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第2课时　等比数列的性质
学
习
目
标
核
心
素
养
1.掌握等比数列的性质及其应用．(重点)2.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用．(难点、易错点)3.能用递推公式求通项公式．(难点)
1.通过灵活设项求解等比数列问题以及等比数列性质的应用，培养数学运算素养．2.借助递推公式转化为等比数列求通项，培养逻辑推理及数学运算素养．
1．推广的等比数列的通项公式
{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1，an＝am·qn－m(m，n∈N
).
2．“子数列”性质
对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为qk．
思考：如何推导an＝amqn－m?
[提示]　由＝＝qn－m，
∴an＝am·qn－m.
3．等比数列项的运算性质
在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N
)，则am·an＝ap·aq．
①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N
)时，am·an＝a．
②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….
4．两等比数列合成数列的性质
若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{a}，{an·bn}，也为等比数列．
思考：等比数列{an}的前4项为1，2，4，8，下列判断正确的是
(1){3an}是等比数列；
(2){3＋an}是等比数列；
(3)是等比数列；
(4){a2n}是等比数列．
[提示]　由定义可判断出(1)(3)(4)正确．
1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　)
A．a1，a3，a9成等比数列
B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列
D．a3，a6，a9成等比数列
[答案]　D
2．等比数列{an}中，a1＝3，q＝2，则a4＝
，an＝
．
24　3×2n－1　[a4＝a1q3＝3×23＝24，an＝a1qn－1＝3×2n－1.]
3．在等比数列{an}中，a5＝4，a7＝6，则a9＝
．
9　[因为a7＝a5q2，所以q2＝.
所以a9＝a5q4＝a5(q2)2＝4×＝9.]
4．在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11的值为
．
25　[因为a7a12＝a8a11＝a9a10＝5，所以a8a9a10a11＝25.]
灵活设项求解等比数列
【例1】　已知4个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－，则此4个数为
．
8，－2，，－或－，，－2，8　[设此4个数为a，aq，aq2，aq3.
则a4q6＝1，aq(1＋q)＝－，①
所以a2q3＝±1，当a2q3＝1时，q>0，代入①式化简可得q2－q＋1＝0，此方程无解；
当a2q3＝－1时，q<0，代入①式化简可得q2＋q＋1＝0，解得q＝－4或q＝－.
当q＝－4时，a＝－；
当q＝－时，a＝8.
所以这4个数为8，－2，，－或－，，－2，8.]
巧设等差数列、等比数列的方法
(1)若三数成等差数列，常设成a－d，a，a＋d.若三数成等比数列，常设成，a，aq或a，aq，aq2.
(2)若四个数成等比数列，可设为，a，aq，aq2.若四个正数成等比数列，可设为，，aq，aq3.
1．有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数．
[解]　由题意设此四个数为，b，bq，a，
则有
解得或
所以这四个数为1，－2，4，10或－，－2，－5，－8.
等比数列的性质及应用
【例2】　已知{an}为等比数列．
(1){an}满足a2a4＝，求a1aa5；
(2)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
(3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
思路探究：利用等比数列的性质，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq求解．
[解]　(1)等比数列{an}中，因为a2a4＝，所以a＝a1a5＝a2a4＝，所以a1aa5＝.
(2)由等比中项，化简条件得
a＋2a3a5＋a＝25，即(a3＋a5)2＝25，
∵an>0，∴a3＋a5＝5.
(3)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10
＝log3(a1a2…a10)
＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]
＝log395＝10.
有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，先解出a1和q，然后利用通项公式求解．但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项的“下标”的指导作用．
2．(1)已知数列{an}为等比数列，a3＝3，a11＝27，求a7；
(2)已知{an}为等比数列，a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q.
[解]　(1)法一：相除得q8＝9.
所以q4＝3，所以a7＝a3·q4＝9.
法二：因为a＝a3a11＝81，所以a7＝±9，
又a7＝a3q4＝3q4>0，所以a7＝9.
(2)因为a2·a8＝36＝a3·a7，而a3＋a7＝15，
所以a3＝3，a7＝12或a3＝12，a7＝3.
所以q4＝＝4或，所以q＝±或q＝±.
