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不等式中的最值问题
　　不等式与函数有着密切的联系，在有关不等式和函数的问题中，有许多问题涉及到最值，下面我们就针对不等式中的有关最值问题具体举例说明．
一、利用均值定理求最值
例1　某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为（单位：）的矩形．上部是等腰直角三角形．要求框架围成的总面积为．问分别为多少（精确到0.001）时用料最省？
解：由题意得，
故．
于是，框架用料长度为．当且仅当，即时，等号成立．
此时，，．
故当约为，约为时，用料最省．
注：是否将无理数或分数作近似计算处理，一方面要根据题设要求，另一方面要结合实际意义．
二、利用变量的有界性求最值
例2　一个直角三角形的周长为，则其斜边长的最小值为（　　）．
　　（A） （B） （C） （D）
　　解析：设直角三角形的一个锐角为，斜边长为，则根据题意得，
∴ ．
∵，当时，等号成立．
∴ ，当此三角形为等腰直角三角形时，等号成立． ∴斜边的最小值为．故选（A）．
三、利用函数的单调性求最值
有的函数解析式符合均值不等式的形式，但不满足均值不等式的条件（“一正、二定、三相等”），可以考虑运用函数的单调性求函数的最值．
例3　学校食堂定期从某粮店以每吨1500元的价格购买大米，每次购进大米需支付运输劳务费100元，已知食堂每天需用大米1吨，贮藏大米的费用为每吨每天2元，假定食堂每次均在用完大米的当天购买．
（1）该食堂每多少天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少？
（2）粮店提出价格优惠条件：一次购买量不少于20吨时，大米价格可享受九五折优惠（即是原价的95%），问食堂可否接受此优惠条件？请说明理由．
解：（1）设每天购进一次大米，易知购米量为吨，那么库存总费用即为．
若设平均每天所支付的总费用为，
则，
当且仅当，即时，等号成立，故应每10天购买一次大米，能使平均每天支付的总费用最少；
（2）若接受价格优惠条件，则至少每20天订购一次，设每天订购一次，每天支付总费用元，则，
令，设，则，即在上单调递增．
故当天时，取得最小值，为1451元．
由于1451＜1521，故食堂应接受价格优惠条件．
四、利用二次函数求最值
例4　一个小服装厂生产某种风衣，月销售量（件）与售价（元/件）之间的关系为，已知生产件的成本为元，问：
（1）该厂的月产量为多少时，月纯利润不少于1300元？
（2）当月产量为多少时，可获得最大纯利润？最大纯利润是多少元？
解：（1）设该厂的月纯利润为元，
依题意得，
由，知，
即，
∴，解得．
∴当月产量在20~45件之间时，月纯利润不少于1300元．
（2）由（1）知，
∵为正整数，
∴或33时，取得最大值1612．
故当月产量为32件或33件时，可获得最大纯利润，为1612元．

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