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因式分解
1、了解因式分解的意义及其与整式的乘法之间的关系。?
2、会用提公因式法、公式法进行因式分解。
一、因式分解?
概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式解。
注意:
（1）
因式分解的对象是多项式；
（2）因式分解的结果一定是整式乘积的形式；
（3）分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；
（4）
公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；
（5）
结果如有相同因式，应写成幂的形式；
（6）题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；
（7）
因式分解的一般步骤是：
①通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；
②若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；
二、因式分解的方法
1.
提公因式法
提公因式法：多项式中的每一项都含有相同的因式，这个相同的因式叫做公因式．把多项式的公因式提出来，化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法．（公因式：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式）
形如：
2．公式法?
(1)平方差公式：.?
(2)完全平方公式：.?其中，叫做完全平方式.?
(3)补充：
3．分组分解法?
形如：，把多项式进行适当的分组，分组后能够有公因式或运用公式，这样的因式分解方法叫做分组分解法.
（1）分组后能直接提公因式
例1、分解因式：
分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=
=
每组之间还有公因式！
=
例2、分解因式：
解法一：第一、二项为一组；
解法二：第一、四项为一组；
第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
解：原式=
原式=
=
=
=
=
练习：分解因式1、
2、
（二）分组后能直接运用公式
例3、分解因式：
分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就不能继续分解，所以只能另外分组。
解：原式=
=
=
例4、分解因式：
解：原式=
=
=
练习：分解因式3、
4、
4．十字相乘法：?
形如：.利用这个公式，可以把二次三项式因式分解，当时，这个式子化成或，是完全平方式，可以运用公式分解因式.
（1）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
思考：十字相乘有什么基本规律？
（二）二次项系数不为1的二次三项式——
条件：（1）
（2）
（3）
分解结果：=
二次项系数为1的齐次多项式
例5、分解因式：
分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
1
8
1
-16
8+(-16)=
-8
解：=
=
（四）二次项系数不为1的齐次多项式
例6、
例7、
1
-2y
把看作一个整体
1
-1
2
-3y
1
-2
(-3y)+(-4y)=
-7y
(-1)+(-2)=
-3
解：原式=
解：原式=
【因式分解】
例1.
下列式子从左到右变形是因式分解的是(　B　)
A、
B、
C、
D、
例2.
下列因式分解正确的是(　B　)
A、
B、
C、
D、
【提公因式法】
例1．多项式，在因式分解中对应提取的公因式是(　D　)
A、
B、
C、
D、
例2．下列各组多项式中，没有公因式的是(　C　)
A、和
B、和
C、和
D、和
例3．将因式分解，正确的是(　C　)
A、
B、
C、
D、
例4.已知实数，满足＝3，＝2，则的值是________．
6
例5.用提取公因式法因式分解：
(1)；
原式＝2x2(3x－1)
(2)；
原式＝3ab(3a－7b)
(3)；
原式＝(m＋n)(m＋n－2)
(4)．
原式＝(x－y)2
例6.下列因式分解中正确的是(　B　)
A、
B、
C、
D、
例7．利用因式分解计算(－2)2015＋(－2)2016等于(　B　)
A、2
B、22015
C、－22015
D、－22016
例8、若＝2，－＝3，则的值为________．
12
例9．分解因式：
(1)；
(2)；
原式＝3xz(2y－z)
原式＝2ab·2a2b2＋2ab·3ab－2ab·1
＝2ab(2a2b2＋3ab－1)
(3)；
(4)．
原式＝3x(a－b)－2y(a－b)＋(a－b)
原式＝3a(a－b)－b(a－b)
＝(a－b)(3x－2y＋1)
＝(3a－b)(a－b)
例10.利用因式分解计算：
(1)20152－2014×2015；
(2)3.14×27＋31×3.14＋4.2×31.4.
2015
314
例11.(1)已知＋＝，＝2，求代数式的值；
(2)试说明：257＋513能被30整除．
(1)原式＝ab(a＋2ab＋b)＝ab[(a＋b)＋2ab]＝2×(＋2×2)＝9
(2)∵257＋513＝(52)7＋513＝513(5＋1)＝6×513＝30×512，所以257＋513能被30整除
【公式法】
例1.
