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　函数的单调性与最值
[基础梳理]
1．增函数、减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2.
(1)增函数：当x1＜x2时，都有f(x1)(2)减函数：当x1＜x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．
　　　　　
(增函数)　　　　　　　　(减函数)　　
2．单调性、单调区间的定义
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫作函数y＝f(x)的单调区间．
3．函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M(2)存在x∈I，使得f(x)＝M
(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M(2)存在x∈I，使得f(x)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
1．两个防范
(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．
(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结．
2．单调性的两种等价形式
(1)设任意x1，x2∈[a，b]且x1＜x2，那么＞0?f(x)在[a，b]上是增函数；＜0?f(x)在[a，b]上是减函数．
(2)(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0?f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0?f(x)在[a，b]上是减函数．
3．函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
(3)f(x)的最大值记为f(x)max，f(x)最小值记为f(x)min.
[四基自测]
1．(基础点：一次函数的单调性)函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则(　　)
A．m＞　　　　　
B．m＜
C．m＞－
D．m＜－
答案：B
2．(易错点：单调区间)函数y＝的单调区间为(　　)
A．(－∞，1)∪(1，＋∞)
B．(－∞，1)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，1)和(1，＋∞)
答案：D
3．(基础点：函数的最值)函数f(x)＝在[2，6]上的最大值和最小值分别是________．
答案：4，
4．(易错点：单调性)设f(x)为奇函数，当x≥0时，f(x)＝ex－1，则f(x)的单调性为________．
答案：在R上单调递增
14页
考点一　判断函数的单调性、求单调区间
挖掘1　无参数的函数的单调性/
互动探究
[例1]　(1)函数f(x)＝ln
x－x的递增区间为________．
(2)函数f(x)＝lg
x2的单调递减区间是__________．
[解析]　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
又f′(x)＝－1＝＞0，∴0＜x＜1.
(2)法一：设t＝x2，∴y＝lg
t.
当x＞0时，t＝x2在(0，＋∞)上为增，y＝lg
t为增，
∴f(x)＝lg
x2在(0，＋∞)上为增；
当x<0时，t＝x2在(－∞，0)上为减，y＝lg
t为增．
∴f(x)＝lg
x2在(－∞，0)上为减．
法二：f(x)＝lg
x2为偶函数．
当x＞0时，f(x)＝2lg
x，在(0，＋∞)为增，
∴当x＜0时，f(x)为减函数．
[答案]　(1)(0，1)　(2)(－∞，0)
将本例(1)改为函数f(x)＝ln
x＋x，其递增区间为__________．
解析：法一：定义域为(0，＋∞)，
由f(x)＝ln
x＋x，得f′(x)＝＋1>0恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数，增区间为(0，＋∞)．
法二：设y1＝ln
x，y2＝x，在定义域(0，＋∞)上都为增函数，∴f(x)＝y1＋y2在(0，＋∞)上为增函数．
答案：(0，＋∞)
挖掘2　含参数的函数的单调性/
互动探究
[例2]　已知函数f(x)＝(a≠0)讨论f(x)的单调性．
[解析]　由f(x)＝＝
＝a＋.
定义域为{x|x≠1}，设x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝a＋－[a＋]＝.
若a＞0，当x1＜x2＜1时，x1－1＜0，x2－1＜0，x2－x1＞0，f(x1)－f(x2)＞0.
