5cm
（“希望杯”邀请赛试题）
9.如图，在梯形ABCD中，AB//DC，M是腰BC的中点，MN⊥AD.求证：
（山东省竞赛试题）
10.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，分别以两腰AB，CD为边向两边作正方形ABGE和正方形DCHF，设线段AD的垂直平分线交线段EF于点M.求证：点M为EF的中点.
（全国初中数学联赛试题）
11.已知一个直角梯形的上底是3，下底是7，且两条对角线的长都是整数，求此直角梯形的面积.
（“东方航空杯”上海市竞赛试题）
12.如图1，平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过矩形OABD的边BD的三等分点（）交AB于E，AB＝12，四边形OEBF的面积为16.
（1）求值.
（2）已知，点P从A出发以0.5cm/s速度沿AB、BD向D运动，点Q从C同时出发，以1.5cm/s的速度沿CO，OA，AB向B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.从运动开始，经过多少时间，四边形PQCB为等腰梯形（如图2）.
（3）在（2）条件下，在梯形PQCB内是否有一点M，使过M且与PB，CQ分别交于S，T的直线把PQCB的面积分成相等的两部分，若存在，请写出点M的坐标及CM的长度；若不存在，请说明理由.
专题21梯形
例1
a＋b
例2⑴上底角为120°，下底角为60°；
⑵梯形的上底等于下底的一半，且等于腰长；
⑶能拼出菱形，以下图形供参考：
例3
7cm提示：过A作AE∥BD交CB延长线于E，则S△AEC＝S梯形ABCD.
例4(1）如图a，若E为AD中点，则∠BEC＝90°且CE,BE分别平分∠BCD，∠ABC；
⑵如图b，在BC上取一点M，使AB＝MB，连结AM,DM，则∠AMD＝90°；
⑶如图c，将a，b组合，则四边形GEHM为矩形.
图a
图b
图c
∴当P为AD中点时，可以证明∠BPC＝90°；在AD上截取AP＝AB，可以证明∠BPC＝90°，故满足条件∠BPC＝90°的点P有2个.
例5⑴连结SC,PB.∴△OCD,△OAB均为等边三角形，S，P，Q分别为OD,OA,BC中点，
∴SQ＝BC＝AD＝SP＝PQ.故△SPQ为等边三角形.
⑵∵SB＝DO＋OB＝,CS＝,BC＝7.
∴△SPQ的边长SQ＝BC＝.∴S△SPQ＝
EQ
\F(,4)×()2＝
EQ
\F(49,16).
(3）设CD＝a，AB＝b(aEQ
\F(,2)a)2＋(b＋)2＝a2＋b2＋ab.
∴S△SPQ＝
EQ
\F(,16)(a2＋ab＋b2).又＝，则S△AOD＝
EQ
\F(,4)ab.
又＝,则S△AOD＝ab.∵＝,∴8×
EQ
\F(,16)
(a2＋ab＋b2)＝7×
EQ
\F(,4)ab.
即2a2－5ab＋2b2＝0，化简得＝.
故CD：AB＝1:2.
例6如图，分别过E,F,C,P作AB的垂线，垂足依次为R，S，T，Q，则PQ就是点P到AB的距离，且有ER∥PQ∥CT∥FS，故四边形ERSF为直角梯形，PQ＝(ER＋FS).
易证Rt△AER≌Rt△CAT，Rt△BFS≌Rt△CBT，∴ER＝AT，FS＝BT，又AT＋BT＝AB＝ER＋FS，
故PQ＝AB.
A级
1.60°2.3
3.6cm
4.8cm2
5.B
6.D
7.C
8.C提示:如图，作点D关于直线BC的对称点D'，连结DD'交BC于E，连结AD'交BC于P，过D作DF⊥AP于F,故PA＋PD此时最小.
由BE＝AD＝2，EC＝3，则可得：DE＝4，∴DD'＝8,则AD'＝2.
又∵AD'·DF＝AD·DD',则DF＝.
9.提示：过P点作PQ⊥BG于Q，证明PE＝BQ.
10.提示：连结DF并延长交于BC于H，则GF＝BH，AD＝CH.
11.略
12.⑴
⑵①当点N在线段AD上运动时，△PMN形状不发生改变，其周长为＋＋4.
②当点在线段DC上运动时，△PMN的形状发生改变，但恒为等边三角形，过E作于。
当时，；
当时，；
当时，
B级
1.4
2.5cm
3.
10.5
提示：以7，14作两底的梯形中位线最长
4.
6：4：6：9
5.
B
6.
A
7.D
8.C
提示：连结，，则，而
8.提示：连结，，延长交的延长线于，则，
又
8.如图，过，分别作，垂直于，分别交于，，过、分别
作所有直线于，，可证明，。
∥∥
，
8.
提示：设梯形的高为，则基其两条对角线分别为与，
于是与都是完全平方数，即与都是完全平方数，从而
即，又与的奇偶性相同，因此，得，
或，
8.（1）
（2）由（1）知；则P点到达终点时所有用时间为：，
同理：，。，只可能在上
设经过，四边形为等腰梯形，则，，
由题意可知：，解得
（3）存在，点为连结两腰中点线段的中点，，，专题12
心中有数
阅读与思考
现代社会是一个数字化的社会，我们每个人每天都要和各种各样的数字打交道，从国民生产总值、人均消费水平、人口自然增长率、股市综合指数，到家庭的水、电、煤气的月平均数，学生的身高、体重、考试成绩，都与数字有关.“用数据说话”已成为从事许多工作的基本要求，能用数据说话的人必须具备一定的统计知识.
对数据进行收集、整理、计算、分析，并在此基础上作出科学的推断，这就是数据分析，是统计学研究的基本范畴和方法，收集数据、量化处理的目的在于运用统计结果进行判断和决策.
统计学的基本思想就是用样本对总体进行估计、推理，即用样本的平均水平、波动情况、分布规律等特征估计总体的平均水平、波动情况和分布规律，是从局部看整体的思想方法.
例题与求解
【例l】
在对某班的一次数学测试成绩进行统计分析中，各分数段的人数如图所示（分数取正整数，满分100分）.请观察图形，并回答下列问题：
（1）该班有________名学生.
（2）69.5~79.5这一组的频数是_________，频率是_________.
（3）请估算该班这次测验的平均成绩.
（黄冈市中考试题）
解题思路：从频率直方图中捕捉相关信息.
【例2】
某学生通过先求与的平均值，再求得数与的平均值来计算，，三个数的平均数.当时，这个学生的最后得数是（
）
A.正确的
B.总小于A
C.总大于A
D.有时小于A，有时等于A
E.有时大于A，有时等于A
（第二届美国中学生邀请赛试题）
解题思路：按不同方法计算平均值，作差比较它们的大小.
【例3】
某校九年级学生共有900人，为了解这个年级学生的体能，从中随机抽取部分学生进行1min的跳绳测试，并指定甲、乙、丙、丁四名同学对这次测试结果的数据作出整理，下图是这四名同学提供的部分信息：
甲：将全体测试数据分成6组绘成直方图（如图）；
乙：跳绳次数不少于105次的同学占96%；
丙：第①、②两组频率之和为0.12，且第②组与第⑥组频数都是12；
丁：第②、③、④组的频数之比为4：17：15．
根据这四名同学提供的材料，请解答如下问题：
（1）这次跳绳测试共抽取多少名学生？各组有多少人？
（2）如果跳绳次数不少于135次为优秀，根据这次抽查的结果，估计全年级达到跳绳优秀的人数为多少.
（3）以每组的组中值（每组的中点对应的数据）作为这组跳绳次数的代表，估计这批学生1min跳绳次数的平均值．
（安徽省中考试题）
解题思路：本题考查了频率、频数的概念和对频数直方图的认识，要理解各组频率之和为1，各组频数之和等于总数，掌握好这些知识点，自然可以解决问题.
【例4】
编号为1到25的25个弹珠被分放在两个篮子A和B中，15号弹珠在篮子A中，把这个弹珠从篮子A移至篮子B中，这时篮子A中的弹珠号码数的平均数等于原平均数加，篮子B中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加．问原来在篮子A中有多少个弹珠？
（第十六届江苏竞赛试题）
解题思路：用字母分别表示篮子A，B中的弹珠数及相应的平均数，运用方程（组）来求解.
【例5】
某次数学竞赛共有15道题，下表是对于做对n（n=0，1，2，…，15）道题的人数的一个统计，如果又知其中做对4道题和4道以上的学生每人平均做对6道题，做对10道题和10道题以下的学生每人平均做对4道题，问这个表至少统计了多少人？
问这个表至少统计了多少人？
n
0
1
2
3
…
12
13
14
15
做对?n道题的人数
7
8
10
21
…
15
6
3
1
（全国初中数学联赛试题）
解题思路：从统计表中可知做对0~3道题、12~15道题的相应总人数和总题数，结合已知条件，运用方程（组）、不等式（组）等知识方法求解.
【例6】
一次中考模拟考试中，两班学生数学成绩统计如下：
分数
50
60
70
80
90
100
人数
三（3）
2
5
10
13
14
6
三（4）
4
4
16
2
12
12
请你根据学过的统计学知识，判断这两个班在这次模拟考试中的数学成绩谁优谁次？并说明理由.
解题思路：这是一道开放性试题，看考虑问题是从哪一个侧面入手.本题因未说明从何种角度来考虑，故我们应多想几套方案.
能力训练
A级
1.大连是一个严重缺水的城市，为鼓励市民珍惜每一滴水，某居委会表彰了100个节约用水模范户，5月份这100户节约用水的情况如下表：
每户节水量（单位：吨）
1
1.2
1.5
节水户数
52
30
18
那么，5月份这100户平均节约用水的吨数为（精确到0.01吨）_________吨.
（大连市中考试题）
2.某班全体学生进行了一次篮球投篮练习，每人投球10个，每投进一球得1分．得分的部分情况如下表所示：
得分
0
1
2
…
8
9
10
人数
7
5
4
…
3
4
1
已知该班学生中，至少得3分的人的平均得分为6分，得分不到8分的人的平均得分为3分，那么该班
学生有___________人．
（江苏竞赛试题）
3.甲、乙两名学生在相同的条件下各射靶10次，命中的环数如下：
甲：7
8
6
8
6
5
9
10
7
4
乙：9
5
7
8
7
6
8
6
7
7
所以应确定_______去参加射击比赛.
4.在综合实践课上，六名同学做的作品的数量（单位：件）分别是：5，7，3，，6，4，若这组数据
的平均数是5，则这组数据的中位数是_________件.
（包头市中考试题）
5.如果一组数据，，，，的平均数是，则另一组数据，，，，
的平均数是（
）
A.
B.
C.
D.
（天津市中考试题）
6.10名工人某天生产同一零件，生产的件数是45，50，75，50，20，30，50，80，20，30．设这些零件数的平均数为，众数为，中位数为，那么（
）
A.
B.
C.
D.
（宁夏中考试题）
7.为了了解某区九年级7
000名学生，从中抽查了500名学生的体重.就这个问题而言，下列说法正确的
是（　　）
A．7
000名学生是总体
B．每个学生是个体
C．500名学生是样本
D．样本容量为500
8.已知1~99中有49个偶数，从这49个偶数中取出48个数，其平均数为，则未取的数字是（
）
A．20
B．28
C．72
D．78
（台湾省中考试题）
9.甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示：
（1）分别求出两人得分的平均数与方差；
（2）根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价.
（安徽省中考试题）
10.某校要从九年级（1）班和（2）班中各选取10名女同学组成礼仪队，选取的女生身高如下：（单位：厘米）
（1）班：168
167
170
165
168
166
171
168
167
170
（2）班：165
167
169
170
165
168
170
171
168
167
（1）补充完成下面的统计分析表
班级
平均数
方差
中位数
极差
（1）班
168
168
6
（2）班
168
3.8
（2）请选一个合适的统计量作为选择标准，说明哪一个班能被选取.
（2013宁夏回族自治区中考试题）
11.为估计一次性木质筷子的用量，2011年从某县共600家高、中、低档饭店中抽取10家作样本.这些饭店每天消耗的一次性筷子盒数分别为：
0.6，3.7，2.2，1.5，2.8，1.7，1.2，2.1，3.2，1.0.
（1）通过对样本的计算，估计该县1999年消耗多少盒一次性筷子（每年按350个营业日计算）；
（2）2013年又对该县一次性木质筷子的用量以同样的方式作了抽样调查，调查的结果是10个样本饭店每个饭店平均每天使用一次性筷子2.42盒．求该县2012年、2013年这两年一次性木质筷子用量平均每年增长的百分率（2012年该县饭店数、全年营业天数均与2011年相同）；
（3）在（2）的条件下，若生产一套中小学生桌椅需木材0.07，求该县2013年使用一次性筷子的木材可以生产多少套学生桌椅?
计算中需用的有关数据为：每盒筷子100双，每双筷子的质量为5，所用木材的密度为0.5×103；
（4）假如让你统计你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，如何利用统计知识去做，简要地用文字表述出来．
12.由9位裁判给参加健美比赛的12名运动员评分.每位裁判对他认为的第1名运动员给1分，第2名运动员给2分，…，第12名运动员给12分，最后评分结果显示：每个运动员所得的9个分数中高、低之差都不大于3.设各运动员的得分总和分别为，，…，，且，求的最大值.
(第十九届江苏省竞赛试题)
B级
1.为制定本市初中七、八、九年级学生校服的生产计划，有关部门准备对180名初中男生的身高作调查，现有三种调查方案：
A、测量少体校中180名男子篮球、排球队员的身高；
B、查阅有关外地180名男生身高的统计资料；
C、在本市的市区和郊县各任选一所完全中学、两所初级中学，在这六所学校有关年级的（1）班中，用抽签的方法分别选出10名男生，然后测量他们的身高．问：
（1）为了达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的，你认为采用上述哪一种调查方案比较合理，为什么？
答：选________；理由：______________________________________________________________
（2）下表中的数据是使用了某种调查方法获得的：
初中男生身高情况抽样调查表
七年级
八年级
九年级
总计（频数）
143~153
12
3
0
153~163
18
9
6
163~173
24
33
39
173~183
6
15
12
183~193
0
0
3
（注：每组可含最低值，不含最高值）
①根据表中的数据填写表中的空格；
②根据填写的数据绘制频数分布直方图．
（上海市中考试题）
2.为了检查一批产品的合格率，从中检查了100个产品，测得数据如下：
数据
个数
5
10
15
20
20
15
10
5
其中，，，…，是从小到大排列的两位数，且每个两位数与它的反序数（12的反序数是21）之和都为完全平方数，样本的方差是________.
（辽宁锦州市竞赛试题）
3.五名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为米，后两名的平均身高为米，前两名的平均身高为，后三名的平均身高为，则与比较（
）
A.大
B.大
C.两者相等
D.无法确定
（“五羊杯”邀请赛试题）
4.已知数据，，的平均数为，，，的平均数为，则数据，，的平均数为（
）
A.
B.
C.
D.
（全国初中数学竞赛试题）
5.小林拟将1，2，…，这个数输入电脑，求平均数.当他认为输入完毕时，电脑显示只输入个数，平均数为，假设这个数输入无误，则漏输入的一个数是（
）
A.10
B.53
C.56
D.67
（江苏省竞赛试题）
6.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．设该矩形的长QM=mm，宽MN=mm．
（1）求证：；
（2）当矩形PQMN的面积最大时，它的长和宽是关于的一元二次方程的两个根，而、的值又恰好分别是，10，12，13，这5个数据的众数与平均数，试求与的值．
（广西壮族自治区中考试题）
7.某班参加一次智力竞赛，共，，三道题，每题或者得满分或者得0分．其中题满分20分，
、题满分都为25分，竞赛结果：每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，答对其中两道题的有15人，答对题的人数与答对题的人数之和为29；答对题的人数与答对题的人数之和为25；答对题的人数与答对题的人数之和为20，问这个班的平均成绩是多少.
（全国初中数学联赛试题）
8.元旦联欢会某班布置教室，同学们利用彩纸条粘成一环套一环的彩纸链，小敏测量了部分彩纸链的长度，她得到的数据如下表：
纸环数（个）
1
2
3
4
…
彩纸链长度(cm)
19
36
53
70
…
（1）把上表中、的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想与的函数关系，并求出函数关系式；
（2）教室天花板对角线长10m，现需沿天花板对角线各拉一根彩纸链，则每根彩纸链至少要用多少个纸环？
（济南市中考试题）
9.某射击运动员在一次比赛中，前6次射击已经得到52环，该项目的记录是89环（10次射击，每次射击环数只取1～10中的正整数）．
（1）如果他要打破记录，第7次射击不能少于多少环？
（2）如果他第7次射击成绩为8环，那么最后3次射击中要有几次命中10环才能打破记录？
（3）如果他第7次射击成绩为10环，那么最后3次射击中是否必须至少有一次命中10环才有可能打破记录？
（山东省中考试题）
10.“中国梦”关乎每个人的幸福生活.为进一步感知我们身边的幸福，展现成都人追梦的风采，我市某校开展了以“梦想中国，逐梦成都”为主题的摄影大赛，要求参赛学生每人交一件作品．现将参赛的50件作品的成绩（单位：分）进行统计如下：
等级
成绩（用表示）
频数
频率
A
0.08
B
35
C
11
0.22
合计
50
1
请根据上表提供的信息，解答下列问题：
（1）表中的的值为________，的值为_______；
（2）将本次参赛作品获得A等级的学生依次用A1，A2，A3，…表示，现该校决定从本次参赛作品中获得A等级学生中，随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会，请用树状图或列表法求恰好抽到学生A1和A2的概率．
（成都市中考试题）
专题12
心中有数
例1
（1）60
（2）
（3）71（分）
例2
C
例3
（1）第①组频率为1-96%=0.04，∴第②组频率为0.12-0.04=0.08.故总人数为12÷0.08=150（人），又第②、③、④组的频数之比为4：17：15，可算得第①⑥组的人数分别为6、12、51、45、24、12.
（2）第⑤⑥两组的频率之和为0.16+0.08=0.24，由于样本是随机抽取的，可估计全年级有900×0.24=216（人）达到优秀.
例4
设原来篮子A中有弹珠x个，则篮子B中有弹珠（25-x）个，又设原来A弹珠号码数的平均数为a,B中弹珠号码数的平均数b，则，解得x=9.
即原来篮子A中有9个弹珠.
例5提示：由统计表可知：做对0～3道题的总人数为7+8+10+21=
46（人），他们做对题目数的总和为7×0+8×1+10×2+21×3=91（题）；做对12～15道题的总人数为15+6+3+1=25（人），他们做对题目数的和为15×12+6×13+3×14+1×15=315（题）．
以x0，x1，…，x15分别表示做对0道、1道、…、15
道题目的人数，由题意得
，
即=
6()；
=4（）
两式相减得11x11+12x12+…15x15-(x1+2x2+3x3)=6()-4(）=6(x11+x12+…+x15)-4(x0+x1+x2+x3)+2(x4+x5+…+x10)
=4(x11+x12+…+x15)-6(x0+x1+x2+x3)+2(x0+x1+…+x15)=4x11+4(x12+x13+x14+x15)-6(x0+x1+x2+x3)+2（x0+x1+…+x15）
而x0+x1+x2+x3=46,x12+x13+x14+x15=25,0+x1+2x2+3x3=91,12x12+13x13+14x14+15x15=315
代入上式得llx11+315
-
91=4x11+4×25-6×46
+2(x0+x1+…+x15)．
故x0+x1+…+x15=200+3.5x11(x11≥0)，因此，
当x11=0时，统计的总人数x0+x1+…+x15最少为200人.
例6方案一
从平均数的角度，其解为
因此，从平均数的角度来看，两班成绩一样好．
方案二
从选拔人才的角度考虑：三(3)班高于
90分的人数有20人，三(4)班有24人；同时三(4)班
满分人数比三(3)班多6人，这说明三(4)班尖子生比
三(3)班多.
因此，从选拔人才的角度看，三(4)班比三(3)班成绩好．
方案三
从众数的角度来思考：三(3)班成绩的众数为90，三(4)班成绩的众数为70，
因此．从成绩的众数来看，三(3)班优于三(4)班．
方案四
从方差或标准差的角度来考虑．
∵
∴＜，即三(3)班成绩较三(4)班波动要小，从而说明三(3)班成绩优于三(4)班．
方案五从中位数的角度来考虑．三(3)、三(4)
两班成绩的中位数都为80分．三(3)班成绩在中位数
以上（包括中位数）有33人，三(4)班成绩在中位数以
上（包括中位数）有26人，从这一角度来看，三(3)班
学生成绩整体较好．
A级
1.
1.
15
2.
43
设共有x人．
由(x-4-5-7)×6+2×4+1×5+0×7=(x-3-4-1)×3+8×3+9×4+10×1，得x=43.
3．乙
4.
5
5．B
6．C
7．D
8．D
9．(l)
(2)乙的成绩较稳定，从折线图看，乙的成绩则在平均线上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．、
10.（1）
班级
平均数
方差
中位数
极差
(1)班
168
3.2
168
6
(2)班
168
3.8
168
6
(2)(1)班
11.
=2.0
2×600×350=420
000(盒)
(2)10%
(3)
(4)略
12.9名裁判不可能给某5位或5位以上的运动员都评为1分，因为对于5位或5位以上的运动员中，至少有一名运动员被某裁判评的分不小于5．而按照题意，这5名运动员中的每一位被各裁判所评的分不大于4，矛盾．
因此，9名裁判至多给某4名运动员都评为1分，下面分情形讨论．
(l)如果所有裁判都给某一名运动员评为1分，那么C1
=9;
(2)如果9名裁判评出的9个1分集中在两位运动员名下，那么其中必有一名运动员至少被5名裁判都评为1
分，于是由题设可知，其余裁判给该运动员的评分不大于4，从而Cl≤5×1+4×4=21；
(3)如果裁判评出的9个1分集中在三位运动员名下，
那么，这三名运动员各自所得的总分之和不大于9×1
+9×3+9×4=72，从而3c1≤cl
+c2
+c3≤72，故c1≤24；
(4)如果9个1分为4名运动员拥有，那么这4名运动员各人所得总分之和等于9×1+9×2+9×3+9×4=
90，从而4c1≤90，故c1<23.综上可知，c1≤24．c1=24这种情形是可以实现的，见下表．
B
级
1．（１）Ｃ　　（２）略
2．设满足条件的两位数为10x＋y，10x＋y＋10y＋x＝11（x＋y）为完全平方数，则x＋y＝11，从而，，，，，，，，，，．
3．A
4．A
用平均数的性质解答
5．C
6．（1）略
（2）（a，b）＝（10，15）或（15，10）
7．提示：设、、分别表示答对a、b、c各题的人数，则，解得，
答对一题的人数为37－1×3－2×15＝4，全班人数为1＋4＋15＝20．
全班平均成绩为（分）．
8．（1）y＝17x＋2
（2）由17x＋2≥1000得，即每根彩链至少要用59个纸环．
9．（1）不少于8环
（2）至少要3次命中10才能打破记录
（3）至少有一次命中10环．
10．（1）4
0.7
（2）由（1）知获得A等级的学生共有4人，则另外两名学生记为A3，A4．
画树状图如下：
所有可能出现的结果是：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A2，A1），（A2，A3），
（A2，A4），（A3，A1），（A3，A2），（A3，A4），（A4，A1），（A4，A2），（A4，A3）．
或列表如下：
A1
A2
A3
A4
A1
（A1，A2）
（A1，A3）
（A1，A4）
A2
（A2，A1）
（A2，A3）
（A2，A4）
A3
（A3，A1）
（A3，A2）
（A3，A4）
A4
（A4，A1）
（A4，A2）
（A4，A3）
由此可见，共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相同，其中恰好抽到A1，A2两名学生的结果有2种．
∴
P(恰好抽到A1，A2两名学生)．
年级
人数
身高(cm)专题23
面积的计算
计算图形的面积是几何问题中一种重要题型，计算图形的面积必须掌握如下与面积有关的重要知识：
1.常见图形的面积公式；
2．等积定理：等底等高的两个三角形面积相等；
3.等比定理：
(1)
同底（或等底）的两个三角形面积之比等于等于对应高之比；同高（或等高）的两个三角形面积之比等于等于对应底之比.
(2)
相似三角形的面积之比等于对应线段之比的平方.
熟悉下列基本图形、基本结论：
例
题
与
求
解
【例1】如图，△ABC内三个三角形的面积分别为5，8，10，四边形AEFD的面积为，则＝________.
（黄冈市竞赛试题）
解题思路：图中有多对小三角形共高，所以可将面积比转化为线段之比作为解题突破口.
【例2】如图，在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD＝4，CE＝6，那么△ABC的面积等于
(
)
(全国初中数学联赛)
A．12
B．14
C．16
D．18
解题思路：由中点想到三角形中位线，这样△ABC与四边形BCDE面积存在一定的关系.
【例3】如图，依次延长四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，使＝＝＝＝，若S四边形EFGH＝2S四边形ABCD，求的值.
解题思路：添加辅助线将四边形分割成三角形，充分找出图形面积比与线段比之间的关系，建立关于的方程.
【例4】如图，P，Q是矩形ABCD的边BC和CD延长线上的两点，PA与CQ相交于点E，且∠PAD＝∠QAD，求证：S矩形ABCD＝S△APQ.
解题思路：图形含全等三角形、相似三角形，能得到相等的线段、等积式，将它们与相应图形联系起来，促使问题的转化.
【例5】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，移动速度为每秒2个单位长度.
过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为秒，AE的长为y.
(1)
求出y关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)
当为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少？
(江西省中考试题)
解题思路：对于(1)利用△ADE∽△ABC可得y与的关系式；对于(2)先写出S关于的函数关系式，再求最大值.
【例6】如图，设P为△ABC内任意一点，直线AP，BP，CP交BC，CA，AB于点D，E，F.
求证：(1)
＋＋＝1；
(2)＋＋＝2
解题思路：过点A，P分别作BC的垂线，这样既可得到平行线，产生比例线段，又可以与面积联系起来，把
转化为面积比，利用面积法证明.
A
级
1．如图，ABCD中，AE∶BE＝1∶2，S△AEF＝6cm2，则S△CDF的值为________.
(济南市中考试题)
2．如图，正六边形ABCDEF的边长为2cm，P为正六边形内任一点，则点P到各边距离之和为_______.
3．如图，P是边长为8的正方形ABCD外一点，PB＝PC，△PBD的面积等于48，则△PBC的面积为_____________.
(北京市竞赛试题)
4．如图，已知△BOF，△AOF，△BOD，△COE的面积分别为30，40，35，84，则△ABC的面积为________.
(浙江省竞赛试题)
5．如图，已知AD是Rt△ABC斜边BC上的高，DE
是Rt△ADC斜边上的高，如果DC∶AD＝1∶2，
S△DCE＝a，那么S△ABC等于
(
)
(金华市中考试题)
A．4a
B．9a
C．16a
D．25a
6．如图，已知M是ABCD边AB的中点，CM交BD于点E，则图中阴影部分面积与ABCD的面积之比为（
）
（山西省中考试题）
A．
B．
C．
D．
7．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于点D，E，若S△ADE＝2S△DCE，则等于(
)
(浙江省宁波市中考试题)
A．
B．
C．
D．
8．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分面积面积为（
）cm2.
(广东省竞赛试题)
A．4
B．2
C．3
D．4
9．如图，平面上有两个边长相等的正方形ABCD和
A′B′C′D′，且正方形A′B′C′D′的顶点A′在正方形ABCD的中心，当正方形A′B′C′D′绕A′
转动时，两个正方形重合部分的面积必然是一个定值.
这个结论对吗？证明你的判断.
（“希望杯”邀请赛试题）
10．如图，设凸四边形ABCD的一组对边AB，CD的中点分别为K，M.求证：S四边形ABCD＝S△ABM＋S△DCK..
11．如图1，AB，CD是两条线段，M是AB的中点，S△DMC，S△DAC，S△DBC分别表示△DMC，△DAC，△DBC的面积，当AB∥CD时，有S△DMC＝………..①.
(1)
如图2，若图1中AB与CD不平行时，①式是否成立？请说明理由.
(2)
如图3，若图1中AB与CD相交于点O时，
问S△DMC与S△DAC和S△DBC有何相等关系？试证明你的结论.
（安徽省中考试题）
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C′.
(1)
如图1，当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于点D，证明：△A′CD是等边三角形；
(2)
如图2，连接A′A，B′B，设△ACA′和△BCB′的面积分别为S△ACA′和S△BCB′.求证：S△ACA′∶S△BCB′＝1∶3.
(3)
如图3，设AC的中点为E，A′B′的中点为P，AC＝a，连接EP，当θ＝_____时，EP长度最大，最大值是____________.
（安徽省中考试题）
B
级
1．如图，A在线段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7cm2和11cm2，则△CDE的面积等于___________cm2.
（武汉市竞赛试题）
2．如图，P为正方形ABCD内一点，PA＝PB＝10，并且P到CD边的距离也等于10，那么正方形ABCD的面积是_______________.
(北京市竞赛试题)
3．如图，四边形ABCD中，点E，F分别在BC，DC上，＝1，＝2，若△ADF的面积为m，四边形AECF的面积为n
(n＞m)，则四边形ABCD的面积为___________.
(全国初中数学联赛试题)
4．如图，图形ABCD中，AB∥CD，AC和BD相交于点O，若AC＝5，BD＝12，中位线长为，△AOB的面积为S1，△OCD的面积为S2，则＋＝_________.
