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江苏高考备考 怎样解填空题
一、内容概述
新课标实施后，江苏数学高考改革别具一格，试题去除了全部选择题，仅保留了填空题和解答题两种题型，且填空题高达14小题，占总题数的70%；分值达70分，占总分值的43%．因此提高解答填空题的准确度与快捷度，就显得尤为重要尤为必须了．
填空题不求过程，只求结果，因而对所填结果的正确性、完整性、合理性等均提出了较高要求，而这也增加了解答填空题得分的难度，同时这也正是在解答填空题上失分较多的主要原因，因此认识填空题型、加强填空题型的解法研究并重视对填空题型的专项训练，就显得刻不容缓势在必行了．
所谓填空题，就是不要求写出计算或推理过程，只需将结论直接写出的“求解题”．填空题的结构，往往是在一个正确的命题或断言中，抽去其中的一些内容(既可以是条件，也可以是结论)，留下空位，让考生独立填上，考查方法较为灵活．一般地，根据所填内容的形式，常将填空题分为两类：一是定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如方程的解集、函数的最值、几何体的体积、两点间的距离、取胜的概率等；二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者给定的数学对象的某种性质，如曲线的形状、所给一组公式中的正或误的判断等．
填空题不需要中间过程，因而解答时可以心算、估算、速算，也可以省略、跳步、猜测，甚至还可以凭印象、靠直觉．解答的基本策略是：快——反应快，不要小题大做；稳——变形稳，不可操之过急；全——答案全，力避残缺不齐；活——过程少，不要生搬硬套；细——审题细，答案表述要慎．解题的基本方法一般有：直接求解法、图象法、特殊化法等．
二、典例精析
1．直接求解法：直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得到结论的，称之为直接求解法．它是解填空题的常用基本方法．使用直接法解填空题，要善于透过现象抓本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法．
【例1】(2010江苏高考) 将边长为1m的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形．记s=，则s的最小值是 ．
解析 画出示意图1并设AP=x∈(0，1)．建立s关于x的目标函数后利用有关知识进行灵活的求解．
梯形BCQP的周长为3-x，面积为，故s(x)=，x∈(0，1)．
于是．令=0，得x=(另一解x=3，不合，舍去)．
当00，故当x=时，s取最小值为s()=．
【例2】已知函数(x∈[-2010，2010])的最大值为M，最小值为m，则M+m= ．
解析 函数式f(x)不熟悉，形式较为陌生，那先变形，后再作定夺．
==g(x)+2，
其中g(x)=，x∈[-2010，2010]．
因为g(x)为奇函数，而奇函数的图象关于原点对称，所以g(x)的最大值N与最小值n的代数和为0．
注意到M=N+2，m=n+2，故M+m=N+n+4=4．
2．数形结合法：借助图形的直观性，通过数与形的关系，迅速作出判断的方法称为数形结合法．文氏图、三角函数线、函数的图像及方程的曲线等，都是常用的图形．
【例3】(2010全国卷Ⅰ理科，略有改动)已知函数f(x)=|lgx|，若0解析 作出f(x)的示意图，易知0-lga=lgb，于是lga+lgb=lgab=0，故，从而a+2b=(+b)+b>2+b>3，所以取值范围为(3，+∞)．
附 本题容易有下面的错误解答：a+2b=+2b>，故答案为(，+∞)．试分析错误的原因．
【例4】一游泳池长90m，甲乙二人分别从相对两边同时朝另一边游，甲的速度是3m/s，乙的速度是2m/s，若不计转向时间，则从开始到3分钟止，他们相遇的次数共 次．
解析 3分钟内甲3个来回，乙2个来回，画出示意图(“数”借助“形”给出直观描述，其中粗、细线分别表示甲、乙的轨迹)，由图可知，甲乙二人先后相遇在1~5的5个结点处．答案填5．
3．特殊化法：当填空题的结论唯一或其值为定值时，我们只须把题中的参变量用特殊值(或特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)代替之，即可得到结论．一般性存在于特殊性之中，只要是求一般性的问题，绝大多数可以用特殊化法来解决．
3．1特殊图形
【例5】(2010江苏高考) 在锐角△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且=6cosC，则= ．
解析 利用特殊化思想——取一个满足题设的特例．
令a=b=1，则cosC=．于是，．
又由余弦的二倍角公式得 ．
所以sinA=，cosA=，tanA==tanB．
所以=4．
【例6】在四面体ABCD中，AB=CD=，AC=BD=5，AD=BC=，则该四面体的体积V= ．
解析 构造如图所示的长方体，并且满足AB=CD=，AC=BD=5，AD=BC=．现设AP=p，AQ=q，AR=r，则
