资源简介

　双曲线
1．双曲线的定义
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值(|F1F2|＝2c>0)为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作焦距．
(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；
②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；
③当2a>|F1F2|时，M点不存在．
2．双曲线的标准方程与几何性质
图形
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
续表
性质
范围
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
顶点坐标：A1(－a，0)，A2(a，0)
顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
实、虚轴
线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长
a，b，c间的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
1．在双曲线的定义中，|MF1|－|MF2|＝2a，表示靠近F2的一支，|MF2|－|MF1|＝2a，表示靠近F1的一支．
2．双曲线的焦点到渐近线的距离等于其虚半轴长．
3．方程－＝1(mn＞0)表示的曲线
(1)当m＞0，n＞0时，表示焦点在x轴上的双曲线．
(2)当m＜0，n＜0时，则表示焦点在y轴上的双曲线．
4．方程的常见设法
(1)与双曲线－＝1共渐近线的方程可设为－＝λ(λ≠0)．
(2)若渐近线的方程为y＝±x，则可设双线曲方程为－＝λ(λ≠0)．
[四基自测]
1．(基础点：双曲线的标准方程)以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为(　　)
A．x2－＝1　　　　　　
B．－y2＝1
C．x2－＝1
D.－＝1
答案：A
2．(基础点：双曲线的定义)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　)
A．11　　　　
B．9　　　　
C．5　　　　
D.3
答案：B
3．(基础点：双曲线的渐近线)双曲线x2－＝1的渐近线方程为________．
答案：y＝±x
4．(基础点：双曲线的焦距)双曲线－＝1的焦距为________．
答案：2
167页
考点一　双曲线的定义及应用
挖掘1　利用定义求双曲线方程/
自主练透
[例1]　(1)已知两圆C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是(　　)
A．x＝0　　　　　　　
B．－＝1(x≥)
C.－＝1
D.－＝1或x＝0
[解析]　动圆M与两圆C1，C2都相切，有四种情况：①动圆M与两圆都外切；②动圆M与两圆都内切；③动圆M与圆C1外切、与圆C2内切；④动圆M与圆C1内切、与圆C2外切．在①②情况下，显然，动圆圆心M的轨迹方程为x＝0；在③的情况下，设动圆M的半径为r，
则|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－.
故得|MC1|－|MC2|＝2；
在④的情况下，同理得|MC2|－|MC1|＝2.
由③④得|MC1|－|MC2|＝±2.已知|C1C2|＝8，
根据双曲线定义，可知点M的轨迹是以C1(－4，0)，C2(4，0)为焦点的双曲线，且a＝，c＝4，b2＝c2－a2＝14，其方程为－＝1.故选D.
[答案]　D
(2)已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A.－＝1(x≥)
B．－＝1(x≤－)
C.＋＝1(x≥)
D.＋＝1(x≤－)
[解析]　设动圆的半径为r，由题意可得|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，所以|MC1|－|MC2|＝2＝2a，故由双曲线的定义可知动点M在以C1(－4，0)，C2(4，0)为焦点，实轴长为2a＝2的双曲线的右支上，即a＝，c＝4?b2＝16－2＝14，故动圆圆心M的轨迹方程为－＝1(x≥)．
[答案]　A
挖掘2　利用定义求点到焦点的距离/
互动探究
[例2]　(1)(2020·陕西师大附中模拟)设过双曲线x2－y2＝9右焦点F2的直线交双曲线的左支于点P，Q，若|PQ|＝7，则△F2PQ的周长为(　　)
A．19　　　　　　　　
B．26
C．43
D.50
[解析]　如图所示，由双曲线的定义
可得
①＋②得|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝4a，
∴△F2PQ的周长为|PF2|＋|QF2|＋|PQ|
＝4a＋|PQ|＋|PQ|＝4×3＋2×7＝26.
[答案]　B
(2)(2020·河南郑州一模)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方程为y＝±x，动点M在双曲线左支上，点N为圆E：x2＋(y＋)2＝1上一点，则|MN|＋|MF2|的最小值为(　　)
A．8
B．9
C．10
D.11
[解析]　由题意知2a＝6，则a＝3，又由＝得b＝1，所以c＝＝，则F1(－，0)．根据双曲线的定义知|MF2|＝2a＋|MF1|＝|MF1|＋6，所以|MN|＋|MF2|＝|MN|＋|MF1|＋6＝|EN|＋|MN|＋|MF1|＋5≥|F1E|＋5＝＋5＝9，当且仅当F1，M，N，E共线时取等号，故选B.
