资源简介

　垂直关系
[基础梳理]
1．直线与平面垂直
(1)定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
(2)判定定理与性质定理：
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
?l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
?a∥b
2.直线和平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫作这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角．
(2)范围：．
3．平面与平面垂直
(1)二面角的有关概念：
①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角；
②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫作二面角的平面角．
(2)平面和平面垂直的定义：
两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
?α⊥β
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
?l⊥α
1．判定定理的理解
若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
a∥b，a⊥α?b⊥α.
2．性质定理
性质定理2
如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内
α⊥β，P∈β，PQ⊥α?PQ?β
性质定理3
如果两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线必垂直于第三个平面
α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ?l⊥γ
[四基自测]
1．(基础点：面面垂直性质)下列命题中不正确的是(　　)
A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面β
B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
C．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
D．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ
答案：A
2．(基础点：线面垂直性质)已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系为(　　)
A．b?α　　　　　　
B．b∥α
C．b?α或b∥α
D．b与α相交
答案：C
3．(基础点：面面垂直的判定)一平面垂直于另一平面的一条平行线，则这两个平面的位置关系是________．
答案：垂直
4．(易错点：空间垂直关系的转化与认识)如图所示，在三棱锥V－ABC中，∠VAB＝∠VAC＝∠ABC＝90°，则构成三棱锥的四个三角形中直角三角形的个数为________．
答案：4
授课提示：对应学生用书第136页
考点一　线面垂直的判定与性质
挖掘　线面垂直的判定与应用/
自主练透
[例]　(1)(2020·河南商丘模拟)如图所示，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是A在PB、PC上的射影，给出下列结论：
①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；
④AE⊥平面PBC.
其中正确命题的序号是________．
[解析]　由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，可得PA⊥BC，又AB是圆O的直径，C是圆O上一点，则有BC⊥AC，又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，又AF?平面PAC，所以BC⊥AF，故③正确；因为AF⊥PC，PC∩BC＝C，所以AF⊥平面PBC，又PB?平面PBC，所以AF⊥PB，故①正确；因为AE⊥PB，AF⊥PB，AE∩AF＝A，所以PB⊥平面AEF，又EF?平面AEF，所以PB⊥EF，故②正确；由于AF⊥平面PBC，AF∩AE＝A，所以AE不与平面PBC垂直，故④错误．综上可知正确命题的序号为①②③.
[答案]　①②③
(2)如图，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：
①CD⊥AE；
②PD⊥平面ABE.
[证明]　①在四棱锥P?ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，
∴PA⊥CD，
又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC.∵AE?平面PAC，
∴CD⊥AE.
②由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，
∴AE⊥平面PCD.
∵PD?平面PCD，∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，
∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，
∴AB⊥平面PAD，
∵PD?平面PAD，
∴AB⊥PD.
又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.
(3)如图，S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．
①求证：SD⊥平面ABC；
②若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
[证明]　①如图所示，取AB的中点E，
连接SE，DE，在Rt△ABC中，D，E分别为AC，AB的中点．
∴DE∥BC，∴DE⊥AB，
∵SA＝SB，
∴SE⊥AB.
又SE∩DE＝E，
∴AB⊥平面SDE.
又SD?平面SDE，∴AB⊥SD.
在△SAC中，∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.
又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.
②∵AB＝BC，∴BD⊥AC，
由①可知，SD⊥平面ABC，又BD?平面ABC，
∴SD⊥BD，
又SD∩AC＝D，
∴BD⊥平面SAC.
[破题技法]　证明直线与平面垂直的常用方法
(1)利用线面垂直的判定定理：在平面内找两条相交直线与该直线垂直．
(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”．
(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”．
(4)利用面面垂直的性质定理：在平面内找与两平面交线垂直的直线．
考点二　平面与平面垂直的判定与性质
[例]　(1)(2019·高考全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则(　　)
A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
[解析]　如图，取CD的中点F，DF的中点G，连接EF，FN，MG，GB.
∵△ECD是正三角形，
∴EF⊥CD.
∵平面ECD⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD.
∴EF⊥FN.
不妨设AB＝2，则FN＝1，EF＝，
∴EN＝＝2.
∵EM＝MD，DG＝GF，
∴MG∥EF且MG＝EF，
∴MG⊥平面ABCD，∴MG⊥BG.
∵MG＝EF＝，
BG＝＝
＝，
∴BM＝＝.
∴BM≠EN.
连接BD，BE，
∵点N是正方形ABCD的中心，
∴点N在BD上，且BN＝DN，
∴BM，EN是△DBE的中线，
∴BM，EN必相交．
故选B.
