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第五章图形与变换第33节图形的平移与旋转
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)■考点1.图形的平移
（1）定义：在平面内，将一个图形沿某个方向
移动一定的距离，这样的图形运动称为
平移
．确定平移的两大要素是
方向和距离
．21cnjy.com
（2）性质：①经过平移，对应点所连的线段
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
平行（或在同一直线上）
且
相等
，对应线段
平行（或在同一直线上）
且
相等
，对应角
相等
．
②平移改变图形的
位置
，不改变图形的
形状
和
大小
．
■考点2．图形的旋转
（1）定义：在平面内，将一个图形绕着
某点
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)按顺时针或逆时针方向转动一定的角度
，这样的图形运动称为旋转，这个点定叫做
旋转中心
，转动的角度叫做
旋转角
．确定旋转的三大要素是
旋转中心、旋转方向、旋转角
．
（2）性质：①图形中每一个点都绕着旋转中心
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)旋转了
相同
的角度．任意一对对应点与
旋转中心
的连线所称的角都是旋转角，对应点到
旋转中心
的距离相等．
②旋转改变图形的
位置
，不改变图形的
形状
和
大小
．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)■考点1.图形的平移
◇典例：
（2019年四川省乐山市）下列四个图形中，可以由图通过平移得到的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】利用平移设计图案
【分析】根据平移的性质解答即可．
解：∵只有D的图形的形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到，
故选：D．
【点评】本题考查的是平移的性质，熟知图形平移后所得图形与原图形全等是解答此题的关键．
（2020年江苏省南通市）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（　　）
A．
B．2
C．2
D．3
【考点】全等三角形的判定与性质，平移的性质，勾股定理
【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．
解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH＝，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴AC＝，
∵点D为BC中点，
∴BD＝CD，
在△BFD与△CKD中，
，
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF＝CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，
可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，
当直线l⊥AC时，最大值为，
综上所述，AE+BF的最大值为．
故选：A．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键．
◆变式训练
（2020年四川省成都市）在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度得到的点的坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】坐标与图形变化-平移
【分析】根据点的坐标平移规律“左减右加，下减上加”，即可解答．
解：将点P向下平移2个单位长度所得到的点坐标为，即，
故选：A．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握点的坐标的变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
（2020年湖南省衡阳市）如图1，在平面直角坐标系中，在第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移．在平移过程中，直线被截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示．那么的面积为（
）
A．3
B．
C．6
D．
【考点】动点问题的函数图象,平移的性质
【分析】根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A；当移动距离是6时，直线经过B，在移动距离是7时经过D，则AD=7-4=3，当直线经过D点，设交BC与N.则DN=2，作DM⊥AB于点M.利用三角函数即可求得DM即平行四边形的高，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．
解：根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A
当移动距离是6时，直线经过B
当移动距离是7时经过D，则AD=7-4=3
如图：设交BC与N，则DN=2，作DM⊥AB于点M，
∵移动直线为y=x
∴∠NDM=45°
∴DM=cos∠NDM·ND=
∴的面积为AD×DM=3×=3．
故答案为B．
【点评】本题考查了平移变换、解直角三角形等知识，其中根据平移变换确定AD的长是解答本题的关键．
■考点2．图形的旋转
◇典例
（2020年山东省青岛市）如图，将先向上平移1个单位，再绕点按逆时针方向旋转，得到，则点的对应点的坐标是（
）
A．（0，4）
B．（2，-2）
C．（3，-2）
D．（-1，4）
【考点】坐标与图形变化-平移，坐标与图形变化-旋转
【分析】根据平移的规律找到A点平移后对应点，然后根据旋转的规律找到旋转后对应点，即可得出的坐标．
解：如图所示：A的坐标为（4，2），向上平移1个单位后为（4，3），再绕点P逆时针旋转90°后对应点的坐标为（-1，4）．
故选：D．
【点评】本题考查了根据平移变换和旋转变换作图，熟练掌握平移的规律和旋转的规律是解题的关键．
（2020年海南省）如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形
【分析】由旋转的性质可知，，进而得出为等边三角形，进而求出．
解：∵
由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可知，
∴cm，
又∠CAB=90°-∠ABC=90°-30°=60°，
由旋转的性质可知：，且，
∴为等边三角形，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，旋转的性质等，熟练掌握其性质是解决此类题的关键．
◆变式训练
（2020年山东省枣庄市）在下图的四个三角形中，不能由经过旋转或平移得到的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】利用平移设计图案；利用旋转设计图案
【分析】根据平移和旋转的性质解答.
