资源简介

　指数与指数函数
[基础梳理]
1．根式
(1)根式的概念
①若xn＝a，则x叫作a的n次方根，其中n＞1且n∈N＋.式子叫作根式，这里n叫作根指数，a叫作被开方数．
②a的n次方根的表示：
xn＝a?x＝
(2)根式的性质
①()n＝a(n∈N＋)．
②＝
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念：
①正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)；
②负分数指数幂：a＝＝(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．
(2)有理数指数幂的运算性质：
①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．
3．指数函数的图像及性质
函数
y＝ax(a＞0，且a≠1)
图像
0＜a＜1
a＞1
图像特征
在x轴上方，过定点(0，1)
当x逐渐增大时，图像逐渐下降
当x逐渐增大时，图像逐渐上升
性质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
单调性
减
增
函数值变化规律
当x＝0时，y＝1
当x＜0时，y＞1；当x＞0时，0＜y＜1
当x＜0时，0＜y＜1；当x＞0时，y＞1
1．一个关注点
开方化简，要看n的奇偶性．
2．指数函数图像和性质的注意点
(1)指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图像和性质与a的取值有关，应分a＞1与0＜a＜1来研究．
(2)画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
3．指数函数的图像与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图像，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.
规律：在y轴右(左)侧图像越高(低)，其底数越大．
4．指数函数图像的对称规律
函数y＝ax的图像与y＝a－x的图像关于y轴对称，y＝ax的图像与y＝－ax的图像关于x轴对称，y＝ax的图像与y＝－a－x的图像关于坐标原点对称．
[四基自测]
1．(基础点：有理数指数幂运算)化简[(－2)6]－(－1)0的结果为(　　)
A．－9　　　　　　　　
B．7
C．－10
D．9
答案：B
2．(基础点：指数函数图像)函数f(x)＝1－ex的图像大致是(　　)
答案：A
3．(基础点：指数函数解析式)若函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图像经过点A，则f(－1)＝________．
答案：
4．(易错点：指数函数性质)函数y＝(ax＋1)ex过定点________．
答案：(0，1)
授课提示：对应学生用书第21页
考点一　实数指数幂的化简与求值
[例]　(1)化简(x＜0，y＜0)的结果为(　　)
A．2x2y　　　　　　　
B．2xy
C．4x2y
D．－2x2y
[解析]　＝(16x8y4)＝[24(－x)8·(－y)4]＝24··(－x)8··(－y)4·＝2(－x)2(－y)＝－2x2y.
[答案]　D
(2)＋2－2·－(0.01)0.5.
[解析]　原式＝1＋×－＝1＋×－＝1＋－＝.
[破题技法]　指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式来表示，运用指数幂的运算性质来解答．
将本例(1)中的“x＜0，y＜0”去掉后，如何化简该式．
解析：＝2|x2y|＝.
考点二　指数函数的图像及应用
挖掘1　由解析式辨识图像/
自主练透
[例1]　(1)(2020·河北武邑中学调研)函数y＝e－|x－1|的大致图像是(　　)
[解析]　当x＝1时，y＝1，排除C、D.
当x＞1时，y＝e－(x－1)为减函数，排除A.
故选B.
[答案]　B
(2)函数f(x)＝1－e|x|的图像大致是(　　)
[解析]　f(x)＝1－e|x|是偶函数，图像关于y轴对称，
又e|x|≥1，所以f(x)的值域为(－∞，0]，
因此排除B、C、D，只有A满足．
[答案]　A
(3)(2020·浙江镇海中学检测)不论a为何值，函数y＝(a－1)2x－恒过定点，则这个定点的坐标是(　　)
A．(1，－)　　　　　　
B．(1，)
C．(－1，－)
D．(－1，)
[解析]　y＝(a－1)2x－＝a(2x－)－2x，令2x－＝0，得x＝－1，故函数y＝(a－1)2x－恒过定点(－1，－)．
[答案]　C
[破题技法]　对于y＝ax(a＞0，a≠1)
当a∈(0，1)且a逐渐变大时，图像右端(第一象限逐渐变“高”)，图像逐渐接近y＝1，当a＝1时，图像就是直线y＝1.
当a∈(1，＋∞)时，a逐渐变大，在第一象限内图像逐渐接近于y轴．
总之，图像过定点(0，1)，在第一象限内，逆时针方向看，底数逐渐变大．
挖掘2　利用图像研究问题/
互动探究
[例2]　(1)函数f(x)＝ax－b的图像如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)
A．a＞1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．0[解析]　由f(x)＝ax－b的图像可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1.