当1＜x1＜x2时，x1－1＞0，x2－1＞0，x2－x1＞0，
∴f(x1)－f(x2)＞0，
∴f(x)在(－∞，1)，(1，＋∞)上为减函数．
若a＜0时，当x1＜x2＜1时，f(x1)－f(x2)＜0，
当1＜x1＜x2时，f(x1)－f(x2)＜0
f(x)在(－∞，1)，(1，＋∞)上为增函数．
[破题技法]　1.研究函数的单调性，求单调区间，必须先求定义域，单调区间是定义域的子集．
2．对于单调区间间断的，不能用“∪”连接起来．
3．函数单调性的判断方法
方法
解读
适合题型指引
定义法
具体的方法步骤为：取值、作差、变形、定号、下结论
适用于所有函数，特别是抽象函数
复合法
“同增异减”
形如y＝f(g(x))的复合函数
导数法
解不等式f′(x)>0，函数f(x)在此不等式对应的区间上为增函数；函数f(x)在不等式f′(x)<0对应的区间上为减函数
适用于可求导的函数
图像法
在定义域内作出相应的图像，根据图形中的单调性写出相应的单调区间
适用于初等函数，易于作出图像的函数
性质法
运用函数单调性的有关结论直接判断函数的单调性
适合初等函数简单运算后得到的函数
若y＝f(x)在R上为增，探究y＝af(x)在R上(a≠0)的单调性．
解析：设x1＜x2，∵y＝f(x)在R上为增，
∴f(x1)－f(x2)＜0.
af(x1)－af(x2)＝a(f(x1)－f(x2))，
当a＞0时，af(x1)＜af(x2)，y＝af(x)在R上为增．
当a＜0时，af(x1)＞af(x2)，y＝af(x)在R上为减．
考点二　函数单调性的应用
挖掘1　比较大小/
互动探究
[例1]　(2019·高考全国卷Ⅲ)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则(　　)
A．f>f(2)>f(2)
B．f>f(2)>f(2)
C．f(2－)>f(2)>f
D．f(2－)>f(2)>f
[解析]　因为f(x)是定义域为R的偶函数，
所以f＝f(－log34)＝f(log34)．
又因为log34＞1＞2＞2＞0，且函数f(x)在(0，＋∞)单调递减，所以f(log34)＜f(2)＜f(2)．
故选C.
[答案]　C
[破题技法]　比较f(a)与f(b)的大小，其关键点：
(1)确定函数y＝f(y)在区间上的单调性；
(2)将a与b转化到该单调区间；
(3)确定a与b的大小；
(4)利用单调性，比较f(a)与f(b)的大小．
函数y＝f(x)在[0，2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是(　　)
A．f(1)＜f()＜f()
B．f()＜f(1)＜f()
C．f()＜f()＜f(1)
D．f()＜f(1)＜f()
解析：∵函数y＝f(x)在[0，2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，
∴函数y＝f(x)在[2，4]上单调递增，且在[0，4]上函数y＝f(x)满足f(2－x)＝f(2＋x)，∴f(1)＝f(3)，f()＜f(3)＜f()，
即f()＜f(1)＜f()．故选B.
答案：B
挖掘2　利用单调性解不等式/
互动探究
[例2]　(2020·石家庄一模)设f(x)是定义在[－2b，3＋b]上的偶函数，且在[－2b，0]上为增函数，则f(x－1)≥f(3)的解集为(　　)
A．[－3，3]　　　　　　
B．[－2，4]
C．[－1，5]
D．[0，6]
[解析]　因为f(x)是定义在[－2b，3＋b]上的偶函数，
所以有－2b＋3＋b＝0，解得b＝3，
由函数f(x)在[－6，0]上为增函数，得f(x)在(0，6]上为减函数，故f(x－1)≥f(3)?f(|x－1|)≥f(3)?|x－1|≤3，故－2≤x≤4.选B.
[答案]　B
[破题技法]　利用单调性解不等式
根据单调性求解形如F(f(x))>F(g(x))型的不等式其实质就是利用单调性脱去“F”符号，其关键点为：
(1)判断，判断f(x)、g(x)是否在F(x)的同一个单调区间内；
(2)脱“F”，利用单调性脱去“F”：若F(x)为增，则得到f(x)>g(x)，若F(x)为减，则得到f(x)(3)解“x”，解不等式f(x)>g(x)，(f(x)(4)结论，解得的x与定义域求交集．
挖掘3　利用单调性求最值或值域/
互动探究
[例3]　(2020·上饶一模)函数f(x)＝－x＋在上的最大值是(　　)
A.
B．－
C．－2
D．2
[解析]　法一：易知y＝－x，y＝在上单调递减，∴函数f(x)在上单调递减，
∴f(x)max＝f(－2)＝.故选A.