(山东省竞赛试题)
5．如图，分别延长△ABC的三边AB，BC，CA至A′，B′，C′，使得AA′＝3AB，BB′＝3BC，CC′＝3AC，若S△ABC＝1，则S△A′B′C′等于
(
).
A．18
B．19
C．24
D．27
(山东省竞赛试题)
6．如图，若ABCD是2×2的正方形，E是AB的中点，F是BC的中点，AF与DE相交于点I，BD和AF相交于点H，那么四边形BEIH的面积是
(
)
A．
B．
C．
D．
(江苏省竞赛试题)
7．如图，矩形ABCD中，E是BC上的一点，F是CD上的点，已知S△ABE＝S△ADF＝SABCD，则的值等于
(
)
(北京市竞赛试题)
A．2
B．3
C．4
D．5
8．(1)
探究：如图1，在ABCD的形外分别作等腰直角三角形ABF和等腰直角三角形ADE，∠FAB＝∠EAD＝90°，连接AC，EF.
在图中找一个与△FAE全等的三角形，并加以证明.
(2)
应用：以ABCD的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图2，连接EF，GH，IJ，KL，若ABCD的面积为5，则图中阴影部分四个三角形的面积之和为____________.
（长春市中考试题）
9．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC＝2cm，BC＝4cm，在等腰△PQR中，∠QPR＝120°，底边QR＝6cm，
点B，C，Q，R在同一条直线l上，且C，Q两点重合，如果等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为Scm2.
(1)
当t＝4时，求S的值；
(2)
当4≤t≤10时，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值.
(广州市中考试题)
10．有一根直尺的短边长为2cm，长边长为10cm，还有一块锐角为45°的直角三角纸板，它的斜边长为12cm，如图1将直尺的短边DE放置与直角三角纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合
将直尺沿AB方向平移，如图2，设平移的长为cm(0≤≤10)，直尺与三角形纸板重叠部分（图中阴影部分）的面积Scm2.
(1)
当＝0时，S＝________，当时，S＝________；
(2)
当0＜≤4时，求S关于的函数关系式；
(3)
当4＜＜10时，求S关于的函数关系式，并求出S的最大值.
(徐州市中考试题)
11．如图，设H是等腰三角形ABC的三边上的高线的交点，在底边BC保持不变的情况下，让顶点A至底边BC的距离变小（仍保持三角形为等腰三角形），这时的值变大、变小、还是不变?证明你的结论.
(全国初中数学联赛试题)
12．(1)
请你在图1中作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；
(2)
如图2，点M是矩形ABCD内一定点，请你在图2中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；
(3)
如图3，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC∥OB，OB＝6，BC＝4，CD＝4.
开发区综合服务管理委员会(其占地面积不计)设在点P(4，2)处.
为了方便驻区单位，准备过点P修一条笔直的道路(路的宽不计)，并且使这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的两部分.
你认为直线l是否存在?若存在，求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由.
(陕西省中考试题)
专题23
面积的计算
例1．22
提示：连接AF．
例2．选C
提示：连接DE．
例3．
提示：连接GA，HB，EC，FD，AC，BD，则
，同理，
故，同理.
例4．
提示：过E作EF∥BC交AB于F，△AEF≌△ADE≌△ADQ，又△AED∽△PEC，
则，积AD·CE=PC·DE．
例5．
提示：（1）（0≤x≤4）
（2），当x=2时，S最大值=6.
例6．（1）如图，分别过P，A作BC的垂线，垂足为P1，A1．
．
同理，，
故．
（2）.
A级
1．54cm
2．18cm
3．32
4．315
5．C
6．C
7．D
8．C
9．提示：当正方形ABCD
与正方形A’B’C’D’的对应边平行时，两者重合部分面积为正方形面积的；转动后，两者重合面积仍为定值．
10．
提示：过A、K、B分别作CD的垂线．
11．（1）结论仍然成立，证明略．
（2）
12．（1）略
（2）△ACA’∽△BCB’
（3）120°，
B
级
1．
2．256
3．
4．
提示：S梯形ABCD=
5．B
6．C
7．D
8．（1）略
（2）10
9．提示：（1）当t=4时，Q与B重合，P与D重合，如图a，重合部分是△BDC，
S△BDC=．
（2）①当4≤t≤6时，如图b，BQ=t－4，CR=6－4，
由△PQR∽△BQM∽△CRN，
得＝()2＝()2，
∴S＝S△PQR－S△BQM－S△CRN＝．
当t＝5时，S最大值＝．
②当6＜t≤10时，如图c，BR＝10－t，BK⊥RK，且∠KRB＝30°，所以BK＝BR＝(10－t)，KR＝(10－t)，S＝BK·KR＝(10－t)2．
当t＝6时，S最大值＝2．
综合①②，当t＝5时，S最大值＝．
10．提示：（1）S＝2cm2；S＝2cm2．
（2）当0＜x≤4时，如图a，DG＝AD＝x，AE＝EF＝x＋2，
S＝＝2x＋2cm2．
（3）当4＜x＜10时，应分两种情况进行讨论：
①当4＜x＜6时，如图b，DG＝AD＝x，EF＝BE＝12－x－2＝10－x，S＝S△ABC－S△ADG－S△BEF＝－x2＋10x－14＝－(x－5)2＋11，故当x＝5时，S最大值＝11．
②当6≤x＜10时，如图c，BD＝DG＝12－x，EF＝BE＝10－x，S＝22－x，当x＝6时，S最大值＝10．
综上所述，4＜x＜10时，S的最大值为11cm2．
11．∵∠HBD＝∠HAE，∴Rt△BDH∽Rt△ADC．
∴．又BD＝DC＝BC，
∴AD·HD＝BD·DC＝BC2．
∴S△ABC·S△HBC＝(AD·BC)(HD·BC)＝BC4．而BC是不变的，∴当点A至BC的距离变小时，乘积S△ABC·S△HBC保持不变．
12．（1）（2）略
（3）如图，存在符合条件的直线l．过点D作DA⊥OB于A，则点P(4，2)为矩形ABCD的对称中心．
∴过点P的直线只要平分△DOA的面积即可．
易知，在OD边上必存在点H，使得直线PH将△DOA的面积平分，从而，直线PH平分梯形OBCD的面积，直线PH即为所求直线l．
设直线PH的表达式为y＝kx＋b，且点P(4，2)，
∴2＝4k＋b，即b＝2－4k，∴y＝kx＋2－4k．
∵直线OD的表达式为y＝2x，
∴，解得，
∴点H的坐标为(，)．
∴PH与线段AD的交点F的坐标为(2，2－2k)，
∴0＜2－2k＜4，∴－1＜k＜1．
∴S△DHF＝(4－2＋2k)·(2－)＝××2×4，解得k＝(k＝不合题意，舍去)．∴b＝8－2，∴直线l的表达式为y＝x＋8－2．
例1图
例2图
例3图
例4图
例5图
例6图
第1题图
第2题图
第3题图
第4题图
第5题图
第6题图
第7题图
第8题图
第9题图
第10题图
第1题图
第2题图
第3题图
第4题图
第5题图
第6题图
第7题图
第9题图
第11题图专题24　图形的折叠与剪拼
阅读与思考
图形的折叠是指把某个图形或部分沿某直线翻折，这条直线为对称轴，在折叠过程中，线短的长度、角的度数保持不变.
图形的剪拼是指对某个图形通过有限次的剪裁后重新接成另外一个新的几何图形，在剪拼过程中，原图形与新图形的面积一般保持不变.
解答图形的折叠与剪拼问题，要抓住折叠与剪拼过程中一些量的不变性，将计算、推理与合情想象结合起来，常用到全等三角形、勾股定理、面积等知识与方法.
折叠问题的实质是对称问题，“遇到折叠用对称”就是运用对称的性质：
①
关于一条直线对称的两个图形全等；
②
对称轴是对应点连线的中垂线.
例题与求解
【例1】
如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在处，则重叠部分△AFC的面积为＿＿＿＿＿.
（山东省竞赛试题）
例1题图
例2题图
解题思路：△AFC的高为BC，只需求出AF，注意到＝，AF＝FC
【例2】如图，直线
与x轴，y轴分别交于P，Q两点，把△POQ沿PQ翻折，点O落在R处，则点R的坐标是（　　）
A.
　　
B.（2,1）
C.（6,3）　　　
D.（7，3.5）
（江苏省竞赛试题）
解题思路：过点R作x轴，y轴的垂线，再利用相似三角形的性质可得垂线段的长度即求得点R的坐标.
解剪拼问题时先利用剪拼后的图形所需关键线段的长度，然后，从剪拼前的图形中寻找这些长度进行剪拼.
【例3】　如图，将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使得A点落在CD边上点E处，然后压平折痕FG，若FG＝13cm，求CE长.
（北京市竞赛试题）
解题思路：由折叠可得A与E关于FG对称，则FG⊥AE，可证明FG＝AE，这是解本例的关键.
【例4】　将一矩形纸片放在平面直角坐标系中，，，．动点从点出发以每秒1个单位长的速度沿向终点运动，运动秒时，动点从点出发以相等的速度沿向终点运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点的运动时间为（秒）．
（1）用含的代数式表示；
（2）当时，如图1，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，求点的坐标；
（3）连结，将沿翻折，得到，如图2．问：与能否平行？与能否垂直？若能，求出相应的值；若不能，说明理由．
（绍兴市中考试题）
解题思路：对于（3），假设能，由比例线段求出t的值，关键是看相应t的值是否在t的取值范围.
折纸、剪纸是最富于自然情趣而又形象生动的实验，同时说明了存在的事实是怎样被发现的，现象又是怎样获得证实的，在平面几何的一些主要学习环节发挥重要作用.
【例5】
用10个边长分别为3，5，6，11，17，19，22，23，24，25的正方形，可以拼接一个长方形.
（1）求这个长方形的长和宽；
（2）请画出拼接图.
（“华杯赛”决赛试题）
解题思路：运用剪拼前后图形面积不变求长方形的长和宽；利用长方形对边相等的性质画拼接图.
【例6】　将正方形纸片ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC交于点G.
（1）如果M为CD边的中点，求证：DE：DM：EM＝3：4：5；
（2）如果M为CD边上的任意一点，设AB＝2a，问△CMG的周长是否有与点M的位置关系？若有关，请把△CMG的周长用含CM的长x的代数式表示；若无关，请说明理由．
解题思路：折痕EF两旁部分图形是关于EF成对称的，对于（2），通过相似三角形性质，把△CMG的周长用相关代数式表示，解题的关键是将几何问题代数化.
对于例6，如图，当M为CD边上的中点，则有
，即G为BC的三等分点，这一结果是由日本筑波大学的生物学教授芳贺和夫发现的，被称为芳贺第一定理.
作深入思考，进一步挖掘还能得到如下重要结论：
（1）无论怎样折叠，若点M落在CD上，则MG＝DM＋BG；
（2）无论怎样折叠，若点M落在CD上，连MA，GA，则∠MAG＝450.
能力训练
1、如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，若将矩形折叠，使B点与D点重合，则折痕EF的长为＿＿＿cm.
(宁夏回族自治区中考试题)
2、如图，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，将此矩形折叠使B点落在AD边上的中点E处，则折痕FG的长为_________.
第1题图
第2题图
第3题图
(淮阴市中考试题)
3、如图是用12个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，这个等腰梯形的上底与下底长的比是_____.
(陕西省中考试题)
4、如图，EF为正方形纸ABCD的对折线，将∠A沿DK折叠，使它的顶点A落在EF上的G点，则∠DKG＝_______度.
(武汉市竞赛试题)
5、如图，已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′，EB′分别交边AC于点F，G，若∠ADF＝，则∠EGC的度数为________.
第4题图
第5题图
第6题图
(台州市中考试题)
6、将一张长为70cm的长方形纸片ABCD沿对称轴EF折叠成如图的形状，若折叠后，AB与CD间的距离为60cm，则原纸片的宽AB是______cm.
(广东省中考试题)
7、如图，在矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为(
)
A.3
B.4
C.5
D.6
(宜宾市中考试题)
8、如图，在△ABC中，∠C＝900，BC＝6，D，E分别在AB，AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为
(
)
A.
B、2
C、3
D、4
(河北省中考试题)
第7题图
第8题图
第9题图
9、如图，有一块菱形的草地，要在其上面修筑两条笔直的道路，道路把这块草地分成面积相等的四部分，如果道路的宽度可以忽略不计，请你设计三种不同的方案.
(广西赛区选拔赛试题)
10、如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕(对角线)BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折线DG，若AB＝2，BC＝1，求AG.
(安徽省中考试题)
11、如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知折痕
，求矩形ABCD的周长.
(厦门市中考试题)
12、如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C′处的位置，BC′交AD于点G.
(1)
求证：AG＝；
(2)
如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长.
(深圳市中考试题)
B级
1、如图，一张宽为3，长为4的矩形纸片ABCD，先沿对角线BD对折，点C落在C′的位置，BC′交AD于G，再折叠一次使D点与A点重合，得折痕EN，EN交AD于点M，则ME的长为__________.
2、如图，矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，现将A，C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，则重叠部分△AFE的面积为_________.
第1题图
第2题图
第3题图
3、如图，矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，若AD＝8，AB＝4，则DE的长为________.
4、如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴上，y轴上，连结AC，将矩形纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，若B(1，2)，则点D的横坐标是______.
5、如图，在平面直角坐标系中，已知直线
与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C(0，n)是y
轴上一点，把坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上B′处，则点C的坐标是_________.
第4题图
第5题图
第6题图
6、如图，矩形纸片ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有一点E，ED＝2cm，AD上有一点P，PD＝3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是_____cm.
7、在三角形纸片ABC中，已知∠ABC＝900，AB＝6，BC＝8，过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线上的T处，折痕为MN，当点T在直线l上移动时，折痕的端点M，N也随之移动，若限定端点M，N分别在AB，BC边上移动，则线段AT长度的最大值与最小值之和为__________(计算结果不取近似值)
8、如图，矩形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，
BG＝10.
（1）当折痕的另一端F在AB边上时，如图．求△EFG的面积；
（2）当折痕的另一端F在AD边上时，如图．证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF的长.
9、如图，已知三角形纸片ABC的面积为25，BC的长为10，∠B，∠C都为锐角，M是AB边上的一动点(M与A，B不重合)，过点M作MN∥BC交AC于点N，设MN＝.
(1）用x表示△AMN的面积；
（2）△AMN沿MN折叠，使△AMN紧贴四边形BCNM（边AM、AN落在四边形BCNM所在的平面内），设点A落在平面BCNM内的点A′，△A′MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y．
①
用含x的代数式表示y，并写出x的取值范围．
②
当x为何值时，重叠部分的面积y最大，最大为多少？
10、如图：一正方形纸片，根据要求进行多次分割，把它分割成若干个直角三角形．具体操作过程如下：
第一次分割：将正方形纸片分成4个全等的直角三角形；第二次分割：将上次得到的直角三角形中的一个再分成4个全等的直角三角形；以后按第二次分割的方法重复进行．
（1）请你设计出两种符合题意的分割方案（分割3次）；
（2）设正方形的边长为a，请你通过对其中一种方案的操作和观察，将第二、第三次分割后所得的最小的直角三角形的面积S填入下表：
（3）在条件（2）下，请你猜想：分割所得的最小直角三角形面积S与分割次数n有什么关系？用数学表达式表示出来．
11、如图1，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E，F分别在边AB，CD上)，使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连结EP.
(1)如图②，若M为AD边的中点，
①
△AEM的周长＝_________cm；
②
求证：EP＝AE＋DP；
（2）随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A、D重合），△PDM的周长是否发生变化？请说明理由.
12、如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，点P在线段AB上运动，设AP＝x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF(点E，F为折痕与矩形边的交点)，再将纸片还原.
（1）当时，折痕EF的长为________；
（2）写出使四边形EPFD为菱形的x的取值范围，并求出当x＝2时菱形的边长；
（3）令＝y，当点E在AD上、点F在BC上时，写出y与x的函数关系式（写出x的取值范围），当取最大值时，判断△EAP与△PBF是否相似．若相似，求出的值；若不相似，请说明理由.
专题24
图形的折叠与剪拼
例1
10
例2
A
提示：作RE⊥y轴于E，RF⊥x轴于F，则Rt△QRE∽Rt△PRF，从而，设R(x，y)，又PR＝OP＝3，QR＝OQ＝6，于是，得x＝，y＝．
例3
7
提示：过F作FM⊥BC于M，证明△FGM≌△ADE，则FG＝AE＝13，DE＝5
例4
（1）OP＝6－t，OQ＝t＋
（2）D(1，3)
（3）①PQ能与AC平行，若PQ∥AC，则，即＝．得t＝，而0≤t≤，∴t＝．
②PE不能与AC垂直．若PE⊥AC，延长QE交OA于F，则，即，QF＝(t＋)．∴EF＝QF－QE＝QF－OQ＝(t＋)－(t＋)＝(－1)t＋(－1)．
又Rt△EPF∽Rt△OCA，∴，即，t≈3.45，而0≤t≤，∴t不存在．
例5
（1）10个正方形的面积和：
32＋52＋62＋112＋172＋192＋222＋232＋242＋252＝3055＝5×13×47．
因为所拼成的长方形面积是3055．
长方形的宽显然≥25，所以它的宽应当是47，长应当是5×13＝65．（2）注意23+24=47,25+22=47,23+17+25=65,24+19+22=65.由此便可得拼图.（图略）
例6
提示：（1）证明：设正方形边长为a，DE为x，则DM=，EM=EA=a-x.在Rt△DEM中，∠D=90°，∴??2+??2=??2，∴?2+?22=，∴，??=58?，∴DE：DM：EM=：：58?=3:4:5
（2）设DE=y，则DM=2a-x，EM=2a-y，可证明△DEM∽△CMG.△???周长△???周长=????=??
△CMG的周长，在△DEM中，由勾股定理得（2???）2=?2+（2???）2，化简得4ay=x（4a-x）即.
∴△CMG的周长=4?4????（y+2a-x+2a-y）=（4a-x）=4a，为定值.
A级
1.
2.656
3.1:2
4.75°
5.80°
6.10
提示：长方形纸片折叠时，AB与CD间的距离缩短了10cm。即为长方形纸片的宽.
7.
D
8.B
9.略
10.AG=
11.36cm
提示：△ABF∽△FCE，设EC=3k，则FC=4k，EF=DE=5k，BF=6k，AF=10k.
12.（1）由△ABG≌?‘DG，得AG=G
（2）设EM=xcm，AG=ycm,由?2+62=（8?y）2得y=，即G=74cm，DG==cm，由△DME≌得AG=?‘?，可得x=ME=cm.
B级
1.
2.7516cm2
3.5
4.
5.（0，）
6.134
提示：EP=，DG=，EG=136，HP=，GH=133，又，得GQ=131312，从而QP=.
7.
提示：如图a可以看出AT的最小值为点N与点C重合时，得AT长度的最小值，Rt△NTD中，ND=AB=6，CT-CB=8，由勾股定理得DT=27；如图b，当点M与点A重合时，得AT长度的最大值，Rt△ATB为等腰直角三角形，AT的长为6，∴线段AT长度的最大值与最小值之和为14-2.
8.（1）
（2）FG=45
9.（1）=14?2
（2）①当点在四边形BCNM内或在BC边上时，y=14?2（010.提示（1）图中的分割方案可供参考：
（2）116?2，
（3）S=14??2（n）
11.参见例5，（1）①6
②
取EP的中点G，联结MG
（2）△PDM的周长为8cm，保持不变
12.（1）3；
（2）1；当x=2时，如图a，联结DE，PF，∵EF为折痕，∴DE=PE，令PE=m，则AE=2-m，在Rt△ADE中，??2+??2=??2，∴1+，解得m=54，此时菱形边长为.
（3）如图b，过E作EH⊥BC，易证△EFH≌△DPA，∴????=????，∴FH=3x，∴y===9+9?2，当F与点C重合时，如图c，联结PF，∵PF=DF=3，∴PB=32?12=22，∴0,显然，函数y=9+9的值在y轴的右侧随x的增大而增大，当?=3?22时，y有最大值.此时∠EPF=90°，△EAP∽△PBF，x=.
图1
O
P
A
x
B
D
C
Q
y
图2
O
P
A
x
B
C
Q
y
E专题08
分式方程
阅读与思考
分母含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的主要思路是去分母，把分式方程化为整式方程，常用的方法有直接去分母、换元法等．
在解分式方程中，有可能产生增根．尽管增根必须舍去，但有时却要利用增根，
挖掘隐含条件．
例题与求解
【例1】
若关于的方程＝－1的解为正数，则的取值范围是______．
（黄冈市竞赛试题）
解题思路：化分式方程为整式方程，注意增根的隐含制约．
【例2】
已知，其中A，B，C为常数．求A＋B＋C的值．
（“五羊杯”竞赛试题）
解题思路：将右边通分，比较分子，建立A，B，C的等式．
【例3】解下列方程：
（1）；
（“五羊杯”竞赛试题）
（2）；
（河南省竞赛试题）
（3）＋＝3．
（加拿大数学奥林匹克竞赛试题）
解题思路：由于各个方程形式都较复杂，因此不宜于直接去分母．需运用解分式问题、分式方程相关技巧、方法解．
【例4】（1）方程的解是___________．
（江苏省竞赛试题）
（2）方程的解是________．
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：仔细观察分子、分母间的特点，发现联系，寻找解题的突破口．
【例5】若关于的方程只有一个解，试求的值与方程的解．
（江苏省竞赛试题）
解题思路：化分式方程为整式方程，解题的关键是对原方程“只有一个解”的准确理解，利用增根解题．
【例6】求方程的正整数解．
（“希望杯”竞赛试题）
解题思路：易知都大于1，不妨设1＜≤≤，则，将复杂的三元不定方程转化为一元不等式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计．逐步缩小其取值范围，求出结果．
能力训练
A级
1．若关于x的方程有增根，则的值为________．
（重庆市中考试题）
2．用换元法解分式方程时，如果设＝，并将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是___________．
（上海市中考试题）
3．方程的解为__________．
（天津市中考试题）
4．两个关于的方程与有一个解相同，则＝_______．
（呼和浩特市中考试题）
5．已知方程的两根分别为，，则方程的根是（
）．
A．，
B．，
C．，
D．，
（辽宁省中考试题）
6．关于的方程的解是正数，则的取值范围是（
）
A．＞－1
B．＞－1且≠0
C．＜－1
D．＜－l且≠－2
（孝感市中考试题）
7．关于的方程的两个解是1＝，2＝，则关于的方程的两个解是（
）
．
A．，
B．－1，
C．，
D．，
8．解下列方程：
（1）；
（苏州市中考试题）
（2）．
（盐城市中考试题）
9．已知．求10＋5＋的值．
10．若关于的方程只有一个解（相等的两根算作一个），求的值．
（黄冈市竞赛试题）
11．已知关于的方程2＋2＋，其中为实数.当为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根?求出这三个实数根.
（聊城市中考试题）
12．若关于的方程无解，求的值．
（“希望杯”邀请赛试题）
B级
1．方程的解是__________．
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
2．方程的解为__________．
3．分式方程有增根，则的值为_________．
4．若关于的分式方程＝－1的解是正数，则的取值范围是______．
（黑龙江省竞赛试题）
5．（1）若关于x的方程无解，则＝__________．
（沈阳市中考试题）
（2）解分式方程会产生增根，则＝______．
（“希望杯”邀请赛试题）
6．方程的解的个数为（
）．
A．4个
B．6个
C．2个
D．3个
7．关于的方程的解是负数，则的取值范围是（
）
．
A．＜l
B．＜1且≠0
C．≤1
D．≤1且≠0
（山西省竞赛试题）
8．某工程，甲队独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合做所需天数的倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的倍，则的值是（
）．
A．1
B．2
C．3
D．4
（江苏省竞赛试题）
9．已知关于的方程（2－1）有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若原方程的两个实数根为1，2，且，求的值.
（TI杯全国初中数学竞赛试颞）
10．求方程－＋＋2006＝0的正整数解.
（江苏省竞赛试题）
11．某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降.
今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1
000元．如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元．今年销售额只有8万元．
（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元?
（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑．已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案?
（3）如果乙种电脑每台售价为3
800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元．要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？
（齐齐哈尔市中考试题）
专题08
分式方程
例1
a＜2且a≠－4
例2
原式右边＝
＝
得∴∴A＋B＋C＝13．
例3
（1）x＝提示：．
（2），x3＝－1，x4＝－4
提示：令（3）提示
例4
（1）原方程化为，即，进一步可化为(x＋2)
(x＋3)＝(x＋8)
(x＋9)，解得x＝－．（2）原方程化为，即，解得x＝2．
例5
原方程化为kx2－3kx＋2x－1＝0①，当k＝0时，原方程有唯一解x＝；当k≠0，Δ＝5k2＋4(k－1)2＞0．由题意知，方程①必有一根是原方程的曾根，即x＝0或x＝1，显然0不是①的根，故x＝1是方程①的根，代入的k＝．∴当k＝0或时，原方程只有一个解．
例6
，即，因此得x＝2或3．当x＝2时，
＝，即，由此可得y＝4或5或6；同理，当x＝3时，y＝3或4，由此可得当1≤x≤y≤z时，(x，y，z)共有(2，4，12)，(2，6，6)，(3，3，6)，(3，4，4)4组；由于x，y，z在方程中地位平等，可得原方程组的解共15组：
(2，4，12)，(2，12，4)，
(4，2，12)，(4，12，2)，(12，2，4)，(12，4，2)，(2，6，6)，(6，2，6)，(6，6，2)，(3，3，6)，(3，6，3)，(6，3，3)，(3，4，4)
，(4，4，3)
，(4，3，4)．
A
级
1．－1
2．y2－2y－1＝0
3．1
4．－8
5．D
6．D
7．D
8．(1)
(2),
9．15250
提示：由x＋得则，得．
于是，得．进一步得．故原式＝15250．
10．k＝0或k＝
提示：原方程化为kx2－3kx＋2x－1＝0，分类讨论．
11．设x＋2x＝y，则原方程可化为y2－2my＋m2－1＝0，解得y1＝m＋1，y2＝m－1．∵x2＋2x－m－1＝0①，x2＋2x－m＋1＝0②，从而Δ1＝4m＋8，Δ2＝4m中应有一个等于零，一个大于零．经讨论，当Δ2＝0即m＝0时，Δ1＞0，原方程有三个实数根．将m＝0代入原方程，解得
12
原方程“无解”内涵丰富:可能是化得的整式方程无解,亦可能是求得的整式方程的解为増根,故需全面讨论.原方程化为(a+2)=－3
①
,
∵原方程无解,∴a+2=0或x－1=0,x+2=0,得
B级
1.
3或
－
7
1.
x?=8
,
x?=－1
,
x?=－8
,
x?=1
提示:
令x?－8=y
1.
3
提示:由有増根可得m=0或
m=3,但当
m=0,化为整式方程时无解
1.
a<2
且
a≠－4
1.
⑴
－2
⑵
－4
或
－10
1.
A
1.
1.
设甲单独做需要x天完成,乙单独做需要y天完成,丙单独做需要z天完成则
.
解
.
当a≠±1时,则Δ≥0,原方程有实数解.由Δ=[-﹙2a+7﹚]?-4﹙a?-1﹚≥0,解得
(3)设总获利为W元,则W=(4000-35000)x+(3800-3000-a)(15-x)=(a-300)x+12000-15a
当a=300时,(2)中所有方案获利相同,此时购买甲种电脑6台,乙钟电脑9台时对公司更有利专题16
等腰三角形的性质
阅读与思考
等腰三角形是一类特殊三角形，具有特殊的性质，这些性质为角度的计算、线段相等、直线位置关系的证明等问题提供了新的理论依据．因此，在解与等腰三角形相关的问题时，除了要运用全等三角形知识方法外，又不能囿于全等三角形，应善于利用等腰三角形的性质探求新的解题途径，应熟悉以下基本图形、基本结论．
⑴
图1中，，，．
⑵
图2中，只要下述四个条件：
①；②；③；④中任意两个成立，就可以推出其余两个成立．
例题与求解
【例1】如图，在△ABC中，D在AC上，E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE，
则∠A=___________．
（五城市联赛试题）
解题思路：图中有很多相关的角，用∠A的代数式表示这些角，建立关于∠A的等式．
【例2】如图，在△ABC中，已知∠BAC=900，AB=AC，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，求证：∠ADB=∠CDF．
（安徽省竞赛试题）
解题思路：∠ADB与∠CDF对应的三角形不全等，因此，需构造全等三角形，而在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的高(中线)是一条常用的辅助线．
【例3】如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=900，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，又AE=BD，求证：BD是∠ABC的角平分线．
（北京市竞赛试题）
解题思路：∠ABC的角平分线与AE边上的高重合，故应作辅助线补全图形，构造全等三角形、等腰三角形．
【例4】如图，在△ABC中，∠BAC=∠BCA=440，M为△ABC内一点，使∠MCA=300，∠MAC=160，求∠BMC度数．
（北京市竞赛试题）
解题思路：作等腰△ABC的对称轴(如图1)，通过计算，证明全等三角形，又440+160=600；可以AB为一边，向点C所在的一侧作等边△ABN，连结CN，MN(如图2)；或以AC为一边，向点B所在的一侧作等边△ACN，连结BN(如图3)．
【例5】如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=1200的等腰三角形，以D为顶点作一个600角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连结MN，形成一个三角形．求证：△AMN的周长等于2．
（天津市竞赛试题）
解题思路：欲证△AMN的周长等于2，只需证明MN=BM+CN，考虑用补短法证明．
【例6】如图，△ABC中，∠ABC=460，D是BC边上一点，DC=AB，∠DAB=210，试确定∠CAD的度数．
（北京市竞赛试题）
解题思路：解本题的关键是利用DC=AB这一条件．
能力训练
A级
1．如果等腰三角形一腰上的高另一腰的夹角为450，那么这个等腰三角形的底角为_____________．
2．如图，已知∠A=150，AB=BC=CD=DE=EF，则∠FEM=_____________．
3．如图，在等边△ABC的AC，BC边上各取一点P、Q，使AP=CQ，AQ，BP相交于点O，则
∠BOQ=____________.
