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3　理想气体的状态方程
[学习目标]　1.了解理想气体的模型，并知道实际气体看成理想气体的条件.2.掌握理想气体状态方程，知道理想气体状态方程的推导过程.3.能利用理想气体状态方程分析、解决实际问题．

一、理想气体
1．理想气体：在任何温度、任何压强下都遵从气体实验定律的气体．
2．理想气体与实际气体
(1)实际气体在温度不低于零下几十摄氏度、压强不超过大气压的几倍时，可以当成理想气体来处理．
(2)理想气体是对实际气体的一种科学抽象，就像质点、点电荷模型一样，是一种理想模型，实际并不存在．
二、理想气体的状态方程
1．内容：一定质量的某种理想气体，在从一个状态(p1、V1、T1)变化到另一个状态(p2、V2、T2)时，尽管p、V、T都可能改变，但是压强跟体积的乘积与热力学温度的比值保持不变．
2．表达式：＝或＝C.
3．成立条件：一定质量的理想气体．

1．判断下列说法的正误．
(1)理想气体在超低温和超高压时，气体的实验定律不适用了．(　×　)
(2)能用气体实验定律来解决的问题不一定能用理想气体状态方程来求解．(　×　)
(3)对于不同的理想气体，其状态方程＝C(恒量)中的恒量C相同．(　×　)
(4)一定质量的理想气体温度和体积均增大到原来的2倍，压强增大到原来的4倍．(　×　)
2．一定质量的某种理想气体的压强为p，温度为27℃时，气体的密度为ρ，当气体的压强增为2p，温度升为327℃时，气体的密度是________．
答案　ρ




一、对理想气体的理解

气体实验定律对任何气体都适用吗？为什么要引入理想气体的概念？
答案　由于气体实验定律只在压强不太大，温度不太低的条件下理论结果与实验结果一致，为了使气体在任何温度、任何压强下都遵从气体实验定律，引入了理想气体的概念．

1．理想气体严格遵守气体实验定律及理想气体状态方程．
2．理想气体分子本身的大小与分子间的距离相比可忽略不计，分子不占空间，可视为质点．
3．理想气体分子除碰撞外，无相互作用的引力和斥力．
4．理想气体分子无分子势能的变化，内能等于所有分子热运动的动能之和，只和温度有关．
例1　(多选)下列对理想气体的理解，正确的有(　　)
A．理想气体实际上并不存在，只是一种理想模型
B．只要气体压强不是很高就可视为理想气体
C．一定质量的某种理想气体的内能与温度、体积都有关
D．在任何温度、任何压强下，理想气体都遵从气体实验定律
答案　AD
解析　理想气体是一种理想模型，温度不太低、压强不太大的实际气体可视为理想气体；理想气体在任何温度、任何压强下都遵从气体实验定律，选项A、D正确，选项B错误．一定质量的理想气体的内能只与温度有关，与体积无关，选项C错误．
二、理想气体的状态方程

如图1所示，一定质量的某种理想气体从状态A到B经历了一个等温过程，又从状态B到C经历了一个等容过程，请推导状态A的三个参量pA、VA、TA和状态C的三个参量pC、VC、TC之间的关系．

图1
答案　从A→B为等温变化过程，根据玻意耳定律可得pAVA＝pBVB①
从B→C为等容变化过程，根据查理定律可得＝②
由题意可知：TA＝TB③
VB＝VC④
联立①②③④式可得＝.

1．对理想气体状态方程的理解
(1)成立条件：一定质量的理想气体．
(2)该方程表示的是气体三个状态参量的关系，与中间的变化过程无关．
(3)公式中常量C仅由气体的种类和质量决定，与状态参量(p、V、T)无关．
(4)方程中各量的单位：温度T必须是热力学温度，公式两边中压强p和体积V单位必须统一，但不一定是国际单位制中的单位．
2．理想气体状态方程与气体实验定律
＝?
例2　关于气体的状态变化，下列说法正确的是(　　)
A．一定质量的理想气体，当压强不变而温度由100℃上升到200℃时，其体积增大为原来的2倍
B．任何气体由状态1变化到状态2时，一定满足方程＝
C．一定质量的理想气体体积增大到原来的4倍，则气体可能压强减半，热力学温度加倍
D．一定质量的理想气体压强增大到原来的4倍，则气体可能体积加倍，热力学温度减半
答案　C
解析　一定质量的理想气体压强不变，体积与热力学温度成正比，温度由100℃上升到200℃时，体积增大为原来的1.27倍，故A错误；理想气体状态方程成立的条件为气体可看做理想气体且质量不变，故B错误；由理想气体状态方程＝C可知，C正确，D错误．
例3　如图2所示，粗细均匀一端封闭一端开口的U形玻璃管竖直放置，管内水银将一定质量的理想气体封闭在U形管内，当t1＝31℃，大气压强p0＝76cmHg时，两管水银面相平，这时左管被封闭的气柱长L1＝8cm，则当温度t2是多少时，左管气柱长L2为9cm?

