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初中数学
完全平方公式
精讲精练
【考点精讲】
1.
完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2；（a－b）2＝a2－2ab＋b2，即两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和与它们的积的2倍的和（或差）。另外，这两个公式可以合记为：
（a±b）2＝a2±2ab＋b2。
2.
完全平方公式的结构特征：完全平方公式的左边是一个二项式的完全平方，右边是三项式，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。可概括为“首平方，尾平方，乘积2倍放中央，中央符号回头望”。
3.
应用完全平方公式进行整式乘法运算的步骤：（1）确定首尾，分别平方；（2）确定中央项的系数和符号，得出结论。
【典例精析】
例题1
计算：
（1）（3＋2x）2；
（2）（－2a＋3b）2；
（3）（－2m－5n）2。
思路导航：应用完全平方公式计算，关键要分清公式中的a、b分别代表什么，然后直接套用公式计算即可。
答案：（1）（3＋2x）2＝32＋2·3·2x＋（2x）2＝9＋12x＋4x2；
（2）解法一：（－2a＋3b）2＝（－2a）2＋2·（－2a）·3b＋（3b）2＝4a2－12ab＋9b2；
解法二：（－2a＋3b）2＝（3b－2a）2＝（3b）2－2·3b·2a＋（2a）2＝9b2－12ab＋4a2；
（3）解法一：（－2m－5n）2＝（－2m）2－2·（－2m）·5n＋（5n）2＝4m2＋20mn＋25n2；
解法二：（－2m－5n）2＝[－（2m＋5n）]2＝（2m＋5n）2＝（2m）2＋2·2m·5n＋（5n）2＝4m2＋20mn＋25n2。
点评：完全平方公式有“和”、“差”两种形式，它们在某些条件下可以互相转化，如第（2）题解法一是用“和”的公式，而解法二利用的是“差”的公式；第（3）题的解法一是利用“差”的公式，解法二通过互为相反数的平方相等转化为利用“和”的公式。
例题2
简便计算：
（1）1052；（2）9982。
思路导航：通过拆分转化为两数的和与差，再应用完全平方公式计算即可。
答案：（1）1052＝（100＋5）2＝1002＋2×100×5＋52＝10000＋1000＋25＝11025；
（2）9982＝（1000－2）2＝10002－2×1000×2＋22＝1000000－4000＋4＝996004。
点评：利用完全平方公式计算一些数的平方时，关键是把已知数的底数拆成两数和或差的平方的形式，在拆时以计算简便为目的，越简单越好。另外，在计算形如（10n＋5）2（n为正整数）的时候，利用公式（10n＋5）2＝（10n）2＋2×（10n）×5＋52＝100n2＋100n＋25＝100n（n＋1）＋25，即（10n＋5）2＝100n（n＋1）＋25，如652＝6×7×100＋25＝4225，1052＝10×11×100＋25＝11025；252＝2×3×100＋25＝625等。
例题3
（广东珠海）已知实数a、b满足a＋b＝3，ab＝2，则a2＋b2＝
。
思路导航：利用a2＋b2＝（a＋b）2－2ab，把a＋b＝3，ab＝2整体代入计算即可。
答案：∵a＋b＝3，ab＝2，
∴a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝32－2×2＝5。
∴填5。
点评：本题涉及代数式求值的问题，根据已知条件把所求的代数式进行变形，转化为a＋b和ab的形式，然后运用整体代入的方法可以快速简捷地求出结果。
【总结提升】
拓展
已知△ABC的三边a、b、c满足等式a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，试判断该三角形的形状，并说明理由。
思路导航：如何将等式进行变形、转化，寻找三边a、b、c的数量关系是解题的关键。第一步应利用移项，将等式的右边化为0；第二步利用等式性质，两边都乘以2，并对左边进行重新组合，配成三个完全平方的式子；第三步再根据非负性质，得到关于三边a、b、c的方程，从而得到三边a、b、c的数量关系，进而判断出该三角形的形状。
答案：△ABC是等边三角形，理由如下：
∵a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，
∴a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝0。
∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2ac－2bc＝0。
∴a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋a2－2ac＋c2＝0。
∴（a－b）2＋（b－c）2＋（a－c）2＝0。
∴a－b＝0，b－c＝0，a－c＝0。
∴a＝b，a＝c，b＝c，即a＝b＝c。
∴△ABC是等边三角形。
点评：利用完全平方公式将题目中的等式转化为三个式子的平方和等于0是解题的关键。要想正确解答本题，就必须要学会转化已知条件，利用等式性质，重新组合变化代数式，这种技巧是学习数学所必须具备的。另外，将一个代数式化为一个或若干个完全平方式的过程，叫做配方法；而若干个非负数的和为0，则每一个非负数都等于0。
同步练习
（答题时间：10分钟）
1.
