资源简介

简谐运动
目标体系构建
明确目标·梳理脉络
【学习目标】
1．知道什是机械振动，什么是弹簧振子。
2．知道什么样的振动是简谐运动。
3．理解简谐运动的位移—时间图像是一条正弦曲线。
4．经历对简谐运动特征的探究过程，加深领悟用图像描述运动的方法。
【思维脉络】
—
课前预习反馈
教材梳理·落实新知
知识点
1　机械振动与弹簧振子
1．机械振动
(1)定义：物体(或物体的一部分)总是在某一位置附近的__往复运动__，叫机械振动，简称振动。
(2)特征：第一，有一个“中心位置”，即__平衡__位置，也是振动物体静止时的位置；第二，运动具有__往复性__。
2．弹簧振子
(1)弹簧振子：弹簧振子是指__小球__和__弹簧__所组成的系统，是一种__理想化__模型。
(2)振子模型：常见的有水平弹簧振子和竖直弹簧振子。如图所示，图甲中球与杆之间的摩擦力及空气阻力可以__忽略__，且弹簧的质量与小球的质量相比可以__忽略__。
知识点
2　弹簧振子的位移—时间图像
1．建立坐标系
以小球的__平衡位置__为坐标原点，沿着__它的振动__方向建立坐标轴。规定小球在平衡位置__右边__时它对平衡位置的位移为正，在__左边__时为负(以水平弹簧振子为例)。
2．位移—时间图像
横坐标表示振子振动的__时间__，纵坐标表示振子相对__平衡位置__的位移。
3．物理意义
反映了振子的__位移__随__时间__的变化规律。
知识点
3　简谐运动及其图像
1．简谐运动
(1)定义：如果物体的位移与时间的关系遵从__正弦__函数的规律，即它的振动图像(x－t图像)是一条__正弦__曲线，这样的振动叫作简谐运动。
(2)特点：①简谐运动是最__基本__、最简单的振动。
②简谐运动的位移随时间按正弦规律变化，所以它不是匀变速运动，是变力作用下的__变加速__运动。
2．简谐运动的图像
(1)形状：正(余)弦曲线，如图所示。
(2)物理意义：表示振动的质点在不同时刻偏离__平衡位置__的位移，是位移随时间的变化规律。
(3)获取信息：从图像上可直接看出不同时刻振动质点的__位移__大小和方向。
思考辨析
『判一判』
(1)简谐运动是匀变速运动。(　×　)
(2)弹簧振子每次经过平衡位置时，位移为零、动能最大。(　√　)
(3)简谐运动是最简单、最基本的振动。(　√　)
(4)弹簧振子的运动不一定是简谐运动。(　×　)
(5)简谐运动的图像描述的是振动质点的轨迹。(　×　)
(6)只要质点的位移随时间按正弦规律变化，这个质点的运动就是简谐运动。(　√　)
『选一选』
如图所示，一弹性小球被水平抛出，在两个互相竖直平行的平面间运动，小球落在地面之前的运动(　D　)
A．是机械振动，但不是简谐运动
B．是简谐运动，但不是机械振动
C．是简谐运动，同时也是机械振动
D．不是简谐运动，也不是机械振动
解析：机械振动具有往复的特性，可以重复地进行，小球在运动过程中，没有重复运动的路径，因此不是机械振动，当然也不是简谐运动。
『想一想』
如图所示的三个图线分别是用不同的传感器测出的不同物体的振动图线。从三个图线可知，这三个物体的振动有什么共同特点？三个振动物体中，最简单的振动是哪一个？
解析：由图可看出，三个物体振动的共同特点是都具有周期性；弹簧振子的图线是简谐运动的图线，是最简单的振动。
课内互动探究
细研深究·破疑解难
探究?
对弹簧振子和简谐运动的理解
┃┃情境导入__■
如图，弹簧连接的塑料小球穿在细木杆上，该装置是否为弹簧振子？若不计小球与杆间的摩擦，小球运动过程中通过B点时，小球的位移如何表示？
提示：小球为塑料小球，质量较小，因此该装置不能看作弹簧振子；小球的位移大小为OB的长度，方向由O指向B。
┃┃要点提炼__■
1．实际物体看作理想振子的条件
(1)弹簧的质量比小球的质量小得多，可以认为质量集中于振子(小球)；
(2)构成弹簧振子的小球体积足够小，可以认为小球是一个质点；
(3)忽略弹簧以及小球与水平杆之间的摩擦力；
(4)小球从平衡位置被拉开的位移在弹性限度内。
2．对简谐运动的位移、速度和加速度的理解
(1)简谐运动的位移
位移的表示方法：以平衡位置为坐标原点，以振动所在的直线为坐标轴，规定正方向，则某时刻振子偏离平衡位置的位移可用该时刻振子所在位置的坐标来表示。
(2)简谐运动的速度
①物理含义：速度是描述振子在平衡位置附近振动快慢的物理量。在所建立的坐标轴(也称“一维坐标系”)上，速度的正负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反。
②特点：如图所示为一简谐运动的模型，振子在A、B之间振动，则振子在O点速度最大，在A、B两点速度为零。
(3)简谐运动的加速度
①产生：水平弹簧振子的加速度是由弹簧弹力产生的。
②方向特点：总是指向平衡位置。
③大小变化规律：远离平衡位置运动，振子的加速度增大；向平衡位置运动，振子的加速度减小；平衡位置振子的加速度为零；最大位移处振子的加速度最大。
┃┃典例剖析__■
典例1　(2020·上海市长宁区高三第一学期期末)如图所示，弹簧振子在B、C两点间做无摩擦的往复运动，O是振子的平衡位置。则振子(　A　)
A．从B向O运动过程中位移一直变小
B．从O向C运动过程中加速度一直变小
C．从B经过O向C运动过程中速度一直变小
D．从C经过O向B运动过程中速度一直变小
思路引导：根据弹簧振子的振动过程分析处理。
解析：振子从B向O运动时，是向着平衡位置移动，位移变小，故A正确；振子从O向B运动时，是从平衡位置向最大位移运动的过程，所以位移变大，加速度变大，故B错误；从B经过O向C运动过程中速度先增大后变小，故C错误；从C经过O向B运动过程中速度先增大后变小，故D错误。
┃┃对点训练__■
1．(多选)弹簧上端固定在O点，下端连接一小球，组成一个振动系统，如图所示，用手拉一小段距离后释放小球，小球便上下振动起来，关于小球的平衡位置，下列说法正确的是(　ACD　)
A．在小球原来静止的位置
B．在弹簧处于原长的位置
C．在小球速度最大的位置
D．在小球加速度为零的位置
解析：小球原来静止时的位置为平衡位置，小球在平衡位置附近做往复运动，在平衡位置处速度最大，加速度为零，故选项B错误，ACD正确。
探究?