函数f(x)＝ax－b的图像是在f(x)＝ax的图像的基础上向左平移得到的，所以b＜0，故选D.
[答案]　D
(2)(2020·衡水模拟)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
[解析]　曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图像如图所示，由图可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1]．
[答案]　[－1，1]
[破题技法]　与指数函数有关图像问题的求解方法
(1)已知函数解析式判断其图像，一般是取特殊点，判断选项中的图像是否过这些点，若不满足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
在例2(2)中，将曲线变为y＝|2x－1|，与直线y＝b有且只有一个公共点，则b的取值范围是________．
解析：y＝|2x－1|其图像如图所示，
要使y＝b与曲线只有一个公共点必须b≥1或b＝0，当b＝0或b≥1时，y＝b与曲线只有一个公共点．
答案：{0}∪[1，＋∞)
考点三　指数函数的性质及应用
挖掘1　指数型函数的定义域、值域/
互动探究
[例1]　(1)函数y＝的值域是(　　)
A．(－∞，4)　　　　　　
B．(0，＋∞)
C．(0，4]
D．[4，＋∞)
[解析]　设t＝x2＋2x－1，则y＝.因为t＝(x＋1)2－2≥－2，y＝为关于t的减函数，所以0＜y＝≤＝4，故所求函数的值域为(0，4]．
[答案]　C
(2)函数y＝－＋1在x∈[－3，2]上的值域是________．
[解析]　因为x∈[－3，2]，若令t＝，则t∈.
则y＝t2－t＋1＝＋.
当t＝时，ymin＝；当t＝8时，ymax＝57.
所以所求函数值域为.
[答案]　
1．将本例(1)变为y＝2，其值域如何？
答案：[，＋∞)
2．将本例(1)变为y＝a，其值域如何？
答案：当0＜a＜1，值域为；
当a＞1时，值域为
挖掘2　比较指数幂的大小/
互动探究
[例2]　(1)已知f(x)＝2x－2－x，a＝，b＝，c＝log2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为(　　)
A．f(b)B．f(c)C．f(c)D．f(b)[解析]　易知f(x)＝2x－2－x在R上为增函数，又a＝＝>＝b>0，c＝log2<0，则a>b>c，所以f(c)[答案]　B
(2)设函数f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a＞1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M＝(a－1)0.2与N＝的大小关系是(　　)
A．M＝N
B．M≤N
C．M＜N
D．M
＞N
[解析]　因为f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a＞1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a＞2，所以M＝(a－1)0.2＞1，N＝＜1，所以M＞N，故选D.
[答案]　D
挖掘3　有关指数型的不等式求解/
互动探究
[例3]　(1)函数f(x)＝，满足f(f(a))＝2f(a)a的取值范围是(　　)
A．a≥－
B．≤a＜1
C．0≤a＜1
D．a≥1
[解析]　∵f(x)＝，
若f(f(a))＝2f(a)，则f(a)≥1，
当a＜1时，3a－2≥1，∴3a≥3，∴a≥1矛盾，
当a≥1时，2a≥1，显然成立，故选D.
[答案]　D
(2)不等式2＜4的解集为________．
[解析]　不等式2＜4可转化为2＜22，利用指数函数y＝2x的性质可得，x2－x＜2，解得－1＜x＜2，故所求解集为{x|－1＜x＜2}．
[答案]　{x|－1＜x＜2}
[破题技法]　1.形如ax＞ab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．
2．形如ax＞b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax的单调性求解．
3．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
4．利用复合函数判断形如y＝af(x)的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关．
5．对于函数y＝af(x)和复合函数y＝f(ax)的定义域、值域常利用换元法，其关键点：
(1)函数y＝af(x)的定义域与f(x)的定义域相同．
f(ax)的定义域：使ax在f(x)的定义域内，解指数不等式．
(2)y＝af(x)的值域：先确定f(x)的值域，再根据指数函数的单调性确定y＝af(x)的值域．
(3)y＝f(ax)的值域：先确定ax的值域、再利用f(x)的性质确定y＝f(ax)的值域．
解不等式4x＋2x＋1－8≥0.
解析：原不等式为(2x)2＋2×2x－8≥0，
∴(2x－2)(2x＋4)≥0，∵2x＞0恒成立，
∴2x－2≥0，∴x≥1，解集为[1，＋∞)．
PAGE对数与对数函数
1．对数的概念
如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫作以a为底N的对数，记作x＝logaN．
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的性质
①loga1＝0；②logaa＝1．
(2)对数恒等式
alogaN＝N．(其中a＞0且a≠1)
(3)对数的换底公式
logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N＞0)．
(4)对数的运算法则
如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)．
3．对数函数的定义、图像与性质
定义
函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫作对数函数
图像
a＞1
0＜a＜1
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：(－∞，＋∞)
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0
当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0
在(0，＋∞)上为增函数
在(0，＋∞)上为减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称．
1．换底公式的三个重要结论
(1)logab＝；
(2)logambn＝logab；
(3)logab·logbc·logcd＝logad.
