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中小学教育资源及组卷应用平台
3.3方差和标准差教案
课题
3.3方差和标准差
单元
三
学科
数学
年级
八年级下册
学习目标
1、会求一组数据的方差、标准差，并会用他们表示数据的离散程度。2、能选择合适的统计量表示数据的集中程度；能用样本的方差来估计总体的方差。
[来3、通过实际情景，提出问题，并寻求解决问题的方法，培养学生应用数学的意识和能力。
重点
方差的概念和计算。
难点
方差如何表示数据的离散程度，学生不容易理解，是本节教学的难点。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、创设情景，引出课题请你出谋划策合作探究1
学校组织“阳光体育运动”．短跑运动可以锻炼人的灵活性，增强人的爆发力，因此小明和小亮在课外活动中，报名参加了短跑训练小组，在近几次百米训练中，所测成绩如图所示，请根据图中的数据解答以下问题．你是他们的教练，将小明与小亮的成绩比较后，你将选哪个同学外出参加比赛？请根据统计图，思考问题：①、跑步成绩偏离平均数的程度与数据的离散程度与折线的波动情况有怎样的联系？②、用怎样的特征数来表示数据的偏离程度？各数据与它们平均数的差的平方的平均数
思考自议
讲授新课
合作探究2议一议：乒乓球的标准直径为40mm，质检部门从A、
B两厂生产的乒乓球中各抽取了10和8只，对这
些乒乓球的直径进行了检测。结果如下（单位：mm）：
A厂：40.0，39.9，40.0，40.1，40.2，39.8，40.0，
39.9，40.0，40.1；
B厂：39.8，40.2，39.8，40.2，39.9，40.1，39.8，40.2它们的平均数统计图及数据值与平均数偏差表如下。如何断定两厂生产的乒乓球谁更标准呢？今天我们一起来探索这个问题。提炼概念在一组数据中，各数据与它们平均数的差的平方的平均数(即“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”)得到的数叫方差。1．方差的概念
定义：在一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，通常用“S2”表示．
公式：S2＝_________________．标准差的定义和计算
定义：方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用“S”表示．
公式：S＝______________．
说明：方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数．1、方差是衡量数据稳定性的一个统计量；2、方差的单位是所给数据单位的平方；3、方差越大，波动越大，越不稳定；
方差越小，波动越小，越稳定。二．典例精讲
例:
为了考察甲、乙两种小麦的长势,分别从中抽出10株苗，测得苗高如下(单位:cm):甲:
12
13
14
15
10
16
13
11
15
11乙:
11
16
17
14
13
19
6
8
10
16(1)分别计算甲、乙两种小麦的方差?(2)问哪种小麦长得比较整齐?分析：（1）平均数
甲：13(cm)
乙：13(cm)
S2甲
=3.6(cm2)
S2乙
=15.8(cm2)
（2）因为S2甲<
S2乙，所以甲种小麦长得比较整齐。
能用样本的方差来估计总体的方差．
体会标准差是方差的一个派生概念，它的优点是单位和样本的数据单位保持一致，给计算和研究带来方便。通过实际情景，提出问题，并寻求解决问题的方法，培养学生应用数学的意识和能力．
课堂检测
三．巩固训练1．已知数据：2，4，2，5，7，则这组数据的众数和中位数分别是
(　　)A．2，2
B．2，4
C．2，5
D．4，42．某跳远队甲、乙两名运动员最近10次跳远成绩的平均数均为602
cm.若甲跳远成绩的方差为S甲2＝65.84，乙跳远成绩的方差为S乙2＝258.21，则成绩比较稳定的是____．(选填“甲”或“乙”)答案：1.B
2.甲3.已知三组数据1、2、3、4、5；11、12、13、14、15和3、6、9、12、15。（1）求这三组数据的平均数、方差和标准差。平均数方差标准差1、2、3、4、511、12、13、14、153、6、9、12、15（2）对照以上结果，你能从中发现哪些有趣的结论？
答案（1）3，3，。13,2，。9，18,3。（2）当第二组每个数据比第一组每个数据增加(或减少)m个单位时，平均数也是增加(或减少)m个单位。方差和标准差不变。当第二组每个数据是的第一组每个数据
n
倍时,方差是n2倍，标准差是n
倍。4.某中学开展“唱红歌”比赛活动，九年级(一)，(二)班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩(满分为100分)如图3－3－2所示．图3－3－2
(1)根据图示填写下表；班级平均数(分)中位数(分)众数(分)九(一)85__85__85九(二)__85__80__100__(2)结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好；(3)计算两班复赛成绩的方差。解：(2)九(一)班成绩好些．因为两个班级的平均数相同，九(一)班的中位数高，所以在平均数相同的情况下中位数高的九(一)班成绩好些；(3)S＝[(75－85)2＋(80－85)2＋2×(85－85)2＋(100－85)2]＝70，S＝[(70－85)2＋2×(100－85)2＋(75－85)2＋(80－85)2]＝160。
课堂小结
1.这节课我们学习了方差、标准差的概念，方差的实质是各数据与平均数的差的平方的平均数。方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。2.标准差是方差的一个派生概念，它的优点是单位和样本的数据单位保持一致，给计算和研究带来方便。
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3.3方差和标准差
浙教版
八年级下
新知导入
合作探究1
