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2011年高考试题数学（理科）
函数与导数
一、选择题:
1. (2011年高考山东卷理科5)对于函数,“的图象关于y轴对称”是“=是奇函数”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要
【答案】B
【解析】由奇函数定义,容易得选项B正确.
2. (2011年高考山东卷理科9)函数的图象大致是
【答案】C
【解析】因为,所以令,得,此时原函数是增函数;令,得,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得选C正确.
3. (2011年高考山东卷理科10)已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时,,则函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为
（A）6 （B）7 （C）8 （D）9
【答案】B
【解析】因为当时, ,又因为是上最小正周期为2的周期函数，且,所以,又因为,所以,,故函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为7个,选B.
4．(2011年高考安徽卷理科3)设是定义在上的奇函数，当时，，则
（A） (B) （Ｃ）１　　　　　　（Ｄ）３
（A） (B) （Ｃ）１　　　　　　（Ｄ）３
【命题意图】本题考查了函数的奇偶性和求值，是容易题.
【解析】∵设是定义在上的奇函数，当时，，
∴===－3，故选A.
5.(2011年高考安徽卷理科10)函数= 在区间[0,1]上的图像如图所示，则m,n的值可能是
（A）m=1, n=1 （B）m=1, n=2
（C）m=2, n=1 （D）m=3, n=1
【命题意图】本题考查利用导数判定函数的单调性的有关知识，考查识图、用图能力，难度较大.
【解析】观察图像已知，＞0，在（0,1）上先增后减，但在[0,]上有增有减且不对称.
对于选项A，=是二次函数，图像关于直线对称，不符合题意.
对于选项B，==，=，知在[0, ]是增函数，在[,1]是减函数，符合题意，选B.
对于选项C, ==，==，在[0,]上是增函数，不适合；
对于选项D，==，==，在[0,]是增函数，不适合.
【解题指导】排除法解决存在问题和不确定问题很有效
6．(2011年高考辽宁卷理科9)设函数f（x）=则满足f（x）≤2的x的取值范围是（ ）
（A）[-1，2] （B）[0，2] （C）[1，+） （D）[0，+）
答案： D
解析：不等式等价于或解不等式组，可得或，即，故选D.
8．(2011年高考浙江卷理科1)设函数,则实数=
（A）-4或-2 （B）-4或2 （C）-2或4 （D）-2或2
【答案】 B
【解析】：当，故选B
9. (2011年高考全国新课标卷理科2)下列函数中，既是偶函数又是区间上的增函数的是（ ）
A B C D
【答案】B
解析：由偶函数可排除A，再由增函数排除C,D,故选B；
点评：此题考查复合函数的奇偶性和单调性，因为函数都是偶函数，所以，内层有它们的就是偶函数，但是，它们在的单调性相反，再加上外层函数的单调性就可以确定。
10. (2011年高考全国新课标卷理科9)由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为金太阳新课标资源网
（A） （B）4 （C） （D）6
【答案】C
解析：因为的解为，所以两图像交点为，于是面积故选C
点评：本题考查定积分的概念、几何意义、运算及解决问题的能力。求曲线围成的图形的面积，就是要求函数在某个区间内的定积分。
11. (2011年高考全国新课标卷理科12)函数的图像与函数的图像所有焦点的横坐标之和等于
（A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8
答案D
解析：图像法求解。的对称中心是（1,0）也是的中心，他们的图像在x=1的左侧有4个交点，则x=1右侧必有4个交点。不妨把他们的横坐标由小到大设为，则，所以选D
12. (2011年高考天津卷理科7)已知则
A．　　B．
C．　　D．
【答案】C
【解析】令，，，在同一坐标系下作出三个函数的图象，
由图象可得 ，
13. (2011年高考天津卷理科8)对实数与，定义新运算“”： 设函数若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． 　　　B． 　
C． 　　D.
【答案】B
【解析】由题意知,若,即时, ;当,即或时, ,要使函数的图像与轴恰有两个公共点，只须方程有两个不相等的实数根即可,即函数的图像与直线有两个不同的交点即可,画出函数的图像与直线,不难得出答案B.
14. (2011年高考江西卷理科3)若，则的定义域为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】要使原函数有意义,只须,即,解得,故选A.
15. (2011年高考江西卷理科4)若，则的解集为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为,原函数的定义域为,所以由可得,解得,故选C.
16. (2011年高考湖南卷理科6)由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为
A. B. 1 C. D.
答案：D
解析：由定积分的几何意义和微积分基本定理可知S=。故选D评析：本小题主要考查定积分的几何意义和微积分基本定理等知识.
17. (2011年高考湖南卷理科8)设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为
A. 1 B. C. D.
答案：D
解析：将代入中，得到点的坐标分别为，，从而
对其求导，可知当且仅当时取到最小。故选D
评析：本小题主要考查二次函数和对数函数的图像和性质，以及建立距离函数，用导数法求最值.
18．(2011年高考广东卷理科4)设函数和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ）
A．+|g(x)|是偶函数 B．-|g(x)|是奇函数
C．|| +g(x)是偶函数 D．||- g(x)是奇函数
【解析】A.设
，所以是偶函数，所以选A.
19．(2011年高考湖北卷理科6)已知定义在R上的奇函数和偶函数满足且，若，则
A.2 B. C. D.
答案：B
解析：因为则，联立可得，又因为，故a=2.因为
则，所以选B.
20. (2011年高考湖北卷理科10) 放射性元素由于不断有原子放射微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位年）满足函数关系：，其中为t=0时铯137的含量，已知t=30时，铯137含量的变化率是—10ln2（太贝克/年），则M(60)=
A.5太贝克 B.75ln2太贝克 C.150ln2太贝克 D.150太贝克
答案：.D
解析：因为，故其变化率为，又由故，则，所以选D.
21．(2011年高考陕西卷理科3)设函数满足，则的图像可能是
【答案】B
【解析】：由知为偶函数，由知周期为2。故选B
22．(2011年高考陕西卷理科6)函数在内
（A）没有零点 （B）有且仅有一个零点
（C）有且仅有两一个零点（D）有无穷个零点
【答案】B
【解析】：令，，则它们的图像如图故选B
23.(2011年高考重庆卷理科5)下列区间中，函数，在其上为增函数的是
（A） (B)
(C) (D)
解析：选D。用图像法解决，将的图像关于y轴对称得到，再向右平移两个单位，得到，将得到的图像在x轴下方的部分翻折上来，即得到的图像。由图像，选项中是增函数的显然只有D
24． (2011年高考四川卷理科7)已知是R上的奇函数，且当时，，则的反函数的图像大致是
答案：A
解析：由反函数的性质原函数的值域为反函数的定义域，原函数的定义域为反函数的值域。
当，故选A
25． (2011年高考全国卷理科2)（2）函数的反函数为
（A） （B）
（C） （D）
【思路点拨】先反解用y表示x,注意要求出y的取值范围，它是反函数的定义域。
【答案】B
【精讲精析】在函数中，且反解x得，所以的反函数为.
26． (2011年高考全国卷理科8)曲线y=+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为
(A) (B) (C) (D)1
【答案】A
【解析】： ，，切线方程为
由 则 故选A
27．(2011年高考全国卷理科9)设是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，=，则=
(A) - (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】 故选A
28．(2011年高考福建卷理科5)（e2+2x）dx等于
A．1 B．e-1 C．e D．e+1
【答案】C
【解析】由定积分的定义容易求得答案.
29．(2011年高考福建卷理科9)对于函数f（x）=asinx+bx+c（其中，a,bR,cZ）,选取a,b,c的一组值计算f（1）和f（-1），所得出的正确结果一定不可能是
A．4和6 B．3和1 C．2和4 D．1和2
【答案】D
30．(2011年高考上海卷理科16)下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由偶函数,排除B;由减函数,又排除B、D，故选A.
二、填空题:
1. (2011年高考山东卷理科16)已知函数=当2＜a＜3＜b＜4时，函数的零点 .
【答案】2
【解析】方程=0的根为,即函数的图象与函数的交点横坐标为,且,结合图象,因为当时,,此时对应直线上的点的横坐标;当时, 对数函数的图象上点的横坐标,直线的图象上点的横坐标,故所求的.
2．(2011年高考浙江卷理科11)若函数为偶函数，则实数 。
【答案】 0
【解析】，
则
3. (2011年高考广东卷理科12)函数在 处取得极小值.
【解析】2.得
。所以函数的单调递增区间为，减区间为，所以函数在x=2处取得极小值。
4．(2011年高考陕西卷理科11)设，若，则
【答案】1
【解析】
5. (2011年高考四川卷理科13)计算 .
答案：
解析：.
6. (2011年高考四川卷理科16)函数的定义域为A，若时总有为单函数.例如，函数=2x+1（）是单函数.下列命题：
函数=（xR）是单函数；
若为单函数，
若f：AB为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象；
函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数.
其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号）
答案：②③
解析：，但，∴①不正确；
与“若A，且时总有”等价的命题是“若A，且时总有，故②③正确.函数在某个区间上具有单调性，但f（x）在整个定义域不一定是单函数，故④错.
7.(2011年高考江苏卷2)函数的单调增区间是__________
【答案】
【解析】考察函数性质，容易题。因为,所以定义域为,由复合函数的单调性知:函数的单调增区间是.
8.(2011年高考江苏卷8)在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________
【答案】4
【解析】考察函数与方程，两点间距离公式以及基本不等式，中档题。设坐标原点的直线方程为,则由解得交点坐标为、，即为P、Q两点，所以线段PQ长为，当且仅当时等号成立，故线段PQ长的最小值是4.
9．(2011年高考安徽卷江苏11)已知实数，函数，若，则a的值为________
【答案】
【解析】因为,所以是函数的对称轴,所以,所以的值为.
10．(2011年高考北京卷理科13)已知函数若关于x 的方程f(x)=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是_______
【答案】（0，1）
【解析】画出函数图象与直线y=k,观察,可得结果,考查了函数与方程、数形结合的数学思想.
11．(2011年高考上海卷理科1)函数的反函数为 。
【答案】
【解析】设,则,故.
12．(2011年高考上海卷理科13)设是定义在上，以1为周期的函数，若在上的值域为，则在区间上的值域为 。
【答案】
【解析】本小题考查函数的性质.
三、解答题:
1. (2011年高考山东卷理科21)（本小题满分12分）
某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为.设该容器的建造费用为千元.
（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的.
【解析】（I）设容器的容积为V，
由题意知
故
由于
因此
所以建造费用
因此
（II）由（I）得
由于
当
令
所以
（1）当时，
所以是函数y的极小值点，也是最小值点。
（2）当即时，
当函数单调递减，
所以r=2是函数y的最小值点，
综上所述，当时，建造费用最小时
当时，建造费用最小时
2．(2011年高考浙江卷理科22)（本题满分14分）设函数（Ⅰ）若为的极值点，求实数（Ⅱ）求实数的取值范围，使得对任意恒有成立
注：为自然对数的底数
【解析】（Ⅰ）因为所以因为为的极值点所以解得或经检验，符合题意，
所以或
（Ⅱ）①当时， 对于任意实数，恒有 成立
②当 时，由题意，首先有
解得 由（Ⅰ）知
令 则，
且
又在 内单调递增，所以函数 在内有唯一零点，记此零点为 ，则，从而，当 时， 当 时
当 时 即 在内单调递增，在内单调递减，
在 内单调递增。所以要使对恒成立，
只要成立，由，知 将（3）代入（1）得又。注意到函数在内单调递增，故
再由（3）以及函数在 内单调递增，可得 ，
由（2）解得 ，所以
综上，的取值范围为.
3．(2011年高考辽宁卷理科21) (本小题满分12分)
已知函数f（x）=lnx-ax2+（2-a）x.
(I)讨论f（x）的单调性；
（II）设a＞0，证明：当0＜x＜时，f（+x）＞f（-x）；
（III）若函数y=f（x）的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f’（ x0）＜0.
解：
（I）
（i）若单调增加.
（ii）若
且当
所以单调增加，在单调减少. ………………4分
（II）设函数则
当.
故当， ………………8分
（III）由（I）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，
故，从而的最大值为
不妨设
由（II）得
从而
由（I）知， ………………12分
4．(2011年高考安徽卷理科16) (本小题满分12分)
设，其中为正实数
（Ⅰ）当时，求的极值点；
（Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围。
【命题意图】：本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调性之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力。
【解析】：
当时，，由得解得
由得，由得，当x变化时与相应变化如下表：
x
+ 0 - 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以，是函数的极大值点，是函数的极小值点。
因为为上的单调函数，而为正实数，故为上的单调递增函数
恒成立，即在上恒成立，因此
，结合解得
【解题指导】：极值点的判定一定要结合该点两侧导数的符号，不可盲目下结论。同时还要注意“极值”与“极值点”的区别避免画蛇添足做无用功。
某区间（a,b）上连续可导函数单调性与函数导数符号之间的关系为：
若函数在区间（a,b）上单调递增（递减），则（）
若函数的导数（），则函数在区间（a,b）上单调递增（递减）
若函数的导数恒成立，则函数在区间（a,b）上为常数函数。
5. (2011年高考全国新课标卷理科20)（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足MB//OA， MA AB = MB BA，M点的轨迹为曲线C。
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。
分析：（1）按照“建系、设点、列式、化简”求轨迹方程；（2）把点到直线的距离用动点坐标表示，然后化简，利用均值不等式求最值。
解：（Ⅰ）设动点M的坐标为，则依题意：
，
由此可得，即曲线C的方程为：
(Ⅱ)设点是曲线C上任一点，又因为，所以，直线L的斜率，其直线方程为：即，所以原点到该直线的距离，又因为，，
，
所以，当且仅当时，所求的距离最小为2.
