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选修3-4 第十一章机械振动复习导学案
知识点一、机械振动
物体或物体的一部分在______位置附近的________运动称为机械振动，简称________，这个位置称为 。
知识点诠释：
①答案：一个；往复；振动；平衡位置。　
②例如：钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，扁担的颤动，树梢在微风中摇摆，发声体的振动。解题时需要注意“确定一个位置，往复运动是关键”。
知识点二、弹簧振子
（1）组成：由______和________组成的系统叫弹簧振子，它是一个理想化的模型（为什么？）。
（2）平衡位置：振子__________时的位置。
知识点诠释：
①答案：（1）弹簧；小球；（2）原来静止。　
②如图，把一个有孔的小球装在轻弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球穿在光滑的杆上。“轻弹簧”代表弹簧质量可以不计，所以弹簧振子这个系统只需要考虑振子即小球的质量；“光滑”代表小球运动时，与杆之间的摩擦忽略不计。图中O点为弹簧原长位置，此位置小球所受合外力为0，在不施加其他作用的情况下，也是小球原来静止的位置，所以O点就是平衡位置，小球可以在弹簧作用下在O点附近往复运动。
知识点三、弹簧振子的位移－时间图像
（1）坐标系的建立：选取小球 为坐标原点，以横轴表示______，以纵轴表示小球离开平衡位置的_________。
（2）在坐标系中标出各时刻小球球心的位置，用曲线把各点连接起来，就是小球在平衡位置附近往复运动的位移－时间图像，这个x－t图像即弹簧振子的振动图像。
（3）物理意义：表示振动物体的_______随_______的变化规律。
知识点诠释：
①答案：（1）平衡位置；时间t；位移x；（3）位移x；时间t。　
②如图，
③例题：如图，根据弹簧振子的位移－时间图像判断正误：
在弹簧振子中弹簧处于原长时的状态为平衡状态； 正确
如图所示正弦曲线为质点的运动轨迹； 错误
如图，3s内的位移为x1大小为
； 错误
如图，3s内的位移为x2 大小为10cm； 正确
如图，1.5s时的速度方向为曲线上该点的切线方向； 错误
0.5s和1.5s时的位移相同，速度也相同； 错误
0.5s和3.5s时的位移相反，速度相反； 错误
知识点四、简谐运动（从运动角度）
质点的位移与时间的关系遵从___________规律，即它的振动图像（x－t图像）是一条________曲线，这样的振动叫做 。简谐运动是最简单、最基本的振动，弹簧振子的运动就是__________。
知识点诠释：
①答案：正弦函数；正弦；简谐运动；简谐运动。
②正弦函数的一般形式是y=Asin(ωx +φ)，它的图像叫做正弦曲线，例如y=sin x、y=sin （x+π4）的图像都是正弦曲线。y=cos x的图像也是正弦曲线，因为它可以写成y=sin （x+π2）。
知识点五、描述简谐运动的物理量
（1）位移x：由____________指向______________________的有向线段表示振动位移，是矢量。
（2）振幅A：振子离开平衡位置的____________，是标量，表示振动的强弱。
（3）周期T和频率f：做简谐运动的物体完成____________所需要的时间叫周期，而频率则等于单位时间内完成________________；它们是表示振动快慢的物理量。二者互为倒数关系。
（4）相位： 叫做简谐运动的相位，它表示质点在各个时刻所处的 状态。
知识点诠释：
①答案：（1）平衡位置；振动质点所在位置；（2）最大距离；（3）一次全振动；全振动的次数；（4）ωx +φ；不同。　
②如图，振子位移x随时间不断变化，最大为10cm即为振幅，周期为4s，频率为0.25hz，相位在不同时刻不同，如t＝0，ωx +φ＝0；t＝1s，ωx +φ＝π2；t＝2s，ωx +φ＝π。ω是一个与频率成正比的量，叫做简谐运动的圆频率，它也表示简谐运动振动的快慢，ω＝2πT＝2πf；φ表示t＝0时的相位，叫做初相位或者初相。
③易混知识：
1．振幅与位移
（1）什么是振幅，什么是位移，振幅是描述什么的，位移又是用来描述什么的？