4．如图，在△ABC中，∠BCA=900，∠BAC=600，BC=4，在CA的延长线取点D，使AD=AB，则D，B两点之间的距离是____________．
5．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，BF=CD，CE=BD，那么∠EDF等于（
）
A．900-∠A
B．900-∠A
C．1800-∠A
D．450-∠A
6．如图，在△ABC中，∠ACB=900，AC=AE，BC=BF，则∠ECF=（
）
A．600
B．450
C．300
D．不确定
（安徽省竞赛试题）
第5题图
第6题图
7．△ABC的一个内角的大小是400，且∠A=∠B，那么∠C的外角的大小是（
）
A．1400
B．800或1000
C．1000或1400
D．800或1400
(“希望杯”邀请赛试题)
8．三角形三边长，，满足，则三角形一定是（
）
A．等边三角形
B．以为底边的等腰三角形
C．以为底边的等腰三角形
D．等腰三角形
（北京市竞赛试题）
9．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是腰AB，AC延长线上的点，且BD=CE，连结DE交BC于G，求证：DG=EG．
（湖北省竞赛试题）
10．如图，在△ABC中，∠BAC=900，AB=AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE，求证：CE=BD．
（江苏省竞赛试题）
11．已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=900，D为AB边中点，∠EDF=900，将∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC，BC(或它们的延长线)于E、F，当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时(如图1)，易证：S△DEF+S△CEF=S△ABC，当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF，S△CEF，S△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
（牡丹江市中考试题）
12．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=800，O为△ABC内一点，且∠OBC=100，∠OCA=200，求∠BAO的度数．
（天津市竞赛试题）
B级
1．如图，在△ABC中，∠ABC=1000，AM=AN，CN=CP，则∠MNP=_________．
2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=900，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下4个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF=S△ABC；④EF=AP．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)．上述结论正确的是____________．
（苏州市中考试题）
3．如图，在△ABC中，AB=BC，M，N为BC边上两点，并且∠BAM=∠CAN，MN=AN，则∠MAC的度数是____________．
4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC与∠ACB的平分线相交于D，∠ADC=1300，那么∠CAB的大小是（
）
A．800
B．500
C．400
D．200
5．如图，在△ABC中，∠BAC=1200，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，则∠C的大小是（
）
A．200
B．250
C．300
D．450
6．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=900，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DM⊥AC交AC的延长线于M，连CD，下列四个结论：①∠ADC=450；②BD=AE；③AC+CE=AB；④AB-BC=2MC．其中正确结论的个数为（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC至D，延长BA至E，并且使AE=BD，连结CE、DE，求证：CE=DE．
8．如图，△ABC中，已知∠C=600，AC＞BC，又△ABC′、△A′BC、△AB′C都是△ABC外的等边三角形，而点D在AC上，且BC=DC．
⑴
证明：△C′BD≌△B′DC；
⑵
证明：△AC′D≌△DB′A；
⑶
对△ABC、△ABC′、△A′BC、△AB′C，从面积大小关系上，你能得出什么结论？
（江苏省竞赛试题）
9．在△ABC中，已知AB=AC，且过△ABC某一顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形，试求△ABC各内角的度数．
（江苏省扬州中学测试题）
10．如图，在△ABC中，∠C=900，∠CAD=300，AC=BC=AD，求证：CD=BD．
11．已知△ABC中，∠B为锐角，从顶点A向边BC或BC的延长线引垂线交BC于H点，又从顶点C向边AB或AB的延长线引垂线交AB于K，试问：当，是整数时，△ABC是怎样的三角形？并证明你的结论．
（“智能杯”通讯赛试题）
专题16
等腰三角形的性质
例1
45°
例2
提示：过点A作∠A的平分线BD交于G，先证明△ABG≌△ACF，再证明△AGD≌△CFFD
例3
提示：延长BC，AE交于一点.、
例4
提示：如图，作BD⊥AC于D，则∠OCD=∠OAD=30°，∴∠BA0=44°－30°=14°，
∠MAO=∠OAC－∠MAC=14°，∴∠BAO=∠MAO，又∵∠AOD=∠COD=90°－30°=60°，∴∠AOB=∠AOM=120°，∴OB=OM.又∵AO=AO，∴△AOB≌△AOM
又∵∠BOM=120°，∴∠OMB=30°，故∠BMC=180°－∠OMB=150°.
例5
如图，在AC延长线上截取CM1=BM，由Rt△BDM≌Rt△CDM1，得MD=M1D，∠MDB=
∠M1DC.∴∠MDM1=120°－∠MDB+∠M1DC=120°，又∠MDN=60°，∴∠NDM1=60°，∵MD=MD1，
∠MDN=∠NDM1=60°，DN=DN，∴△MDN≌△M1DN，得MN=NM1，故△AMN周长：AM+MN+AN=AM+AN+NM1=AM+AM1=AB+AC=2.
例6
解法1
如图a，作△ABD关于AD的轴对称图形△ADC，则∠EAD=21°，AE=AB，∴DE=BD，又∠ADC=21°+46°=67°，故∠ADE=∠ADB=180°－67°=113°，
∠CDE=113°－67°=56°，连CE，可证△CDE≌△ABD≌△AED，∠ODE=∠OED=46°，得OD=OE，又DC=AE，
则AO=CO，∠OCA=∠OAC，
∠COE=2∠ACO，
∠COE=2×46°=92°=2∠ACO.从而∠ACO=46°=∠OAC，∴∠DAE+∠EAC=67°.
解法2
如图b，过A点作AE∥BC.过D作DE∥AB，连接EC.
∵∠EDC=∠ABC=46°，DE=AB=CD，
∴∠DCE=∠CED=×（180°－46°）=67°
∵∠ADC=∠ABC+∠BAD=46°+21°=67°
∴∠ADC=∠DCE，，∴AD=EC.
∴梯形ADCE为等腰梯形
∴AC=DE（等腰梯形对角线相等），
∴AB=AC=CD，∴∠DAC=∠ADC=67°.
A级
1.
67.5°或22.5°
2.75°
3.60°
4.8
5.A
6.B
7.B
8.D
提示：由已知得(b－c)(a－b)(a+c)=0，故b=c或a=b.
9.
提示：过D作DF∥AC交BC于F，证明△DFG≌△ECG.
10.
提示：延长CE交BA的延长线于F，证明△BEC≌△BEF，再证明△AFC≌△ADB.
11.
提示：图2成立，联系图1，可证明△ECD≌△FBD，
图3不成立，此时
12.作∠BAC的角平分线与CO的延长线交于D，连BD，则△ABD≌△ACD，则∠ABD=∠ACD=30°，
∠OBD=∠ABC－∠OBC－∠ABD=20°=∠ABD，
∠DOB=∠OBC+∠OCB=40°=∠DAB，从而△ABD≌△OBD，AB=OB，即△ABO为等腰三角形，得∠BAO=（180°－40°）=70°
B级
1.40°
2.①②③
提示：连AP.3.
60°提示：设∠CAN=∠BAM=α，∠MAN=β，则∠C=∠BAC=2α+β，∠AMN=β
4.
D
5.A
6.D
7.
提示：延长BD到F，使DF=BC，则△BEF为等边三角形，再证明△BCE≌△FDE
8.⑴证明略；⑵由①得C?D=AC=AB?，由②得DB?=BA=C?A，又AD=AD，∴△AC?D≌△DB?A；⑶S△AB?C＞S△ABC?＞S△ABC＞S△A?BC，S△ABC+
S△ABC?=
S△AC?B+
S△A?BC
9.满足题意的图形有以下四种情形：
10.提示：在△ACD内以CD为边作等边△ECD，连AE，则△ACE≌△ADE.∴∠CAE=∠CAD=15°，又∵∠DCB=90°-∠ACD=90°-75°=15°，∴∠CAE=∠BCD=∠ECA.
又∵AC=BC，CE=CD，∴△ACE≌△BCD，∴∠DBC=∠EAC=15°.
∴∠DCB=∠DBC，∴DC=DB.
11.设，，因BH＜BA，BK＜BC，故mn＜4，得；；；；
①当m=n=1时，BH=BC，BK=AB，△ABC是等边三角形.
②当m=1，n=2时，BH=BC，BK=AB，△ABC是∠A为直角的等腰直角三角形.
③当m=1，n=3时，BH=BC，BK=AB，△ABC是∠A为120°的等腰三角形.
④当m=2，n=1时，△ABC是以∠C为直角的等腰直角三角形.
⑤当m=3，n=1时，△ABC是以∠C为120°的等腰三角形.
B
C
A
D
图1
A
D
B
C
1
2
图2
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
A
E
B
C
D
B
C
M
A
B
C
M
A
图3
N
B
C
M
A
图1
D
O
B
C
M
A
图2
N
B
A
C
D
N
M
B
D
C
A
(第2题)
B
A
C
D
E
F
M
N
A
B
C
Q
P
O
(第3题)
A
B
C
D
(第4题)
A
C
B
E
F
A
B
C
D
G
E
A
B
C
D
E
A
B
C
A
B
C
A
B
C
E
D
F
E
D
F
D
F
图1
图2
图3
A
B
C
N
M
P
(第1题)
A
B
C
P
E
F
(第2题)
A
B
C
N
M
(第3题)
A
(第4题)
B
C
D
(第5题)
A
B
C
D
A
B
D
E
C
M
(第6题)
A
B
C
D
E
A
B
C
D
A′
B′
C′
A
B
C
D
A
B
E
C
图b
A
B
C
F
图c
图d
A
B
C
G
A
B
D
C
图a
A
C
B
E
D专题20
正方形
阅读与思考
矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形，正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的菱形，因此，我们可以利用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题．
正方形问题常常转化为三角形问题解决，在正方形中，我们最容易得到特殊三角形、全等三角形，熟悉以下基本图形．
例题与求解
【例l】
如图，在正方形纸片中，对角线，交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交，于点，.下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤.
其中，正确结论的序号是______________．
（重庆市中考试题）
解题思路：本题需综合运用轴对称、菱形判定、数形结合等知识方法．
【例2】如图1，操作：把正方形的对角线放在正方形的边的延长线上
，取线段的中点.连，．
（1）探究线段，的关系，并加以证明．
（2）将正方形绕点旋转任意角后（如图2），其他条件不变．
探究线段，的关系，并加以证明．
（大连市中考题改编）
解题思路：由为中点，想到“中线倍长法”再证三角形全等．
【例3】如图，正方形中，，是，边上两点，且，于，求证：.
（重庆市竞赛试题）
解题思路：构造的线段是解本例的关键．
【例4】
如图，正方形被两条与边平行的线段、分割成四个小矩形，是与的交点，若矩形的面积恰是矩形面积的2倍，试确定的大小，并证明你的结论．
（北京市竞赛试题）
解题思路：先猜测的大小，再作出证明，解题的关键是由条件及图形推出隐含的线段间的关系．
【例5】
如图，在正方形中，，分别是边，上的点，满足，
分别与对角线交于点．
求证：（1）；
（2）．
（四川省竞赛试题）
解题思路：对于（1），可作辅助线，创造条件，再通过三角形全等，即可解答；对于（2），很容易联想到直角三角形三边关系．
【例6】已知
：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点．
当绕点旋转到时（如图1），易证．
（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；
（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
（黑龙江省中考试题）
解题思路：对于（2），构造是解题的关键．
能力训练
A级
1.
如图，若四边形是正方形，是等边三角形，则的度数为__________.
（北京市竞赛试题）
2.
四边形的对角线相交于点，给出以下题设条件：
①；
②；
③；
④．
其中，能判定它是正方形的题设条件是______________.
（把你认为正确的序号都填在横线上）
（浙江省中考试题）
3．如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住一个不动，将另一个绕顶点顺时针旋转，则这两个正方形重叠部分的面积是__________.
（青岛市中考试题）
第1题图
第3题图
第4题图
4.如图，是正方形内一点，将绕点顺时针方向旋转至能与重合，若，则=__________.
（河南省中考试题）
5.将个边长都为的正方形按如图所示摆放，点分别是正方形的中心，则个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为(
)
A
.
B．
C.
D.
（晋江市中考试题）
第5题图
第6题图
6.
如图，以的斜边为一边在的同侧作正方形，设正方形的中心为，连接，如果，则的长为(
)
A
.
12
B．8
C.
D.
（浙江省竞赛试题）
7．如图，正方形中，，那么是(
)
A
.
B．
C.
D.
8．如图，正方形的面积为256，点在上，点在的延长线上，的面积为200，则的值是(
)
A．15
B．12
C．11
D．10
9．如图，在正方形中，是边的中点，与交于点，求证：．
10.
如图，在正方形中，是边的中点，是上的一点，且
．
求证：平分．
11.
如图，已知是正方形对角线上一点，分别是垂足．
求证：．
（扬州市中考试题）
12.（1）如图1，已知正方形和正方形，在同一条直线上，为线段的中点．探究：线段的关系．
（2）如图2，若将正方形绕点顺时针旋转，使得正方形的对角线在正方形的边的延长线上，为的中点．试问：（1）中探究的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（大连市中考试题）
图1
图2
B级
1.
如图，在四边形中，，于，若四边形的面积为8，则的长为__________.
2.如图，是边长为1的正方形内一点，若，则
__________.
（北京市竞赛试题）
3.如图，在中，，以为一边向三角形外作正方形，正方形的中心为，且，则的长为__________.
（“希望杯”邀请赛试题）
4.如图：边长一定的正方形，是上一动点，交于，过作交于点，作于点，连接，下列结论：①；②；
③；④为定值，其中一定成立的是(
)
A
.
①②③
B．①②④
C.
②③④
D.
①②③④
5.如图，是正方形，，是菱形，则与度数的比值是(
)
A
.
3
B．4
C.
5
D.
不是整数
6.一个周长为20的正方形内接于一个周长为28的正方形，那么从里面正方形的顶点到外面正方形的顶点的最大距离是(
)
A
.
B．
C.
8
D.
E.
（美国高中考试题）
7.如图，正方形中，，是的中点，设，在上取一点，使
，则的长度等于
(
)
A
.
1
B．2
C.
3
D.
（“希望杯”邀请赛试题）
8.已知正方形中，是中点，是延长线上一点，且交平分线于（如图1）
（1）求证：；
（2）若将上述条件中的“是中点”改为“是上任意一点”其余条件不变（如图2），（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
（3）如图2，点是的延长线上（除点外）的任意一点，其他条件不变，则（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
（临汾市中考试题）
`
9.已知求证：
．
10.如果，点分别在正方形的边上，已知的周长等于正方形周长的一半，求的度数．
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
11.如图，两张大小适当的正方形纸片，重叠地放在一起，重叠部分是一个凸八边形，对角线分这个八边形为四个小的凸四边形，请你证明：，且．
（北京市竞赛试题）
12.如图，正方形内有一点，以为边向外作正方形和正方形，连接．求证：．
（武汉市竞赛试题）
专题　20　正方形
例1　①④⑤　提示：在AD上取AH＝AE，连EH，则∠AHE＝45°，∴∠HED＝∠HDE＝22.5°，则HE＝HD．又∵HE＝HD＞AE，故②不正确．又
，故③不正确．
例2　提示：(1)延长DM交CE于N，连DF，NF，先证明△ADM≌△ENM，再证明△CDF≌△ENF得FD＝FN，∠DFN＝∠CFE＝90°，故MD⊥MF且MD＝MF．
(2)延长DM到N点，使DM＝MN，连FD，FN，先证明△ADM≌△ENM，得AD＝EN，∠MAD＝∠MEN，则AD∥EN．延长EN，DC交于S点，则∠ADC＝∠CSN＝90°．在四边形FCSE中，∠FCS＋∠FEN＝180°，又∵∠FCS＋∠FCD＝180°，故∠FEN＝∠FCD，再证△CDF≌△ENF．∴(1)中结论仍成立．
例3　提示：延长BC至点H，使得CH＝AE，连结DE，DF，由Rt△DAE≌Rt△DCH得，DE＝DH，进而推证△DEF≌△DFH，Rt△DGE≌Rt△DCH．
例4　设AG＝a，BG＝b，AE＝x，ED＝y，则
由①得a－x＝y－b，平方得a2－2ax＋x2＝y2－2by＋b2．
将②代入得a2－2ax＋x2＝y2－4ax＋b2，
∴(a＋x)2＝b2＋y2，得a＋x＝．
∵b2＋y2＝CH2＋CF2＝FH2，
∴a＋x＝FH，即DH＋BF＝FH．
延长CB至M，使BM＝DH，连结AM，由Rt△ABM≌Rt△ADH，得AM＝AH，∠MAB＝∠HAD．
∴∠MAH＝∠MAB＋∠BAH＝∠BAH＋∠HAD＝90°．
再证△AMF≌△AHF．∴∠MAF＝∠HAF．
即∠HAF＝∠MAH＝45°．
例5　(1)如图，延长CD至点E1，使DE1＝BE，连结AE1，则△ADE1≌△ABE．
从而，∠DAE1＝∠BAE，AE1＝AE，于是∠EAE1＝90°．
在△AEF和△AE1F中，EF＝BE＋DF＝E1D＋DF＝E1F，则△AEF≌△AE1F．
故∠EAF＝∠E1AF＝∠EAE1＝45°．
(2)如图，在AE1上取一点M1，使得AM1＝AM，连结M1D，M1N．则
△ABM≌△ADM1，△ANM≌△ANM1，
故∠ABM＝∠ADM1，BM＝DM1，MN＝M1N．
∵∠NDM1＝90°，从而M1N2＝M1D2＋ND2，∴MN2＝BM2＋DN2．
例6　(1)BM＋DN＝MN成立．
如图a，把△AND绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，E、B、M三点共线，则△DAN≌△BAE，
∴AE＝AN，∠EAM＝∠NAM＝45°，AM＝AM，得△AEM≌△ANM，∴ME＝MN．
∵ME＝BE＋BM＝DN＋BM，∴DN＋BM＝MN．
(2)DN－BM＝MN．
如图b，对于图2，连BD交AM于E，交AN于F，连EN，FM可进一步证明：①△CMN的周长等于正方形边长的2倍；
②EF2＝BE2＋DF2；
③△AEN，△AFM都为等腰直角三角形；
④．
A　级
1．75°
2．②
3．
4．3
5．C
6．B
7．B
8．B
9．提示：△ABE≌△DCE，△ADF≌△CDF，证明∠ABE＋∠BAF＝90°．
10．提示：延长CE交DA的延长线于G，证明FG＝FC．
11．提示：连PC，则PC＝EF．
12．(1)延长DM交EF于N，由△ADM≌△ENM，得DM＝NM，MF＝DN，FD＝FN，故MD⊥MF，且MD＝MF．
(2)延长DM交CE于N，连结DF，FN，先证明△ADM≌△ENM，再证明△CDF≌△ENF，(1)中结论仍成立．
B级
1.2
2.60°°提示：MA2＋MC2＝MD2＋MB2
3.5
4.D
5.C
6.B
7.B
8.提示:⑴在AD上截取AF＝AM，∠DFM＝∠MBN，由△DFM≌△MBN，故DM＝MN.
⑵证法同上，结论仍成立.
⑶在AD延长线取一点E，使DE＝BM，可证明△DEM≌△MBN，故DM＝MN.
9.提示：构造边长为1的正方形ABCD，P为正方形ABCD内一点，过P作FH∥AB交AD于F，交BC于H,作EG∥AD交AB于E，交CD于G.设AE＝a,则BE＝1－a.设AF＝b，则DF＝1－b.∴PA＝,同理：PB＝,PC＝，PD＝.
又∵PA＋PB＋PC＋PD≥2AC＝2，∴命题得证.
10.提示：MN＝BM＋DN，延长CD至M',使M'D＝BM，证明△ADM'≌△ABM，△AM'N≌△AMN，则∠MAN＝∠M'AN＝∠M’AM＝45°.
11.提示：八边形八个内角分成两组，每一组四个角都相等.
12.连结RN,MP，△MPC≌△BAC≌△BRN，则RB＝MP，又△RNM≌△PCB，则RM＝BP，从而四边形RBPM是平行四边形，故BP∥RM.
图1
图2
图3专题10
坐标平面上的直线
阅读与思考
我们知道，任意一个一次函数的图象都是平面上的一条直线，那么，是不是平面上的任意一条直线都是某个一次函数的图象呢？请读者思考.
一次函数、二元一次方程、直线三者有着紧密的联系，我们既可以用函数的方法来处理方程的问题，也可以从方程的观点来讨论函数；既可以用坐标平面上的直线来表示一次函数与二元一次方程，也可以用方程和函数的思想来研究直线的性质，以及直线与直线之间的关系.
数形结合是解函数问题的重要思想方法，它包括两方面内容：
（1）由数定形
即通过函数解析式的系数符号，确定图象的大致位置.
（2）由形导数
即从给定的函数图象上获得解的信息，如图象的大致位置；确定解析式中系数符号；图象上的点的坐标等.
一次函数的图象是一条直线，对于实际问题，由于自变量的取值范围受实际意义的限制，因此，作出的函数图象是常见直线的一部分，相应函数值就有最大值或最小值.
一次函数是表示日常生活中匀速变化的两个变量之间关系的数学模型，是最基本的函数，有着广泛的应用价值.
运用一次函数解题时应注意：
1.
一次函数的图象是一条直线.
2.
函数解析式中的系数符号，确定图象的大致位置及y随x变化的性质.
3.
确定一次函数解析式，通常需要两个独立的条件.
4.
一次函数与二元一次方程有着密切的联系，任意一个一次函数都可以看做是一个关于x，y的二元一次方程；反过来，任意一个二元一次方程，当时，可化为形如的函数形式.
例题与求解
【例1】（1）如图，已知A点坐标为，直线与y轴交于点B，连接AB，，则
.
（苏州市中考试题）
（2）一次函数的图象l1关于直线轴对称的图象l2的函数解析式是
.
（太原市竞赛试题）
解题思路：对于（1），先求出相应函数解析式；对于（2），l1与x轴、y轴交点的坐标分别为，，求出A，B两点分别关于直线对称点的坐标，这是解题的关键.
【例2】已知，并且，则直线一定通过（
）
A.
第一、二象限
B.
第二、三象限
C.
第三、四象限
D.
第一、四象限
（全国初中数学竞赛试题）
解题思路：求出p的值，大致画出函数图象位置，从而作出判断.
【例3】如图，△AOB为正三角形，点B的坐标为，过点C作直线l交AO于D，交AB于E，且使△ADE和△DCO的面积相等，求直线l的函数解析式.
（太原市竞赛试题）
解题思路：由得，设法求出E点的坐标.
【例4】某科技公司在甲地、乙地分别生产了17台、15台同一种型号的检测设备，全部运往大运会赛场A，B两馆，其中运往A馆18台、运往B馆14台.
运往A，B两馆的运费如下表：
出发地目的地
甲地
乙地
A馆
800元/台
700元/台
B馆
500元/台
600元/台
（1）设甲地运往的设备有x台，请填写下表，并求出总运费y（元）与x（台）的函数关系式；
出发地目的地
甲地
乙地
A馆
x（台）
（台）
B馆
（台）
（台）
（2）要使总运费不高于20200元，请你帮助该公司设计调配方案，并写出有哪几种方案；
（3）当x为多少时，总运费最小，最小值是多少？
（深圳市中考试题）
解题思路：将设计方案转化为求不等式组的整数解，为此需求出自变量的取值范围.
当一次函数图象与两坐标轴有交点时，就与直角三角形联系在一起.
求两交点坐标并能发掘隐含条件是解相关综合题的基础.
当自变量受限制时，一次函数图象可能是射线、线段、折线或点.
当一次函数自变量取值受限制时，存在最大值与最小值，根据图象求最值直观明了.
【例5】已知长方形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为，A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上的动点，设，已知点D在第一象限且是直线上的一点，若△APD是等腰直角三角形.
（1）求点D
的坐标；
（2）直线向右平移6个单位后，在该直线上是否存在点D，使△APD是等腰直角三角形？若存在，请求出这些点的坐标；若不存在，请说明理由.
（浙江省中考试题）
解题思路：构造全等三角形，注重坐标与线段的转化，并由动点讨论，这是解本题的关键.
例5颠覆了传统意义上的动点问题与存在性问题，探索过程是尝试画图，找到可能存在的点，再计算验证.
综合了坐标、方程、函数、矩形、特殊三角形、全等三角形等丰富的知识，渗透了分类讨论、数形结合等思想方法.
【例6】如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱体铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）.
现将甲槽中的水匀速注人乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y（厘米）与注水时间x（分钟）之间的关系如图2所示．根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）图2中折线ABC表示?
槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段DE表示
槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选塡“甲”或“乙”），点B的纵坐标表示的实际意义是
；
（2）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同？
（3）若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积；
（4）若乙槽中铁块的体积为112立方厘米，求甲槽底面积（壁厚不计）．（直接写出结果）
（扬州市中考试题）
解题思路：观察乙槽的特征可知，水面上升速度应是先快后慢，图象的“转折点”即对应容器的“水面刚好漫过铁块”这个时刻，由此确定，图象与器具的对应关系.
对于（3）、（4），根据注水时间与注水速度求解，而解题的关键是挖掘出隐含信息.
例6是图象信息题.
函数图象以直观、形象的特征融合了显性与隐性的信息，解题的关键是获取数据、数量关系信息，并能整合信息，还原到问题的情境之中.
能力训练
A
级
1.
已知，且，则关于自变量x的一次函数的图象一定经过第
象限.
（湖北省黄冈市竞赛试题）
2.
某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，其图象如图所示，旅客最多可免费携带行李
千克.
（南京市中考试题）
3.
如图，一次函数的图象经过A，B两点，则△AOC的面积为
.
（第2题）
（第3题）
（第4题）
4.
如图，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，直线BC与直线AB垂直，垂足为B，则直线BC所对应的函数解析式为
.
5.
某市为了鼓励节约用水，按以下规定收取水费：（1）每户每月用水量不超过20m3，则每立方米水费1.2元；（2）每户每月用水量超过20m3，则超过的部分每立方米水费2元.
设某户一个月所交水费为y（元），用水量为x（m3），则y与x的函数关系用图象表示为（
）
A
B
C
D
（荆州市中考试题）
6.
下列图象中，不可能是关于x的一次函数的图象是（
）
（北京市中考试题）
7.
如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为、1、2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（
）
A.1
B.3
C.
D.
（宁波市中考试题）
8.
点，是坐标平面上两定点，C是的图象上的动点，则满足上述条件的直角△ABC可以画出（
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
（北京市竞赛试题）
9.
随着我国人口增长速度的减慢，小学入学儿童数量有所减少，下表中的数据近似地呈现了某地区入学儿童人数的变化趋势.
试用你学过的函数知识解决下列问题：
x（年）
2000
2001
2002
…
入学儿童人数y（人）
2520
2330
2140
…
（1）求入学儿童人数y（人）与年份x（年）的函数关系式；
（2）利用所求函数关系式，预测该地区从哪一年起入学儿童的人数不超过1000人.
（沈阳市中考试题）
10.
已知直线和，若它们的交点在第四象限.
（1）求k的取值范围；
（2）若k为非整数，点A的坐标为，点P在直线上，求使△PAO为等腰三角形的点P的坐标.
（大连市中考试题）
11.
如图，已知直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，另一直线经过点，且把△AOB分成两部分.
（1）若△AOB被分成的两部分面积相等，求k和b的值；
（2）若△AOB被分成的两部分的面积比为，求k和b的值.
（厦门市中考试题）
12.
某车站客流量大，旅客往往需长时间排队等候购票.
经调查统计发现，每天开始售票时，约有300名旅客排队等候购票，同时有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票，新增购票人数y（人）与售票时间x（分）的函数关系如图1所示；每个售票窗口票数y（人）与售票时间x（分）的函数关系如图2所示.
某天售票厅排队等候购票的人数y（人）与售票时间x（分）的函数关系如图3所示.
已知售票的前a分钟开放了两个售票窗口，求：
图1
图2
图3
（1）a的值；
（2）售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客人数；
（3）该车站在学习实践科学发展观的活动中，本着“以人为本，方便旅客”的宗旨，决定增设售票窗口.
若要在开始售票后半小时内让所有排队购票的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客能随到随购，请你帮助计算，至少需同时开放几个售票窗口？
（咸宁市中考试题）
13.
2011年4月28日，以“天人长安，创意自然——城市与自然和谐共生”为主题的世界园艺博览会在西安隆重开园.
这次园艺会的门票分为个人票、团体票两大类，其中个人票设置有三种：
票的种类
夜票（A）
平日普通票（B）
指定日普通票（C）
单价（元/张）
60
100
150
某社区居委会为奖励“和谐家庭”，欲购买个人票100张，其中B种票的张数是A种票张数的3倍还多8张，设需购A种票张数为x，C种票张数为y.