对简谐运动图像的理解
┃┃情境导入__■
研究一个物体的振动是否为简谐运动，可以通过作出的振动图像来判断。如图所示，在弹簧振子的小球上安置一记录用的毛笔P，在下面放一白纸带，请思考：
(1)振子振动时白纸不动，画出的轨迹是怎样的？
(2)振子振动时，匀速拖动白纸，画出的轨迹又是怎样的？
提示：(1)一条直线
(2)一条正弦(或余弦)曲线
┃┃要点提炼__■
1．图像形状：正(余)弦曲线。
2．物理意义：表示振动质点在不同时刻偏离平衡位置的位移，是位移随时间的变化规律。
3．从图像可获取的信息
(1)任意时刻质点的位移的大小和方向。如图1所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2。
图1
图2
(2)任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图2中a点，下一时刻离平衡位置更远，故a此刻向x轴正向振动。
(3)任意时刻质点的速度、加速度、位移的变化情况及大小比较：看下一时刻质点的位置，判断是远离还是衡位置，若远离平衡位置，则速度越来越小，加速度、位移越来越大，若衡位置，则速度越来越大，加速度、位移越来越小，如图2中b，从正位移向着平衡位置运动，则速度为负且增大，位移、加速度正在减小，c从负位移远离平衡位置运动，则速度为负且减小，位移、加速度正在增大。
┃┃典例剖析__■
典例2
(多选)(2020·江苏省启东市高二下学期调研)如图甲所示的弹簧振子在A、B两点间做简谐运动，O点为平衡位置，图乙为此弹簧振子的振动图像，则(　BC　)
A．t＝0.6
s时，弹簧振子的速度最大
B．从t＝0到t＝0.2
s时间内，弹簧振子做加速度增大的减速运动
C．在t＝0.5
s和t＝0.7
s两个时刻，弹簧振子在同一位置
D．t＝0.2
s时，弹簧振子的位移为负向最大
思路引导：根据振动图像处理问题时，要把振动图像和振子的运动情况结合起来，建立物理情景，进行综合分析。
解析：由图可知，t＝0.6
s时，弹簧振子的位移为负向最大值，速度为零，故A错误；从t＝0到t＝0.2
s时间内，弹簧振子的位移增大，加速度增大，速度减小，所以弹簧振子做加速度增大的减速运动，故B正确；在t＝0.5
s和t＝0.7
s两个时刻，弹簧振子的位移相同，说明弹簧振子在同一位置，故C正确；t＝0.2
s时，弹簧振子的位移为正向最大，故D错误。
┃┃对点训练__■
2．(多选)如图是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移—时间图像，下列有关该图像的说法正确的是(　ACD　)
A．该图像的坐标原点是建立在弹簧振子小球的平衡位置
B．从图像可以看出小球在振动过程中是沿t轴方向移动的
C．为了显示小球在不同时刻偏离平衡位置的位移，让底片沿垂直x轴方向匀速运动
D．图像中小球的疏密显示出相同时间内小球位置变化快慢不同
解析：该图像的坐标原点是建立在弹簧振子的平衡位置，小球的振动过程是沿x轴方向移动的，故A对，B错。由获得图像的方法知C对。频闪照相是在相同时间留下的小球的像，因此小球的疏密显示了它的位置变化快慢，D对。
核心素养提升
以题说法·启智培优
简谐运动的对称性
举例：如图所示，物体在A与B间运动，O点为平衡位置，C和D两点关于O点对称
时间的对称
TOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝tDO＝tOC＝tCO，tDB＝tBD＝tAC＝tCA
速度的对称
①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反
位移和加速度的对称
①物体经过同一点(如C点)时，位移和加速度均相同②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，位移与加速度均大小相等，方向相反
动能、势能、机械能的对称
①物体连续两次经过同一点(如D点)时的动能、势能、机械能均相等②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时的动能、势能、机械能均相等
案例
如图所示，一个做简谐运动的质点，先后以同样的速度通过相距10
cm的A、B两点，历时0.5
s，过B点后再经过t＝0.5
s，质点以大小相等、方向相反的速度再次通过B点，则质点从离开O点到再次回到O点的最短时间为(O点为AB的中点)(　B　)
A．0.5
s
B．1.0
s　
C．2.0
s
D．4.0
s
解析：根据题意，由振动的对称性可知：O点为平衡位置，A、B两点对称分布在O点两侧，质点从O点向右运动到B点的时间应为tOB＝×0.5
s＝0.25
s。质点从B点向右到达最大位移处(D点)的时间tBD＝×0.5
s＝0.25
s。所以质点从离开O点到再次回到O点的时间t＝2tOD＝2×(0.25＋0.25)s＝1.0
s，故正确选项为B。
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7
-简谐运动的描述
目标体系构建
明确目标·梳理脉络
【学习目标】
1．知道振幅、周期和频率的概念，知道全振动的含义。
2．了解初相位和相位差的概念以及相位的物理意义。
3．了解简谐运动表达式中各物理量的意义。
【思维脉络】
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课前预习反馈
教材梳理·落实新知
知识点
1　描述简谐运动的物理量
1．振幅
(1)定义：振动物体离开平衡位置的__最大距离__，用A表示，国际单位：m。
(2)振动范围：振动物体运动范围为__振幅__的两倍。
2．全振动：类似于O→B→O→C→O的一个__完整__的振动过程。
3．周期和频率
(1)周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的__时间__，用T表示，国际单位：
s。
(2)频率：单位时间内完成全振动的__次数__，用f表示，单位：
Hz。
(3)周期T与频率f的关系：T＝____。
(4)物理意义：周期和频率都是表示物体__振动快慢__的物理量，周期越小，频率__越大__，表示物体振动越快。
4．相位
用来描述周期性运动在各个时刻所处的__不同状态__。
知识点
2　简谐运动的表达式
简谐运动的函数表达式为x＝__Asin(ωt＋φ)__。
1．A：表示简谐运动的__振幅__。
2．ω：是一个与频率成正比的量，叫作简谐运动的“圆频率”，表示简谐运动的快慢，ω＝____＝__2πf__。
3．ωt＋φ：代表简谐运动的__相位__。
4．φ：表示t＝0时的相位，叫作__初相__。
思考辨析
『判一判』
(1)周期、频率是表征物体做简谐运动振动快慢的物理量。(　√　)
(2)振幅就是指振子的位移。(　×　)
(3)振幅就是指振子的路程。(　×　)
(4)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程不一定是一次全振动过程。(　√　)
(5)两个振动物体相位相同，则其振动步调相反。(　×　)
(6)振子个周期通过的路程一定等于1个振幅。(　×　)
『选一选』
(多选)一个质点做简谐运动，其振动图像如图所示，下列说法中正确的是(　ABD　)
A．振动周期为4
s
B．振动频率为0.25
Hz
C．振动的振幅为10
cm
D．5
s末质点的位移为零
解析：由图像可看出，T＝4
s，f＝0.25
Hz，A＝5
cm,5秒末x＝0，故ABD正确，C错误。
『想一想』
振子完成一次全运动时走过的路程与振幅是什么关系？与起始位置有关系吗？
解析：完成一次全运动，路程为振幅的4倍，即s＝4A，与起始位置无关。
课内互动探究
细研深究·破疑解难
探究?