学校组织“阳光体育运动”．短跑运动可以锻炼人的灵活性，增强人的爆发力，因此小明和小亮在课外活动中，报名参加了短跑训练小组，在近几次百米训练中，所测成绩如图所示，请根据图中的数据解答以下问题．
你是他们的教练，将小明与小亮的成绩比较后，你将选哪个同学外出参加比赛？
请你出谋划策
新知导入
请根据统计图，思考问题：
①、跑步成绩偏离平均数的程度与数据的离散程度与折线的波动情况有怎样的联系？
②、用怎样的特征数来表示数据的偏离程度？
？
新知讲解
乒乓球的标准直径为40mm，质检部门从A、
B两厂生产的乒乓球中各抽取了10和8只，对这
些乒乓球的直径进行了检测。结果如下（单位：mm）：
A厂：40.0，39.9，40.0，40.1，40.2，39.8，40.0，
39.9，40.0，40.1；
B厂：39.8，40.2，39.8，40.2，39.9，40.1，39.8，
40.2
它们的平均数统计图及数据值与平均数偏差表如下。如何断定两厂生产的乒乓球谁更标准呢？
今天我们一起来探索这个问题。
合作探究2
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10
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3
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6
7
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9
10
40.3
40.2
40.1
40.0
39.9
39.8
39.7
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
数　　据
与平均值的差
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
数　　据
与平均值的差
４０．０　３９．９
４０．０
４０．１
４０．２　３９．８
４０．０
３９．９
４０．０
４０．１
３９．８４０．２　３９．８　４０．２　３９．９　４０．１３９．８　４０．２
A厂
B厂
０　　－０．１　０　　　　０．１　　０．２　－０．２　０　　　－０．１　０　　０．１　
－０．２　０．２　－０．２　０．2　　
－
０．1　　０．１　－０．２　０．２　
在一组数据中，各数据与它们平均数的差的平方的平均数(即“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”)得到的数叫方差。
1．方差的概念
定义：在一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，通常用“S2”表示．
公式：S2＝__________________________________．
2．标准差的定义和计算
定义：方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用“S”表示．
公式：S＝___________________________________．
说明：方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数．
提炼概念
1、方差是衡量数据稳定性的一个统计量；
2、方差的单位是所给数据单位的平方；
3、方差越大，波动越大，越不稳定；
方差越小，波动越小，越稳定。
由方差的定义，要注意：
新知讲解
典例精讲
例:
为了考察甲、乙两种小麦的长势,分别从中抽出10株苗，测得苗高如下(单位:cm):
甲:
12
13
14
15
10
16
13
11
15
11
乙:
11
16
17
14
13
19
6
8
10
16
(1)分别计算甲、乙两种小麦的方差?
(2)问哪种小麦长得比较整齐?
分析：（1）平均数
甲=13(cm)
乙=13(cm)
S2甲
=3.6(cm2)
S2乙
=15.8(cm2)
（2）因为S2甲<
S2乙，所以甲种小麦长得比较整齐
课堂练习
1．已知数据：2，4，2，5，7，则这组数据的众数和中位数分别是
(　　)
A．2，2
B．2，4
C．2，5
D．4，4
2．某跳远队甲、乙两名运动员最近10次跳远成绩的平均数均为602
cm.若甲跳远成绩的方差为S甲2＝65.84，乙跳远成绩的方差为S乙2＝258.21，则成绩比较稳定的是____．(选填“甲”或“乙”)
答案：1.B
2.甲
课堂练习
3.已知三组数据1、2、3、4、5；11、12、13、14、15
和3、6、9、12、15。
（1）求这三组数据的平均数、方差和标准差。
平均数
方差
标准差
1、2、3、4、5
11、12、13、14、15
3、6、9、12、15
（2）对照以上结果，你能从中发现哪些有趣的结论？
平均数
方差
标准差
1、2、3、4、5
3
2
11、12、13、14、15
13
2
3、6、9、12、15
9
18
3
答案（1）
2
2
2
（2）当第二组每个数据比第一组每个数据增加(或减少)m个单位时，平均数也是增加(或减少)m个单位。方差和标准差不变。当第二组每个数据是的第一组每个数据
n
倍时,方差是n2倍，标准差是n
倍。
4．某中学开展“唱红歌”比赛活动，九年级(一)，(二)班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩(满分为100分)如图所示．
(1)根据图示填写下表；
班级
平均数(分)
中位数(分)
众数(分)
九(一)
85
____
85
九(二)
____
80
____
(2)结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好；
(3)计算两班复赛成绩的方差．
(2)九(一)班成绩好些．因为两个班级的平均数相同，九(一)班的中位数高，所以在平均数相同的情况下中位数高的九(一)班成绩好些；
(3)S12＝5(1)[(75－85)2＋(80－85)2＋2×(85－85)2＋(100－85)2]
＝70，
S22＝5(1)[(70－85)2＋2×(100－85)2＋(75－85)2＋(80－85)2]＝160.
