资源简介

1.1.2　余弦定理
学
习
目
标
核
心
素
养
1.掌握余弦定理及其推论．(重点)2.掌握正、余弦定理的综合应用．(重点)3.能应用余弦定理判断三角形的形状．(易错点)
1.借助余弦定理的推导过程，提升学生的逻辑推理素养．2.通过余弦定理的应用，提升学生的数学运算素养．
1．余弦定理
文字表述
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍
公式表达
a2＝b2＋c2－2bc
cos
A，b2＝a2＋c2－2ac
cos
B，c2＝a2＋b2－2ab
cos
C
变形
cos
A＝；cos
B＝；cos
C＝
思考：在△ABC中，若a2[提示]　不一定．因为△ABC中a不一定是最大边，所以△ABC不一定是锐角三角形．
2．余弦定理及其变形的应用
(1)利用余弦定理的变形判定角
在△ABC中，c2＝a2＋b2?C为直角；c2>a2＋b2?C为钝角；c2(2)应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题．
①已知三边，求三角．
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．
思考：已知三角形的两边及其夹角，三角形的其他元素是否唯一确定？
[提示]　由余弦定理可知：不妨设a，b边和其夹角C已知，则c2＝a2＋b2－2ab
cos
C，c唯一，cos
B＝，因为01．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c＝
．
2　[根据余弦定理c2＝a2＋b2－2ab
cos
C＝16＋36－2×4×6×cos
120°＝76，c＝2.]
2．在△ABC中，a＝1，b＝，c＝2，则B＝
．
60°　[cos
B＝＝＝，B＝60°.]
3．在△ABC中，若a2＝b2＋bc＋c2，则A＝
．
120°　[∵a2＝b2＋bc＋c2，
∴b2＋c2－a2＝－bc，
∴cos
A＝＝＝－，
又∵A为△ABC的内角，
∴A＝120°.]
4．以下说法正确的是
(填序号).
①在三角形中，已知两边及一边的对角，可用正弦定理解三角形，但不能用余弦定理去解；
②余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形；
③利用余弦定理，可解决已知三角形三边求角问题；
④在三角形中，勾股定理是余弦定理的一个特例．
②③④　[①错误．由正、余弦定理的特征可知在三角形中，已知两边及一边的对角，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理求解．
②正确．余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形．
③正确．结合余弦定理公式及三角函数知识可知正确．
④正确．余弦定理可以看作勾股定理的推广．]
已知两边与一角解三角形
【例1】　在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求角A，角C和边a.
[解]　法一：由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac
cos
B，
得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos
30°，
∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6.
当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°.
当a＝6时，由正弦定理sin
A＝＝＝1.
∴A＝90°，∴C＝60°.
法二：由bc
sin
30°＝3×＝知本题有两解．
由正弦定理sin
C＝＝＝，∴C＝60°或120°，当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理a＝＝＝6，
当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，∴a＝3.
已知三角形的两边及一角解三角形的方法
先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解．
若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题(在(0，π)上，余弦值所对角的值是唯一的)，故用余弦定理求解较好．
1．在△ABC中，a＝2，c＝＋，B＝45°，解这个三角形．
[解]　根据余弦定理得，
b2＝a2＋c2－2ac
cos
B＝(2)2＋(＋)2－2×2×(＋)×cos
45°＝8，∴b＝2.
又∵cos
A＝
＝＝
∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.
已知三边解三角形
【例2】　已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求△ABC的各角的大小．
思路探究：已知三角形三边的比，可设出三边的长，从而问题转化为已知三边求三角，可利用余弦定理求解．
[解]　设a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k>0)，
利用余弦定理，有cos
A＝＝
＝，
∴A＝45°.同理可得cos
B＝，B＝60°.
∴C＝180°－A－B＝75°.
1．已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一．
2．若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解．
2．在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C.
[解]　根据余弦定理，
cos
A＝
＝＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝.
cos
C＝
＝＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝.