法二：∵f(x)＝－x＋.
∴f′(x)＝－1－＝－＜0.
∴f(x)在上为减函数．
f(x)max＝f(－2)＝.
[答案]　A
[破题技法]　利用函数的单调性
(1)单调函数的图像是一直上升或一直下降的，因此若单调函数在端点处有定义，则该函数在端点处取最值，即
若y＝f(x)在[a，b]上单调递增，则y最小＝f(a)，y最大＝f(b)；
若y＝f(x)在[a，b]上单调递减，则y最小＝f(b)，y最大＝f(a)．
(2)形如y＝ax＋b＋的函数，若ad＞0，则用单调性求值域；若ad＜0，则用换元法．
(3)形如y＝x＋(k＞0)的函数，若不能用基本不等式，则可考虑用函数的单调性，当x＞0时，函数y＝x＋(k＞0)的单调减区间为(0，)，单调增区间为(，＋∞)．一般地，把函数y＝x＋(k＞0，x＞0)叫作对勾函数，其图像的转折点为(，2)，至于x＜0的情况，可根据函数的奇偶性解决．
挖掘4　利用单调性求参数/
互动探究
[例4]　设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)是R上的增函数，则a的取值范围是________．
[解析]　当a＝0时，显然成立，
当a≠0，∵y1＝ex是R上的增函数，
y＝在R上是减函数，
要y＝是R上的增函数，∴a＜0，
此时y＝ex＋为增函数，故a≤0.
[答案]　(－∞，0]
[破题技法]　利用单调性求参数的范围(或值)的方法
(1)视参数为已知数，依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；
(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，16]　　　　　
B．(－∞，4]
C．[4，＋∞)
D．[16，＋∞)
解析：对函数求导可得f′(x)＝2x－ax－2，
因为函数f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，
所以f′(x)＝2x－ax－2≥0在[2，＋∞)上恒成立，即a≤2x3在[2，＋∞)上恒成立．令g(x)＝2x3，则函数g(x)在[2，＋∞)上是增函数，所以函数g(x)在[2，＋∞)上的最小值为g(2)＝16，所以a≤16.故选A.
答案：A
考点三　抽象函数的单调性
[例]　已知定义在R上的函数f(x)满足：
①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，②当x＞0时，f(x)＞－1.
(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数．
(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)＞5.
[解析]　(1)令x＝y＝0得f(0)＝－1.在R上任取x1＞x2，则x1－x2＞0，f(x1－x2)＞－1.
又f(x1)＝f((x1－x2)＋x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1＞f(x2)，所以，函数f(x)在R上是单调增函数．
(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.
由f(x2＋2x)＋f(1－x)＞5得f(x2＋x＋1)＞f(3)，
又函数f(x)在R上是增函数，
故x2＋x＋1＞3，解得x＜－2或x＞1，故原不等式的解集为{x|x＜－2或x＞1}．
[破题技法]　1.“f”只是体现了“y”与“x”间的一种对应法则．这个法则可表现为公式、图像、表格或不具体的其它形式，但它是必然存在的．
2．对于抽象函数单调性的判定(证明)，必须是根据单调性定义设元、作差、变形、判号、定论这五个步骤进行．体现的是逻辑推理的学科素养．
设函数y＝f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，并且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f＝1.
(1)求f(1)的值；
(2)若存在实数m，使得f(m)＝2，求m的值；
(3)若f(x－2)>2，求x的取值范围．
解析：(1)令x＝y＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0.
(2)因为f＝1，
所以f＝f＝f＋f＝2，所以m＝.