（2）振幅是矢量还是标量，如果是矢量那么方向如何？位移是矢量还是标量，如果是矢量方向又如何？它们两者在大小上是否存在关系，如果存在是什么关系？
注：
（1）位移是矢量，振幅是标量，等于最大位移的数值；
（2）对于一个给定的简谐运动，振子的位移始终变化，而振幅不变。
2．振幅与路程
（1）振动物体在一个周期内的路程与振幅存在什么关系，在半个周期内的路程与振幅又存在什么关系？
（2）振动物体在T4内的路程一定等于一个振幅吗？如果不是，那什么时候等于一个振幅什么时候不等于一个振幅？
注：
（1）同一位置：速度大小相等、方向可同可不同，位移、回复力、加速度大小相等、方向相同；
（2）对称点：速度大小相等、方向可同可不同，位移、回复力、加速度大小相等、方向相反；
（3）对称段：经历时间相同；
（4）一个周期内，振子的路程一定为4A（A为振幅）；
半个周期内，振子的路程一定为2A；
四分之一周期内，振子的路程不一定为A；
每经一个周期，振子一定回到原出发点；每经半个周期一定到达另一侧的关于平衡位置的对称点，且速度方向一定相反。
3．振幅与周期
在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期（或频率）是否固定？与振幅是否有关，如果有存在什么关系，如果没有为什么？
课堂练习：
1．如图所示，弹簧振子以O为平衡位置，在BC间做简谐运动，则(CD　　)。
A．从B→O→C为一次全振动
B．从O→B→O→C为一次全振动
C．从C→O→B→O→C为一次全振动
D．从D→C→O→B→O→D为一次全振动
2．如图是一做简谐运动的物体的振动图象，下列说法正确的是(CD　　)。
A．振动周期2×10－2 s
B．前2×10－2 s内物体的位移是－10 cm
C．物体振动的频率为25 Hz
D．物体振动的振幅为10 cm
3．在1 min内甲振动30次，乙振动75次，则(C　　)。
A．甲的周期为0.5 s，乙的周期为1.25 s
B．甲的周期为0.8 s，乙的周期为2 s
C．甲的频率为0.5 Hz，乙的频率为1.25 Hz
D．甲的频率为0.5 Hz，乙的频率为0.8 Hz
4．某质点做简谐运动，从质点经过某一位置时开始计时，则(D　　)。
A．当质点再次经过此位置时，经历的时间为一个周期
B．当质点的速度再次与零时刻的速度相同时，经过的时间为一个周期
C．当质点的加速度再次与零时刻的加速度相同时，经过的时间为一个周期
D．以上三种说法都不对
5．两个简谐运动分别为x1＝4sin(4πAt＋π2)，x2＝2sin (4πAt＋3π2)。求它们的振幅之比，各自的频率，以及它们的相位差。(2：1；2A；2A；π)
6．（2011江苏高考）将一劲度系数为k的轻质弹簧竖直悬挂，下端系上质量为m的物块。将物块向下拉离平衡位置后松开，物块上下做简谐运动，其振动周期恰好等于以物块平衡时弹簧的伸长量为摆长的单摆周期。请由单摆的周期公式推算出该物块做简谐运动的周期T。
解：单摆周期公式，且kl＝mg，解得T=。
知识点六、回复力
（1）简谐运动的动力学定义：如果______所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成______，并且总是指向________，质点的运动就是简谐运动。
（2）回复力的方向跟振子偏离平衡位置的位移方向______，总是指向__________，它的作用是使振子能够______平衡位置。
（3）表达式：__________，即回复力与物体的位移大小成正比，负号表明____________，k是常数。对于弹簧振子，k为弹簧的__________。
知识点诠释：
①答案：（1）振子；正比；平衡位置；（2）相反；平衡位置；回到；（3）F= - kx；回复力与位移方向相反；劲度系数。
②易混知识：
（1）回复力是一种新力吗？它的命名方式与哪个力的命名方式相同________(摩擦力或向心力)。
（2）有人说回复力只能由一个力提供，不可能由几个力的合力或者一个力的分力提供，这种说法对吗？为什么？
例．如图甲所示，水平方向的弹簧振子，什么力充当回复力？如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，什么力充当回复力？如图丙所示，m1随m2一起振动，m1的回复力又是什么力？
