资源简介

一、基础知识
1.最值的定义；2.求最值的常见方法
二、典型例题
例1
求函数的最小值。
例2
若实数满足，求的最小值。
例3
已知，成立，求的最小值。
例4
设是不全为0的实数，求的最大值。
三、跟踪训练
1.函数在区间上的最大值为2，则的值为_________
2.已知求的最小值。
3.若实数满足，求的最大值。
4.求函数的最小值。
5.设是不全为0的实数，求的最大值和最小值。一、基础知识
1.最值的定义；2.求最值的常见方法
二、典型例题
例1
求函数的最小值。
解：，可以推出函数的定义域为。
（1）当时，是减函数，也是减函数；
是减函数
（2）当时，是增函数，也是增函数；
是增函数。
综上所述，。
的最小值是2
例2
若实数满足，求的最小值。
解：将分别记为，则均大于0.
由条件可知，故。
因此结合均值不等式可得，。
当，即时，的最小值为（此时相应的X值为，符合要求）
由于，故的最小值为
例3
已知，成立，求的最小值。
解：由条件知，由题意得，解得。
当且仅当时等号成立，所以的最小值为8.
例4
设是不全为0的实数，求的最大值。
解：引入参量，并运用平均值不等式，则：
令，解得。
故
综上所述，的最大值为。
三、跟踪训练
1.函数在区间上的最大值为2，则的值为_________
解：令，的最大值在或取得。
当时，，即；
当时，，即（舍去）
综上所述，。
2.已知求的最小值。
解：
当且仅当，即时取得等号。
所以，
3.若实数满足，求的最大值。
解：，当且仅当时，即时取等。
由，得。
故
综上所述，的最大值为
4.求函数的最小值。
解：
因此，函数的最小值为。
5.设是不全为0的实数，求的最大值和最小值。
解：，
不全为0，
（时，取等）
（时，取等）

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