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平抛运动与圆周运动的综合问题
平抛运动与圆周运动的综合问题是高考的重点，主要有两种类型：一是平抛运动与水平面内圆周运动的综合，二是平抛运动与竖直面内圆周运动的综合。在此类问题中，除了应用平抛和圆周运动相关规律，通常还要结合能量关系分析求解，解题的关键是求解平抛与圆周运动衔接点的速度。
一、平抛运动与水平面内圆周运动的综合
此类问题往往是物体先做水平面内的匀速圆周运动，后做平抛运动，解题思路是：
(1)分析物体做匀速圆周运动的受力，根据牛顿第二定律和向心力公式列方程。
(2)平抛运动一般是沿水平方向和竖直方向分解速度或位移。
(3)两种运动衔接点的速度是联系前后两个过程的关键物理量。
例1　一光滑圆锥固定在水平地面上，其圆锥角为74°，圆锥底面的圆心为O′。用一根长为0.5 m的轻绳一端系一质量为0.1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在光滑圆锥顶上O点，O点距地面高度为0.75 m，如图所示，如果使小球在光滑圆锥表面上做圆周运动。
(1)当小球的角速度为4 rad/s时，求轻绳中的拉力大小。
(2)逐渐增加小球的角速度，若轻绳受力为N时会被拉断，求当轻绳断裂后小球落地点与O′点间的距离。(g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
[解析]　(1)当小球在圆锥表面上运动时，
据牛顿运动定律可得：
Tsin 37°－FNcos 37°＝mω2Lsin 37° ①
Tcos 37°＋FNsin 37°＝mg ②
小球刚要离开圆锥表面时，支持力FN为零，求得：
ω0＝5 rad/s　T0＝1.25 N
当小球的角速度为4 rad/s时，小球在圆锥表面上运动，
根据公式①②可求得：T1＝1.088 N。
(2)当轻绳断裂时，绳中的拉力大于T0＝1.25 N，故小球已经离开了圆锥表面，设绳子断裂前与竖直方向的夹角为θ。
根据牛顿运动定律可得：
T2sin θ＝m，T2cos θ＝mg
求得：θ＝53°，v＝m/s
轻绳断裂后，小球做平抛运动，此时距离地面的高度为：h＝H－Lcos 53°＝0.45 m
据h＝gt2，求得：t＝0.3 s
如图所示：水平位移为：x＝vt＝m
抛出点与OO′间的距离为：
y＝Lsin 53°＝0.4 m，＝0.8 m
0．8 m>0.75 m×tan 37°，即小球做平抛运动没有落到圆锥表面上，所以落地点到OO′的距离为0.8 m。
[答案]　(1)1.088 N　(2)0.8 m
二、平抛运动与竖直面内圆周运动的综合
此类问题有两种类型：一是先做平抛后做圆周运动；二是先做圆周后做平抛运动，解题的关键是：
(1)除了应用平抛和圆周运动相关规律，通常还要结合能量关系分析求解。
(2)竖直面内的圆周运动要明确是“轻绳模型”还是“轻杆模型”，注意应用物体到达圆周最高点的临界条件。
(3)两种运动衔接点处的速度是联系前后两个过程的关键物理量，注意速度方向与圆周的几何关系。
例2　(2020·山东高考模拟)如图所示，不可伸长的轻质细线下方悬挂一可视为质点的小球，另一端固定在竖直光滑墙面上的O点。开始时，小球静止于A点，现给小球一水平向右的初速度，使其恰好能在竖直平面内绕O点做圆周运动。垂直于墙面的钉子N位于过O点竖直线的左侧，与的夹角为θ(0<θ<π)，且细线遇到钉子后，小球绕钉子在竖直平面内做圆周运动， 当小球运动到钉子正下方时，细线刚好被拉断。已知小球的质量为m，细线的长度为L，细线能够承受的最大拉力为7mg，g为重力加速度大小。
(1)求小球初速度的大小v0；
(2)求小球绕钉子做圆周运动的半径r与θ的关系式；
(3)在细线被拉断后，小球继续向前运动，试判断它能否通过A点。若能，请求出细线被拉断时θ的值；若不能，请通过计算说明理由。
