资源简介

直线与圆、圆与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系与判断方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系．
①d②d＝r?直线与圆相切；
③d>r?直线与圆相离．
(2)代数法：联立方程，消去x(或y)得一元二次方程，计算Δ＝b2－4ac.
①Δ>0?直线与圆相交；
②Δ＝0?直线与圆相切；
③Δ<0?直线与圆相离．
2．圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)．
方法位置关系　　
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
续表
相交
|r1－r2|两组不同的实数解
内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
无解
3.两圆公切线的条数
位置关系
内含
内切
相交
外切
外离
公切线条数
0
1
2
3
4
圆的方程两种设法技巧：
(1)经过直线l：Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的交点的圆的方程表示为(x2＋y2＋Dx＋Ey＋F)＋λ(Ax＋By＋C)＝0.
(2)经过圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的两个交点的圆的方程表示为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0.
[四基自测]
1．(基础点：直线与圆的位置关系)直线y＝x＋6与圆x2＋y2－2y－4＝0的位置关系为(　　)
A．相离　　　　　　　　
B．相切
C．相交且不过圆心
D.相交过圆心
答案：A
2．(基础点：圆与圆的位置关系)两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是(　　)
A．相交
B．内切
C．外切
D.内含
答案：B
3．(基础点：圆的弦长)直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________．
答案：
4．(易错点：求圆的切线方程)已知直线l：y＝k(x＋)和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝________．
答案：0或
158页
考点一　直线与圆的位置关系
挖掘1　直线与圆位置关系的判断/
自主练透
[例1]　(1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　)
A．相交　　　　　　　　
B．相切
C．相离
D.不确定
[解析]　法一：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1，1)，因为点(1，1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆相交．
法二：(几何法)由题意知，圆心(0，1)到直线l的距离d＝＜1＜，故直线l与圆相交．
法三：(代数法)由消去y，整理得：(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，Δ＝(－2m2)2－4(1＋m2)(m2－5)＝4(4m2＋5)＞0，故直线l与圆相交．
[答案]　A
(2)(2020·湖北荆州二模)圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，则k的值是(　　)
A．2
B．－2
C．1
D.－1
[解析]　∵圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，∴直线y＝kx＋3过圆心(1，1)，即1＝k＋3，解得k＝－2.故选B.
[答案]　B
(3)若直线kx－y＋2＝0与圆x2＋y2－2x－3＝0没有公共点，则实数k的取值范围是________．
[解析]　由题知，圆x2＋y2－2x－3＝0可写成(x－1)2＋y2＝4，圆心(1，0)到直线kx－y＋2＝0的距离d＞2，即
＞2，解得0＜k＜.
[答案]　
挖掘2　直线与圆相切问题/
互动探究
[例2]　(1)(2020·洛阳三校联考)已知圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝1与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧AB的中点为M，则过点M的圆C的切线方程是(　　)
A．y＝x＋2－
B．y＝x＋1－
C．y＝x－2＋
D.y＝x＋1－
[解析]　由已知得A(－1，0)，B(0，1)，则易得kAB＝1，M，所以切线斜率为1，故切线方程为
y＋－1＝x－＋1，即y＝x＋2－.
[答案]　A
(2)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　)
A．－或－
B．－或－
C．－或－
D.－或－
[解析]　由已知，得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，则有d＝＝1，解得k＝－或k＝－.
[答案]　D
(3)若圆心在x轴上，半径为的圆O′位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O′的方程是(　　)
A．(x－5)2＋y2＝5或(x＋5)2＋y2＝5
B．(x＋)2＋y2＝5
C．(x－5)2＋y2＝5
D．(x＋5)2＋y2＝5
[解析]　设圆心坐标为(a，0)(a＜0)，因为圆与直线x＋2y＝0相切，所以＝，解得a＝－5，因此圆的方程为(x＋5)2＋y2＝5.
[答案]　D
挖掘3　直线与圆相交问题/
互动探究
[例3]　(1)过点(1，1)的直线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝9相交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　)
A．2　　　　　　　　
B．4
C．2
D.5
[解析]　由圆的几何性质可知，当点(1，1)为弦AB的中点时，|AB|的值最小，此时|AB|＝2＝2＝4.