点评：此题考查曲线方程的求法、直线方程、点到直线的距离、用不等式求最值以及导数的应用等。要把握每一个环节的关键。
6. (2011年高考全国新课标卷理科21)（本小题满分12分）
已知函数，曲线在点处的切线方程为。
（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。
分析：（1）利用导数的概念和性质求字母的值；（2）构造新函数，用导数判定单调性，通过分类讨论确定参数的取值范围。
解：（Ⅰ），由题意知：即
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，
设则，
⑴如果，由知，当时， ，而
故，由当得：
从而，当时，即
⑵如果，则当，时，
而；得：与题设矛盾；
⑶如果，那么，因为而，时，由得：与题设矛盾；
综合以上情况可得：
点评：本题综合考察导数的概念、性质、求导法则、导数的应用、分类讨论等概念、性质、方法和思想。要深入理解和把握并进行拓展。
7. (2011年高考天津卷理科19)（本小题满分14分）
已知，函数（的图像连续不断）
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）当时，证明：存在，使；
（Ⅲ）若存在均属于区间的，且，使，证明．
【解析】本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点等基础知识，考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思想方法.
（Ⅰ）解:,令,解得.
当变化时, 的变化情况如下表:
+ 0 -
极大值
所以的单调递增区间是;的单调递减区间是.
（Ⅱ）证明: 当时，.由（Ⅰ）知在(0,2)内单调递增,在内单调递减.令,由在(0,2)内单调递增,故,即,
取,则,所以存在，使.
（Ⅲ）证明:由及（Ⅰ）的结论知,从而在上的最小值为.
又由,,知.故,即,从而.
8．(2011年高考江西卷理科19) (本小题满分12分)
设
（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围．
（2）当时，在的最小值为，求在该区间上的最大值．
解析：（1），因为函数在上存在单调递增区间，所以的解集与集合有公共部分，所以不等式解集的右端点落在内，即，解得．
（2）由得，又，所以，，所以函数在上单调增，在上单调减，又，，
因为，所以，所以，所以．
最大值为．
本题考查利用导数研究函数的单调性、最值等．
9. (2011年高考湖南卷理科20)（本小题满分13分）如图6，长方形物体在雨中沿面（面积为）的垂直方向作匀速移动，速度为（），雨速沿移动方向的分速度为（）. 移动时单位时间内的淋雨量包括量部分：(1) 或的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为.记为移动过程中的总淋雨量.当移动距离，面积时，
写出的表达式；
设，，试根据的不同取值范围，确定移动速
度，使总淋雨量最少.
解：由题意知，移动时单位时间内的
淋雨量为，故
由知，
当时，
当时，
故
（1）当时，是关于的减函数，故当时，
（2）当时，在上，是关于的减函数；在上，是关于的增函数.
故当时，
评析：本大题主要以生活化、物理性背景着重考查学生的阅读理解能力和抽象概括能力以及数学建模、解模的能力.
10. (2011年高考湖南卷理科22)（本小题满分13分）已知函数
求函数的零点个数，并说明理由；
设数列满足证明：存在常数
使得对于任意的都有
解：由知，，而且，
，则为的一个零点，且在内由零点，
因此至少有两个零点.
解法1 记则
当时，因此在上单调递增，则在上至多有一个零点，
又因为，，则在内有零点.所以在上有且只有一个零点，记此零点为，则当时，当时，
所以，
当时，单调递减，而则在内无零点；当时，单调递增，则在内至多只有一个零点，从而在上至多有一个零点.
综上所述，有且只有两个零点.
解法2 由，记则
当时，因此在上单调递增，则在上至多有一个零点，
从而在上至多有一个零点.
综上所述，有且只有两个零点.
记的正零点为，即
（1）当时，由得，而，因此.
由此猜测：。下面用数学归纳法证明：
①当时，显然成立；
②假设当时，有成立，则当时，由
知，，因此，当时，成立。
故对任意的，成立。
（2）当时，由（1）知，在上单调递增。则，即。从而，即，由此猜测：。下面用数学归纳法证明：
①当时，显然成立；
②假设当时，有成立，则当时，由
知，，因此，当时，成立。
故对任意的，成立。
综上所述，存在常数，使得对于任意的，都有.
知
因此，当时，成立
故对任意的成立
综上所述，存在常数使得对于任意的都有
评析：本大题综合考查函数与导数、数列、不等式等数学知识和方法以及数学归纳法、放缩法等证明方法的灵活运用.突出考查综合运用数学知识和方法分析问题、解决问题的能力.
11. (2011年高考湖北卷理科17)（本小题满分12分）
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米,/小时，研究表明：当时，车流速度v是车流密度的一次函数.
(Ⅰ)当时，求函数的表达式；
(Ⅱ)当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）
本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.
解析：
（Ⅰ）由题意：当时，；当时，设
再由已知得，解得
故函数的表达式为
（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得
当时，为增函数，故当时，其最大值为60×20=1200；
当时，
当且仅当，即时，等号成立.
所以，当时，在区间[20,200]上取得最大值.
综上，当时，在区间[0,200]上取得最大值.
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.
12. (2011年高考湖北卷理科21)（本小题满分14分）
(Ⅰ)已知函数，求函数的最大值；
(Ⅱ)设均为正数，证明：
（1）若，则；
（2）若，则
本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及化归与转化的思想.
解析：
（Ⅰ）的定义域为，令，解得，
当时，，在（0，1）内是增函数；
当时，，在内是减函数；
故函数在处取得最大值
（Ⅱ）
（1）由（Ⅰ）知，当时，有，即，
，从而有，得，
求和得,
,,即
.
（2）①先证.
令，则,于是
由（1）得，即
.
②再证.
记，令，则，
于是由（1）得.
即，
综合①②，（2）得证.
13．(2011年高考陕西卷理科19)（本小题满分12分）如图，从点作轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点，再从作 轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：， ；，；；，记点的坐标为（）
（Ⅰ）试求与的关系（）
（Ⅱ）求
【解析】：（Ⅰ）设 ，由 得 点处切线方程为 ，由得（）
（Ⅱ）由， ，得所以 ，
于是
14．(2011年高考陕西卷理科21)（本小题满分14分）[来源:21世纪教育网]
设函数定义在上，，导函数
（Ⅰ）求 的单调区间的最小值；（Ⅱ）讨论 与 的大小关系；（Ⅲ）是否存在，使得 对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在请说明理由。
【分析】（1）先求出原函数，再求得，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）存在性问题通常采用假设存在，然后进行求解；注意利用前两问的结论．
【解】（1）∵，∴（为常数），又∵，所以，即，
∴；，
∴，令，即，解得，
当时，，是减函数，故区间在是函数的减区间；
当时，，是增函数，故区间在是函数的增区间；
所以是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，
所以的最小值是．
（2），设，
则，
当时，，即，
当时，，，
因此函数在内单调递减，
当时，=0，∴；
当时，=0，∴．
（3）满足条件的不存在．证明如下：
证法一 假设存在，使对任意成立，
即对任意有 ①
但对上述的，取时，有，这与①左边的不等式矛盾，
因此不存在，使对任意成立．
证法二 假设存在，使对任意成立，
由（1）知，的最小值是，
又，而时，的值域为，
∴当时，的值域为，
从而可以取一个值，使，即,
∴，这与假设矛盾．
∴不存在，使对任意成立．
15．(2011年高考重庆卷理科18)（本小题满分13分。（Ⅰ）小题6分（Ⅱ）小题7分。）
设的导数满足其中常数.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程。
（Ⅱ）设求函数的极值。
解析：（Ⅰ）因，故，
令，得，由已知，解得
又令，得，由已知，解得
因此，从而
又因为，故曲线在点处的切线方程为，即
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，从而有，
令，解得。
当时，，故在为减函数，
当时，，故在为增函数，
当时，，故在为减函数，
从而函数在处取得极小值，在出取得极大值.
16．(2011年高考四川卷理科22) (本小题共l4分)
已知函数f(x)= x + , h(x)= ．
(I)设函数F(x)=f(x)一h(x)，求F(x)的单调区间与极值；
(Ⅱ)设a∈R，解关于x的方程log4 []=1og2 h(a-x)一log2h (4-x)；
(Ⅲ)试比较与的大小.
解析：（1），
令
，
所以是其极小值点，极小值为.
（2）；
由
即，即，
方程可以变为，
，
当，方程，，；
当，方程，；
当时，方程有一个解；
当方程无解.
⑶由已知得，
设数列的前n项和为，且,
从而有
当，
又
对任意的有，
又因为，所以，
故
17．(2011年高考全国卷理科22)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
（Ⅰ）设函数，证明：当时，；
（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为.证明：
【解析】：（Ⅰ）
故
（Ⅱ）法一：第次抽取时概率为，则抽得的20个号码互不相同的概率
由（Ⅰ），当
即有故
于是即。故
法二：
所以是上凸函数，于是
因此
故
综上：
18.(2011年高考江苏卷17)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=cm.
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
P
【解析】（1）由题意知, 包装盒的底面边长为,高为,所以包装盒侧面积为
S==,当且仅当,即时,等号成立,所以若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，应15cm.
（2），所以，
当时，，所以，当x=20时，V最大。
此时，包装盒的高与底面边长的比值为
19.(2011年高考江苏卷19)已知a，b是实数，函数 和是的导函数，若在区间I上恒成立，则称和在区间I上单调性一致
（1）设，若函数和在区间上单调性一致,求实数b的取值范围；
（2）设且，若函数和在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值。
解析：（1）因为函数和在区间上单调性一致，所以，即
即
（2）当时，因为，函数和在区间（b,a）上单调性一致，所以，
即，
设，考虑点(b,a)的可行域，函数的斜率为1的切线的切点设为
则；
当时，因为，函数和在区间（a, b）上单调性一致，所以，
即，
当时，因为，函数和在区间（a, b）上单调性一致，所以，
即而x=0时，不符合题意，
当时，由题意：
综上可知，。
20．(2011年高考北京卷理科18)（本小题共13分）
已知函数。
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的，都有≤，求的取值范围。
解：（Ⅰ）
令，得.
当k>0时，的情况如下
x () (,k) k
+ 0 — 0 +
↗ ↘ 0 ↗
所以，的单调递减区间是（）和；单高层区间是当k<0时，的情况如下
x () (,k) k
— 0 + 0 —
↘ 0 ↗ ↘
所以，的单调递减区间是（）和；单高层区间是
（Ⅱ）当k>0时，因为，所以不会有
当k<0时，由（Ⅰ）知在（0，+）上的最大值是
所以等价于
解得.
故当时，k的取值范围是
21．(2011年高考福建卷理科18)（本小题满分13分）
某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中3（I）求a的值
（II）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。
解析：本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，满分13分。
解：（I）因为x=5时，y=11，所以
（II）由（I）可知，该商品每日的销售量
所以商场每日销售该商品所获得的利润
从而，
于是，当x变化时，的变化情况如下表：
（3，4） 4 （4，6）
+ 0 -
单调递增 极大值42 单调递减
由上表可得，x=4是函数在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点；
所以，当x=4时，函数取得最大值，且最大值等于42。
答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大。
22．(2011年高考上海卷理科20)（12分）已知函数，其中常数满足。
（1）若，判断函数的单调性；
（2）若，求时的取值范围。
解：⑴ 当时，任意，
则
∵ ，，
∴ ，函数在上是增函数。
当时，同理，函数在上是减函数。
⑵
当时，，则；
当时，，则。
o
x
y
y=log2x
y=log3x
y=log4x2011年高考试题数学（理科）
统计
一、选择题:
1. (2011年高考山东卷理科7) 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表
广告费用x（万元） 4 2 3 5
销售额y（万元） 49 26 39 54
根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
2. (2011年高考江西卷理科6)变量X与Y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量U与V相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1).表示变量Y与X之间的线性相关系数,表示变量V与U之间的线性相关系数,则 ( )
A. B. C. D.
答案：C
解析： 第一组变量正相关，第二组变量负相关。
3. (2011年高考湖南卷理科4)通过随即询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男 女 总计
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
总计 60 50 110
由算得，.
附表：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
参照附表，得到的正确结论是
A.在犯错的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B. 在犯错的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C. 由99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D. 由99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
答案：C
解析：由，而，故由独立性检验的意义可知选C.