描述简谐运动的物理量
┃┃情境导入__■
扬声器发声时，手摸喇叭的发音纸盆会感觉到它在振动，把音响声音调大，发觉纸盆的振动更加剧烈，想想这是为什么？
提示：扬声器发出的声音是由其喇叭的纸盆振动形成的，振动越剧烈，即振幅越大，纸盆振动的能量越大，喇叭越响，手感觉纸盆振动得越厉害，说明振幅是反映振动剧烈程度的物理量。
┃┃要点提炼__■
1．对全振动的理解
正确理解全振动的概念，应注意把握振动的五个特征。
(1)振动特征：一个完整的振动过程。
(2)物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。
(3)时间特征：历时一个周期。
(4)路程特征：振幅的4倍。
(5)相位特征：增加2π。
2．振幅、位移和路程的关系
振幅
位移
路程
定义
振动物体离开平衡位置的最大距离
从平衡位置指向振子所在位置的有向线段
运动轨迹的长度
矢、标性
标量
矢量
标量
变化
在稳定的振动系统中不发生变化
大小和方向随时间做周期性变化
随时间增加
联系
(1)振幅等于位移最大值的数值；(2)振子在一个周期内的路程等于4个振幅；而振子在一个周期内的位移等于零。
┃┃典例剖析__■
典例1
如图所示，将弹簧振子从平衡位置拉下一段距离Δx，释放后振子在A、B间振动，且AB＝20
cm，振子首次由A到B的时间为
0.1
s，求：
(1)振子振动的振幅、周期和频率；
(2)振子由A到O的时间；
(3)振子在5
s内通过的路程及位移大小。
思路引导：振子完成一次全振动所需要的时间叫作振动的周期，周期和频率互为倒数关系。路程是振子在振动过程中实际通过的距离。要注意各物理量之间的区别与联系。
解析：(1)从题图可知，振子振动的振幅为10
cm，
t＝0.1
s＝，所以T＝0.2
s。由f＝得f＝5
Hz。
(2)根据简谐运动的对称性可知，振子由A到O的时间与振子由O到B的时间相等，均为0.05
s。
(3)设弹簧振子的振幅为A，A＝10
cm。
振子在1个周期内通过的路程为4A，
故在t＝5
s＝25T内通过的路程
s＝40×25
cm＝1
000
cm＝10
m。
5
s内振子振动了25个周期，5
s末振子仍处在A点，所以振子偏离平衡位置的位移大小为10
cm。
答案：(1)10
cm　0.2
s　5
Hz　(2)0.05
s　(3)10
m　10
cm
┃┃对点训练__■
1．一质点做简谐运动，其相对平衡位置的位移x与时间t的关系如图所示，由图可知(　C　)
A．质点振动的频率为1.6
Hz
B．质点振动的振幅为4.0
cm
C．在0.3
s和0.5
s两时刻，质点的速度方向相同
D．在0.3
s和0.5
s两时刻，质点的加速度方向相同
解析：由图读出周期T＝1.6
s，则频率为：f＝＝
Hz，故A错误；质点的振幅等于振子的位移最大值，由图直接读出振幅A＝2
cm，故B错误；在0.3
s时刻，质点正从正向最大位移向平衡位置运动，速度沿负方向；在0.5
s时刻，质点正从平衡位置向负向最大位移处运动，速度方向沿负方向，故这两个时刻的速度方向相同，故C正确；在0.3
s和0.5
s两时刻，质点的加速度方向相反，故D错误。
探究?
对简谐运动表达式的理解
┃┃情境导入__■
简谐运动的函数表达式的一般形式为x＝Asin(ωt＋φ)，简谐运动的函数表达式能否用余弦函数表示？
提示：简谐运动的位移和时间的关系既可以用正弦函数表示，也可以用余弦函数表示，只是对应的初相位不同。
┃┃要点提炼__■
1．简谐运动的表达式
x＝Asin(ωt＋φ)
2．各量的物理含义
(1)圆频率：表达式中的ω称作简谐运动的圆频率，它表示简谐运动物体振动的快慢。与周期T及频率f的关系：ω＝＝2πf；
(2)φ表示t＝0时，简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相。ωt＋φ代表做简谐运动的质点在t时刻处在一个运动周期中的哪个状态，所以代表简谐运动的相位。
3．从运动方程中得到的物理量
振幅、周期和圆频率、初相位，因此可应用运动方程和ω＝＝2πf对两个简谐运动比较周期、振幅和计算相位差。
特别提醒
关于相位差Δφ＝φ2－φ1的说明：
(1)取值范围：－π≤Δφ≤π。
(2)Δφ＝0，表明两振动步调完全相同，称为同相。Δφ＝π，表明两振动步调完全相反，称为反相。
(3)Δφ>0，表示振动2比振动1超前。Δφ<0，表示振动2比振动1滞后。
┃┃典例剖析__■
典例2
有一弹簧振子在水平方向上的B、C之间做简谐运动，已知B、C间的距离为20
cm，振子在2
s内完成了10次全振动。若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t＝0)，经过周期振子有负向最大位移。
(1)求振子的振幅和周期。
(2)画出该振子的位移—时间图像。
(3)写出振子的振动方程。
思路引导：先根据题中条件确定振幅和周期，画图像时要注意计时起点，确定初相位。
解析：
(1)弹簧振子在B、C之间做简谐运动，BC＝20
cm，故振幅A＝10
cm；振子在2
s内完成了10次全振动，振子的周期T＝0.2
s，ω＝＝10π
rad/s。
(2)振子经过平衡位置时开始计时，故t＝0时刻，位移是0，经周期，振子的位移为负向最大，故振子的位移—时间图像如图所示。
(3)由函数图像可知振子的位移与时间的函数关系式为x＝10sin(10πt＋π)cm。
答案：(1)10
cm　0.2
s　(2)图见解析
(3)x＝10sin(10πt＋π)cm
┃┃对点训练__■
2．一弹簧振子的位移y随时间t变化的关系式为y＝0.1sin(2.5πt)，位移y的单位为m，时间t的单位为
s。则(　C　)
A．弹簧振子的振幅为0.2
m
B．弹簧振子的周期为1.25
s
C．在t＝0.2
s时，振子的运动速度为零
D．弹簧振子的振动初相位为2.5π
解析：由表达式可知：A＝0.1
m，T＝＝＝0.8
s，φ＝0，所以A、B、D均错；t＝0.2
s时，振子在最大位移处，速度为零，C正确。
核心素养提升
以题说法·启智培优
简谐运动的周期性
简谐运动具有重复性和周期性，要比较两个时刻t1、t2做简谐运动的质点的振动情况，有以下规律。
1．若t2－t1＝nT，则t1、t2两时刻振动物体的运动情况完全相同。
2．若t2－t1＝nT＋T，则t1、t2两时刻物体的各矢量(x、F、a、v…)均大小相等，方向相反。
3．当t2－t1＝nT＋T或t2－t1＝nT＋T时，若t1时刻物体在平衡位置，则t2时刻物体到达最大位移处；若t1时刻物体在最大位移处，则t2时刻物体到达平衡位置。
案例
一弹簧振子做简谐运动，周期为T，则(　C　)
A．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍
B．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则Δt一定等于的整数倍
C．若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动的加速度一定相等
D．若Δt＝，则在t时刻和(t＋Δt)时刻弹簧的长度一定相等
解析：弹簧振子做简谐运动的图像如图所示，图中A点与B、E、F、I等点的振动位移大小相等，方向相同。由图可知，A点与E、I等点对应的时间差为T或T的整数倍，A点与B、F等点对应的时间差不为T或T的整数倍，因此A选项不正确。
图中A点跟B、C、F、G等点的振动速度大小相等，方向相反，由图可知A点与C、G等点对应的时间差为或的整数倍，A点与B、F等点对应的时间差不为或的整数倍，因此B选项不正确。如果t时刻和(t＋Δt)时刻相差一个周期T，则这两个时刻的振动情况完全相同，加速度一定相等，选项C正确。如果t时刻和(t＋Δt)时刻相差半个周期，则这两个时刻振动的位移大小相等，方向相反，弹簧的长度显然是不相等的，选项D也不正确。
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7