p2+q2=AB2=13，r2+p2=AD2=20，q2+r2=AC2=25．
将以上三式分别相加得 p2+q2+r2=29．
于是r=4，q=3，p=2．故
V=．
3．2特殊模型
【例7】某班有46名学生．进行一次数学、语文测验，以此评出学习积极分子．学习积极分子的条件是他(或她)的成绩不亚于班上所有的其他学生，若甲的数学成绩或语文成绩至少有一门比乙高，则称甲的成绩不亚于乙，那么，这班46名学生中，学习积极分子的人数最多有 人．
解析 构造46个学生的一次考试成绩如下：
学生 1 2 3 … k … 46
数学成绩 101 102 103 … 100+k … 146
语文成绩 146 145 144 … 147-k … 101
显见，任何一名学生，都至少有一门成绩比其余学生的成绩高，故每位学生都是学习积极分子，所以本题的答案为46．
【例8】三棱锥S-ABC中，E，F，G，H分别是SA，AC，BC，SB的中点，则截面EFGH将三棱锥分成的两部分的体积之比是 ．
解析 截面EFGH将三棱锥分成的两部分的体积都不是规则的几何体，因此，可将几何体进行分割，又此题中两部分的体积之比与三棱锥的具体形状没有直接的关系，则不妨设三棱锥为正四面体．
如图，三棱锥SABC为正四面体，E，F，G，H分别是SA，AC，BC，SB的中点，所以截面两边的几何体是完全一样的几何体，故 V1∶V2=1∶1．
3．3特殊角度
【例9】(2010福建高考文科) 观察下列等式：
①cos2α=2cos2α-1；
②cos4α=8cos4α-8cos2α+1；
③cos6α=32cos6α- 48cos4α+18cos2α-1；
④cos8α=128cos8α- 256cos6α+160cos4α-32cos2α+1；
⑤cos10α= mcos10α-1280cos8α+1120cos6α+ncos4α+pcos2α-1．
可以推测，m – n + p = ．
解析 首先，由2，8，32，128，联想等比数列，得m=128×4=512；其次，由2，-8，18，-32，分别除2并去负号后，得1，4，9，16，这是一个正整数的平方序列，于是p>0，且p=2×52=50．
最后，令α=0，则1=512-1280+1120+n+50-1，于是n= -400，故m-n+p=962．
【例10】已知A+B=，且sin2A≠sin2B，则的值恒为______________．
解析 因恒为定值，故可取特殊角度直接快速得到结果．
令A=，B=0，则==．
3．4特殊函数
【例11】已知f(x)是定义在R上的函数，且f(1)=1，对任意x∈R都有下列两式成立：
(1)f(x+5)≥f(x)+5；
(2)f(x+1)≤f(x)+1．
若g(x)=f(x)+1-x，则g(6)的值为 ．
解析 观察(1)(2)可知，f(x)=x显然满足题设，故g(6)=f(6)+1-6=1．
【例12】已知二次函数f(x)=ax2+bx+c=0有零点x1与x2，设p=x12009+x21009，q=x12010+x21010，r=x12011+x21011，则常数ar+bq+cp的值为 ．
解析 令a=1，b=0，c= -1，则两零点分别为1，-1，p=0，q=2，r=0，ap+bq+cr=0．
3．5特殊点
【例13】已知长方形的四个顶点A (0，0)、B (2，0)、C (2，1)和D (0，1)．一个质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD，DA和AB上的点P2，P3和P4(入射角等于反射角)．设P4的坐标为 (x4，0)，若 1＜x4＜2，则tanθ的取值范围是 ．
解析 显然当P1为BC中点时，则P2，P3和P4依次是CD，DA和AB的中点，故是一个极限值．又当P4位于B点时，P0关于B的对称点为E，P4关于A的对称点为F，从而EG =FE =(FA+AB+BE) =，于是tan θ = tan∠GP2E =，故也是一个极限值．于是，本题中应填．
【例14】椭圆的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是 ．
解析 设P(x，y)，则当∠F1PF2=90°时，点P的轨迹方程为x2+y2=5，由此可得点P的横坐标x=±，由此可得点P横坐标的取值范围是4．信息迁移
【例15】如图，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当⊥时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比黄金椭圆，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于 ．
解析 猜想“黄金双曲线”的离心率e 等于．事实上，对直角△ABF应用勾股定理，得，即有，注意到，变形得，从而．
【例16】六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体．如图1在平行四边形ABCD中，有AC2+BD2=2(AB2+AD2)．那么在图2所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC12+BD12+CA12+DB12关于其棱的等量关系为：AC12+BD12+CA12+DB12 = ．