课堂练习：
1．关于简谐运动的回复力，下列说法中正确的是(D　　)。
A．可以是恒力
B．可以是方向不变而大小改变的力
C．可以是大小不变而方向改变的力
D．一定是变力
2．物体做简谐运动的过程中，有两点A、A′关于平衡位置对称，则物体(B　　)。
A．在A点和A′点的位移相同
B．在两点处的速度可能相同
C．在两点处的加速度可能相同
D．在两点处的回复力可能相同
3．弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中(D　　)。
A．振子所受的回复力逐渐增大
B．振子的位移逐渐增大
C．振子的速度逐渐减小
D．振子的加速度逐渐减小
知识点七、简谐运动的能量
（1）简谐运动过程中动能和势能不断地发生转化。振子的速度与动能：______不断变化，______也在不断变化。弹簧形变量与势能：弹簧形变量在______，因而势能也在______。在平衡位置时，动能最______，势能最______；在位移最大（振幅位置）时，势能最______，动能最______。在任意时刻动能和势能的总和__________(相等或不相等)。
（2）机械系统的机械能跟振幅有无关系？
（3）实际上，运动中能量是有损耗的，所以简谐运动是一种理想化模型。
知识点诠释：
①答案：（1）速度；动能；变化；变化；大；小；大；小；相等；（2）有关系，振幅越大机械能越大。
②重要知识：
例1.一质量为m的小球，通过一根轻质弹簧悬挂在天花板上，如图所示。

（1）小球在振动过程中的回复力实际上是重力与弹力的合力；
（2）该小球的振动是(填“是”或“否”)为简谐运动；
（3）在振子向平衡位置运动的过程中 (D　　)
A．振子所受的回复力逐渐增大 B．振子的位移逐渐增大
C．振子的速度逐渐减小 D．振子的加速度逐渐减小
例2.如例1图所示，弹簧下面挂一质量为m的物体，物体在竖直方向上做振幅为A的简谐运动，当物体振动到最高点时，弹簧正好为原长。则物体在振动过程中(AC　　)
A．物体在最低点时的弹力大小应为2mg
B．弹簧的弹性势能和物体的动能总和保持不变
C．弹簧最大弹性势能等于2mgA
D．物体的最大动能应等于mgA
解析：
A．小球做简谐运动的平衡位置处，mg＝kx，当物体振动到最高点时，弹簧正好为原长，可知x=A。所以在最低点时，形变量为2A．弹力大小为2mg，故A正确。
B．在运动的过程中，只有重力和弹力做功，系统机械能守恒，弹簧的弹性势能、物体的动能、重力势能之和不变，故B错误。
C．从最高点到最低点，动能变化为0，重力势能减小2mgA，则弹性势能增加2mgA。而初位置弹性势能为0，在最低点弹性势能最大，为2mgA，故C正确。
D．在平衡位置动能最大，由最高点到平衡位置，重力势能减小mgA，动能和弹性势能增加，所以物体的最大动能不等于mgA，故D错误。
故选：AC。
例3.弹簧振子做简谐运动，下列说法中正确的是(ABD　　)
A．振子在平衡位置时，动能最大，势能最小
B．振子在最大位移处，势能最大，动能最小
C．振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小
D．在任意时刻，动能与势能之和保持不变
例4.如图所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M，若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到M的上面，且m和M无相对运动而一起运动，下述正确的是(AD　　)
A．振幅不变　　　　　 B．振幅减小
C．最大动能不变 D．最大动能减少
解析：
AB．振子运动到B处时将一质量为m的物体放到M的上面，m和M无相对运动而一起运动，离开平衡位置的最大位移未变，所以振幅不变。故A正确，B错误。
CD．振子在平衡位置时，速度最大，根据能量守恒得，从最大位移处到平衡位置，弹性势能转化为振子的动能，弹性势能与以前比较未变，但振子的质量变大，所以最大速度变小。故D正确，C错误。
故选：AD
课堂练习：
1．光滑平面上，弹簧振子从平衡位置向最大位移处运动，下列说法中正确的是(AC　　)。
A．弹簧的弹力越来越大，弹簧的弹性势能也越来越大