∴B＝π－A－C＝π－－＝π，
∴A＝，B＝π，C＝.
正、余弦定理的综合应用
[探究问题]
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2，则sin2A＝sin2B＋sin2C成立吗？反之说法正确吗？为什么？
[提示]　设△ABC的外接圆半径为R.
由正弦定理的变形，将a＝2R
sinA，b＝2R
sin
B，c＝2R
sin
C，代入a2＝b2＋c2可得sin2A＝sin2B＋sin2C.反之将sinA＝，sin
B＝，sin
C＝代入sin2A＝sin2B＋sin2C可得a2＝b2＋c2.因此，这两种说法均正确．
2．在△ABC中，若c2＝a2＋b2，则C＝成立吗？反之若C＝，则c2＝a2＋b2成立吗？为什么？
[提示]　因为c2＝a2＋b2，所以a2＋b2－c2＝0，由余弦定理的变形cosC＝＝0，即cos
C＝0，所以C＝，反之若C＝，则cos
C＝0，即＝0，所以a2＋b2－c2＝0，即c2＝a2＋b2.
【例3】　在△ABC中，若(a－c·cos
B)·sin
B＝(b－c·cos
A)·sin
A，判断△ABC的形状．
思路探究：
[解]　法一：(角化边)∵(a－c·cos
B)·sin
B＝(b－c·cos
A)·sin
A，
∴由正、余弦定理可得：
·b＝(b－c·)·a，
整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)·a2，
即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2.
∴a2＋b2＝c2或a＝b.
故△ABC为直角三角形或等腰三角形．
法二：(边化角)根据正弦定理，原等式可化为：
(sin
A－sin
C
cos
B)sin
B＝(sin
B－sin
C
cos
A)sin
A，
即sin
C
cos
B
sin
B＝sin
C
cos
A
sin
A.
∵sin
C≠0，
∴sin
B
cos
B＝sin
A
cos
A.
∴sin
2B＝sin
2A.
∴2B＝2A或2B＋2A＝π，
即A＝B或A＋B＝.
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
1．(变条件)将例题中的条件“(a－c
cos
B)·sin
B＝(b－c
cos
A)·sin
A”换为“a
cos
A＋b
cos
B＝c
cos
C”其他条件不变，试判断三角形的形状．
[解]　由余弦定理知cos
A＝，cos
B＝，cos
C＝，代入已知条件得a·＋b·＋c·＝0，通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展开整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.
根据勾股定理知△ABC是直角三角形．
2．(变条件)将例题中的条件“(a－c
cos
B)·sin
B＝(b－c
cos
A)·sin
A”换为“lg
a－lg
c＝lgsin
B＝－lg
且B为锐角”判断△ABC的形状．
[解]　由lgsin
B＝－lg
＝lg
，
可得sin
B＝，又B为锐角，∴B＝45°.
由lg
a－lg
c＝－lg
，得＝，
∴c＝a.
又∵b2＝a2＋c2－2ac
cos
B，
∴b2＝a2＋2a2－2a2×＝a2，
∴a＝b，即A＝B.又B＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形．
利用余弦定理判断三角形形状的两种途径
(1)化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再根据边之间的关系判断．
(2)化角的关系：将条件转化为角与角之间关系，通过三角变换得出关系进行判断．
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a
sin
A＋c
sin
C－a
sin
C＝b
sin
B.
(1)求角B的大小；
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.
[解]　(1)由题意及正弦定理得a2＋c2－ac＝b2.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac
cos
B.
故cos
B＝，因此B＝45°.
(2)sin
A＝sin
(30°＋45°)＝sin
30°cos
45°＋cos
30°sin
45°＝.
故由正弦定理得a＝b·＝1＋.
由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，c＝b·＝2×＝.