解：A、可由△ABC逆时针旋转一个角度得到；
B、可由△ABC翻折得到；
C、可由△ABC逆时针旋转一个角度得到；
D、可由△ABC逆时针旋转一个角度得到．
故选B．
【点评】本题考查利用旋转，平移设计图案，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型
（2020年河北省）如图，将绕边的中点顺时针旋转180°．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：
点，分别转到了点，处，而点转到了点处．
∵，
∴四边形是平行四边形．
小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形……”之间作补充．下列正确的是（
）
A．嘉淇推理严谨，不必补充
B．应补充：且，
C．应补充：且
D．应补充：且，
【考点】平行四边形的判定，旋转的性质
【分析】根据平行四边形的判定方法“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”即可作答．
解：根据旋转的性质得：
CB=AD，AB=CD，
∴四边形ABDC是平行四边形；
故应补充“AB=CD”，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定和旋转的性质，牢记旋转前、后的图形全等，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
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（2020年上海市）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是(　　　)
A．平行四边形
B．等腰梯形
C．正六边形
D．圆
【考点】平移的性质
【分析】证明平行四边形是平移重合图形即可．
解：如图，平行四边形ABCD中，取BC，AD的中点E，F，连接EF．
则有：AF=FD，BE=EC，AB=EF=CD，
∴四边形ABEF向右平移可以与四边形EFCD重合，
∴平行四边形ABCD是平移重合图形．
故选：A．
【点评】本题考查平移的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（2020年山东省济南市）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，如果将△ABC先沿y轴翻折，再向上平移3个单位长度，得到'，那么点B的对应点B'的坐标为（　　）
A．（1，7）
B．（0，5）
C．（3，4）
D．（﹣3，2）
【考点】坐标与图形的变化--对称，坐标与图形的变化--平移
【分析】根据轴对称的性质和平移规律求得即可．
解：由坐标系可得B(﹣3，1)，将△ABC先沿y轴翻折得到B点对应点为(3，1)，再向上平移3个单位长度，点B的对应点B'的坐标为(3，1+3)，即(3，4)，
故选：C．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化--对称和平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．
（2020年四川省自贡市）在平面直角坐标系中，将点向下平移3个单位长度，所得点的坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】坐标与图形变化-平移
【分析】根据点的平移规律为上加下减，左减右加即可求解．
解：点的平移规律为上加下减，左减右加，可得横坐标不变，纵坐标减3，1-3=-2，
故答案为D．
【点睛】本题考查点的坐标平移规律，根据“上加下减，左减右加”即可求解．
（2020年内蒙古赤峰市）下列图形绕某一点旋转一定角度都能与原图形重合，其中旋转角度最小的是
（
）
A．等边三角形
B．平行四边形
C．正八边形
D．圆及其一条弦
【考点】旋转的定义
【分析】根据旋转的定义和各图形的性质找出各图形的旋转角，由此即可得．
解：如图1，等边三角形的旋转角为，是一个钝角
如图2，平行四边形的旋转角为，是一个平角
如图3，正八边形的旋转角为，是一个锐角
如图4，圆及一条弦的旋转角为
由此可知，旋转角度最小的是正八边形
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的定义，正确找出各图的旋转角是解题关键．
（2020年辽宁省大连市）如图，中，．将绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边上，则的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】旋转的性质，三角形的内角和定理
【分析】由余角的性质，求出∠CAB=50°，由旋转的性质，得到，，然后求出，即可得到答案．
解：在中，，
∴∠CAB=50°，
由旋转的性质，则
，，
∴，
∴；
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，以及余角的性质，解题的关键是掌握所学的性质，正确求出
（2020年江苏省镇江市）点O是正五边形ABCDE的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图）．这个图案绕点O至少旋转_____°后能与原来的图案互相重合．
【考点】旋转的性质
【分析】直接利用旋转图形的性质进而得出旋转角．
解：连接OA，OE，则这个图形至少旋转∠AOE才能与原图象重合，
∠AOE＝＝72°．
故答案为：72．
【点评】本题主要考查了旋转图形．正确掌握旋转图形的性质是解题的关键．
（2020年山东省淄博市）如图，将△ABC沿BC方向平移至△DEF处．若EC＝2BE＝2，则CF的长为_____．
【考点】平移的性质
【分析】利用平移的性质得到BE＝CF，再用EC＝2BE＝2得到BE的长，从而得到CF的长．
解：∵△ABC沿BC方向平移至△DEF处．
∴BE＝CF，
∵EC＝2BE＝2，∴BE＝1，∴CF＝1．
故答案为1．
【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．
（2020年甘肃省平凉、白银、庆阳、武威、酒泉、陇南、张掖、临夏、金昌、定西市）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，把沿轴向右平移得到，如果点的坐标为，则点的坐标为__________．
【考点】坐标与图形变化-平移
【分析】根据B点横坐标与A点横坐标之差和E点横坐标与D点横坐标之差相等即可求解．
解：由题意知：A、B两点之间的横坐标差为：，
由平移性质可知：E、D两点横坐标之差与B、A两点横坐标之差相等，
设E点横坐标为a，
则a-6=1，∴a=7，
∴E点坐标为(7,0)
．
故答案为：(7,0)
．
【点评】本题考查了图形的平移规律，平移前后对应点的线段长度不发生变化，熟练掌握平移的性质是解决此题的关键.