班级
平均数(分)
中位数(分)
众数(分)
九(一)
85
__85__
85
九(二)
__85__
80
__100__
解（1）
课堂总结
定义：在一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，通常用“S2”表示。
定义：方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用“S”表示。
方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数。
1、方差是衡量数据稳定性的一个统计量；
2、方差的单位是所给数据单位的平方；
3、方差越大，波动越大，越不稳定；
方差越小，波动越小，越稳定。
作业布置
教材65页习题第1-5题。
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3.3方差和标准差学案
课题
3.3方差和标准差
单元
第三单元
学科
数学
年级
八年级下册
学习目标
1、会求一组数据的方差、标准差，并会用他们表示数据的离散程度。2、能选择合适的统计量表示数据的集中程度；能用样本的方差来估计总体的方差。
[来3、通过实际情景，提出问题，并寻求解决问题的方法，培养学生应用数学的意识和能力。
重点
方差的概念和计算。
难点
方差如何表示数据的离散程度，学生不容易理解，是本节教学的难点。
教学过程
导入新课
【思考】请你出谋划策合作探究1
学校组织“阳光体育运动”．短跑运动可以锻炼人的灵活性，增强人的爆发力，因此小明和小亮在课外活动中，报名参加了短跑训练小组，在近几次百米训练中，所测成绩如图所示，请根据图中的数据解答以下问题．你是他们的教练，将小明与小亮的成绩比较后，你将选哪个同学外出参加比赛？请根据统计图，思考问题：①、跑步成绩偏离平均数的程度与数据的离散程度与折线的波动情况有怎样的联系？②、用怎样的特征数来表示数据的偏离程度？
各数据与它们平均数的差的平方的平均数
新知讲解
合作探究2议一议：：乒乓球的标准直径为40mm，质检部门从A、
B两厂生产的乒乓球中各抽取了10和8只，对这
些乒乓球的直径进行了检测。结果如下（单位：mm）：
A厂：40.0，39.9，40.0，40.1，40.2，39.8，40.0，
39.9，40.0，40.1；
B厂：39.8，40.2，39.8，40.2，39.9，40.1，39.8，40.2它们的平均数统计图及数据值与平均数偏差表如下。如何断定两厂生产的乒乓球谁更标准呢？一组数据中，各数据与它们平均数的差的平方的平均数(即“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”)得到的数叫方差。提炼概念1．方差的概念
定义：在一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，通常用“S2”表示．
公式：S2＝_________________．标准差的定义和计算
定义：方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用“S”表示．
公式：S＝______________．典例精讲例:
为了考察甲、乙两种小麦的长势,分别从中抽出10株苗，测得苗高如下(单位:cm):甲:
12
13
14
15
10
16
13
11
15
11乙:
11
16
17
14
13
19
6
8
10
16(1)分别计算甲、乙两种小麦的方差?(2)问哪种小麦长得比较整齐?
分析：（1）平均数
甲：13(cm)
乙：13(cm)
S2甲
=3.6(cm2)
S2乙
=15.8(cm2)
（2）因为S2甲<
S2乙，所以甲种小麦长得比较整齐。
课堂练习
巩固训练1．已知数据：2，4，2，5，7，则这组数据的众数和中位数分别是
(　　)A．2，2
B．2，4
C．2，5
D．4，42．某跳远队甲、乙两名运动员最近10次跳远成绩的平均数均为602
cm.若甲跳远成绩的方差为S甲2＝65.84，乙跳远成绩的方差为S乙2＝258.21，则成绩比较稳定的是____．(选填“甲”或“乙”)3.已知三组数据1、2、3、4、5；11、12、13、14、15和3、6、9、12、15。（1）求这三组数据的平均数、方差和标准差。平均数方差标准差1、2、3、4、511、12、13、14、153、6、9、12、15对照以上结果，你能从中发现哪些有趣的结论？
答案（1）3，3，。13,2，。9，18,3。（2）当第二组每个数据比第一组每个数据增加(或减少)m个单位时，平均数也是增加(或减少)m个单位。方差和标准差不变。当第二组每个数据是的第一组每个数据
n
倍时,方差是n2倍，标准差是n
倍。4.某中学开展“唱红歌”比赛活动，九年级(一)，(二)班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩(满分为100分)如图3－3－2所示．图3－3－2
(1)根据图示填写下表；班级平均数(分)中位数(分)众数(分)九(一)85____85九(二)____80____(2)结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好；(3)计算两班复赛成绩的方差。解：(2)九(一)班成绩好些．因为两个班级的平均数相同，九(一)班的中位数高，所以在平均数相同的情况下中位数高的九(一)班成绩好些；(3)S＝[(75－85)2＋(80－85)2＋2×(85－85)2＋(100－85)2]＝70，S＝[(70－85)2＋2×(100－85)2＋(75－85)2＋(80－85)2]＝160。
课堂小结
本节课你学到了什么?1.这节课我们学习了方差、标准差的概念，方差的实质是各数据与平均数的差的平方的平均数。方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。2.标准差是方差的一个派生概念，它的优点是单位和样本的数据单位保持一致，给计算和研究带来方便。
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精品试卷·第
2
页
（共
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