-简谐运动的回复力和能量
目标体系构建
明确目标·梳理脉络
【学习目标】
1．掌握简谐运动中回复力的特点。
2．会用动力学的方法，分析简谐运动中位移、速度、回复力和加速度的变化规律。
3．会用能量守恒的观点，分析水平弹簧振子中动能、势能、总能量的变化规律。
【思维脉络】
—
课前预习反馈
教材梳理·落实新知
知识点
1　简谐运动的回复力
1．简谐运动的动力学定义
如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置的位移大小成__正比__，并且总是指向__平衡位置__，质点的运动就是简谐运动。
2．回复力
项目
内容
定义
振动质点受到的总能使其回到__平衡位置__的力
方向
总是指向__平衡位置__
表达式
F＝__－kx__
效果
总是要把物体拉回到__平衡位置__
知识点
2　简谐运动的能量
1．振动系统的状态与能量的关系
(1)振子的速度与动能：速度不断__变化__，动能也在不断__变化__。
(2)弹簧形变量与势能：弹簧形变量在不断__变化__，因而势能也在不断__变化__。
2．简谐振动的能量
振动系统的能量一般指振动系统的机械能。振动的过程就是动能和势能互相转化的过程。
(1)在最大位移处，__势能__最大，__动能__为零；
(2)在平衡位置处，__动能__最大，__势能__最小；
(3)在简谐运动中，振动系统的机械能__守恒__(选填“守恒”或“减小”)，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。
3．决定能量大小的因素
振动系统的机械能跟__振幅__有关，__振幅__越大，机械能就越大，振动越强。
思考辨析
『判一判』
(1)简谐运动的回复力可以是恒力。(　×　)
(2)简谐运动平衡位置就是质点所受合力为零的位置。(　×　)
(3)做简谐运动的质点，振幅越大其振动的能量就越大。(　√　)
(4)回复力的方向总是跟位移的方向相反。(　√　)
(5)弹簧振子在运动过程中机械能守恒。(　√　)
(6)通过速度的增减变化情况，能判断回复力大小的变化情况。(　√　)
『选一选』
把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置O在A、B间振动，如图所示，下列结论正确的是(　C　)
A．小球在O位置时，动能最小，加速度最小
B．小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大
C．小球从A经O到B的过程中，回复力先做正功，后做负功
D．小球从B到O的过程中，振动的能量不断减小
解析：振子经过平衡位置时，速度最大，位移为零，所以经过平衡位置动能最大，回复力为零，加速度为零，故A错误；在A、B位置时，速度为零，位移最大，回复力最大，加速度最大，故B错误；由于回复力指向平衡位置，所以振子从A经O到B的过程中，回复力先做正功，后做负功，故C正确；振子的动能和弹簧的势能相互转化，且总量保持不变，即振动的能量保持不变，故D错误。
『想一想』
弹簧下面挂一小钢球如图所示，它所受的力与位移的关系也满足F＝－kx吗？x为弹簧的形变量吗？它振动的回复力由哪些力提供？是简谐运动吗？
答案：满足；不是；由弹簧弹力和重力的合力提供；是
解析：设振子的平衡位置为O，向下为正方向，此时弹簧已伸长了x0
设弹簧的劲度系数为k，由平衡条件得kx0＝mg
①
当振子偏离平衡位置距离为x时
F回＝mg－k(x＋x0)
②
由①②得F回＝－kx，
所以该振动是简谐运动。
课内互动探究
细研深究·破疑解难
探究?
简谐运动的回复力和加速度
┃┃情境导入__■
下图为水平弹簧振子的模型，则：
(1)振子在运动过程中所受的合力有什么特点？
(2)振子所受的合力产生了什么效果？
提示：(1)振子所受的合力总是指向平衡位置。
(2)合力的效果总是把振子拉回到平衡位置。
┃┃要点提炼__■
1．回复力的来源
(1)回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力，是按照力的作用效果来命名的，分析物体的受力时，不分析回复力。
(2)回复力可以由某一个力提供(如弹力、摩擦力等)，也可能是几个力的合力，还可能是某一力的分力，归纳起来回复力一定等于物体在振动方向上所受的合力。
2．简谐运动的回复力
(1)表达式：F＝－kx。
①由F＝－kx知，简谐运动的回复力大小与振子的位移大小成正比，回复力的方向与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置。
②公式F＝－kx中k指的是回复力与位移间的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数，系数k由振动系统自身决定。
3．加速度特点
根据牛顿第二定律，a＝＝－x，表明弹簧振子做简谐运动时振子的加速度大小也与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反。
特别提醒
(1)回复力F＝－kx和加速度a＝－x是简谐运动的动力学特征和运动学特征，常用两式来证明某个振动为简谐运动。
(2)k的单位：式中“k”虽然是系数，但有单位，其单位是由F和x的单位决定的，即为N/m。　
┃┃典例剖析__■
典例1
物体做简谐运动时，下列叙述中正确的是(　A　)
A．平衡位置就是回复力为零的位置
B．处于平衡位置的物体，一定处于平衡状态
C．物体到达平衡位置，合力一定为零
D．物体到达平衡位置，回复力不一定为零
思路引导：简谐运动中回复力不一定是物体受到的合外力。例如弹簧振子受到的回复力是合外力，单摆(后面学习)则不是。
解析：由回复力及平衡位置的定义可知，振子处于平衡位置时回复力为零，选项A正确D错误；物体停在平衡位置时处于平衡状态，物体振动至平衡位置时不一定处于平衡状态，合力不一定为零，选项B、C错误。
┃┃对点训练__■
1．(2021·山东省聊城高二检测)做简谐运动的物体，其加速度a随位移x的变化规律应是图中的哪一个(　B　)
解析：物体做简谐运动时，加速度和位移的关系为a＝－x，加速度大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反，根据数学知识可知图像B正确。
探究?
对简谐运动能量的认识
┃┃情境导入__■
如图所示，在水平弹簧振子的运动过程中，弹性势能最大的位置有几个？动能最大的位置有几个？
提示：弹性势能最大的位置有两个，分别对应于振子运动的最左端和最右端。动能最大的位置只有一个，就是弹簧振子运动到平衡位置的时候。
┃┃要点提炼__■
1．决定因素
对于一个确定的振动系统，简谐运动的能量由振幅决定，振幅越大，系统的能量越大。
2．能量获得
开始振动系统的能量是通过外力做功由其他形式的能转化来的。
3．能量转化
当振动系统自由振动后，如果不考虑阻力作用，系统只发生动能和势能的相互转化，机械能守恒。
4．理想化模型
a．从力的角度分析，简谐运动没考虑摩擦阻力。b．从能量转化角度分析，简谐运动没考虑因阻力做功能量损耗。
特别提醒
因为动能和势能是标量，所以：
(1)在振动的一个周期内，动能和势能间完成两次周期性变化，经过平衡位置时动能最大，势能最小；经过最大位移处时，势能最大，动能最小；
(2)振子运动经过平衡位置两侧的对称点时，具有相等的动能和相等的势能。　
┃┃典例剖析__■
典例2
如图所示，两根完全相同的弹簧和一根张紧的细线将甲、乙两物体束缚在光滑水平面上，已知甲的质量大于乙的质量、当细线突然断开后，两物体都开始做简谐运动，在运动过程中(　C　)
A．甲的振幅大于乙的振幅
B．甲的振幅小于乙的振幅
C．甲的最大速度小于乙的最大速度
D．甲的最大速度大于乙的最大速度
思路引导：对甲乙两个物体进行受力分析，由物体的平衡条件可以分析弹力，进而分析弹簧的形变量，细线剪断之后甲乙两个物体都做简谐运动，弹簧和物体所构成的系统机械能守恒，再根据弹性势能和动能之间的相互转化可以确定所求关系。