（2020年宁夏）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把绕点B逆时针旋转90°后得到，则点的坐标是_____．
【考点】旋转的性质，一次函数与坐标轴的交点问题
【分析】首先根据直线AB来求出点A和点B的坐标，A1的横坐标等于OB，而纵坐标等于OB-OA，即可得出答案．
解：在中，令x=0得，y=4，
令y=0，得，解得x=，
∴A（，0），B（0，4），
由旋转可得△AOB
≌△A1O1B，∠ABA1=90°，
∴∠ABO=∠A1BO1，∠BO1A1=∠AOB=90°，OA=O1A1=，OB=O1B=4，
∴∠OBO1=90°，
∴O1B∥x轴，
∴点A1的纵坐标为OB-OA的长，即为4=；
横坐标为O1B=OB=4，
故点A1的坐标是（4，），
故答案为：（4，）．
【点评】本题主要考查了旋转的性质以及一次函数与坐标轴的交点问题，利用基本性质结合图形进行推理是解题的关键．
（2020年黑龙江省鹤岗、龙东地区）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上
（1）将向左平移个单位得到，并写出点的坐标；
（2）画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
（3）在（2）的条件下，求在旋转过程中扫过的面积（结果保留）．
【考点】作图-平移变换，作图-旋转变换，扇形面积的计算
【分析】（1）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点的坐标；
（2）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点的坐标；
（3）根据题意可以求得BC的长，从而可以求得在旋转过程中扫过的面积．
解：（1）如图所示，；
（2）如图所示，
（3）
【点评】此题考查作图-平移变换，作图-旋转变换，扇形面积的计算，解题关键在于掌握作图法则．
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1、
选择题
（2020年内蒙古赤峰市）如图，Rt△ABC中，∠ACB
=
90°，AB
=
5，AC=
3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C'
，则四边形ABC'A'的面积是
（
）
A．15
B．18
C．20
D．22
【考点】勾股定理，平移的概念
【分析】在直角三角形ACB中，可用勾股定理求出BC边的长度，四边形ABC’A’的面积为平行四边形ABB’A’和直角三角形A’C’B’面积之和，分别求出平行四边形ABB’A’和直角三角形A’C’B’的面积，即可得出答案．
解：在ACB中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，
由勾股定理可得：，
∵A’C’B’是由ACB平移得来，A’C’=AC=3，B’C’=BC=4，
∴，
又∵BB’=3，A’C’=
3，
∴，
∴，
故选：A．
【点评】本题主要考察了勾股定理、平移的概念、平行四边形与直角三角形面积的计算，解题的关键在于判断出所求面积为平行四边形与直角三角形的面积之和，且掌握平行四边形的面积为底高．
（2020年江西省）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于点，连接，将向右上方平移，得到，且点，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，则直线的表达式为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】待定系数法求一次函数解析式，抛物线与x轴的交点，坐标与图形变化-平移
【分析】先求出A、B两点的坐标和对称轴，先确定三角形向右平移了1个单位长度，求得B′的坐标，再确定三角形向上平移5个单位，求得点A′的坐标，用待定系数法即可求解．
解：当y=0时，，解得x1=-1，x2=3，
当x=0时，y=-3，
∴A（0，-3），B（3，0），
对称轴为直线，
经过平移，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，
∴三角形向右平移1个单位，即B′的横坐标为3+1=4，
当x=4时，y=42-2×4-3=5，
∴B′（4，5），三角形向上平移5个单位，
此时A′（0+1，-3+5），∴A′（1，2），
设直线的表达式为y=kx+b，
代入A′（1，2），B′（4，5），
可得
解得：，
故直线的表达式为，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象和与坐标轴的交点坐标、图形的平移和待定系数法求一次函数表达式等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图形和性质．
（2020年山东省菏泽市）在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位得到点，则点关于轴的对称点的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】平移时点的坐标特征，关于轴的对称点的坐标特征
【分析】先根据点向右平移个单位点的坐标特征：横坐标加3，纵坐标不变，得到点的坐标，再根据关于轴的对称点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标变为相反数，得到对称点的坐标即可．
解：∵将点向右平移个单位，
∴点的坐标为：(0，2)，
∴点关于轴的对称点的坐标为：(0，-2)．
故选：A．
【点睛】本题考查平移时点的坐标特征及关于轴的对称点的坐标特征，熟练掌握对应的坐标特征是解题的关键．
（2020年浙江省台州市）如图，把△ABC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到△DEF，则顶点C（0，-1）对应点的坐标为（
）
A．（0，0）
B．（1，2）
C．（1，3）
D．（3，1）
【考点】坐标与图形变化-平移
【分析】先找到顶点C的对应点为F，再根据直角坐标系的特点即可得到坐标．
解：∵顶点C的对应点为F，
由图可得F的坐标为（3，1），
故选D．
【点评】此题主要考查坐标与图形，解题的关键是熟知直角坐标系的特点．
（2020年江苏省苏州市）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】三角形内角和定理，旋转的性质，等腰三角形的性质
【分析】根据旋转的性质得出边和角相等，找到角之间的关系，再根据三角形内角和定理进行求解，即可求出答案．
解：设=x°.
根据旋转的性质，得∠C=∠=
x°，=AC,
=AB.
∴∠=∠B.
∵，∴∠C=∠CA=x°.
∴∠=∠C+∠CA=2x°.
∴∠B=2x°.
∵∠C+∠B+∠CAB=180°，，
∴x+2x+108=180.
解得x=24.
∴的度数为24°.
故选：C.
【点评】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质的应用及等腰三角形的性质.
（2020年黑龙江省牡丹江市）如图，在平面直角坐标系中，O是菱形对角线的中点，轴且，，将菱形绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（
）
A．
B．
C．
D．或
【考点】菱形的性质，旋转的性质
【分析】分点C旋转到y轴正半轴和y轴负半轴两种情况分别讨论，结合菱形的性质求解.
解：根据菱形的对称性可得：当点D在x轴上时，
A、B、C均在坐标轴上，如图，
∵∠BAD=60°，AD=4，
∴∠OAD=30°，
∴OD=2，
∴AO==OC，
∴点C的坐标为（0，），
同理：当点C旋转到y轴正半轴时，
点C的坐标为（0，），
∴点C的坐标为（0，）或（0，），
故选D.
【点评】本题考查了菱形的对称性，旋转的性质，直角三角形的性质，解题的关键是要分情况讨论.