解析 由AC12+CA12=2(AA12+AC2)，
BD12+DB12=2(BB12+BD2)，
所以，AC12+BD12+CA12+DB12=2AA12+2BB12+2(AC2+BD2)=4AA12+4AB2+4AD2．
5．整体代换
【例17】(2010江苏高考) 设实数x，y满足3≤xy2≤8，4≤≤9，则的最大值是 ．
解析 =∈[2，27]，故所求最大值为27．
【例18】三棱锥的三个侧面两两互相垂直，它们的侧面积分别是6、3、2，则它的体积等于 ．
解析 设三条棱长分别为x，y，z，则xy=6，xz=3，yz=2．于是
V=．
三、小试牛刀
1．tan67.5°= ．
答案：．提示：数形结合法．构造如图所示的图形，则tan67.5°=．
2．(2010福建高考文科，略有改动) 设非空集合S={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S．给出如下三个命题：
①若m=1，则S={1}；
②若m=，则≤l≤1；
③若l=，则≤m≤0．
其中正确命题的个数为 个．
答案：3．提示：直接推理法．令x=l∈S，则l2≤l，故-1≤l≤1；令x=m∈S，则m2≥m，故m≥1或m≤0．对于①，因l≥m=1，故l=1，于是S={1}，正确；对于②，令x=m=，则x2=∈S，于是l≥，正确；对于③，因l=>0，故必有m≤0，另一方面x=m∈S，则m2≤l=，故≤m≤，所以≤m≤0，正确．
3．(2010江西高考理科) 如图，在三棱锥O-ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA>OB>OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3，的大小关系为 ．
答案：S34．设有一个44网格，其各个最小的正方形的边长为4cm，现用直径为2cm的硬币投掷到此网格上，设每次投掷都落在最大的正方形内或与最大的正方形有公共点，则硬币落下后完全在最大的正方形内的概率 ．
答案：．提示：数形结合法．如图，这是一个几何概型，区域D为图中的外虚线所围成的部分，它是一个边长为16的正方形，外加4个161的矩形，以及4个四分之一的圆周部分；区域d为图中的内虚线所围成的部分，故．
5．对于实数x≥0，定义符号[x]表示不超过x的最大整数，则方程[2sinx]=[x]的解集是(x以弧度为单位) ．
答案：∪∪．提示：直接推理计算．∵x≥0，∴[x]≥0；∵2sinx≤2，∴[2sinx]≤2．
若[2sinx]=[x]=0，则0≤x＜1，且，故0≤x＜；
若[2sinx]=[x]=1，则1≤x＜2，且，故1≤x＜2，且x≠；
若[2sinx]=[x]≥2，方程无解．
6．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是 ．
答案：．提示：特殊数列法．考虑到a1，a3，a9的下标成等比数列，故可令an=n，又知它满足题设条件，于是．
7．(2010天津高考文科) 设函数f(x)=，对任意x∈，f(mx)+mf(x)<0恒成立，则实数m的取值范围是________．
答案：m<-1．提示：直接推理．已知f(x)为增函数且m≠0．若m>0，由复合函数的单调性可知f(mx)和mf(x)均为增函数，此时不符合题意，故m<0．由f(mx)+mf(x)<0，得，于是，故，所以m2>1，所以m<-1．
8．(2010重庆高考理科) 已知函数f(x)满足f(1)=，4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x，y∈R)，则f(2010)的值为 ．
答案：．提示：取特殊值法．令x=n，y=1，则f(n)=f(n+1)+f(n-1)，同理f(n+1)=f(n+2)+f(n)，联立两式可得f(n+2)= -f(n-1)，于是f(n+6)= -f(n+3)=f(n)，数列{f(n)}是周期为6的周期数列，于是f(2010)=f(0)．又令x=1，y=0，得f(0)=．
9．(2010四川高考理科) 设S为复数集C的非空子集．若对任意，都有，则称S为封闭集．下列命题：
①集合S={a+bi|a，b为整数，i为虚数单位}为封闭集；
②若S为封闭集，则一定有0∈S；
③封闭集一定是无限集；
④若S为封闭集，则满足的任意集合T也是封闭集．
其中
真命题是 ．(写出所有真命题的序号)
答案：①②．提示：特例验证法．直接验证可知①正确；当S为封闭集时，因为x-y∈S，取x=y，得0∈S，②正确；对于集合S={0}，显然满足全部条件，但S是有限集，③错误；取S={0}，T={0，1}，满足，但由于0-1= -1T，故T不是封闭集，④错误．
10．设存在常数m，n，使等式对任意恒成立，则m+4n的值为 ．
答案：-8．提示：取特殊角．令=代入等式，得-1=，于是m+4n=8()= -8．

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