4. (2011年高考湖北卷理科5)已知随机变量服从正态分布，且，则
A. B. C. D.
【答案】C
解析：
如图，正态分布的密度函数示意图所示，函数关于
直线对称，所以，并且
则
所以选C.
5．(2011年高考陕西卷理科9)设，，， 是变量x和y的n个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是
（A）x和y相关系数为直线l的斜率
（B）x和y的相关系数在0到1之间
（C）当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同
（D）直线过点
【答案】D
【解析】：由得又，所以则直线过点，故选D
6. (2011年高考四川卷理科1)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5，15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5，23．5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5，31.5) 1l [31.5，35.5) 12 [35.5．39.5) 7 [39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5，43.5)的概率约是( )
(A) (B) (C) （D）
答案：B
解析：大于或等于31.5的数据所占的频数为12+7+3=22，该数据所占的频率约为.
二、填空题:
1. (2011年高考四川卷理科14)调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加____________万元.
答案：0.254
解析：由线性回归直线斜率的几何意义可知，家庭收入每增加2万元，年饮食支出平均增加0.254万元
2. (2011年高考天津卷理科9)一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为___________.
【答案】12
【解析】设抽取男运动员人数为，则，解之得.
3. (2011年高考广东卷理科13)某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm、和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm.
【解析】185cm.
4.(2011年高考安徽卷江苏6)某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差
【答案】7
【解析】因为信件数的平均数为,所以方差为=7.
三、解答题:
1. (2011年高考辽宁卷理科19)（本小题满分12分）
某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验.选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙.
（I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；
（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？
附：样本数据x1，x2，…，xa的样本方差，其中为样本平均数.
解析：（I）X可能的取值为0,1,2,3,4,且
即X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
X的数学期望是：
.
（II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.
2. (2011年高考全国新课标卷理科19)（本小题满分12分）
某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果： A配方的频数分布表
指标值分组
频数 8 20 42 22 8
B配方的频数分布表
指标值分组
频数 4 12 42 32 8
（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为
从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.（以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）
解析：（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3。
由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42
（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间的频率分别为0.04，,054,0.42，因此X的可能值为-2,2,4
P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42,
X -2 2 4
P 0.04 0.54 0.42
即X的分布列为
X的数学期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68
3. (2011年高考广东卷理科17)（本小题满分13分）
为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：
（1）已知甲厂生产的产品共98件，求乙厂生产的产品数量；
（2）当产品中的微量元素x，y满足≥175且y≥75，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随即抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）.
【解析】解：（1），即乙厂生产的产品数量为35件。
（2）易见只有编号为2，5的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的优等品
故乙厂生产有大约（件）优等品，
（3）的取值为0，1，2。
所以的分布列为
0 1 2
P
故
4．(2011年高考北京卷理科17)本小题共13分
以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。
（Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；
（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。
（注：方差，其中为，，…… 的平均数）
【命题意图】本题考查运用茎叶图给出统计数据求平均值和方差、利用统计数据求概率和随机变量的分布和期望的计算，考查数据处理能力和运算求解能力,是中档题.
【解析】（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，
所以平均数为
方差为
（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y=17）=
同理可得
所以随机变量Y的分布列为：
Y 17 18 19 20 21
P
EY=17×P（Y=17）+18×P（Y=18）+19×P（Y=19）+20×P（Y=20）+21×P（Y=21）=17×+18×+19×+20×+21×=19
5．(2011年高考福建卷理科19)（本小题满分13分）
某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，……，8，其中X≥5为标准A，X≥为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准
（I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：
5 6 7 8
P 0．4 a b 0．1
且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；
（II）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望．
（III）在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．
注：（1）产品的“性价比”=；
（2）“性价比”大的产品更具可购买性．
解析：本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、必然与或然思想、分类与整合思想，满分13分。
解：（I）因为
又由X1的概率分布列得
由
（II）由已知得，样本的频率分布表如下：
3 4 5 6 7 8
0．3 0．2 0．2 0．1 0．1 0．1
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：
3 4 5 6 7 8
P 0．3 0．2 0．2 0．1 0．1 0．1
所以
即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.
（III）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：
因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于6，价格为6元/件，所以其性价比为
因为乙厂产吕的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为
据此，乙厂的产品更具可购买性。
x
y
O
4
22011年高考试题数学（理科）
平面向量
一、选择题
1. (2011年高考山东卷理科12)设，，，是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 (λ∈R)，(μ∈R)，且,则称，调和分割， ,已知点C(c，o),D(d，O) (c，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是
(A)C可能是线段AB的中点
(B)D可能是线段AB的中点
(C)C，D可能同时在线段AB上
(D) C，D不可能同时在线段AB的延长线上
【答案】D
【解析】由 (λ∈R)，(μ∈R)知:四点，，，在同一条直线上,
因为C,D调和分割点A,B,所以A,B,C,D四点在同一直线上,且, 故选D.
2. (2011年高考全国新课标卷理科10)若，，均为单位向量，且，，则的最大值为
（A） （B）1 （C） （D）2
3. (2011年高考全国新课标卷理科10)已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题
4. (2011年高考四川卷理科3)若向量
A．4 B．3 C．2 D．0
答案：D
5. (2011年高考四川卷理科4)如图，正六边形ABCDEF中，=( )
(A)0 (B) (C) (D)
答案：D
解析：.
6. (2011年高考全国卷理科12)设向量满足||=||=1, ,，=，则的最大值等于
(A)2 (B) (c) (D)1
【答案】A
【解析】如图，构造, , ,
，所以四点共圆，
可知当线段为直径时，最大，最大值为2.
7．(2011年高考上海卷理科17)设是空间中给定的5个不同的点，则使成立的点的个数为 （ ）
A．0 B．1 C．5 D．10
【答案】B
二、填空题:
1. (2011年高考浙江卷理科14)若平面向量，满足，，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是 。
【答案】
【解析】，又
2.(2011年高考安徽卷理科13)已知向量a，b满足（a+2b）·（a-b）=－6，且，，则a与b的夹角为 .
【答案】
【命题意图】本题考查向量的数量积，考查向量夹角的求法.属中等难度的题.
【解析】，则，即，，所以，所以.
3. (2011年高考天津卷理科14)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则的最小值为 .【答案】5
【解析】建立如图所示的坐标系，设，则，设
则，∴.
4. (2011年高考江西卷理科11)已知，，则与的夹角为 .
答案：（）
解析：根据已知条件，去括号得：，
5. (2011年高考湖南卷理科14)在边长为1的正三角形中，设，则。
答案：
解析：由题，，
所以。
6.(2011年高考重庆卷理科12)已知单位向量的夹角为，则
解析：。
7.(2011年高考安徽卷江苏10)已知是夹角为的两个单位向量， 若，则k的值为 .
【答案】
【解析】
0,解得.
8．(2011年高考北京卷理科10)已知向量a=（，1），b=（0，-1），c=（k，）。若a-2b与c共线，则k=___________________。
【答案】1
9．(2011年高考福建卷理科15)设V是全体平面向量构成的集合，若映射满足：对任意向量a=（x1，y1）∈V，b=（x2，y2）∈V，以及任意∈R，均有
则称映射f具有性质P。
现给出如下映射：
①
②
③
其中，具有性质P的映射的序号为________。（写出所有具有性质P的映射的序号）
【答案】①③
10．(2011年高考上海卷理科11)在正三角形中，是上的点，，则 。
【答案】
A
B
C
D
o
x
y2011年高考试题数学（理科）
直线与圆
一、选择题:
1．(2011年高考江西卷理科9)若曲线：与曲线：有四个不同的交点，则实数m的取值范围是
A．(，) B．(，0)∪(0，)
c．[，] D．(，)∪(，+)
答案：B
解析：曲线表示以为圆心，以1为半径的圆，曲线表示过定点，与圆有两个交点，故也应该与圆有两个交点，由图可以知道，临界情况即是与圆相切的时候，经计算可得，两种相切分别对应，由图可知，m的取值范围应是
2.(2011年高考重庆卷理科8)（8）在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为
（A） （B） （C） （D）
二、填空题:
1.(2011年高考安徽卷理科15)在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）.
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点
②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点
③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点
④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数
⑤存在恰经过一个整点的直线
【命题意图】本题考查直线方程、直线过定点、充分必要条件、存在性问题、命题真假的判定，考查学生分析、判断、转化、解决问题能力，此类问题正确的命题要给出证明，错误的要给出反例，此题综合性较强，难度较大.
【答案】①③⑤
【解析】①正确，设，当是整数时，是无理数，（，）必不是整点.
②不正确，设=，=－，则直线=过整点（1,0）.
③正确，直线经过无穷多个整点，则直线必然经过两个不同整点，显然成立；反之成立，设直线经过两个整点，，则的方程为，令=（），则∈Z，且=也是整数，故经过无穷多个整点.
④不正确，由③知直线经过无穷多个整点的充要条件是直线经过两个不同的整点,设为，，则的方程为，
∵直线方程为的形式，∴，∴=，
∴，∈Q，反之不成立，如，则，若∈Z，则Z，即，∈Q，得不到经过无穷个整点.
⑤正确，直线=只过整点（1,0）.
2.(2011年高考重庆卷理科15)设圆位于抛物线与直线所组成的封闭区域（包含边界）内，则圆的半径能取到的最大值为
解析：。 为使圆的半径取到最大值，显然圆心应该在x轴上且与直线相切，设圆的半径为，则圆的方程为，将其与联立得：，令，并由，得：
三、解答题:
1. (2011年高考山东卷理科22)（本小题满分14分）
已知动直线与椭圆C: 交于P、Q两不同点，且△OPQ的面积=,其中O为坐标原点.
（Ⅰ）证明和均为定值;
（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求的最大值；
（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得 若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由.
【解析】（I）解：（1）当直线的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，
所以因为在椭圆上，因此 ①
又因为所以②；由①、②得
此时
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为
由题意知m，将其代入，得，
其中即 …………（*）
又
所以
因为点O到直线的距离为所以
，又
整理得且符合（*）式，
此时
综上所述，结论成立。
（II）解法一：
（1）当直线的斜率存在时，由（I）知
因此
（2）当直线的斜率存在时，由（I）知
所以
所以，当且仅当时，等号成立.
综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为
解法二：
因为
所以
即当且仅当时等号成立。
因此 |OM|·|PQ|的最大值为
（III）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得
证明：假设存在，
由（I）得
因此D，E，G只能在这四点中选取三个不同点，
而这三点的两两连线中必有一条过原点，与矛盾，
所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G.
2. (2011年高考广东卷理科19)设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切.
（1）求C的圆心轨迹L的方程.
（2）已知点且P为L上动点，求的最大值及此时点P的坐标.
【解析】（1）解：设C的圆心的坐标为，由题设条件知
化简得L的方程为
（2）解：过M，F的直线方程为，将其代入L的方程得
解得
因T1在线段MF外，T2在线段MF内，故
，若P不在直线MF上，在中有
故只在T1点取得最大值2。
3．(2011年高考福建卷理科17)（本小题满分13分）
已知直线l：y=x+m，m∈R。
（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；
（II）若直线l关于x轴对称的直线为，问直线与抛物线C：x2=4y是否相切？说明理由。
【命题意图】本题考查圆的方程、直线与圆相切知识、两直线的位置关系、直线与抛物线位置关系等基础知识，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想，是中档题.
【解析】（I）由题意知(0, ),∵以点(2,0）为圆心的圆与直线相切与点,
∴==,解得=2，∴圆的半径=，
∴所求圆的方程为；
（II）∵直线关于轴对称的直线为，：，∈，
∴：，代入得，
==，
当＜1时，＞0，直线与抛物线C相交；
当=1时，=0，直线与抛物线C相切；
当＞1时，＜0，直线与抛物线C相离.
综上所述，当=1时，直线与抛物线C相切，当≠1时，直线与抛物线C不相切.
【点评】本题考查内容和方法很基础，考查面较宽，是很好的一个题.
4．(2011年高考上海卷理科23)（18分）已知平面上的线段及点，在上任取一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作。
（1）求点到线段的距离；
（2）设是长为2的线段，求点集所表示图形的面积；
（3）写出到两条线段距离相等的点的集合，其中
，
是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①2分，②
6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。
① 。
② 。
③ 。
解：⑴ 设是线段上一点，则
，当时，。
⑵ 设线段的端点分别为，以直线为轴，的中点为原点建立直角坐标系，
则，点集由如下曲线围成
，
其面积为。
⑶ ① 选择，
② 选择。
③ 选择。2011年高考试题数学（理科）
常用逻辑用语
一、选择题:
1．(2011年高考浙江卷理科7)若为实数，则“”是的
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，由两边同除可得成立；当时，两边同除以可得成立，∴“”是“或”的充会条件，反过来，由或得不到.
2. (2011年高考天津卷理科2)设则“且”是“”的
A. 充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件　　　　　　　　 D．即不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由且可得，但反之不成立，故选A.