（山东枣庄）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a>b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空白部分的面积是
（
）
图（1）
图（2）
A.
2ab　　
B.
（a＋b）2
C.
（a－b）2　
D.
a2－b2
2.
在式子：①（－2x－1）2；②（－2x－1）（－2x＋1）；③（－2x＋1）（2x＋1）；④（2x－1）2；⑤
（2x＋1）2中，相等的是
（
）
A.
①④
B.
②③
C.
①⑤
D.
②④
3.
若x＝y＋2，则x2＋y2－2xy＋2014的值为
（
）
A.
2015
B.
2016
C.
2017
D.
2018
4.
（广东珠海）已知实数a、b满足a＋b＝3，ab＝2，则a2＋b2＝
。
5.
计算：（x＋y＋1）2的结果为___________________。
6.
（山东滨州）观察下列各式的计算过程：
5×5＝0×1×100＋25，
15×15＝1×2×100＋25，
25×25＝2×3×100＋25，
35×35＝3×4×100＋25，
……
……
请猜测，第n个算式（n为正整数）应表示为____________________________。
7.
计算：（1）（2a＋1）2＋（1－2a）2；
（2）（3x－y）2－（2x＋y）2＋5x（y－x）；
（3）（x＋5）2－（x－5）2－（2x＋1）（－2x－1）。
8.
若x＋y＝8，xy＝－2，求3（x－y）2的值。
答案
1.
C
解析：空白部分的面积＝（a＋b）2－4×ab＝a2＋2ab＋b2－4ab＝a2－2ab＋b2＝（a－b）2，故C正确。
2.
C
解析：∵（－2x－1）2＝4x2＋4x＋1；（－2x－1）（－2x＋1）＝4x2－1；（－2x＋1）（2x＋1）＝1－4x2；（2x－1）2＝4x2－4x＋1；（2x＋1）2＝4x2＋4x＋1，
∴（－2x－1）2＝（2x＋1）2，即①、⑤两个式子相等，故选C。
3.
D
解析：∵x＝y＋2，
∴x－y＝2。
∴（x－y）2＝4。
∴x2＋y2－2xy＋2014＝4＋2014＝2018。
∴选D。
4.
5
解析：∵a＋b＝3，ab＝2，
∴a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝32－2×2＝5。
∴填5。
5.
x2＋y2＋1＋2xy＋2x＋2y
解析：∵（x＋y＋1）2＝
∴＝x2＋y2＋1＋2xy＋2x＋2y。
6.
[10（n－1）＋5]×[10（n－1）＋5]＝100n（n－1）＋25或5（2n－1）×5（2n－1）＝100n（n－1）＋25
解析：方法一：左边两个因数是相同的两位数，十位数字从0开始依次增加1，个位数字为5，故左边第n个算式表示为[10（n－1）＋5]×[10（n－1）＋5]；等号右边的第1个数字等于左边的十位数字乘以比它大1的数字再乘以100，然后加上25，故表示为100n（n－1）＋25；所以算式表示为[10（n－1）＋5]×[10（n－1）＋5]＝100n（n－1）＋25。
方法二：左边的两个相同的因数分别看作是5×1，5×3，5×5……，故第n个因数是5（2n－1），所以算式表示为5（2n－1）×5（2n－1）＝100n（n－1）＋25。
综上所述，应填[10（n－1）＋5]×[10（n－1）＋5]＝100n（n－1）＋25或5（2n－1）×5（2n－1）＝100n（n－1）＋25。
7.
解：（1）（2a＋1）2＋（1－2a）2
＝4a2＋4a＋1＋1－4a＋4a2
＝8a2＋2；
（2）（3x－y）2－（2x＋y）2＋5x（y－x）
＝9x2－6xy＋y2－（4x2＋4xy＋y2）＋5xy－5x2
＝9x2－6xy＋y2－4x2－4xy－y2＋5xy－5x2
＝－5xy；
（3）（x＋5）2－（x－5）2－（2x＋1）（－2x－1）
＝（x＋5）2－（x－5）2＋（2x＋1）2
＝x2＋10x＋25－（x2－10x＋25）＋4x2＋4x＋1
＝x2＋10x＋25－x2＋10x－25＋4x2＋4x＋1
＝4x2＋24x＋1。
8.
解：∵x＋y＝8，xy＝－2，
∴（x－y）2＝（x＋y）2－4xy＝82－4×（－2）＝64＋8＝72。
∴3（x－y）2＝3×72＝216。

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