解析：由题意知，在细线未断之前两个弹簧所受到的弹力是相等的，所以当细线断开后，甲、乙两个物体做简谐运动时的振幅是相等的，A、B错误；两物体在平衡位置时的速度最大，此时的动能等于弹簧刚释放时的弹性势能，所以甲、乙两个物体的最大动能是相等的，则质量大的物体速度小，所以C正确，D错误。
┃┃对点训练__■
2．右图为某个弹簧振子做简谐运动的图像，由图像可知(　B　)
A．由于在0.1
s末位移为零，所以振子的振动能量为零
B．在0.2
s末振子具有最大势能
C．在0.4
s末振子具有的势能尚未达到最大值
D．在0.4
s末振子的动能最大
解析：简谐振动的能量是守恒的，故A、C错；0.2秒末、0.4秒末位移最大，动能为零，势能最大，故B对，D错。
核心素养提升
以题说法·启智培优
判断振动是否为简谐运动的方法
(1)以平衡位置为原点，沿运动方向建立直线坐标系。
(2)在振动过程中任选一个位置(平衡位置除外)，对振动物体进行受力分析。
(3)将力在振动方向上分解，求出振动方向上的合力。
(4)判定振动方向上合外力(或加速度)与位移关系是否符合F＝－kx(或a＝－x)，若符合，则为简谐运动，否则不是简谐运动。
案例
一个质量为m，侧面积为S的正方形木块放在水面上静止(平衡)，如图所示。现用力向下将其压入水中一小距离后撤掉外力，木块在水面上下振动，试判断木块的振动是否为简谐运动。
解析：以木块为研究对象，设静止时木块浸入水中Δx深，
当木块再被压入水中x后所受力如图所示，
则F回＝mg－F浮，又F浮＝ρgS(Δx＋x)。
由以上两式，得F回＝mg－ρgS(Δx＋x)＝mg－ρgSΔx－ρgSx。
∵mg＝ρgSΔx，∴F回＝－ρgSx。即F回＝－kx，(k＝ρgS)。即木块做简谐运动。
答案：是简谐运动
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7
-单摆
目标体系构建
明确目标·梳理脉络
【学习目标】
1．知道什么是单摆，了解单摆的构成。
2．掌握单摆振动的特点，知道单摆回复力的来源，理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动。
3．知道单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周期公式，并能用来进行有关计算。
【思维脉络】
—
课前预习反馈
教材梳理·落实新知
知识点
1　单摆
1．单摆模型
(1)由细线和__小球__组成。
(2)细线的质量和小球相比__可以忽略__。
(3)小球的直径与线的长度相比__可以忽略__。
2．摆动特点：在摆角很小时，位移—时间图线是一条正弦曲线，说明单摆的运动是__简谐运动__。
知识点
2　单摆的回复力
1．回复力的来源
摆球的重力沿__圆弧切线__方向的分力。
2．回复力的特点
在偏角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成__正比__，方向总指向__平衡位置__，即F＝__－x__。
知识点
3　单摆的周期
1．探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响
(1)探究方法：__控制变量__法。
(2)实验结论：
①单摆振动的周期与摆球质量__无关__。
②振幅较小时周期与振幅__无关__。
③摆长越长，周期__越大__；摆长越短，周期__越小__。
2．定量探究单摆的周期与摆长的关系
(1)周期的测量：用停表测出单摆N(30～50)次全振动的时间t，利用T＝____计算它的周期。
(2)摆长的测量：用__刻度尺__测出细线长度l0，用__游标卡尺__测出小球直径D，利用l＝__l0＋__求出摆长。
(3)数据处理：改变__摆长__，测量不同__摆长__及对应周期，作出T－l，T－l2或T－图像，得出结论。
3．周期公式
(1)公式的提出：周期公式是荷兰物理学家__惠更斯__首先提出的。
(2)公式：T＝__2π__，即T与摆长l的二次方根成__正比__，与重力加速度g的二次方根成__反比__。
思考辨析
『判一判』
(1)制作单摆的细线不能太长也不能太短，1
m左右为宜。(　√　)
(2)制作单摆的摆球越大越好。(　×　)
(3)单摆在任何情况下的运动都是简谐运动。(　×　)
(4)单摆的回复力是重力沿圆弧切向的分力。(　√　)
(5)单摆的周期与摆球的质量无关。(　√　)
(6)单摆的振幅越小，周期越小。(　×　)
『选一选』
单摆的振动周期在发生下述哪些情况时会增大(　D　)
A．摆球质量增大
B．摆长减小
C．单摆由赤道移到北极
D．单摆由海平面移到高山顶上
解析：单摆的周期公式可表示为：T＝2π，周期与摆球质量无关，选项A错误；摆长变小，周期变小，选项B错误；由赤道到北极g变大，T变小，选项C错误；海拔高度增大，g变小，T增大，选项D正确。综上本题选D。
『想一想』
2013年6月20日，中国首位“太空教师”王亚平在“天宫一号”内进行了授课。假设王亚平将一个摆钟(如图)带到空间站内，则该摆动的钟摆周期如何变化？
提示：在空间站内摆球完全失重，回复力为零，等效值g′＝0，摆球不摆动了，周期无穷大。
课内互动探究
细研深究·破疑解难
探究?
对单摆的回复力及运动特点的理解
┃┃情境导入__■
如图所示，一根细线上端固定，下端连接一个金属小球，用手使小球偏离竖直方向一个夹角，然后释放。
(1)小球受到哪些力的作用？
(2)什么力提供向心力？
(3)什么力提供回复力？
提示：(1)小球受细线的拉力和重力作用。
(2)细线的拉力和重力沿径向的分力的合力提供向心力。
(3)重力沿圆弧切线方向的分力提供小球振动的回复力。
┃┃要点提炼__■
1．回复力来源
单摆的回复力是重力沿圆弧切向的分力F＝mgsinθ提供的。
2．单摆做简谐运动的推证
(1)在任意位置P，则有向线段为此时的位移x，重力G沿圆弧切线方向的分力G1＝Gsinθ提供摆球以O点为中心做往复运动的回复力。
(2)在摆角很小时，sinθ≈θ＝，G1＝Gsinθ＝x，G1方向与摆球位移方向相反，所以有回复力F回＝G1＝－。令k＝，则F回＝－kx。
因此，在摆角θ很小时，单摆做简谐运动。(摆角一般不超过5°)
特别提醒
(1)单摆振动的回复力为摆球重力沿圆弧切线方向的分力，回复力不是摆球所受的合外力。
(2)单摆的摆动不一定都是简谐运动，只有单摆做小角度(摆角小于5°)摆动时才认为是简谐运动。
┃┃典例剖析__■
典例1
将一个摆长为l的单摆放在一个光滑的、倾角为α的斜面上，其摆角为θ，如图所示，下列说法正确的是(　A　)
A．摆球做简谐运动的回复力为F＝mgsinθsinα
B．摆球做简谐运动的回复力为F＝mgsinθ
C．摆球经过平衡位置时合力为零
D．摆球在运动过程中，经过平衡位置时，线的拉力为F′＝mgsinα
思路引导：将重力准确分解到沿斜面方向是解题的关键。
解析：摆球做简谐运动的回复力由重力沿斜面的分力沿圆弧的切向分力来提供，则回复力为F＝mgsinθsinα，故选项A正确，B错误；摆球经过平衡位置时，回复力为零，向心力最大，故其合外力不为零，所以选项C错误；设摆球在平衡位置时速度为v，由动能定理得mgsinα(l－lcosθ)＝mv2，由牛顿第二定律得F′－mgsinα＝m，由以上两式可得线的拉力为F′＝3mgsinα－2mgsinαcosθ，故选项D错误。
┃┃对点训练__■
1．图中O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中(　D　)
A．摆球在A点和C点处，速度为零，合力也为零
B．摆球在A点和C点处，速度为零，回复力也为零
C．摆球在B点处，速度最大，回复力也最大
D．摆球在B点处，速度最大，向心力也最大
解析：摆球在摆动过程中，最高点A、C处速度为零，回复力最大，合力不为零，故A、B错误；在最低点B，速度最大，回复力为零，摆球做圆周运动，其向心力最大，故C错误，D正确。
探究?