[解析]　(1)设在最高点速度为v1，在最高点，重力恰好提供向心力，所以mg＝
根据动能定理，对球从A点到最高点，有
－mg·2L＝mv－mv
解得v0＝
(2)以N为圆心，设最低点为M，落到最低点速度为v，有
7mg－mg＝
对A到M过程列动能定理
－mgΔh＝mv2－mv
Δh＝L－r－(L－r)cos θ
解得r＝L
(3)假设能通过A点，则
竖直方向：Δh＝gt2
水平方向：(L－r)sin θ＝vt
解得cos θ＝－，与cos θ∈[－1,1]矛盾，所以假设不成立，不能通过A点。
[答案]　(1)　(2)L　(3)不能；理由见解析
〔专题强化训练〕
1．(2021·山西太原模拟)如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道半径为(重力加速度为g)(　B　)
A．　 B．
C．　 D．
[解析]　设轨道半径为R，小物块从轨道上端飞出时的速度为v1，由于轨道光滑，根据机械能守恒定律有mg×2R＝mv2－mv，小物块从轨道上端飞出后做平抛运动，对运动分解有：x＝v1t,2R＝gt2，求得x＝，因此当R－＝0，即R＝时，x取得最大值，B项正确，A、C、D项错误。
2．(2021·湖南长沙一中月考)如图所示，b球在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，BC为圆周的直径，竖直平台与b球运动轨迹相切于B点且高度为R。当b球运动到切点B时，将a球从切点正上方的A点水平抛出，重力加速度大小为g，从a球水平抛出开始计时，为使b球在运动一周的时间内与a球相遇(a球与水平面接触后不反弹)，则下列说法正确的是(　C　)
A．a球在C点与b球相遇时，a球的运动时间最短
B．a球在C点与b球相遇时，a球的初始速度最小
C．若a球在C点与b球相遇，则a球抛出时的速率为
D．若a球在C点与b球相遇，则b球做匀速圆周运动的周期为
[解析]　本题考查平抛运动与圆周运动的结合。a球做平抛运动的时间只取决于竖直高度，高度R不变，运动时间t＝ 不变，故A错误。a球做平抛运动的初速度v＝，a、b两球运动时间相等，在C点相遇时，水平位移最大，则有xmax＝2R，则初始速度最大值vmax＝＝，故B错误，C正确。在C点相遇时，b球运动半个周期，故b球做匀速圆周运动的周期Tb＝2t＝2 ，故D错误。
3．(2020·湖南月考)如图所示为水上乐园的设施，由弯曲滑道、竖直平面内的圆形滑道、水平滑道及水池组成，圆形滑道外侧半径R＝2 m，圆形滑道的最低点的水平入口B和水平出口B′相互错开，为保证安全，在圆形滑道内运动时，要求紧贴内侧滑行。水离水平滑道高度h＝5 m。现游客从滑道A点由静止滑下，游客可视为质点，不计一切阻力，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)起滑点A至少离水平滑道多高？
(2)为了保证游客安全，在水池中放有长度L＝5 m的安全气垫MN，其厚度不计，满足(1)的游客恰落在M端，要使游客能安全落在气垫上，安全滑下点A距水平滑道的高度取值范围为多少？
[答案]　(1)5 m　(2)5 m≤H≤11.25 m
[解析]　(1)游客在圆形滑道内侧恰好滑过最高点时，有
mg＝m ①
从A到圆形滑道最高点，由机械能守恒定律得
mgH1＝mv2＋mg·2R ②
解得H1＝R＝5 m。 ③
(2)落在M点时抛出速度最小，从A到C由机械能守恒定律得
mgH1＝mv ④
v1＝＝10 m/s ⑤
水平抛出，由平抛运动规律可知
h＝gt2 ⑥
得t＝1 s
则s1＝v1t＝10 m
落在N点时s2＝s1＋L＝15 m
则对应的抛出速度v2＝＝15 m/s ⑦
由mgH2＝mv
得H2＝＝11.25 m
安全滑下点A距水平滑道高度范围为5 m≤H≤11.25 m。

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