图2
答案　78℃
解析　设玻璃管的横截面积为S，
初状态：p1＝p0＝76cmHg，V1＝L1·S＝8cm·S，T1＝304K；
末状态：p2＝p0＋2cmHg＝78cmHg，V2＝L2·S＝9cm·S，
根据理想气体状态方程＝
代入数据解得：T2＝351K，则t2＝(351－273) ℃＝78℃.

应用理想气体状态方程解题的一般步骤
1．明确研究对象，即一定质量的理想气体；
2．确定气体在初、末状态的参量p1、V1、T1及p2、V2、T2；
3．由理想气体状态方程列式求解；
4．必要时讨论结果的合理性．
例4　(2020·唐山市期末)如图3所示，绝热性能良好且足够长的汽缸固定放置，其内壁光滑，开口向右，汽缸中封闭一定质量的理想气体，活塞(绝热)通过水平轻绳跨过轻质滑轮与重物相连，已知活塞的面积S＝10cm2，重物的质量m＝2kg，重力加速度g＝10m/s2，大气压强p0＝1.0×105Pa，滑轮摩擦不计．稳定时，活塞与汽缸底部间的距离为L1＝12cm，汽缸内温度T1＝300K.

图3
(1)通过电热丝对汽缸内气体加热，气体温度缓慢上升到T2＝400K时停止加热，求加热过程中活塞移动的距离d；
(2)停止加热后，在重物的下方加挂一个2kg的重物，活塞又向右移动4cm后重新达到平衡，求此时汽缸内气体的温度T3.
答案　(1)4cm　(2)375K
解析　(1)加热前p1S＋FT＝p0S，FT＝mg
加热后p2S＋FT＝p0S，FT＝mg，
所以p1＝p2＝0.8×105Pa，
加热过程为等压变化，故有＝
代入数据解得d＝4cm.
(2)加挂重物后p3S＋FT′＝p0S，FT′＝(m＋m′)g
由理想气体状态方程＝
代入数据解得T3＝375K.

1．(理想气体的理解)(多选)关于理想气体的认识，下列说法正确的是(　　)
A．它是一种能够在任何条件下都能严格遵守气体实验定律的气体
B．它是一种从实际气体中忽略次要因素，简化抽象出来的理想模型
C．在温度不太高、压强不太低的情况下，气体可视为理想气体
D．被压缩的气体，不能视为理想气体
2．(状态参量的关系)一定质量的理想气体，发生状态变化，下列变化不可能的是(　　)
A．p↑，V↑，T↓ B．p↑，V↓，T↑
C．p↑，V↑，T↑ D．p↓，V↓，T↓
3.(理想气体状态方程的应用)(2020·清远市高三上期末)如图4所示，一汽缸竖直固定在水平地面上，活塞质量m＝4kg，活塞横截面积S＝2×10－3m2，活塞上面的汽缸内封闭了一定质量的理想气体，下面有气孔O与外界相通，大气压强p0＝1.0×105Pa.活塞下面与劲度系数k＝2×103N/m的竖直轻弹簧相连，当汽缸内气体温度为T1＝400 K时弹簧为自然长度，此时缸内气柱长度L1＝20 cm，g取10 m/s2，活塞不漏气且与缸壁无摩擦．

图4
(1)当弹簧为自然长度时，缸内气体压强p1是多少？
(2)当缸内气柱长度L2＝24cm时，缸内气体温度T2为多少K?
4.(理想气体状态方程的应用)如图5所示，U形管左端封闭，右端开口，左管横截面积为右管横截面积的2倍，在左管内用水银封闭一段长为26cm、温度为280K的空气柱，左右两管水银面高度差为36cm，外界大气压为76cmHg.若给左管的封闭气体加热，使管内空气柱长度变为30cm，(忽略温度对水银体积的影响)则此时左管内气体的温度为多少？