2．对数函数的图像与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数．
故0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
[四基自测]
1．(基础点：对数运算)lg
2＋lg
5＝(　　)
A．10　
B．1　　
C．lg
7　　
D．lg
2
lg
5
答案：B
2．(基础点：对数函数的图像)y＝ln|x|的图像为(　　)
答案：B
3．(基础点：对数函数性质)a＝log23.4，b＝log82，c＝log0.32.7由大到小的排列顺序为________．
答案：a＞b＞c
4．(易错点：对数函数单调区间与定义域)函数y＝2ln(x＋1)的递增区间为________．
答案：(－1，＋∞)
授课提示：对应学生用书第24页
考点一　对数式的化简与求值
挖掘1　直接利用对数性质计算/
自主练透
[例1]　(1)(2020·洛阳市尖子生联考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x＋1)＝f(1－x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(31)＝(　　)
A．0　　　　　　　　　　
B．1
C．－1
D．2
[解析]　由f(x＋1)＝f(1－x)及f(－x)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝f[1－(x＋1)]＝f(－x)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(31)＝f(4×8－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－log2(1＋1)＝－1，故选C.
[答案]　C
(2)(2018·高考全国卷Ⅲ)已知函数?(x)＝ln(－x)＋1，?(a)＝4，则?(－a)＝________．
[解析]　∵?(x)＋?(－x)＝ln(－x)＋1＋ln(＋x)＋1＝ln(1＋x2－x2)＋2＝2，
∴?(a)＋?(－a)＝2，∴?(－a)＝－2.
[答案]　－2
(3)lg
＋lg
＝________．
[答案]　1
挖掘2　利用指数与对数的转化求值/
互动探究
[例2]　(1)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　)
A．2x<3y<5z
B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x
D．3y<2x<5z
[解析]　设2x＝3y＝5z＝k>1，∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k.∵2x－3y＝2log2k－3log3k＝－＝＝＝>0，
∴2x>3y；∵3y－5z＝3log3k－5log5k＝－＝＝＝<0，
∴3y<5z；∵2x－5z＝2log2k－5log5k＝－＝＝＝<0，
∴5z>2x.∴5z>2x>3y，故选D.
[答案]　D
(2)(2019·高考北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝
lg
，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　)
A．1010.1
B．10.1
C．lg
10.1
D．10－10.1
[解析]　由题意知，m1＝－26.7，
m2＝－1.45，代入所给公式得
－1.45－(－26.7)＝lg
，
所以lg＝10.1，
所以＝1010.1.
故选A.
[答案]　A
[破题技法]　对数的运算方法，主要有两种方法：
一是对数式转化为指数式；
二是利用对数运算法则，进行变形：
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并，正确使用幂的运算法则．
(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算，正确使用对数的运算法则．
(3)注意指数式与对数式的相互转化关系．
　将例2(1)变为：设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________．
解析：a＝log2m，b＝log5m.
∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10.
∴logm10＝2，∴m2＝10，∴m＝.
答案：
考点二　对数函数的图像及应用
挖掘1　辨认对数型图像/
自主练透
[例1]　(1)(2018·高考全国卷Ⅲ)下列函数中，其图像与函数y＝ln
x的图像关于直线x＝1对称的是(　　)
A．y＝ln(1－x)　　　　　
B．y＝ln(2－x)
C．y＝ln(1＋x)
D．y＝ln(2＋x)
[解析]　函数y＝?(x)的图像与函数y＝?(a－x)的图像关于直线x＝对称，令a＝2可得与函数y＝ln
x的图像关于直线x＝1对称的是函数y＝ln(2－x)的图像．故选B.
[答案]　B
(2)(2019·高考浙江卷)在同一直角坐标系中，函数
y＝，y＝loga(a>0，且a≠1)的图像可能是(　　)
[解析]　当0于是函数y＝的图像过定点(0，1)，在R上单调递增，
函数y＝loga的图像过定点，在上单调递减．
因此，选项D中的两个图像符合．
当a>1时，函数y＝ax的图像过定点(0，1)，在R上单调递增，
于是函数y＝的图像过定点(0，1)，在R上单调递减，函数y＝loga的图像过定点，在上单调递增．
显然A、B、C三个选项都不符合．故选D.