由递推公式转化为等比数列求通项
[探究问题]
1．如果数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N
)，你能判断出{an}是等差数列，还是等比数列吗？
[提示]　由等差数列与等比数列的递推关系，可知数列{an}既不是等差数列，也不是等比数列．
2．在探究1中，若将an＋1＝2an＋1两边都加1，再观察等式的特点，你能构造出一个等比数列吗？
[提示]　在an＋1＝2an＋1两边都加1得
an＋1＋1＝2(an＋1)，显然数列{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，以q＝2为公比的等比数列．
3．在探究1中，若将an＋1＝2an＋1改为an＋1＝3an＋5，又应如何构造出一个等比数列？你能求出an吗？
[提示]　先将an＋1＝3an＋5变形为an＋1＋x＝3(an＋x).将该式整理为an＋1＝3an＋2x与an＋1＝3an＋5对比可知2x＝5，即x＝；所以在an＋1＝3an＋5两边都加，可构造出等比数列.利用等比数列求出an＋即可求出an.
【例3】　已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4.
(1)求a1的值；
(2)若bn＝an－1，试证明数列{bn}为等比数列．
思路探究：(1)由n＝1代入Sn＝2an＋n－4求得；
(2)先由Sn＝2an＋n－4，利用Sn和an的关系得{an}的递推关系，然后构造出数列{an－1}利用定义证明．
[解]　(1)因为Sn＝2an＋n－4，所以当n＝1时，S1＝2a1＋1－4，解得a1＝3.
(2)证明：因为Sn＝2an＋n－4，
所以当n≥2时，
Sn－1＝2an－1＋(n－1)－4，
Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)，即an＝2an－1－1，
所以an－1＝2(an－1－1)，
又bn＝an－1，所以bn＝2bn－1，
且b1＝a1－1＝2≠0，
所以数列{bn}是以b1＝2为首项，2为公比的等比数列．
1．将本例条件“Sn＝2an＋n－4”改为“a1＝1，Sn＋1＝4an＋2”，“bn＝an－1”改为“bn＝an＋1－2an”，试证明数列{bn}是等比数列，并求{bn}的通项公式．
[证明]　an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an.
＝＝
＝＝2.
所以数列{bn}是公比为2的等比数列，
首项为a2－2a1.
因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，
所以a2＝5，所以b1＝a2－2a1＝3.
所以bn＝3·2n－1.
2．将本例条件“Sn＝2an＋n－4”改为“a1＝1，a＝2a＋anan＋1”，试证明数列{an}是等比数列，并求{an}的通项公式．
[解]　由已知得a－anan＋1－2a＝0，
所以(an＋1－2an)(an＋1＋an)＝0.
所以an＋1－2an＝0或an＋1＋an＝0，
(1)当an＋1－2an＝0时，＝2.又a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．所以an＝2n－1.
(2)当an＋1＋an＝0时，＝－1，又a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公比为－1的等比数列，
所以an＝1×(－1)n－1＝(－1)n－1.
综上：an＝2n－1或(－1)n－1.
1．已知数列的前n项和或前n项和与通项的关系求通项，常用an与Sn的关系求解．
2．由递推关系an＋1＝Aan＋B(A，B为常数，且A≠0，A≠1)求an时，由待定系数法设an＋1＋λ＝A(an＋λ)可得λ＝，这样就构造了等比数列{an＋λ}．
1．解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法．
2．所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量．
3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．
1．判断正误
(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积．
(　　)
(2)当q>1时，{an}为递增数列．
(　　)
(3)当q＝1时，{an}为常数列．
(　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　
[提示]　(2)当a1>0且q>1时{an}为递增数列，故(2)错．
2．在正项等比数列{an}中，3a1，a3，2a2成等差数列，则等于(　　)
A．3或－1　　　　　　　　
B．9或1
C．1
D．9
D　[由3a1，a3，2a2成等差数列可得a3＝3a1＋2a2，即a1q2＝3a1＋2a1q，
∵a1≠0，∴q2－2q－3＝0.
解得q＝3或q＝－1(舍).
∴＝＝＝q2＝9.]