图5



考点一　理想气体及理想气体状态方程的理解
1．(多选)关于理想气体的性质，下列说法正确的是(　　)
A．理想气体是一种假想的物理模型，实际并不存在
B．理想气体的存在是一种人为规定，它是一种严格遵守气体实验定律的气体
C．一定质量的理想气体，平均动能增大，其温度一定升高
D．氦是液化温度最低的气体，任何情况下均可当作理想气体
2．对于一定质量的理想气体，下列状态变化中可能实现的是(　　)
A．使气体体积增加而同时温度降低
B．使气体温度升高，体积不变、压强减小
C．使气体温度不变，而压强、体积同时增大
D．使气体温度升高，压强减小，体积减小
3．对于一定质量的理想气体，下列论述正确的是(　　)
A．当分子热运动变剧烈时，压强必变大
B．当分子热运动变剧烈时，压强可以不变
C．当分子间的平均距离变大时，压强必变小
D．当分子间的平均距离变大时，压强必变大
考点二　理想气体状态方程的应用
4.如图1所示为伽利略设计的一种测温装置示意图，玻璃管的上端与导热良好的玻璃泡连通，下端插入水中，玻璃泡中封闭有一定质量的空气．若玻璃管中水柱上升，则外界大气的变化可能是(　　)

图1
A．温度降低，压强增大 B．温度升高，压强不变
C．温度升高，压强减小
D．温度不变，压强减小
5．已知湖水深度为20m，湖底水温为4℃，水面温度为17℃，大气压强为1.0×105Pa.当一气泡从湖底缓慢升到水面时，其体积约为原来的(取g＝10m/s2，ρ水＝1.0×103 kg/m3)(　　)
A．12.8倍B．8.5倍C．3.1倍D．2.1倍
6．(多选)甲、乙两个相同的密闭容器中分别装有等质量的同种气体，已知甲、乙容器中气体的压强分别为p甲、p乙，且p甲 A．甲容器中气体的温度高于乙容器中气体的温度
B．甲容器中气体的温度低于乙容器中气体的温度
C．甲容器中气体分子的平均动能小于乙容器中气体分子的平均动能
D．甲容器中气体分子的平均动能大于乙容器中气体分子的平均动能
7．一定质量的理想气体，经历了如图2所示的状态变化过程，则此三个状态的温度之比是(　　)

图2
A．1∶3∶5 B．3∶6∶5
C．3∶2∶1 D．5∶6∶3
8.我国“蛟龙”号深海探测船载人下潜超过七千米．在某次深潜试验中，“蛟龙”号探测到990m深处的海水温度为280K．某同学利用该数据来研究气体状态随海水深度的变化，如图3所示，导热良好的汽缸内封闭一定质量的气体，不计活塞的质量和摩擦，汽缸所处海平面的温度T0＝300K，压强p0＝1atm，封闭气体的体积V0＝3m3.如果将该汽缸下潜至990m深处，此过程中封闭气体可视为理想气体．求990m深处封闭气体的体积(1atm相当于10m深的海水产生的压强)．

图3

9．(多选)一定质量的理想气体，处于某一状态，要使它的压强经过变化后仍然回到初始状态的压强，下列过程可以实现的是(　　)
A．先保持体积不变，减小压强，再保持温度不变，压缩体积
B．先保持体积不变，增大压强，再保持温度不变，压缩体积
C．先保持温度不变，使体积膨胀，再保持体积不变，降低温度
D．先保持温度不变，压缩体积，再保持体积不变，降低温度
10.如图4所示，一根竖直的弹簧支持着一倒立汽缸的活塞，使汽缸悬空而静止．设活塞与缸壁间无摩擦，可以在缸内自由移动，缸壁导热性良好，使缸内气体的温度保持与外界大气温度相同，则下列结论正确的是(　　)

图4
A．若外界大气压增大，则弹簧将压缩一些
B．若外界大气压增大，则汽缸的上底面距地面的高度将增大
C．若气温升高，则活塞距地面的高度将减小
D．若气温升高，则汽缸的上底面距地面的高度将增大
11.如图5所示，圆柱形汽缸A中用质量为2m的活塞封闭了一定质量的理想气体，气体温度为27℃，汽缸中的活塞通过滑轮系统悬挂一质量为m的重物，稳定时活塞与汽缸底部的距离为h，现在重物m上加挂一个质量为的小物体，已知大气压强为p0，活塞横截面积为S，m＝，不计一切摩擦，求当气体温度升高到37℃且系统重新稳定后，重物m下降的高度．