1．本节课要掌握的题目类型
(1)已知三角形的两边与一角，解三角形．
(2)已知三边解三角形．
(3)利用余弦定理判断三角形的形状．
2．本节课的易错点有两处
(1)正弦定理和余弦定理的选择
已知两边及其中一边的对角，解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单．
(2)利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数．因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件．
1．判断正误
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形．
(　　)
(2)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．
(　　)
(3)在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一．
(　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　
[提示]　由余弦定理可知，已知△ABC的两边和其夹角时，第三边是唯一确定的，所以△ABC是唯一的，(3)错误．
2．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
B　[由三角形边角关系可知，角C为△ABC的最小角，则cos
C＝＝＝，所以C＝，故选B.]
3．已知a，b，c是△ABC的三边长，若满足等式(a＋b－c)·(a＋b＋c)＝ab，则角C的大小为(　　)
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
C　[由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得(a＋b)2－c2＝ab，
∴c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2ab
cos
C，
∴cos
C＝－，∴C＝120°.]
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C，2b＝a，则cos
A＝
．
　[由B＝C，2b＝a，
可得b＝c＝a，
所以cos
A＝
＝＝.]
5．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.
[解]　在△ABC中，∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，∴B＝60°.
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac
cos
B＝(a＋c)2－2ac－2ac
cos
B＝82－2×15－2×15×＝19.
∴b＝.
PAGE1.1　正弦定理和余弦定理
1.1.1　正弦定理
第1课时　正弦定理(1)
学
习
目
标
核
心
素
养
1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明．(难点)2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．(重点)
1.通过对正弦定理的推导及应用正弦定理判断三角形的形状，培养学生逻辑推理的核心素养．2.借助利用正弦定理求解三角形的边长或角的大小的学习，培养学生数学运算的核心素养．
1．正弦定理
思考：如图所示，在Rt△ABC中，，，各自等于什么？
[提示]　＝＝＝c.
2．解三角形
(1)一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．
(2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
思考：利用正弦定理可以解决哪两类有关三角形问题？
[提示]　利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：
①已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角．
1．在△ABC中，若角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列各式一定成立的是(　　)
A．＝　　　　
B．＝
C．a
sin
B＝b
cos
A
D．a
cos
B＝b
sin
A
B　[在△ABC中，由正弦定理＝，得＝.]
2．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝
．
2　[由正弦定理得：＝，
所以AC＝＝2.]
3．在△ABC中，A＝45°，c＝2，则AC边上的高等于
．
　[AC边上的高为AB
sin
A＝c
sin
A＝2sin
45°＝.]
4．在△ABC中，若a＝3，b＝，A＝，则C＝
．
　[由正弦定理得：＝，
所以sin
B＝.
又a>b，所以A>B，所以B＝，
所以C＝π－＝.]
正弦定理证明
【例1】　在钝角△ABC中，证明正弦定理．
[证明]　如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点，根据正弦函数的定义知：
＝sin
∠CAD＝sin
(180°－A)
＝sin
A，＝sin
B.
∴CD＝b
sin
A＝a
sin
B.
∴＝.
同理，＝.
故＝＝.
1．本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．
2．要证＝，只需证a
sin
B＝b
sin
A，而a
sin
B，b
sin
A都对应同一线段．初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．
1．如图所示，锐角△ABC的外接圆O半径为R，证明＝2R.
[证明]　连接BO并延长，交外接圆于点A′，连接A′C，则圆周角∠A′＝∠A.
∵A′B为直径，长度为2R，∴∠A′CB＝90°，
∴sin
A′＝＝，
∴sin
A＝，即＝2R.
已知两角及一边解三角形
【例2】　在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．
[解]　因为A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－(A＋C)＝105°.
由＝得a＝＝10×＝10.
因为sin
75°＝sin
(30°＋45°)＝sin
30°cos
45°＋cos
30°sin
45°＝，所以b＝＝＝20×＝5＋5.
已知三角形的两角和任一边解三角形的思路
(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角．
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．
2．在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，求边c.