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）设购票总费用为w元，求出w（元）与x（张）之间的函数关系式；
（3）若每种票至少购买1张，其中购买A种票不少于20张，则有几种购票方案？并求出购票总费用最少时，购买A，B，C三种票的张数.
（陕西省中考试题）
B
级
1.
如图，在直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点，，P为线段OC上一点，若过B，P两点的直线为，过A，P两点的直线为，且BP⊥AP，则
.
（绍兴市竞赛试题）
2.
设直线（k是自然数）与两坐标轴围成的图形的面积为S1，S2，…，S2000，则
.
（湖北省选拔赛试题）
（第1题）
（第3题）
（第4题）
3.
如图，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，把△AOB沿AB翻折，点O落在C处，则点C的坐标是
.
（黄冈市竞赛试题）
4.
如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为，直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，那么
.
（全国初中数学竞赛试题）
5.
在直角坐标系中，有两点和，M是x轴上任意点，则的长度的最小值是（
）
A.
B.4
C.
D.3
6.
某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x（kg）与其运费y（元）由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为（
）
A.20kg
B.25kg
C.28kg
D.30kg
（成都市中考试题）
7.
一个一次函数的图象与直线平行，与x轴、y轴的交点分别为A、B，并且过点，则在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有（
）
A.4个
B.5个
C.6个
D.7个
（全国初中数学竞赛试题）
8.
设，将一次函数与的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组a，b的取值，使得下列4幅图中正确的是（
）
A
B
C
D
（全国初中数学联赛试题）
9.
求证：不论k为何值，一次函数的图象恒过一定点.
（江苏省竞赛试题）
10.
已知四条直线，，和所围成的四边形面积是12，求m的值.
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
11.
在直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于点A，B，且使得.
（1）用b表示
k；
（2）求△AOB面积的最小值.
（浙江省竞赛试题）
12.
如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC
=30°.
（1）求△ABC的面积；
（2）如果在第二象限内有一点，试用含m的代数式表示四边形AOPB的面积，并求出当△ABP与△ABC的面积相等时m的值；
（3）是否存在使△QAB为等腰三角形并且在坐标轴上的点Q？若存在，写出点Q所有可能的坐标；若不存在，请说明理由.
（“希望杯”邀请赛试题）
专题10
坐标平面上的直线
例1（1）
提示：
(2)两对称点的坐标分别为.
这两点的直线解析式为.
例2
B
例3由=得，=，而=，设点E坐标为，则=,,又直线AB的解析式为,
而E在AB上，得，由E,
C两点可得直线，l的解析式为.
例4
(1)如下表所示:
甲地
乙地
A馆
（台）
（台）
B馆
（台）
（台）
依题意得：y＝800x＋700（18－x）＋500（17一x）＋600(x－3)，
即y＝
200x＋19300(3≤x≤17).
(2)要使运费不高于20200元，则200x＋19300≤20200，解得x≤4.5，∵3≤x≤17，且x只能取正整数，∴x＝3或4．∴该公司的调配方案共有2种．
(3)当x＝3时，总运费最小为19900元．
例5
(1)如图a，作DE⊥y轴于E点，PF⊥y轴于F，则△ADE≌△PAD，AE＝PF＝8，OE＝14.由14＝2x＋6得x＝4．∴D点坐标为(4，14).
(2)直线y＝
2x＋6向右平移6个单位后的解析式为y＝2x－6．
如图b，当∠ADP＝90°，AD＝PD，易得D点坐标为
(4，2)．
如图c，当∠APD＝90°，AP＝PD时，设P点坐标为
(8，m)，则D点坐标为（14一m，m＋8），由m＋8＝2
(14－m)一6，得m＝，∴D点坐标为（，）．
如图d，当∠ADP＝90°，AD＝DP时，同理可求得D点坐标为（，）．
综上，符合条件的D点存在，坐标分别为(4，2)，（，），（，）．
例6
(1)乙；甲；铁块的高度为14
cm.
(2)直线DE，AB的解析式分别为y＝一2x＋12，y＝3x十2，由，得.
即注水2分钟时，甲、乙两水槽中水的深度相同．
(3)设乙槽底面积与铁块底面积之差为S，则(14－2)S＝2×36×(19－14)，解得S＝30.∴铁块底面积为36－30＝6(平方厘米).∴铁块体积为6×14＝84（立方厘米）.
(4)∵铁块体积为112立方厘米，∴铁块底面积为112÷14＝8（平方厘米）．
设甲槽底面积为S平方厘米，则注水速度为＝2S（立方厘米／分）．
由题意得一=8.解得S=60．∴甲槽底面积为60平方厘米．
A级
1．一、二；
2.
30；
3.
4；
4．y＝－2x－8；
5．C
6．C
7．B提示：阴影部分为三个直角三角形，与x轴平行的边长都为1，高都为2.
8．D
9．(1)
y＝－190x＋382520
提示：描点发现这些点近似在一条直线上；
(2)从2008年起入学儿童的人数不超过1000人．
10．(1)一4＜k＜1；(2)点P的坐标为（1，一），（2，一2），（，一）．提示：直线y＝一一3，分类讨论.
11．(1)k＝－2，b＝2
(2)k＝一，b＝或k＝2,b＝
－2．
12.
(1)a＝30；
(2)第30～78分钟时，售票厅排队等候购票的人数y与售票时间x的函数关系式为y＝－5x＋390，当x＝60时，y＝
90.
(3)设至少同时开放n个售票窗口，由300＋30×4≤30×3×n得n≥，即至少同时开放5个售票窗口．
13.
(1)y＝－4x＋92;
(2)w＝－240x＋14600
(3)共有3种购票方案，当A种票购买22张时，购票的总费用最少．
B级
1．一或
提示：P(0，1)或(0，6)
2．
3．(8，4)
4．
5．C
6．A
7．B
8．B
9．证明略
10．四条直线围成的四边形为直角梯形．
(1)当m＞0，交点坐标分别为（，一1），（，3），由S＝[(一1)
＋(一1)]×4＝12，得m＝1;
(2)当m＜0，交点坐标分别为（，一1），（，3），由S＝[(1一)
＋(1一)]×4＝12，得m＝一2．
11．(1)易得A（，0），B(0，b＋2).
＞0．b＋2＞0，
∴k＜0．S△OAB＝|OA|＋|OB|＋3＝|OA|?|OB|,
即，.
（2）由（1）可知
∴△OAB面积的最小值为.
12.
（1）
（2）
=
=
由=可以求出
（3）这样的点存在，一共有6个.①以AB为底的等腰三角形，Q（-1,0）或Q（0，）
②
以AB为腰的等腰三角形，Q（0，），Q（0，），Q（0，）或Q（3,0）
出
发
地
目
的
地专题15　多边形的边与角
阅读与思考
两个几何图形的全等是指两个图形之间的一种关系，其中最基本的关系是两个图形的点的对应关系，以及对应边之间、对应角之间的相等关系．全等三角形是研究三角形、四边形等图形性质的主要工具，是解决有关线段、角等问题的一个出发点，证明线段相等、线段和差相等、角相等、两直线位置关系等问题总要直接或间接用到全等三角形，我们把这种应用全等三角形来解决问题的方法称为全等三角形法．
我们实际遇到的图形，两个全等三角形并不重合在一起，而是处于各种不同的位置，但其中一个是由另一个经过平移、翻折、旋转等变换而成的．了解全等变换的这几种形式，有助于发现全等三角形、确定对应元素．善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键，应熟悉涉及有关会共边、公共角的以下两类基本图形：
例题与求解
【例1】考查下列命题：
①全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等；
②两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等；
③两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等；
④两边和其中一边上的高（或第三边上高）对应相等的两个三角形全等．
其中正确命题的个数有（　　）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
（山东省竞赛试题）
解题思路：真命题给出证明，假命题举出一个反例．
【例2】如图，已知BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB．
求证：（1）AP＝AQ；（2）AP⊥AQ．
（第十六届江苏省竞赛试题）
解题思路：（1）证明对应的两个三角形全等；（2）证明∠PAQ＝90°．
【例3】如图，已知为AD为△ABC的中线，求证：AD＜．
（陕西省中考试题）
解题思路：三角形三边关系定理是证明线段不等关系的基本工具，关键是设法将AB，AC，AD集中到同一个三角形中，从构造2AD入手．
【例4】如图，已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA，CD过点E．
求证：AB＝AC＋BD．
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：本例是线段和差问题的证明，截长法（或补短法）是证明这类问题的基本方法，即在AB上截取AF，使AF＝AC，以下只要证明FB＝BD即可，于是将问题转化为证明两线段相等．
【例5】如图1，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠．
（1）若直线CD经过∠BCA内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图2，若∠BCA＝90°，∠＝90°，则BE＿＿＿＿CF，EF＿＿＿＿（填“＞”、“＜”或“＝”）；
②如图3，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠与∠BCA关系的条件＿＿＿＿，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论；
（2）如图4，若直线CD经过∠BCA的外部，∠＝∠BCA，请提出EF，BE、AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．
（台州市中考试题）
解题思路：对于②，可用①进行逆推，寻找△BCE≌△CAF应满足的条件．对于（2）可用归纳类比方法提出猜想．
【例6】如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠BAD＝105°，∠ABC＝∠ADC＝45°．
求证：CD＝AB．
（天津市竞赛试题）
解题思路：由已知易得∠CAB＝30°，∠GAC＝75°，∠DCA＝60°，∠ACB＋∠DAC＝180°，由特殊度数可联想到特殊三角形、共线点等．
能力训练
A级
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝40，AD是∠BAC的平分线交BC于D，且DC︰DB＝3︰5，则点D到AB的距离是＿＿＿＿．
2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过B，C作经过点A的直线的垂线BD，CE，若BD＝3cm，CE＝4cm，则DE＝＿＿＿＿．
3．如图，△ABE和△ACF分别是以△ABC的边AB、AC为边的形外的等腰直角三角形，CE和BF相交于O，则∠EOB＝＿＿＿＿．
4．如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB＝AE，AC＝AD．有如下四个结论：①AC⊥BD；②BC＝DE；③∠DBC＝∠DAB；④△ABE是等边三角形．请写出正确结论的序号＿＿＿＿．（把你认为正确结论的序号都填上）
（天津市中考试题）
5．如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，则（　　）
A．△ABD≌△AFD
B．△AFE≌△ADC
C．△AFE≌△DFC
D．△ABC≌△ADE
6．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E．若AB＝6cm，则△DEB的周长为（　　）
A．5cm
B．6cm
C．7cm
D．8cm
7．如图，从下列四个条件：①BC＝B'C；②AC＝A′C；③∠A′CA＝∠B′CB；④AB＝A′B′中，任取三个为题设，余下的一个为结论，则最多可以构成的正确命题的个数是（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
（北京市东城区中考试题）
8．如图1，在锐角△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于F，且BF＝AC．
（1）求证：ED平分∠FEC；
（2）如图2，若△ABC中，∠C为钝角，其他条件不变，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由；若成立，请给予证明．
9．在等腰Rt△AOB和等腰Rt△DOC中，∠AOB＝∠DOC＝90°，连AD，M为AD中点，连OM．
（1）如图1，请写出OM与BC的关系，并说明理由；
（2）将图1中的△COD旋转至图2的位置，其他条件不变，（1）中结论是否成立？请说明理由．
10．如图，已知∠1＝∠2，EF⊥AD于P，交BC延长线于M．
求证：∠M＝．
（天津市竞赛试题）
11．如图，已知△ABC中，∠A＝60°，BE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，P为BE，CD的交点．
求证：BD＋CE＝BC．
12．如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．
（1）求证：DE平分∠BDC；
（2）若点M在DE上，且DC＝DM，求证：ME＝BD．
（日照市中考试题）
B级
1．在△ABC中，高AD和BE交于H点，且BH＝AC，则∠ABC＝＿＿＿＿．
（武汉市竞赛试题）
2．在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是＿＿＿＿．
（“希望杯”竞赛试题）
3．如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是角平分线，P是AD上任意一点，在ABAC与BPPC两式中，较大的一个是＿＿＿＿．
4．如图，已知AB∥CD，AC∥DB，AD与BC交于O，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，那么图中全等的三角形有（　　）
A．5对
B．6对
C．7对
D．8对
5．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，则（　　）
A．BE＋CF＞EF
B．BE＋CF＝EF
C．BE＋CF＜EF
D．BE＋CF与的大小关系不确定
（第十五届江苏省竞赛试题）
6．如果两个三角形的两条边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角（　　）
A．相等
B．不相等
C．互余
D.互补或相等
（北京市竞赛试题）
7．如图，在△ABE和△ACD中，给出以下四个论断：①AB＝AC；②AD＝AE；③AM＝AN；④AD⊥DC，AE⊥BE．以其中三个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，一个论断为结论，填入下面的“求证”栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程．
已知：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
求证：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
（荆州市中考试题）
8．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，并且AE＝，求∠ABC＋∠ADC的度数．
（上海市竞赛试题）
9．在四边形ABCD中，已知AB＝，AD＝6，且BC＝DC，对角线AC平分∠BAD，问与的大小符合什么条件时，有∠B＋∠D＝180°，请画出图形并证明你的结论．
（河北省竞赛试题）
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE：分别平分∠BAC，∠ACB．
求证：AC＝AE＋CD．
（武汉市选拔赛试题）
11．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AP，CQ分别平分∠BAC，∠BCA．AP交CQ于I，连PQ．
求证：为定值．
12．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD丄MN于O，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE＝AD＋BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝ADBE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问：DE，AD，BE有怎样的等量关系？请写出这个等
量关系，并加以证明．
（海口市中考试题）
13．CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠．
（1）若直线CD经过∠BCA内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA＝90°，∠＝90°，则BE＿＿＿＿CF，EF＿＿＿＿（填“＞”、“＜”或“＝”）；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠与∠BCA关系的条件＿＿＿＿，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论；
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠＝∠BCA，请提出EF，BE、AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．
（台州市中考试题）
专题15
全等三角形
例1
C
命题③、④是假命题
例2
证明△ABP≌△AQC
例3提示：延长AD至E，使DE=AD,连结BE,则△ACD≌△EBD
例4
如图，在AB上截取AF,使AF=AC,连结EF
由△ACE≌△AFE,得∠C=∠AFE.
∵AC//BD,∴∠C+∠D=180°而∠5+∠AFE=180°,则∠5=∠D.
在△BFE≌△BDE中，
∵∠5=∠D,∠3=∠4,BE=BE
∴△BFE≌△BDE,得BF=BD.∴AB=AF+BF=AC+BD.
例5
(1)
①=,=
②∠+∠BCA=180°,先证明∠BCE=∠CAF,
再证△BCE≌△CAF
(2)EF=BE+AF
例6如图,过点A作AE丄AB交BC的延长线于点E,
则AB=AE,∠E=∠D
在△ADC与△CEA中
∵
∴△ADC≌△CEA得CD=AE=AB.
A
级
1.15
2.
7cm
3.
90°
4.
②③
5.D
6.B
7.B
8
.(1)
如图，先证∠DBF=∠DAC,再证△BDF≌△ADC.
最后由D点作DS丄BF于S，DT丄AC于T，由S△BDF=S△ADC,可知DS
=DT∴ED平分∠FEC
(2)类比(1)可证.
9.(1)
2OM=BC
理由如下:延长OM至N,使OM=NM,连DN,可先证：△OMA≌△NMD再证△COB≌△ODN.∴ON=BC即2OM=BC
(2)类比(1)可证2OM=BC
10.提示：△AEP≌△AFP,∠M=∠ACB－∠MFC=∠ACB－∠AFE=∠ACB－(∠ABC+∠M)
11.在BC上截取BF=BD,则△BDP≌△BPF以下只要证明CF=CE,充分利用角平分线构造全等三角形.∵∠BPC=90°+∠A=120°,∴∠BPD=∠BPF=∠CPF=∠CPE60°,又∠1=∠2,CP=CP,∴△CPF≌△CPE,得CF=CE.故BC=BF+CF=BD+CE
12.(1)略
(2)连CM,证明△CBD≌△CEM.
B
级
1.
45°或135°
提示：对高的位置进行讨论
2.
1＜AD＜4
3.AB－AC
4.C
5.A
提示：延长ED到G,DG=ED,连结CG
6.D提示：符合条件的两个三角形不一定全等
7..略
8.如图,作CF丄AD,AB+AD=2AE=AE+AF
∴AB－AE=AF－AD.
即BE=DF.
∴
Rt△CBE≌Rt△CDF
,得∠ABC=∠CDF.
∴∠ABC+∠ADC=∠CDF+∠ADC=180°.
9.(1)
a≠b,不妨设a＞b,如图所示,在AB上截取AE=AD,连结EC,则△ADC≌△AEC
∴∠AEC=∠D，CE=CD=CB，∴∠B+∠D=∠CEB+∠AEC=180°，
（2）当a=b，则△ACD≌△ABC，得∠D=∠B.欲使∠D+∠B=180°，则需∠D=∠B=90°，所以当a≠b时，一定有∠B+∠D
=180°；当a=b时，只有∠D=∠B=90°，才有∠B+∠D
=180°.
10.
提示：如图作∠AOC平分线OF交AC于F，由∠ABC=60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，可证：∠AOC=120°，∴∠AOE=∠AOF=∠COD=60°.∴可证△AEO≌△AFO，△CFO≌△CDO，∴AC=AE+CD.
11.在AC是截取CP=CD，连ID，在AC上截取AE=AQ，连IE，过P作PN⊥CQ于N，过D作DM⊥IE于M，易证：△CPI≌△CDI，△AQI≌△AEI，由题意可证：∠AIC=90+∠B=135°，∴∠CIP=∠CID=∠AIQ=∠AIE=∠DIE=45°，再证△PIN≌△DMI，∴PN=DM，
∴，，∴，∴
12.（1）先证明△ADC≌△CEB，从而AD=CE，DC=BE，DE=AD+BE.
（2）同（1）
（3）DE=CD－EC=BE－AD
13．（1）①=；=
②，先证明∠B=∠ACF，再证明△BCE≌△CAF.（2）EF=BE+AF.
图1
图2
图3
图4
第1题
第2题
第3题
第4题
第5题
第6题
第7题
图1
图2
图1
图2
第2题
第3题
第4题
第5题
图1
图3
图2
图1
图2
图3专题26
相对相称—对称分析法
阅读与思考
当代美国数学家赫尔曼·韦尔指出：对称尽管你可以规定其含义或宽或窄，然而从古到今都是人们用来理解和创造秩序、美妙以及尽善尽美的一种思想.
许多数学问题所涉及的对象具有对称性（不仅包括几何图形中的对称，而且泛指某些对象在某些方面如图形、关系、地位等彼此相对又相称）.
对称分析法就是在解题时，充分利用自身条件的某些对称性辅助解题的一种分析方法，初中阶段主要研究下面两种类型的对称：
1.代数中的对称式
如果把一个多项式的任意两个字母互换后，所得的多项式不变就称这个多项式为对称式，对称式的本质反应的是多元多项式中字母地位相同，任何一个复杂的二元对称式，都可以用最简单对称多项式，表示，一些对称式的代数问题，常用最简对称式表示将问题解决.
2.几何图形的对称
几何图形的对称指的是轴对称和中心对称，一些几何问题，如果我们作出图形的对称轴，或者作出已知点关于某线（某点）的对称点，构造出轴对称图形、中心对称图形，那么就能将分散的条件集中起来，容易找到解题途径.
例题与求解
【例l】如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB，BC的中点，则PM+PN的最小值是
.
(荆门市中考试题)
解题思路：作M关于AC的对称点，连MN交AC于点P，则PM+PN的值最小.
【例2】已知，均为正数，且，求W=的最小值.
（北京市竞赛试题）
解题思路：用代数的方法求W的最小值较繁，的几何意义是以a，b为边的直角三角形的斜边长，构造图形，运用对称分析法求出W的最小值.
【例3】已知，求证：
（四川省竞赛试题）
解题思路：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是：乘方、配方、换元和引入有理化因式，引入与已知等式地位相对相称的有理化因式，本例可获得简证．
【例4】
如图，凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD，
求证：BC＋AD＞AB＋CD
.
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
解题思路：解题的关键是将有关线段集中到同一三角形中去，以便运用三角形三边关系定理，以AC为对称轴，将部分图形翻折．
【例5】如图，矩形ABCD中，AB＝20厘米，BC＝10厘米，若在AC、AB上各取一点M，N，使BM＋MN的值最小，求这个最小值.
（北京市竞赛试题）
解题思路：要使BM＋MN的值最小，应该设法将折线BM＋MN拉直，不妨从作出B点关于AC的对称点入手.
能力训练
1.如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴.
若∠AFC＋∠BCF＝，则∠AFE＋∠BCD的大小是
.
(武汉市中考试题)
(第1题图)
（第2题图）
（第3题图）
2.如图，矩形纸片ABCD中，AB＝2，点E在BC上，且AE＝EC，若将纸片沿AE折叠，点B恰好落在AC上，则AC的长是
.
(济南市中考试题)
3.
如图，∠AOB＝，P是∠AOB内一点，PO＝10，Q，P分别是OA、OB上的动点，则△PQR周长最小值是
.
4.
比大的最小整数是
.
（西安交通大学少年班入学试题）
5.如图，已知正方形ABCD的边长为3，E在BC上，且BE＝2，P在BD上，则PE＋PC的最小值为（
）.
A．
B．
C．
D．
6.
观察下列平面图形，其中是轴对称图形的有(
)
.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
(南京市中考试题)
7.如图，一个牧童在小河南4英里处牧马，河水向正东方流去，而他正位于他的小屋西8英里北7英里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他能够完成这件事情所走的最短距离是（
）.
A．英里
B．16英里
C．17英里
D．18英里
（美国中学生竞赛试题）
(第5题图)
（第7题图）
（第8题图）
8.如图，等边△ABC的边长为2，M为AB中点，P为BC上的点，设PA＋PM的最大值和最小值分别为S和L，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
9.一束光线经三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中字母表示相应的度数，已知=，求与的值.
（江苏省竞赛试题）
10.
求代数式的最小值.
（“希望杯”邀请赛试题）
11.
在一平直河岸同侧有两个村庄，到的距离分别是3km和2km，．现计划在河岸上建一抽水站，用输水管向两个村庄供水．
方案设计
某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为，且（其中于点）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为，且（其中点与点关于对称，与交于点）．
观察计算
（1）在方案一中，
km（用含的式子表示）；
（2）在方案二中，组长小宇为了计算的长，作了如图13-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，
km（用含的式子表示）．
探索归纳
（1）①
当时，比较大小：（填“＞”、“＝”或“＜”）；
②
当时，比较大小：（填“＞”、“＝”或“＜”）；
（2）对（当时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？
(河北省中考试题)
12．如图，已知平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为A（2，－3），B（4，－1）
（1）若P（，0）是轴上的一个动点，当△PAB的周长最短时，求的值；
（2）若C（，0），D（，0）是轴上的两个动点，当四边形ABDC的周长最短时，求a的值；
（3）设M，N分别为轴和y轴上的动点，问：是否存在这样的点M（，0）、N（0，），使四边形ABMN的周长最短？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．
13.在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，将△ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将△ACD沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M．
（1）判断四边形AEMF的形状，并给予证明；
（2）若BD＝1，CD＝2，试求四边形AEMF的面积．
(宁夏中考试题)
14.
阅读下列材料：
小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，现有一动点P按下列方式在矩形内运动：它从A点出发，沿着AB边夹角为45的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当P点碰到BC边，沿着BC边夹角为45的方向作直线运动，当P点碰到CD边，再沿着与CD边夹角为45的方向作直线运动…如图1所示，问P点第一次与D点重合前与边相碰几次，P点第一次与D点重合时所经过的路线的总长是多少？
小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形ABCD沿直线CD折叠，得到矩形A1B1CD，由轴对称的知识，发现P2P3＝P2E，P1A＝P1E．
请你参考小贝的思路解决下列问题：
(1)
P点第一次与D点重合前与边相碰
次，P点从A点出发到第一次与D点重合时所经过的路径的总长是
cm．
(2)
进一步探究：改变矩形ABCD中AD、AB的长，且满足AD＞AB，动点P从A点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD相邻的两边上．若P点第一次与B点重合前与边相碰7次，则AB：AD的值为
．
专题26
相对相称
————对称分析法
例1
5
例2
提示：将b=2-a代入
得，构造图形如下图，可得
W的最小值为.
例3
提示：设
，则，
即
，可得
.
例4
证明
以AC为对称轴，将△ADO翻转，D点必落在BO上，设为，则
=AD，=OD；同理，将△BCO翻转，C点必落在AO上，设为，则,连接、、，交于E，则，
在△ABE和△中，有
1
+②得，，即AD+BC>AB+CD.
例5
作B关于AC的对称点，连，则N关于AC的对称点在上的，这时
，B到M的最小值等于
的最小值,等于B到的距离，即BM+MN的最小值为BH’。连接B与AB’和DC的交点P，则cm2
设AP=x，则PC=x，DP=20-x，由
，得x=12.5，故cm，即BM+MN的最小值为16cm。
能力训练
1．300?
2．4
3．提示：分别作点P关于OB，OA的对称点P1，P2，连P1P2分别交OB，OA于R，Q，则△PQR周长=PR+RQ+PQ=
P1R+RQ+
P2QP1P2，连OP1，OP2，则OP1=OP2=OP=10，
，
所以
，即△PQR的周长的最小值为
4．10582
提示：设，，则，，
5．B
6．C
7．C
8．B
提示：作点A关于BC的对称点D，在取BD的中点，
9．
，
10．13
提示：作线段AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，AC=2，DB=3，在AB上去AP=x，则BP=12-x，即在AB上求点P，使PC+PD值最小，运用对称分析法可求。
11．提示：观察计算：（1）（a+2）
（2）
探究归纳：（1）①<
②>
（2）
①当，即时，，，∴；
②当，即时，，，∴；
②当，即时，，，∴；
综上可知：当时，选方案二；当时，选方案一或方案二；当时，选方案一。
12．（1）作B（4，-1）关于x轴的对称点B’（4，1），连AB’，交x轴于点P，△PAB的周长最短，P（3.5，0），即x=3.5。
（2）将点B（4，-1）向左平移3个单位到，再作B1关于x轴的对称点，连AB，交x轴于点C，再将点C向右平移3个单位得到点D，得C（1.25，0），即a=1.25。
（3）作点A（2，-3）关于y轴的对称点A’（-2，-3），作点B（4，-1）关于x轴的对称点B’（4，1），连A’B’交x轴于点M，交y轴于点N，则四边形ABMN的周长最短，M（2.5，0），N（0，），即m=2.5，。
13．（1）正方形
（2）
14．（1）5；
（2）4：5
A
B
P
l
l
A
B
P
C
图1
图2
l
A
B
P
C
图3
K专题06
从地平面到脚手架
------分式的运算
阅读与思考
分式的主要内容包括分式的概念、分式的基本性质、分式的四则运算、简单的分式方程等．
分式的运算与分数的运算类似，是以整式的变形、因式分解及计算为工具，以分式的基本性质、运算法则和约分为基础．分式的加减运算是分式运算的难点，解决这一难点的关键是根据题目的特点恰当地通分，通分通常有以下策略与技巧：
1．分步通分，步步为营；
2．分组通分，化整为零；
3．减轻负担，先约分再通分；
4．拆项相消后通分；
5．恰当换元后通分，
学习分式时．应注意：
(1)分式与分数的类比．整数可以看做是分数的特殊情形，但整式却不能看做是分式的特殊情形；
(2)整式与分式的区别需要讨论字母的取值范围，这是分式区别于整式的关键所在．
分式问题比起整式问题，增加了几个难点；
(1)从“平房”到“楼房”，在“脚手架”上活动；
(2)分式的运算中多了通分和约分这两道技术性很强的工序；
(3)需要考虑字母的取值范围，
例题与求解
【例1】＝_________时，分式的值为0.
（杭州市中考试题）
解题思路：分母不为0时，分式有意义，分子与分母的公因式就不为0．
【例2】
已知，以，，则的值为(
)．
A.1
B．
C．2
D．
（太原市竞赛试题）
解题思路：不宜直接通分，运用已知条件，对分母分解因式，分解后再通分.
【例3】计算：
(1)
（武汉市竞赛试题）
(2)
（天津市竞赛试题）
（3）
（赣州市竞赛试题）
（4）
（漳州市竞赛试题）
解题思路：由于各个分式复杂，因此，必须仔细观察各式中分母的特点，恰当运用通分的相关策略与技巧；对于(4)，注意到题中各式是关于或的代数式，考虑设，，则，通过换元可降低问题的难度．
当一个数学问题不能或不便于从整体上加以解决时，我们可以从局部入手将原题分解。这便是解题的分解策略．解绝对值问题时用的分类、分段讨论；解分式问题时用的分步分组通分、因式分解的分组分解法以及裂项求值等都是分解策略的具体运用.
【例4】求最大的正整数，使得能被＋10整除．
（美国数学邀请赛试题）
解题思路：运用长除法或把两个整式整除的问题转化为一个分式的问题加以解决.