3．在和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为
．
8　[设插入的3个数依次为a，b，c，即，a，b，c，8成等比数列，由等比数列的性质可得b2＝ac＝×8＝4，因为a2＝b>0，∴b＝2(舍负).所以这3个数的积为abc＝4×2＝8.]
4．已知数列{an}为等比数列．
(1)若a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝216，求an；
(2)若a3a5＝18，a4a8＝72，求公比q.
[解]　(1)∵a1a2a3＝a＝216，∴a2＝6，
∴a1a3＝36.
又∵a1＋a3＝21－a2＝15，
∴a1，a3是方程x2－15x＋36＝0的两根3和12.
当a1＝3时，q＝＝2，an＝3·2n－1；
当a1＝12时，q＝，an＝12·.
(2)∵a4a8＝a3q·a5q3＝a3a5q4＝18q4＝72，∴q4＝4，∴q＝±.
PAGE2.4　等比数列
第1课时　等比数列
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解等比数列的定义．(重点)2.掌握等比数列的通项公式及其应用．(重点、难点)3.熟练掌握等比数列的判定方法．(易错点)
1.通过等比数列的通项公式及等比中项的学习及应用，体现了数学运算素养．2.借助等比数列的判定与证明，培养逻辑推理素养．
1．等比数列的概念
(1)文字语言：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0).
(2)符号语言：
＝q(q为常数，q≠0，n∈N
).
思考：能将定义中的“每一项与前一项的比”理解为“每相邻两项的比”吗？
[提示]　不能．
2．等比中项
(1)前提：三个数a，G，b成等比数列．
(2)结论：G叫做a，b的等比中项．
(3)满足的关系式：G2＝ab．
思考：当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？
[提示]　不一定，如数列0，0，5就不是等比数列．
3．等比数列的通项公式
一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有公式an＝a1·qn－1．这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比．
4．等比数列与指数函数的关系
等比数列的通项公式可整理为an＝·qn，而y＝·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列{·qn}中的各项的点是函数y＝·qx的图象上的孤立点．
思考：除了课本上采用的不完全归纳法，还能用什么方法求数列的通项公式？
[提示]　还可以用累乘法．
当n>2时，＝q，＝q，…，＝q，
∴an＝a1··…·＝a1·qn－1.
1．2＋和2－的等比中项是(　　)
A．1　　　　B．－1　　　　C．±1　　　　D．2
C　[设2＋和2－的等比中项为a，则a2＝(2＋)(2－)＝1.即a＝±1.]
2．下列数列为等比数列的序号是
．
①2，22，3×22；②，，，，(a≠0)；③s－1，(s－1)2，(s－1)3，(s－1)4，(s－1)5；④0，0，0，0，0.
②　[≠，所以①不是等比数列；②是首项为，公比为的等比数列；③中，当s＝1时，数列为0，0，0，0，0，所以不是等比数列；④显然不是等比数列．]
3．等比数列{an}中，a2＝2，a5＝，则公比q＝
．
　[由定义知＝＝＝＝q，则a2＝a1q＝2，①
a5＝a4q＝a3q2＝a2q3＝a1q4＝，②
所以②÷①得q3＝，所以q＝.]
等比数列的通项公式及应用
【例1】　在等比数列{an}中．
(1)a1＝，q＝，an＝，求项数n；
(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.
[解]　(1)因为an＝a1qn－1，所以×＝，即＝，
解得n＝5.
(2)设等比数列的公比为q，
那么
解得
所以an＝a1qn－1＝5×2n－1.
1．等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．
2．关于a1和q的求法通常有以下两种方法：
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
1．(1)在等比数列{an}中，若它的前三项分别为5，－15，45，求a5；
(2)已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，求an.
[解]　(1)∵a5＝a1q4，而a1＝5，
q＝＝－3，∴a5＝405.
(2)由2(an＋an＋2)＝5an＋1?2q2－5q＋2＝0?q＝2或，
由a＝a10＝a1q9>0?a1>0，又数列{an}递增，
所以q＝2.a＝a10?(a1q4)2＝a1q9?a1＝q＝2，
所以数列{an}的通项公式为an＝2n.
