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3.1　随机事件的概率
3.1.1　随机事件的概率
学
习
目
标
核
心
素
养
1.了解随机事件、必然事件、不可能事件的含义．(重点)2．会初步列出重复试验的结果．(重点)3．理解频率与概率的区别与联系．(难点、易混点)
通过对概率概念的学习，培养数学抽象素养.
1．必然事件、不可能事件与随机事件
事件类型
定义
必然事件
在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件
不可能事件
在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件
确定事件
必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件
随机事件
在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件
事件
确定事件与随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C……表示
2.频率与概率
(1)频数与频率
在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．
(2)概率
随机事件发生可能性的大小用概率来度量，概率是客观存在的．对于给定的随机事件A，事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可用频率fn(A)来估计概率P(A)，即P(A)≈.
思考：频率与概率有什么关系？
[提示]　频率是随机的，在试验之前无法确定，大多会随着试验次数的改变而改变．做同样次数的重复试验，得到的频率值也可能会不同．
概率是一个事件的固有属性，是一个在0与1之间的确定值，不随试验结果的改变而改变．
频率是概率的近似值．概率是频率的稳定值．随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．在实际问题中，通常事件的概率是未知的，常用频率估计概率．
1．事件“经过有信号灯的路口，遇上红灯”是(　　)
A．必然事件　
B．不可能事件
C．随机事件
D．以上均不正确
[答案]　C　
2．下列说法正确的是(　　)
A．任何事件的概率总是在(0,1]之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
C　[由频率与概率的有关概念知，C正确．]
3．“同时抛掷两枚质地均匀的硬币，记录正面向上的枚数”，该试验的结果共有________种．
3　[正面向上的枚数可能为0,1,2，共3种结果．]
4．某人射击10次，恰有8次击中靶子，则该人击中靶子的频率是________．
0.8　[＝0.8.]
事件类型的判断
【例1】　(1)下列事件：①抛一枚硬币，出现正面朝上；②某人买彩票中奖；③大年初一太原下雪；④标准大气压下，水加热到90
℃时会沸腾．其中随机事件的个数是(　　)
A．1
B．2　　　　
C．3
D．4
(2)在1,2,3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“这三个数字的和大于6”这一事件是(　　)
A．必然事件
B．不可能事件
C．随机事件
D．以上选项均不正确
(1)C　(2)C　[(1)①②③可能发生，也可能不发生，是随机事件，④一定不发生，是不可能事件，故选C.
(2)从1,2,3，…，10这10个数字中任取3个数字，这三个数字的和可能等于6，也可能大于6，∴数字之和大于6，可能发生也可能不发生，∴“这三个数字的和大于6”是随机事件，故选C.]
判断一个事件是哪类事件的方法
判断一个事件是哪类事件要看两点：一看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的；二看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件.
1．给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②当“x为某一实数时可使x2<0”是不可能事件；③“每年的国庆节都是晴天”是必然事件；④“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个，5个都是次品”是随机事件．其中正确命题的个数是(　　)
A．4　　　　　　
B．3
C．2
D．1
B　[③“每年的国庆节都是晴天”是随机事件，故错误；①②④的判断均正确．]
试验结果的列举
【例2】　设集合M＝{1,2,3,4}，a∈M，b∈M，(a，b)是一个基本事件．
(1)“a＋b＝5”这一事件包含哪几个基本事件？
(2)“a＝b”这一事件包含哪几个基本事件？
(3)“直线ax＋by＝0的斜率k>－1”这一事件包含哪几个基本事件？
[解]　这个试验的基本事件构成集合Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．
(1)“a＋b＝5”包含以下4个基本事件：
(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．
(2)“a＝b”这一事件包含以下4个基本事件：
(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．
(3)直线ax＋by＝0的斜率k＝－>－1，所以<1.所以a所以包含以下6个基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．
不重不漏地列举试验的所有可能结果的方法
?1?结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必须首先明确试验中的条件.
?2?根据日常生活经验，按照一定的顺序列举出所有可能的结果，可应用画树状图、列表等方法解决.
2．下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的所有结果．
(1)抛掷两枚质地均匀的硬币；
(2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素组成集合A的子集．
[解]　(1)一次试验是指“抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验的可能结果有4个：(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)．
(2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成集合A的一个子集”，试验的结果共有4个：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}．
随机事件的频率与概率
[探究问题]
1．随机事件的频率与试验次数有关吗？
[提示]　频率是事件A发生的次数与试验总次数的比值，当然与试验次数有关．
2．随机事件的概率与试验次数有关吗？
[提示]　概率是客观存在的一个确定的数，与试验做不做，做多少次完全无关．
3．试验次数越多，频率就越接近概率吗？
[提示]　不是．随着试验次数的增多(足够多)，频率稳定于概率的可能性在增大．在事件的概率未知的情况下，我们常用频率作为概率的估计值．即概率是频率的稳定值，频率是概率的估计值．
【例3】　某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
(1)记A为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P(A)的估计值；
(2)记B为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P(B)的估计值．
思路点拨：(1)由已知可得续保人本年度的保费不高于基本保费的频数(一年内出险次数小于2的频数)，进而可得P(A)的估计值；(2)由已知可得续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%的频数(一年内出险次数大于1且小于4的频数)，进而可得P(B)的估计值．
[解]　(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.