类似于分数，当一个分式的分子的次数高于或等于分母的次数，那么就可以将分式化为整数部分与分式部分的和，分式的这种变形称为拆分变形，是拆项变形的一种．
【例5】已知，，，求的值．
（太原市竞赛试题）
解题思路：设法求出的值．
【例6】(1)设，，均为非零实数，并且，，，则等于多少？
（北京市竞赛试题）
(2)计算：
（上海市竞赛试题）
解题思路：对于(1)，通过变换题中等式，即可列出方程组，解得，，的值；对于(2)，仔细观察，即可发现其中规律．
A
级
1．要使分式有意义，则的取值范围是________
.
2．代数式的值为整数的全体自然数的和是________
.
（全国初中数学联赛试题）
3．已知为整数，且为整数，则所有符合条件的值的和为________
.
（“希望杯”邀请赛试题）
4．若，则＝
________
.
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
5．关于分式，下列四种说法中正确的是(
).
A．含有分母的代数式叫做分式
B.
分式的分母、分子同乘以（或除以）2＋3，分式的值不变
C．当时．分式的值为
D．分式的最小值为零
（重庆市竞赛试题）
6．已知分式的值为零，则的值为(
).
A．±1
B．－l
C．8
D.
－l或8
（江苏省竞赛试题）
7.
若取整数，则使分式的值为整数的值有(
)．
A.
3个
B．4个
C．6个
D．8个
（江苏省竞赛试题）
8．若对于±3以外的一切数均成立，则的值是(
)．
A.
8
B．－8
C．16
D．－16
9．计算：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
(5)
10．当分别取，，…，，1，2，…，2006，2007，时．求出代数式的值，将所得结果相加求其和.
（全国初中数学联赛试题）
11．已知，求证：
（波兰奥林匹克试题）
12．已知，则的值．
（北京市竞赛试题）
B
级
1．如果使分式有意义的一切的值，都使这个分式的值是一个定值，那么，应满足的条件是__________
.
2．已知，其中A，B，C为常数，则B＝__________
.
（“五羊杯”竞赛试题）
3．设正整数，满足且，则＝__________
.
（“宇振杯”上海市竞赛试题）
4．当＝_______时，分式有最小值，最小值是__________
.
（全国初中数学联赛试题）
5．已知，那么代数式的值是(
)．
A．5
B．7
C．3
D．
6．已知，满足ab＝1，记，则M，N的关系为(
)．
A.M＞N
B．M＝N
C．M＜N
D．不确定
（全国初中数学联赛试题）
7．以，，为非零实数，且，若，解等于(
)
A.8
B．4
C．2
D．1
（天津市竞赛试题）
8．已知有理数，，满足，＜0，那么的值是(
)．
A.正数
B．零
C．负数
D．不能确定
（“希望杯”邀请赛试题）
9．化简：
(1)
(2)
10.
为自然数，若，则称为1
996的吉祥数，如，4就是1
996的一个吉祥数，试求1
996的所有吉祥数的和．
（北京市竞赛试题）
11.用水清洗蔬菜上残留的农药．设用
(≥1)单位量的水清洗一次后蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为．
现有（≥2）单位的水，可以一次清洗，也可以把水平均分成两份后清洗两次．试问用哪种方法清洗后蔬菜上残留的农药量较少？说明理由．
（孝感市中考试题）
12.已知正整数大于30，且使得整除2002，求的值.
专题06
从地平面到脚手架----分式的运算
例1
3
例2
D
提示:
再代入原式化简即解.
例3
(1)
(2)
0
(3)
0
(4)提示(1)分步通分；(2)分组通分；(3)约分后再通分.
例4
890
提示:为整数.
例5
由已知得,,,三式相加得.
原式=
例6
(1)对已知三式取倒数,得.
∴,,,解得:.
∴.
(2),而,∴原式=.
A级
1.x≠0且x≠±1
2.y==x-1+，即x+1/12.
X可取值为1，2，3，5，11，∴全体自然数x的和为22.
3.12
4.
5.D
6.C
7.B.
8.D
提示：由已知得（m-n）x-3（m+n）=8x，则
9.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）0
10.取值成对互为倒数，先计算：=0，故其和为0.
11.由条件得：，.
∴，即，∴a=-b，或b=-c，或c=-a.
不妨设a=-b，则，左边=；
右边=，故等式成立.
12.由条件得：=.
（1）若x+y+z+u≠0，则由分母推得x=y=z=u，原式=1+1+1+1=4.
（2）若x+y+z+u=0，则x+y=-（z+u），y+z=-（u+x），原式=（-1）+（-1）+（-1）+（-1）=-4.
B级
1.11a-7b=0
2.
3.（23-m）（n+24）=529
∴23-m=1，n+24=529
∴m=22，n=505
m+n=527
4.-1，4
5.C
6.B
7.A
8.A
9.原式=-1+++++
-=-1
（2）1，提示：设x-y=a，y-z=b，z-x=c，则x-2y+z=a-b，x+y-2z=b-c，y+z-2x=c-a.
10.∵，；∴，即
又1780=，n+6>6
∴1780的大于6的约数有10，20，89，178，356，445，890，1780，相应的n值是：4，14，83，172，350，439，884，1774.
它们的和为4+14+83+172+350+439+884+1774=3720.
11.把水平平均分成2份后清洗两次，蔬菜上残留的农药量比较少.这是因为，设清洗前蔬菜上残留的农药量为1，则用a单位量的水清洗一次蔬菜上残留的农药量为P=，把a单位量的水平均分成两份后清洗两次，则蔬菜上残留的农药量为：Q=
∵
∴，即Q12.设，则k=500+.∵4n-1是奇数，∴.设=p，则4p==1+，∴.∵n>30且1001=7×11×13，∴只有4n-1=143n=36.专题19
平行四边形、矩形、菱形(吴梅录入)
阅读与思考
平行四边形、矩形、菱形的性质定理与判定定理是从对边、对角、对角线三个方面探讨的，矩形、菱形都是特殊的平行四边形，矩形的特殊性由一个直角所体现，菱形的特殊性是由邻边相等来体现，因此它们除兼有平行四边形的一般性质外，还有特有的性质；反过来，判定一个四边形为矩形或菱形，也就需要更多的条件.
连对角线后平行四边形、矩形、菱形就与特殊三角形联系在一起，所以讨论平行四边形、矩形、菱形相关问题时，常用到特殊三角形性质、全等三角形法；另一方面，又要善于在四边形的背景下思考问题，运用平行四边形、矩形、菱形的丰富性质为解题服务，常常是判定定理与性质定理的综合运用.
熟悉以下基本图形：
例题与求解
【例l】如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分∠BAD，交BC于E，∠CAE＝15°，那么∠BOE＝________.
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
解题思路：从发现矩形内含的特殊三角形入手.
【例2】下面有四个命题：
①一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；
②一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；
③一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；
④一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形；
其中，正确的命题的个数是（
）
A.1
B.
2
C.
3
D.4
(全国初中数学联赛试题)
解题思路：从四边形边、角、对角线三类元素任意选取两类，任意组合就产生许多判定平行四边形的命题，关键在于对假命题能突破正规的、标准位置的图形构造反例否定.
【例3】如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E，F分别是边AD，CD上的两个动点且满足AE+CF＝2.
（1）判断△BEF的形状，并说明理由；
（2）设△BEF的面积为S，求S的取值范围.
(烟台中考试题)
解题思路：对于（1）由数量关系发现图形特征；对于（2），只需求出BE的取值范围.
【例4】如图，设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，PG⊥EF于点G，延长GP并在春延长线上取一点D，使得PD＝PC.
求证：BC⊥BD，BC＝BD.
(全国初中数学联赛试题)
解题思路：只需证明△CPB≌△DPB，关键是利用特殊三角形、特殊四边形的性质.
【例5】在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F.
（1）在图1中证明CE＝CF；
（2）若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；
（3）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连结DB，DG（如图3），求∠BDG的度数.
(北京市中考试题)
解题思路：对于（1），由角平分线加平行线的条件可推出图中有3个等腰三角形；
对于（2），用测量的方法可得∠BDG=45°，进而想到等腰直角三角形，连CG，BD，只需证明△BGC≌△DGF，这对解决（3），有不同的解题思路.
对于（3）
【例6】如图，△ABC中，∠C＝90°，点M在BC上，且BM＝AC，点N在AC上，且AN＝MC，AM与BN相交于点P.
求证：∠BPM＝45°.
(浙江省竞赛试题)
解题思路：条件给出的是线段的等量关系，求证的却是角度等式，由于条件中有直角和相等的线段，因此，可想到等腰直角三角形，解题的关键是平移AN或AC，即作ME⊥AN，ME＝AN，构造平行四边形.
能力训练
A级
1.
如图，□ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分别为E、F，若CE＝2，DF＝1，∠EBF＝60°，则□ABCD的面积为________.
2.
如图，□ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M，若△CDM周长为a，那么□ABCD的周长为
________.
(浙江省中考试题)
3.
如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝78°，过C作CF∥AB，连结AF与BC相交于G，若GF＝2AC，则∠BAG的大小是________.
(“希望杯”竞赛试题)
4.
如图，在菱形ABCD中，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，则∠CEF的大小是________.
(“希望杯”邀请赛试题)
5.
四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，c为对边，且满足，则这个四边形一定是（
）
A.两组角分别相等的四边形
B.
平行四边形
C.
对角线互相垂直的四边形
D.
对角线相等的四边形
6.现有以下四个命题：
①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③有一个角为直角且对角线互相平分的四边形为矩形；④菱形的对角线的平方和等于边长的平方的4倍.
其中，正确的命题有（
）
A.
①②
B.③④
C.
③
D.
①②③④
7.
如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，AF平分∠DAB，过点C作CE⊥BD于E，延长AF，EC交于点H，下列结论中：①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3ED.正确的是（
）
A.
②③
B.③④
C.
①②④
D.
②③④
(齐齐哈尔中考试题)
8.
如图，矩形ABCD的长为a，宽为b，如果，则＝（
）
A.
B.
C.
D.
(“缙云杯”竞赛试题)
9.
已知四边形ABCD，现有条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AD∥BC；④AD＝BC；⑤∠A＝∠C；⑥∠B＝∠D.从中取两个条件加以组合，能推出四边形ABCD是平行四边形的有哪几种情形？请具体写出这些组合.
(江苏省竞赛试题)
10.
如图，△ABC为等边三角形，D、F分别是BC、AB上的点，且CD＝BF，
以AD为边作等边△ADE.
（1）求证：△ACD≌△CBF
；
（2）当D在线段BC上何处时，四边形CDEF为平行四边形，且∠DEF＝30°，证明你的结论.
(江苏省南通市中考试题)
11.
如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D为BC上任一点，DF⊥AC于F，DE⊥AC于E，M为BC中点，试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论.
(河南省中考试题)
12.
如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，求四边形AEFD的面积.
(山东省竞赛试题)
B级
1.
如图，已知ABCD是平行四边形，E在AC上，AE＝2EC，F在AB上，BF＝2AF，如果△BEF的面积为2，则□ABCD的面积是________.
(“希望杯”竞赛试题)
2.
如图，已知P为矩形ABCD内一点，PA＝3，PD＝4，PC＝5，则PB＝________.
(山东省竞赛试题)
3.
如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现将矩形折叠，使B点与D点重合，则折痕EF长为________.
(武汉市竞赛试题)
4.
如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，使点D落在点处，交AB于点F，则重叠部分△AFC的面积为
________.
(山东省竞赛试题)
5.
如图，在矩形ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，那么PE+PF的值为________.
(全国初中数学联赛试题)
6.
如图，菱形ABCD的边长为4
cm，且∠ABC＝60°，E是BC的中点，P点在BD上，则PE+PC的最小值为________.
(“希望杯”邀请赛试题)
7.
如图，△ABC的周长为24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是（
）
A.
30
B.
24
C.16
D.12
(全国初中数学联赛试题)
8.
如图，□ABCD中，∠ABC＝75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE＝2AB，则∠AED的大小是（
）
A.
60°
B.
65°
C.70°
D.75°
9.
如图，已知∠A＝∠B，，，均垂直于，＝17，＝16，＝20，＝12，则AP+PB的值为（
）
A.
15
B.14
C.
13
D.12
(全国初中数学联赛试题)
10.
如图1，△ABC是直角三角形，∠C＝90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可画出两个：矩形ACBD和矩形AEFB（如图2）.
解答问题：
（1）设图2中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为，，则________（填“＞”、“＝”或“＜”）.
（2）如图3，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出________个，利用图3画出来.
（3）如图4，△ABC是锐角三角形且三边满足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出________个，利用图4画出来.
（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？
(陕西中考试题)
11.四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝120°，M为BC上一点，N为CD上一点.求证：若△AMN有一个内角等于60°，则△AMN为等边三角形.
12.
如图，六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，对边之差BC－EF＝ED－AB＝AF－CD＞0.
求证：该六边形的各角相等.
(全俄数学奥林匹克试题)
专题19
平行四边形、矩形、菱形
例1
75°
例2
A
只有命题③正确.
例3
（1）△BEF为正三角形
提示：由△ABD和△BCD为正三角形，可证明△BDE≌△BCF，
得：BE=BF，∠DBE=∠CBF.
∵∠DBC=∠CBF+∠DBF=∠DBE+∠DBF=60°，即∠EBF=60°，故△BEF为等边三角形.
(2)设，则可得：，
当BE⊥AD时，有最小值为.
∴.
当BE与AB重合时，有最大值为2，
∴.
∴.
例4
提示：PC=EF=PD，，可证明
△CPB≌△DPB.
例5
（1）略
（2）45°
（3）60°如图，延长AB至H，使AH=AD，连DH，则
△AHD是等边三角形.
∵AH=AD=DF，∴BH=GF，
又∠BHD=∠GFD=60°，DH=DF，
∴△DBH≌△DGF，∠BDH=∠GDF，
∴
例6
如图过M作，连NE，BE，则四边形AMEN为平行四边形，得NE=AM，ME⊥BC.
∵ME=CM，∠EMB=∠MCA=90°，BM=AC.
∴△BEM≌△AMC，得BE=AM=NE，∠1=∠2，∠3=∠4.
∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠4=90°且BE=NE.
∴△BEN为等腰直角三角形，∠BNE=45°.
∵AM∥NE，∴∠BPM=∠BNE=45°.
A级
1.
2.
3.
26°
提示：作FG边上中线，连接EC，则EF=EC=AC.
4.
20°
提示：连接AC，则△AFC≌△AEB，△AEF为等边三角形.
5.C
6.B
7.D
8.
A
提示：E、F分别为AB、BC中点.
9.从6个条件中任取2个，只有15种组合，其中能推出四边形ABCD是平行四边形的有以下9种
情形：①与③；②与④；⑤与⑥；①与②；③与④；①与⑤；①与⑥；③与⑤；③与⑥.
10.
提示：（2）当D为BC中点时，满足题意.
11.
提示：连AM，证明△AMF≌△BME，可证△MEF为等腰直角三角形.
12.
6
提示：由△ABC≌△DBF，△ABC≌△EFC得：AC=DF=AE，AB=EF=AD.故四边形AEFD为平行四边形.又∠BAC=90°，则∠DAE=360°－90°－60°－60°=150°，则∠ADF=∠AEF=30°，则F到AD的距离为2，故.
B级
1.
9
2.
提示：可以证明.
3.
4.
10
提示：可先证：AF=CF.设，则，
∴.
∴.
∴.
5.
提示：过A作AG⊥BD于G可证PE+PF=AG，
由可得：.
6.
cm
提示：A，C关于BD对称，连AE交BD于P.
∴PE+PC=AE.
又∵AE⊥BC且∠BAE=30°，∴为最小.
7.
B
8.
B
提示：取DE中点为G，连结AG，则AG=DG=EG.
9.
C
10.(1)=；图略
（2）1；图略
（3）3；图略
（4）以AB为边的矩形周长最小，用面积法证明．
11．证明：连AC，如图，则易证△ABC与△ADC都为等边三角形．
(1)若∠MAN＝60°，则△ABM≌△ACN．
∵AM＝AN，∠MAN＝60°，
∴△AMN为等边三角形．
(2)∠AMN＝60°，过M作CA的平行线交AB于P．
∵∠BPM＝∠BAC＝60°，∠B＝60°，
∴△BPM为等边三角形，BP＝BM，BA＝BC．∴AP＝MC．
又∠APM＝120°＝∠MCN．
∠PAM＝∠AMC－∠B＝∠AMC－60°＝∠AMC－∠AMN＝∠CMN，
∴△PAM≌△CMN．∴AM＝MN，又∠AMN＝60°．
故△AMN为等边三角形．
12．提示：如图，分别过点A作AM∥EF，过点C作CP∥AB，过点E作EN∥AF，它们分别交于N，M，P点，得ABCM、CDEP、EFAN，则EF＝AN，AB＝CM，CD＝PE，BC＝AM，CP＝DE，AF＝NE，由条件得△NMP为等边三角形，可推得六边形的每个内角均为120°．专题07
分式的化简与求值
阅读与思考
给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值．而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化简后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略．
解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标．又要抓住条件，既要根据目标变换条件．又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧:
1．恰当引入参数；
2．取倒数或利用倒数关系；
3．拆项变形或拆分变形；
4．整体代入；
5．利用比例性质等．
例题与求解
【例l】
已知，则代数式的值为
．
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：目前不能求出的值，但可以求出，需要对所求代数式变形含“”．
【例2】
已知一列数且，，
，则为（
）
A．648
B．832
C．1168
D．1944
（五城市联赛试题）
解题思路：引入参数，把用的代数式表示，这是解决等比问题的基本思路．
【例3】
．
求．
（宣州竞赛试题）
解题思路：观察发现，所求代数式是关于的代数式，而条件可以拆成的等式，因此很自然的想到用换元法来简化解题过程．
【例4】
已知求的值．
（上海市竞赛试题）
解题思路：注意到联立等式得到的方程组是一个复杂的三元一次方程组，考虑取倒数，将方程组化为简单的形式．
【例5】
不等于0的三个正整数满足，求证：中至少有两个互为相反数．
解题思路：中至少有两个互为相反数，即要证明．
（北京市竞赛试题）
【例6】
已知为正整数，满足如下两个条件：①
②．求证：以为三边长可以构成一个直角三角形．
解题思路：本题熟记勾股定理的公式即可解答．
（全国初中数学联赛试题）
能力训练
1．若，则的值是
．
（“希望杯”邀请赛试题）
2．已知，则
．
（广东竞赛试题）
3．若且，则
的值为
．
（“缙云杯”竞赛试题）
4．已知，则
．
5．如果，那么（
）．
A．1
B．2
C．
D．
（“新世纪杯”竞赛试题）
6．设有理数都不为0，且，则的
值为（
）．
A．正数
B．负数
C．零
D．不能确定
7．已知，则的值为（
）．
A．0
B．1
C．2
D．不能确定
8．已知，则的值为（
）
A．1
B．
C．
D．
9．设，求的值．
10．已知其中互不相等，求证．
（天津市竞赛试题）
11．设满足，
求证．（为自然数）
（波兰竞赛试题）
12．三角形三边长分别为．
（1）若，求证：这个三角形是等腰三角形；
（2）若，判断这个三角形的形状并证明．
13．已知，求的值．
（“华杯赛”试题）
14．解下列方程（组）：
（1）；
（江苏省竞赛试题）
（2）；
（“五羊杯”竞赛试题）
（3）．
（北京市竞赛试题）
B级
1．设满足，，若，
，则
．
2．若，且，则
．
3．设均为非零数，且，则
．
4．已知满足，则的值为
．
5．设是三个互不相同的正数，已知，那么有（
）．
A．
B．
C．
D．
6．如果，，那么的值为（
）．
A．3
B．8
C．16
D．20
7．已知，则代数式的值为（
）．
A．1996
B．1997
C．1998
D．19999
8．若，则的值为（
）．
A．
B．
C．5
D．6
（全国初中数学联赛试题）
9．已知非零实数满足．
（1）求证：；
（2）求的值．
（北京市竞赛试题）
10．已知，且．求的值．
（北京市竞赛试题）
11．完成同一件工作，甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的倍，乙单独做所需时间为甲、丙两人合做所需时间的倍；丙单独做所需时间为甲、乙两人合做所需时间的倍，
求证：．
（天津市竞赛试题）
12．设，当时，
求证：．
（天津市竞赛试题）
13．某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼（扶梯行驶，两人也走梯）．如果两人上梯的速度都是匀速的，每次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍．已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部．
（1）扶梯露在外面的部分有多少级？
（2）现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两人各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼（不考虑扶梯与楼梯间的距离）．求男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶？
（江苏省竞赛试题）
专题07
分式的化简求值
例1
提示：
例2
A
提示：==，得k=，又
例3
油x+y+z=3a，得（x-a）+（y-a）+（z-a）=0.设x-a=m，y-a=n，z-a=p，则m+n+p=0，即p=-（m+n）.
原式====-
例4
x=
提示：由已知条件知xy≠0，yz≠0，取倒数，得：
即
①+②+③，得
例5
提示：由已知条件，得=
=
例6
由勾股定理，结论可表示为等式：a=b+c，①或b=a+c，②或c=b+a，③，联立①③，只需证a=16或
或b＝16或c＝16，即（a－16）（b－16）（c－16）＝0.
④
展开只需证明
0＝abc－16（ab＋bc＋ac）＋162（a＋b＋c）－163＝abc－16（ab＋bc＋ac）＋163
⑤
将①平方、移项，有a2＋b2＋c2＝322－2（ab＋bc＋ca），⑥
又将②移项、通分，有
0＝－（＋＋）
＝－（＋＋）
＝
＝
把⑥代入等式中，
0＝
＝
＝
当a－16＝0时，由①有a＝16＝b＋c，由勾股定理逆定理知，以，，为三边长组成一个以为斜边的直角三角形.
同理，当b＝16或c＝16时，分别有b＝a＋c或c＝b＋a，均能以，，为三边长组成一个直角三角形.
A级
1.
0或－2
2.
∵＝1，∴x＋＝4.
又∵＝5，∴＝
3.
4.3
5.
A
6.
C
提示：b
2＋c
2－a2＝－2bc
7.
B
8.
C
提示：取倒数，得x＋＝1＋m，原式的倒数＝x3＋－m3
9.
1
提示：2a2＋bc＝2a2＋b（－a－b）＝a2－ab＋a2－b2＝（a－b）（a＋a＋b）＝（a－b）（a－c）
10.
提示：由x＋＝y＋，得x－y＝－，得zy＝
11.
提示：参见例5得（a＋b）（b＋c）（a＋c）＝0
12.
（1）∵＝，∴（b＋c）（ab＋ac－a2－bc）＝0.∴（b＋c）（a－b）（c－a）＝0.
∵b＋c≠0，∴a＝b或c＝a.∴这个三角形为等腰三角形.
（2）∵＋＝＋，∴＝
∴（a－b＋c）＝ac，∴（a－b）（b－c）＝0,
a＝b或b＝c，
∴这个三角形为等腰三角形.
13.
3
x＝，y＝，c＝，∴＋＝＋＝1，∴原式＝3.
14.
（1）x＝－
（2）x＝
（3）（x，y，z）＝（，，）提示：原方程组各方程左端通分、方程两边同时取倒数.
B级
1.
2
2.
－1或8
提示：设＝＝＝k，则k＝－1或2
3.
4.
0
提示：由＝1－－，得：＝x－－
5.
A
6.
C
7.
D
提示：原式＝＝
＝
＝
＝x2－5x＋8
8.
A
提示：由已知条件得x＝3y
9.
（1）由a＋b＋c＝0，得a＋b＝－c
∴a3＋b3＋c3＝－3ab（a＋b）＝3abc
（2）∵（＋＋）·＝1＋，
∴同理：
（＋＋）·＝1＋，
（＋＋）·＝1＋，
∴左边＝3＋＋＋＝3＋＝9
10.
∵a2＋4a＋1＝0，∴a2＋1＝－4a，①
a≠0.
＝＝3.把①代入上式中，
＝3，消元得＝3，解得m＝19.
11.
设甲、乙、丙三人单独完成此项工作分别用a天、b天、c天，则
即
解得x＝.
12.
由A＋B＋C＝－3得（＋1）＋
即
分解因式，得(b＋c－a)(a＋b－c)(a－b＋c)＝0
b＋c－a，
a＋b－c，a－b＋c中至少有一个为0，不妨设b＋c－a＝0，代入式中，
A2002＋B2002＋C2002＝(－1)2002＋12002＋12002＝3．
13．（1）设女孩速度x级/分，电梯速度y级/分，男孩速度2x级/分，楼梯S级，则
得∴S＝54．
（2）设男孩第一次追上女孩时走过扶梯m编，走过楼梯n编，则女孩走过扶梯(m－1)编，走过楼梯(n－1)编，男孩上扶梯4x级/分，女孩上扶梯3x级/分．
，即，得6n＋m＝16，m，n中必有一个是正整数，且0≤︱m－n︱≤1．
①，m分别取值，则有
m
1
2
3
4
5
n
2
②m＝16－6n，分别取值，则有
m
1
2
n
10
4
显然，只有m＝3，n＝满足条件，故男孩所走的数＝3×27＋×54＝198级．
∴男孩第一次追上女孩时走了198级台阶．
①
②
③专题28
整体与完形
阅读与思考
许多几何问题，常因图形复杂、不规则而给解题带来困难，这些复杂、不规则的图形，从整体考虑，可看作某种图形的一部分，如果将它们补充完整，就可得到常见的特殊图形，那么就能利用特殊图形的特殊性质转化问题，这就是解几何问题的补形法，常见的补形方法有：
1.
将原图形补形为最能体现相关定理、推论、公理的基本图形；
2.
将原图形补形为等腰三角形、等边三角形、直角三角形等特殊三角形；
3.
将原图形补形为平行四边形、矩形、正方形、梯形等特殊四熟悉以下图形：
例题与求解
【例1】
如图，已知CD∥AF，∠CDE＝∠BAF，AB⊥BC，∠E＝，∠C＝，则∠AFE＝_________度.
(北京市竞赛试题)
解题思路：有平行的条件，不妨将六边形补形为较为规整的平行四边形.
【例2】
设分别是△ABC的三边长，
且满足，则它的内角∠A、∠B的关系是（
）.
A.∠B＞2∠A
B.∠B＝2∠A
C.∠B＜2∠A
D.不确定
（全国初中数学竞赛试题）
解题思路：从化简已知等式入手，并补出相应的图形.
【例3】
如图1，BD，CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F，G，连结FG，延长AF，AG，与直线BC相交，易证.
若（1）BD，CE分别是△ABC的内角平分线（如图2）；（2）BD为∠ABC的内角平分线；（3）CE为△ABC的外角平分线（如图3），则在图2、图3两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明.
（黑龙江省中考试题）
解题思路：既有平分线又有垂线，联想到等腰三角形性质，考虑将图形补成等腰三角形.
【例4】
如图，四边形ABCD中，∠ABC＝，∠BCD＝，AB＝，BC＝，
CD＝，求AD的长.
（全国初中数学竞赛试题）
解题思路：由于四边形ABCD是一般四边形，所以直接求AD比较困难，应设法将AD转化为特殊三角形的边.
例4题图
例5题图
【例5】
如图，凸八边形中，∠＝∠，∠＝∠，∠＝∠，∠＝∠，试证明：该凸八边形内任意一点到8条边的距离之和是一个定值.
（山东省竞赛试题）
解题思路：本例是一个几何定值证明问题，关键是将八边形问题转化为三角形或四边形问题来解决，若连结对角线，则会破坏一些已知条件，应当考虑向外补形.
【例6】
如图，在△ABC中，∠ABC＝，点D在边BC上，∠ADC＝，且.将△ACD以直线AD为轴作轴对称变换，得到△，连结.
(1)
证明：⊥;
(2)
求∠C的大小.
（全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题）
解题思路：本题分别考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及轴对称的性质，解题的关键是利用角平分线的性质与判定构造全等三角形，然后利用全等三角形的性质即可解决问题.
能力训练
1.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝，AB＝AD，若这个四边形的面积为12，则BC＋CD＝_____________.
（山东省竞赛试题）
2.
如图，凸五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝，EA＝AB＝BC＝，CD＝DE＝，则这个五边形的面积为_______________.
（美国AHSME试题）
3.
如图，一个凸六边形六个内角都是，其中连续四条边的长依次为，则该六边形的周长为______________.
4.
如图，ABCDEF是正六边形，M，N分别是边CD，DE的中点，线段AM与BN相交于P，则
＝_________.
（浙江省竞赛试题）
5.
如图，长为的三条线段交于O点，并且∠＝∠＝∠＝，则三个三角形的面积和__________（填“＜”，“＝”，或“＞”）.
（“希望杯”邀请赛试题）
6.
如图，在四边形ABCD中，∠A＝，∠B＝∠D＝，BC＝，CD＝，则AB＝
(
).
A.
B.
C.
D.
（广西壮族自治区中考试题）
7.
如图，在△ABC中，M为BC中点，AN平分∠A，AN⊥BN于N，且AB＝，AC＝，则MN等于（
）.
A.
B.
C.
D.
8.
如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝，BE⊥AD于E，，则BE的长为（
）
A.
B.
C.
D.
9.
如图，在四边形ABCD中，AB＝，BC＝，CD＝，∠B＝，∠C＝，则∠D等于（
）
A.
B.
C.
D.条件不够，无法求出
（重庆市竞赛试题）
10.
如图，在△ABC中，E是AC中点，D是BC边上一点，若BC＝，∠ABC＝，∠BAC＝，∠CED＝，求的值.
11.
如图，设是的斜边长，是直角边，求证：.
（加拿大中学生竞赛试题）
12.
