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8.6　空间直线、平面的垂直
8.6.1　直线与直线垂直
8.6.2　直线与平面垂直
第1课时　直线与平面垂直的判定
课标解读
课标要求
核心素养
1.能解决异面直线夹角问题.(难点)
2.掌握直线与直线垂直的定义,直线与平面垂直的定义.(重点)
3.理解直线与平面垂直的判定定理,并会用其判断直线与平面垂直.(难点)
4.理解直线与平面所成角的概念,并能解决简单的线面角问题.(易错点)
1.通过异面直线夹角的求解,培养逻辑推理、数学运算的核心素养.
2.通过学习直线与平面垂直的判定,提升直观想象、逻辑推理的核心素养.
3.通过学习直线与平面所成的角,提升直观想象、数学运算的核心素养.
问题1:如图,阳光下直立于地面的旗杆AB与它在地面上的影子BC的位置关系是什么?
　　问题2:随着太阳的移动,旗杆AB与影子BC所成的角度会发生改变吗?
1.异面直线所成的角
(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)异面直线所成角θ的取值范围是0°≤θ≤90°.
思考1:根据基本事实4知道,平行具有传递性,那么垂直具有传递性吗?
　　2.直线与直线垂直
如果两条异面直线所成的角是直角,那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直,记作a⊥b.
思考2:两直线垂直,它们一定相交吗?
　　3.直线与平面垂直
定义
如果直线l与平面α内的①任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直
记法
l⊥α
有关概念
直线l叫做平面α的②垂线,平面α叫做直线l的③垂面.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做④垂足
图示
画法
画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
思考3:直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”?
　　4.直线与平面垂直的判定定理
文字语言
如果一条直线与一个平面内的⑤两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直
符号语言
l⊥a,l⊥b,a?α,b?α,⑥a∩b=P?l⊥α
图形语言
5.直线与平面所成的角
有关概念
对应图形
斜线
一条直线l与一个平面α⑦相交,但不与这个平面⑧垂直,这条直线叫做这个平面的斜线(图中直线l)
斜足
斜线和平面的⑨交点叫做斜足(图中点A)
射影
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影(图中斜线PA在平面α上的射影为AO)
直线与
平面所
成的角
定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角.
规定:一条直线垂直于平面,它们所成的角是90°;一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角是
0°
取值
范围
0°≤θ≤90°
探究一　异面直线所成的角　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例1　(1)如图所示,在四面体ABCD中,AB=CD,AB⊥CD,E,F分别为BC,AD的中点,求EF和AB所成的角的大小.
(2)如图所示,在空间四边形ABCD中,AB=CD=3,E,F分别是AD,BC上的点,且==,EF=,求AB和CD所成的角的大小.
1-1　如图,已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1,AD的中点,则异面直线CD1和EF所成的角的大小为　　　　　.?
探究二　直线与平面垂直的判定　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例2　如图,在三棱锥S-ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,且SA=SB=SC.
(1)求证:SD⊥平面ABC;
(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.
2-1　如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,M是圆周上任意一点,AN垂直PM于点N.求证:AN⊥平面PBM.
探究三　线面角
　　例3　(1)(垂线法)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,如图所示.
①求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值;
②求直线A1B与平面BDD1B1所成的角的大小.
　　(2)(高线法)如图,四边形ABCD是矩形,AB=1,AD=,E是AD的中点,BE与AC交于点F,GF⊥平面ABCD.
①求证:AF⊥平面BEG;
②若AF=FG,求直线EG与平面ABG所成角的正弦值.
　(变条件)若在本例(1)中,E为棱AB的中点,如图,求直线B1E与平面BB1D1D所成角的正切值.
3-1　已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心,则AB1与底面ABC所成角的正弦值为(　　)
A.
B.
C.
D.
3-2　在四面体ABCD中,AB⊥AD,AB=AD=BC=CD=1,且平面ABD⊥平面BCD,M为AB的中点,则CM与平面ABD所成角的正弦值为(　　)
A.
B.
C.
D.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.如图所示,若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍,则AB与平面α所成的角是(　　)
A.60°
B.45°
C.30°
D.120°
2.已知在直三棱柱ΑΒC-Α1Β1C1中,∠ΑΒC=120°,ΑΒ=2,ΒC=CC1=1,则异面直线ΑΒ1与ΒC1所成角的余弦值为(　　)
A.
B.
C.
D.
3.下列说法中正确的个数是(　　)
①若直线l与平面α内的一条直线垂直,则l⊥α;
②若直线l与平面α内的两条直线垂直,则l⊥α;
③若直线l与平面α内的两条相交直线垂直,则l⊥α;
④若直线l与平面α内的任意一条直线垂直,则l⊥α;
⑤若直线l与平面α内的无数条直线垂直,则l⊥α.
A.1
B.2
C.3
D.4
4.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1,则AB1与BC1所成的角的大小是(　　)
A.60°
B.75°
C.90°
D.105°
5.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形,若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为(　　)
A.
B.
C.
D.
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