（2020年山东省聊城市）如图，在中，，，将绕点旋转得到，使点的对应点落在上，在上取点，使，那么点到的距离等于（
）．
A．
B．
C．
D．
【考点】矩形的判定和性质，旋转的性质，含30°角的直角三角形
【分析】根据旋转的性质和30°角的直角三角形的性质可得的长，进而可得的长，过点D作DM⊥BC于点M，过点作于点E，于点F，如图，则四边形是矩形，解Rt△可得的长，即为FM的长，根据三角形的内角和易得，然后解Rt△可求出DF的长，进一步即可求出结果．
解：在中，∵，，
∴AC=2AB=4，
∵将绕点旋转得到，使点的对应点落在上，
∴，
∴，
过点D作DM⊥BC于点M，过点作于点E，于点F，交AC于点N，如图，则四边形是矩形，
∴，
在Rt△中，，∴FM=1，
∵，
∴，
在Rt△中，，
∴，
即点到的距离等于．
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形、矩形的判定和性质以及旋转的性质等知识，正确作出辅助线、熟练掌握解直角三角形的知识是解题的关键．
（2020年四川省德阳市）如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝90°．将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到．此时恰好点C在上，交AC于点E，则△ABE与△ABC的面积之比为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质
【分析】由旋转的性质得出BC=BC'，∠ACB=∠A'C'B=60°，则△BCC'是等边三角形，∠CBC'=60°，得出∠BEA=90°，设CE=a，则BE=a，AE=3a，求出，可求出答案．
解：∵∠A=30°，∠ABC=90°，
∴∠ACB=60°，
∵将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△A'BC'，
∴BC=BC'，∠ACB=∠A'C'B=60°，
∴△BCC'是等边三角形，
∴∠CBC'=60°，
∴∠ABA'=60°，
∴∠BEA=90°，
设CE=a，则BE=a，AE=3a，
∴，
∴，
∴△ABE与△ABC的面积之比为．
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
（2020年浙江省绍兴市）如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠PAH的度数（　　）
A．随着θ的增大而增大
B．随着θ的增大而减小
C．不变
D．随着θ的增大，先增大后减小
【考点】旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质
【分析】由旋转的性质可得BC＝BP＝BA，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，由外角的性质可求∠PAH＝135°﹣90°＝45°，即可求解．
解：∵将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，
∴BC＝BP＝BA，
∴∠BCP＝∠BPC，∠BPA＝∠BAP，
∵∠CBP+∠BCP+∠BPC＝180°，∠ABP+∠BAP+∠BPA＝180°，∠ABP+∠CBP＝90°，
∴∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，
∵∠CPA＝∠AHC+∠PAH＝135°，
∴∠PAH＝135°﹣90°＝45°，
∴∠PAH的度数是定值，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
（2020年湖南省岳阳市）下列命题是真命题的是（
）
A．一个角的补角一定大于这个角
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．等边三角形是中心对称图形
D．旋转改变图形的形状和大小
【考点】命题与定理，补角的定义，平行公理，中心对称图形，旋转的性质
【分析】由补角的定义、平行线公理，中心对称图形的定义、旋转的性质分别进行判断，即可得到答案．
解：A、一个角的补角不一定大于这个角，故A错误；
B、平行于同一条直线的两条直线平行，故B正确；
C、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
D、旋转不改变图形的形状和大小，故D错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了补角的定义、平行线公理，中心对称图形的定义、旋转的性质，以及判断命题的真假，解题的关键是熟练掌握所学的知识，分别进行判断．
（2020年江苏省南通市）以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，得到的点Q所在的象限为（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【考点】坐标与图形变化-旋转
【分析】根据旋转的性质，以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，即可得到点Q所在的象限．
解：如图，∵点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，
得点Q所在的象限为第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查了坐标与图形变化-旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
（2020年山东省枣庄市）如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，，将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】坐标与图形变化﹣旋转，解直角三角形
【分析】如图，作轴于．解直角三角形求出，即可．
解：如图，作轴于．
由题意：，，
，
，，
，
，
故选B．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
1、
填空题
（2020年江苏省镇江市）如图，在△ABC中，BC＝3，将△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1，点P、Q分别是AB、A1C1的中点，PQ的最小值等于_____．
【考点】平移的性质，三角形三边的关系
【分析】取的中点，的中点，连接，，，，根据平移的性质和三角形的三边关系即可得到结论．
解：取的中点，的中点，连接，，，，
将平移5个单位长度得到△，
，，
点、分别是、的中点，
，
，
即，
的最小值等于，
故答案为：．
【点评】本题考查了平移的性质，三角形的三边关系，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
（2020年广东省广州市）如图，点的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为9，则点的坐标为_______．
【考点】平移的性质，平行四边形的判定与性质
【分析】过点A作AH⊥x轴于点H，得到AH=3，根据平移的性质证明四边形ABDC是平行四边形，得到AC=BD，根据平行四边形的面积是9得到，求出BD即可得到答案.
解：过点A作AH⊥x轴于点H，
∵A（1,3），
∴AH=3，
由平移得AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AC=BD，
∵，
∴BD=3，
∴AC=3，
∴C(4，3)
故答案为：(4，3).
【点评】此题考查平移的性质，平行四边形的判定及性质，直角坐标系中点到坐标轴的距离与点坐标的关系.
（2020年湖南省湘西州）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，．矩形的顶点D，E，C分别在上，．将矩形沿x轴向右平移，当矩形与重叠部分的面积为时，则矩形向右平移的距离为___________．
【考点】矩形的性质,坐标与图形变化-平移
【分析】先求出点B的坐标（0，
），得到直线AB的解析式为：
，根据点D的坐标求出OC的长度，利用矩形与重叠部分的面积为列出关系式求出，再利用一次函数关系式求出=4，即可得到平移的距离.