如图，已知八边形ABCDEFGH所有的内角都相等，而且边长都是整数.求证：这个八边形的对边相等.
13.
如图，设P为△ABC的中位线DE上的一点，BP交AC于N，CP交AB于M，求证：.
（齐齐哈尔市竞赛试题）
14.
一个圆内接八边形相邻的四条边长是，另四条边长是，求八边形的面积.
专题28
整体与完形
——补形法
例1
134
例2
B
提示：由已知得
例3
（1），分别延长AG、AF交BC于H，K，则AF=KF，AB=KB,AG=HG,AC=HC..
（2）
例4
提示：作DG⊥BC交BC延长线于Q，AM⊥CB交CB延长线于M，DN⊥MA于N，则MNDQ为矩形，.
例5
延长A8A1，A3A2相交于M，延长A2A3，A5A4相交于N，延长A4A5、A7A6相交于P，延长A6A7、A1A8相交于Q.
∵∠A1=∠A5,
∠A2=∠A6，
∴∠MA1A2=∠PA5A6,
∠MA2A1=∠PA6A5,
∴∠M=∠P，同理可证：∠N=∠Q。
∴MNPQ为平行四边形，即A1A8∥A4A5，A2A3∥A7A6。
同理可证：A1A2∥A6A5,A3A4∥A8A7
∴凸八连形内任意一点到边A2A3和A6A7的距离的和为平行线A2A3和A6A7间的距离，是一个定值.
同样,这一点到边和的距离的和为平行线和间的距离；这一点到边和的距离的和为平行线和间的距离；这一点到边和的距离的和为平行线和间的距离，都是定值.所以，凸八边形内任意一点到8条边的距离的和是一个定值.
例6
(1)证明略.
(2)如图,过点A分别作的垂线,垂足分别为.由及已证结论,知四边形是正方形,
由,及是沿作对称变换得到,知点均在的平分线上，
∴.
于是，≌,≌.
故.
则在中，.
能力训练
1.
提示：延长至，使.
2.
3.
42
4.
提示:延长及分别交于及,则∽,∽.
5.
<
如图,将沿方向平移到位置,
再将沿方向平移到位置,
则
为等边三角形,且边长为2，
因==
6.
D
7.
D
8.
C
9.
B
10.
提示：把补成一个边长为1的正三角形,延长至,使,连接，在上取点，使,连接，则≌,～,.
11.
提示：以为直角边向三角形外作等腰,再作的延长线于E，
则为直角梯形，.
12.
证明：设八边形的边长分别为
且都是整数，因为内角都等于，
所以延长对边与这对边的延长线依次交出
四点，则为矩形。
∴
即.
是整数,
是整数,
是无理数,上式成立,须,即.类似可以证明:,,,即这个八边形的对边相等.
13.
提示:过A作BC的平行线，分别交BN，CM的延长线于G,H,则BHGC为平行四边形，.
14.在同圆中，因为等弦对等弧，所以，把八边形沿半径剪成四个底边为1和四个底边为2的等腰三角形，
如图，重新拼成八边形,使,.易知，八边形的八个内角相等，且的延长线组成正方形,≌,≌.
故原八边形面积=八边形的面积=
==专题09
二次根式的概念与性质
阅读与思考
式子叫做二次根式，二次根式的性质是二次根式运算、化简求值的基础，主要有：
1．．说明了与、2一样都是非负数．
2．＝（≥0）．解二次根式问题的基本途径——通过平方，去掉根号有理化．
3．
揭示了与绝对值的内在一致性．
4．
（≥0，≥0）
．
5
．（≥0，＞0）．给出了二次根式乘除法运算的法则．
6．若＞＞0，则＞＞0，反之亦然，这是比较二次根式大小的基础．
运用二次根式性质解题应注意：
（1）每一性质成立的条件，即等式中字母的取值范围；
（2）要学会性质的“正用”与“逆用”，既能够从等式的左边变形到等式的右边，也能够从等式的右边变形到等式的左边．
例题与求解
【例1】设，都是有理数，且满足方程，那么的值是____________．
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：将等式整理成有理数、无理数两部分，运用有理数和无理数的性质解题．
【例2】
当1≤≤2，经化简，＝___________．
解题思路：从化简被开方数入手，注意中≥0的隐含制约．
【例3】若＞0，＞0，且，求的值．
（天津市竞赛试题）
解题思路：对已知条件变形，求，的值或探求，的关系．
【例4】若实数，，满足关系式：
，试确定的值．
（北京市竞赛试题）
解题思路：观察发现（－199＋）与（199－－）互为相反数，由二次根式的定义、性质探索解题的突破口．
【例5】已知，求＋＋的值．
（山东省竞赛试题）
解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试.
【例6】在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上：_________．
（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫作构图法．若△ABC三边的长分别为，2，（＞0），请利用图2中的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的△ABC，并求出它的面积．
（3）若△ABC三边的长分别为，，2
（＞0，＞0，且≠）试运用构图法求出这个三角形的面积．
（咸宁市中考试题）
解题思路：本题主要考查三角形的面积、勾股定理等知识，不规则三角形的面积，可通过构造直角三角形、正方形等特殊图形求得．
能力训练
A级
1．要使代数式有意义．则的取值范围是_____________．
（“希望杯”邀请赛试题）
2．阅读下面一题的解答过程，请判断是否正确?若不正确，请写出正确的解答．
已知为实数，化简．
解：原式＝．
3．已知正数，，有下列命题：
（1）若＝1，＝1，则1；
（2）若＝，＝，则；
（3）若＝2，＝3，则；
（4）若＝1，＝5，则3．
根据以上命题所提供的信息，请猜想：若＝6，＝7，则________．
（黄冈市竞赛试题）
4．已知实数，，满足，则（＋）的值为_______．
5．代数式的最小值是（
）．
A．0
B．1＋
C．1
D．不存在
6．下列四组根式中是同类二次根式的一组是（
）．
A．和2
B．3和3
C．和
D．和
（“希望杯”邀请赛试题）
7．化简的结果是（
）
．
A．6－6
B．－6＋6
C．－4
D．4
（江苏省竞赛试题）
8．设是一个无理数，且，满足－－＋l＝0，则是一个（
）．
A．小于0的有理数
B．大于0的有理数
C．小于0的无理数
D．大于0的无理数
（武汉市竞赛试题）
9．已知，其中≠0，求的值．
（山东省中考试颗）
10．已知与的小数部分分别是，，求的值．
（浙江省竞赛试题）
11．设，，为两两不等的有理数．
求证：为有理数．
（北京市竞赛试题）
12．设，都是正整数，且使，求的最大值．
（上海市竞赛试题）
B级
1．已知，为实数，y＝，则5＋6＝_________．
2．已知实数满足，则－19992＝___________．
3．正数，满足＋4－2－4＋4＝3，那么的值为_______．
（北京市竞赛试题）
4．若，满足3＝7，则=的取值范围是________．
（全国初中数学联赛试题）
5．已知整数，满足＋2＝50，那么整数对（，）的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
（江苏省竞赛试题）
6．已知＝1，那么代数式的值为（
）
A．
B．－
C．－
D．
（重庆市中考试题）
7．设等式在实数范围内成立，其中，，是两两不同的实数．则代数式的值为（
）
．
A．3
B．
C．2
D．
8．已知，则的值为（
）
．
A．3
B．4
C．5
D．6
9．设，，是实数，若＋＋＝2＋4＋6－14，求
的值．
（北京市竞赛试题）
10．已知3＝3＝cz3，＋＋＝1，求证：＋＋．
11．已知在等式中，，，，都是有理数，是无理数．求：
（1）当，，，满足什么条件时，是有理数，
（2）当，，，满足什么条件时，是无理数．
（“希望杯”邀请赛试题）
12．设＝，求不超过的最大整数[s]．
13．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝．
（1）用含的代数式表示AC＋CE的长；
（2）请问点C满足什么条件是AC＋CE的值最小？
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值．
专题09
二次根式的概念与性质
(3)构造△ABC如图b所示，
.
A级
1..
2.
不正确，正确的答案是
3.
4.
5.B
6.D
7.D
8.B
9.
10.
11.
提示:设法证明
12.∵都为整数，
必为整数.
设得
即=216=4×54=2×108.
当时，的值最大，最大值为108.
B
级
1.-16
2.2000
提示：由得
3.
4.
提示：
5.D
6.D
提示：由得
7.B
8.C
9.66
10.提示：令,则
11.(1)当时，是有理数;当时，,其中是有理数，是无理数,是有理数;要使s为有理数，只有，即.综上知，当且时，s是有理数.
(2)当时，且是无理数;当时，,
其中是有理数，是无理数，是有理数，所以，当，即为无理数.
综上知，当或是无理数.
12.
∵
.
13.(1)AC+CE=.
(2)当A,C,E三点共线时，AC十CE的值最小.
(3)如图，作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作DE⊥BD，且使AB=2,DE=3，连结AE交BD于点C，设BC=x，则CD
=12-x,AE的长即为的最小值，过点A作AF//BD交ED的延长线于点F，则DF=AB=2，EF=ED+DF=5，
AF=BD
=
8
,
AE=
=
=13，即原式的最小值为13.
图1
图2
（恩施自治州中考试题）专题29
几何变换
阅读与思考
几何变换是指把一个几何图形变换成另一个几何图形的方法，若仅改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、对称、旋转是常见的合同变换.
1.平移变换
如图1，如果把图形上的各点都按一定方向移动一定距离得到图形后，则由到的变换叫平移变换.
平移变换前后的对应线段相等且平行，对应角的两边分别平行且方向一致.
2.对称变换
如图2，将平面图形变换到与它成轴对称的图形，这样的几何变换就叫做关于直线（对称轴）的对称变换.
对称变换前后的对应线段相等，对应角相等，其对称轴是连结各对应点线段的垂直平分线.
3.旋转变换
如图3，将平面图形绕这一平面内一定点M旋转一个定角，得到图形，这样的变换叫旋转变换，M叫旋转中心，叫旋转角.
旋转变换前后的图形是全等的，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的夹角等于旋转角.
例题与求解
【例l】如图，∠AOB=，角内有点P，PO=，在角的两边上有两点Q，R（均不同于O），则△PQR的周长的最小值为_______________.
（黄冈市竞赛试题）
解题思路：作P点关于OA，OB的对称点，确定Q，R的位置，化折线为直线，求△PQR的最小值.
【例2】如图，P是等边△ABC的内部一点，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比是，则以PA，PB，PC为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是（
）
A.
B.
C.
D.不能确定
（全国通讯赛试题）
解题思路：解本例的关键是如何构造以PA，PB，PC为边的三角形，若把△PAB，△PBC，△PCA中的任一个，绕一个顶点旋转，就可以把PA，PB，PC有效地集中在一起.
【例3】如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：AB+BD=CD.
（天津市竞赛试题）
解题思路：用截长法或补短法证明，实质都利用AD翻折造全等.
【例4】如图，六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥FE，CD∥AF，对边之差BC-FE=ED-AB=AF-CD＞，求证：该六边形的各角都相等.
（全俄数学奥林匹克竞赛试题）
解题思路：设法能将复杂的条件BC-FE=ED-AB=AF-CD＞，用一个基本图形表示，题设条件有平行条件，考虑实施平移变换.
【例5】已知Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=，∠MCN=
（1）
如图1，当M、N在AB上时，求证：
（2）
如图2，将∠MCN绕C点旋转，当M在BA的延长线时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
（天津市中考试题）
解题思路：符合勾股定理的形式，需转化为直角三角形可将△ACM沿直线CM对折，得△DCM.
连DN，只需证DN=BN，∠MDN=；或将△ACM(或△BCM)旋转.
【例6】如图，∠DAC=，∠DBC=，∠CAB=，∠ABD=，求∠DCA的度数.
（日本算术奥林匹克试题）
解题思路：已知角的度数都是的倍数，，这使我们想到构作正三角形.
能力训练
1.在如图所示的单位正方形网格中，将△ABC向右平移3个单位后得到△，则的度数是_______.
（泰安市中考试题）
(第1题)
（第2题）
（第3题）
2.如图，P是等边△ABC内一点，PA=6，PB=8，PC=10，则∠APB=_________.
3.如图，直线与双曲线交于点A，将直线向右平移个单位后，与双曲线交于点B，与轴交于点C.
若，则=______________.
（武汉市中考试题）
4.如图，△ABC中，∠BAC=，AD⊥BC，DB=3，DC=2，则△ABC的面积是___________.
5.如图，P为正方形内一点，若，则∠APB的度数是（
）.
A.
B.
C.
D.
6.如图，边长为2的正方形ABCD的对角线交于点O，把边BA、CD分别绕点B、C同时逆时针旋转，得四边形,下列结论：①四边形为菱形；②；③线段的长为.
其中正确的结论有（
）.
A.
0个
B.
1个
C.
2个
D.
3个
7.
如图，A，B两个电话机离电话线的距离分别是3米，5米，CD=6米，若由L上一点分别向A，B连电话线，最短为（
）.
A.
11米
B.
10米
C.
9米
D.
8米
8.
如图，在△ABC中，∠BAC=，P是△ABC内一点，若记，，则（
）.
A.
B.
C.
D.
与的大小关系不确定
9.
如图，已知D是△ABC中BC边的中点，过D作DE⊥DF，分别交AB于E，交AC于F，求证：.
（天津市竞赛试题）
10.如图，△ABC，△其各边交成六边形DEFGHK，且EF∥KH，GH∥DE，FG∥KD，.
求证：△ABC，△均为为正三角形.
（“缙云杯”邀请赛试题）
11.如图，已知△ABC中，AB=AC，P，Q分别为AC，AB上的点，且AP=PQ=QB=BC，求∠PCQ.
（北京市竞赛试题）
12.如图，已知在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，.
(1)
若是轴上的一个动点，当△PAB的周长最短时，求的值；
（2）若是轴上的两个动点，当四边形ABCD的周长最短时，求的值；
（3）设M，N分别为轴，轴上的动点，问：是否存在这样的点和，使四边形ABMN的周长最短？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
（浙江省湖州市中考试题）
13.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，分别以两腰AB，CD为边向两边作正方形ABGE和正方形DCHF，设线段AD的垂直平分线交线段EF于点M，EP⊥于P，FQ⊥于Q，求证：EP=FQ.
（全国初中数学联赛试题）
14.如图所示，已知△ABC中，AB=BC，在△ADE中，AD=DE，连结EC，取EC中点M，连结DM和BM.
（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图1，求证：BM=DM，且BM⊥DM；
（2）如图2中的△ADE绕点A逆时针旋转小于的角，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.
（广州市中考试题）
15.如图，在△ABC中，∠BAC=，AD⊥BC于D，若BD=3，CD=2，求△ABC的面积.
（山东省竞赛试题）
专题29
几何变换
例1
例2
A
提示：将绕点顺时针旋转得，则≌，为等边三角形.
例3
提示:延长至,使,连接,.
例4
提示:过作∥过作∥,过作∥,则为等边三角形.
例5
(1)如图a，由≌则,.又由，得.由,
得,又,
则≌,有,,
∴
∴即
(2)关系式:
仍成立,方法同上,如图b
例6
如图,作关于所在直线的轴对称图形
则，连接，则为正三
角，得.
故
能力训练
1.
2.
3.
12
提示:
如图,
设
过作轴,
交于点,
过作轴,
交于点E
由,
则
都在双曲线上,
,
解得
(舍去)
4.
15
提示:
分别以为对称轴作点的对称点,
连接相交于,
证明四边形为正方形
5.
B
6.
C
7.
B
8.
D
9.
提示:
延长至,
使,
连接
10.
提示:
作，交成等边三角形
11.
提示:
作,
连，四边形为菱形,
,
由
得
为等边三角形,
又
又
12.
提示:
(1)
作关于轴对称点,连交轴于,
周长最短,
(2)
将点向左平移3个单位得，再作关于的对称点，连交轴于，
再将向右平移3个单位得点，
(3)
作点关于轴对称点,作点关于轴的对称点,连交轴于,
交轴于
13.
提示:
过作,作作由
则
同理可证:
又
,
又
从而
则
14.
提示:
(1)
由
(2)
延长至点,使,连.
可证:
延长,交于,交延长线于
又
,
又,
为等腰三角形,
15.
如图,
以为对称轴作的对称,以为对称轴作的对称,并延长
交于点,则易知四边形是正方形,
不妨设,则
由专题02
乘法公式
阅读与思考
乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在整式的乘除、数值计算、代数式的化简求值、代数式的证明等方面有广泛的应用，学习乘法公式应注意：
1．熟悉每个公式的结构特征；
2．正用
即根据待求式的结构特征，模仿公式进行直接的简单的套用；
3．逆用
即将公式反过来逆向使用；
4．变用
即能将公式变换形式使用；
5．活用
即根据待求式的结构特征，探索规律，创造条件连续综合运用公式．
例题与求解
【例1】
1，2，3，…，98共98个自然数中，能够表示成两个整数的平方差的个数是
．
（全国初中数字联赛试题）
解题思路：因，而的奇偶性相同，故能表示成两个整数的平方差的数，要么为奇数，要么能被4整除．
【例2】（1）已知满足等式，则的大小关系是(
)
A．
B．
C．
D．
（山西省太原市竞赛试题）
（2）已知满足，则的值等于（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
（河北省竞赛试题）
解题思路：对于（1），作差比较的大小，解题的关键是逆用完全平方公式，揭示式子的非负性；对于（2），由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．
【例3】计算下列各题：
（1）
；
（天津市竞赛试题）
（2）；
（“希望杯”邀请赛试题）
（3）．
解题思路：若按部就班运算，显然较繁，能否用乘法公式简化计算过程，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征．
【例4】设，求的值．
（西安市竞赛试题）
解题思路：由常用公式不能直接求出的结构，必须把表示相关多项式的运算形式，而这些多项式的值由常用公式易求出其结果．
【例5】观察：
（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；
（2）根据（1），计算的结果（用一个最简式子表示）．
（黄冈市竞赛试题）
解题思路：从特殊情况入手，观察找规律．
【例6】设满足求：
（1）的值；
（2）的值．
（江苏省竞赛试题）
解题思路：本题可运用公式解答，要牢记乘法公式，并灵活运用．
能力训练
A级
1．已知是一个多项式的平方，则
．
（广东省中考试题）
2．数能被30以内的两位偶数整除的是
．
3．已知那么
．
（天津市竞赛试题）
4．若则
．
5．已知满足则的值为
．
（河北省竞赛试题）
6．若满足则等于
．
7．等于（
）
A．
B．
C．
D．
8．若，则的值是（
）
A．正数
B．负数
C．非负数
D．可正可负
9．若则的值是（
）
A．4
B．19922
C．21992
D．41992
（“希望杯”邀请赛试题）
10．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？
（“CASIO”杯全国初中数学竞赛试题）
11．设，证明：是37的倍数．
（“希望杯”邀请赛试题）
12．观察下面各式的规律：
写出第2003行和第行的式子，并证明你的结论．
B级
1．展开式中的系数，当1，2，3…时可以写成“杨辉三角”的形式（如下图），借助“杨辉三角”求出的值为
．
（《学习报》公开赛试题）
2．如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上的两数之和都相等，如果13，9，3的对面的数分别为，则的值为
．
（天津市竞赛试题）
3．已知满足等式则
．
4．一个正整数，若分别加上100与168，则可得两到完全平方数，这个正整数为
．
（全国初中数学联赛试题）
5．已知，则多项式的值为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
6．把2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（
）
A．16种
B．14种
C．12种
D．10种
（北京市竞赛试题）
7．若正整数满足，则这样的正整数对的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
（山东省竞赛试题）
8．已知，则的值是（
）
A．3
B．9
C．27
D．81
（“希望杯”邀请赛试题）
9．满足等式的整数对是否存在？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
10．数码不同的两位数，将其数码顺序交换后，得到一个新的两位数，这两个两位数的平方差是完全平方数，求所有这样的两位数．
（天津市竞赛试题）
11．若，且，
求证：．
12．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如
因此4，12，20这三个数都是神秘数．
（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为和（其中取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差（取正值）是神秘数吗？为什么？
（浙江省中考试题）
专题02
乘法公式
例1
73
提示：满足条件的整数是奇数或是4的倍数．
例2
（1）B
x－y＝（＋4a＋a）＋（－8b＋16）＝＋≥0，x≥y．
（2）B
3个等式相加得：＋＋＝0，a＝3，b＝－1，c＝1．a＋b＋c＝3－1＋1＝3．
例3
（1）
（2）4
（3）－5050
例4
提示：由a＋b＝1，＋＝2得ab＝－，利用＋＝（＋）（a＋b)－ab(＋)可分别求得＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，＋＝．
例5
（1）设n为自然数，则n（n＋1)(n＋2)(n＋3）＋1＝
（2）由①得，2000×2001×2002×2003＋1＝．
例6（1）设
－②，得ab＋bc＋ac＝，
∵－3abc＝（a＋b＋c）（－ab－bc－ac），
∴abc＝（）－（a＋b＋c）（－ab－bc－ac）＝×3－×1×（2＋）＝．
（2）将②式两边平方，得
∴
＝4－2
＝4－2＝．
A级
1．0或6
2．26，28
3．2
4．40
5．34
6．0
7．D
8．A
9．C
10.原有136或904名学生．设
m，n均为正整数，且m＞n，
①－②得（m＋n）（m－n）＝240＝．
，都是8的倍数，则m，n能被4整除，m＋n，m－n均能被4整除．得或，
∴或
8x＝－120＝904或8x＝－120＝136．
10.因为a＝＋－2＝（－1）＋（－1）＝999
999
999＋37×（＋38＋1），而999
999
999＝9×111
111
111＝9×3×37
037
037＝27×37×1
001
001＝37×（27×1
001
001）．
所以37|999
999
999，且37|37×（＋38＋1），因此a是37的倍数．
10.第2003行式子为：＝．
第n行式子为：＝．证明略
B级
1．1．094
2．76
提示：由13＋a＝9＋b＝3＋c得a－b＝－4，b－c＝－6，c－a＝10
3．13
4．156
5．D
6.C
提示：（x＋y）（x－y）＝2009＝7×7×41有6个正因数，分别是1，7，41，49，287和2009，因此对应的方程组为：
故（x，y）共有12组不同的表示．
7．B
8．C
9．提示：不存在符合条件的整数对（m，n），因为1954不能被4整除．
10．设所求两位数为，由已知得＝（k
为整数），得而得或
解得或，即所求两位数为65，56
11.
设,
则由得
③
②③,
得,
即
或
分别与联立解得或
12.
(1)
,
故28和2012都是神秘数
（2）为4的倍数
（3）神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数.
,故两个连续奇数的平方差不
是神秘数
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
…
…
…
…
…
…
…
3
9
13
第2题图专题27
面积法
例1
提示：
例2
B
提示：作FG⊥OA
于点G，则△CFG≌△DCO。于是CG=DO，OC=GF=AG，设OC=m，OD=n，OA=OB=a，CD=x。则（勾股定理），由题设知
即
，化简得，即，∴，即m：n=2：1，故选B
例3
提示：连接EC，FC，则，过C点分别作BE，DF的垂线，Q，P分别为垂足，推得CQ=CP。
例4
（1）分别过P，A作BC的垂线，垂足为P1，A1。
则，
同理，，，故。
（2）∵，，，
∴
例5
设，则由上例得，将上式去分母，化简整理得，即。
例6
连接AC，AG，由，得，，
∵
∴
又
∴
同理，
故=
连接BD，同理，
故=
能力训练
1.
2.
3.
提示：△PRQ，△PRT为直角三角形，
4.
5.
9
提示：延长AC到点F，使CF=CD，连接BF。易证△DCE≌△FCB，所以它们的面积相等，又CF=CA，所以，即，同理可知，其他两个三角形的面积也与△ABC的面积相等，而只有当∠BAC=90°时，的最大值为，∴三个阴影部分的面积和最大为9.
6.A
7.A
8.B
提示：设A，M，B到DC的距离分别为，易知，则
，故选B.
9.当点P在△ABC内时，结论仍成立；当点P在△ABC外时，结论不成立，它们的关系是
10.
提示：由例4的结论，得，将此式去分母，并化简整理得：
.
11.证明△ABE≌△DEA即可.
12.（1）连接BF，则，，两式相乘得，同理可得：，，而，得，即.
（2）延长DO交AC于点M，点P是△ADF三条中线的交点，,
，两式相乘得
（3）同理，,故，
，故.
13.连GA，HB，EC,FD及对角线AC,BD,则，
同理，得，
同理，∴，由题意得，∴.
14.连AD,BE,则
，∵，得
①×②×③，得.
15.连BG，设，则，解得
同理可得,又，得
，这样，即
.专题14　多边形的边与角
阅读与思考
主要是指多边形的边、内外角、对角线、凸多边形、凹多边形等基本概念和多边形内角和定理、外角和定理，其中多边形内、外角和定理是解有关多边形问题的基础．
多边形的许多性质与问题往往可以利用三角形来说明、解决，将多边形问题转化为三角形问题是解多边形问.题的基本策略，转化的方法是连对角线或向外补形．
多边形的内角和是随着多边形的边数变化而变化的，但外角和却总是不变的，所以，我们常以外角和的“不变”来制约内角和的“变”，把内角问题转化为外角问题来处理，这是解多边形相关问题的常用技巧．
例题与求解
【例1】两个凸多边形，它们的边长之和为12，对角线的条数之和为19，那么这两个多边形的边数分别是＿＿＿＿和＿＿＿＿．
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：设两个凸多边形分别有，条边，分别引出，条对角线，由此得，方程组．
【例2】凸边形有且只有3个钝角，那么的最大值是（　　）
A．5
B．6
C．7
D．8
解题思路：运用钝角、锐角概念，建立关于的不等式，通过求解不等式逼近求解．
【例3】凸边形除去一个内角外，其余内角和为2570°，求的值．
（山东省竞赛试题）
解题思路：利用边形内角和公式，以及边数为大于等于3的自然数这一要求，推出该角大小，进而求出的值．
【例4】如图，凸八边形ABCDEFGH的八个内角都相等，边AB，BC，CD，DE，EF，FG的长分为7，4，2，5，6，2，求该八边形的周长．
（全国通讯赛试题）
解题思路：该八边形每一内角均为135°，每一外角为45°，可将八边形问题转化为特殊三角形解决、特殊四边形加以解决．
【例5】如图所示，小华从M点出发，沿直线前进10米后，向左转20°，再沿直线前进10米后，又向左转20°，…这样走下去，他第一次回到出发地M时，行走了多少米？
解题思路：试着将图形画完，你也许就知道答案了．
能力训练
A级
1．如图，凸四边形有＿＿＿个；∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝＿＿＿．
（重庆市竞赛试题）
2．如图，凸四边形ABCD的四边AB，BC，CD和DA的长分别为3，4，12和13，∠ABC＝90°，则四边形ABCD的面积为＿＿＿．
3．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝＿＿＿．
4．如图，ABCD是凸四边形，则的取值范围是＿＿＿．.
5．一个凸多边形的每一内角都等于140°，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（　　）
A．9条
B．8条
C．7条
D．6条
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
6．—个凸边形的内角和小于1999°，那么的最大值是（　　）
（全国初中联赛试题）
A．11
B．12
C．13
D．14
7．如图，是一个正方形桌面，如果把桌面砍下一个角后，桌面还剩（　　）个角．
A．5个
B．5个或3个
C．5个或3个或4个
D．4个
8．—个凸边形，除一个内角外，其余个内角的和为2400°，则的值是（　　）
A．15
B．16
C．17
D．不能确定
9．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，四边形周长为32，求BC和DC的长．
10．—个凸边形的最小内角为95°，其他内角依次增加10°，求的值．
（“希望杯”邀请赛试题）
11．平面上有A，B，C，D四点，其中任何三点都不在一直线上，求证：在△ABC，△ABD，△ACD，△BDC中至少有—个三角形的内角不超过45°．
（江苏省竞赛试题）
12．我们常见到如图那样图案的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料铺成的，这样形状的材料能铺成平整的、无空隙的地面．问：
（1）像上面那样铺地面，能否全用正五边形的材料，为什么？
（2）你能不能另外想出一个用一种多边形（不一定是正多边形）的材料铺地的方案？把你想到的方案画成草图．
（3）请你再画出一个用两种不同的正多边形材料铺地的草图．
（安徽省中考试题）
B级
1．一个正边形恰好被正边形围住（无重叠、无间隙，如图所示是＝4，＝8的情况），若＝10，则＝＿＿＿＿．
2．如图，六边形ABCDEF中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F，且AB＋BC＝11，FACD＝3，则BC＋DE＝＿＿＿＿．
（北京市竞赛试题）
3．如图，延长凸五边形A1A2A3A4A5的各边相交得到五个角：∠B1，∠B2，∠B3，∠B4，∠B5，它们的和等于＿＿＿．若延长凸边形（≥5）的各边相交，则得到的个角的和等于＿＿＿＿．
（第十二届“希望杯”邀请赛试题）
4．如图，在四边形ABCD中，AB＝，BC＝1，CD＝3，∠B＝135°，∠C＝90°，则∠D＝（　　）
A．60°
B．67.5°
C．75°
D．不能确定
（重庆市竞赛试题）
5．如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°，则∠DAO＋∠DCO的大小是（　　）
A．70°
B．110°
C．140°
D．150°
6．在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为2002°，则这个多边形的边数为（　　）
A．12
B．12或13
C．14
D．14或15
（江苏省竞赛试题）
7．一个凸十一边形由若干个边长为1的正方形或正三角形无重叠、无间隙地拼成，求此凸十一边形各个内角大小，并画出这样的凸十一边形的草图．
（全国通讯赛试题）
8．一块地能被块相同的正方形地砖所覆盖，如果使用较小的相同正方形地砖，那么需＋76块这样的地砖才能覆盖该块地，已知及地砖的边长都是整数，求的值．
（上海市竞赛试题）
9．设有一个边长为1的正三角形，记作A1如下左图，将A1的每条边三等分，在中间的线段上各向形外作正三角形，去掉中间的线段后得到的图形记作A2（如下中图）；将A2的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A3（如下右图）；再将A3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作
A4，求A4的周长．
（全国初中数学联赛试题）
10．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫作平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．
（1）请根据下列图形，填写表中空格：
正多边形边数
3
4
5
6
…
正多边形每个内角的度数
60°
90°
（2）如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？
（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形．说明你的理由．
（陕西省中考试题）
专题14
多边形的边与角
例1
5
7
例2
B
例3
n＝17
提示：设此角为x，则（n－2）×180°＝x＋2570°，得，x＝130°，此时n＝17.