3．(2011年高考安徽卷理科7)命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是
（A）所有不能被2整除的数都是偶数
（B）所有能被2整除的数都不是偶数
（C）存在一个不能被2整除的数是偶数
（D）存在一个能被2整除的数不是偶数
其中的真命题是
（A） （B） （C） （D）
答案:A
解析：由可得，
点评：该题考查平面向量的的概念、数量积运算以及三角函数值与角的取值范围，要熟练把握概念及运算。
5. (2011年高考湖南卷理科2)设集合M={1,2}，N={a2},则“a=1”是“NM”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
答案：A
解析：当a=1时，N={1} M，满足充分性；而当N={a2}M时，可得a=1或a=-1，不满足必要性。故选A
评析：本小题主要考查集合间的基本关系以及充分、必要条件的判定.
6．(2011年高考湖北卷理科9)若实数满足，且，则称与互补，记那么是与b互补的
A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案：C
解析：由，即，故，则，化简得，即ab=0，故且，则且，故选C.
7．(2011年高考陕西卷理科1)设是向量，命题“若，则”的逆命题是
（A）若则 （B）若则
（C）若则 （D）若则
【答案】D
【解析】首先确定原命题的条件和结论，然后交换条件和结论的位置即可得到逆命题。原命题的条件是，作为逆命题的结论；原命题的结论是，作为逆命题的条件，即得逆命题“若，则”，故选D．
8．(2011年高考陕西卷理科2) “”是“”的
（A）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件
解析：选A. ，故“”是“”的充分而不必要条件
9．(2011年高考四川卷理科5)函数在点处有定义是在点处连续的
(A)充分而不必要的条件 (B)必要而不充分的条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要的条件
答案：B
解析：连续必定有定义，有定义不一定连续。
10．(2011年高考全国卷理科3)下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】 故选A。
11．(2011年高考福建卷理科2)若aR，则a=2是（a-1）（a-2）=0的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 C．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】由a=2一定得到（a-1）（a-2）=0,但反之不成立,故选A.
12．(2011年高考上海卷理科18)设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形面积（），则为等比数列的充要条件为 （ ）
A．是等比数列。
B．或是等比数列。
C．和均是等比数列。
D．和均是等比数列，且公比相同。
【答案】D
二、填空题:
1．(2011年高考陕西卷理科12)设，一元二次方程有整数根的冲要条件是
【答案】3或4
【解析】：由韦达定理得又所以则
三、解答题:
1．(2011年高考北京卷理科20)（本小题共13分）
若数列满足，数列为数列，记=．
（Ⅰ）写出一个满足，且〉0的数列；
（Ⅱ）若，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2011；
（Ⅲ）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的E数列，使得=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由。
解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A5。
（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5）
（Ⅱ）必要性：因为E数列A5是递增数列，
所以.
所以A5是首项为12，公差为1的等差数列.
所以a2000=12+（2000—1）×1=2011.
充分性，由于a2000—a1000≤1，
a2000—a1000≤1
……
a2—a1≤1
所以a2000—a≤19999，即a2000≤a1+1999.
又因为a1=12，a2000=2011,
所以a2000=a1+1999.
故是递增数列.
综上，结论得证。
（Ⅲ）令
因为
……
所以
因为
所以为偶数,
所以要使为偶数,
即4整除.
当
时，有
当的项满足，
当不能被4整除，此时不存在E数列An，
使得2011年高考试题数学（理科）
不等式
一、选择题:
1. (2011年高考山东卷理科4)不等式的解集为
（A）[-5.7] （B）[-4,6]
（C） （D）
【答案】D
【解析】由不等式的几何意义知，式子表示数轴的点与点（5）的距离和与点（-3）的距离之和，其距离之和的最小值为8，结合数轴，选项D正确
2. (2011年高考辽宁卷理科9)设函数，则满足的x的取值范围是
（A），2] （B）[0，2] （C）[1，+） （D）[0，+）
答案：D
3. (2011年高考辽宁卷理科11)函数的定义域为，，对任意，，则的解集为
（A）（，1） （B）（，+） （C）（，） （D）（，+）
答案：B
4.(2011年高考浙江卷理科5)设实数满足不等式组若为整数，则的最小值是
（A）14 （B）16 （C）17 （D）19
【答案】 B
所以 即于是所以成立，充分条件；
反之成立，即则
故，不必要条件。故选A
6.(2011年高考安徽卷理科4)设变量满足则的最大值和最小值分别为
（Ａ）１，－１　　　（Ｂ）２，－２ 　（Ｃ）１，－２　 （Ｄ）２，－１21世纪教育网
【答案】B
【命题意图】本题考查线性规划问题.属容易题.
【解析】不等式对应的区域如图所示，
当目标函数过点（0，－1），（0,1）时，分别取最小或最大值，所以的最大值和最小值分别为2，－2.故选B.
7. (2011年高考天津卷理科2)设则“且”是“”的
A. 充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件　　　　　　　　 D．即不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，一定有；反过来当
，不一定有，例如也可以，故选A
8.(2011年高考天津卷理科7)已知则
A．　　B．
C．　　D．
【答案】C
【解析】令，，，在同一坐标系下作出三个函数的图象，
由图象可得 ，
9. (2011年高考天津卷理科8)对实数与，定义新运算“”： 设函数若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． 　　　B． 　
C． 　　D.
【答案】B
【解析】
则的图象如图
∵的图象与轴恰有两个公共点，
∴与的图象恰有两个公共点，由图象知，或.
10. (2011年高考江西卷理科2)若集合,则= ( )
A. B. C. D.
答案：B 解析：
11. (2011年高考江西卷理科3)若，则的定义域为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】要使原函数有意义,只须,即,解得,故选A.
12. (2011年高考江西卷理科4)若，则的解集为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为,原函数的定义域为,所以由可得,解得,故选C.
13. (2011年高考湖南卷理科7)设在约束条件下，目标函数的最大值小于2，则的取值范围为
A. B. C. D.
答案：A
解析：画出可行域，或分别解方程组，，得到三个区域端点，，
，当且仅当直线过点时，取到最大值,解得。故选A
评析：本小题主要考查线性规划问题中，利用最值求参数的取值范围问题.
14. (2011年高考广东卷理科5)已知平面直角坐标系上的区域D由不等式组给定.若M(x，y)为D上动点，点A的坐标为(，1)．则的最大值为（ ）
A. B. C.4 D.3
【解析】C.由题得不等式组对应的平面区域D是如图所示的直角梯形OABC,，所以就是求的最大值，表示数形结合观察得当点M在点B的地方时，才最大。
,所以，所以选择C
15．(2011年高考湖北卷理科8)已知向量，且，若满足不等式，则z的取值范围为
A.[—2,2] B. [—2,3] C. [—3,2] D. [—3,3]
答案：D
解析：因为，故，即，可得，又因为，其图像为四条直线所围成的正方形面，由线性规划可计算得当时，取到，当，取到，所以选D.
16．(2011年高考湖北卷理科9)若实数满足，且，则称与互补，记那么是与b互补的
A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案：C
解析：由，即，故，则，化简得，即ab=0，故且，则且，故选C.
17.(2011年高考重庆卷理科2) “”是“”的
（A）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件
解析：选A. ，故“”是“”的充分而不必要条件
18.(2011年高考重庆卷理科7)已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是
（A） （B）4
（C） （D）5
解析：选C。因为a+b=2，所以
19.(2011年高考重庆卷理科10)（10）设m，k为整数，方程在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为
（A）-8 （B）8
（C）12 （D）13
解析：选D. 设，则方程在区间（0,1）内有两个不同的根等价于，因为，所以，故抛物线开口向上，于是，，令，则由，得，则，所以m至少为2，但，故k至少为5，又，所以m至少为3，又由，所以m至少为4，……依次类推，发现当时，首次满足所有条件，故的最小值为13
20. (2011年高考四川卷理科9)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需运往地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次.拍用的每吨甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元.该公司合理计划党团派用两类卡车的车辆数，可得最大利润( )
（A）4650元 （B）4700元 （C）4900元 （D）5000元
答案：C
解析：由题意设派甲，乙辆，则利润，得约束条件画出可行域在的点代入目标函数
21. (2011年高考全国卷理科3)下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是
（A） （B） （C） （D）
【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出a>b，而由a>b推不出选项的选项.
【精讲精析】选A.即寻找命题P使P推不出P，逐项验证可选A。
22．(2011年高考北京卷理科6)根据统计，一名工作组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为 （A，C为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么C和A的值分别是
A．75，25 B．75，16 C．60，25 D．60，16
【答案】D
23．(2011年高考北京卷理科8)设,， ,.记为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数的值域为
A． B．
C． D．
【答案】C
24．(2011年高考福建卷理科8)已知O是坐标原点，点A（-1,1）若点M（x,y）为平面区域，上的一个动点，则·的取值范围是
A．[-1．0] B．[0．1] C．[0．2] D．[-1．2]
【答案】C
25．(2011年高考上海卷理科15)若，且，则下列不等式中，恒成立的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
二、填空题:
1.(2011年高考浙江卷理科16)设为实数，若则的最大值是 .。
【答案】
【解析】，
，故的最大值为
2. (2011年高考全国新课标卷理科13)若变量满足约束条件则的最小值为 。
答案: -6
解析：如图可知最优解是（4，-5），所以，
点评：本题考查线性规划问题，求最优解事先要准确画出线性区域是关键。
3．(2011年高考天津卷理科13)已知集合，则集合=________
【答案】
【解析】因为,所以,所以;由绝对值的几何意义可得:,所以=.
4. (2011年高考湖南卷理科10)设，且，则的最小值为 .
答案：9
解析：由，且可知：，则
（当且仅当时，取到等号）。故填9
评析：本小题主要考查不等式的性质和基本不等式求最值问题.
5. (2011年高考广东卷理科9)不等式的解集是______.
【解析】。由题得 所以不等式的解集为。
6.(2011年高考安徽卷江苏8)在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________
【答案】4
【解析】设坐标原点的直线方程为,则由解得交点坐标为、，即为P、Q两点，所以线段PQ长为，当且仅当时等号成立，故线段PQ长的最小值是4.
7．(2011年高考上海卷理科4)不等式的解为 。
【答案】或
三、解答题:
1.(2011年高考安徽卷理科19)（本小题满分12分）
（Ⅰ）设证明，
（Ⅱ），证明.
【命题意图】本题考查不等式的基本性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知识，考查代数的恒等变形能力和推理论证能力.
【解析】（Ⅰ）∵≥1，≥1，∴，
∴=
===≥0，
∴.
（Ⅱ）设=，=，则=====，=，=，=，
∴所要证明不等式即为，
∵，∴≥1，≥1，
由（Ⅰ）知所证明的不等式成立.
【解题指导】：证明不等式常规的方法有分析法，综合法，作差法和作商法，无论哪种方法不等式性质和代数式恒定变形是处理这类问题的关键。
第二问的处理很有艺术性，借助第一问题的结论巧妙地解决了，这也是一题多问的问题解决常规思路，前面的问题结论对后面问题解决常常有提示作用。
2．(2011年高考广东卷理科21)（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L:．实数p，q满足，x1，x2是方程的两根，记。
（1）过点作L的切线教y轴于点
B．证明：对线段AB上任一点Q（p，q）有
（2）设M（a，b）是定点，其中a，b满足a2-4b>0,a≠0．过M（a，b）作L的两条切线，切点分别为，与y轴分别交与F,F'。线段EF上异于两端点的点集记为X．证明：M（a,b） X;
（3）设D={ （x,y）|y≤x-1,y≥（x+1）2-}．当点（p,q）取遍D时，求的最小值 （记为）和最大值（记为）．
【解析】解：（1）证明：切线的方程为
当
当
（2）的方程分别为
求得的坐标，由于，故有
1）先证：
（）设
当
当
（）设
当
注意到
2）次证：
（）已知利用（1）有
（）设，断言必有
若不然，令Y是上线段上异于两端点的点的集合，
由已证的等价式1）再由（1）得，矛盾。
故必有再由等价式1），
综上，
（3）求得的交点
而是Ｌ的切点为的切线，且与轴交于，
由（１）线段Q1Q2，有
当
在（0，2）上，令
由于
在[0，2]上取得最大值
故
,
故
3. (2011年高考湖北卷理科17)（本小题满分12分）
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米,/小时，研究表明：当时，车流速度v是车流密度的一次函数.
(Ⅰ)当时，求函数的表达式；
(Ⅱ)当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）
本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.
解析：（Ⅰ）由题意：当时，；当时，设，显然在是减函数，由已知得，解得
故函数的表达式为=
（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得
当时，为增函数，故当时，其最大值为；
当时，，
当且仅当，即时，等号成立．
所以，当时，在区间上取得最大值．
综上，当时，在区间上取得最大值，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
4. (2011年高考湖北卷理科21)（本小题满分14分）
(Ⅰ)已知函数，求函数的最大值；
(Ⅱ)设均为正数，证明：
（1）若，则；
（2）若，则
本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及化归与转化的思想.