[解]　由三角形内角和定理知A＋B＋C＝180°，所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋105°)＝30°.
由正弦定理＝，
得c＝a·＝5·
＝5·
＝5·
＝(＋).
已知两边及一边的对角解三角形
【例3】　(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝
．
(2)在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解这个三角形．
(1)75°　[由题意得：＝，所以sin
B＝＝＝，因为b＜c，所以B＝45°，所以A＝180°－B－C＝75°.]
(2)[解]　因为＝，所以sin
C＝＝＝.因为0°＜C＜180°，所以C＝60°或C＝120°.
当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1；
当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1.
所以b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°.
已知两边及其中一边的对角解三角形的思路
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角；
(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．
3．在△ABC中，A＝，BC＝3，AB＝，则角C等于(　　)
A．或　　　
B．
C．
D．
C　[由正弦定理，得sin
C＝＝.因为BC＞AB，所以A＞C，则0＜C＜，故C＝.]
三角形形状的判断
[探究问题]
1．由＝2R，＝2R，＝2R可以得到哪些变形形式？这些变形形式有什么作用？
[提示]　(角化边)sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝，
(边化角)a＝2R
sin
A，b＝2R
sin
B，c＝2R
sin
C，
(边角互化)a∶b∶c＝sin
A∶sin
B∶sin
C．
2．三角形中常见边角之间的关系有哪些？
[提示]　在△ABC中，(1)a＋b＞c，|a－b|＜c，
(2)a＞b?A＞B?sin
A＞sin
B，
(3)A＋B＋C＝π?sin
(A＋B)＝sin
C，
sin
＝cos
.
【例4】　在△ABC中，若sin
A＝2sin
B
cos
C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
思路探究：解决本题的关键是利用sinA＝，sin
B＝，sin
C＝把sin2A＝sin2B＋sin2C转化为三角形三边的关系，从而判定出角A，然后再利用sinA＝2sin
B
cos
C求解．
[解]　法一：(利用角的互余关系)根据正弦定理，得＝＝，
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，
∴A是直角，B＋C＝90°，
∴2sinB
cos
C＝2sin
B
cos
(90°－B)＝2sin2B＝sinA＝1，∴sin
B＝.
∵0°∴△ABC是等腰直角三角形．
法二：(利用角的互补关系)根据正弦定理，得＝＝，
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴a2＝b2＋c2，∴A是直角．
∵A＝180°－(B＋C)，sinA＝2sin
B
cos
C，∴sin
(B＋C)＝
sin
B
cos
C＋cos
B
sin
C＝2sin
B
cos
C，∴sin
(B－C)＝0.
又－90°(变条件)将本例题条件“sin
A＝2sin
B
cos
C，且sin2A＝sin2B＋sin2C”改为“b＝a
cosC”其他条件不变，试判断△ABC的形状．
[解]　∵b＝a
cos
C，
由正弦定理，得
sin
B＝sin
A
cos
C．
(
)
∵B＝π－(A＋C)，
∴sin
B＝sin
(A＋C)，从而(
)式变为
sin
(A＋C)＝sin
A
cos
C.
∴cos
A
sin
C＝0.
又∵A，C∈(0，π)，∴cos
A＝0，A＝，即△ABC是直角三角形．
利用正弦定理判断三角形形状的两条途径
(1)化角为边．将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝.
(2)化边为角．将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a＝2R
sin
A，b＝2R
sin
B，c＝2R
sin
C．
1．要掌握正弦定理的三个应用
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．
(3)判断三角形的形状．
2．本节课的易错点有两处
(1)已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能出现无解或两解的情况．
(2)在判断三角形的形状时易混淆“等腰或直角三角形”与“等腰直角三角形”．
1．判断正误
(1)正弦定理只适用于锐角三角形．
(　　)
(2)正弦定理不适用于直角三角形．
(　　)
(3)在某一确定的三角形中，各边与它所对的角的正弦的比值是一定值．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√
[提示]　正弦定理适用于任意三角形，故(1)(2)均不正确．
2．在△ABC中，若c＝2a
cos
B，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形　
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．不等边三角形
B　[由正弦定理知c＝2R
sin
C，a＝2R
sin
A，
故sin
C＝2sin
A
cos
B＝sin
(A＋B)
＝sin
A
cos
B＋cos
A
sin
B，
所以sin
A
cos
B＝cos
A
sin
B，
即sin
(A－B)＝0，所以A＝B.
