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基础知识
二次函数的对称轴、顶点、单调性、值域
二次函数的解析式的三种表达形式
二次函数的区间最值
二次函数的零点分布
典型问题
1.设函数.已知对于任意的，若满足，则，求正实数的最大值.
解：依题意，函数的对称轴为，从而题设条件等价于任意的，均有
，当且仅当时，上式等号成立，从而，正实数的最大值为。
2.设二次函数满足条件：
当时，，且
当时，；
在上的最小值为.
求最大的，使得存在，只要，就有.
解：由知，二次函数的对称轴为。
又由（3）知，二次函数开口向上，即，且最小值为0，故可设
由（1）知，，由（2）知，所以，即，解得，所以
因的图像开口向上，而的图像是由的图像平移个单位得到，要在区间上，使得的图像在的图像下方，且最大，则1和应当是关于的方程
①
的两个根。
令代入方程①，得，
当时，方程①的解为，这与矛盾；当时，方程①的解为，所以；当时，对于任意，恒有
即，所以的最大值为9.
3.设二次函数，方程的两个根满足.
(1)当时，证明；
(2)设函数的图像关于直线对称，证明：.
解：（1）令，则的图像关于对称，在上递减，所以当时，，即，又设，则，，因为对于，，即，。
（2）设的另一个根是，由，知，所以。
4.设，其中时，对任意满足的，当变化时，求的最大值.
解：
考察一次函数，
-1≤x≤1.
当时，；
当时，.
故当时，，则
于是.且当时取到此最值.
三、跟踪训练
1.设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为__________
解：设函数与轴的两个交点的横坐标为：
为定义域的两个端点之间的长度，
即就是的值域，即
且所有的点构成一个正方形区
2.已知二次函数的图像经过点,且不等式对一切实数成立.
求函数的的解析式；
若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围。
解：(1)由题设知，4a-2b+c=0，①
令，解得，由题意可得，
即4≤f(2)≤4，所以f(2)=4，
即4a+2b+c=4，②
由①②可得c=2-4a，b=1.
又f(x)≥2x恒成立，即恒成立，
所以α>0，且即(1-2)?-4a(2-4a)≤0，
所以，从而c=2-4a=1
因此函数f(x)的解析式为。
(2由得，
整理得。
当，即时，，此不等式对一切都成立的充要条件是，此不等式组无解.
当，即t=2时，(x+2t)?<0，矛盾.
当，即时，，此不等式对一切都成立的充要条件是，解得
综上可知，t的取值范围是
3.已知是实数，函数，，时，
（1）证明：
（2）证明：时，；
（3）设，当时，的最大值为，求.
解：（1）时，
（2）是一次函数，是二次函数，用表示，可设
①
将①式右边化简、分解因式，得：
②
是实数
②成立的条件是
③
（3），在上是增函数。
由③可知，
④
③式取等号的条件是，且
即
⑤
由④⑤式可得。
又时，
所以b=0，由④得a=2
因此所求的函数是基础知识
二次函数的对称轴、顶点、单调性、值域
二次函数的解析式的三种表达形式
二次函数的区间最值
二次函数的零点分布
典型问题
1.设函数.已知对于任意的，若满足，则，求正实数的最大值.
2.设二次函数满足条件：
当时，，且
当时，；
在上的最小值为.
求最大的，使得存在，只要，就有.
3.设二次函数，方程的两个根满足.
(1)当时，证明；
(2)设函数的图像关于直线对称，证明：.
4.已知是实数，函数，当时，
求证：当时，.
5.设，其中时，对任意满足的，当变化时，求的最大值.
三、跟踪训练
1.设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为__________
2.已知二次函数的图像经过点,且不等式对一切实数成立.
求函数的的解析式；
若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围。
3.已知是实数，函数，，时，
（1）证明：
（2）证明：时，；
（3）设，当时，的最大值为，求.

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