解析：
（Ⅰ）的定义域为，令，解得，
当时，，在（0，1）内是增函数；
当时，，在内是减函数；
故函数在处取得最大值
（Ⅱ）
（1）由（Ⅰ）知，当时，有，即，
，从而有，得，
求和得,
,,即
.
（2）①先证.
令，则,于是
由（1）得，即
.
②再证.
记，令，则，
于是由（1）得.
即，
综合①②，（2）得证.
5.(2011年高考全国卷理科22)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
（Ⅰ）设函数，证明：当时，；
（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为.证明：
【思路点拨】本题第（I）问是利用导数研究单调性最值的常规题，不难证明。
第(II)问证明如何利用第（I）问结论是解决这个问题的关键也是解题能力高低的体现。
【精讲精析】(I)
所以在上单增。
当时，。
（II）
由(I)，当x<0时，,即有
故
于是,即.
利用推广的均值不等式：
另解：，
所以是上凸函数，于是
因此
，
故
综上：
o
x
y
y=log2x
y=log3x
y=log4x
-1
-2
o
x
y
o
第13题图2011年高考试题数学（理科）
选修系列：几何证明选讲
一、选择题:
1．(2011年高考北京卷理科5)如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，
延长AF与圆O交于另一点G。给出下列三个结论：
①AD+AE=AB+BC+CA；
②AF·AG=AD·AE
③△AFB ～△ADG
其中正确结论的序号是
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
【答案】A
【解析】由切线长定理得AD=AE,BD=BF,CE=CF,所以AB+BC+CA=AB+BD+CE=AD+AE，故①正确；
由切割线定理知，= AF·AG，故②正确，所以选A.
二、填空题:
1. (2011年高考天津卷理科12)如图,已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点,且DF=CF=,AF:FB:BE=4:2:1.若CE与圆相切,则线段CE的长为 .
【答案】
【解析】设AF=4x,BF==2x,BE=x,则由相交弦定理得:,
即,即,由切割线定理得:,所以.
2. (2011年高考湖南卷理科11)如图2，A,E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则的AF长为 .
答案：
解析：如图2中，连接EC，AB,OB,由A,E是半圆周上的两个三等分点可知：∠EBC=30°,且⊿ABO是正三角形，所以EC=2,BE=,BD=1,且AF=BF=.故填
评析：本小题主要考查平面几何中直线与圆的位置关系问题，涉及与圆有关的定理的运用.
3. (2011年高考广东卷理科15)（几何证明选讲选做题）如图4，过圆外一点分别作圆的切线和割线交圆于。且，是圆上一点使得，，则 .
【答案】
【解析】由题得～
4．(2011年高考陕西卷理科15)（几何证明选做题）如图
【答案】
【解析】：
又所以，即
三、解答题:
1．(2011年高考辽宁卷理科22)（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED.
（I）证明：CD//AB；
又CD//AB，∠EDC=∠ECD，所以∠FAB=∠GBA.
所以∠AFG+∠GBA=180°.
故A，B，G，F四点共圆
2. (2011年高考全国新课标卷理科22)（本小题满分10分） 选修4-1几何证明选讲
如图，D，E分别是AB,AC边上的点，且不与顶点重合，已知
为方程的两根，
证明 C,B,D,E四点共圆；
若，求C,B,D,E四点所在圆的半径
分析：（1）按照四点共圆的条件证明；（2）运用相似三角形与圆、四边形、方程的性质及关系计算。
解析：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，
即.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB
所以C,B,D,E四点共圆。
（Ⅱ）m=4, n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12.故 AD=2，AB=12.
取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.
由于∠A=900，故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5，DF= (12-2)=5.
故C,B,D,E四点所在圆的半径为5
点评：此题考查平面几何中的圆与相似三角形及方程等概念和性质。注意把握判定与性质的作用。
3.(2011年高考江苏卷21)选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）
如图，圆与圆内切于点，其半径分别为与，
圆的弦交圆于点（不在上），
求证：为定值。
解析：考察圆的切线的性质、三角形相似的判定及其性质，容易题。
证明：由弦切角定理可得
第22题图2011年高考试题数学（理科）
数列
一、选择题:
1. (2011年高考天津卷理科4)已知为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项，为的前n项和, ,则的值为
A．-110 　　 B．-90 　　 C．90 　 D．110
已知为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项，
为的前项和，，则的值为
A．-110 　　 B．-90 　　 C．90 　 D．110
【答案】D.
【解析】∵，∴，解之得，
∴.
2. (2011年高考江西卷理科5)已知数列的前项和满足:,且,那么 ( )
A. 1 B. 9 C. 10 D. 55
答案：A
解析：
，，
，则
（A）8 （B）7 （C）6 （D）5
【答案】D
【解析】
故选D。
5.(2011年高考上海卷理科18)设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形面积（），则为等比数列的充要条件为（ ）
A．是等比数列。
B．或是等比数列。
C．和均是等比数列。
D．和均是等比数列，且公比相同。
【命题意图】本题考查等比数列的概念及充要条件的判断问题，难度较大.
【答案】D
【解析】由题意知=，
若是等比数列，则==为非0常数，即=，=，……，
∴和成等比数列，且公比相等；
反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为，则==，则是等比数列，故选D.
二、填空题
1. (2011年高考广东卷理科12)设是等差数列的前项和，且，则
答案：25
解析：由可得，所以。
2. (2011年高考广东卷理科11)等差数列前9项的和等于前4项的和.若，则 .
【答案】10
【解析】由题得
3. (2011年高考湖北卷理科13)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自下而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升
答案：
解析：设从上往下的9节竹子的容积依次为a1,a2,，……，a9，公差为d，则有a1+a2+a3+a4=3, a7+a8+a9=4,即4a5-10d=3,3a5+9d=4,联立解得：.即第5节竹子的容积.
4.(2011年高考陕西卷理科14)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。
【答案】2000
【解析】设树苗集中放置在第号坑旁边，则20名同学返所走的路程总和为
=即时.
5.(2011年高考重庆卷理科11)在等差数列中，，则
解析：74. ，故
6.(2011年高考江苏卷13)设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是________
【答案】
【解析】考察综合运用等差、等比的概念及通项公式，不等式的性质解决问题的能力，难题。
由题意：，
，而的最小值分别为1，2，3；。
7．(2011年高考北京卷理科11)在等比数列{an}中，a1=，a4=-4，则公比q=______________；____________。
【答案】—2
三、解答题:
1. (2011年高考山东卷理科20)（本小题满分12分）
等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列 第二列 第三列
第一行 3 2 10
第二行 6 4 14
第三行 9 8 18
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前项和.
【解析】（I）当时，不合题意；
当时，当且仅当时，符合题意；
当时，不合题意。
因此
所以公式q=3，
故
（II）因为
所以
所以
当n为偶数时，
当n为奇数时，
综上所述，
2.(2011年高考辽宁卷理科17)（本小题满分12分）
已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8= -10
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）求数列的前n项和.
（I）设等差数列的公差为d，由已知条件可得
解得
故数列的通项公式为 ………………5分
（II）设数列，即，
所以，当时，
所以
综上，数列
3.(2011年高考浙江卷理科19)（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列的首项 (),设数列的前n项和为，且，，成等比数列（Ⅰ）求数列的通项公式及（Ⅱ）记，，当时，试比较与的大小.[
【解析】（Ⅰ）
则 ，
（Ⅱ）
因为，所以
当时， 即；
所以当时，；当时， .
4.(2011年高考安徽卷理科18)（本小题满分13分）
在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设求数列的前项和.
【命题意图】：本题考查等比和等差数列，指数和对数运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力。
【解析】：（Ⅰ）构成递增的等比数列，其中，，则
①
②
①×②并利用等比数列性质得
，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
又
所以数列的前项和为
【解题指导】：做数列题时应优先运用数列的相关性质，本题考查的是等比数列前n项积，自然想到等比数列性质：，倒序相乘法是借鉴倒序相加法得到的，这样处理就避免了对n奇偶性的讨论。
第二问的数列求和应联想常规的方法：倒序相加法，错位相减法，裂项相消法。而出现时自然应该联想正切的和角或差角公式。本题只要将这两个知识点有机结合起来就可以创造性的把问题解决。
5. (2011年高考全国新课标卷理科17)（本小题满分12分）
等比数列的各项均为正数，且
(1)求数列的通项公式.
(2)设 求数列的前项和.
分析：(1)先求首项和公比，后求通项(2)可以先求出，然后得新数列通项后再求和
解析：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由得所以。
由条件可知a>0,故。
由得，所以。
故数列{an}的通项式为an=。
（Ⅱ ）
故
所以数列的前n项和为
点评：本题考查等比数列通项公式，性质、等差数列前项和，对数运算以及数列求和（列项求和）与数列综合能力的考查。解答过程要细心，公式性质要灵活运用。
6. (2011年高考天津卷理科20)（本小题满分14分）
已知数列与满足：， ，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，证明：是等比数列；
（Ⅲ）设证明：．
【解析】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.
（Ⅰ）解:由,,可得, 又
当n=1时,,由,,得;
当n=2时,,可得.
当n=3时,,可得.
（Ⅱ）证明:对任意,
,①
,②
,③
②-③得 ④,
将④代入①,可得即(),又,
故,因此,所以是等比数列.
（III）证明：由（II）可得，
于是，对任意，有
将以上各式相加，得
即，
此式当k=1时也成立.由④式得
从而
所以，对任意，
对于n=1，不等式显然成立.
所以，对任意
7. (2011年高考江西卷理科18)（本小题满分12分）
已知两个等比数列，，满足，，，.
（1）若，求数列的通项公式；21世纪教育网
（2）若数列唯一，求的值.
.解：（1）当a=1时，，又为等比数列，不妨设公比为，由等比数列性质知： ，同时又有所以：
（2）要唯一，当公比时，由且，
，最少有一个根（有两个根时，保证仅有一个正根）
，此时满足条件的a有无数多个，不符合。
当公比时，等比数列首项为a，其余各项均为常数0，唯一，此时由，可推得符合
综上：。
8. (2011年高考湖南卷理科16)对于，将表示为，当时，
，当时，为或.记为上述表示中为的个数（例如：，
，故，），则（1） ；（2） .
答案：2; 1093
解析：（1）由题意知，所以2；
（2）通过例举可知：，，，，，，，
，且相邻之间的整数的个数有0，1，3，7，15，31，63.它们正好满足“杨辉三角”中的规律：
从而
.
评析：本小题主要考查学生的阅读理解能力、探究问题能力和创新意识.以二进制为知识背景，着重考查等比数列求和以及“杨辉三角”中的规律的理解和运用.
9. (2011年高考广东卷理科20)设数列满足,
求数列的通项公式；
证明：对于一切正整数n,
【解析】（1）由
令，
当
①当时，
②当
（2）当时，（欲证）
，
当
综上所述
10. (2011年高考湖北卷理科19)（本小题满分13分）
已知数列的前n项和为，且满足：
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)若存在，使得成等差数列，试判断：对于任意的，且，
是否成等差数列，并证明你的结论.
本小题主要考查等差数列、等比数列基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想.
解析：
（Ⅰ）由已知，可得，两式相减可得
即又，所以当时，数列为：；
当时，由已知，所以
于是由，可得，
成等比数列，
当时，
综上，数列的通项公式为
（Ⅱ）对于任意的，且成等差数列，证明如下：
当r=0时，由（Ⅰ）知，
∴对于任意的，且成等差数列；
当时，
若存在，使得成等差数列，则，
即，
由（Ⅰ）知，的公比r+1=—2，于是对于任意的，且，从而，，
即成等差数列.
综上，对于任意的，且成等差数列.
11.(2011年高考重庆卷理科21)（本小题满分12分。（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）
设实数数列的前n项和满足
（Ⅰ）若成等比数列，求和
（Ⅱ）求证：对有。
解析：（Ⅰ）由题意，得，
由是等比中项知，因此，
由，解得，
（Ⅱ）证明：有题设条件有，
故，且
从而对有 ①
因，且，
要证，由①，只要证
即证，即，此式明显成立，
因此。
最后证，，若不然，，
又因，故，即。矛盾，
12．(2011年高考四川卷理科20) (本小题共12分)
设d为非零实数，an = [C1n d+2Cn2d2+…+(n—1)Cnn-1d n-1+nCnndn](n∈N*).