[答案]　B
(2)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为________．
[解析]　如图，过点P作PO⊥平面ABC于O，则PO为P到平面ABC的距离．再过O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，
连接PC，PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC.
又PE＝PF＝，所以OE＝OF，
所以CO为∠ACB的平分线，
即∠ACO＝45°.
在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝，所以CE＝1，
所以OE＝1，所以PO＝＝＝.
[答案]　
[破题技法]　应用线面垂直的判定与性质定理的思维
(1)证明两个平面垂直，关键是选准其中一个平面内的一条直线，证明该直线与另一个平面垂直．这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑．
(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
(3)求作空间点向平面引垂线(段)或者求几何体的高，就利用面面垂直的性质．
考点三　空间垂直关系的探索与转化
挖掘1　探索条件(开放性问题)/
自主练透
[例1]　(1)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
[解析]　如图所示，连接AC，BD，则AC⊥BD，∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥BD.
又PA∩AC＝A，
∴BD⊥平面PAC，
∴BD⊥PC，
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.
[答案]　DM⊥PC(或BM⊥PC等)
(2)如图所示，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD的中点．
①求证：BG⊥平面PAD；
②求证：AD⊥PB；
③若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．
[解析]　①证明：在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，
所以BG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以BG⊥平面PAD.
②证明：如图，连接PG，因为△PAD为正三角形，G为AD的中点，
所以PG⊥AD.
由①知BG⊥AD，又PG∩BG＝G，所以AD⊥平面PGB.
因为PB?平面PGB，所以AD⊥PB.
③当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.
证明：取PC的中点F，连接DE、EF、DF.
在△PBC中，FE∥PB，在菱形ABCD中，GB∥DE.
而FE?平面DEF，DE?平面DEF，EF∩DE＝E，PB?平面PGB，GB?平面PGB，PB∩GB＝B，所以平面DEF∥平面PGB.因为BG⊥平面PAD，PG?平面PAD，所以BG⊥PG.
又因为PG⊥AD，AD∩BG＝G，所以PG⊥平面ABCD.
又PG?平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD，
所以平面DEF⊥平面ABCD.
挖掘2　探索结论(创新问题)/
自主练透
[例2]　(1)如图所示，一张A4纸的长、宽分别为2a，2a，A，B，C，D分别是其四条边的中点．现将其沿图中虚线折起，使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体．下列关于该多面体的命题，正确的是________．(写出所有正确命题的序号)
①该多面体是三棱锥；
②平面BAD⊥平面BCD；
③平面BAC⊥平面ACD；
④该多面体外接球的表面积为5πa2.
[解析]　由题意得该多面体是一个三棱锥，故①正确；
∵AP⊥BP，AP⊥CP，BP∩CP＝P，∴AP⊥平面BCD，
又∵AP?平面ABD，∴平面BAD⊥平面BCD，故②正确；同理可证平面BAC⊥平面ACD，故③正确；通过构造长方体可得该多面体的外接球半径R＝a，所以该多面体外接球的表面积为5πa2，故④正确，综上，正确命题的序号为①②③④.
[答案]　①②③④
(2)在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N分别是AC1，A1B1的中点，点P在其表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P的轨迹的周长等于________．
[解析]　分别取BB1，CC1的中点E，F，连接AE，EF，FD，则BN⊥平面AEFD，过点M作平面α，使α∥平面AEFD，则平面α与正方体表面的交线即为点P的轨迹，该轨迹为矩形，其周长与矩形AEFD的周长相等，又矩形AEFD的周长为2＋，所以所求轨迹的周长为2＋.
[答案]　2＋
[破题技法]　探索垂直关系，常采用逆向思维
一般假设存在线线垂直，所利用的关系常有：
(1)等腰三角形的高、中线与底边垂直．
(2)矩形的相邻边垂直．
(3)直径所对的圆周角的两边垂直．
(4)菱形的对角线垂直．
(5)给出长度，满足勾股定理的两边垂直．
(6)由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路．
PAGE第四节　平行关系
[基础梳理]
1．直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行?线面平行)
因为l∥a，a?α，lα，所以l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行?线线平行”)
因为l∥α，l?β，α∩β＝b，所以l∥b
2.平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行?面面平行”)
因为a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α，所以α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
因为α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，所以a∥b
1．判定定理
序号
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理2
如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行
?α∥β
判定定理3
平行于同一个平面的两个平面平行
?α∥γ
2.性质定理
序号
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理2
如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面
α∥β且a?α?a∥β
性质定理3
如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线
α∥β且l⊥α?l⊥β
3.线线平行、线面平行、面面平行的相互转化
利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化，解决平行关系的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而应用性质定理时，其顺序正好相反．在实际应用中，判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活运用．
[四基自测]
1．(易错点：线面平行的性质)下列命题中正确的是(　　)
A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行
C．平行于同一条直线的两个平面平行
D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，bα，则b∥α
答案：D
2．(基础点：线面平行的判定)下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是(　　)
A．①③　　　　　
B．②③
C．①④
D．②④
答案：C
3．(基础点：空间平行关系的判定)在正方体ABCD?A1B1C1D1中，下列结论正确的是________(填序号)．
①AD1∥BC1；
②平面AB1D1∥平面BDC1；
③AD1∥DC1；
④AD1∥平面BDC1.