故△ABC为等腰三角形．]
3．在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，则b等于(　　)
A．5　
B．10
C．
D．5
B　[由正弦定理得，b＝＝＝10.]
4．已知在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°，解这个三角形．
[解]　由正弦定理及已知条件有＝，得sin
A＝.
∵a>b，∴A>B＝45°.∴A＝60°或120°.
当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，
c＝＝＝；
当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，
c＝＝＝.
综上，可知A＝60°，C＝75°，c＝或A＝120°，C＝15°，c＝.
PAGE第2课时　正弦定理(2)
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素
养
1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式，解决三角形中的问题．(重点)2.能根据条件，判断三角形解的个数．3.能利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题．(难点)
1.通过三角形解的个数判断的学习，体现了数学运算和逻辑推理素养．2.借助求解三角形的面积及正弦定理的综合应用，提升数学运算素养．
1．正弦定理及其变形
(1)定理内容：＝＝＝2R(R为外接圆半径).
(2)正弦定理的常见变形：
①sin
A∶sin
B∶sin
C＝a∶b∶c；
②＝＝＝＝2R；
③a＝2R
sin
A，b＝2R
sin
B，c＝2R
sin
C；
④sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝．
思考：在△ABC中，已知a
cos
B＝b
cos
A．你能把其中的边a，b化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?
[提示]　可借助正弦定理把边化成角：2R
sin
A
cos
B＝2R
sin
B
cos
A，移项后就是一个三角恒等变换公式sin
A
cos
B－cos
A
sin
B＝0.
2．对三角形解的个数的判断
已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定，现以已知a，b和A解三角形为例说明
名称
图形
关系式
解的个数
A为锐角
①a＝b
sin
A；②a≥b
一解
b
sin
A两解
asin
A
无解
思考：在△ABC中，a＝9，b＝10，A＝60°，判断三角形解的个数．
[提示]　sin
B＝sin
A＝×＝，而<<1，所以当B为锐角时，满足sin
B＝的角有60°也满足A＋B<180°，故三角形有两解．
3．三角形的面积公式
任意三角形的面积公式为：
(1)S△ABC＝bc
sin
A＝ac
sin
B＝ab
sin
C，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半．
(2)S△ABC＝ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长．
(3)S△ABC＝r(a＋b＋c)＝rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长．
1．在△ABC中，sin
A＝sin
C，则△ABC是(　　)
A．直角三角形　
B．等腰三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
B　[由正弦定理可得sin
A＝sin
C?＝，即a＝c，所以△ABC为等腰三角形．]
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.
已知B＝30°，a＝3，c＝2，则△ABC的面积为(　　)
A．
B．
C．
D．
B　[由题意可知，△ABC的面积为ac
sin
B＝×3×2×sin
30°＝.]
3．在△ABC中，A＝30°，a＝3，b＝2，则这个三角形有(　　)
A．一解
B．两解
C．无解
D．无法确定
A　[由b4．在△ABC中，若＝，则B的值为
．
45°　[根据正弦定理知＝，结合已知条件可得sin
B＝cos
B，又0°＜B＜180°，所以B＝45°.]
三角形解的个数的判断
【例1】　已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．
(1)a＝10，b＝20，A＝80°；
(2)a＝2，b＝6，A＝30°.