等比中项
【例2】　(1)等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是(　　)
A．±4　　　B．4　　　C．±　　　D．
(2)已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．
思路探究：(1)用定义求等比中项．
(2)证明(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)即可．
(1)A　[由an＝·2n－1＝2n－4知，a4＝1，a8＝24，所以a4与a8的等比中项为±4.]
(2)[证明]　b是a，c的等比中项，则b2＝ac，且a，b，c均不为零，
又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，
(ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，所以(ab＋bc)2＝(a2＋b2)·(b2＋c2)，即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．
等比中项应用的三点注意
(1)由等比中项的定义可知＝?G2＝ab?G＝±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．
(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项．
(3)a，G，b成等比数列等价于G2＝ab(ab>0).
2．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　)
A．b＝3，ac＝9
B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9
D．b＝－3，ac＝－9
B　[因为b2＝(－1)×(－9)＝9，且b与首项－1同号，
所以b＝－3，且a，c必同号．所以ac＝b2＝9.]
3．设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于(　　)
A．2
B．4
C．6
D．8
B　[∵an＝(n＋8)d，又∵a＝a1·a2k，
∴[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，解得k＝－2(舍去)，
k＝4.]
等比数列的判断与证明
[探究问题]
1．若数列{an}是等比数列，易知有＝q(q为常数，且q≠0)或a＝an·an＋2(an≠0，n∈N
)成立．反之，能说明数列{an}是等比数列吗？
[提示]　能．若数列{an}满足＝q(q为常数，q≠0)或a＝an·an＋2(an≠0，n∈N
)都能说明{an}是等比数列．
2．若数列{an}是公比为q的等比数列，则它的通项公式为an＝a1·qn－1(a，q为非零常数，n∈N
).反之，能说明数列{an}是等比数列吗？
[提示]　能．根据等比数列的定义可知．
【例3】　已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列．
思路探究：①如何由求和公式得通项公式？②a1是否适合an＝Sn－Sn－1(n≥2)？需要检验吗？
[解]　an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2).
当n≥2时＝＝2；
当n＝1时，＝＝.
故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2；当a≠－1时，数列{an}不是等比数列．
1．(变条件)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“Sn＝2－an”．求证数列{an}是等比数列．
[证明]　∵Sn＝2－an，
∴Sn＋1＝2－an＋1，
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1，
∴an＋1＝an.
又∵S1＝2－a1，∴a1＝1≠0.
又由an＋1＝an知an≠0，
∴＝，
∴{an}是等比数列．
2．(变条件，变结论)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“a1＝1，an＋1＝2an＋1”证明数列{an＋1}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式．
[解]　因为an＋1＝2an＋1，
所以an＋1＋1＝2(an＋1).
由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.
所以＝2(n∈N
)，所以数列{an＋1}是等比数列．
所以{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝2·2n－1＝2n，即an＝2n－1.
判断一个数列{an}是等比数列的方法
(1)定义法：若数列{an}满足＝q(q为常数且不为零)或＝q(n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列．
(2)等比中项法：对于数列{an}，若a＝an·an＋2且an≠0，则数列{an}是等比数列．
(3)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列．
1．等比数列的判断或证明
(1)利用定义：＝q(q为与n无关的常数且不为零).
(2)利用等比中项：a＝anan＋2(n∈N
).
2．两个同号的实数a，b才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±)，而不是一个()，这是容易忽视的地方．
3．等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量．
1．判断正误
(1)若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．
(　　)
(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．
(　　)
(3)常数列一定为等比数列．
(　　)
(4)任何两个数都有等比中项．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　
[提示]　(1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列；(2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零；(3)错误，当常数列不为零数列时，该数列才是等比数列；(4)错误．当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项．
2．在等比数列{an}中，若a2＝4，a5＝－32，则公比q应为(　　)
A．±　　　B．±2　　　C．　　　D．－2
D　[因为＝q3＝－8，故q＝－2.]
3．在等比数列{an}中，a4＝27，q＝－3，则a7＝
．
－729　[a7＝a4·q3＝27×(－3)3＝－729.]
4．已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式．
[解]　依题意an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，
于是bn＝.而＝＝＝2.
∴数列{bn}是公比为2的等比数列，通项公式为bn＝2n－3.
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