[答案]　B
(3)已知双曲线C：－＝1(b＞0)，F1、F2分别为C的左、右焦点，过F2的直线l分别交C的左、右支于点A、B，且|AF1|＝|BF1|，则|AB|＝(　　)
A．4
　
B．8
C．16
　　
D．32
[解析]　由双曲线定义知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，由于|AF1|＝|BF1|，所以两式相加可得|AF2|－|BF2|＝4a，而|AB|＝|AF2|－|BF2|，
∴|AB|＝4a，由双曲线方程知a＝4，∴|AB|＝16，故选C.
[答案]　C
[破题技法]　应用双曲线定义时要注意
(1)距离之差的绝对值，不能漏掉“绝对值”，否则轨迹是一支．
(2)2a<|F1F2|，否则轨迹是射线或不存在．
(3)求双曲线方程时，注意标准形式的判断及焦点位置，否则x2与y2的系数会错．
(4)注意a、b、c的关系易错易混(c>a>0，c>b>0)．
考点二　双曲线的方程及性质
挖掘1　利用双曲线的性质求方程/
自主练透
[例1]　(1)经过点(2，1)，且渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1相切的双曲线的标准方程为(　　)
A.－＝1　　　　　　
B．－y2＝1
C.－＝1
D.－＝1
[解析]　法一：设双曲线的渐近线方程为y＝kx，即kx－y＝0，由渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1相切可得圆心(0，2)到渐近线的距离等于半径1，由点到直线的距离公式可得＝1，解得k＝±.因为双曲线经过点(2，1)，所以双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，将(2，1)代入可得－＝1，由得故所求双曲线的标准方程为－＝1.故选A.
法二：设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)，将(2，1)代入方程可得，4m－n＝1①.双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆x2＋(y－2)2＝1的圆心为(0，2)，半径为1，由渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1相切，可得＝1，即＝3②，由①②可得m＝，n＝，所以该双曲线的标准方程为－＝1.选A.
[答案]　A
(2)若双曲线经过点(3，)，且渐近线方程是y＝±x，则双曲线的方程是________．
[解析]　设双曲线的方程是y2－＝λ.因为双曲线过点(3，)，所以λ＝2－＝1.所以双曲线的方程为y2－＝1.
[答案]　y2－＝1
(3)(2020·成都模拟)设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的标准方程是________．
[解析]　法一：椭圆＋＝1的焦点为(0，3)和(0，－3)，
∴双曲线的焦距为2c＝6.
由双曲线的定义得
－＝8－4＝4＝2a.
∴a＝2，∴b2＝c2－a2＝9－4＝5，
双曲线方程为－＝1.
法二：设双曲线的方程为＋＝1(27<λ<36)，由于双曲线过点(，4)，故＋＝1，解得λ1＝32，λ2＝0(舍去)．
故所求双曲线方程为－＝1.
[答案]　－＝1
[破题技法]　求双曲线标准方程的方法
方法
解读
题型
定义法
根据定义求a2和b2，常用到|PF1|－|PF2|＝±2a
双曲线上有点到焦点的距离条件
性质法
利用双曲线的性质，如渐近线、焦点等
已知双曲线的某些性质
挖掘2　求双曲线的离心率或渐近线方程/
互动探究
[例2]　(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)
A.
B．
C．2
D.
[解析]　设双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F的坐标为(c，0)．由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝.由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2得＋＝a2，故＝，即e＝.故选A.
[答案]　A
(2)(2019·高考全国卷Ⅲ)双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为(　　)
A.
B．
C．2
D.3
[解析]　双曲线－＝1的右焦点坐标为(，0)，一条渐近线的方程为y＝x，不妨设点P在第一象限，由于|PO|＝|PF|，则点P的横坐标为，纵坐标为×＝，即△PFO的底边长为，高为，所以它的面积为××＝.故选A.
[答案]　A
[破题技法]　求离心率的方法
方法
解法
题型
直接法
直接求a，b，c，利用e＝
或e＝
适合易求a、b、c
构造法
构造a、b、c间的等式或不等式的齐次关系
可能是a、c或a、b的关系
挖掘3　共焦点的椭圆与双曲线/
自主练透
[例3]　(1)已知椭圆C1：＋y2＝1(m＞1)与双曲线C2：－y2＝1(n＞0)的焦点重合，e1，e2，分别为C1，C2的离心率，则(　　)
A．m＞n且e1e2＞1　　　
B．m＞n且e1e2＜1
C．m＜n且e1e2＞1
D.m＜n且e1e2＜1
[解析]　设P为椭圆与双曲线在第一象限内的公共点，
F1，F2为它们的左、右公共焦点，
则|PF1|＋|PF2|＝2m，|PF1|－|PF2|＝2n，∴m＞n，由结论一得eq
\f(1,e)＋eq
\f(1,e)＝2，
法一：(利用均值不等式)
∵e1≠e2，∴2＝eq
\f(1,e)＋eq
\f(1,e)＞，e1e2＞1，故选A.
