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高一数学集合、不等式知识点复习资料
§第一章 集合与命题
1.1 集合及其子集
1.集合中元素的性质：确定性 互异性 无序性
2.数集的表示：自然数集N、正整数集N+、整数集Z、有理数集Q、实数集R （上标+表示为正，下标-表示为负）
3.注意
（1）??A空集是任何集合的子集；
（2）子集传递性：A?B，B?C，则A?C；
（3）空集是任何非空集合的真子集；
（4）连接元素与集合的符号有：∈和?；
（5）连接集合与集合的符号有：?、?（符号下半部分是≠）、=、≠.例如，??A，?∈{?}.
4.若A含有n个元素，则A的子集有 2n 个，A的非空子集有（2n－1）个，A的非空真子集有 （2n－2）个．
1.2集合的运算
1.交集与并集：注意：“且”、“或”的描述.
交集：A∩B={x|x∈A且x∈B}；并集：A∪B={x|x∈A或x∈B}.
2.补集：（1）相对于全集而言的，全集根据题意判断
（2）摩根定理：Cu（A∪B）=CuA∩CuB；Cu（A∩B）=CuA∪CuB.
3.借助文氏图解题：
4.注意：A∩B=?，存在 A=?或B=?的情况，不能忽视；
同样当A?B时，也要记得A=?的情形；进行列举法的集合计算时还需检验集合的互异性.
5.计算后需检验，区间的两个端点注意能否取等号。
6.看清题意，题目中问到取值范围则用不等式、集合（区间）表示都可以，当题目中提示写解集时，切记要写成集合（区间）的形式.
1.3命题与充要条件
1.“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；
“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”.
2. 若原命题是“若p则q”，则逆命题为“若q则p”；否命题为“若则” ；逆否命题为“若则”。
做题时可以画出集合间推出关系的箭头，清晰明了.
3.（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价；
（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；
（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定.
4.对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“”判断其真假，这也是反证法的理论依据。
5.充要条件的题目，第一步关键是分清条件和结论（题目上划好），看看从条件能否推出结论，从结论能否推出条件.
从集合角度解释，若，则A是B的充分条件；若，则A是B的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件。
§第二章 不等式
2.1 解不等式
总体思路：高次化低次、分式化整式、无理化有理（初中学的一次不等式及一次不等式组在不详细讲了）
1、简单的高次不等式
这里讲的简单高次不等式一般是能够因式分解的
（1）步骤：①、把未知数统一化到不等号一边且不等号另一边为0
②、对代数式进行因式分解
③、标根穿线
④、在数轴上找到对应范围得出解集
（2）注意：
①、因式分解的常用方法：
a、分组分解法；
b、添项拆项法（不建议使用）；
c、公式法 常用公式：平方和差、立方和差、完全平方；
d、因式定理：内容：对于一个整式f（x），若有x=x1使得f（x1）=0，则原整式f（x）必定有一个因式（x-x1）
第四种方法一般建议尝试范围是[-5,5]的整数
②、标根穿线
a、表根时注意能否取等
b、穿线注意奇穿偶不穿
2、分式不等式
（1）步骤：
①、移项通分，化为f（x）g（x）＞0的形式②、分别对f（x）、g（x）进行因式分解
③、标根穿线，得出解集
（2）注意
①、移项通分后分子分母中未知数次数最高的一项系数必须为正
②、因为f（x）g（x）＞0与f（x）g（x）＞0等价，因此因式分解完了可以直接标根穿线
③、若不等号是≤或≥，则表根时注意分母不为零
3、无理不等式
一般题目中出现的是二次根式
原不等式等价于不等式组：（1）被开方数大于等于0（2）把根号都去掉后的不等式
注意：若不等号两边一边是根式一边是整式，先讨论整式的正负
例1：解不等式：x2-1＞x+2
解：原不等式等价于不等式组：x2-1≥0x+2≥0x2-1＞x+2
（后面过程省略）
例2：解不等式：x2-1＞x+2
解：x2-1≥0
-1≤x≤1
（1）若x+2＜0即x＜-2时
不等式恒成立
（2）若x+2≥0
则x2-1＞（x+2）2
（后面过程略）
4、绝对值不等式
方法：（1）、零点分段
（2）、两边平方
例、|x+1|-|x-4|＞0
解法一：（1）若x＜-1
则（-x-1）-（4-x）＞0
（2）若-1≤x≤4
则（x+1）-（4-x）＞0
（3）若x＞4
则（x+1）-（x-4）＞0
（解不等式的过程略）
解法二：原不等式等价于|x+1|＞|x-4|
则（x+1）2＞（x-4）2
（后面过程略）
2.2含参数的不等式
1、含参数的一次不等式
解题方法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为的形式；
若,则；
若,则；
若,则当时，；当时，。
2、含参数的二次不等式
解题：注意数形结合，有利分析.
设,是方程的两实根，且，则其解集如下表：
或
或
R
R
R
作出大致函数图像：设一元二次方程（）的两实根为，，且。
342900040005（1）方程两根都大于（）
；
3543300133350（2）方程两根都小于（）
；
3514725137160
（3）方程一根小于,一根大于 ()
；
3514725221615
（4）方程一根小于,一根大于()
3552825206375
（5）方程两根在区间内（）
（6）方程两根分别在区间和内（）37338009525
（7）方程在区间有且仅有一根（不含等根）（（或））
354330060960160020060960
注意：含参数的二次不等式的二次项系数、是否有实根都需要讨论.根据解集求原不等式，可以利用韦达定理.
3、含参数的无理不等式
解题方法：左右分别平方，转换成二次不等式.核心思想是无理变有理.
例：关于x的不等式，x>ax+32的解集是（4，m），求a、m的值.
2.3不等式证明
1、方法：（1）、作差比较
（2）、作商比较
（3）、基本不等式
2、基本不等式：
（1）、重要不等式：(a-b)2≥0a2+b2≥2ab
（2）、基本不等式:
a2+b22≥a+b2≥ab≥21a+1b
(a,b∈R+)
(iff a=b时等号成立)
3、柯西不等式
(a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2
（iff ab=xy时等号成立）
§第三章 函数的基本性质
1、函数五要素：对应法则、自变量、应变量、定义域（D）、值域（A）
2、函数定义：在D上的自变量x，每一个x只对应一个应变量y
3、判断函数是否一致：对应法则、自变量、应变量完全相同
4、函数的性质;
（1）奇偶性：对于函数y=f（x），任取一个x∈D，若使f（x）= f（-x），则y=f（x）为偶函数；若-f（x）= f（-x），则y=f（x）为奇函数
（2）单调性（增减性）：注意写出单调区间
关于单调性的证明，老师没有细讲，这里罗列一下证明方法
例：求证：函数f（x）=-14x2+1在[0，+∞）上是减函数
证明：设任意x1,x2∈[0，+∞）且x1＜x2
则：f（x1）- f（x2）=(-14x12+1)-( -14x22+1)
=-14(x12-x22)
=-14(x1-x2)( x1+x2)
∵x1＜x2
∴x1-x2＜0
∵x1,x2∈[0，+∞）
∴x1+x2＞0
∴-14(x1-x2)( x1+x2)＞0
即f（x1）＞ f（x2）
∴f（x）在[0，+∞）上是减函数

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