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设P点的坐标为:(xpP,f(xP),则切线方程为:
J(x)=f(xp)+f'(xp)(x-xp)
3
(2)构建新函数g(x),并求导
构建函数g(x)=f(x)-y(x),圆切线与曲线的交点就是g(x)的零点
则:g(x)=f(x)-f(xp)-f(xPx-xp)④
其导函数:g'(x)=f'(x)-f'(xP)⑤
由②得:∫(x)=e+2ax-e,f'(xp)=e+2axp-e,代入⑤式得
g'(x)=(e+2ax)-(e
p+2axp)=(e-e)+2a(x-xp)
(3)分析a≥0时函数g(x)的单调性和极值
当a≥O时
若
则ex>e,2ax≥2ax
g'(x)>0,g(x)单调递增
若x若x=xP,则e=e,2ax=2axpP,故:g'(x)=0,8(x)达到极小值
由④式得:g(x)的极小值g(xpP)=0
此时,g(x)的零点与P点的取值有关,因此P点的取值不唯
所以g(x)的零点就不唯一,故当a≥0时,满足P点唯一的条件
(4)分析a<0时函数g(x)的切线
当a<0时:
由⑥式,g'(x)=0的情况分两种:
=0即
此时与(2)的情形相同,P点的取值不唯
b)c2-e=-2a(x-xP)≠0,即:x≠xP,g'(x)=0
此时,c(e-D=-2a(x-xp),即:cxx=1-2aex(x-xp)⑦
⑦式的解是曲线y=cM与直线y=1-2(x-x)的交点
曲线y=cM恒过点(xp,D),直线y=1-2ae(x-xp)也恒过点(xP,D),
当曲线y=c过点(xP,D)的切线斜率等于一2aex时,其这个切线就是
线的切线
故:曲线y=c过点(xP,D的切线斜率为:k=(ex)
于是:-2aex=1,即:e=-2a,即:xp=ln(-2a)
(5)得到切点P的坐标
当a<0时,xP=ln(-2a)就存在
由于y=e在其定义域内是凸函数,所以与其切线的交点是唯一的
将xP=ln(-2a)代入①式得
f(xp)=e+axp
-exp=(2a)+aIn"(2a)-eIn(-2a)
得到xP=ln(-2a)和∫(xp),这就是P点的唯一坐标
(6)结论
切点P的坐标:xp=ln(-2a),f(xP)=(-2a)+aln2(-2a)-cln(-2a
本题要点:利用图象法解超越方程⑦,
7、函数第7题已知函数∫(x)=e"-x,其中a≠0.在函数y=f(x)的图象上取定两点
(x1,f(x1),B(x2,f(x2),且x1∫'(x)≥k成立,求x的取值范围
解析:(1)AB的斜率与f(x)的导函数
由A、B两点的坐标得到直线AB的斜率k:
f(x2)-f(x1)(e
函数f(x)=c"-x的导函数为:f'(x)=e
(2)构建新函数g(x),并求导
判断f'(x2)≥k是否成立,即判断f'(x)-k是否不小于0
所以,构建函数:g(x)=f(x)-k,若g(x)≥0,则f'(x)≥k成立

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