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3.4　基本不等式：≤
学
习
目
标
核
心
素
养
1.了解基本不等式的证明过程．2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．(重点、难点)3.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题．(重点)
1.通过利用基本不等式比较大小和证明不等式的学习，培养逻辑推理素养．2.借助利用基本不等式求最值和基本不等式的实际应用，培养数学建模及数学运算素养．
1．重要不等式
如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”).
思考：如果a>0，b>0，用，分别代替不等式a2＋b2≥2ab中的a，b，可得到怎样的不等式？
[提示]　a＋b≥2.
2．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a，b均为正实数；
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
思考：不等式a2＋b2≥2ab与≤成立的条件相同吗？如果不同各是什么？
[提示]　不同，a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；≤成立的条件是a，b均为正实数．
3．算术平均数与几何平均数
(1)设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为；
(2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
思考：≥与≥ab是等价的吗？
[提示]　不等价，前者条件是a>0，b>0，后者是a，b∈R.
4．用基本不等式求最值的结论
(1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y＝时，积xy有最大值为．
(2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y＝时，和x＋y有最小值为2．
5．基本不等式求最值的条件
(1)x，y必须是正数．
(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．
(3)等号成立的条件是否满足．
思考：利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？若求和(积)的最值时，一般要确定哪个量为定值？
[提示]　三个条件是：一正，二定，三相等．求和的最小值，要确定积为定值；求积的最大值，要确定和为定值．
1．不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为(　　)
A．x≥2y　　　　
B．x＞2y
C．x≤2y
D．x＜2y
B　[因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－2y＞0，即x＞2y，故选B.]
2．设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值为
．
400　[因为x，y都是正数，
且x＋y＝40，所以xy≤＝400，当且仅当x＝y＝20时取等号．]
3．函数f(x)＝x＋(x＞0)的最小值为
．
2　[由基本不等式可得x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立．]
4．给出下列说法：
①若x∈(0，π)，则sin
x＋≥2；
②若a，b∈(0，＋∞)，则lg
a＋lg
b≥2；
③若x∈R且x≠0，则≥4.
其中正确说法的序号是
．
①③　[①因为x∈(0，π)，所以sin
x∈(0，1]，
所以①成立；②只有在lg
a>0，lg
b>0，
即a>1，b>1时才成立；
③＝|x|＋≥
2＝4成立．]
利用基本不等式比较大小
【例1】　已知0[解]　法一：因为a>0，b>0，所以a＋b≥2，a2＋b2≥2ab，
所以四个数中最大的数应为a＋b或a2＋b2.
又因为0所以a2＋b2－(a＋b)＝a2－a＋b2－b
＝a(a－1)＋b(b－1)<0，
所以a2＋b2所以a＋b最大．
法二：令a＝b＝，
则a＋b＝1，2＝1，a2＋b2＝，2ab＝2××＝，
再令a＝，b＝，a＋b＝＋＝，2＝
2＝，
所以a＋b最大．
(1)在使用基本不等式≤(a≥0，b≥0)时，要注意不等式的双向性．
①从左到右：常使用基本不等式的变形公式ab≤；
②从右到左：常使用a＋b≥2.
(2)运用基本不等式比较大小应注意等号成立的条件．
(3)特殊值法是解决不等式的一个有效方法，
但要使特殊值具有一般性．
1．(1)已知m＝a＋(a>2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是
．
(2)若a>b>1，P＝，Q＝(lg
a＋lg
b)，R＝lg
，则P，Q，R的大小关系是
．
(1)m>n　(2)P2，所以a－2>0，又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2，
所以m≥2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.
(2)因为a>b>1，所以lg
a>lg
b>0，
所以Q＝(lg
a＋lg
b)>＝P；
Q＝(lg
a＋lg
b)＝lg
＋lg
＝lg
＝R.
所以P利用基本不等式证明不等式
【例2】　已知a，b，c为不全相等的正实数．
求证：a＋b＋c>＋＋.
思路探究：→→→
[证明]　∵a>0，b>0，c>0，
∴a＋b≥2>0，
b＋c≥2>0，
c＋a≥2>0，
∴2(a＋b＋c)≥2(＋＋)，
即a＋b＋c≥＋＋.
由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立．
∴a＋b＋c>＋＋.
1．所证不等式一端出现“和式”，而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，可尝试用基本不等式证明．
2．利用基本不等式证明不等式的注意点
(1)多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；
(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；
(3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．
2．已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1.
求证：≥8.
[证明]　因为a，b，c为正实数，
且a＋b＋c＝1，
所以－1＝＝≥.
同理，－1≥，－1≥.