对单摆周期公式的理解及应用
┃┃情境导入__■
惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟。摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重锤势能提供，运动的速率由钟摆控制。旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动，如图所示。一只冬天很准的摆钟到了夏天却不准了，是走快了还是慢了？怎么调节才能重新准确计时？
提示：由冬天到夏天，摆杆变长，周期变大，摆钟走慢了，应将调节螺母上移。
┃┃要点提炼__■
1．单摆的周期
单摆的振动周期与振幅和质量无关，只决定于摆长与该处的重力加速度g，T＝2π。
2．对摆长的理解
(1)实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度，即l＝L＋，L为摆线长，d为摆球直径。
(2)等效摆长。
图(a)中甲、乙在垂直纸面方向摆动起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为l·sina，这就是等效摆长，其周期T＝2π。
图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效。
3．影响g的主要因素
(1)g由单摆所在的空间位置决定。由g＝G知，g随所在地球表面的位置和高度的变化而变化，高度越高，g的值就越小，另外，在不同星球上g也不同。
(2)g还由单摆系统的运动状态决定，如单摆处在向上加速的升降机中，设加速度为a，则重力加速度的等效值g′＝g＋a；若升降机加速下降，则重力加速度的等效值g′＝g－a。
┃┃典例剖析__■
典例2
一个单摆的摆长为l，在其悬点O的正下方
0.19l
处有一钉子P(如图所示)，现将摆球向左拉开到A，使摆线偏角θ<5°，放手后使其摆动，摆动到B的过程中摆角也小于5°，求出单摆的振动周期。
思路引导：单摆做简谐运动的摆长有所变化，它的周期为两个不同单摆的半周期的和。
解析：释放后摆球到达右边最高点B处，由机械能守恒可知B和A等高，则摆球始终做简谐运动。
小球在左边的周期为T1＝2π
小球在右边的周期为T2＝2π
则整个单摆的周期为T＝＋＝π＋π＝1.9π
答案：1.9π
┃┃对点训练__■
2．(多选)(2020·北京师大附中高二下学期期中)下图为同一实验中甲、乙两个单摆的振动图像，从图像可知(　CD　)
A．两摆球的质量相等　
B．两单摆的振幅相等
C．两单摆相位相差π/2
D．两单摆的摆长相等
解析：单摆的周期与质量无关，故A错误；由振动图线可看出两单摆的振幅不同，相位差相差，故B错，C对；由图线知两单摆的周期都是T＝8
s，由周期公式可知两单摆的摆长相等，故D对。
核心素养提升
以题说法·启智培优
不同系统中的等效重力加速度
在不同的运动系统中，单摆周期公式中的g应理解为等效重力加速度，其大小等于单摆相对系统静止时的摆线拉力与摆球质量的比值。
g等效＝g－a
确定等效重力加速度的方法：当单摆在平衡位置“停摆”时，绳拉力与质量之比
g等效＝g＋a
g等效＝
当摆球受到除重力、拉力以外的其他力为恒力时，采用等效法，将重力和恒力的合力等效为重力
g等效＝
g等效＝g
当摆球受到除重力、拉力以外的其他力的方向总是与速度方向垂直时，等效重力加速度仍为g，即T不变
g等效＝g
l等效＝Rg等效＝g
当圆弧轨道半径R?x时，小球在圆弧轨道上的运动相当于单摆的运动
案例
如图所示的几个相同单摆在不同条件下，关于它们的周期关系，其中判断正确的是(　C　)
A．T1>T2>T3>T4　　
B．T1C．T1>T2＝T3>T4
D．T1解析：图(1)中，当摆球偏离平衡位置时，重力沿斜面的分力(mgsinθ)等效为重力，即单摆等效的重力加速度g1＝gsinθ；图(2)中两个带电小球的斥力总与运动方向垂直，不影响回复力；图(3)为标准单摆；图(4)摆球处于超重状态，等效重力增大，故等效重力加速度增大，g4＝g＋a。由单摆振动的周期公式T＝2π，故T1>T2＝T3>T4，选项C正确。
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8
-实验：用单摆测量重力加速度
目标体系构建
明确目标·梳理脉络
【学习目标】
1．理解用单摆测重力加速度的思路与科学探究方法。
2．学会用公式法或图像法处理实验数据。
3．会分析导致实验误差的原因。
【思维脉络】
课前预习反馈
教材梳理·落实新知
知识点
1　实验目的
通过测量摆长、周期，利用公式g＝____求出当地的重力加速度。
知识点
2　实验器材
铁架台及铁夹、金属小球(上面有一个通过球心的小孔)、__秒表__、细线(长1
m左右)、刻度尺(最小刻度为1
mm)、__游标卡尺__。
知识点
3　实验原理与设计
1．实验的基本思想——理想化模型：单摆在偏角很小(不大于5°)时的运动，可以看成__简谐__运动。
2．实验原理：由单摆的周期公式T＝2π，可得g＝____，据此通过实验测出摆长l和周期T，即可计算得到当地的重力加速度。
3．实验设计——两个物理量的测量方法。
(1)单摆长度的测量。
用__刻度尺__测量单摆的线长，用__游标卡尺__测量摆球的直径。摆长即摆线静止时从悬点到球心间的距离。
(2)单摆周期的测量。
测出单摆n次全振动的总时间t，单摆周期为T＝____。
课内互动探究
细研深究·破疑解难
┃┃情境导入__■
某同学利用如图所示的装置测量当地的重力加速度。
(1)测量周期从什么位置开始计时？
(2)采用什么样的方法处理数据较好？
提示：(1)小球通过最低位置时
(2)图像法
┃┃要点提炼__■
一、实验步骤：
1．做单摆：将线的一端穿过小球的小孔，并打一比孔大的结。然后把线的上端用铁夹固定于铁架台上，在平衡位置处做上标记。
2．测摆长：用毫米刻度尺测出摆线长度l线，用游标卡尺测量出摆球的直径d，则单摆的摆长l＝l线＋。
3．测周期：将单摆从平衡位置拉开一个小于5°的角，然后释放摆球，当单摆振动稳定后，过最低位置时开始用秒表计时，测量N次(一般取30～50次)全振动的时间t，则周期T＝。
4．变摆长：将单摆的摆长变短(或变长)，重复实验三次，测出相应的摆长l和周期T。
二、数据收集与分析
1．公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式中求出g值，最后求出g的平均值。
设计如下所示实验表格
实验次数
摆长l/m
周期T/s
重力加速度g/(m·s－2)
重力加速度g的平均值/(m·s－2)
1
2
3
g＝
2．图像法：由T＝2π得T2＝l，作出T2－l图像，即以T2为纵轴，以l为横轴。其斜率k＝，由图像的斜率即可求出重力加速度g。
三、误差分析
1．实验原理不完善造成系统误差：公式T＝2π是在小偏角下对于单摆的理想模型总结出来的，存在系统误差。
2．测量、操作不够准确造成偶然误差：
(1)摆长的测量存在误差。
(2)测n次全振动的时间t存在误差。
(3)作图存在误差。
考点一　实验原理及操作
┃┃典例剖析__■
典例1
(2021·人大附中高二检测)某实验小组的同学做“用单摆测定重力加速度”的实验。
(1)实验时除用到秒表、刻度尺外，还应该用到下列器材中的__AC__。
A．长约1
m的细线
B．长约1
m的橡皮绳
C．直径约1
cm的均匀铁球
D．直径约10
cm的均匀木球
(2)选择好器材后，将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上，应采用图中__乙__(选填“甲”或“乙”)所示的固定方式。
(3)将单摆正确悬挂后进行如下操作，其中正确的是__BC__。
A．测出摆线长作为单摆的摆长
B．把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度由静止释放，使之做简谐运动
C．在摆球经过平衡位置时开始计时
D．用秒表测量单摆完成1次全振动所用时间并作为单摆的周期
(4)用L表示单摆的摆长，用T表示单摆的周期，则计算重力加速度的表达式为g＝__L__。
思路引导：单摆测定重力加速度的原理为g＝，还要知道：摆角很小的情况下单摆的振动才是简谐运动；摆长等于摆线的长度加上摆球的半径，为减小误差应保证单摆在摆动的过程中，摆长不能发生变化。在最低点，单摆振动速度最快，开始计时误差较小。