例4
双向延长AB，CD，EF，GH得四边形MNPQ，如图，原八边形的内角都相等，其每一内角均为，每一外角均为45°，因此MNPQ为长方形，△BPC，△DQE，△FMG，△ANH都是等腰直角三角形.设GH＝x，HA＝y，由MQ＝NP，得MF＋FE＋EQ＝NA＋AB＋BP，∴，∴.
∵MN＝QP，∴x＝3＋2，∴周长＝7＋4＋2＋5＋6＋2＋3＋2＋3－＝32＋.
例5
将整个图形画完，就知道是一个边长为10米的正多边形，且每个外角的大小都是20°，由多边形的外角和等于360°知这是一个18边形，所以小华第一次回到M点时走的总路程是180米.
A级
1.
7；540°
2.
36
3.
540°
4.
1＜x＜13
5.
D
6.
C
7.
C
8.A
9.
BC＝10，DC＝6
10.
n＝6
11.
提示：分构成凸四边形和凹四边形两种情况讨论，并用反证法加以证明推出矛盾.
12.(1)所用材料的形状不能是正五边形,因为,正五边形的每个内角都是108°,要铺成平整的,无空隙的地面,
必须使若干个正五边形拼成一个周角，但找不到符合条件的以n×108°=360°的n值,故不能用形状是正五边形的材料铺地面.
⑵⑶略.
B级
1.5
2.14
3.180°;(n－4)180°
4.B
5.D
由OA=OB=OC得∠BAO=∠ABO,∠BCO=∠OBC,所以∠DAO+∠DCO=360°－3×70°=150°
6.D
7.提示：因凸十一边形由正方形或正三角形拼成，故其内角的大小只能是60°,90°,120°,\
150°四种可能,设这些角的个数分别为x,y,z,w,则
解得x=y=0,z=1,w=10.说明这个十一边形一个内角为120°,由两个正三角形的内角拼成，其余10个角均为150°,由一个正三角形内角与一个正方形内角拼成,图略.
8.n=324
9.
提示：从A1开始,每进行一次操作,所得到的图形的周长是原来图形周长的倍.
10.(1)108°;120°;
(2)正三角形、正四边形(或正方形)正六边形.假定在接合处一共有k块正边形地砖，由于正n边形的所有内角都相等，则即.因k为整数，故n－2|4，n—2=1，2，4，得
n=3,4
或6，由此可见，只有三种正多边形的瓷砖，可以按要求铺地，即正三角形、正方形和正六边形.(3)如:正方形和正八边形，草图如下，设在一个顶点周围有m个正方形的角，n个正八边形的角，那么，m，n应是方程m·90°+n·135°=360°的整数解.即2m+3n=8的整数解.∵这个方程的整数解只有一组∴符合条件的图形只有一种.
第1题
第2题
第3题
第4题
第7题
第1题
第2题
第3题
第4题
第5题专题17
等腰三角形的判定
阅读与思考
在学习了等腰三角形性质与判定后，我们可以对等腰三角形的判定、证明线段相等的方法作出归纳总结．
1．等腰三角形的判定：
⑴从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；
⑵从角入手，证明一个三角形的两个角相等．
2．证明线段相等的方法：
⑴当所证的两条线段位于两个三角形，通过全等三角形证明；
⑵当所证的两条线段位于同一个三角形，通过等角对等边证明；
⑶寻找某条线段，证明所证的两条线段都与它相等．
善于发现、构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，是解几何题的一个常用技巧．常见的构造方法有：平分线+平行线、平分线+垂线、中线+垂线．如图所示：
例题与求解
【例1】如图，在△ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD，则CF的长为____________．
（全国初中数学竞赛试题）
解题思路：角平分线+平行线易构造等腰三角形，解题的关键是利用条件“中点M”．
【例2】如图，在△ABC中，∠B=2∠C，则AC与2AB之间的关系是（
）
A．AC＞2AB
B．AC＝2AB
C．AC≤2AB
D．AC＜2AB
(山东省竞赛试题)
解题思路：如何条件∠B=2∠C，如何得到2AB，这是解本题的关键．
【例3】两个全等的含300，600角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连结BD，取BD中点M，连结ME，MC，试判断△EMC的形状，并说明理由．
（山东省中考试题）
解题思路：从△ADE≌△BAC出发，先确定△ADB的形状，为判断△EMC的形状奠定基础．
【例4】如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF．
（天津市竞赛试题）
解题思路：只需证明∠FAE=∠AEF，利用中线倍长，构造全等三角形、等腰三角形．
【例5】如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=200，在边AB上取点D，使AD=BC，求∠BDC度数．
（“祖冲之杯”竞赛试题）
解题思路：由条件知底角为300，这些角并不是特殊角，但它们的差却为600，600使我们联想到等边三角形，由此找到切入口．
如图1，以BC为边在△ABC内作等边△BCO；如图②，以AC为边作等边△ACE．
能力训练
A级
1．已知△ABC为等腰三角形，由顶点A所引BC边的高线恰等于BC边长的一半，则
∠BAC=__________．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=900，∠ABC=660，△ABC以点C为中点旋转到△A′B′C的位置，顶点B在斜边A′B′上，A′C与AB相交于D，则∠BDC=_________．
3．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，DE⊥BC于E，EF⊥AC于F，FD⊥AB于D，则AD=_______．
（天津市竞赛试题）
4．如图，一个六边形的六个内角都是1200，其连续四边的长依次是1，9，9，5，那么这个六边形的周长是____________．
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
5．如图，△ABC中，AB=AC，∠B=360，D、E是BC上两点，使∠ADE=∠AED=2∠BAD，则图中等腰三角形共有（
）
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
6．若△ABC的三边长是，，，且满足，，，则△ABC（
）
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
（“希望杯”邀请赛试题）
7．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（
）
A．300
B．300或1500
C．1200或1500
D．300或1200或1500
（“希望杯”邀请赛试题）
8．如图，已知Rt△ABC中，∠C=900，∠A=300，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（
）
A．2个
B．4个
C．6个
D．8个
（江苏省竞赛试题）
第5题图
第8题图
第9题图
9．如图在等腰Rt△ABC中，∠ACB=900，D为BC中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF交AD于G．
⑴
求证：AD⊥CF；
⑵
连结AF，度判断△ACF的形状，并说明理由．
10．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：AB+BD=CD．
（天津市竞赛试题）
11．如图，已知△ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D，使得△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：△CMN是等边三角形．
（江苏省竞赛试题）
12．如图1，Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．
⑴
求证：CE=CF；
⑵
将图1中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E的位置，使点E′落在BC边上，其他条件不变，如图2所示，试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论．
（山西省中考试题）
B级
1．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，则∠B：∠C的值=__________．
2．如图，△ABC的两边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，若∠BAC+∠DAE=1500，则∠BAC的度数是____________．
3．在等边△ABC所在平面内求一点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有_________个．
4．如图，在△ABC中，∠ABC=600，∠ACB=450，AD、CF都是高，相交于P，角平分线BE分别交AD、CF于Q、S，则图中的等腰三角形的个数是（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
5．如图，在五边形ABCDE中，∠A=∠B=1200，EA=AB=BC=DC=DE，则∠D=（
）
A．300
B．450
C．600
D．67.50
（“希望杯”竞赛试题）
6．如图，∠MAN=160，A1点在AM上，在AN上取一点A2，使A2A1=AA1，再在AM上取一点A3，使A3A2=A2A1，如此一直作下去，到不能再作为止，那么作出的最后一点是（
）
A．A5
B．A6
C．A7
D．A8
7．若P为△ABC所在平面内一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=1200，则点P叫作△ABC的费尔马点，如图1．
⑴若点P为锐角△ABC的费尔马点，且∠ABC=600，PA=3，PC=4，则PB的值为_____．
⑵如图2，在锐角△ABC外侧作等边△ACB′，连结BB′．求证：BB′过△ABC的费尔马点P，且BB′=PA+PB+PC．
（湖州市中考试题）
8．如图，△ABC中，∠BAC=600，∠ACB=400，P、Q分别在BC、AC上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP．
（全国初中数学联赛试题）
9．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，过M作ME∥AD交BA延长线于E，交AC于F，求证：BE=CF=(AB+AC)．
（重庆市竞赛试题）
10．在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠DAE=600，DE交∠C的外角平分线于E，那么△ADE是什么三角形？证明你的结论．
（《学习报》公开赛试题）
11．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线：与轴、轴的正半轴分别相交于点A、B，过点C(－4，－4)作平行于轴的直线交AB于点D，CD=10．
⑴求直线的解析式；
⑵求证：△ABC是等腰直角三角形；
⑶将直线沿轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与，轴分别相交于点A′、B′，在直线CD上存在点P，使得△A′B′P是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
（宁波市江东区模拟题）
12．如图1，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A(4，4)．
⑴
求B点坐标；
⑵
如图2，若C为轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=900，连接OD，求∠AOD度数；
⑶
如图3，过点A作轴于E，F为轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作轴垂线交EH于点M，连接FM，等式=1是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．
专题17
等腰三角形的判定
例1
延长MF，BA交于E，延长FM至点P，使MP=MF，连BP，则△BMP≌△CMF，∴BP=CF.
∵AD平分∠BAC，AD∥FM，∠BAD=∠DAC=∠MFC=∠AFE=∠E=∠P，∴AE=AF，BE=BP，即AB+AE=AB+AF=AB+AC-CF=CF，∴CF=(AB+AC)=
(7+11)=9.
例2
D
例3
提示：△EMC为等腰直角三角形，连AM，易证：△ADE≌△BAC.∴AD=AB，
又∠DAB=90°.又∵M为BD中点，∴AM⊥DB且DM=BM=AM.
又∵∠MDE=∠MAC=105°，
∴△EDM≌△CAM.
∴EM=MC，∠DME=∠AMC
，
∴∠DME+∠EMA=∠AMC
+∠EMA=90°.
∴△EMC为等腰直角三角形.
例4延长AD至G，使DG=AD，连接BG.
由△ADC≌△GDB，得AC=BG，AC∥BG.
∵BE=AC，∴BE=BG，得∠BED=∠BGD，
∴∠FAE=∠BGD=∠BED=∠AEF，
故AF=EF.
例5
提示：结合图1，给出解答过程.
由图形的轴对称性知：△ABO≌△ACO，∴∠BAO=∠CAO=10°，∴∠ABO=∠ACO=20°，∴∠AOB=∠AOC=150°.又∵BO=BC=CO=
AD，∴△ACD≌△CAO，∴∠AOC=∠CDA=150°，故∠BDC=30°.
A级
1.90°或75°或15°
2.72°
3.2
4.37
5.D
6.D
提示：将三式相加
7.D
8.C
9.⑴先证△ACD≌△CBF，∴∠CAD=∠BCF.又∵∠CAD+∠CDG=∠BCF+∠CDG=90°，
∴∠CGD=90°，∴AD⊥CF.
⑵△ACF为等腰三角形.
10.提示：延长DB至E，使BE=AB，连结AE，证明∠E=∠C，AC=AE.
11.
提示：证明△DCA≌△ECB、△DCM≌△ECN，∠NCM=60°.
12.
⑴提示：先证明∠CEF=∠CFE.
⑵作EG⊥AC于G，证明△CEG≌△BE?D?，可得CE=
BE?，又CF=CE，BE?=CF.
B级
1.2:1
2.110°
3.10
4.D
5.C
提示：在五边形内作等边三角形ABF，则E、F、C在一条直线上.
6.B
7.
提示：⑴
⑵
在BB?上取点P，使∠BPC=120°，再在PB?上取点E使PE=PC，连结CE.
则由△PCE为等边三角形，可得：PC=CE，∠PCE=60°，∠CEB?=120°
∵△ACB?为正三角形，∴可证：△ACP≌△B?CE.
∴∠APC=∠B?EC=120°，PA=EB?.
∴∠APC=∠BPC=∠CPA=120°，∴P为△ABC的费马点.
∴BB?过△ABC的P，且BB?=EB?+PB+PE=PA+PB+PC.
8.
提示：延长AB至M，使BM=BP，连结PM，则AB+BP=AM，可证明BQ=QC.
∴AQ+QB=AQ+QC=AC，又由△AMP≌△ACP得AM=AC，故AB+BP=AQ+BQ.
9.
提示：延长FM至P，使PM=FM，连结BP，则△BMP≌△CMF，AE=AF，BE=BP.
10.
提示：当D为BC的端点，显见△AED是等边三角形；当D为BC边的中点，取AC的中点F，连接DF，易证△CDF为等边三角形，又△ADF≌△EDC，故△ADE为等边三角形．猜测：当D为BC上任意点时，△ADE也为等边三角形．
11．（1）；
（2）过点C作CH⊥y轴于H，证明△AOB≌△BHC即可；
（3）符合条件的P点共有5个，分别为．
12．提示：（1）B(8，0)；
（2）如图a，过A作AS⊥OB于S，过D作DT⊥x轴于T．
∵△OAB为等腰直角三角形，
∴OS=AS=BS，再由△ASC≌△CTD，可得：AS=CT，SC=TD．
∴CT=AS=OS，∴OT=CS=TD．
∴∠TOD=45°，则∠AOD=90°；
（3）等式成立，理由如下：如图b，
在AM上截取AS=OF，连ES，可证△EAS≌△EOF，可得：ES=EF，∠AES=∠OEF
∴∠SEF=∠AEO=90°，∴∠FEM=∠SEM=45°．
又∵EM=EM，∴△EFM≌△ESM，∴FM=SM，
∴AM=AS+SM=OF+FM，∴．
A
B
D
M
F
C
A
B
C
A
B
C
M
D
E
E
A
B
D
C
F
B
C
A
D
B
C
A
D
图1
O
B
C
A
D
图2
E
A
C
D
B
B′
A′
(第2题)
A
B
C
D
E
F
(第3题)
(第4题)
9
9
1
5
B
C
A
B
A
C
D
E
B
C
A
D
F
G
E
B
A
C
D
A
C
E
N
M
B
D
A
B
D
F
E
C
图1
A
B
D
F
E
C
图2
A′
E′
D′
A
B
C
D
(第1题)
(第2题)
A
B
D
E
C
A
B
D
C
E
F
P
Q
S
(第4题)
A
B
C
E
D
第5题
A
A1
N
M
A2
A3
(第6题)
A
B
C
P
A
C
B
B′
图1
图2
A
B
P
Q
C
A
B
D
M
C
F
E
B
A
C
O
D
y
x
B
A
O
x
y
B
A
O
x
y
C
D
B
A
O
x
y
E
F
G
H
M
图1
图2
图3
A
B
C
G
D
E
F
图a
图b专题18
直角三角形(吴梅录入)
阅读与思考
直角三角形是一类特殊三角形，有以下丰富的性质：
角的关系：两锐角互余；
边的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和；
边角关系：所对的直角边等于斜边的一半.
这些性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面.
在现阶段，勾股定理是求线段的长度的主要方法，若图形缺少条件直角条件，则可通过作辅助垂线的方法，构造直角三角形为勾股定理的应用创造必要条件；运用勾股定理的逆定理，通过代数方法计算，也是证明两直线垂直的一种方法.
熟悉以下基本图形基本结论：
例题与求解
【例l】（1）直角△ABC三边的长分别是，和5，则△ABC的周长＝_____________.△ABC的面积＝_____________.
（2）如图，已知Rt△ABC的两直角边AC＝5，BC＝12，D是BC上一点，当AD是∠A的平分线时，则CD＝_____________.
（太原市竞赛试题）
解题思路：对于（1），应分类讨论；对于（2），能在Rt△ACD中求出CD吗？从角平分线性质入手.
【例2】如图所示的方格纸中，点A，B，C，都在方格线的交点，则∠ACB＝（
）
A.120°
B.135°
C.150°
D.165°
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：方格纸有许多隐含条件，这是解本例的基础.
【例3】如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC＝2PB，已知∠ABC＝45°，∠APC＝60°，求∠ACB的度数.
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
解题思路：不能简单地由角的关系推出∠ACB的度数，综合运用条件PC＝2PB及∠APC＝60°，构造出含30°的直角三角形是解本例的关键.
【例4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，分别以AB，AC为边在△ABC的外侧作等边△ABE和等边△ACD，DE与AB交于F，求证：EF＝FD.
（上海市竞赛试题）
解题思路：已知FD为Rt△FAD的斜边，因此需作辅助线，构造以EF为斜边的直角三角形，通过全等三角形证明.
【例5】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝CD，求证：
（北京市竞赛试题）
解题思路：由待证结论易联想到勾股定理，因此，三条线段可构成直角三角形，应设法将这三条线段集中在同一三角形中.
【例6】斯特瓦尔特定理：
如图，设D为△ABC的边BC上任意一点，a，b，c为△ABC三边长，则.请证明结论成立.
解题思路：本题充分体现了勾股定理运用中的数形结合思想.
能力训练
A级
1.如图，D为△ABC的边BC上一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，则BC＝_____________.
2.如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，DE是斜边AB的垂直平分线，且DE＝1cm，则AC＝_____________cm.
3.如图，四边形ABCD中，已知AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠B＝90°，则∠DAB＝_____________.
（上海市竞赛试题）
4.如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，边BC上的中线AD＝6，则BC的长为_____________.
（湖北省预赛试题）
5.如果一个三角形的一条边是另一条边的2倍，并且有一个角是30
?，那么这个三角形的形状是（
）
A.直角三角形
B.
钝角三角形
C.
锐角三角形
D.不能确定
（山东省竞赛试题）
6.如图，小正方形边长为1，连结小正方形的三个顶点可得△ABC，则AC边上的高为（
）
A.
B.
C.
D.
（福州市中考试题）
7.如图，一个长为25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑（
）
A.
15分米
B.
9分米
C.
8分米
D.
5分米
8.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，AD＝5，那么等于（
）
A.1
B.
2
C.
D.
9.
如图，△ABC中，AB＝BC＝CA，AE＝CD，AD，BE相交于P，BQ⊥AD于Q，求证：BP＝2PQ.
（北京市竞赛试题）
10.
如图，△ABC中，AB＝AC.
（1）若P是BC边上中点，连结AP，求证：
（2）P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）若P是BC边延长线上一点，线段AB，AP，BP，CP之间有什么样的关系？请证明你的结论.
11.如图，直线OB是一次函数图象，点A的坐标为（0，2），在直线OB上找点C，使得△ACO为等腰三角形，求点C的坐标.
12.已知：如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在处，交AD于E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积.
（山西省中考试题）
B级
1.若△ABC的三边a,b,c满足条件：，则这个三角形最长边上的高为_____________.
2.如图，在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，P是△ABC内的一点，PA＝1，PB＝3，PC＝，则∠CPA＝_____________.
3.
在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为_____________.
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，则CF与GB的大小关系是（
）
A.
CF＞GB
B.
CF＝GB
C.
CF＜GB
D.
无法确定
5.
在△ABC中，∠B是钝角，AB＝6，CB＝8，则AD的范围是（
）
A.
8＜AC＜10
B.
8＜AC＜14
C.
2＜AC＜14
D.
10＜AC＜14
（江苏省竞赛试题）
6.满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有（
）
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.4个
（浙江省竞赛试题）
7.如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜边BC的中点，E，F分别是AB，AC边上的点，且DE⊥DF，若BE＝12，CF＝5，求△DEF的面积.
（四川省联赛试题）
8.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D为斜边BC中点，DE⊥DF，求证：
（江苏省竞赛试题）
9.周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明有几个.
（全国联赛试题）
10.如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝3，CD＝2，求△ABC面积.
（天津市竞赛试题）
11.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E，F分别是BC上两点，若∠EAF＝45°，试推断BE，CF，EF之间数量关系，并说明理由.
12.已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠MCN＝45°.
（1）如图1，当M，N在AB上时，求证：
（2）如图2，将∠MCN绕点C旋转，当M在BA的延长线上时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
（天津市中考试题）
专题18
直角三角形
例1
（1）12或30；6或30；
提示：，得；由，得，
（2）
提示：作DE⊥AB于E，设CD=x，则BE=13-5=8，DE=x，BD=12-x，由，
得．
例2
B
提示：过B作BD⊥AC延长线于D点，设CD=x，BD=y，可求得：x=y，则∠BCD=45°，故∠BCA=135°．
例3
∠ACB=75°
提示：过C作CQ⊥AP于Q，连接BQ，则AQ=BQ=CQ．
例4
提示：过E作EG⊥AB于G，先证明Rt△EAG≌Rt△ABC，再证明△EFG≌△DFA．
例5
连接AC
∵AD=DC，∠ADC=60°，
∴△ADC是等边三角形，DC=CA=AD，
以BC为边向四边形外作等边三角形BCE，即BC=BE=CE，
则∠BCE=∠EBC=∠CEB=60°，
∴∠ABE=∠ABC+∠EBC=90°，
连接AE，则，
易证△BDC≌△EAC，得BD=AE，故．
例6
过A作AE⊥BC于E，
设DE=x，BD=u，DC=v，AD=t，则
，
故，，
消去x得，即．
A级
1．14
2．3
3．135°
4．
提示：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，则△ACD≌△EBD，∴BE=AC=13，AE=12，又AB=5，则∠BAD=90°，
5．D
6．C
7．C
8．B
9．提示：△ADC≌△BEA，∠BPQ=60°．
10．（1）（2）略
（3）提示：AB，AP，BP，CP，之间的关系是
11．提示：满足提议的点有4个，作别分别为：；
12．10．
B级
1．
2．135°
提示：将△PAC绕A点顺时针旋转90°，
3．32或42
提示：分类讨论。
4．B
5．D
6．C
提示：设直角三角形两直角边长为a，b（a≤b），则（a，b，k均为正整数），化简得：(ka-4)(ka-b)=8，∴或，解得（k，a，b）=（1，5，12）或（2，3，4）或（1，6，8）．
7．
提示：连接AD，由△ADE≌△CDF，得ED=DF，AE=CF=5，AF=BE=12，．
8．提示：延长ED至G，使DG=ED，连接CG，FG，则BE=CG，EF=FG．
9．解：设此直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a，b，面积为S，则：
由①②得：2⑤
由②得：，把③④代入上式得：3c=9-S，
即6<3c<9，而S为整数，从而3c=7或8，
若3c=7，则S=2，代入②、④得：，ab=4，次方程1．一副三角板，按图11-2-1所示方式叠在一起，则图中的度数是（）．
A．75°B．60°
C．65°
D．55°
2．如图11-2-2所示，在△ABC中，∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD，则∠A的度数为（）
A．36°B．72°C．108°D．144°
3．我们知道：等腰三角形的两个底角相等，已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（）．
A．40°B．100°C．40°或100°D．70°或50°
4．（1）在△ABC中，若∠A﹕∠B﹕∠C=2
﹕3
﹕4，则∠A=，∠B=，∠C=．
（2）在△ABC中，若，则∠C=．
（3）若三角形的三个外角的比是2﹕3﹕4，则这个三角形按角分是三角形．
5．已知：如图11-2-3所示，CE⊥AB于点E，AD⊥BC于点D，∠A=30°，则∠C的度数为．
6．已知：如图11-2-4所示，一轮船在海上往东行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东60°，在B处测得灯塔C位于北偏东25°，则∠ACB=．
7．如图11-2-5所示，已知∠EGF=∠E+∠F，求∠A+∠B+∠C+∠D的度数．
8．（1）已知，如图11-2-6所示，AD是高，AE是∠BAC的平分线，是说明：．
（2）如图11-2-7所示，在△ABC中，已知三条角平分线AD、BE、CF相交于点I，
IH⊥BC，垂足为H，∠BID与∠HIC是否相等？并说明理由．
能力提升
9．在三角形中，最大角的取值范围是（）．
A．B．C．D．
10．直角三角形中两锐角平分线所成的角的度数是（）．
A．45°B．135°C．45°或135°D．都不对
11．如图11-2-8所示，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，那么，你发现的规律是（）．
A．B．
C．D．
12．已知△ABC的三个内角为∠A、∠B、∠C，且，，，则中，锐角的个数最多为（）
A．0
B．1
C．2
D．3
13．在△ABC中，BC边不动，点A竖直向上运动，∠A越来越小，∠B、∠C越来越大，若
∠A减少，∠B增加，∠C增加，则三者之间的关系是．
14．在△ABC中，高BD、CE所在的直线相交于点H，且点H与点B、C不重合，∠A=50°，则∠BHC=．
15．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰成20°角，则这个三角形的顶角是．
16．如图11-2-9所示，在△ABC中，A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，A2B平分∠A1BD，A2C平分∠A1CD，A3B平分∠A2BD，A3C平分∠A2CD，若∠A=64°，则∠A3=；依此类推，若∠A=，∠An=．
17．（1）如图11-2-10所示，在△ABC中，∠ABC的n等分线与∠ACB的n等分线分别交于G1，G2，G3，…，Gn-1，试猜想：∠BGn-1C与∠A的数量关系．（其中n是不小于2的整数）．首先得到：当n=2时，如图（a）所示，∠BG1C=，当n=3时，如图（b）所示，∠BG2C=，…，如图（c）所示，猜想∠BGn-1C=．
（2）如图（d）所示，在四边形ABCD中，BP、CP仍然是∠ABC，∠BCD的角平分线，则
∠P与∠A、∠D之间的数量关系为．
18．如图11-2-11所示，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，AG⊥AE，CG是△ABC的外角∠ACF的平分线，若∠G-∠DAE=60°，则∠ACB=．
19．阅读材料：如图11-2-12所示，AD与CB相交于O点，在△AOB和△COD中，∠A+∠B+
∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180°，∠AOB=∠COD，所以∠A+∠B=∠C+∠D．
图形类似数字“8”，所以我们称之为“8”字形．
根据上述材料解决下列问题：
如图11-2-13所示，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠A=48°，∠C=46°，BE与AD相交于点G，BC与DE相交于点H．
（1）仔细观察图11-2-13中有个“8”字形．
（2）求∠BED的度数．
（3）试探究∠A，∠E，∠C之间的关系．（直接写出结论）
20．如图11-2-14所示，已知射线OM与射线ON互相垂直，B、A分别为OM、ON上一动点，
（1）若∠ABM，∠BAN的平分线交于点C．问：点B、A在OM、ON上运动过程中，∠C的度数是否改变？若不变，直接写出结论；若改变，说明理由．
（2）如图11-2-15所示，若∠ABO、∠BAN的平分线所在的直线相交于点C，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？若成立，求出其值；若不成立，说明理由．
21．如图11-2-16所示，在△ADE和△ABC中，∠EAD=∠AED=∠BAC=∠BCA=45°，
∠BAD=∠BCF．
（1）求∠ECF+∠DAC+∠ECA的度数；
（2）判断ED与FC的位置关系，并对你的结论加以证明．
22．如图11-2-17（a）所示，在平面直角坐标系中，△DEQ的一个顶点在x轴的负半轴上，边DQ交x轴于点C，且CE平分∠DEQ，过点D作直线交x轴于点B，交y轴于点A，使∠ADE=∠BDC，已知，，其中m，n满足．
（1）求点C、E的坐标．
（2）若∠ABC=30°，求∠Q的度数．
（3）如图11-2-17（b）所示，在平面直角坐标系中，若直线AB绕点D旋转，过D作DH⊥AB，交x轴于点G，交y轴于点H，直线AB绕点D转动时，下列结论：①∠Q的大小不变；②的值不变．选择一个正确的结论，求其值，并证明你的结论．
中考链接
23．（2011·四川绵阳）将一副常规三角尺按图11-2-18所示方式放置，则图中∠AOB的度数为
A．75°
B．95°C．105°
D．120°
24．一副三角板叠在一起按图11-2-19所示方式放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M.如果∠ADF=100°，那么∠BMD为度.
巅峰突破
25．如图11-2-20所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠DAF=，，则射线AF与BG（）
A．平行B．延长后相交C．反向延长后相交D．可能平行也可能相交
26．如图11-2-21所示，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若，，则∠C=．（用表示）
（2）如下图所示，过点G作GM⊥BC于M，连接HF.
∵AD∥BC，∴∠AHF=∠MFH.
∵EH∥FG，∴∠EHF=∠GFH.∴∠AHE=∠MFG.
又∵∠A=∠GMF=90°，EH=GF，
∴△AHE≌△MFG.∴GM=AE=2.
∵BC=12，BF=a，∴FC=12－a.
∴.