上述三个不等式两边均为正，
相乘得≥··＝8，当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．
基本不等式的实际应用
【例3】　如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有可围36
m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)要使每间虎笼面积为24
m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
思路探究：(1)已知a＋b为定值，如何求ab的最大值？(2)已知ab为定值，如何求a＋b的最小值？
[解]　(1)设每间虎笼长x
m，宽y
m，则由条件知：4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.
设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
法一：由于2x＋3y≥2＝2，
∴2≤18，得xy≤，
即S≤，当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由解得
故每间虎笼长4.5
m，宽3
m时，可使面积最大．
法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y.
∵x>0，∴9－y>0，
∴0S＝xy＝y＝(6－y)·y.
∵0∴6－y>0，
∴S≤·＝.
当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.故每间虎笼长4.5
m，宽3
m时，可使面积最大．
(2)由条件知S＝xy＝24.
设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.
法一：∵2x＋3y≥2＝2＝24，
∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48.
当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由，解得
故每间虎笼长6
m，宽4
m时，可使钢筋网总长最小．
法二：由xy＝24，得x＝.
∴l＝4x＋6y＝＋6y＝6≥6×2＝48.
当且仅当＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.
故每间虎笼长6
m，宽4
m时，可使钢筋网总长最小．
求实际问题中最值的解题4步骤
(1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式；
(2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑基本不等式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性；
(4)正确写出答案．
3．某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400平方米的三级污水处理池，平面图如图所示．池外圈建造单价为每米200元，中间两条隔墙建造单价为每米250元，池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖).试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价．
[解]　设污水池的长为x米，则宽为米，总造价y＝(2x＋2·)·200＋2×250·＋80×400＝400＋32
000≥400×2＋32
000＝56
000(元)，当且仅当x＝，即x＝30时取等号．
故污水池的长为30米、宽为米时，最低造价为56
000元.
利用基本不等式求最值
[探究问题]
1．由x2＋y2≥2xy知xy≤，当且仅当x＝y时“＝”成立，能说xy的最大值是吗？能说x2＋y2的最小值为2xy吗？
[提示]　最值是一个定值(常数)，而x2＋y2或2xy都随x，y的变化而变化，不是定值，故上述说法均错误．要利用基本不等式≥(a，b∈R＋)求最值，必须保证一端是定值，方可使用．
2．小明同学初学利用基本不等式求最值时，是这样进行的：
“因为y＝x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x2＝1时“＝”号成立，所以y＝x＋的最小值为2.”你认为他的求解正确吗？为什么？
[提示]　不正确．因为利用基本不等式求最值，必须满足x与都是正数，而本题x可能为正，也可能为负．所以不能盲目“套用”基本不等式求解．正确解法应为：当x>0时，y＝x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时取“＝”，y＝x＋的最小值是2；当x<0时，y＝－≤－2＝－2，当且仅当x＝，即x＝－1时，取“＝”，y＝x＋的最大值是－2.
3．已知x≥3，求y＝的最小值，下列求解可以吗？为什么？
“解：∵y＝＝x＋≥2＝4，
∴当x≥3时，y＝的最小值为4.”
[提示]　不可以，因为在利用基本不等求解最值时，虽然将所求代数式进行变形，使其符合基本不等式的结构特征，但是必须符合“正”、“定”、“等”的条件，缺一不可．本解法忽略了等号成立的条件，即“＝”号不成立．本问题可采用y＝x＋的单调性求解．
【例4】　(1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值；
(2)已知0(3)已知x>0，求f(x)＝的最大值；
(4)已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值．
思路探究：变形所求代数式的结构形式，使用符合基本不等式的结构特征．
(1)4x－2＋＝4x－5＋＋3.
(2)x(1－2x)＝·2x·(1－2x).
(3)＝.
(4)x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y).
[解]　(1)∵x<，∴5－4x>0，
∴y＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立，
故当x＝1时，ymax＝1.
(2)∵00，
∴y＝×2x(1－2x)≤×＝×＝，
∴当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，ymax＝.
(3)f(x)＝＝.
∵x>0，∴x＋≥2＝2，
∴f(x)≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立．
(4)∵x>0，y>0，＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16，
当且仅当＝，又＋＝1，
即x＝4，y＝12时，上式取等号．
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
1．(变条件)在例题(1)中条件改为x>，求函数f(x)＝4x－2＋的值域．
[解]　∵x>，∴4x－5>0，
∴f(x)＝4x－5＋＋3≥2＋3＝5.当且仅当4x－5＝.即x＝时，等号成立．f(x)的值域为[5，＋∞).
2．(变条件)在例题(1)中去掉条件x<，求f(x)＝4x－2＋的最值如何求解？
[解]　由f(x)＝4x－2＋＝4x－5＋＋3
①当x>时，4x－5>0
∴f(x)＝4x－5＋＋3≥2＋3＝5
当且仅当4x－5＝时等号成立
即x＝时f(x)min＝5.
