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一、基础知识
1.单调性的定义及其等价形式；
2.单调区间的概念；
二、典型例题
例1
设，且满足，求.
例2
设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式成立，则实数的取值范围是
。
例3
设,且，求证：.
例4
设函数，求的取值范围，使函数在是单调函数。
三、跟踪训练
1.若函数的定义域被分成了四个单调区间，则的取值范
围是
2.已知函数，若，则实数的取值范围是
3.求方程的根。
4.已知函数，
若，则的定义域为
若在区间上为减函数，求实数的取值范围.
5．对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是.则称是该函数的“和谐区间”.
（1）求证：函数不存在“和谐区间”.
（2）已知：函数有“和谐区间，当变化时，求出的最大值.一、基础知识
1.单调性的定义及其等价形式；
2.单调区间的概念；
二、典型例题
例1
设，且满足，求.
解：方程组可化为：
设，则。
所以是单调递增函数，
例2
设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式成立，则实数的取值范围是
。
解：由题设知：
则。
，
例3
设,且，求证：.
解：由题意，原式可写成：
，令。
则上式为，两边同乘以。
得：，即。
设函数，则有，
易知函数在上单调递减，故，即。
例4
设函数，求的取值范围，使函数在是单调函数。
解：设，则：
。
，在是单调递减函数。
，在区间上存在满足，此时在不是单调函数。
综上所述，当且仅当时，在是单调函数。
三、跟踪训练
1.若函数的定义域被分成了四个单调区间，则的取值范围是
解：
是由函数变化得到。第一步保留y轴右侧的图像，再作关于y轴对称的图像，因此定义域被分成四个单调区间，所以的对称轴在y轴的右侧，使y轴右侧有两个单调区间，对称后有四个单调区间，所以，即，的取值范围是。
2.已知函数，若，则实数的取值范围是
解：
易知为偶函数，且时，，在上单调递减，上单调递增。
的图像如图所示。
若，则只需，解得。
因此，实数的取值范围是
3.求方程的根。
解：原式等于。
设，易知是奇函数，且
。
函数在R上为单调增函数，所以原方程即
得：，解得。
4.已知函数，
若，则的定义域为
若在区间上为减函数，求实数的取值范围.
解：（1）当时，由，解得。
所以函数的定义域为。
（2）当，即时，要使在上是减函数，则，解得。
当，即时，要使在上是减函数，则且，解得
综上所述，在区间上为减函数，实数的取值范围为
5．对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是.则称是该函数的“和谐区间”.
（1）求证：函数不存在“和谐区间”.
（2）已知：函数有“和谐区间，当变化时，求出的最大值.
解：（1）设是已知函数定义域的子集。
，故函数在上单调递增。
若是已知函数的
“和谐区间”，则
故是方程的同号的相异实数根。
无实数根，所以函数不存在“和谐区间”。
（2）设是已知函数定义域的子集。
。
故函数在上单调递增。
若是已知函数的
“和谐区间”，则。
故是方程，即的同号的相异实数根。
同号，只须，即时，已知函数有“和谐区间”。
所以，当时，的最大值为

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