写出a1,a2,a3并判断{an}是否为等比数列.若是，给出证明；若不是，说明理由；
(II)设bn=ndan (n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn．
解析：（1）
因为为常数，所以是以为首项，为公比的等比数列。
（2）
（2）（1）
13.(2011年高考全国卷理科20)设数列满足且
（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设
【解析】：（Ⅰ）由得，
前项为，
（Ⅱ）
14.(2011年高考江苏卷20)设M为部分正整数组成的集合，数列的首项，前n项和为，已知对任意整数k属于M，当n>k时，都成立
（1）设M=｛1｝，，求的值；
（2）设M=｛3，4｝，求数列的通项公式
【解析】考察等差数列概念、和与通项关系、集合概念、转化与化归、分析问题与解决问题的能力，其中（1）是容易题，（2）是难题。
（1）即：
所以，n>1时，成等差，而，
（2）由题意：，
当时，由（1）（2）得：
由（3）（4）得：
由（1）（3）得：
由（2）（4）得：
由（7）（8）知：成等差，成等差；设公差分别为：
由（5）（6）得：
由（9）（10）得：成等差，设公差为d,
在（1）（2）中分别取n=4,n=5得：
15．(2011年高考江苏卷23)（本小题满分10分）
设整数，是平面直角坐标系中的点，其中
（1）记为满足的点的个数，求；
（2）记为满足是整数的点的个数，求
解析：考察计数原理、等差数列求和、分类讨论、归纳推理能力，较难题。
（1）因为满足的每一组解构成一个点P,所以。
（2）设，则
对每一个k对应的解数为：n-3k,构成以3为公差的等差数列；
当n-1被3整除时，解数一共有：
当n-1被3除余1时，解数一共有：
当n-1被3除余2时，解数一共有：
16．(2011年高考北京卷理科20)（本小题共13分）
若数列满足，数列为数列，记=．
（Ⅰ）写出一个满足，且〉0的数列；
（Ⅱ）若，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2011；
（Ⅲ）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的E数列，使得=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由。
解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A5。
（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5）
（Ⅱ）必要性：因为E数列A5是递增数列，
所以.
所以A5是首项为12，公差为1的等差数列.
所以a2000=12+（2000—1）×1=2011.
充分性，由于a2000—a1000≤1，
a2000—a1000≤1
……
a2—a1≤1
所以a2000—a≤19999，即a2000≤a1+1999.
又因为a1=12，a2000=2011,
所以a2000=a1+1999.
故是递增数列.
综上，结论得证。
（Ⅲ）令
因为
……
所以
因为
所以为偶数,
所以要使为偶数,
即4整除.
当
时，有
当的项满足，
当不能被4整除，此时不存在E数列An，
使得
17．(2011年高考福建卷理科16)（本小题满分13分）
已知等比数列{an}的公比q=3，前3项和S3=。
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）若函数在处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式。
解：（I）由
解得
所以
（II）由（I）可知
因为函数的最大值为3，所以A=3。
因为当时取得最大值，
所以
又
所以函数的解析式为
18．(2011年高考上海卷理科22)（18分）已知数列和的通项公式分别为，（），将集合
中的元素从小到大依次排列，构成数列
。
（1）求；
（2）求证：在数列中．但不在数列中的项恰为；
（3）求数列的通项公式。
解：⑴ ；
⑵ ① 任意，设，则，即
② 假设（矛盾），∴
∴ 在数列中．但不在数列中的项恰为。
⑶ ，
，，
∵
∴ 当时，依次有，……
∴ 。2011年高考试题数学（理科）
选修系列：坐标系与参数方程
一、选择题:
1. (2011年高考安徽卷理科5)在极坐标系中，点 到圆 的圆心的距离为
（A）2 (B) (C) （D)
【命题意图】本题考查了极坐标方程与平面直角坐标系中的一般方程的的互化，属于容易题.
【答案】D
【解析】极坐标系中的点（2，）化为直角坐标系中的点为（1，）；极坐标方程化为直角坐标方程为，即，其圆心为（1,0），
∴所求两点间距离为=，故选D.
2. (2011年高考安徽卷理科3)在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查极坐标方程与直角坐标系下方程的互化及点互化，是简单题.
【解析】：，圆心直角坐标为（0,-1），极坐标为，选B。
二、填空题:
1．(2011年高考天津卷理科11)已知抛物线的参数方程为（为参数），若斜率坐标方程为
答案：。
解析：做坐标系与参数方程的题，大家只需记住两点：1、，2、即可。根据已知=
所以解析式为：
3. (2011年高考湖南卷理科9)在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（为参数）在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为，则与的交点个数为 。
答案：2
解析：曲线，，由圆心到直线的距离，故与的交点个数为2.
4. (2011年高考广东卷理科14)（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为 .
【解析】（0≤ 消去参数后的普通方程为，消去参数后的普通方程为 联立两个曲线的普通方程得 ,所以它们的交点坐标为
5. (2011年高考湖北卷理科14)如图，直角坐标系Oy所在的平面为，直角坐标系Oy (其中轴与y轴重合)所在平面为，
(Ⅰ)已知平面内有一点，则点在平面内的射影P的坐标为 ；
(Ⅱ)已知平面内的曲线的方程是，则曲线在平面内的射影C的方程是 .
答案：（2，2）
解析：设P为（a, b）,因为y轴与y＇轴重合，故P＇到y轴距离为，到x轴距离为2，又因为∠xox＇=45°，则b=2，a=故P（2，2）.设面β内任意一点P（x,y）其在内射影为，由平面图形可知， ，，即，，故方程为即.
6.(2011年高考陕西卷理科15)（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系中，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线 为参数）和曲线上，则的最小值为
【答案】3
【解析】：由得圆心为，由得圆心为，由平几知识知当为连线与两圆的交点时的最小值，则的最小值为.
7．(2011年高考上海卷理科5)在极坐标系中，直线与直线的夹角大小为 。
【答案】
三、解答题:
1.(2011年高考辽宁卷理科23)（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）曲线C2的参数方程为（，为参数）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=与C1，C2各有一个交点.当=0时，这两个交点间的距离为2，当=时，这两个交点重合.
（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；
(II)设当=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1,当=-时，l与C1，
C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积.
解：（I）C1是圆，C2是椭圆.
当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），因为这两点间的距离为2，所以a=3.
当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），因为这两点重合，所以b=1.
（II）C1，C2的普通方程分别为
当时，射线l与C1交点A1的横坐标为，与C2交点B1的横坐标为
当时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此，
四边形A1A2B2B1为梯形.
故四边形A1A2B2B1的面积为 …………10分
2. (2011年高考全国新课标卷理科23) （本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为，(为参数)
M是曲线上的动点，点P满足，（1）求点P的轨迹方程；（2）在以D为极点，X轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与曲线，交于不同于原点的点A,B求
解析; （I）设P(x,y),则由条件知M().由于M点在C1上，所以
即
从而的参数方程为
（为参数）
（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。
射线与的交点的极径为，
射线与的交点的极径为。
所以.
3.(2011年高考江苏卷21)选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，求过椭圆（为参数）的右焦点且与直线（为参数）平行的直线的普通方程。
解析：考察参数方程与普通方程的互化、椭圆的基本性质、直线方程、两条直线的位置关系，中档题。椭圆的普通方程为右焦点为（4，0），直线（为参数）的普通方程为，斜率为：；所求直线方程为：.
4.(2011年高考福建卷理科21)（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直接坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为
．
（I）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系；
（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
解析：本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。满分7分。
解：（I）把极坐标系下的点化为直角坐标，得P（0，4）。
因为点P的直角坐标（0，4）满足直线的方程，
所以点P在直线上，
（II）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为，
从而点Q到直线的距离为
，
由此得，当时，d取得最小值，且最小值为2011年高考试题数学（理科）
概率
一、选择题:
1.(2011年高考浙江卷理科9)有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率
（A） （B） （C） （D ）
【答案】B
【解析】由古典概型的概率公式得.
2. (2011年高考辽宁卷理科5)从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B︱A）=
（A） （B） （C） （D）
3. (2011年高考全国新课标卷理科4)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
（A） （B） （C） （D）
解析：因为甲乙两位同学参加同一个小组有3种方法，两位同学个参加一个小组共有种方法；所以，甲乙两位同学参加同一个小组的概率为
点评：本题考查排列组合、概率的概念及其运算和分析问题、解决问题的能力。
【解析】D.由题得甲队获得冠军有两种情况，第一局胜或第一局输第二局胜，所以甲队获得冠军的概率所以选D.
5．(2011年高考湖北卷理科7)如图，用K、A1、A2三类不同的元件连成一个系统.当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为
A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576
答案：B
解析：系统正常工作概率为，所以选B.
6．(2011年高考陕西卷理科10)甲乙两人一起去“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】：各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览有种，且等可能，最后一小时他们同在一个景点有种，则最后一小时他们同在一个景点的概率是，故选D
7. (2011年高考四川卷理科12)在集合中任取一个偶数和一个奇数构成以原点为起点的向量a=（a,b）.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为，其中面积不超过的平行四边形的个数为，则( )
（A） （B） （C） （D）
答案：B
解析：基本事件：.其中面积为2的平行四边形的个数；其中面积为4的平行四边形的为； m=3+2=5故.
8．(2011年高考福建卷理科4)如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于
A． B．
C． D．
【答案】C
二、填空题:
1.(2011年高考浙江卷理科15)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率为，且三个公司是否让其面试是相互独立的。记为该毕业生得到面试得公司个数。若，则随机变量的数学期望
【答案】
【解析】：，的取值为0，1，2，3
，
，
故
2. (2011年高考江西卷理科12)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为
【答案】
【解析】小波周末不在家看书包含两种情况:一是去看电影;二是去打篮球;所以小波周末不在家看书的概率为.
3. (2011年高考湖南卷理科15)如图4，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则（1） ;（2） .
答案：;
解析：（1）是几何概型：；（2）是条件概率：.
评析：本小题主要考查几何概型与条件概率的计算.
4. (2011年高考湖北卷理科12)在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期的概率为 （结果用最简分数表示）
答案：
解析：因为30瓶饮料中未过期饮料有30-3=27瓶，故其概率为.
5.(2011年高考重庆卷理科13)将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为
解析： 。硬币投掷6次，有三类情况，①正面次数比反面次数多；②反面次数比正面次数多；③正面次数而后反面次数一样多；，③概率为，①②的概率显然相同，故①的概率为
6.(2011年高考安徽卷江苏5)从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______
【答案】
【解析】从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，所有可能的取法有6种, 满足“其中一个数是另一个的两倍”的所有可能的结果有(1,2),(2,4)共2种取法,所以其中一个数是另一个的两倍的概率是.
7．(2011年高考福建卷理科13)盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个。若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于_______。
【答案】
8．(2011年高考上海卷理科9)马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布律如下表
请小牛同学计算的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯
定这两个“？”处的数值相同。据此，小牛给出了正确答案 。
【答案】
9．(2011年高考上海卷理科12)随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是
（默认每月天数相同，结果精确到）。
【答案】
三、解答题:
1. (2011年高考山东卷理科18)（本小题满分12分）
红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。
（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；
（Ⅱ）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望.
【解析】（Ⅰ）红队至少两名队员获胜的概率为=0.55.
（Ⅱ）取的可能结果为0,1,2,3,则
=0.1;
++=0.35;
=0.4;
=0.15.
所以的分布列为
0 1 2 3
P 0.1 0.35 0.4 0.15
数学期望=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6.
2. (2011年高考辽宁卷理科19)（本小题满分12分）
某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验.选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙.
（I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；
（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？
附：样本数据x1，x2，…，xa的样本方差，其中为样本平均数.
（I）X可能的取值为0，1，2，3，4，且
即X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
X的数学期望是：
.
（II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
………………8分
品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
………………10分
由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.
3.(2011年高考安徽卷理科20)（本小题满分13分）
工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别，假设互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.
（Ⅰ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？
（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为，其中是的一个排列，求所需派出人员数目的分布列和均值（数字期望）；
（Ⅲ）假定，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小。
【命题意图】：本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列，均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类讨论思想，应用意识与创新意识。
【解析】：（Ⅰ）无论怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是，所以任务能被完成的概率为=
（Ⅱ）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为时，所需派出人员数目的分布列为
1 2 3
P
所需派出人员数目的均值（数字期望）是
（Ⅲ）（方法一）由（2）的结论知，当一甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，=，
依据常理，优先派出完成任务概率最大的人，可减少派出人员数目的均值.
下面证明：对与，，的任意排列，，，都有≥.
事实上，
=
=
=
≥≥0，
即≥成立.
（方法二）：①可将（Ⅱ）中所求的改写为，若交换前两人的派出顺序，则变为，可见，当时，交换前两人的派出顺序可减少均值;
②也可将（Ⅱ）中所求的改写为，交换后两人的派出顺序，则变为，由此可见，若保持派出的人选不变，当时，交换后两人的派出顺序也可减少均值.
综合①②可知，当（，，）=（，，）时，达到最小，
即完成任务概率最大的人优先派出，可减少所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的.
【解题指导】：当问题的情境很复杂时，静下心来读懂题意是第一要务，在读懂题意的前提下抽象概括出数学模型。第三问需用合情推理与演绎推理相结合的办法解决，同时运用分类讨论思想，难度非常大。但这一问很好地体现了《考试说明》的要求“能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断。”“创新意识是理性思维的高层次表现，对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也就越强。”
4. (2011年高考全国新课标卷理科19)（本小题满分12分）
某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果： A配方的频数分布表
指标值分组
频数 8 20 42 22 8
B配方的频数分布表
指标值分组
频数 4 12 42 32 8
（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为
从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.（以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）
解析：（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3。
由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42
（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间的频率分别为0.04，,054,0.42，因此X的可能值为-2,2,4
P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42,
X -2 2 4
P 0.04 0.54 0.42
即X的分布列为
X的数学期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68
5. (2011年高考天津卷理科16)（本小题满分13分）
学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱）
（Ⅰ）求在一次游戏中，（i）摸出3个白球的概率；（ii）获奖的概率；
（Ⅱ）求在两次游戏中获奖次数的分布列及数学期望.