答案：①②④
4．(易错点：面面平行的性质)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、E、F分别为棱的中点，则△AMN与梯形DBEF的各边关系中，相互平行的有________．
答案：MN∥EF∥BD，AM∥DF，AN∥BE
授课提示：对应学生用书第132页
考点一　直线与平面平行的判定与性质
挖掘　线面平行的条件与结论/
自主练透
[例]　(1)(2020·河南洛阳联考)设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且l?α，m?β，下列结论正确的是(　　)
A．若α⊥β，则l⊥β　　　　　
B．若l⊥m，则α⊥β
C．若α∥β，则l∥β
D．若l∥m，则α∥β
[解析]　对于A，α⊥β，l?α，只有加上l垂直于α与β的交线，才有l⊥β，所以A错误；对于B，若l⊥m，l?α，m?β，则α与β可能平行，也可能相交但不垂直，所以B错误；对于C，若α∥β，l?α，由面面平行的性质可知，l∥β，所以C正确；对于D，若l∥m，l?α，m?β，则α与β可能平行，也可能相交，所以D错误．
[答案]　C
(2)
(2019·高考全国卷Ⅰ节选)如图，直四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
证明：MN∥平面C1DE.
[证明]　因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝B1C.
又因为N为A1D的中点，
所以ND＝A1D.
由题设知A1B1綊DC，
可得B1C綊A1D，故ME綊ND，
因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED.
又MN平面C1DE，
所以MN∥平面C1DE.
(3)如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，∠ABC＝60°.PA⊥平面ABCD，且PA＝3.F在棱PA上，
①若F为PA的中点，求证PC∥平面BDF；
②若AF＝1，E在棱PD上，且CE∥平面BDF，求PE∶ED的值．
[解析]　①证明：连接AC，AC∩BD＝O，
由ABCD为菱形知O为AC的中点，F为PA的中点，
∴OF∥PC.
OF?平面BDF，
PC平面BDF.
∴PC∥平面BDF.
②过E作EG∥FD交AP于G，连接CG，FO.
∵EG∥FD，EG平面BDF，FD?平面BDF，
∴EG∥平面BDF，
又EG∩CE＝E，CE∥平面BDF，EG，CE?平面CGE，
∴平面CGE∥平面BDF，
又CG?平面CGE，∴CG∥平面BDF，
又平面BDF∩平面PAC＝FO，CG?平面PAC，
∴FO∥CG.
又O为AC的中点，∴F为AG中点，∴FG＝GP＝1，
∴E为PD的中点，PE∶ED＝1∶1.
[破题技法]　线线、线面平行的证明方法
方法
关键
适用题型
利用线面平行的判定定理证线面平行
在该平面内找或作一直线，证明其与已知直线平行
平行线易作出
利用面面平行的性质证线面平行
过该线找或作一平面，证明其与已知平面平行
面面平行较明显
利用线面平行性质证线线平行
过线作平面，产生交线
已知线面平行
考点二　平面平行的判定与性质
挖掘　平面平行的判定与应用/
自主练透
[例]　(1)已知m，n，l1，l2表示不同直线，α、β表示不同平面，若m?α，n?α，l1?β，l2?β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分不必要条件是(　　)
A．m∥β且l1∥α　　　　　　
B．m∥β且n∥β
C．m∥β且n∥l2
D．m∥l1且n∥l2
[解析]　对于选项A，当m∥β，且l1∥α时，α，β可能平行也可能相交，故A中条件不是α∥β的充分条件；对于选项B，当m∥β且n∥β时，若m∥n，则α，β可能平行也可能相交，故B中条件不是α∥β的充分条件；对于选项C，当m∥β且n∥l2时，α，β可能平行也可能相交，故C中条件不是α∥β的充分条件；对于选项D，当m∥l1，n∥l2时，由线面平行的判定定理可得l1∥α，l2∥α，又l1∩l2＝M，由面面平行的判定定理可以得到α∥β，但α∥β时，m∥l1且n∥l2不一定成立，故D中条件是α∥β的一个充分条件．故选D.