下列多项式中，能用平方差公式因式分解的是(　C　)
A、
B、
C、
D、
例2．因式分解的正确结果是(　A　)
A、
B、
C、
D、
例3．是下列哪一个多项式因式分解的结果(　D　)
A、4－
B、4＋
C、－4－
D、－4＋
例4．把下列各式因式分解：
(1)9－4；
(2)8－2；
(3x＋2y)(3x－2y)
2x(2a＋1)(2a－1)
(3)；
(4)27－3.
m(m＋2n)
3(3＋x＋y)(3－x－y)
知识点二：用完全平方公式因式分解
例5.下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是(　D　)
A、＋＋1
B、＋2＋2
C、＋1
D、＋6＋9
例6．下列各因式分解正确的是(　C　)
A、－＋(－2)2＝(－2)(＋2)
B、＋2－1＝(－1)2
C、4－4＋1＝(2－1)2
D、－4＝(＋2)(－2)
例7．填空：9＋(__－30______)＋25＝(3－5)2；
－4＋4＋(___-_____)＝－(___2_____)2.
例8．把下列各式因式分解：
(1)16－8＋1；
(2)＋4＋4.
(4m－1)2
a(x＋2)2
(3)3－12；
(4)9－12＋4；
3x2(x＋2)(x－2)
(3x－2y)2
(5)9(－)2－4()2；
(6)(＋)2－4.
(5x－y)(x－5y)
(x＋y)2(x－y)2
例9.
分解因式得正确结果为(　D　)
A、
B、
C、
D、
例10.下列因式分解错误的是(　A　)
A、
B、
C、
D、
例11．已知4＋4＋36是完全平方式，则的值为(　D　)
A、2
B、±2
C、－6
D、±6
例12．利用分解因式的方法计算：
(1)25×1022－25×982；
25(1022－982)＝25(102＋98)(102－98)＝20000
(2)20152－4032×2015＋20162.
＝20152－2×2016×2015＋20162＝(2015－2016)2＝1
例13．已知：4＋＝90，2－3＝10，求(＋2)2－(3－)2的值．
-900
【分组分解】
例1、分解因式1、
2、
例2、分解因式3、
4、
【十字相乘法】
例1、分解因式(1)
(2)
(3)
例2、分解因式：（1）
（2）
（3）
（4）
例3、分解因式(1)
(2)
(3)
例4、分解因式：（1）
（2）
1、有一个因式是，另一个因式是（
）
A．
B．
C．
D．
2、把a4－2a2b2＋b4分解因式，结果是（
）
A、a2(a2－2b2)＋b4
B、(a2－b2)2
C、(a－b)4
D、(a＋b)2(a－b)2
3、若a2-3ab-4b2=0,则的值为（
）
A、1
B、-1
C、4或-1
D、-
4或1
4、已知为任意整数，且的值总可以被整除，则的值为（
）
A．13
B．26
C．13或26
D．13的倍数
5、把代数式
分解因式，结果正确的是
A．
B．
C．
D．
6、把分解因式结果正确的是（
）。
A．
B．
C．（
D．
7、分解因式：的结果是（　　）
A．
B．
C．
D．
8、因式分解：9－－4－4＝__________．
9、若=，则=_______，=_________。
10、已知则
11、若则___。
12、计算的值是（
）
13、=___________________
14、=___________________
15、=___________________
16、=___________________
17、=___________________
18、=___________________
19、=___________________
20、已知，，求
的值。
21、已知，求的值
22、已知，求的值；
23、已知，求的值；
24、已知，，求（1）；（2）
25、已知，求的值；
26、
27、先分解因式，然后计算求值：（本题6分）
（+－2）－6（－）+9，其中=10000，=9999。
28、已知求的值。
29、已知：
(1)求的值；
(2)求的值。
30、已知(－1)－(－)＝－2．求的值．
答案：
C
D．
C
4.A
5.D．
6.B．
7.A．
8.
9x2-y2-4y-4=9x2-(y2+4y+4)=(3x)2
-(y+2)2=(3x+y+2)(3x-y-2)
9.
m=4
n=8
10.