图5
12.如图6所示，粗细均匀的U形管左端封闭，右端开口，左端用水银封闭着长L＝15cm的理想气体，当温度为27℃时，两管水银面的高度差Δh＝3cm，设外界大气压恒为75cmHg，则：

图6
(1)若对封闭气体缓慢加热，为了使左右两管中的水银面相平，温度需升高到多少？(忽略温度对水银体积的影响)
(2)若保持27℃不变，为了使左右两管中的水银面相平，需从右管的开口端再缓慢注入的水银柱的长度应为多少？





13.如图7，容积为V的汽缸由导热材料制成，面积为S的活塞将汽缸分成容积相等的上下两部分，汽缸上部通过细管与装有某种液体的容积相连，细管上有一阀门K.开始时，K关闭，汽缸内上下两部分气体的压强均为p0.现将K打开，容器内的液体缓慢地流入汽缸，当流入的液体体积为时，将K关闭，活塞平衡时其下方气体的体积减小了.不计活塞的质量和体积，外界温度保持不变，重力加速度大小为g.求流入汽缸内液体的质量．

图7








14．竖直平面内有一直角形内径处处相同的细玻璃管，A端封闭，C端开口，最初AB段处于水平状态，中间有一段水银将气体封闭在A端，各部分尺寸如图8所示．初始时，封闭气体温度为T1＝300K，外界大气压强p0＝75cmHg.求：

图8
(1)若对封闭气体缓慢加热，当水平管内水银全部进入竖直管内时，气体的温度是多少；
(2)若保持(1)问的温度不变，从C端缓慢注入水银，使水银与C端管口平齐，需要注入水银的长度为多少．









参考答案


1．
答案　AB
2．
答案　A
解析　根据理想气体状态方程＝C进行判断．由理想气体状态方程分析可知p↑，V↑，则T↑，故A不可能发生，C可能发生；由理想气体状态方程分析可知p↑，V↓，则T可能升高，也可能降低或不变，故B可能发生；由理想气体状态方程分析可知p↓，V↓，则T↓，故D可能发生．故选A.
3.
答案　(1)8×104Pa　(2)720K
解析　(1)当弹簧为自然长度时，设封闭气体的压强为p1，对活塞受力分析得：
p1S＋mg＝p0S
代入数据得：p1＝8×104Pa
(2)当缸内气柱长度L2＝24cm时，设封闭气体的压强为p2，对活塞受力分析得：
p2S＋mg＝p0S＋F
其中：F＝k(L2－L1)
联立可得：p2＝p0＋
代入数据得：p2＝1.2×105Pa
对缸内气体，根据题意得：V1＝20S
V2＝24S
T1＝400K
根据理想气体状态方程，得：＝
解得T2＝720K.
4.
答案　420K
解析　以封闭气体为研究对象，设左管横截面积为S，当左管封闭的空气柱长度变为30cm时，左管水银柱下降4cm；右管水银柱上升8cm，即两端水银柱高度差为：h′＝24cm，由题意得：V1＝L1S＝26S，p1＝p0－ph＝76cmHg－36cmHg＝40cmHg，T1＝280K，p2＝p0－ph′＝52cmHg，V2＝L2S＝30S.由理想气体状态方程：＝，解得T2＝420K.