②当x<时，4x－5<0.
f(x)＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1
当且仅当5－4x＝，即x＝1时等号成立．故当x＝1时，f(x)max＝1.
利用基本不等式求条件最值的常用方法
(1)“1”的代换：利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子，将“1”代入后再利用基本不等式求最值．
(2)构造法：
①构造不等式：利用ab≤，
将式子转化为含ab或a＋b的一元二次不等式，将ab，(a＋b)作为整体解出范围；
②构造定值：结合已知条件对要求的代数式变形，构造出和或积的定值，再利用基本不等式求最值．
(3)函数法：若利用基本不等式时等号取不到，则无法利用基本不等式求最值，则可将要求的式子看成一个函数，利用函数的单调性求最值．
易错警示：利用基本不等式求函数最值，一定要判断等号何时成立．
1．两个不等式a2＋b2≥2ab与≥都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取等号”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a＝b时，＝；另一方面：当＝时，也有a＝b.
2．在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．
3．用基本不等式求最值
(1)利用基本不等式，通过恒等变形，以及配凑，使得“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值．这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．
(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．
(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y＝x＋(p>0)的单调性求得函数的最值．
1．判断正误
(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立．
(　　)
(2)对任意的a，b∈R，若a与b的和为定值，则ab有最大值．
(　　)
(3)若xy＝4，则x＋y的最小值为4.
(　　)
(4)函数f(x)＝x2＋的最小值为2－1.
(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．若0．
　[由00，
故＝·≤·＝，
当且仅当x＝时，上式等号成立．
所以0<≤.]
3．建造一个容积为8
m3，深为2
m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为120元/m2，80元/m2，那么水池的最低总造价为
元．
1
760　[设池底一边长为x
m，总造价为y元．
则y＝4×120＋2×80＝320＋480(x>0).
因为x＋≥2＝4，
当且仅当x＝即x＝2时取等号，
所以ymin＝480＋320×4＝1
760(元).]
4．设a，b，c都是正数，试证明不等式：＋＋≥6.
[证明]　因为a>0，b>0，c>0，
所以＋≥2，＋≥2，＋≥2，
所以＋＋≥6，
当且仅当＝，＝，＝，
即a＝b＝c时，等号成立．
所以＋＋≥6.
PAGE[巩固层·知识整合]
[提升层·题型探究]
一元二次不等式的解法
[探究问题]
1．当a>0时，若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根α，β且α<β，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是什么？
[提示]　借助函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，不等式的解集为{x|x<α或x>β}．
2．若[探究1]中的a<0，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是什么？
[提示]　解集为{x|α3．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac<0，则ax2＋bx＋c>0的解集是什么？
[提示]　当a>0时，不等式的解集为R；当a<0时，不等式的解集为?.
【例1】　若不等式组的整数解只有－2，求k的取值范围．
思路探究：不等式组的解集是各个不等式解集的交集，分别求解两个不等式，取交集判断．
[解]　由x2－x－2>0，得x<－1或x>2.
对于方程2x2＋(2k＋5)x＋5k＝0有两个实数解x1＝－，x2＝－k.
(1)当－>－k，即k>时，不等式的解集为，显然－2?(－k，－).
(2)当－k＝－时，不等式2x2＋(2k＋5)x＋5k<0的解集为?.
(3)当－<－k，即k<时，
不等式的解集为.
∴不等式组的解集由
或确定．
∵原不等式组整数解只有－2，
∴－2<－k≤3，
故所求k的范围是－3≤k<2.
（变条件，变结论）若将例题改为“已知a∈R，解关于x的不等式ax2－2x＋a<0”．
[解]　（1）若a＝0，则原不等式为－2x<0，故解集为{x|x>0}．
（2）若a>0，Δ＝4－4a2.
①当Δ>0，即0程ax2－2x＋a＝0的两根为x1＝
∴原不等式的解集为
②当Δ＝0，即a＝1时，原不等式的解集为?.
③当Δ<0，即a>1时，原不等式的解集为?.
（3）若a<0，Δ＝4－4a2.
①当Δ>0，即－1②当Δ＝0，即a＝－1时，原不等式可化为（x＋1）2>0，∴原不等式的解集为{x|x∈R且x≠－1}．
③当Δ<0，即a<－1时，原不等式的解集为R.
综上所述，当a≥1时，原不等式的解集为?；
当0当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>0}；
当－1当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠－1}；
当a<－1时，原不等式的解集为R.
不等式的解法
(1)一元二次不等式的解法
①将不等式化为ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)的形式；
②求出相应的一元二次方程的根或利用二次函数的图象与根的判别式确定一元二次不等式的解集．
(2)含参数的一元二次不等式
解题时应先看二次项系数的正负，其次考虑判别式，最后分析两根的大小，此种情况讨论是必不可少的．
不等式恒成立问题
【例2】　已知不等式mx2－mx－1<0.