B．弹簧振子的机械能逐渐减少
C．弹簧的弹力做负功
D．弹簧振子做加速度越来越大的加速运动
2.如图所示，A、B两木块的质量分别为m、M，中间弹簧的劲度系数为k，弹簧下端与B连接，A与弹簧不连接，现将A下压一段距离释放，A就做上下方向的简谐运动，振动过程中，A始终没有离开弹簧，试求：
（1）A振动的振幅的最大值。
（2）A以最大振幅振动时，B对地面的最大压力。
解：
（1）在平衡位置时，弹簧的压缩量为x0，有kx0＝mg，要使m振动过程中不离开弹簧，m振动的最高点不能高于弹簧原长处，所以m振动的振幅的最大值A＝x0＝mgk。
(2)m以最大振幅A振动时，振动到最低点，弹簧的压缩量最大，为2A＝2 x0＝2mgk，对M受力分析可得：N＝Mg＋k· 2mgk＝Mg＋2mg，由牛顿第三定律得，M对地面的最大压力为Mg＋2mg。
知识点八、单摆
如图所示，平衡位置在最低点。

（1）定义：在细线的一端拴一个小球，另一端固定在悬点上，如果线的________与小球相比可以忽略，小球的 与线长相比可以忽略，与小球受到的重力及细线的拉力相比，空气等对它的 可以忽略，这样的装置叫做单摆。单摆也是理想化模型。
（2）视为简谐运动的条件：________________。
（3）回复力：小球所受重力沿________方向的分力，即：F＝G2＝Gsin θ＝x，F的方向与位移x的方向相反。在平衡位置小球所受回复力为 ，但合力是向心力指向悬点，不为零。
（4）周期公式：
单摆的等时性是____________首先发现的，周期公式是____________首先提出的。单摆的周期T与____________、摆球的____________无关，但与__________有关，摆长越长，周期越_____。单摆的周期公式T＝__________，摆长为从 到 的距离。秒摆的周期为__________ s，摆长约为__________ m。
知识点诠释：
①答案：（1）质量；直径；阻力；（2）振幅很小即偏角很小（一般θ<10°）；（3）圆弧（或速度）；0；（4）伽利略；惠更斯；振幅；质量；摆长和重力加速度；大；T＝2πlg；悬点；小球球心；2；1。
②重要知识：
用单摆测重力加速度（探究实验）
（1）原理：由单摆周期公式得g＝____________。（4π2lT2）
（2）测周期时，应从摆球经过____________时开始计时，需测30次至50次__________时间，取平均值计算。(平衡位置；全振动)
（3）数据处理：a.平均值法；b.图象法：以l和T2为纵、横坐标，作出l ＝g4π2T2的图象（变非线性关系为线性关系），则图象的斜率k＝____________。（g4π2）
课堂练习：
1．（2019江苏高考）一单摆做简谐运动，在偏角增大的过程中，摆球的(AC　　)。
A．位移增大 B．速度增大
C．回复力增大 D．机械能增大
2．（2014江苏高考）在“探究单摆的周期与摆长的关系”实验中，某同学准备好相关实验器材后，把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度后释放，同时按下秒表开始计时，当单摆再次回到释放位置时停止计时，将记录的这段时间作为单摆的周期。以上操作中有不妥之处，请对其中两处加以改正。
答：应在摆球通过平衡位置时开始计时（摆球在最高点速度很小，容易产生视觉误差）；应测量单摆多次全振动的时间，再计算出周期的测量值；应在单摆振动稳定后开始计时……
3.在“用单摆测重力加速度”的实验中，供选用的器材有：
A．带尺子的铁架台
B．带小孔的实心木球
C．带小孔的实心钢球
D．秒表
E．长约1 m的细线
F．长约10 cm的细线
G．毫米刻度的米尺
H．游标卡尺
L．螺旋测微器J．天平
（1）为了使实验误差小，应选用__________________________________。（ACDEGH）
（2）某同学在实验中，先测得摆线长为97.50cm，再测得摆球直径为2.00cm，然后测出了单摆全振动50次所用时间为98.0s，则该单摆的摆长为______cm，周期为______s。（98.50cm，1.96s）
（3）如果他测得的g值偏小，可能原因是______（B）
A．测摆线长时将摆线拉得过紧???????