[解]　(1)a＝10，b＝20，a∵b
sin
A＝20sin
80°>20sin
60°＝10，
∴asin
A，∴本题无解．
(2)a＝2，b＝6，a∵b
sin
A＝6sin
30°＝3，a>b
sin
A，
∴b
sin
A由正弦定理得
sin
B＝＝＝，
又∵B∈(0°，180°)，∴B1＝60°，B2＝120°.
当B1＝60°时，C1＝90°，c1＝＝＝4；
当B2＝120°时，C2＝30°，c2＝＝＝2.
∴B1＝60°时，C1＝90°，c1＝4；B2＝120°时，C2＝30°，c2＝2.
已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值．或者根据该正弦值(不等于1时)在0°～180°范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求．
1．(1)满足a＝4，b＝3，A＝45°的△ABC的个数为________．
(2)在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°.若该三角形有两解，则x的取值范围是________．
(1)1　(2)(2，2)　[(1)因为A＝45°＜90°，a＝4＞3＝b，所以△ABC的个数为一个．
(2)由a
sin
B＜b＜a，得x＜2＜x，∴2＜x＜2.]
三角形的面积
【例2】　在△ABC中，若a＝2，C＝，cos
＝，求△ABC的面积S.
思路探究：根据C＝及cos
＝，利用sin
A＝sin
(B＋C)求出sin
A的值．然后利用正弦定理＝求出c值．利用S＝ac
sin
B求解．
[解]　∵cos
＝，
∴cos
B＝2cos2－1＝.
∴B∈，∴sin
B＝.
∵C＝，∴sin
A＝sin
(B＋C)
＝sin
B
cos
C＋cos
B
sin
C＝.
∵＝，
∴c＝＝×＝.
∴S＝ac
sin
B＝×2××＝.
已知三角形的两边和夹角可求三角形的面积，三角形的面积公式为S＝ab·sin
C＝ac·sin
B＝bc·sin
A．
2．(1)在△ABC中，若a＝3，cos
C＝，S△ABC＝4，则b＝
．
(2)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于
．
(1)2　(2)或　[(1)∵cos
C＝，∴C∈(0°，90°)，
∴sin
C＝＝，
又S△ABC＝ab
sin
C＝·3·b·＝4，∴b＝2.
(2)由正弦定理得sin
C＝＝＝，
又∵C∈(0°，180°)，∴C＝60°或120°，
∴A＝90°或30°，∴S△ABC＝AB·AC·sin
A＝或.]
正弦定理的综合应用
[探究问题]
1．你能用坐标法证明S△ABC＝ab
sin
C＝bc
sin
A＝ac
sin
B吗？
[提示]　(以已知a，b，C为例)以△ABC的顶点C为原点，射线CB的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，则顶点A的坐标为(b
cos
C，b
sin
C).
过点A作BC边上的高AE，则根据三角函数的定义可得AE＝b
sin
C，所以△ABC的面积S＝·BC·AE＝·a·b
sin
C＝ab
sin
C.
同理可得S＝bc
sin
A，S＝ac
sin
B.
故S△ABC＝ab
sin
C＝bc
sin
A＝ac
sin
B．
2．应用正弦定理解三角形时经常挖掘三角形中哪些隐含条件？
[提示]　(1)在△ABC中，A＋B＋C＝π?sin
(A＋B)＝sin
C，cos
(A＋B)＝－cos
C；＝－?sin
＝cos
.
(2)若△ABC为锐角三角形，则A＋B>，A＋C>，B＋C>；A＋B>?A>－B?sin
A>cos
B，cos
AB．
【例3】　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，m＝(sin
A，sin
B)，n＝(cos
B，cos
A)，m·n＝－sin
2C.
(1)求C的大小；
(2)若c＝2，A＝，求△ABC的面积．
思路探究：(1)由m·n＝－sin
2C，利用三角恒等变换求出C的大小；
(2)由正弦定理可得b的大小，利用三角形的面积公式求解．
[解]　(1)由题意，m·n＝sin
A
cos
B＋sin
B
cos
A＝－sin
2C，即sin
(A＋B)＝－sin
2C，
sin
C＝－2sin
C
cos
C.