(3)因为f(x－2)>2＝f，
所以则2PAGE　函数及其表示
1．函数的概念
(1)设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
(2)函数的三要素
函数由定义域、对应关系和值域三个要素构成，对函数y＝f(x)，x∈A，其中
①定义域：自变量x的取值范围；
②值域：函数值的集合{f(x)|x∈A}．
2．函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图像法．
3．分段函数
若函数在定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
1．两种对应关系
f：A→B表示从A到B的一个函数，即从A到B的元素是一对一或多对一，值域为B的子集．
2．两个关注点
(1)分段函数是一个函数．
(2)分段函数的定义域、值域是各段定义域、值域的并集．
3．函数的三要素与相等函数
函数的三要素为定义域、对应法则和值域，而值域是由定义域和对应法则确定的，故如果两个函数的定义域、对应法则分别相同，这两个函数为相等函数．
[四基自测]
1．(基础点：函数的定义域)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．[0，2)　　　　　　
B．(2，＋∞)
C．[0，2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
答案：C
2．(基础点：待定系数法求解析式)若f(x)＝x2＋bx＋c且f(1)＝0，f(3)＝0，则f(x)＝________．
答案：x2－4x＋3
3．(基础点：求函数值)已知函数f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，则a＝________．
解析：∵f(x)＝log2(x2＋a)且f(3)＝1，∴1＝log2(9＋a)，∴9＋a＝2，∴a＝－7.
答案：－7
4．(基础点：分段函数)已知函数f(x)＝，则f(f())＝________．
答案：
10页
考点一　求函数的定义域
挖掘1　求给定函数解析式的定义域/
自主练透
[例1]　(1)函数f(x)＝＋lg(3－x)的定义域是(　　)
A．(3，＋∞)　　　　　
B．(2，3)
C．[2，3)
D．(2，＋∞)
[解析]　由题意得解得2＜x＜3，故选B.
[答案]　B
(2)(2020·九江七校联考)函数y＝的定义域是(　　)
A．(－1，3)
B．(－1，3]
C．(－1，0)∪(0，3)
D．(－1，0)∪(0，3]
[解析]　由题意得?－1＜x≤3且x≠0.故选D.
[答案]　D
[破题技法]　已知函数的具体解析式求定义域的方法
(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．
(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．
挖掘2　抽象函数的定义域/
互动探究
[例2]　(1)若函数y＝f(x)的定义域是[0，3]，则函数g(x)＝的定义域是(　　)
A．[0，1)
B．[0，1]
C．[0，1)∪(1，9]
D．(0，1)
[解析]　依题意得即0≤x＜1，因此函数g(x)的定义域是[0，1)，故选A.
[答案]　A
(2)若函数f(2x＋1)的定义域为[－1，1]，则函数f(x2－1)的定义域为________．
[解析]　因为f(2x＋1)的定义域为[－1，1]，即－1≤x≤1，
所以－1≤2x＋1≤3，
对函数f(x2－1)而言，－1≤x2－1≤3，
解得－2≤x≤2.
[答案]　[－2，2]
[破题技法]　1.若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出．
2．若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．
提醒：(1)定义域的形式是集合或者区间；
(2)混淆f(2x＋1)与f(x)与f(x2－1)中的x的意义．
1．若例2(1)的条件不变，求g(x)＝的定义域．
解析：，
∴，
定义域为[0，1)∪(1，]．
2．若例2(2)条件不变，求f(x)的定义域．
解析：由－1≤x≤1，得－1≤2x＋1≤3，
∴f(x)的定义域为[－1，3]．
考点二　求函数的解析式
挖掘1　待定系数法求解析式/
互动探究
[例1]　已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x＋3，则f(x)的解析式为________________．
[解析]　由题意设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3，∴解得或故所求解析式为f(x)＝－2x－3或f(x)＝2x＋1.