[答案]　D
挖掘2　利用对数型图像求参数/
互动探究
[例2]　当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　　)
A.　　　　　　　　　B.
C．(1，)
D．(，2)
[解析]　由题意得，当0＜a＜1时，要使得4x＜logax，即当0＜x≤时，函数y＝4x的图像在函数y＝logax图像的下方．
又当x＝时，4＝2，即函数y＝4x的图像过点，把点代入函数y＝logax，得a＝，若函数y＝4x的图像在函数y＝logax图像的下方，则需＜a＜1(如图所示)．
当a＞1时，不符合题意，舍去．
所以实数a的取值范围是.
[答案]　B
[破题技法]　1.(1)y＝logx＝－logax，故与y＝logax的图像关于x轴对称．
(2)在第一象限，顺时针方向看对数的底逐渐变大．
2．应用对数型函数的图像可求解的问题
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．求参数时往往使其中一个函数图像“动起来”，找变化的边界位置，得参数范围．
与绝对值相联系的函数图像．
①y＝|logax|(a>1)的图像如图(1)．
②y＝loga|x|(a>1)的图像如图(2)．
③y＝|loga|x||(a>1)的图像如图(3)．
将例2变为：若不等式x2－logax＜0对x∈恒成立，求实数a的取值范围．
解析：显然0＜a＜1，当y＝logax过点时，
即loga＝，∴a＝，如图，显然满足x2－logax＜0，令y＝logax绕(1，0)顺时针转动时，满足x2－logax＜0，∴≤a＜1.
考点三　对数函数的性质及其应用
挖掘1　与对数大小有关的问题/
互动探究
[例1]　(1)a＞b的充分不必要条件是(　　)
A．ln(a－b)＞0　　　　　　
B．3a＜3b
C．a3－b3＞0
D．|a|＞|b|
[解析]　A．∵ln(a－b)＞0，∴a－b＞1＞0，∴a＞b.
但a＞b时a－b＞1，故a＞bln(a－b)＞0.
C．a3－b3＞0?a3＞b3?a＞b.
B、D是既不充分也不必要．故选A.
[答案]　A
(2)已知π为圆周率，e为自然对数的底数，则(　　)
A．πe＜3e
B．3e－2π＜3πe－2
C．logπe＞log3e
D．πlog3e＞3logπe
[解析]　对于选项A，函数y＝xe在(0，＋∞)上单调递增，所以πe＞3e，故选项A错误．对于选项B，3e－2π＜3πe－2，两边同时除以3π可得3e－3＜πe－3，由函数y＝xe－3在(0，＋∞)上单调递减可得选项B错误．对于选项C，由logπe＞log3e可得＞，所以ln
π＜ln
3，而函数y＝ln
x在(0，＋∞)上单调递增，故选项C错误．对于选项D，由πlog3
e＞3log
π
e可得＞，所以πln
π＞3ln
3，所以ππ＞33，故选项D正确．故选D.
[答案]　D
[破题技法]　1.(1)形如函数y＝logaf(x)求定义域，要在a＞0，a≠1的前提下，使f(x)＞0.
(2)判断y＝logaf(x)型的奇偶性要结合对数的运算：logaf(x)＋logaf(－x)及logaf(x)－logaf(－x)，其单调性利用复合函数y＝logan，n＝f(x)的单调性的法则．
2．比较对数式大小的类型及相应的方法
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．
(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．
(3)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．
挖掘2　与对数有关的不等式/
互动探究
[例2]　(1)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a＞0，a≠1)，若f(x)＞1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为________．
[解析]　当a＞1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，由f(x)＞1恒成立，则f(x)min＝loga(8－2a)＞1，解得1＜a＜.若0＜a＜1时，f(x)在x∈[1，2]上是增函数，由f(x)＞1恒成立，则f(x)min＝loga(8－a)＞1，
∴0＜8－a＜a，∴4＜a＜8无解．
综上a的范围为(1，)．
[答案]　
(2)解不等式2loga(x－4)＞loga(x－2)．
[解析]　当a＞1时，原不等式等价于解得，x＞6；
当0＜a＜1时，原不等式等价于
解得，4＜x＜6.
所以当a＞1时，不等式的解集为(6，＋∞)；
当0＜a＜1时，不等式的解集为(4，6)．
[破题技法]　1.求形如y＝logaf(x)的单调区间，首先求定义域：f(x)＞0，同时结合复合函数“同增异减”的法则．
2．解对数不等式的类型及方法
(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．
(2)形如logax＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．
设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1，0)∪(0，1)　　
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1，0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0，1)
解析：由题意可得
或解得a＞1或－1＜a＜0.
答案：C
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