[答案]　B
(2)若圆Ω过点(0，－1)，(0，5)，且被直线x－y＝0截得的弦长为2，则圆Ω的方程为(　　)
A．x2＋(y－2)2＝9或(x＋4)2＋(y－2)2＝25
B．x2＋(y－2)2＝9或(x－1)2＋(y－2)2＝10
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝25或(x＋4)2＋(y－2)2＝17
D．(x＋4)2＋(y－2)2＝25或(x－4)2＋(y－1)2＝16
[解析]　由于圆Ω过点(0，－1)，(0，5)，
所以圆心在直线y＝2上，
设圆心坐标为(a，2)，
由题意得＝
，
解得a＝0或a＝－4.
当a＝0时，圆心坐标为(0，2)，半径为3；
当a＝－4时，圆心坐标为(－4，2)，半径为5，
所以圆Ω的方程为x2＋(y－2)2＝9或(x＋4)2＋(y－2)2＝25.故选A.
[答案]　A
(3)已知过点P(t，0)(t>0)的直线l被圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0截得弦AB长为4，若直线l唯一，则该直线的方程为________．
[解析]　将圆C的方程化为标准方程(x－1)2＋(y＋2)2＝9，
∴圆心C(1，－2)，半径r＝3.又由题意可知，圆心C到直线l的距离为＝，∴所有满足题意的直线l为圆D：(x－1)2＋(y＋2)2＝5的切线．又∵直线l唯一，∴点P在圆D上．∴(t－1)2＋4＝5.∴t＝2或t＝0(舍去)．该切线方程为(2－1)(x－1)＋(y＋2)(0＋2)＝5，即直线l的方程为x＋2y－2＝0.
[答案]　x＋2y－2＝0
(4)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B(5，0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若·＝0，则点A的横坐标为________．
[解析]　因为·＝0，所以AB⊥CD，又点C为AB的中点，所以∠BAD＝45°.设直线l的倾斜角为θ，直线AB的斜率为k，则tan
θ＝2，k＝tan
＝－3，又B(5，0)，所以直线AB的方程为y＝－3(x－5)，又A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，联立直线AB与直线l的方程，得解得，所以点A的横坐标为3.
[答案]　3
[破题技法]　直线与圆位置关系的求解方法
问题
解题技巧
图例
直线与圆位置关系判断
利用圆心到直线的距离d与半径r比较进行判断
求弦长
巧借垂径定理，利用|AB|＝2(d为弦心距，r为圆的半径)求解直线与圆相交所得弦长
求切线方程
(1)若点(x0，y0)在圆上，斜率存在时，先求点与圆心连线的斜率k，由切线与过切点、圆心的直线垂直的关系知切线的斜率为－，由点斜式方程可求出切线方程
(2)若点(x0，y0)在圆外，当斜率k存在时，设直线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径求出斜率，即可得出切线方程
考点二　圆与圆的位置关系
挖掘　利用圆与圆的关系求解/
自主练透
[例]　(1)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0相切，则m＝(　　)
A．－11　　　　　　　
B．9
C．19
D.9或－11
[解析]　依题意可得C1(0，0)，C2(3，4)，则|C1C2|＝＝5.又r1＝1，r2＝，25－m＞0，
当两圆外切时，r1＋r2＝＋1＝5，解得m＝9，
当两圆内切时，|r2－r1|＝5，
即|－1|＝5，
得＝6，解得m＝－11.
[答案]　D
(2)若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是(　　)
A．3
B．4
C．2
D.8
[解析]　如图，连接O1A、O2A，由于⊙O1与⊙O2在点A处的切线互相垂直，因此O1A⊥O2A，所以O1O＝O1A2＋O2A2，即m2＝5＋20＝25，设AB交x轴于点C.在Rt△O1AO2中，sin∠AO2O1＝，∴在Rt△ACO2中，AC＝AO2·sin∠AO2O1＝2×＝2，
∴AB＝2AC＝4.故选B.