解析：(1)A对，B错：实验过程中单摆摆长应保持不变，应选择长约1
m的细线作为摆线，摆线不能选择有弹性的橡皮绳。
C对，D错：为减小实验误差，应选择密度大而体积小的球作为摆球，应选择直径约1
cm的均匀铁球作为摆球，不要选用直径约10
cm的均匀木球。
(2)在该实验的过程中，悬点要固定，应采用图乙中所示的固定方式。
(3)A错：摆线长度与摆球半径之和是单摆的摆长。
B对：单摆在小角度下的运动为简谐运动，应把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动。
C对：为减小测量误差，应在摆球经过平衡位置时开始计时。
D错：为减小测量误差，应测出n个周期的总时间t，然后求出周期：T＝，用单摆完成1次全振动所用时间并作为单摆的周期实验误差较大。
(4)由T＝2π，得g＝L。
┃┃对点训练__■
1．根据单摆周期公式T＝2π，可以通过实验测量当地的重力加速度。如图1所示，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一小钢球，就做成了单摆。
(1)用游标卡尺测量小钢球直径，示数如图2所示，读数为__18.6__mm。
(2)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有__abe__。
a．摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一些
b．摆球尽量选择质量大些、体积小些的
c．为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置有较大的角度
d．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置大于5°，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时间间隔Δt即为单摆周期T
e．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间Δt，则单摆周期T＝
解析：(1)(18＋6×0.1)mm＝18.6
mm
(2)利用单摆测重力加速度时，选用的细绳伸缩性要小，尽可能长一些，这样减小测长度的误差，a对；摆球的质量大，体积小，可以减小阻力，b对；摆角不能大于5°，且从平衡位置开始计时，测量30～50次全振动的时间，c、d错，e对。
考点二　数据分析与处理
┃┃典例剖析__■
典例2
在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，用摆长l和周期T计算重力加速度的公式是g＝____。若已知摆球直径为2.00
cm，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图甲所示，则单摆摆长是__0.875_0__m。若测定了40次全振动的时间如图乙中秒表所示，则秒表读数是__75.2__s，单摆摆动周期是__1.88_s__。
为了提高测量精度，需多次改变l值，并测得相应的T值。现将测得的六组数据标示在以l为横坐标，以T2为纵坐标的坐标系上，即图中用“·”表示的点，则：
(1)单摆做简谐运动应满足的条件是__摆角小于5°__。
(2)试根据图中给出的数据点作出T2和l的关系图线，根据图线可求出g＝__9.8(9.9也正确)__m/s2。(结果取两位有效数字)
思路引导：秒表的长针是秒针，转一周是30
s。因为机械停表采用齿轮传动，指针不可能停留在两小格之间，所以不能估读出比0.1
s更短的时间。位于停表上部中间的小圆圈里面的短针是分针，分针走一圈是15
min，每小格为
0.5
min。读数：t＝短针读数(t1)＋长针读数(t2)。
解析：由T＝2π，可知g＝。由图可知：摆长l＝(88.50－1.00)cm＝87.50
cm＝0.875
0
m。秒表的读数t＝60
s＋15.2
s＝75.2
s，所以T＝＝1.88
s。
(1)单摆做简谐运动的条件是摆角小于5°。
(2)把在一条直线上的点连在一起，误差较大的点平均分布在直线的两侧，则直线斜率k＝。
由g＝＝，可得g＝9.8
m/s2，(9.9
m/s2也正确)。
┃┃对点训练__■
2．(2020·北京师大附中高二检测)小雷在做“利用单摆测重力加速度”实验中，先测得摆线长为97.20
cm；用20分度的游标卡尺测得小球直径如图所示，然后用秒表记录了单摆全振动50次所用的时间。则：
(1)小球直径为__2.980__cm。
(2)如果他在实验中误将49次全振动数为50次，测得的g值__偏大__(选填“偏大”“偏小”或“准确”)。
(3)他以摆长(L)为横坐标、周期的二次方(T2)为纵坐标作出了T2－L图线，由图像测得的图线的斜率为k，则测得的重力加速度g＝____。(用题目中给定的字母表示)
(4)小雷根据实验数据作出的图像如图所示，造成图像不过坐标原点的原因可能是__测量摆长时未计入摆球的半径__。
解析：(1)由题图可知，小球的直径D＝29
mm＋0.05
mm×16＝29.80
mm＝2.980
cm。
(2)实验中将49次全振动数为50次，会导致测得周期偏小，根据g＝知，测得重力加速度偏大。
(3)根据单摆的周期公式T＝2π得T2＝l，
可知斜率k＝，则重力加速度g＝。
(4)图像不通过坐标原点，将图像向右平移1
cm就会通过坐标原点，故相同的周期下，摆长偏小1
cm，故可能是测摆长时漏掉了摆球的半径。
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-受迫振动　共振
目标体系构建
明确目标·梳理脉络
【学习目标】
1．了解阻尼振动、受迫振动、共振的概念。
2．知道受迫振动的频率由驱动力的频率决定。
3．掌握发生共振的条件，了解共振的防止和利用。
【思维脉络】
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课前预习反馈
教材梳理·落实新知
知识点
1　固有振动、阻尼振动
1．固有振动
振动系统__在不受外力作用下__的振动。
2．固有频率
__固有__振动的频率。
3．阻尼振动
振幅随时间__逐渐减小__的振动。
知识点
2　受迫振动
1．驱动力
作用于振动系统的__周期性__外力。
2．受迫振动
系统在__驱动力__作用下的振动叫受迫振动。
3．受迫振动的频率
做受迫振动的系统振动稳定后，其振动频率等于__驱动力__的频率，与系统的__固有频率__无关。
知识点
3　共振
1．条件
驱动力频率__等于__系统的固有频率。
2．特征
共振时受迫振动的物体__振幅__最大。
3．共振的应用与防止
(1)共振的应用
采用方法：在应用共振时，驱动力频率接近或等于振动系统的__固有频率__。
(2)共振的防止
采用方法：在防止共振时，驱动力频率与系统的__固有频率__相差越大越好。
思考辨析
『判一判』
(1)阻尼振动是机械能不断减小的振动，它一定不是简谐运动。(　√　)
(2)单摆的振幅越来越小，是因为其能量在不断消失。(　×　)
(3)在外力作用下的振动就是受迫振动。(　×　)
(4)受迫振动的频率与振动系统的固有频率无关。(　√　)
(5)驱动力频率越大，振幅越大。(　×　)
(6)共振只有害处没有好处。(　×　)
『选一选』
如图所示，某同学看到一只鸟落在树枝上的P处，树枝在10
s
内上下振动了6次。鸟飞走后，他把50
g的砝码挂在
P处，发现树枝在10
s内上下振动了12次，将50
g的砝码换成500
g砝码后，他发现树枝在15
s内上下振动了6次，你估计鸟的质量最接近(　B　)
A．50
g
B．200
g　
C．500
g
D．550
g
解析：振动系统的频率是由振动系统的自身来决定的。鸟与树枝组成的系统频率f1＝
Hz＝0.6
Hz，50
g砝码与树枝组成的系统频率f2＝
Hz＝1.2
Hz，500
g砝码与树枝组成的系统频率为f3＝
Hz＝0.4
Hz，而f3g与500
g之间，故选B。
『想一想』
某工厂的一个车间里，机器一开动，整个车间就灰尘四起，即对工人的健康有害，也影响产品的质量，为此厂里请来了一个建筑工程师，他到车间看后，叫人在车间里建了几根水泥立柱，问题就解决了。请你解释其中的奥秘。
答案：建几根水泥立柱，改变了车间的固有频率，使之不再与机器的振动频率接近，避免车间产生共振现象。
课内互动探究
细研深究·破疑解难
探究?