解：∵，
∴OA=6，
在Rt△AOB中，，
∴，
∴B（0，
），
∴直线AB的解析式为：
，
当x=2时，y=，
∴E（2，），即DE=，
∵四边形CODE是矩形，
∴OC=DE=，
设矩形沿x轴向右平移后得到矩形，
交AB于点G，
∴∥OB，
∴△∽△AOB，
∴∠=∠AOB=30°，
∴∠=∠=30°，
∴,
∵平移后的矩形与重叠部分的面积为，
∴五边形的面积为,
∴,
∴,
∴,
∴矩形向右平移的距离=，
故答案为：2.
【点睛】此题考查了锐角三角函数，求一次函数的解析式，矩形的性质，图形平移的性质，是一道综合多个知识点的综合题型，且较为基础的题型.
（2020年甘肃省天水市）如图，在边长为6的正方形内作，交于点，交于点，连接，将绕点顺时针旋转得到，若，则的长为__________．
【考点】旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【分析】根据旋转的性质可得AG=AF，GB=DF，∠BAG=∠DAF，然后根据正方形的性质和等量代换可得∠GAE=∠FAE，进而可根据SAS证明△GAE≌△FAE，可得GE=EF，设BE=x，则CE与EF可用含x的代数式表示，然后在Rt△CEF中，由勾股定理可得关于x的方程，解方程即得答案．
解：∵将△绕点顺时针旋转得到△，
∴AG=AF，GB=DF，∠BAG=∠DAF，
∵，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠BAE+∠BAG=45°，即∠GAE=45°，
∴∠GAE=∠FAE，
又AE=AE，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴GE=EF，
设BE=x，则CE=6－x，EF=GE=DF+BE=3+x，
∵DF=3，∴CF=3，
在Rt△CEF中，由勾股定理，得：，
解得：x=2，即BE=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识、灵活应用方程思想是解题的关键．
（2020年广西玉林市）如图，在边长为3的正六边形ABCDEF中，将四边形ADEF绕点A顺时针旋转到四边形处，此时边与对角线AC重叠，则图中阴影部分的面积是___________．
【考点】正六边形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，旋转的性质
【分析】如图（见解析），先根据正六边形的性质、等边三角形的判定与性质得出正六边形的面积和的面积，再根据旋转的性质、线段的和差得出的长，从而可得的面积，然后根据即可得．
解：六边形ABCDEF是边长为3的正六边形
其每个内角的度数为，，
，
如图，连接BE，交AD于点O，交AC于点P，则点O为正六边形的中心
是等边三角形，
是等腰三角形，且
由旋转的性质可知，，
则
故答案为：9．
【点评】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的三线合一、旋转的性质等知识点，熟练掌握正六边形的性质与旋转的性质是解题关键．
（2020年山东省烟台市）如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为_____．
【考点】坐标与图形变化﹣旋转
【分析】画出平面直角坐标系，作出新的AC，BD的垂直平分线的交点P，点P即为旋转中心．
解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，P（4，2），
故答案为：（4，2）．
【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
（2020年山东省泰安市）如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C的坐标分别为，，．是关于轴的对称图形，将绕点逆时针旋转180°，点的对应点为M，则点M的坐标为________．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标，中心对称，坐标与图形变化-旋转
【分析】根据题意，画出旋转后图形，即可求解
解：如图，将绕点逆时针旋转180°，所以点的对应点为M的坐标为．
故答案为：
【点评】本题考查平面直角坐标系内图形的对称，旋转，解题关键是理解对称旋转的含义，并结合网格解题．
（2020年湖南省衡阳市）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标，将线段绕点按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；又将线段绕点按顺时针方向旋转45°，长度伸长为的2倍，得到线段；如此下去，得到线段、，……，（为正整数），则点的坐标是_________．
【考点】规律型：点的坐标,坐标与图形变化-旋转
【分析】根据题意得出OP1=1，OP2=2，OP3=4，如此下去，得到线段OP3=4=22，OP4=8=23…，OPn=2n-1，再利用旋转角度得出点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，进而得出答案．
解：∵点P1的坐标为，将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP1；
∴OP1=1，OP2=2，
∴OP3=4，如此下去，得到线段OP4=23，OP5=24…，
∴OPn=2n-1，
由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，
∵2020÷8=252…4，
∴点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，正好在y轴负半轴上，
∴点P2020的坐标是（0，-22019）．
故答案为：（0，-22019）．
【点评】此题主要考查了点的变化规律，根据题意得出点P2014的坐标与点P6的坐标在同一直线上是解题关键．
1、
解答题
（2020年广西桂林市）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．
（1）把向左平移4个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1；
（2）把绕原点O旋转180°后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2；
（3）观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（　
　，　
　）中心对称．
【考点】作图-平移变换,作图-旋转变换
【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可得到平移后的△A1B1C1；
（2）依据△ABC绕原点O旋转180°，即可画出旋转后的△A2B2C2；
（3）依据对称点连线的中点的位置，即可得到对称中心的坐标．
解：（1）如图所示，分别确定平移后的对应点，
得到A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，分别确定旋转后的对应点，