[答案]　B
(3)已知圆C1：(x＋2a)2＋y2＝4和圆C2：x2＋(y－b)2＝1只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为(　　)
A．2　　　
B．4　　　　
C．8　　　　
D．9
[解析]　由题意可知，圆C1的圆心为(－2a，0)，半径为2，圆C2的圆心为(0，b)，半径为1，因为两圆只有一条公切线，所以两圆内切，所以＝2－1，即4a2＋b2＝1.所以＋＝·(4a2＋b2)
＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，且4a2＋b2＝1，即a2＝，b2＝时等号成立，所以＋的最小值为9.故选D.
[答案]　D
[破题技法]　1.判断两圆位置关系的方法
几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法．
2．两圆公共弦长的求法
求两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．
而两圆公共弦的方程就是将两圆方程相减，消去x2，y2后的方程．
考点三　圆的综合问题
挖掘1　与圆有关的最值问题/
自主练透
[例1]　已知实数x、y满足x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求的最大值与最小值；
(2)求y－x的最大值、最小值；
(3)求x2＋y2的最大值、最小值．
[解析]　(1)原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆．
的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx.
如图所示，当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±.
所以的最大值为，最小值为－.
(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±.所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(3)如图所示，x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．
又圆心到原点的距离为＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
[破题技法]　与圆有关的最值问题的几何转化法
(1)形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
挖掘2　直线与圆的综合问题/
互动探究
[例2]　已知圆C经过点(2，4)，(1，3)，圆心C在直线x－y＋1＝0上，过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C相交于M，N两点．
(1)求圆C的方程；
(2)请问·是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由；
(3)若·＝12(O为坐标原点)，求直线l的方程．
[解析]　(1)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则依题意，得解得
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1.
(2)·为定值．
过点A(0，1)作直线AT与圆C相切，切点为T，易得|AT|2＝7，∴·＝||·||cos
0°
＝|AT|2＝7，∴·为定值，且定值为7.
(3)依题意可知，直线l的方程为y＝kx＋1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将y＝kx＋1代入(x－2)2＋(y－3)2＝1并整理，得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8＝12，即＝4，解得k＝1，又当k＝1时Δ＞0，∴直线l的方程为y＝x＋1.
[破题技法]　与圆有关的参数范围问题常见思路
(1)直接利用条件，画出几何图形，结合图形用几何法求参数的范围．
(2)根据位置关系列不等式组，用代数法求参数范围．
(3)构造关于参数的函数关系，借助函数思想求参数的范围．
挖掘3　点圆的应用/
互动探究
[例3]　求经过点M(3，－1)且与圆C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0相切于点N(1，2)的圆的方程．
[解析]　圆C的方程可化为标准方程：
(x＋1)2＋(y－3)2＝5，圆心为(－1，3)．
由M、N可求出MN的中垂线方程为y＝x－，①
圆心C和N所在直线方程为y＝－x＋，②
联立①②解得圆心坐标为(，)，半径为
，则圆的方程为(x－)2＋(y－)2＝.
PAGE圆的方程
1．圆的定义、方程
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫作圆
标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心：(a，b)
半径：r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
条件：D2＋E2－4F>0
圆心：
半径：r＝
2.点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)点M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.
(2)点M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
(3)点M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)21．方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件：A＝C≠0，B＝0，且D2＋E2－4F＞0.
2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
[四基自测]
1．(基础点：圆的一般方程与标准方程的互化)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　)
A．(2，3)　　　　　　　　
B．(－2，3)
C．(－2，－3)
D.(2，－3)
答案：D
2．(基础点：求圆的方程)过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是(　　)
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4
B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4
D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
答案：C
3．(基础点：求圆的方程)△AOB中，A(4，0)，B(0，3)，O(0，0)，则△AOB外接圆的方程为____________________．
答案：x2＋y2－4x－3y＝0
4．(易错点：二元二次方程表示圆的条件)若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________．
答案：(－2，)
156页
考点一　求圆的方程
挖掘　求圆的方程/
自主练透
[例]　(1)圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1，2)的圆的方程是(　　)
A．x2＋(y－2)2＝1
B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－3)2＝4
[解析]　根据题意可设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，因为圆过点A(1，2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，所以所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
[答案]　A
(2)圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程为________．
[解析]　法一：几何法
设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)．
又该圆经过A，B两点，所以|CA|＝|CB|，
即
＝，解得a＝－2，
所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法二：待定系数法
设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意得
解得a＝－1，b＝－2，r2＝10，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法三：待定系数法
设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则圆心坐标为，
由题意得
解得D＝2，E＝4，F＝－5.