【解析】本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识,考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力.
（Ⅰ）（i）设“在一次游戏中摸出i个白球”为事件,则
.
（ii）设“在一次游戏中获奖”为事件B,则B=,又
,且互斥,所以.
（Ⅱ）由题意可知的所有可能取值为0,1,,2,
P(=0)=,
P(=1)=,
P(=2) =,
所以的分布列是
0 1 2
P
的数学期望=+=.
6．(2011年高考江西卷理科16)（本小题满分12分）
某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4
杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
（1）求X的分布列；
（2）求此员工月工资的期望．
解析：（1）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
则，所以所求的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
（2）设Y表示该员工的月工资，则Y的所有可能取值为3500，2800，2100，
相对的概率分别为，，，
所以．
所以此员工工资的期望为2280元．
本题考查排列、组合的基础知识及概率分布、数学期望．
7. (2011年高考湖南卷理科18)（本小题满分12分）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量（件） 0 1 2 3
频数 1 5 9 5
试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变）.设某天开始营业时由该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货.将频率视为概率.
求当天商店不进货的概率；
记为第二天开始营业时该商品视为件数，求的分布列和数学期望.
解：=+
由题意知，的可能取值为2，3.
+
+
故的分布列为
所以的数学期望为.
评析：本大题主要考查生活中的概率统计知识和方法.求离散型随机变量的分布列和数学期望的方法，以及互斥事件概率的求法.
8. (2011年高考广东卷理科17)（本小题满分13分）
为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：
（1）已知甲厂生产的产品共98件，求乙厂生产的产品数量；
（2）当产品中的微量元素x，y满足≥175且y≥75，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随即抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）.
【解析】解：（1），即乙厂生产的产品数量为35件。
（2）易见只有编号为2，5的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的优等品
故乙厂生产有大约（件）优等品，
（3）的取值为0，1，2。
所以的分布列为
0 1 2
P
故
9.(2011年高考陕西卷理科20)（本小题满分13分）
如图，A地到火车站共有两条路径 和 ，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：
时间（分钟）
的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1
现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站。
（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？
（Ⅱ）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求X的分布列和数学期望。
【解析】：（Ⅰ） 表示事件“甲选择路径时，40分钟内赶到火车站”， 表示事件“乙选择路径时，50分钟内赶到火车站”， 用频率估计相应的概率可得，。甲应选择
，乙应选择
（Ⅱ）A、B分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（Ⅰ）知 又由题意知，A，B独立，
EMBED Equation.DSMT4
X的分布列为
X 0 1 2
P 0.04 0.42 0.54[来源:21世纪教育网]
10.(2011年高考重庆卷理科17)（本小题满分13分。（Ⅰ）小问5分（Ⅱ）小问8分.）
某市公租房房屋位于A.B.C三个地区，设每位申请人只申请其中一个片区的房屋，且申请其中任一个片区的房屋是等可能的，求该市的任4位申请人中:
（Ⅰ）若有2人申请A片区房屋的概率;
（Ⅱ）申请的房屋在片区的个数的分布列与期望。
解析：（Ⅰ）所有可能的申请方式有种，恰有2人申请A片区房源的申请方式有种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为
（Ⅱ）的所有可能值为1,2,3.又
，，
综上知，的分布列为：
1 2 3
从而有
11.(2011年高考四川卷理科18)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）。有人独立来该租车点则车骑游。各租一车一次。设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过四小时。
（Ⅰ）求出甲、乙所付租车费用相同的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望；
解析：
（1）所付费用相同即为元。设付0元为，付2元为，付4元为
则所付费用相同的概率为
（2）设甲，乙两个所付的费用之和为，可为
分布列
.
12. (2011年高考全国卷理科18) (本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)
根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立
(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；
(Ⅱ)X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求的期望。
【解析】：设该车主购买乙种保险的概率为，由题：，解得
（Ⅰ）设所求概率为，则故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率为0.8.
(Ⅱ) 甲乙两种保险都不购买的概率为1-0.8=0.2.设甲乙两种保险都不购买的车主数为，则B（100，0.2），
答：该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率为0.8, 的期望值是20。
13．(2011年高考北京卷理科17)本小题共13分
以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。
（Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；
（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。
（注：方差，其中为，，…… 的平均数）
【命题意图】本题考查运用茎叶图给出统计数据求平均值和方差、利用统计数据求概率和随机变量的分布和期望的计算，考查数据处理能力和运算求解能力,是中档题.
【解析】（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，
所以平均数为
方差为
（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y=17）=
同理可得
所以随机变量Y的分布列为：
Y 17 18 19 20 21
P
EY=17×P（Y=17）+18×P（Y=18）+19×P（Y=19）+20×P（Y=20）+21×P（Y=21）=17×+18×+19×+20×+21×=19
14．(2011年高考福建卷理科19)（本小题满分13分）
某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，……，8，其中X≥5为标准A，X≥为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准
（I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：
5 6 7 8
P 0．4 a b 0．1
且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；
（II）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望．
（III）在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．
注：（1）产品的“性价比”=；
（2）“性价比”大的产品更具可购买性．
解析：本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、必然与或然思想、分类与整合思想，满分13分。
解：（I）因为
又由X1的概率分布列得
由
（II）由已知得，样本的频率分布表如下：
3 4 5 6 7 8
0．3 0．2 0．2 0．1 0．1 0．1
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：
3 4 5 6 7 8
P 0．3 0．2 0．2 0．1 0．1 0．1
所以
即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.
（III）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：
因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于6，价格为6元/件，所以其性价比为
因为乙厂产吕的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为
据此，乙厂的产品更具可购买性。2011年高考试题数学（理科）
复数
一、选择题:
1. (2011年高考山东卷理科2)复数z=(为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为
（A）第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
【答案】D
【解析】因为,故复数z对应点在第四象限,选D.
2. (2011年高考天津卷理科1)是虚数单位，复数=
A． 　　　B． 　　　C． 　　　D．
【答案】A.
【解析】.
3. (2011年高考安徽卷理科1) (1) 设 是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为
（A）2 (B) 2 (C) (D)
【命题意图】本题考查了复数的运算和纯虚数的概念，是容易题，是常考题型.
【解析】==，∵为纯虚数，∴，
∴=2，故选A.
4.(2011年高考浙江卷理科2)把复数的共轭复数记作，若，为虚数单位，则=
（A） （B） （C）（D）
6.(2011年高考辽宁卷理科1)a为正实数，i为虚数单位，，则a=（ ）
（A）2 （B） (C) (D)1
答案： B
解析：,a>0,故a=.
7. (2011年高考全国新课标卷理科1)复数的共轭复数是（ ）
A B C D;
解析：C，因为=，所以，共轭复数为，选C
点评：本题考查复数的概念和运算，先化简后写出共轭复数即可。
8.(2011年高考江西卷理科1)若，则复数
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为=，所以复数,选D.
9．(2011年高考湖南卷理科1)若，为虚数单位，且，则（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：因，根据复数相等的条件可知。
10．(2011年高考湖北卷理科1)i为虚数单位，则=
A.－i B.－1 C.i D.1
答案：A
解析：因为,故所以选A.
11．(2011年高考陕西卷理科7)设集合，
则为
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】：由即
由得即故选C
12.(2011年高考重庆卷理科1)复数
（A） (B)
(C) (D)
解析：选B. 。
13.(2011年高考四川卷理科2)复数=
(A) （B） （C）0 （D）
答案：A
解析：
14.(2011年高考全国卷理科1)复数，为的共轭复数，则
（A） （B） （C） （D）
【思路点拨】先求出的共轭复数,然后利用复数的运算法则计算即可。
【精讲精析】选B..
15.(2011年高考北京卷理科2)复数
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查复数的运算,是简单题.
【解析】：，选A。
16.(2011年高考福建卷理科1)是虚数单位，若集合={－1,0,1}，则
A.∈ B. ∈ C. ∈ D. ∈
【命题意图】本题考查复数运算、元素与结合关系，是送分题.
【解析】∵=－1∈，故选B.
【答案】B
二、填空题:
17．(2011年高考安徽卷江苏3)设复数i满足（i是虚数单位），则的实部是_________
【答案】1
【解析】因为，所以,故的实部是1.
三、解答题:
18．(2011年高考上海卷理科19)（12分）已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，求。
解： ………………（4分）
设，则，………………（12分）
∵ ，∴ ………………（12分）2011年高考试题数学（理科）
选修系列：不等式选讲
一、选择题:
1. (2011年高考山东卷理科4)不等式的解集为
（A）[-5.7] （B）[-4,6]
（C） （D）
【答案】D
【解析】由不等式的几何意义知，式子表示数轴的点与点（5）的距离和与点（-3）的距离之和，其距离之和的最小值为8，结合数轴，选项D正确
二、填空题
1. (2011年高考天津卷理科13)
已知集合，则集合=________.
【答案】
【解析】∵，
，
∴.
对于实数x，y，若，，则的最大值为 .
【答案】5
3. (2011年高考广东卷理科9)不等式的解集是______.
【解析】。由题得 所以不等式的解集为。
4．(2011年高考陕西卷理科15)（不等式选做题）若关于x的不等式存在实数解，则实数的取值范围是
【答案】
【解析】：因为所以存在实数解，
有或
三、解答题:
1．(2011年高考辽宁卷理科24)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|.
（I）证明：-3≤f（x）≤3；
（II）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集.
解：（I）
当
所以
（II）由（I）可知，
当的解集为空集；
当；
当.
综上，不等式
2. (2011年高考全国新课标卷理科24)（本小题满分10分） 选修4-5不等选讲
设函数（1）当时，求不等式的解集；(2)如果不等式的解集为，求的值。
分析：解含有绝对值得不等式，一般采用零点分段法，去掉绝对值求解；已知不等式的解集要求字母的值，先用字母表示解集，再与原解集对比可得字母的值；
解：（Ⅰ）当时，不等式，可化为，
，所以不等式的解集为
（Ⅱ）因为，所以，，可化为，
即
因为，所以，该不等式的解集是，再由题设条件得
点评：本题考查含有绝对值不等式的解法，以及解法的应用，注意过程的完整性与正确性。
3.(2011年高考江苏卷21)选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）
解不等式：
解析：考察绝对值不等式的求解，容易题。
原不等式等价于：，解集为
4．(2011年高考福建卷理科21)（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
设不等式的解集为M．
（I）求集合M；
（II）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小．
解析：本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分。
解：（I）由
所以
（II）由（I）和，
所以
故
金太阳新课标资源网2011年高考试题数学（理科）
选修系列：矩阵变换
一、填空题:
1．(2011年高考上海卷理科10)行列式（）的所有可能值中，最大的是 。
【答案】6
【解析】因为=，，所以容易求得结果.
二、解答题:
1.(2011年高考江苏卷21)选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知矩阵，向量，求向量，使得．
解：
设，由得：
，
解：（I）设矩阵M的逆矩阵，则
又，所以，
所以
故所求的逆矩阵
（II）设曲线C上任意一点，
它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点，
则
又点在曲线上， ∴.
则为曲线C的方程，
又已知曲线C的方程为
又
2.(2011年高考江苏卷Z1)
修±-2:矩阵与变扌
0b/(其中a>0,b>0)
(I)若α=2,b=3,求矩阵M的逆矩阵M-;金太阳新课标资源网
(I若曲线C:x2+y2=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C,x2
求a,b的值.
【命题意图】本小题主要考查矩阵与交换等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化2011年高考试题数学（理科）
三角函数
一、选择题:
1. (2011年高考山东卷理科3)若点（a,9）在函数的图象上，则tan=的值为
（A）0 (B) (C) 1 (D)
【答案】D
【解析】由题意知:9=,解得=2,所以,故选D.
2. (2011年高考山东卷理科6)若函数 (ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω=
（A）3 （B）2 （C） （D）
【答案】C
【解析】由题意知,函数在处取得最大值1,所以1=sin,故选C.
3.(2011年高考安徽卷理科9)已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】C.
【命题意图】本题考查正弦函数的有界性，考查正弦函数的单调性.属中等偏难题.