得到A2B2C2即为所求；
（3）由图可得，A1B1C1与A2B2C2关于点成中心对称．
故答案为：﹣2，0．
【点评】本题考查的是平移，旋转的作图，以及判断中心对称的对称中心的坐标，掌握以上知识是解题的关键．
（2020年湖北省孝感市）如图，在平面直角坐标系中，已知点，和，请按下列要求画图并填空．
（1）平移线段，使点平移到点，画出平移后所得的线段，并写出点的坐标为______；
（2）将线段绕点逆时针旋转，画出旋转后所得的线段，并直接写出的值为______；
（3）在轴上找出点，使的周长最小，并直接写出点的坐标为______．
【考点】作图-平移变换，轴对称-最短路线问题，作图-旋转变换，解直角三角形
【分析】（1）平移线段AB，使A点平移到C点，可以知道A点是向右平移5个单位，向下平移5个单位，故可以确定D点坐标．
（2）根据B、C、E三点坐标，连接BE，可以判断出△BCE为直角三角形，故可求解的值．
（3）过A点做y轴的对称点A’，连接A’B，与y轴的交点即为F点．此时△ABF的周长最小，通过求解函数解析式确认点Ｆ的坐标．
解：(1)如图所示：平移线段AB，使A点平移到C点，可以知道A点是向右平移5个单位，再向下平移5个单位，根据题意可知，B点(-3,1)平移到D点，故可以确定点D的坐标．
点D的坐标为；
(2)如图所示：
根据题意，AE是线段AB围绕点A逆时针旋转90°得到，故AB=AE，不难算出点E的坐标为(3,3)．连接BE，根据B、C、E三点坐标算出BC=、EC=、BE=，故,可以判断出△BEC为直角三角形．
故
(3)如图所示：
过A点做y轴的对称点A’，连接A’B，与y轴的交点即为F点．故可知A’的坐标为(1,5)，点B的坐标为(-3,1),设A’B的函数解析式为y=kx+b，将(1,5)，(-3,1)代入函数解析中解得k=1，b=4，则函数解析式为y=x+4,则F点坐标为(0,4),
故点F的坐标为(0,4)．
【点评】（1）本题主要考查平移，洞察点A是如何平移到点C，是求出D点坐标的关键．（2）连接BE，根据B、C、E三点坐标判断出△BCE是直角三角形，就不难算出的值．（3）本题通过做A点的对称点A’，连接A’B，找到A’B与y轴的交点F是解答本题的关键．
（2020年甘肃省平凉、白银、庆阳、武威、酒泉、陇南、张掖、临夏、金昌、定西市）如图，点，分别在正方形的边，上，且，把绕点顺时针旋转得到．
（1）求证：≌．
（2）若，，求正方形的边长．
【考点】正方形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理
【分析】（1）先根据旋转的性质可得，再根据正方形的性质、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；
（2）设正方形的边长为x，从而可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，然后根据三角形全等的性质可得，最后在中，利用勾股定理即可得．
解：（1）由旋转的性质得：
四边形ABCD是正方形
，即
，即
在和中，
；
（2）设正方形的边长为x，则
由旋转的性质得：
由（1）已证：
又四边形ABCD是正方形
则在中，，即
解得或（不符题意，舍去）
故正方形的边长为6．
【点评】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键．
（2020年安徽省）如图1，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为端点的线段，线段在网格线上，
画出线段关于线段所在直线对称的线段
(点分别为的对应点)；
将线段，绕点，顺时针旋转得到线段，画出线段．
【考点】作图-轴对称变换,作图-旋转变换
【分析】（1）先找出A，B两点关于MN对称的点A1，B1，然后连接A1B1即可；
（2）根据旋转的定义作图可得线段B1A2．
解：（1）如图所示，即为所作；
（2）如图所示，即为所作．
【点评】本题主要考查作图-旋转与轴对称，解题的关键是掌握旋转变换和轴对称的定义与性质．
（2020年贵州黔西南州）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），∴正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题：
（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________；
A．矩形
B．正五边形
C．菱形
D．正六边形
（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：________（填序号）；
（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形，其中真命题的个数有（
）个；
A．0
B．1
C．2
D．3
（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整．
【考点】旋转对称图形，中心对称图形
【分析】（1）根据旋转对称图形的定义进行判断；
（2）先分别求每一个图形中的旋转角，然后再进行判断；
（3）根据旋转对称图形的定义进行判断；
（4）利用旋转对称图形的定义进行设计．
解：（1）矩形、正五边形、菱形、正六边形都是旋转对称图形，但正五边形不是中心对称图形，
故选：B．
（2）是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有(1)(3)(5)．
故答案为：(1)(3)(5)．
（3）①中心对称图形，旋转180°一定会和本身重合，是旋转对称图形；故命题①正确；
②等腰三角形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后，不一定能与自身重合，只有等边三角形是旋转对称图形，故②不正确；
③圆具有旋转不变性，绕圆心旋转任意角度一定能与自身重合，是旋转对称图形；故命题③正确；
即命题中①③正确，
故选：C．
（4）图形如图所示：
【点评】本题考查旋转对称图形，中心对称图形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（2020年湖北省武汉市）在的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形的顶点坐标分别为，，，．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：
（1）将线段绕点逆时针旋转，画出对应线段；
（2）在线段上画点，使（保留画图过程的痕迹）；
（3）连接，画点关于直线的对称点，并简要说明画法．
【考点】作图-旋转变换，正方形的性质，全等三角形的性质，旋转的性质
【分析】（1）根据题意，将线段是将线段绕点逆时针旋转即可；
（2）连接BD，并连接（4,2），（5,5）点，两线段的交点即为所求的点E.
（3）连接（5,0）和（0,5）点，与AC的交点为F,且F为所求.
解：（1）如图示，线段是将线段绕点逆时针旋转得到的；
（2）∠BCE为所求的角，点E为所求的点.
（3）连接（5,0）和（0,5）点，与AC的交点为F,且F为所求.