法二：(利用三角换元)
由eq
\f(1,e)＋eq
\f(1,e)＝2，0＜e1＜1，e2＞1，
可设＝cos
θ，＝sin
θ，0＜θ＜，
则e1e2＝＞1.
法三：(利用消元法)
∵eq
\f(1,e)＋eq
\f(1,e)＝2，∴eq
\f(1,e)＝2－eq
\f(1,e)，
eq
\f(1,ee)＝－eq
\f(1,e)＋eq
\f(2,e)＝－eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)－1))eq
\s\up12(2)＋1，
由0＜e1＜1，e2＞1且eq
\f(1,e)＋eq
\f(1,e)＝2，得1＜eq
\f(1,e)＜2，
令t＝eq
\f(1,e)，f(t)＝－(t－1)2＋1，
则eq
\f(1,ee)＝f(t)，t∈(1，2)，
f(t)在(1，2)上单调递减，f(1)＝1，f(2)＝0，
故0＜eq
\f(1,ee)＜1，即e1e2＞1.
[答案]　A
(2)已知F1，F2为椭圆和双曲线的公共焦点，P为它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则该椭圆和双曲线的离心率之积的最小值是(　　)
A.
B．
C．1
D.
[解析]　由结论二得eq
\f(1,e)＋eq
\f(3,e)＝4，同(1)的三种方法均可得到e1e2≥，故选B.
[答案]　B
[破题技法]　1.已知椭圆C1：eq
\f(x2,a)＋eq
\f(y2,b)＝1(其中a1＞b1＞0)与双曲线C2：eq
\f(x2,a)－eq
\f(y2,b)＝1(其中a2＞0，b2＞0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则eq
\f(b,e)＋eq
\f(b,e)＝b＋b.
2．已知F1，F2为椭圆和双曲线的公共焦点，P为它们的一个公共点，且∠F1PF2＝θ，e1，e2分别为椭圆和双曲线的离心率，则eq
\f(1－cosθ,e)＋eq
\f(1＋cosθ,e)＝2.
PAGE　抛物线
1．抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
(1)在平面内．
(2)与一个定点F和一条定直线l距离相等．
(3)l不经过点F.
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0(x轴)
x＝0(y轴)
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦半径(其中P(x0，y0))
|PF|＝x0＋
|PF|＝－x0＋
|PF|＝y0＋
|PF|＝－y0＋
焦点弦性质
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.
(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)．
(3)＋＝.
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切．
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
(6)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p.
[四基自测]
1．(基础点：抛物线定义)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(　　)
A.　　　
B．　　　　
C.　　　　
D．0
答案：B
2．(基础点：求抛物线标准方程)以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P(1，m)到焦点的距离为3，则其方程是(　　)
A．y＝4x2
B．y＝8x2
C．y2＝4x
D.y2＝8x
答案：D
3．(基础点：抛物线的定义)抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点P有(　　)
A．0个
B．1个
C．2个
D.4个
答案：C
4．(易错点：抛物线的性质)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________．
答案：y2＝－8x或x2＝－y
165页
考点一　抛物线的定义及应用
挖掘　抛物线上点到焦点的距离/
自主练透
[例]　(1)(2020·河北三市联考)过点P(－2，0)的直线与抛物线C：y2＝4x相交于A、B两点，且|PA|＝|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为(　　)
A.　　　　　　　　　
B．
C.
D.2
[解析]　设A(x1，y1)、B(x2，y2)，分别过点A、B作直线x＝－2的垂线，垂足分别为点D、E(图略)．
∵|PA|＝|AB|，∴，
又eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝4x1,y＝4x2))，得x1＝，则点A到抛物线C的焦点的距离为1＋＝.
[答案]　A
(2)已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是(　　)
A．2－1
B．2－2
C.－1
D.－2
[解析]　由题意得圆x2＋(y－4)2＝1的圆心A(0，4)，半径r＝1，抛物线的焦点F(1，0)．由抛物线的几何性质可得：点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF|－r＝－1＝－1.选C.
[答案]　C
(3)过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝10，则AB的中点到y轴的距离等于(　　)
A．1
B．2
C．3
D.4
[解析]　AB的中点到抛物线准线的距离为＝5，所以AB的中点到y轴的距离为5－1＝4.