【解析】若对恒成立，则，所以，.由，（），可知
(A) (B) (C) (D)
答案： D
解析：由正弦定理得，sin2AsinB+sinBcos2A=sinA，即sinB（sin2A+cos2A）=sinA，
故sinB=sinA，所以；
5.(2011年高考辽宁卷理科7)设sin，则（ ）
(A) (B) (C) (D)
答案： A
解析：
6.(2011年高考浙江卷理科6)若，，，，则
（A） （B） （C） （D）
【答案】 C
【解析】：
故选C
7. (2011年高考全国新课标卷理科5)已知角的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线上，则，（ ）
A B C D
解析：由题知,选B
8.(2011年高考全国新课标理11)设函数
的最小正周期为，且，则
（A）在单调递减 （B）在单调递减
（C）在单调递增 （D）在单调递增
解析：，所以，又f(x)为偶函数，，，选A
9. (2011年高考天津卷理科6)如图，在△中，是边上的点，且，则的值为（ ）
A．　　　 B． 　
C． 　　 D．
【答案】D
【解析】设,则由题意可得: ,在中,由余弦定理得：
=，所以=，在△中，由正弦定理得，，所以，解得=，故选D.
10．(2011年高考湖北卷理科3)已知函数，若，则的取值范围为
A. B.
C. D.
答案：B
解析：由，即，解得，
即，所以选B.
11．(2011年高考陕西卷理科6)函数在内
（A）没有零点 （B）有且仅有一个零点
（C）有且仅有两一个零点（D）有无穷个零点
【答案】B
【解析】：令，，则它们的图像如图故选B
12.(2011年高考重庆卷理科6)若的内角所对的边满足，且，则的值为
（A） (B)
(C)1 (D)
解析：选A。 由得，由得，解得
13. (2011年高考四川卷理科6)在ABC中．.则A的取值范围是( )
(A)(0，] (B)[ ，) (c)(0，] (D) [ ，)
答案：C
解析：由题意正弦定理
14． (2011年高考全国卷理科5)（5）设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于
（A） （B） （C） （D）
【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了是此函数周期的整数倍。
【精讲精析】选C. 由题,解得，令，即得
15． (2011年高考福建卷理科3)若tan=3，则的值等于
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
16．(2011年高考福建卷理科10)已知函数f（x）=e+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C，给出以下判断：
①△ABC一定是钝角三角形
②△ABC可能是直角三角形
③△ABC可能是等腰三角形
④△ABC不可能是等腰三角形
其中，正确的判断是
A．①③ B．①④ C． ②③ D．②④
【答案】B
二、填空题:
1.(2011年高考辽宁卷理科16)已知函数f（x）=Atan（x+）（＞0，），y=f（x）的部分图像如下图，则f（）=____________.
答案：
解析：函数f(x)的周期是，故，由得.所以，故.
2.(2011年高考安徽卷理科14)已知 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_______________
【答案】
【命题意图】本题考查等差数列的概念，考查余弦定理的应用，考查利用公式求三角形面积.
【解析】设三角形的三边长分别为，最大角为，由余弦定理得，则，所以三边长为6,10,14.△ABC的面积为.
3. (2011年高考全国新课标卷理科16)在中，，则的最大值为 。
解析：,,
；
，故最大值是
4.(2011年高考重庆卷理科14)已知，且，则的值为
解析：。 由题设条件易得：，故，，所以
5.(2011年高考全国卷理科14)已知a∈(，)，sinα=，则tan2α=
【答案】
【解析】 a∈(，)，sinα=
则tanα= 故tan2α=
6.(2011年高考安徽卷江苏7)已知 则的值为__________
【答案】
【解析】因为,而=-cot2x,所以,
又因为,所以解得,所以的值为.
7.(2011年高考安徽卷江苏9)函数是常数，的部分图象如图所示，则
【答案】
【解析】由图象知：函数的周期为，而周期，所以，
由五点作图法知：，解得，又A=，所以函数，所以
.
8．(2011年高考北京卷理科9)在中。若b=5，，tanA=2，则sinA=____________；a=_______________。
【答案】
【解析】由 ，正弦定理可得。
9. (2011年高考福建卷理科14)如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于______。
【命题意图】本题考查运用正余弦定理解三角形，是中档题.
【答案】
【解析】（法1）过A作AE⊥BC,垂足为E，∵AB=AC=2，BC=,∴E是BC的中点，且EC=，在中，AE==1,又∵∠ADE=45°，∴DE=1，∴AD=;
(法2) ∵AB=AC=2，BC=,由余弦定理知，
===, ∴C=30°，
在△ADC中，∠ADE=45°，由正弦定理得，，
∴AD===.
10．(2011年高考上海卷理科6)在相距2千米的．两点处测量目标，若，则．两点之间的距离是 千米。
【命题意图】本题考查正弦定理及其应用，是简单题.
【答案】
【解析】如图所示，∠C=45°，由正弦定理得，∴AC==.
11．(2011年高考上海卷理科8)函数的最大值为 。
【答案】
【解析】将原函数解析式展开得=,故最大值为
=.
三、解答题:
1. (2011年高考山东卷理科17)（本小题满分12分）
在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
求的值；
若cosB=，,求的面积.
【解析】（Ⅰ）由正弦定理得所以=,即,即有,即,所以=2.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知: =2,即c=2a,又因为,所以由余弦定理得：
，即,解得,所以c=2,又因为cosB=，所以sinB=，故的面积为=.
2.(2011年高考浙江卷理科18)（本题满分14分）在中，角所对的边分别为a,b,c已知且.（Ⅰ）当时，求的值；(Ⅱ)若角为锐角，求p的取值范围；
（Ⅰ）解：由题设并利用正弦定理，得
解得或
（Ⅱ）解：由余弦定理，b2=a2+c2-2ac cosB
=(a+c)2-2ac cosB
=p2b2-即
因为得，由题设知，所以
3. (2011年高考天津卷理科15)（本小题满分13分）
已知函数，
（Ⅰ）求的定义域与最小正周期；
（Ⅱ）设，若求的大小．
【解析】 本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式、正切函数的性质等基础知识，考查基本运算能力.
（Ⅰ）由得所以的定义域为
.的最小正周期为.
（Ⅱ）由得即,
整理得: ,因为,所以可得
,解得,由得,所以,.
4. (2011年高考江西卷理科17)（本小题满分12分）
在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知sinC+cosC=1-sin
（1）求sinC的值
（2）若 a2+b2=4(a+b)-8，求边c的值
解析：由，即，
因为，所以，两边平方得．
（2）由得，所以，所以，
由得，由余弦定理得，
又，即，所以，
所以，所以．
本题考查三角形、同角三角函数关系式、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式及余弦定理．
5. (2011年高考湖南卷理科17) （本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，且满足.
求角的大小；
求的最大值，并求取得最大值时角的大小.
解：由正弦定理得
因为，所以.从而.又，所以，
则
由知，，于是=
==
因为，所以.从而当，即时，
取最大值2.
综上所述，的最大值2，此时，.
评析：本大题主要考查解三角形中的正弦定理或余弦定理的运用，以及运用三角公式进行三角变换的能力以及三角函数的最值、求角问题.
6. (2011年高考广东卷理科16)（本小题满分12分）
已知函数
（1）求的值；
（2）设求的值.
【解析】解：（1）
；
（2）
故
7. (2011年高考湖北卷理科16)（本小题满分10分）
设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为，已知.
(Ⅰ) 求△ABC的周长；
(Ⅱ)求cos(A—C.)
本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力.
解析：
（Ⅰ）的周长为
（Ⅱ）
故A为锐角.
..
8．(2011年高考陕西卷理科18)（本小题满分12分）叙述并证明余弦定理
【解析】：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的两倍积。或，，
证法一 ，如图
即
同理可证，
证法二：已知
建立直角坐标系，则
同理可证
9.(2011年高考重庆卷理科16)（本小题满分13分）
设满足，求函数 在上的最大值和最小值
解析：
由得，解得：
因此
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
所以在上的最大值为
又因为，
所以在上的最小值为
10. (2011年高考四川卷理科17)（本小题共12分）
已知函数
（Ⅰ）求的最小正周期和最小值；
（Ⅱ）已知，，求证：.
解析：（Ⅰ）∵
，
∴的最小正周期是，当，
即时，函数取得最小值-2.
（Ⅱ），，
..
，
，
所以，结论成立.
11.(2011年高考全国卷理科17) (本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效)
△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知A—C=90°，a+c=b，求C.
【解析】：由正弦定理得，
由，即
A+B+C=1800 ，，
即，由A-C=900 得A=900+C
即
12.(2011年高考安徽卷江苏15)在△ABC中，角A、B、C所对应的边为
（1）若 求A的值；
（2）若，求的值.
【解析】（1）因为
所以解得,即A的值为.
（2）因为所以所以在△ABC中，由正弦定理得:,因为,所以
,所以==,解得
又因为,所以,解得的值为.
13．(2011年高考北京卷理科15)（本小题共13分）
已知函数。
（Ⅰ）求的最小正周期：
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值。
解：（Ⅰ）因为
所以的最小正周期为
（Ⅱ）因为
于是，当时，取得最大值2；
当取得最小值—1.
14．(2011年高考福建卷理科16)（本小题满分13分）
已知等比数列{an}的公比q=3，前3项和S3=。
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）若函数在处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式。
【命题意图】本题考查等比数列的通项公式、前项和公式以及三角函数的最值问题，考查函数与方程思想和运算求解能力，是简单题.
【解析】（I）由=3，=得，=，解得=，
∴数列{}的通项公式=.
（II）由（I）可知=，∴=3， ∴函数的最大值为3， ∴=3，
∵在处取得最大值， ∴=1， 又∵0＜＜，∴=，
∴=.
【点评】本题题目简单，但将等比数列与三角函数结合给人以耳目一新的感觉.2011年高考试题数学（理科）
集合
一、选择题:
1.(2011年高考山东卷理科1)设集合 M ={x|}，N ={x|1≤x≤3},则M∩N =
（A）[1,2) (B)[1,2] (C)( 2,3] (D)[2,3]
【答案】A
【解析】因为,所以，故选A.
2.（2011高考安徽卷理科10）设a，b，c为实数，
.记集合S=若，分别为集合元素S，T的元素个数，则下列结论不可能的是
（A）=1且=0 （B）
（C）=2且=2 （D）=2且=3
【答案】C
故集合可能的个数为24+24+8=56个,故选B.
方法2：由知是A的子集，又∵A={1,2,3,4,5,6}，∴满足条件的共有=64种可能，又∵，B={4,5,6,7},∴中必含4,5,6,中至少一个元素，而满足的所有子集S中，不含4,5,6的子集共有=8个，∴满足题意的集合的可能个数为64-8=56，故选B.
4．(2011年高考辽宁卷理科2)已知M,N为集合I的非空真子集，且M,N不相等，若（ ）
(A)M (B) N (C)I (D)
答案： A
解析：因为且M,N不相等，得N是M的真子集，故答案为M.
5．(2011年高考江西卷理科2)若集合，则
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
6.（2011年湖南卷理科）设，，则“”是“”则（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 金太阳新课标资源网
答案：A
解析：因“”，即，满足“”，反之“”，则，或，不一定有“”。
7．(2011年高考广东卷理科2)已知集合A={ (x，y)|x，y为实数，且x2+y2=l}，B={(x，y) |x，y为实数，且y=x}， 则A ∩ B的元素个数为（ ）
A．0 B． 1 C．2 D．3
【解析】C.方法一：由题得，元素的个数为2，所以选C.
方法二：直接画出曲线和直线，观察得两支曲线有两个交点，所以选C.
8．(2011年高考广东卷理科8)设S是整数集Z的非空子集，如果有，则称S关于数的乘法是封闭的．若T,V是Z的两个不相交的非空子集，且有有，则下列结论恒成立的是
A．中至少有一个关于乘法是封闭的
B．中至多有一个关于乘法是封闭的
C．中有且只有一个关于乘法是封闭的
D．中每一个关于乘法都是封闭的
9．(2011年高考北京卷理科2)已知，，则
A. B. C. D.
【答案】A
解析：由已知.，所以,故选A.
10．(2011年高考北京卷理科7)设集合，，为虚数单位，R，则为（ ）
（A）（0，1） （B）， （C）， （D），
【分析】确定出集合的元素是关键。本题综合了三角函数、复数的模，不等式等知识点。
【解】选C ，所以；
因为，所以，即，又因为R，所以，即；所以，故选C.
11．(2011年高考北京卷理科1)已知集合P=｛x︱x2≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,则a的取值范围是
A．(-∞, -1] B．[1, +∞）
C．[-1，1] D．（-∞，-1] ∪[1，+∞）
二、填空题:
1．(2011年高考天津卷理科13)已知集合，则集合=________
【答案】
【解析】因为,所以,所以;由绝对值的几何意义可得:,所以=.
2．(2011年高考江苏卷1)已知集合 则
【答案】
【解析】.
3.(2011年高考江苏卷14)设集合,
, 若 则实数m的取值范围是______________
答案：
解析：综合考察集合及其运算、直线与圆的位置关系、含参分类讨论、点到直线距离公式、两条直线位置关系、解不等式，难题。当时，集合A是以（2，0）为圆心，以为半径的圆，集合B是在两条平行线之间， ，因为此时无解；当时，集合A是以（2，0）为圆心，以和为半径的圆环，集合B是在两条平行线之间，必有 .又因为.

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