由0C>0.
所以cos
C＝－.C＝.
(2)由C＝，A＝，
得B＝π－A－C＝.
由正弦定理，＝，
即＝，解得b＝2.
所以△ABC的面积S＝bc
sin
A＝×2×2×sin
＝.
(变条件，变结论)将例题中的条件“m＝(sin
A，sin
B)，n＝(cos
B，cos
A)，m·n＝－sin
2C”换为“若a＋c＝2b，2cos
2B－8cos
B＋5＝0”求角B的大小并判断△ABC的形状．
[解]　∵2cos
2B－8cos
B＋5＝0，
∴2(2cos2B－1)－8cosB＋5＝0.
∴4cos2B－8cosB＋3＝0，
即(2cos
B－1)(2cos
B－3)＝0.
解得cos
B＝或cos
B＝(舍去).
∵0∵a＋c＝2b.
由正弦定理，
得sin
A＋sin
C＝2sin
B＝2sin
＝.
∴sin
A＋sin
＝，
∴sin
A＋sin
cos
A－cos
sin
A＝.
化简得sin
A＋cos
A＝，
∴sin
＝1.
∵0∴A＋＝.
∴A＝，C＝.
∴△ABC是等边三角形．
借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，转化为角的关系后，常利用三角变换公式进行变形、化简，确定角的大小或关系，继而判断三角形的形状、证明三角恒等式．
1．会用正弦定理的四个变形
(1)(角化边)sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝.
(2)(边化角)a＝2R
sin
A，b＝2R
sin
B，c＝2R
sin
C.
(3)(边角互换)a∶b∶c＝sin
A∶sin
B∶sin
C.
(4)(比例的性质)＝＝
＝.
2．应用正弦定理解三角形时应注意挖掘的三个隐含条件
(1)在△ABC中，a＋b＞c，|a－b|＜c；A＞B?sin
A＞sin
B，A＞B?cos
A＜cos
B；a＞b?A＞B；sin
A＋sin
B＞sin
C．
(2)在△ABC中，A＋B＋C＝π?sin
(A＋B)＝sin
C，cos
(A＋B)＝－cos
C；＝－?sin
＝cos
.
(3)若△ABC为锐角三角形，则A＋B＞，A＋C＞，B＋C＞；A＋B＞?A＞－B?sin
A＞cos
B，cos
A＜sin
B．
1．判断正误
(1)在△ABC中，等式b
sin
A＝a
sin
B总能成立．
(　　)
(2)在△ABC中，若A＝30°，a＝2，b＝2，则B＝60°
(　　)
(3)在△ABC中，已知a，b，A，则此三角形有唯一解．
(　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　
[提示]　(2)由正弦定理可知＝，即＝，所以sin
B＝，则B＝60°或120°，又因为b>a，所以B>A，故B＝60°或120°.
(3)当b
sin
A2．满足a＝4，b＝3和A＝45°的△ABC的个数为(　　)
A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．无数多
B　[因为A＝45°<90°，a＝4>3＝b，所以△ABC的个数为1.]
3．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4，b＝3，C＝60°，则△ABC的面积为(　　)
A．3
B．3
C．6
D．6
B　[由S＝ab
sin
C＝×4×3×得S＝3，故选B.]
4．在△ABC中，若b＝5，B＝，tan
A＝2，则sin
A＝
，a＝
．
　2　[由tan
A＝2，得sin
A＝2cos
A，
由sin2A＋cos2A＝1，得sinA＝，
∵b＝5，B＝，
由正弦定理＝，
得a＝＝＝2.]
5．在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶3∶5，求的值．
[解]　由条件得＝＝，∴sin
A＝sin
C.
同理可得sin
B＝sin
C.
∴＝＝－.
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