[答案]　D
(2)(2020·安徽蚌埠二模改编)如图所示，菱形ABCD的边长为2，∠D＝60°，点H为DC的中点，现以线段AH为折痕将菱形折起，使点D到达点P的位置且平面PHA⊥平面ABCH，点E，F分别为AB，AP的中点．
求证：平面PBC∥平面EFH.
[证明]　菱形ABCD中，E，H分别为AB，CD的中点，
所以BE綊CH，所以四边形BCHE为平行四边形，则BC∥EH，
又EH平面PBC，
所以EH∥平面PBC.
又点E，F分别为AB，AP的中点，所以EF∥BP，又EF平面PBC，
所以EF∥平面PBC.而EF∩EH＝E，
所以平面EFH∥平面PBC.
(3)如图所示，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是菱形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，G和H分别是CE和CF的中点．
求证：平面BDGH∥平面AEF.
[证明]　在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GH∥EF，
又因为GH平面AEF，EF?平面AEF，
所以GH∥平面AEF，连接AC，
设AC∩BD＝O，连接OH(图略)，
在△ACF中，因为OA＝OC，CH＝HF，
所以OH∥AF，
又因为OH平面AEF，AF?平面AEF，
所以OH∥平面AEF.
又因为OH∩GH＝H，OH，GH?平面BDGH，
所以平面BDGH∥平面AEF.
[破题技法]　判定面面平行的4种方法
(1)面面平行的定义，即判断两个平面没有公共点．
(2)面面平行的判定定理．
(3)垂直于同一条直线的两平面平行．
(4)平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行．
考点三　平行关系的探索问题
挖掘1　探索条件(开放性问题)/
自主练透
[例1]　(1)(2020·福建泉州模拟)如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中点，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，当点Q________时，平面D1BQ∥平面PAO(　　)
A．与C重合　　　　　　　
B．与C1重合
C．为CC1的三等分点
D．为CC1的中点
[解析]　在正方体ABCD?A1B1C1D1中，
∵O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，
∴PO∥BD1，当点Q为CC1的中点时，
连接PQ，则PQ綊AB，∴四边形ABQP是平行四边形，∴AP∥BQ，∵AP∩PO＝P，BQ∩BD1＝B，
AP、PO?平面PAO，BQ、BD1?平面D1BQ，
∴平面D1BQ∥平面PAO.故选D.
[答案]　D
(2)如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，D，D1分别是AC，A1C1上的点，当，分别为何值时，平面BC1D∥平面AB1D1.
[解析]　如图所示，连接A1B与AB1交于点O，连接OD1.因为平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BDC1＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝OD1，所以BC1∥OD1.
同理AD1∥DC1.由BC1∥OD1，得＝＝1，即A1D1＝D1C1.
由AD1∥DC1，AD∥D1C1，
得四边形ADC1D1是平行四边形，
所以AD＝D1C1，所以A1D1＝DC.
所以＝＝1，即当＝＝1时，
平面BC1D∥平面AB1D1.
[破题技法]　对平行关系条件的探索常采用以下三种方法：
(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；
(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；
(3)把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件．
挖掘2　探究结论(创新性问题)/
互动探究
[例2]　(1)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD?A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：
①没有水的部分始终呈棱柱形；
②水面EFGH所在四边形的面积为定值；
③棱A1D1始终与水面所在平面平行；
④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值．
其中正确命题的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析]　由题图，显然①是正确的，②是错误的；
对于③，∵A1D1∥BC，BC∥FG，
∴A1D1∥FG且A1D1平面EFGH，FG?平面EFGH，
∴A1D1∥平面EFGH(水面)．
∴③是正确的；
对于④，∵水是定量的(定体积V)，
∴S△BEF·BC＝V，即BE·BF·BC＝V.
∴BE·BF＝(定值)，即④是正确的，故选C.
[答案]　C
(2)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为(　　)
A.
B．
C.
D.
[解析]　如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，平面AB1D1与棱A1A，A1B1，A1D1所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与A1A，A1B1，A1D1平行，故正方体ABCD?A1B1C1D1的每条棱所在直线与平面AB1D1所成的角都相等．
如图所示，取棱AB，BB1，B1C1，C1D1，DD1，AD的中点E，F，G，H，M，N，则正六边形EFGHMN所在平面与平面AB1D1平行且面积最大，此截面面积为
S正六边形EFGHMN＝6×××sin
60°＝.故选A.
[答案]　A
[破题技法]　对平行关系结论的探索常采用以下方法：
首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论，就肯定假设，如果得到了矛盾的结论，就否定假设．
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