【点评】本题考查了作图-旋转变换，正方形的性质，全等三角形的性质和轴对称的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
（2020年江西省）如图，在正方形网格中，的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作关于点对称的；
（2）在图2中，作绕点顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的．
【考点】勾股定理，作图-轴对称变换，作图-旋转变换
【分析】（1）分别作出A，B，C三点关于O点对称的点，，，然后顺次连接即可得；
（2）计算得出AB=，AC=5，再根据旋转作图即可．
解：（1）如图1所示；
（2）根据勾股定理可计算出AB=，AC=5，再作图，如图2所示．
【点评】本题考查复杂作图-应用与设计，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
（2020年黑龙江省绥化市）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，点B，点O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．
（1）作点A关于点O的对称点；
（2）连接，将线段绕点顺时针旋转90°得点B对应点，画出旋转后的线段；
（3）连接，求出四边形的面积．
【考点】作图-轴对称变换,作图-旋转变换
【分析】（1）连接AO并延长一倍即可得到；
（2）由于是一个正方形对角线，再找一个以为顶点的正方形，与相对的点即为，连接线段；
（3）连接，由求出四边形面积．
解：如图所示
（1）作出点A关于点O的对称点；
（2）连接，画出线段；
（3）连接，过点A作于点E，过点作于点F；
．
∴四边形的面积是24．
【点评】此题主要考查了图象的旋转以及中心对称，同时考查在网格中的面积计算问题，熟练掌握旋转变换和中心对称变换的定义作出变换后的对应点是解题的关键．
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39第五章图形与变换第33节图形的平移与旋转
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)■考点1.图形的平移
（1）定义：在平面内，将一个图形沿
移动一定的距离，这样的图形运动称为
．确定平移的两大要素是
．
（2）性质：①经过平移，对应点所连的线段
且
，对应线段
且
，对应角
．
②平移改变图形的
，不改变图形的
和
．
■考点2．图形的旋转
（1）定义：在平面内，将一个图形绕着
某点
，这样的图形运动称为旋转，这个点定叫做
，转动的角度叫做
．确定旋转的三大要素是
．
（2）性质：①图形中每一个点都绕着旋转中心旋转了
的角度．任意一对对应点与
______________
的连线所称的角都是旋转角，对应点到
的距离相等．
②旋转改变图形的
，不改变图形的
和
．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)■考点1.图形的平移
◇典例：
（2019年四川省乐山市）下列四个图形中，可以由图通过平移得到的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】利用平移设计图案
【分析】根据平移的性质解答即可．
解：∵只有D的图形的形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到，
故选：D．
【点评】本题考查的是平移的性质，熟知图形平移后所得图形与原图形全等是解答此题的关键．
（2020年江苏省南通市）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（　　）
A．
B．2
C．2
D．3
【考点】全等三角形的判定与性质，平移的性质，勾股定理
【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．
解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH＝，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴AC＝，
∵点D为BC中点，
∴BD＝CD，
在△BFD与△CKD中，
，
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF＝CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，
可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，
当直线l⊥AC时，最大值为，
综上所述，AE+BF的最大值为．
故选：A．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键．
◆变式训练
（2020年四川省成都市）在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度得到的点的坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年湖南省衡阳市）如图1，在平面直角坐标系中，在第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移．在平移过程中，直线被截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示．那么的面积为（
）
A．3
B．
C．6
D．
■考点2．图形的旋转
◇典例
（2020年山东省青岛市）如图，将先向上平移1个单位，再绕点按逆时针方向旋转，得到，则点的对应点的坐标是（
）
A．（0，4）
B．（2，-2）
C．（3，-2）
D．（-1，4）
【考点】坐标与图形变化-平移，坐标与图形变化-旋转
【分析】根据平移的规律找到A点平移后对应点，然后根据旋转的规律找到旋转后对应点，即可得出的坐标．
解：如图所示：A的坐标为（4，2），向上平移1个单位后为（4，3），再绕点P逆时针旋转90°后对应点的坐标为（-1，4）．
故选：D．
【点评】本题考查了根据平移变换和旋转变换作图，熟练掌握平移的规律和旋转的规律是解题的关键．
（2020年海南省）如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形
【分析】由旋转的性质可知，，进而得出为等边三角形，进而求出．
解：∵
由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可知，
∴cm，
又∠CAB=90°-∠ABC=90°-30°=60°，
由旋转的性质可知：，且，
∴为等边三角形，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，旋转的性质等，熟练掌握其性质是解决此类题的关键．
◆变式训练
（2020年山东省枣庄市）在下图的四个三角形中，不能由经过旋转或平移得到的是（　　）
A．
B．
C．
D．
（2020年河北省）如图，将绕边的中点顺时针旋转180°．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：
点，分别转到了点，处，而点转到了点处．
∵，
∴四边形是平行四边形．
小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形……”之间作补充．下列正确的是（
）
A．嘉淇推理严谨，不必补充
B．应补充：且，
C．应补充：且
D．应补充：且，
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（2020年上海市）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是(　　　)
A．平行四边形
B．等腰梯形
C．正六边形
D．圆
（2020年山东省济南市）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，如果将△ABC先沿y轴翻折，再向上平移3个单位长度，得到'，那么点B的对应点B'的坐标为（　　）
A．（1，7）
B．（0，5）
C．（3，4）
D．（﹣3，2）
（2020年四川省自贡市）在平面直角坐标系中，将点向下平移3个单位长度，所得点的坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年内蒙古赤峰市）下列图形绕某一点旋转一定角度都能与原图形重合，其中旋转角度最小的是
（
）
A．等边三角形
B．平行四边形
C．正八边形
D．圆及其一条弦
（2020年辽宁省大连市）如图，中，．将绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边上，则的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年江苏省镇江市）点O是正五边形ABCDE的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图）．这个图案绕点O至少旋转_____°后能与原来的图案互相重合．
（2020年山东省淄博市）如图，将△ABC沿BC方向平移至△DEF处．若EC＝2BE＝2，则CF的长为_____．
（2020年甘肃省平凉、白银、庆阳、武威、酒泉、陇南、张掖、临夏、金昌、定西市）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，把沿轴向右平移得到，如果点的坐标为，则点的坐标为__________．
（2020年宁夏）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把绕点B逆时针旋转90°后得到，则点的坐标是_____．
（2020年黑龙江省鹤岗、龙东地区）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上