B．误将摆线长当作摆长
C．开始计时，秒表按下偏迟?????????
D．实验中误将49次全振动计为50次
解析：
A．测摆线长时将摆线拉得过紧，周期偏小，g应偏大，故A错误；
B．误将摆线长当作摆长，摆长偏小，由上式可知，g偏小，故B正确；
C．开始计时，秒表按下偏迟，t的测量值偏小，周期偏小，则g偏大，故C错误；
D．实验中误将49次全振动计为50次，周期偏小，则g偏大，故D错误。
知识点九、外力作用下的振动
（1）固有振动：如果振动系统不受外力的作用，此时的振动叫做___________，其振动频率称为_________。
（2）阻尼振动：
a.阻力作用下的振动：当振动系统受到阻力的作用时，振动受到了______，系统克服_____的作用要做功，消耗_______，因而_______减小，最后停下来。
b.阻尼振动：指_______逐渐减小的振动。振动系统受到的_______越大，________减小的越快。
思考：阻尼振动中，振动系统振幅在逐渐减小，其周期怎么样变化？
（3）受迫振动物体在________性变化的___________作用下的振动叫受迫振动，受迫振动稳定时，系统振动的频率等于_________的频率，与系统的__________无关。
（4）共振：
a.共振的条件是__________，产生共振时，物体的振幅______________。
b.在需要利用共振时，应使驱动力的频率接近或等于振动系统的________频率；而在需要防止共振时，应使驱动力的频率与共振系统的_________频率不同，而且________越好。
知识点诠释：
①答案：（1）固有振动；固有频率；（2）a.阻尼；阻尼；机械能；振幅；b.振幅；阻尼；振幅；周期与振幅无关，所以振幅不变；（3）周期；外力（也叫驱动力）；驱动力；固有频率；（4）a.驱动力频率等于物体固有频率；最大；b.固有；固有；差别越大。
课堂练习：
1．（2013江苏高考）如图所示的装置，弹簧振子的固有频率是4 Hz.现匀速转动把手，给弹簧振子以周期性的驱动力，测得弹簧振子振动达到稳定时的频率为1 Hz，则把手转动的频率为（A ）
A．1 Hz B．3 Hz C．4 Hz D．5 Hz
2．如图所示，A球振动后，通过水平细绳迫使B、C振动，下面说法中正确的是 （CD ）
A．只有A、C振动周期相等
B．A的振幅比B小
C．C的振幅比B的振幅大
D．A、B、C的振动周期相等
3．如图所示，A球振动后，通过水平细绳迫使B、C振动，下面说法中正确的是（CD ）
A．只有A.C振动周期相等
B．A的振幅比B小
C．C的振幅比B的振幅大
D．A、B、C的振动周期相等
4．如图所示是物体受迫振动的共振曲线，其纵坐标表示了物体 （C ）
A．在不同时刻的振幅
B．在不同时刻的位移
C．在不同驱动力下的振幅
D．在不同驱动力下的位移

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