[答案]　D
[破题技法]　利用抛物线的定义可解决的常见问题
(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．
(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，可以利用定义进行相互转化．
考点二　抛物线的方程及性质
挖掘　抛物线方程与性质的关系/
自主练透
[例]　(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝(　　)
A．2　　　　　　　　　　
B．3
C．4
D.8
[解析]　抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为，
椭圆＋＝1的焦点坐标为(±，0)．
由题意得＝，解得p＝0(舍去)或p＝8.
故选D.
[答案]　D
(2)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，点M，N分别在抛物线C上，且＋3＝0，直线MN交l于点P，NN′⊥l，垂足为N′.若△MN′P的面积为24，则F到l的距离为(　　)
A．4　　　
B．6　　　　
C．8　　　　
D．12
[解析]　作出图形如图，作MM′⊥l，垂足为M′，设|NF|＝m(m＞0)，则|NN′|＝m.由＋3＝0，得|MF|＝3m，则|MM′|＝3m，过点N作NG⊥MM′，垂足为G，则|M′G|＝m，|MG|＝2m，所以∠NMG＝60°，所以|MP|＝6m，|NP|＝2m，|N′P|＝m，S△MN′P＝·|MM′||N′P|＝×3m×m＝24，所以m＝4.易知F为线段MP的中点，所以F到l的距离为p＝＝6.
[答案]　B
(3)(2020·江西萍乡一模)已知抛物线C：y2＝2
px(p＞0)的焦点为F，准线l：x＝－1，点M在抛物线C上，点M在直线l：x＝－1上的射影为A，且直线AF的斜率为－，则△MAF的面积为(　　)
A.
B．2
C．4
D.8
[解析]　如图所示，设准线l与x轴交于点N.则|FN|＝2.
∵直线AF的斜率为－，
∴∠AFN＝60°.
∴∠MAF＝60°，|AF|＝4.
由抛物线的定义可得|MA|＝|MF|，∴△AMF是边长为4的等边三角形．
∴S△AMF＝×42＝4.故选C.
[答案]　C
[破题技法]　1.求抛物线标准方程的方法及注意点
(1)方法
求抛物线的标准方程的主要方法是定义法和待定系数法．若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可；若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论．
(2)注意点
①当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；
②要掌握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；
③要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．
2．抛物线性质的应用技巧
(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．
考点三　直线与抛物线的综合问题
挖掘1　直线与抛物线相交问题/
自主练透
[例1]　(2018·高考全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝(　　)
A．5　　　　　　　　　　
B．6
C．7
D.8
[解析]　由题意知直线MN的方程为y＝(x＋2)，
联立直线与抛物线的方程，得
解得或
不妨设M为(1，2)，N为(4，4)．
又∵抛物线焦点为F(1，0)，
∴＝(0，2)，＝(3，4)，
∴·＝0×3＋2×4＝8.
故选D.
[答案]　D
[破题技法]　直线与抛物线交点问题的解题思路
(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组．
(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决．
挖掘2　抛物线的焦点弦问题/
互动探究
[例2]　(1)经过抛物线C的焦点F作直线l与抛物线C交于A、B两点，如果A、B在抛物线C的准线上的射影分别为A1、B1，那么∠A1FB1等于(　　)
A.
B．
C.
D.
[解析]　由抛物线定义可知|BF|＝|BB1|，|AF|＝|AA1|，故∠BFB1＝∠BB1F，∠AFA1＝∠AA1F.又∠OFB1＝∠BB1F，∠OFA1＝∠AA1F，故∠BFB1＝∠OFB1，∠AFA1＝∠OFA1，所以∠OFA1＋∠OFB1＝×π＝，即∠A1FB1＝.
[答案]　C
(2)(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k＞0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
①求l的方程；
②求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
[解析]　①由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k＞0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.
由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)或k＝1.
因此l的方程为y＝x－1.
②由①得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则
解得或
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
[破题技法]　解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法
(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．
提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．
挖掘3　抛物线与其他曲线的综合/
互动探究
[例3]　(2019·高考全国卷Ⅰ)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切．
(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；
(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由．
[解析]　(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上．由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a)．因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.
由已知得|AO|＝2.又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，
解得a＝0或a＝4.
故⊙M的半径r＝2或r＝6.
(2)存在定点P(1，0)，使得|MA|－|MP|为定值．
理由如下：
设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，|AO|＝2.
由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2，化简得M的轨迹方程为y2＝4x.
因为曲线C：y2＝4x是以点P(1，0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，所以|MP|＝x＋1.
因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P.
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