故所求圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
[答案]　x2＋y2＋2x＋4y－5＝0
(3)在平面直角坐标系xOy中，以点A(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．
[解析]　因为直线与圆相切，所以半径等于圆心到直线的距离，r＝＝＝＝，因为1＋m2≥2m，所以≤1，所以r≤＝，所以半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.
[答案]　(x－1)2＋y2＝2
[破题技法]　求圆的方程的方法
方法
解读
适合题型
几何法
通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系，进而求得圆的基本量(圆心、半径)和方程，常用的几何性质如下：(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线
题设条件中有明显的几何特征
续表
方法
解读
适合题型
待定系数法
(1)根据条件设出圆的方程，一般地，若题目中有与圆心和半径有关的信息，选择标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，若已知圆上三点坐标(或三点坐标易求)，选择一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；(2)由题目给出的条件，列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；(3)解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程
题设条件中有明显的代数特征　
1．将本例(1)改为圆心在y轴上，且过点(3，1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是(　　)
A．x2＋y2＋10y＝0
B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0
D．x2＋y2－10x＝0
解析：根据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为r，则32＋(r－1)2＝r2，解得r＝5，可得圆的方程为x2＋y2－10y＝0，故选B.
答案：B
2．本小题(3)改为：在平面直角坐标系xOy中，过点A(1，0)作直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)的垂线，垂足为B，以A，B的连线段为直径的所有圆中，半径最大的圆的一般方程为________．
解析：因为直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)过定点
C(2，－1)，所以直径AB的最大值为|AC|＝，
所以所求半径最大的圆的标准方程为
＋＝，
化为一般方程为x2＋y2－3x＋y＋2＝0.
答案：x2＋y2－3x＋y＋2＝0
考点二　与圆有关的轨迹问题
挖掘1　直接法求与圆有关的轨迹方程/
自主练透
[例1]　已知点M与两个定点O(0，0)，A(3，0)的距离的比为，则点M的轨迹方程为________．
[解析]　设点M(x，y)，由题意得＝，
整理得x2＋y2＋2x－3＝0.
[答案]　x2＋y2＋2x－3＝0
　将本题改为“M与A(3，0)，O(0，0)距离之比为λ”，则动点M的轨迹方程是什么？其轨迹是什么图形．
解析：由题意得＝，
整理得(1－λ2)x2＋(1－λ2)y2－6x＋9＝0.
当λ＝1时，轨迹方程为x＝，表示OA的垂直平分线．
当λ≠1时，方程为(x－)2＋y2＝，
表示为以(，0)为圆心，半径为的圆．
挖掘2　相关点(代入法)求轨迹方程/
自主练透
[例2]　(1)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任意一点连线的中点的轨迹方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1　
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4
D.(x＋2)2＋(y－1)2＝1
[解析]　设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则即代入x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
[答案]　A
(2)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9，过点A(2，3)作圆C的任意弦，则这些弦的中点P的轨迹方程为________．
[解析]　设P(x，y)，圆心C(1，1)．
因为P点是过点A的弦的中点，所以⊥.
又因为＝(2－x，3－y)，＝(1－x，1－y)．
所以(2－x)·(1－x)＋(3－y)·(1－y)＝0.
所以点P的轨迹方程为＋(y－2)2＝.
[答案]　＋(y－2)2＝
[破题技法]　与圆有关的轨迹问题的四种求法
将本例(1)变为P(4，－2)，A是x2＋y2＝4的动点．M是线段PA上的点满足＝λ(λ＞0)，则动点M的轨迹还是圆吗？
解析：由题意得＝λ，
设M(x，y)，A(x0，y0)，
∴(x－4，y＋2)＝λ(x0－x，y0－y)，
即
∴
∵x＋y＝4，
∴＋＝4，
即(x－)2＋(y＋)2＝
表示以为圆心，半径为的圆．
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