（1）将向左平移个单位得到，并写出点的坐标；
（2）画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
（3）在（2）的条件下，求在旋转过程中扫过的面积（结果保留）．
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1、
选择题
（2020年内蒙古赤峰市）如图，Rt△ABC中，∠ACB
=
90°，AB
=
5，AC=
3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C'
，则四边形ABC'A'的面积是
（
）
A．15
B．18
C．20
D．22
（2020年江西省）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于点，连接，将向右上方平移，得到，且点，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，则直线的表达式为（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年山东省菏泽市）在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位得到点，则点关于轴的对称点的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年浙江省台州市）如图，把△ABC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到△DEF，则顶点C（0，-1）对应点的坐标为（
）
A．（0，0）
B．（1，2）
C．（1，3）
D．（3，1）
（2020年江苏省苏州市）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年黑龙江省牡丹江市）如图，在平面直角坐标系中，O是菱形对角线的中点，轴且，，将菱形绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（
）
A．
B．
C．
D．或
（2020年山东省聊城市）如图，在中，，，将绕点旋转得到，使点的对应点落在上，在上取点，使，那么点到的距离等于（
）．
A．
B．
C．
D．
（2020年四川省德阳市）如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝90°．将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到．此时恰好点C在上，交AC于点E，则△ABE与△ABC的面积之比为（　　）
A．
B．
C．
D．
（2020年浙江省绍兴市）如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠PAH的度数（　　）
A．随着θ的增大而增大
B．随着θ的增大而减小
C．不变
D．随着θ的增大，先增大后减小
（2020年湖南省岳阳市）下列命题是真命题的是（
）
A．一个角的补角一定大于这个角
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．等边三角形是中心对称图形
D．旋转改变图形的形状和大小
（2020年江苏省南通市）以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，得到的点Q所在的象限为（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
（2020年山东省枣庄市）如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，，将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
1、
填空题
（2020年江苏省镇江市）如图，在△ABC中，BC＝3，将△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1，点P、Q分别是AB、A1C1的中点，PQ的最小值等于_____．
（2020年广东省广州市）如图，点的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为9，则点的坐标为_______．
（2020年湖南省湘西州）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，．矩形的顶点D，E，C分别在上，．将矩形沿x轴向右平移，当矩形与重叠部分的面积为时，则矩形向右平移的距离为___________．
（2020年甘肃省天水市）如图，在边长为6的正方形内作，交于点，交于点，连接，将绕点顺时针旋转得到，若，则的长为__________．
（2020年广西玉林市）如图，在边长为3的正六边形ABCDEF中，将四边形ADEF绕点A顺时针旋转到四边形处，此时边与对角线AC重叠，则图中阴影部分的面积是___________．
（2020年山东省烟台市）如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为_____．
（2020年山东省泰安市）如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C的坐标分别为，，．是关于轴的对称图形，将绕点逆时针旋转180°，点的对应点为M，则点M的坐标为________．
（2020年湖南省衡阳市）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标，将线段绕点按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；又将线段绕点按顺时针方向旋转45°，长度伸长为的2倍，得到线段；如此下去，得到线段、，……，（为正整数），则点的坐标是_________．
1、
解答题
（2020年广西桂林市）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．
（1）把向左平移4个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1；
（2）把绕原点O旋转180°后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2；
（3）观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（　
　，　
　）中心对称．
（2020年湖北省孝感市）如图，在平面直角坐标系中，已知点，和，请按下列要求画图并填空．
（1）平移线段，使点平移到点，画出平移后所得的线段，并写出点的坐标为______；
（2）将线段绕点逆时针旋转，画出旋转后所得的线段，并直接写出的值为______；
（3）在轴上找出点，使的周长最小，并直接写出点的坐标为______．
（2020年甘肃省平凉、白银、庆阳、武威、酒泉、陇南、张掖、临夏、金昌、定西市）如图，点，分别在正方形的边，上，且，把绕点顺时针旋转得到．
（1）求证：≌．
（2）若，，求正方形的边长．
（2020年安徽省）如图1，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为端点的线段，线段在网格线上，
画出线段关于线段所在直线对称的线段
(点分别为的对应点)；
将线段，绕点，顺时针旋转得到线段，画出线段．
（2020年贵州黔西南州）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），∴正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题：
（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________；
A．矩形
B．正五边形
C．菱形
D．正六边形
（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：________（填序号）；
（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形，其中真命题的个数有（
）个；
A．0
B．1
C．2
D．3
（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整．
（2020年湖北省武汉市）在的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形的顶点坐标分别为，，，．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：
（1）将线段绕点逆时针旋转，画出对应线段；
（2）在线段上画点，使（保留画图过程的痕迹）；
（3）连接，画点关于直线的对称点，并简要说明画法．
（2020年江西省）如图，在正方形网格中，的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作关于点对称的；
（2）在图2中，作绕点顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的．
（2020年黑龙江省绥化市）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，点B，点O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．
（1）作点A关于点O的对称点；
（2）连接，将线段绕点顺时针旋转90°得点B对应点，画出旋转后的线段；
（3）连接，求出四边形的面积．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
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