1．(变条件)某射击运动员进行飞碟射击训练，七次训练的成绩记录如下：
射击次数n
100
120
150
100
150
160
150
击中飞碟数nA
81
95
120
81
119
127
121
(1)求各次击中飞碟的频率；(保留三位小数)
(2)该射击运动员击中飞碟的概率约为多少？
[解]　(1)计算得各次击中飞碟的频率依次约为0.810，0.792,0.800,0.810,0.793,0.794,0.807.
(2)由于这些频率非常地接近0.800，且在它附近摆动，所以运动员击中飞碟的概率约为0.800.
2．(变结论)本例条件不变，记C为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费的150%”，求P(C)的估计值．
[解]　事件C发生当且仅当一年内出险次数大于或等于4，由表中数据知，一年内出险次数大于或等于4的频率为＝0.15，
故P(C)的估计值为0.15.
随机事件概率的理解及求法
?1?理解：概率可看作频率理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.当试验的次数越来越多时，频率越来越趋近于概率.当次数足够多时，所得频率就近似地看作随机事件的概率.
?2?求法：通过公式fn?A?＝＝
eq
\f(m,n)计算出频率，再由频率估算概率.
1．辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件，在给定的条件下判断是一定发生(必然事件)，还是不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)．
2．随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率．
3．写试验结果时，要按顺序写，特别要注意题目中的有关字眼，如“先后”“依次”“顺序”“放回”“不放回”等．
1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“抛掷硬币五次，均正面向上”是不可能事件．
(　　)
(2)在平面图形中，三角形的内角和是180°是必然事件．
(　　)
(3)频率与概率可以相等．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√
2．下列事件中的随机事件为(　　)
A．若a，b，c都是实数，则a(bc)＝(ab)c
B．没有水和空气，人也可以生存下去
C．抛掷一枚硬币，反面向上
D．在标准大气压下，温度达到60
℃时水沸腾
C　[
A中的等式显然对任意实数a，b，c是恒成立的，故A是必然事件；在没有空气和水的条件下，人是绝对不能生存下去的，故B是不可能事件；抛掷一枚硬币时，在没得到结果之前，并不知道会是正面向上还是反面向上，故C是随机事件；在标准大气压的条件下，只有温度达到100
℃，水才会沸腾，当温度是60
℃时，水是绝对不会沸腾的，故D是不可能事件．]
3．一个地区从某年起4年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示：
时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数n
5
544
9
607
13
520
17
190
男婴数m
2
883
4
970
6
994
8
892
这一地区男婴出生的概率约是________．(保留4位小数)
0．517
3　[计算即得男婴出生的频率依次约为0.520
0，0.517
3，0.517
3,0.517
3.由于这些频率非常0.5173，因此，这
地区男婴出生的概率为0.5173.]
4．做试验“从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中，不放回地取两次小球，每次取一个，构成有序数对(x，y)，x为第一次取到的小球上的数字，y为第二次取到的小球上的数字”．
(1)求这个试验结果的个数；
(2)写出“第一次取出的小球上的数字是2”这一事件．
[解]　(1)当x＝1时，y＝2,3,4；当x＝2时，y＝1,3,4；同理当x＝3,4时，也各有3个不同的有序数对，所以共有12个不同的有序数对．故这个试验结果的个数为12.
(2)记“第一次取出的小球上的数字是2”为事件A，则A＝{(2,1)，(2,3)，(2,4)}．
PAGE3.1.2　概率的意义
学
习
目
标
核
心
素
养
1．理解概率的意义，会用概率的意义解释生活中的实例．(重点、难点)2．了解“极大似然法”和遗传机理中的统计规律.
1．通过概率意义的理解，培养数学抽象素养．2．借助实际问题中的统计规律，提升数学建模素养.