1+X+X2+X3+......+X2004+X2005=0
（1+X）+X2（1+X）+......+X2004（1+X）=0
（1+X）（1+X2+......+X2004）=0
1+x=0
x=-1
（-1）2006=1
11.
(x+y)2=x2+2xy+y=216
x2+y2=6
6+2xy=16
xy=5
12.
运用平方差公式：
原式＝(1-
1/2)(1+
1/2)(1-
1/3)(1+
1/3)...(1-
1/10)(1
+
1/10)
　
　＝(1/2)(3/2)(4/3)(3/4)(5/4)...(9/10)(11/10)
　
　＝(1/2)(11/10)
　　
＝11/20
13.
(x-2y)2-1
=
(x-2y)2-12=
(x-2y+1)(x-2y-1)
14.
=(x2-9)2
=(x+3)2(x-3)2
15.
=ax（x+1）-bx（x+1）-（a-b）
=x（x+1）（a-b）-（a-b）
=(a-b)（x?+x-1）
16.
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24
=﹙x+1))(x+4)(x+2)(x+3)－24
=﹙x?＋5x＋4﹚﹙x?＋5x＋6﹚－24
=﹙x?＋5x﹚?＋10﹙x?＋5x﹚
=﹙x?＋5x﹚﹙x?＋5x＋10)
17.
X5-x3+x2-1
=(x5-x3)+(x2-1)
=x3(x2-1)+(x2-1)
=(x2-1)(x3+1)
=(x+1)(x-1)(x+1)(x2-x+1)
=(x-1)(x+1)2(x2-x+1)
18.
=(m+n)[(m+n)?-(m-n)?]
=(m+n)(m+n-m+n)(m+n+m-n)=4mn(m+n)
19.
把(a2+2a)整体看成未知数X，相当于用十字相乘法分解X2-2X2-3=(X+1)(X-3),再把里面的X用a2+2a替换即可，所以：(a2+2a)2-2(a2+2a)-3
=(a2+2a+1)（a2+2a-3）
=(a+1)2(a-1)(a+3)
20.
2x4y3-x3y4
=x?y?(2x-y)
=(xy)?(2x-y)
=2?×(1/3)=8/3
21.（a2-b2)2-8(a2+b2)
=(a+b)2(a-b)2-8(a2+b2)=4(a-b)2-8(a2+b2)=-(4a2+8ab+4b2)
=-4(a+b)2=-16
X2+y2+6xy=(x+y)2+4xy=-4
23.
x2-y2=(x+y)(x-y)=-1
x+y=1/2
x-y=-2
24.
1)（a-b）?
=（a+b）?-4ab=（1/2）?+4x3/8
=1/4+3/2
=7/4
2)
原式=ab(a?+2ab+b?)=ab(a+b)?
=(3/8)×(1/2)?
=3/32
25
4x2+16y2-4x-16y+5=0
4x2-4x+1+16y2-16y+4=0
(2x-1)2+4(4y2-4y+1)=0
(2x-1)2+4(2y-1)2=0
(2x-1)2=0,4(2y-1)2=0
x=1/2
y=1/2
x+y=1/2+1/2=1
(c2-a2-b2)2-4a2b2=(c?-a?-b?+2ab)(c?-a?-b?-2ab）=[c?-(a-b)?][c?-(a+b)?]
=(c+a-b)(c-a+b)(c+a+b)(c-a-b)
27
.(a2+b2-2ab)-(6a-6b)+9=(a-b)2-6(a-b)+9=(a-b-3)2=(10000-9999-3)2=(-2)2=4
28.
m2-mn+n2
=(m+n)2-3mn=64-45
=19
29.
1)
∵a?+a-1=0
∴a?+a=1
∴2a?+2a
=2(a?+a)
=2×1
=2
2)
a2+a-1=0
则
a
(a2+a-1)=a3+a2-a=0---------A
a2+a-1=0
-----------B
A+B得
a3+2a2-1=0
a3+2a2=1
所以
a3+2a2+1999=1+1999=2000
30.
x?-x-x?+y=-2
-x+y=-2
x-y=2
(x?+y?)/2-xy
=(2xy+y?)/2=(x-y)?/2
=(2)?/2=4/2=2
1

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