[答案]　f(x)＝－2x－3或f(x)＝2x＋1
[破题技法]　
方法
解读
适合题型
待定系数法
先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数，从而得到所求函数的解析式
已知所求曲线的种类和函数解析式的具体形式
挖掘2　配凑、换元法求解析式/
自主练透
[例2]　已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)的解析式为________．
[解析]　法一：设t＝＋1(t≥1)，则x＝(t－1)2，∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
法二：∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，
∴f(＋1)＝(＋1)2－1，
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
[答案]　f(x)＝x2－1(x≥1)
[破题技法]　
方法
解读
适合题型
配凑法
由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式
形如y＝f(g(x))的函数解析式
换元法
对于形如y＝f(g(x))的函数解析式，可令t＝g(x)，从中求出x＝φ(t)，然后代入表达式求出f(t)，得到关于t的解析式，再将t换成x，得到f(x)的解析式，此时自变量x的定义域就是t＝g(x)的值域
形如y＝f(g(x))的函数解析式
挖掘3　方程组法求解析式/
互动探究
[例3]　已知函数f(x)满足f(x)＝2f＋x，求f(x)的解析式．
[解析]　由f(x)＝2f＋x①，得f＝2f(x)＋②，①＋②×2得f(x)＝x＋4f(x)＋，
则f(x)＝－－x.
[破题技法]　
方法
解读
适合题型
解方程组法
已知f(x)与f(g(x))满足的关系式，要求f(x)时，可用φ(x)代替两边的所有x，得到关于f(x)及f(φ(x))的方程组，解之即可得出f(x)
已知关于f(x)与f或f(x)与f(－x)的表达式
已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f·－1，则f(x)＝________．
解析：在f(x)＝2f－1中，用代替x，
得f＝2f(x)－1，
将f＝－1，
代入f(x)＝2f－1中，可求得f(x)＝＋.
答案：＋
考点三　分段函数及应用
挖掘1　已知自变量求函数值/
自主练透
[例1]　(2020·合肥一模)已知函数f(x)＝则f[f(1)]＝(　　)
A．－　　　　　　　
B．2
C．4
D．11
[解析]　∵函数f(x)＝
∴f(1)＝12＋2＝3，∴f[f(1)]＝f(3)＝3＋＝4.故选C.
[答案]　C
挖掘2　给定函数值求自变量/
互动探究
[例2]　(1)已知f(x)＝若f(a)＝，则a＝__________．
[解析]　若a≥0，由f(a)＝得，a＝，
解得a＝；
若a<0，则|sin
a|＝，a∈，
解得a＝－.综上可知，a＝或－.
[答案]　或－
(2)已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝________．
[解析]　当a≤1时，f(a)＝2a－2＝－3无解；
当a＞1时，由f(a)＝－log2(a＋1)＝－3，得a＋1＝8，
解得a＝7，
所以f(6－a)＝f(－1)＝2－1－2＝－.
[答案]　－
挖掘3　分段函数与不等式问题/
互动探究
[例3]　(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1]
B．(0，＋∞)
C．(－1，0)
D．(－∞，0)
[解析]　①当即x≤－1时，?(x＋1)＜?(2x)即为2－(x＋1)＜2－2x，
即－(x＋1)＜－2x，解得x＜1.
因此不等式的解集为(－∞，－1]．
②当时，不等式组无解．
③当即－1＜x≤0时，?(x＋1)＜?(2x)即1＜2－2x，解得x＜0.因此不等式的解集为(－1，0)．
④当即x＞0时，?(x＋1)＝1，?(2x)＝1，不合题意．
综上，不等式?(x＋1)＜?(2x)的解集为(－∞，0)．
故选D.
[答案]　D
挖掘4　分段函数与方程问题/
互动探究
[例4]　(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数?(x)＝g(x)＝?(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)
A．[－1，0)
B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞)
D．[1，＋∞)
[解析]　令h(x)＝－x－a，
则g(x)＝?(x)－h(x)．
在同一坐标系中画出y＝?(x)，y＝h(x)图像的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y＝?(x)的图像与y＝h(x)的图像有2个交点，平移y＝h(x)的图像，可知当直线y＝－x－a过点(0，1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a＜－1时，仅有1个交点，不符合题意．
当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a＞－1时，有2个交点，符合题意．
综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.
[答案]　C
[破题技法]　1.根据分段函数解析式求函数值．首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．
2．已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．
提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．
将例3改为f(x)＝，满足f(x＋1)＞f(2x)的x的范围为________．
解析：由题意得，
得－＜x＜0.
答案：(－，0)
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