1．对概率的正确理解
随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性，认识了这种随机性中的规律性，就能使我们比较准确地预测随机事件发生的可能性．
2．实际问题中几个实例
(1)游戏的公平性
①裁判员用抽签器决定谁先发球，不管哪一名运动员先猜，猜中并取得发球权的概率均为0.5，所以这个规则是公平的．
②在设计某种游戏规则时，一定要考虑这种规则对每个人都是公平的这一重要原则．
(2)决策中的概率思想
如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法，极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一．
(3)天气预报的概率解释
天气预报的“降水概率”是随机事件的概率，其指明了“降水”这个随机事件发生的可能性的大小．
(4)试验与发现
概率学的知识在科学发展中起着非常重要的作用，例如，奥地利遗传学家孟德尔利用豌豆所做的试验，经过长期观察得出了显性与隐性的比例接近3∶1，而对这一规律进行深入研究，得出了遗传学中一条重要的统计规律．
(5)遗传机理中的统计规律
孟德尔通过收集豌豆试验数据，寻找到了其中的统计规律，并用概率理论解释这种统计规律．利用遗传定律，帮助理解概率统计中的随机性与规律性的关系，以及频率与概率的关系．
1．已知某人在投篮时投中的概率为50%，则下列说法正确的是(　　)
A．若他投100次，一定有50次投中
B．若他投一次，一定投中
C．他投一次投中的可能性大小为50%
D．以上说法均错
C　[概率是指一件事情发生的可能性大小．]
2．同时向上抛100个铜板，结果落地时100个铜板朝上的面都相同，你认为这100个铜板更可能是下面哪种情况(　　)
A．这100个铜板两面是一样的
B．这100个铜板两面是不同的
C．这100个铜板中有50个两面是一样的，另外50个两面是不相同的
D．这100个铜板中有20个两面是一样的，另外80个两面是不相同的
A　[落地时100个铜板朝上面都相同，根据极大似然法可知，这100个铜板两面是一样的可能性较大．]
3．如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黄球(只是颜色不同)若干个，从中任取1球，取了10次有7个白球，估计袋中数量较多的是________球．
白　[取10次球有7次是白球，则取出白球的频率是0.7，故可估计袋中数量较多的是白球．]
4．若事件A发生的概率为，则表示________．
事件A发生的可能性的大小　[表示事件A发生的可能性的大小．]
对概率的理解
[探究问题]
1．随机事件A的概率P(A)反映了什么？
[提示]　反映了事件A发生的可能性的大小．
2．随机事件在一次试验中是否发生与概率的大小有关系吗？
[提示]　随机事件的概率表明了随机事件发生的可能性的大小，但并不表示概率大的事件一定发生，概率小的事件一定不发生．
【例1】　经统计，某篮球运动员的投篮命中率为90%，对此有人解释为其投篮100次一定有90次命中，10次不中，你认为这种解释正确吗？说说你的理由．
思路点拨：结合概率的意义，正确理解概率的含义．
[解]　这种解释不正确，原因如下：
因为“投篮命中”是一个随机事件，90%是指此事件发生的概率，即每次投篮有90%命中的把握，但就一次投篮而言，也可能不发生，也可能发生，并不是说投100次必中90次．
1．(变条件)某种疾病治愈的概率是30%，有10个人来就诊，如果前7个人没有治愈，那么后3个人一定能治愈吗？如何理解治愈的概率是30%?
[解]　不一定．如果把治疗一个病人当作一次试验，治愈的概率是30%，是指随着试验次数的增加，大约有30%的病人能治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的．因此，前7个病人没有治愈是有可能的，而对后3个病人而言，其结果仍是随机的，即有可能治愈，也有可能不能治愈．
2．(变结论)经统计，某篮球运动员的投篮命中率为90%，已知他连续投篮5次均未投中，那么下次投篮的命中率一定会大于90%，这种理解对吗？
[解]　这种理解不正确．此运动员命中率为90%，是他每次投中的可能性，但对于每一次投篮，其结果都是随机的，他连续5次未中是有可能的，但对下一次投篮而言，其命中率仍为90%，而不会大于90%.
理解概率意义应关注的三个方面
?1?概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的稳定值.
?2?由频率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映.
?3?正确理解概率的意义，要清楚与频率的区别与联系.对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件.
游戏的公平性
【例2】　某转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜数方案从以下两种方案中选一种：
A．猜“是奇数”或“是偶数”；
B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”．
请回答下列问题：
(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪种猜数方案？
(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？
[解]　(1)为了尽可能获胜，乙应选择方案B，猜“不是4的整数倍数”，这是因为“不是4的整数倍数”的概率为＝0.8，超过了0.5，故为了尽可能获胜，选择方案B.