简谐运动、阻尼振动与受迫振动
┃┃情境导入__■
生活中会见到阵风吹过树枝，使树枝左右摇摆，一会儿树枝就会停下来，而荡秋千的小朋友在一旁大人的不断推动下不停地摆动。
(1)树枝的运动是什么运动？
(2)秋千的摆动是什么运动？
提示：(1)阻尼振动　(2)受迫振动
┃┃要点提炼__■
1．认识三种振动
(1)简谐运动是一种理想化的模型，物体运动过程中的一切阻力都不考虑。
(2)阻尼振动考虑阻力的影响，是更实际的一种运动。
(3)受迫振动是物体做阻尼振动时受到周期性驱动力作用下的振动。
2．简谐运动、阻尼振动与受迫振动的比较
振动类型比较项目　　
简谐运动
阻尼振动
受迫振动
产生条件
不受阻力作用
受阻力作用
受阻力和驱动力作用
频率
固有频率
固有频率
驱动力频率
振幅
不变
减小
大小变化不确定
振动图像
形状不确定
实例
弹簧振子振动，单摆做小角度摆动
敲锣打鼓发出的声音越来越弱，是因振幅越来越小
扬声器纸盆振动发声，钟摆的摆动
特别提醒
(1)阻尼振动的频率：阻尼振动中振幅虽逐渐减小，但振动频率不会变化，此频率称为固有频率，由振动系统决定。
(2)阻尼振动与简谐运动的关系：实际的振动都会受到阻力的作用，是阻尼振动。当阻力很小时，可认为是简谐运动。　
┃┃典例剖析__■
典例1
(多选)一单摆在空气中振动，振幅逐渐减小，下列说法正确的是(　AD　)
A．单摆的机械能逐渐转化为其他形式的能
B．单摆后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能
C．单摆振幅减小，频率也随着减小
D．单摆振幅虽然减小，但其频率不变
思路引导：理解阻尼振动要从两个方面入手：一是从振动能量上来讲，由于阻力做功，振动物体的机械能逐渐减小，振幅逐渐变小，但由于振动中动能与势能相互转化，不能说下一时刻的动能(或势能)变小；二是从振动周期、频率上看，周期与频率由振动系统本身决定，阻尼振动中周期、频率不变。
解析：单摆做阻尼振动，因不断克服空气阻力做功使机械能转化为内能，但是在振动过程中，动能和势能仍不断相互转化，不能确定两个时刻的动能与势能的大小关系，故选项A正确，选项B错误。做阻尼振动的物体，频率由系统的特征决定，与振幅无关，所以其频率不变，选项C错误，选项D正确。
┃┃对点训练__■
1．(多选)下列说法正确的是(　ACD　)
A．实际的自由振动必然是阻尼振动
B．在外力作用下的振动是受迫振动
C．阻尼振动的振幅越来越小
D．受迫振动稳定后的频率与自身物理条件无关
解析：实际的自由振动中，由于阻力不可避免，故是阻尼振动，A正确；只有在周期性外力(驱动力)的作用下物体所做的振动才是受迫振动，B错误；阻尼振动振幅越来越小，C正确；受迫振动稳定后的频率等于驱动力的频率，D正确。
探究?
对共振的理解
┃┃情境导入__■
用扁担挑水前进时，有时桶里的水会荡得厉害，并从桶中溅出来，这是为什么？
提示：人挑水时，通过扁担对水桶施加周期性的驱动力，当驱动力的频率等于桶里水的固有频率时，水发生共振，水的振荡就越来越厉害，就会从桶中溅出来。
┃┃要点提炼__■
1．共振的定义
物体做受迫振动时，当驱动力的频率等于系统的固有频率时，振动的振幅最大，这种现象叫共振。
2．发生共振的条件
f驱＝f固，即驱动力的频率等于振动系统的固有频率。
3．共振曲线
如图所示，共振曲线直观地反映出驱动力的频率对受迫振动物体振幅的影响。由共振曲线可知，当驱动力的频率与物体的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大。
4．从功能关系理解
当驱动力的频率等于固有频率时，驱动力整个周期都与物体运动方向一致，从而任何时间都做正功，振动能量不断增加，直到增加的能量等于克服阻力消耗的能量时，振幅达到最大值。
特别提醒
(1)受迫振动的振幅与驱动力频率有关。
(2)受迫振动的振幅可以不变，但受迫振动的机械能是不守恒的。
(3)共振是物体做受迫振动时的一种特殊现象。
共振有利时尽量让f接近f0，有害时尽量让f远离f0。　
┃┃典例剖析__■
典例2　如图所示，在曲轴A上悬挂一个弹簧振子，如果不转动把手B，而用手向下拉振子小球m，放开手后，让小球上下自由振动测得弹簧振子做30次全振动所用的时间是15
s；如果匀速转动把手，也可使弹簧振子上下振动。若使把手以转速n＝30
r/min匀速转动，当弹簧振子的振动达到稳定后，它的振动周期是__2__
s。若要想使弹簧振子的振幅达到最大，则把手的转速应为__120__r/min。
思路引导：匀速转动摇把后，振子做受迫振动，驱动力的周期等于把手转动的周期。根据受迫振动特征f受迫＝f驱，有T受迫＝T驱。为使振子的振幅达到最大，只要T驱＝T固即可。
解析：受迫振动的特点：f受迫＝f驱，f受迫与固有频率无关，若发生共振则f驱＝f固
T固＝＝0.5
s，转速n＝30
r/min＝
r/s＝0.5
r/s
角速度ω＝2πn＝π
rad/s，∴T受迫＝＝2
s
若使振子振幅达到最大则有，T驱＝T固，即＝0.5
则n′＝2
r/s＝120
r/min
┃┃对点训练__■
2．(2020·江苏省扬州中学高二下学期期中)一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图所示，则(　B　)
A．此单摆的固有周期约为0.5
s
B．此单摆的摆长约为1
m
C．若摆长增大，单摆的固有频率增大
D．若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动
解析：由图可知，若单摆的振动频率与固有频率相等，则周期为2
s，由T＝2π，可得L≈1
m，故A错B对；若摆长增大，则单摆的固有频率减小，其共振曲线的“峰”将向左移动，故C、D错。
核心素养提升
以题说法·启智培优
共振的利用与防止
(1)利用：由共振的条件知，要利用共振，就应尽量使驱动力的频率与物体的固有频率一致。
(2)防止：由共振曲线可知，在需要防止共振危害时，要尽量使驱动力的频率和固有频率不相等，而且相差越大越好。
案例
(多选)把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这样就做成了一个共振筛(如图所示)，筛子做自由振动时，完成10次全振动用时15
s，在某电压下，电动偏心轮转速是36r/min。已知增大电压可使偏心轮转速提高；增加筛子的质量，可以增大筛子的固有周期，那么要使筛子的振幅增大，下列哪些做法是正确的(　AC　)
A．提高输入电压　　
B．降低输入电压　　　
C．增加筛子质量　　
D．减小筛子质量
解析：在题设条件下，筛子振动固有周期T固＝
s＝1.5
s，电动偏心轮的转动周期(对筛子来说是驱动力的周期)T驱＝
s＝1.67
s，要使筛子振幅增大，就是使这两个周期值靠近，可采用两种做法：第一，提高输入电压使偏心轮转得快一些，减小驱动力的周期；第二，增加筛子的质量使筛子的固有周期增大。
方法提升：
共振筛的工作原理是利用共振现象，当电动机偏心轮的转动周期跟筛子的固有周期相等时，就会发生共振。
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