考点一　理想气体及理想气体状态方程的理解
1．
答案　ABC
2．
答案　A
解析　由理想气体状态方程＝C得A项中若使压强减小就有可能，故A项正确；体积不变，温度与压强应同时变大或同时变小，故B项错误；温度不变，压强与体积成反比，故不能同时增大，故C项错误；温度升高，压强减小，体积不可能减小，故D项错误．
3．
答案　B
解析　分子热运动变剧烈，说明温度T升高，由＝恒量知，pV要变大，但不知体积变化情况，故无法判定压强变化情况(p可以不变、变大或变小)，因此选项A错误，B正确；分子间的平均间距变大，说明体积变大，由＝恒量知，要变小，但温度T的变化情况不确定，故无法确定p是变大、变小或不变，因此选项C、D错误．
考点二　理想气体状态方程的应用
4.
答案　A
解析　由题意可知，封闭空气温度与大气温度相同，封闭空气体积随水柱的上升而减小，将封闭空气近似看作理想气体，根据理想气体状态方程＝常量，若温度降低，体积减小，则压强可能增大、不变或减小，A正确；若温度升高，体积减小，则压强一定增大，B、C错误；若温度不变，体积减小，则压强一定增大，D错误．
5．
答案　C
解析　湖底压强为p0＋ρ水gh＝3.0×105Pa，即3个大气压强，由理想气体状态方程可得＝，即V2＝×3V1≈3.14V1.所以当一气泡从湖底缓慢升到水面时，其体积约为原来的3.1倍，C正确．
6．
答案　BC
解析　甲、乙两容器中的气体由于质量相等，可以看成同一气体的两个不同状态．则＝，由于V甲＝V乙，p甲 7．
答案　B
解析　由理想气体状态方程得：＝C(C为常数)，可见pV＝TC，即pV的乘积与温度T成正比，故B项正确．
8.
答案　2.8×10－2m3
解析　当汽缸下潜至990m深处时，设封闭气体的压强为p，温度为T，体积为V，由题意知p＝100atm.
由理想气体状态方程得＝，代入数据得
V＝2.8×10－2m3.

9．
答案　AD
解析　先等容变化，p减小，则T减小，再等温变化，V减小，p增大，p可能回到原状态，A正确；先等容变化，p增大，则T升高，再等温变化，V减小，则p又增大，p不可能回到原状态，B错误；先等温变化，V增大，则p减小，再等容变化，T降低，p又减小，p不可能回到原状态，C错误；先等温变化，V减小，则p增大，再等容变化，T降低，则p降低，p可能回到原状态，D正确．
10.
答案　D
解析　以活塞和汽缸整体为研究对象可知，重力等于弹簧弹力，跟外界大气压无关，即弹簧压缩量不变，A错误；因为弹力不变，故活塞距地面的高度不变，C错误；以汽缸为研究对象，若外界大气压增大，则汽缸内气体体积减小，所以汽缸的上底面距地面的高度将减小，B错误；若气温升高，汽缸内气体压强不变，故气体的体积增大，所以上底面距地面的高度将增大，D正确．
11.
答案　0.24h
解析　以汽缸内气体为研究对象，初状态：
p1S＋mg＝p0S＋2mg
V1＝hS，T1＝300K
末状态：p2S＋mg＝p0S＋2mg
V2＝(h＋Δh)S，T2＝310K
由题意知m＝，解得p1＝2p0，p2＝p0
根据理想气体状态方程：＝
解得：Δh＝0.24h.
12.
答案　(1)70.75℃　(2)4.2cm
解析　(1)设U形管横截面积为S，以封闭气体为研究对象
初态：p1＝p0－ρgΔh＝72cmHg
V1＝LS，T1＝300K
末态：p2＝p0＝75cmHg，V2＝(L＋)S
根据理想气体状态方程＝，
代入数据得：T2＝343.75K，故t2＝70.75℃
(2)p3＝75cmHg，V3＝L′S
根据玻意耳定律有；p1V1＝p3V3，
代入数据得：L′＝14.4cm
则需从右管的开口端再缓慢注入的水银柱的长度l＝Δh＋2(L－L′)＝4.2cm.
13.
答案　
解析　设活塞再次平衡后，活塞上方气体的体积为V1，压强为p1；下方气体的体积为V2，压强为p2.在活塞下移的过程中，活塞上、下方气体的温度均保持不变，由玻意耳定律得
p0＝p1V1(2分)
p0＝p2V2(1分)
由已知条件得
V1＝＋－＝V(2分)
V1＝－＝(1分)
设活塞上方液体的质量为m，由力的平衡条件得
p2S＝p1S＋mg(2分)
联立以上各式得
m＝.(2分)



14．
答案　(1)450K　(2)14cm
解析　(1)设细管的横截面积为S，以AB段内封闭的气体为研究对象．
初态p1＝p0＋5cmHg＝80cmHg，V1＝30S，T1＝300K
当水平管内水银全部进入竖直管内时，此时：p2＝p0＋15cmHg＝90cmHg，体积V2＝40S，设此时温度为T2，由理想气体状态方程得：＝
解得T2＝450K.
(2)保持温度不变，初态p2＝90cmHg，体积V2＝40S，末态p3＝p0＋25cmHg＝100cmHg
由玻意耳定律得：p2V2＝p3V3
解得V3＝36S
故需要加入的水银长度Δl＝(30＋20－36) cm＝14cm.

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