(2)为了保证游戏的公平性，应当选择方案A，这是因为方案A猜“是奇数”和“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏的公平性．
1．游戏公平性的标准及判断方法
(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的．
(2)具体判断时，可以按所给规则，求出双方的获胜概率，再进行比较．
2．极大似然法的应用
在“风险与决策”中经常会遇到统计中的极大似然法：如果我们面临的是从多个可以选择的答案中挑选正确答案的决策问题，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法．
1．设有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球和1个黑球，乙箱有1个白球和99个黑球，若随机地抽取一箱，再从此箱中任意抽取一球，结果取得白球，则这个球最有可能是从________箱中抽出的(填“甲”或“乙”)．
甲　[甲箱中有99个白球和1个黑球，故随机地取出一球，得到白球的可能性是；乙箱中有1个白球和99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是.由此看出，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多．由极大似然法知，既然在一次随机抽样中抽到白球，当然可以认为是从概率大的箱子中抽出的，所以我们作出统计推断，该白球是从甲箱中抽出的．]
2.有一种游戏是这样的：在一个大转盘上，盘面被均匀地分成12份，分别写有1～12这12个数字(如图所示)，其中2,4,6,8,10,12这6个区域对应的奖品是文具盒，而1,3,5,7,9,11这6个区域对应的奖品是随身听．游戏规则是转盘转动后指针停在哪一格，则继续向前前进对应转盘上数字的格数．例如：你转动转盘停止后，指针落在4所在区域，则还要往前前进4格，到标有8的区域，此时8区域对应的奖品就是你的，以此类推．请问：小明在玩这个游戏时，得到的奖品是随身听的概率是多少？
[解]　根据题意知转盘停止后，指针所在区域再前进相应格数后所在位置均为标有偶数的区域，故得到的奖品是随身听的概率是0.
概率在实际生活中的应用
【例3】　为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2
000尾，给每尾鱼做上记号(不影响其存活)，然后放回水库．经过适当时间，再从水库中捕出一定数量的鱼，如500尾，查看其中做记号的鱼的数量，设有40尾．试根据上述数据，估计水库中鱼的尾数．
[解]　设水库中鱼的尾数为n，n是未知的，现在要估计n的值．假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，从水库中任捕一尾，设事件A＝{带有记号的鱼}，由概率的统计定义可知P(A)＝.
①
笫二次从水库中捕出500尾，观察每尾鱼上是否有记号，共需观察500次，其中带有记号的鱼有40尾，即事件A发生的频数m＝40，P(A)≈.
②
由①②两式，得≈，解得n≈25
000.
所以估计水库中有鱼25
000尾．
处理概率应用问题的技巧
?1?求概率：先利用频率等方法求出事件的概率.如本题中先求出带记号的鱼的概率.
?2?估计值：利用概率的稳定性，根据频率公式估计数值.如本题中计算总体的数目，即求水库中鱼的尾数.
3．某中学为了了解初中部学生的某项行为规范的养成情况，在校门口按系统抽样的方法：每2分钟随机抽取一名学生，登记佩带胸卡的学生的名字．结果，150名学生中有60名佩带胸卡．第二次检查，调查了初中部的所有学生，有500名学生佩带胸卡．据此估计该中学初中部一共有多少名学生？
[解]　设初中部有n名学生，依题意得＝，解得n＝1
250.
所以该中学初中部共有学生大约1
250名．
1．概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个度量，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定会发生，只是认为事件发生的可能性大．
2．概率与频率的关系：对于一个事件而言，概率是一个常数，频率则随试验次数的变化而变化，次数越多频率越接近其概率．
1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)事件A发生的概率很小时，该事件为不可能事件．
(　　)
(2)某医院治愈某种病的概率为0.8，则10个人去治疗，一定有8人能治愈．
(　　)
(3)平时的多次比赛中，小明获胜的次数比小华的高，所以这次比赛应选小明参加．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√
2．在北京消费季活动中，某商场为促销举行购物抽奖活动，规定购物消费每满200元就可以参加一次抽奖活动，中奖的概率为.那么以下理解正确的是(　　)
A．某顾客抽奖10次，一定能中奖1次
B．某顾客抽奖10次，可能1次也没中奖
C．某顾客消费210元，一定不能中奖
D．某顾客消费1
000元，至少能中奖1次
B　[中奖概率表示每一次抽奖中奖的可能性都是，
故不论抽奖多少次，都可能一次也不中奖，故选B.]
3．某厂产品的次品率为2%，估算该厂生产的1
000件产品中合格产品的件数可能为________件．
980　[1
000×(1－2%)＝980(件)．]
4．解释下列概率的含义：
(1)某厂生产的电子产品合格的概率为0.997；
(2)某商场进行促销活动，购买商品满200元，即可参加抽奖活动，中奖的概率为0.6；
(3)一位气象学工作者说，明天下雨的概率是0.8；
(4)按照法国著名数学家拉普拉斯的研究结果，一个婴儿将是女孩的概率是.
[解]　(1)生产1
000件电子产品大约有997件是合格的．
(2)购买商品满200元进行抽奖，中奖的可能性为0.6.
(3)在今天的条件下，明天下雨的可能性是80%.
(4)一个婴儿将是女孩的可能性是.
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