(3)△GFC的面积不能等于2.
∵点H在AD上，∴菱形边上EH的最大值为
.
∴BF的最大值为.
又因为的值随着a的增大而减小，
所以的最小值为.
又∵，∴△GFC的面积不能等于2.
第三节
梯形
基础演练
1.C；
2.B；
3.C；
4.D；
5.B；
6.①②③
能力提升
7.D；
8.B；
9.A；
10.B；
11.32
12.如下图所示，作DE∥AC，交BC的延长线于E，则四边形AQCED为平行四边形，∴AD=CE.
∵AC⊥BD，∴∠BDE=90°.
∴梯形的中位线长.
∵.
∴梯形的中位线.
13.(1)如下图所示，把等腰梯形的两腰分别延长后可得一个边长为2的等边三角形.
所以它可以由一个边长为2的等边三角形，沿着中位线的位置形剪一刀而得.
（2）四种.分别用3，4，5个小梯形拼出较大的等腰梯形.
①3个梯形，周长为11cm，如下图所示；
②4个梯形，周长为10cm，如下图所示；
③5个梯形，周长为17cm，如下图所示；
④5个梯形，周长为11cm，如下图所示；
14.（1）∵AB∥DF，∴∠1=∠ADF.
∴∠1=∠2，∴∠2=∠ADF.∴EA=ED.
又AC=DF，∴EC=EF.
∴△EAD及△ECF均是等腰三角形，且顶角为对顶角，由三角形内角和定理知∠ADF=∠DFC，
∴AD∥CF.又∵CF＜AD，∴四边形ADCF是梯形，
∵AC=DF，∴ADCF是等腰梯形.
(2)四边形ADCF的周长=AD+DC+CF+AF.①
∵△ADC的周长=AD+DC+AC=16（厘米）.②
AF=3（厘米）.③
FC=AC－3.④
将②，③，④代入①得：
四边形ADCF的周长=AD+DC+(AC－3)+AF=(AD+DC+AC)－3+3=16（厘米）.
15.(1)解：∵∠BCD=75°，AD∥BC，
∴∠ADC=105°.
由等边△DCE可知∠CDE=60°，故∠ADE=45°.
由AB⊥BC，AD∥BC，可得∠DAB=90°，
∴∠AED=45°.
（2）证明：如图（a）所示，由（1）知∠AED=45°，
∴AD=AE，故点A在线段DE的垂直平分线上.
由△DCE是等边三角形得CD=CE，故点C也在线段DE的垂直平分线上.
连接AC，∵∠AED=45°，∴∠BAC=45°.
又AB⊥BC，∴∠ACB=45°.∴BA=BC.
（3）如图（b）所示，∵∠FBC=30°，∴∠ABF=60°.
连接AF，BF，AD的延长线相交于点G，
∵∠FBC=30°，∠DCB=75°，
∴∠BFC=75°，故BC=BF.
由（2）知：BA=BC，故BA=BF，
∵∠ABF=60°，∴AB=BF=FA，
又∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠FAG=∠G=30°，∴FG=FA=FB.
∵∠G=∠FBC=30°，∠DFG=∠CFB，FB=FG，
∴△BCF≌△GDF.
∴DF=CF，即点F是线段CD的中点.∴.
16.（1）证明：∵EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，
∴.
∴.∴.
又∵，∴.
（2）当直线经过原矩形顶点D时，如图
∵，，∴.
∴.即，
∴.∴.
17.（1）NE=MB且NE⊥MB.
（2）成立.
理由：如下图所示，连接AE.
∵E为CD中点，AB=BC=CD，∴AB=EC.
又AB∥CD，即AB∥CE，
∴四边形ABCE为平行四边形.
∵∠C=90°，∴四边形ABCE为矩形.
又AB=BC，∴四边形ABCE为正方形.
∴AE=AB.∵等腰直角三角形AMN中，
∴AN=AM，∠NAM=90°.
∴∠1+∠2=90°.
又∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3.
∴△NAE≌△MAB.∴NE=MB.
延长NE、BM交于点F.
由△NAE≌△MAB可得，∠AEN=∠ABM.
∴∠4=∠6.
∵∠5=∠6，∴∠4=∠5.
又∠EMF=∠BMC，∴∠EFB=∠C=90°.
∴BM⊥NE.
中考链接
18.（1）设AB=10xkm，则AD=5xkm，CD=2xkm，
∵四边形ABCD是等腰梯形，∴BC=AD=5xkm，
∴AD+CD+CB=12xkm，
∴外环公路的总长和市区公路长的比为12x：10x=6：5；
（2）由（1）可知，市区公路的长为10xkm，外环公路的总长为12xkm，由题意得：
.解这个方程得.∴.
答：市区公路的长为10km.
19.（1）略
（2）解：如下图所示，作BH⊥AD，CK⊥AD，
则有BC=HK，
∵∠BAD=45°，∴∠HAB=∠KDC=45°,
∴，
同理：，
∵，，
∴，
而，∴，
∴
巅峰突破
20.(1)10；
.
（2）如下图(a)、（b）所示.
①∵△BEF与梯形ABCD等高，梯形ABCD的高，
∴，即；
②∵，（为常数），
∴.∴.∴.
∴，为整数，∴.
即BF的长为：1cm、2cm、3cm.
21.（1）略.
(2)解：如下图所示，延长CD和BE的延长线交于H，
∵BF⊥CD，∠BEC=90°，∴∠HEC=90°，
∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°，
∴∠EBF=∠ECH，
∵BE=CE，∠BEC=∠CEH，∴△BEG≌△CEH（ASA），
∴EG=EH，BG=CH=DH+CD，
∵△BAE≌△CDE，∴∠AEB=∠GED，∠HED=∠AEB.∴∠GED=∠HED，
∵ED=ED，∴△GED≌△HED（SAS），
∴DG=DH，∴BG=DG+CD，
∵DG=2cm，BG=6cm，
∴CD=BG－DG=4（cm）
第四节
线段中点的应用
基础演练
1.
C；
2.C；
3.B；
4.C
5.如下图所示，连接CM，AM，
∵∠DAB=∠BCD=90°,M为BD中点，
∴CM=BD=AM.∴△AMC为等腰三角形.
∵N为AC中点，∴MN⊥AC.
6.如下图所示，连接PR、PQ，∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠A=∠B=∠C=60°.
∵△MPS是等边三角形，
∴PS=PM，∠MPS=60°.
∵P为AB的中点，Q为AC的中点，R为BC的中点，
∴.
∴PQ=PR.
∴
∴∠APQ=∠BPR=60°，∴∠RPQ=180°－2×60°=60°.
又∵∠QPS=∠MPS－∠MPQ=60°－∠MPQ，
∠RPM=∠RPQ－∠MPQ=60°－∠MPQ，
∴∠QPS=∠RPM.∴△PRM≌△PQS.
∴PM=QS.
7.△AGD是直角三角形
如下图所示，连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE，
∵F是AD的中点，
∴HF∥AB，HE=AB.∴∠1=∠3.
同理，HE∥CD，HE=CD.∴∠2=∠EFC.
∵AB=CD，∴HF=HE，
∴∠1=∠2，∵∠EFC=60°.
∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°.
∴△AGF是等边三角形.
∴AF=GF.∴GF=FD.∴∠FGD=∠FDG=30°.
∴∠AGD=90°.即△AGD是直角三角形.
能力提升
8.
9.
10.∵点E、F分别是AD、AB的中点，
∴EF∥BD，∴EF=BD，∴∠FCD=∠CFE，
在△ABC中，∠ACB=90°.
∵E是AD的中点，∴CE=AD.
∵AD=BD，∴EF=CE.∴∠ECF=∠CFE.
∴∠FCD=∠ECF.即CF是∠ECB的平分线.
11.如下图所示，取AD中点G，连接EG、FG，
∵E是AC的中点，∴EG是△ACD的中位线.
∴EG=CD.同理可证：FG=AB.
在△EFG中，.∴.
12.∵点E、F、G分别是BC、AB、AC的中点，
∴FG∥BC，FE∥AC，FE=AC.∴FG∥ED.
∵FE∥AC，DG与AC是相交的，
∴DG与EF不平行.∴四边形EFGD是梯形.
∵AD是三角形的高，∴△ADC是直角三角形.
∵DG是斜边上的中线，∴DG=AC.
∴DG=EF.∴梯形EFGD是等腰梯形.
13.（1）如图（a）所示，连接CF，线段CF与FE之间数量关系是；
（2）（1）中的结论仍然成立.
如图（b）所示，连接CF，延长EF交CB于点G，
①先送2根，再送4根，二次共走行驶：
米；
②先送4根，再送2根，二次共行驶：
米；
（2）两次各送3根时，所行路程为
米.
故先送2根所行驶路程最短，最短总行程为：
故所用最少油费为元
例6
如图所示，在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13.点P到BC，CA，AB的距离分别为，连接PA，PB，PC，由三角形的面积公式知：.即
.显然有.
故.
当时，有，即取最大值时，P与A重合；当时，有，即取最小值时，P与C重合.
A级
1.27
原式=
2.6
3.15°
提示：
4.
提示：，∴，又把代入中，得，∴.故.
5.D
6.B
7.A
8.B
9.设，则.
∴均为非负实数.
∴，解得：.
故.
∴，即，
所以的最小值是19，最大值是.
10.20套.
1800元.提示：设生产L型号的童装套数为，则生产M型号的童装为套，所得利润.
由
得，.
11.最小表面积的打包方式为2×3.最小表面积为17952，图略.
B级
1.27
当时，的值最大.
2.102
提示：.
3.1157
提示：.
4.B，D，E
93.62百元
5.13800元
提示：设由甲库调运x吨粮食到B市，总运费为y元，则
6.C
提示：
.
故.
7.B
提示：设，则.故.
8.（1）.
.
当或时，取最大值2003001.当中恰有1001个1，1001个时，取最小值.
（2）因为大于2002的最小完全平方数为，且必为偶数，所以
或；即中恰有1024个1，978个或1024个，978个1时，m取得最小值.
9.由条件得：，以上各式相加，得
，故.由已知
都是偶数，因此.另一方面，当
，时，符合条件，且使上式等号成立，故所求的最小值是.
10.仓库地址应选在C处，假定仓库另选一地O，设
（单位：千米），又假定A厂产量为，B厂产量为，C厂产量为，（单位：吨）.仓库在O处的总运费可表示为；仓库在C处的
组无解，这种情况不可能；
若，则，代入②、④得，解得，
而，且.
故这样的直角三角形存在，且只有一个.
10.
15
提示：将三△ADC，△ADB分别沿AC，AB折叠至△AEC，△AFB.延长FB，EC交于G，设AD=，则AE=AF=，FB=BD=3,易证:四边形AFGE为正方形，EC=DC=2.
∴，即.
解得：.
∴
11.
提示：将△BAE绕A点旋转90°得，连接，
则，.
12.（1）将△ACM沿直线CM对折，得△DCM，连DN.
∵△DCM≌△ACM，∴CD=CA，DM=AM，∠DCM=∠ACM，∠CDM=∠A.
又∵CA=CB，∴CD=CB.
由∠DCN=∠MCN－∠DCM=45°－∠DCM，∠BCN=∠ACB－∠MCN－∠ACM=90°－45°－
∠ACM
=45°－∠ACM，得∠DCN=∠BCN，又CN=CN，
∴△CDN≌△CBN.∴DN=BN，∠CDN=∠B，∠MDN=∠CDM+∠CDN=∠A+∠B=90°.
在Rt△MDN中，，即.
（2）关系式仍成立，同理可证.
图11—2—1
图11—2—2
图11—2—3图11—2—4
图11—2—5
图11—2—6
图11—2—7
图11—2—8
图11—2—9
……
（a）（b）（c）（d）
图11—2—10
图11—2—11
图11—2—12图11—2—13
图11—2—14图11—2—15
图11—2—16
（a）（b）
图11-2-17
图11—2—18图11—2—19
图11—2—20图11—2—21专题04
和差化积----因式分解的方法（2）
阅读与思考
因式分解还经常用到以下两种方法
1．主元法
所谓主元法，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式按降幂排列重新整理成关于这个字母的多项式，使问题获解的一种方法．
2．待定系数法
即对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出一个或几个待定的字母系数，把所求问题用式子表示，然后再利用已知条件，确定或消去所设系数，使问题获解的一种方法，用待定系数法解题的一般步骤是：
（1）在已知问题的预定结论时，先假设一个等式，其中含有待定的系数；
（2）利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；
（3）解方程组，求出待定系数，再代入所设问题的结构中去，得出需求问题的解．
例题与求解
【例l】因式分解后的结果是（
）．
A．
B．
C．
D．
（上海市竞赛题）
解题思路：原式是一个复杂的三元二次多项式，分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母的多项式并按降幂排列，改变原式结构，寻找解题突破口．
【例2】分解因式：
（1）；
（“希望杯”邀请赛试题）
（2）．
（天津市竞赛题）
解题思路：两个多项式的共同特点是：字母多、次数高，给分解带来一定的困难，不妨考虑用主元法分解．
【例3】分解因式．
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：因的最高次数低于的最高次数，故将原式整理成字母的二次三项式．
【例4】为何值时，多项式有一个因式是
（“五羊杯”竞赛试题）
解题思路：由于原式本身含有待定系数，因此不能先分解，再求值，只能从待定系数法入手．
【例5】把多项式写成一个多项式的完全平方式.
（江西省景德镇市竞赛题）
解题思路：原多项式的最高次项是，因此二次三项式的一般形式为，求出即可．
【例6】如果多项式能分解成两个一次因式，的乘积（为整数），则的值应为多少？
（江苏省竞赛试题）
解题思路：由待定系数法得到关于的方程组，通过消元、分解因式解不定方程，求出的值．
能力训练
　　　　A　
级
1．分解因式：＝___________________________．
（“希望杯”邀请赛试题）
2．分解因式：＝_______________________
（河南省竞赛试题）
3．分解因式：＝____________________________．
（重庆市竞赛试题）
4．多项式的最小值为____________________．
（江苏省竞赛试题）
5．把多项式分解因式的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数的个数是（
）．
A．3
个
B．4
个
C．5
个
D．6个
7．若被除后余3，则的值为（
）．
A．2
B．4
C．9
D．10
（“CASIO杯”选拔赛试题）
8．若，，则的值是（
）．
A．
B．
C．
D．0
（大连市“育英杯”竞赛试题）
9．分解因式：
（1）；
（吉林省竞赛试题）
（2）；
（昆明市竞赛试题）
（3）；
（天津市竞赛试题）
（4）；
（四川省联赛试题）
（5）
（天津市竞赛试题）
10．如果能够分割成两个多项式和的乘积（为整数），那么应为多少？
（兰州市竞赛试题）
11．已知代数式能分解为关于的一次式乘积，求的值．
（浙江省竞赛试题）
B　级
1．若有一个因式是，则＝_______________．
（“希望杯”邀请赛试题）
2．设可分解为一次与二次因式的乘积，则＝_____________．
（“五羊杯”竞赛试题）
3．已知是的一个因式，则＝________________________．
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
4．多项式的一个因式是，则的值为__________．
（北京市竞赛试题）
5．若有两个因式和，则＝（
）．
A．8
B．7
C．
15
D．21
E．22
（美国犹他州竞赛试题）
6．多项式的最小值为（
）．
A．4
B．5
C．16
D．25
（“五羊杯”竞赛试题）
7．若（为实数），则M的值一定是（
）．
A．正数
B．负数
C．零
D．整数
(“CASIO杯”全国初中数学竞赛试题）
8．设满足，则＝（
）
A．（2，2）或（－2，－2）
B．（2，2）或（2，－2）
C．（2，－2）或（－2，2）
D．（－2，－2）或（－2，2）
（“希望杯”邀请赛试题）
9．为何值时，多项式能分解成两个一次因式的积？
（天津市竞赛试题）
10．证明恒等式：．
（北京市竞赛试题）
11．已知整数，使等式对任意的均成立，求的值．
（山东省竞赛试题）
12．证明：对任何整数，下列的值都不会等于33．
（莫斯科市奥林匹克试题）
专题04
和差化积-------因式分解的方法(2)
例1.
A
提示:
将原式重新整理成关于的二次三项式
例2.
(1)
提示:
原式
(2)
提示:
原式
例3.
原式
例4.
提示:
可设原式展开比较对应项系数得解得k＝12．
例5　原式＝．
例6　设x2－（a＋5）x＋5a－1＝（x＋b）（x＋c）＝x2＋（b＋c）x＋bc．
∴
①×5＋2得bc＋5（b＋c）＝－26，
bc＋5（b＋c）＋25＝－1，（b＋5）（c＋5）＝－1．
∴或
∴或故a＝5．
A级
1．（3a＋2b－c）（3a－2b＋c）
2．（x＋3y）（x＋2y＋1）
3．（x＋y＋1）（x－y＋3）
4．－18　　　　　　
5．C　　　　　
6．D　　　　　　
7．D　　　　　　　　
8．D
9．（1）（2a＋b）（a－b＋c）；
（2）（a＋c－2b）2；
　（3）（x－2）（x2－x＋a）；
　（4）（x－2y＋3）（2x－3y－4）；
　（5）（x＋1）（y＋1）（x－1）（y－1）．
10．提示：由题意得
①×4＋②，得（b＋4）（c＋4）＝－1，
推得或故a＝4．
11．∵x2－3xy－4y＝（x＋y）（x－　4y），
∴可设原式＝（x＋y＋m）（x－4y＋n），展开比较对应项系数得b＝－6或9．
B级
1．k＝－5
2．－2　提示：原式＝x（x2＋3x－k）－2y（x＋2），令x＝－2．
3．　5提示：令原式＝（x－y＋4）·A，取一组x，y的值代入上式．
4．－3
5．C　提示：x＝－1，x＝－2是方程x3＋ax2＋bx＋8＝0的解．
6．C　提示：原式＝（x－2y）2＋（2x＋3）2＋16
7．A　提示：原式＝2（x－2y）2＋（x－2）2＋（y＋3）2≥0，且这三个数不能同时为零，M＞0．
8．C
9．k＝－3　提示：因x2＋3x＋2＝（x＋1）（x＋2），故可令原式＝（x＋my＋1）·（x十ny＋2），展开比较对应项系数求出k．
10．提示：左边＝（a2＋b2）2－2a2b2＋（a2＋b2＋2ab）2
　　　　　　　＝（a2＋b2）2－2a2b2＋（a2＋b2）2＋4ab（a2＋b2）＋4a2b2
　　　　　　　＝2（a2＋b2）＋4ab（a2＋b2）＋2a2b2＝2（a2＋b2＋ab）2
　　　　　　　＝右边．
11．将原等式展开x2＋（a＋b＋c）x＋ab－l0c＝x2－10x－11．
∴
①×10＋②得ab＋10a＋10b＝－111．
∴（a＋10）（b＋10）＝－11．∴或或或
∴或或或代入①得c＝0或20．
12．原式＝（x5＋3x4y）－（5x3y＋15x2y3）＋（4xy4＋12y5）＝x4（x＋3y）－5x2y2（x＋3y）　＋4y4（x＋3y）＝（x＋3y）（x4－5x2y2＋4y2）＝（x＋3y）（x2－4y2）＝（x＋3y）（x＋y）　（x－y）（x＋2y）（x－2y）．
　　当y＝0时，原式＝x5≠33;当y≠0时，x＋3y，x－y，x－2y，x＋2y，x＋y互不相同，而33不可能分解为4个以上不同因数的积，所以，当x取任意整数，y取不为0的任意整数，原式≠33．专题01
整式的乘除
阅读与思考
指数运算律是整式乘除的基础，有以下5个公式：，
，，，，．
学习指数运算律应注意：
1．运算律成立的条件；
2．运算律中字母的意义：既可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者多项式；
3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用．
多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是：
1．将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位；
2．确定商式，竖式演算式，同类项上下对齐；
3．演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止．
例题与求解
【例1】（1）若为不等式的解，则的最小正整数的值为
．
（“华罗庚杯”香港中学竞赛试题）
（2）已知，那么
．
（“华杯赛”试题）
（3）把展开后得，则
．
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
（4）若则
．
（创新杯训练试题）
解题思路：对于（1），从幂的乘方逆用入手；对于（2），目前无法求值，可考虑高次多项式用低次多项式表示；对于（3），它是一个恒等式，即在允许取值范围内取任何一个值代入计算，故可考虑赋值法；对于（4），可考虑比较系数法．
【例2】已知，，则等于（
）
A．2
B．1
C．
D．
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：为指数，我们无法求出的值，而，所以只需求出的值或它们的关系，于是自然想到指数运算律．
【例3】设都是正整数，并且，求的值．（江苏省竞赛试题）
解题思路：设，这样可用的式子表示，可用的式子表示，通过减少字母个数降低问题的难度．
【例4】已知多项式，求的值．
解题思路：等号左右两边的式子是恒等的，它们的对应系数对应相等，从而可考虑用比较系数法．
【例5】是否存在常数使得能被整除？如果存在，求出的值，否则请说明理由．
解题思路：由条件可推知商式是一个二次三项式（含待定系数），根据“被除式=除式×商式”，运用待定系数法求出的值，所谓是否存在，其实就是关于待定系数的方程组是否有解．
【例6】已知多项式能被整除，求的值．
（北京市竞赛试题）
解题思路：本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．本题关键是能够通过分析得出当和时，原多项式的值均为0，从而求出的值．当然本题也有其他解法．
能力训练
A级
1．（1）
．
（福州市中考试题）
（2）若，则
．
（广东省竞赛试题）
2．若，则
．
3．满足的的最小正整数为
．
（武汉市选拔赛试题）
4．都是正数，且，则中，最大的一个是
．
（“英才杯”竞赛试题）
5．探索规律：，个位数是3；，个位数是9；，个位数是7；，个位数是1；，个位数是3；，个位数是9；…那么的个位数字是
，的个位数字是
．
（长沙市中考试题）
6．已知，则的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知，那么从小到大的顺序是（
）
A．
B．
C．
D．
（北京市“迎春杯”竞赛试题）
8．若，其中为整数，则与的数量关系为（
）
A．
B．
C．
D．
（江苏省竞赛试题）
9．已知则的关系是（
）
A．
B．
C．
D．
（河北省竞赛试题）
10．化简得（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知，
试求的值．
12．已知．试确定的值．
13．已知除以，其余数较被除所得的余数少2，求的值．
（香港中学竞赛试题）
B级
1．已知则=
．
2．（1）计算：=
．
（第16届“希望杯”邀请竞赛试题）
（2）如果，那么
．
（青少年数学周“宗沪杯”竞赛试题）
3．（1）与的大小关系是
（填“＞”“＜”“＝”）．
（2）与的大小关系是：
（填“＞”“＜”“＝”）．
4．如果则=
．
（“希望杯”邀请赛试题）
5．已知，则
．
（“五羊杯”竞赛试题）
6．已知均为不等于1的正数，且则的值为（
）
A．3
B．2
C．1
D．
（“CASIO杯”武汉市竞赛试题）
7．若，则的值是（
）
A．1
B．0
C．—1
D．2
8．如果有两个因式和，则（
）
A．7
B．8
C．15
D．21
（奥赛培训试题）
9．已知均为正数，又，，则与的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．关系不确定
10．满足的整数有（
）个
A．1
B．2
C．3
D．4
11．设满足求的值．
12．若为整数，且，，求的值．
（美国犹他州竞赛试题）
13．已知为有理数，且多项式能够被整除．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）若为整数，且．试比较的大小．
（四川省竞赛试题）
专题01
整式的乘除
例1(1)(n2)100＞(63)100，n2
＞216，n的最小值为15．
(2)原式＝x2(x2＋x)＋x(x2
＋x)－2(x2＋x)
＋2005＝
x2＋x－2＋2005＝2004
(3)令x＝1时，a12＋a11＋a10＋…＋a2＋a1＋a0＝1，
①
令x＝－1时，a12
–a11＋al0－…＋n2－al＋a0
＝729
②
由①＋②得：2(a12＋al0＋a8＋…＋a2
＋a0)＝730．
∴a12
＋a10
＋a8
＋a6＋a4
＋a2＋a0
＝365．
(4)所有式子的值为x3项的系数，故其值为7．
例2
B
提示：25xy
＝2
000y，
①
80xy
＝2
000x，
②
①×②，得：(25×80)xy＝2000x＋y，得：x＋
y＝xy．
例3
设a＝m4，b＝m5，c＝n2，d＝n3，由c－a＝19得，n2－m4＝19，即(n＋m2)
(n－m2)＝19，因19是质数，n＋m2，n－m2是自然数，且n＋m2＞n－m2，得，解得n＝10，m＝3，所以d－b＝103－35
＝757
例4
－
提示：由题意知：2x2＋3xy－2y2－x＋8y－6＝2x2＋3xy－2y2＋(2m＋n)x＋(2n－m)y＋mn．
∴，解得，∴＝－
倒5提示：假设存在满足题设条件的p，q值，设(x4＋px2＋q)＝(x2＋2x＋5)(x2＋mx＋n)，即
x4＋px2＋q＝x4＋(m＋2)x3＋(5＋n＋2m)x2＋(2n＋5m)x＋5n，得，解得，
故存在常数p，q且p＝6，q＝25，使得x4＋px2＋q能被x
2＋2x＋5整除．
例6解法1
∵x2＋x－2＝(x＋2)
(x－1)，
∴2x4－3x3＋ax2＋7x＋b能被(x＋2)(x－1)整除，设商是A．
则2x4－3x3＋ax2＋7x＋b＝A(x＋2)(x－l)，
则x＝－2和x＝1时，右边都等于0，所以左边也等于0．
当x＝－2时，2x4－3x3＋ax2＋7x＋b
＝32＋24＋4a－14＋b＝4a＋b＋42＝0，
①
当x＝1时，
2x4－3x3＋ax2＋7x＋b＝2－3＋a＋7＋b＝a＋b＋6＝0．
②
①－②，得3a＋36＝0，∴
a＝－12，
∴
b＝－6－a＝6．
∴
＝
＝－2
解法2
列竖式演算，根据整除的意义解
∵2x4－3x3＋ax2＋7x＋b能被x2＋x－2整除，
∴，即，∴
＝－2
A级
1．(1)
－5
(2)53
2．8
3．7
4．6
5．7
9
6．A
7．D
提示：a＝(25)11，b－(34)11，c＝(53)11，d＝(62)11
8．A
9．B
10．C
11．4800
12．a＝4．b＝4，c＝1
13．
提示：令x3
＋kx2＋3＝(x＋3)
(x2＋ax＋6)＋r1，x3＋kx2＋3＝(
x＋1)
(x2＋cx＋d)＋r2，令x＝－3，得r1＝9k－24．令x＝－1，得r2＝k＋2，由9k－24＋2＝k＋2，
得k＝3．
B级
1．
2．
(1)
提示：原式＝×＝×＝
(2)12
3．(1)
＜
1516
＜1615＝264，3
313
＞3213＝265
＞264．
(2)
＞
提示：设32
000
＝x．
4．4
5．512
提示：令x＝±2．
6．C提示：由条件得a＝c－3
，b＝c2
，abc＝c－3·c2·c＝1
7．C
8．D
9．C
提示：设a2＋a3＋…a1996＝x，则M＝（a1＋x）(x＋a1997)＝a1x＋x2＋a1a1997＋a1
997x．
N＝(a1＋x＋a1
997)x
＝alx＋x2＋a1997x．M＝N＝a1a1997＞0．
10．D
11．由ax2＋by2
＝7，得(ax2＋by2)(x＋y)＝7(x＋y)，
即ax3－ax2y＋bxy2＋by3
＝7(x＋y)，(ax3＋by3)－xy(ax＋by)－7(x＋y)．
∴16＋3xy＝
7(x＋y)．
①
由ax3
＋by3＝16，得(ax3＋by3)(x＋y)
＝16(x＋y)，
即ax4
＋ax3
y＋bxy3＋by4
＝16(x＋y)，（ax4＋by4)＋xy(a＋b)＝16(x＋y）．
∴42＋7xy＝16(x＋y）．
②
由①②可得，x＋y＝－14，xy＝－38．
由a＋b＝42，得（a＋b）（x＋y）＝42×（－14），
（a＋b）＋xy（a＋b）＝－588，
＋16×（－38）＝－588．
故＝20．
12．两边同乘以8得＋＋＋＝165．
∵x＞y＞z＞w且为整数，
∴x＋3＞y＋3＞z＋3＞w＋3，且为整数．
∵165是奇数，∴w＋3＝0，∴w＝－3．
∴＋＋＝164．
∴＋＋＝41，∴z＋1＝0，∴z＝－1．
∴＋＝40．
两边都除以8得：＋＝5．
∴y－2＝0，∴y＝2．∴＝4．
∴x－2＝2，∴x＝4．
∴＝＝1．
13．（1）∵（x－1）（x＋4)＝＋3x－4，
令x－1＝0，得x＝1；令x＋4＝0，得x＝－4．
当x＝1时，得1＋a＋b＋c＝0；
①
当x＝－4时，得－64＋16a－4b＋c＝0．
②
②－①，得15a－5b＝65，即3a－b＝13．
③
①＋③，得4a＋c＝12．
（2）③－①，得2a－2b－c＝14．
（3）∵c≥a＞1，4a＋c＝12，a，b，c为整数，
∴1＜a≤，则a＝2，c＝4．
又a＋b＋c＝－1，∴b＝－7，．∴c＞a＞b．

展开更多......

收起↑