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二次函数
基础知识
二次函数的对称轴、顶点、单调性、值域
二次函数的解析式的三种表达形式
二次函数的区间最值
二次函数的零点分布
典型问题
1.在上的最大值为1，求实数的值.
2.已知，函数.
如果的最大值为，最小值为，且，求证：，且
如果如果的最大值为，最小值为，求的值.
3.设为实数，函数
讨论的奇偶性；
(2)求的最小值。
三、跟踪训练
1.方程有两个不相等的实根，则常数的取值范围是________
2.二次函数对任意实数都有，且在上是增函数，则实数的取值范围是__________
3.若函数在区间上的最小值为，最大值为，求.
4.设为实数，函数.
若，求的取值范围；
求的最小值；
设函数，直接写出（不需要给出步骤）不等式的解集.二次函数
基础知识
二次函数的对称轴、顶点、单调性、值域
二次函数的解析式的三种表达形式
二次函数的区间最值
二次函数的零点分布
典型问题
1.在上的最大值为1，求实数的值.
解：
时，在上不能取得1，故此。
的对称轴为。
（1）令，解得，此时。
因为，最大，所以不符合；
（2）令，解得，此时。
因为，且距有段点2较远，所以最大，符合要求。
（3）令，得，验证后知只有才符合要求。
综上所述，或者。
2.已知，函数.
如果的最大值为，最小值为，且，求证：，且
如果的最大值为，最小值为，求的值.
解：（1）
又，而
最大值与最小在或处不会同时取得。
当时，有一个极值点。
，则。
又
（2）
而
所以
3.设为实数，函数
讨论的奇偶性；
(2)求的最小值。
解：（1）当时，，易知，且
所以是偶函数。
当时，，易知且
所以是非奇非偶函数。
（2）当时，
当时，；
当时，不存在最小值。
当时，。
当时，
当时，
综上，当时，的最小值为；当时，的最小值为；当时，的最小值为。
三、跟踪训练
1.方程有两个不相等的实根，则常数的取值范围是________
解：，且函数在对称轴处，即时，方程也有两个不同的实根，所以p的范围为或。
2.二次函数对任意实数都有，且在上是增函数，则实数的取值范围是__________
解：因为对任意实数都有，所以的图像关于对称，又因的对称轴为，所以，得出。
整理得出，这个函数的对称轴为，且开口向下。
要保证在上是增函数知要保证，代入，解得。
3.若函数在区间上的最小值为，最大值为，求.
解：（1）若，则的最大值为，最小值为，即是方程的两个根，因此方程有两根异号，故不可能。
（2）若，当时，取最大值，故，解得。
当或时，取最小值。
①时，，但，故，此时，从而是最小值。
②，显然与矛盾，故舍去。
（3），此时，最大值为，最小值为，
所以，两式相减得，解得。
综上，符合条件的有或。
4.设为实数，函数.
若，求的取值范围；
求的最小值；
设函数，直接写出（不需要给出步骤）不等式的解集.
解：（1）若，则
（2）当时，，
当时，，
综上所述，
（3）当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为

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