(1)若x∈R时不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若x∈[1，3]时不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若满足|m|≤2的一切m的值能使不等式恒成立，求实数x的取值范围．
思路探究：先讨论二次项系数，再灵活的选择方法解决恒成立问题．
[解]　(1)①若m＝0，原不等式可化为－1<0，显然恒成立；
②若m≠0，则不等式mx2－mx－1<0
恒成立?解得－4综上可知，实数m的取值范围是(－4，0].
(2)令f(x)＝mx2－mx－1，
①当m＝0时，f(x)＝－1<0显然恒成立；
②当m>0时，若对于x∈[1，3]不等式恒成立，只需即可，
∴解得m<，∴0③当m<0时，函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝，若x∈[1，3]时不等式恒成立，结合函数图象(图略)知只需f(1)<0即可，解得m∈R，∴m<0符合题意．
综上所述，实数m的取值范围是(－∞，).
(3)令g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，
若对满足|m|≤2的一切m的值不等式恒成立，则只需
即解得∴实数x的取值范围是(，).
对于恒成立不等式求参数范围的问题常见的类型及解法有以下几种：
(1)变更主元法
根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看做主元．
(2)分离参数法
若f(a)若f(a)>g(x)恒成立，则f(a)>g(x)max.
(3)数形结合法
利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化．
1．设f(x)＝mx2－mx－6＋m，
(1)若对于m∈[－2，2]，f(x)<0恒成立，求实数x的取值范围；
(2)若对于x∈[1，3]，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围．
[解]　(1)依题意，设g(m)＝(x2－x＋1)m－6，
则g(m)为关于m的一次函数，且一次项系数x2－x＋1＝＋>0，
所以g(m)在[－2，2]上递增，
所以欲使f(x)<0恒成立，
需g(m)max＝g(2)＝2(x2－x＋1)－6<0，解得－1(2)法一：要使f(x)＝m(x2－x＋1)－6<0在[1，3]上恒成立，
则有m<在[1，3]上恒成立，
而当x∈[1，3]时，
＝≥＝，所以m<＝，
因此m的取值范围是.
法二：①当m＝0时，f(x)＝－6<0对x∈[1，3]恒成立，所以m＝0.
②当m≠0时f(x)的图象的对称轴为x＝，
若m>0，则f(x)在[1，3]上单调递增，
要使f(x)<0对x∈[1，3]恒成立，
只需f(3)<0即7m－6<0，
所以0若m<0，则f(x)在[1，3]上单调递减，
要使f(x)<0对x∈[1，3]恒成立，
只需f(1)<0即m<6，
所以m<0.
综上可知m的取值范围是.
线性规划问题
【例3】　已知变量x，y满足约束条件且有无穷多个点(x，y)使目标函数z＝x＋my取得最小值，则m＝
．
思路探究：先画出可行域，再研究目标函数，由于目标函数中含有参数m，故需讨论m的值，再结合可行域，数形结合确定满足题意的m的值.
1　[作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
若m＝0，则z＝x，目标函数z＝x＋my取得最小值的最优解只有一个，不符合题意．
若m≠0，目标函数z＝x＋my可看作动直线y＝－x＋，
若m<0，则－>0，数形结合知使目标函数z＝x＋my取得最小值的最优解不可能有无穷多个；
若m>0，则－<0，数形结合可知，当动直线与直线AB重合时，有无穷多个点(x，y)在线段AB上，使目标函数z＝x＋my取得最小值，即－＝－1，则m＝1.
综上可知，m＝1.]
1．线性规划在实际中的类型主要有
(1)给定一定数量的人力、物力资源，如何运用这些资源，使完成任务量最大，收到的效益最高；
(2)给定一项任务，怎样统筹安排，使得完成这项任务耗费的人力、物力资源最少．
2．解答线性规划应用题的步骤
(1)列：设出未知数，列出约束条件，确定目标函数．
(2)画：画出线性约束条件所表示的可行域．
(3)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线．
(4)求：通过解方程组求出最优解．
(5)答：作出答案．
2．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
[解]　设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目．
由题意，知
目标函数z＝x＋0.5y.
画出可行域如图中阴影部分．
作直线l0：x＋0.5y＝0，并作平行于l0的一组直线x＋0.5y＝z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的点M时，z取得最大值．
由
得即M(4，6).
此时z＝4＋0.5×6＝7(万元).
∴当x＝4，y＝6时，z取得最大值，即投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．
利用基本不等式求最值
【例4】　设函数f(x)＝x＋，x∈[0，＋∞).
(1)当a＝2时，求函数f(x)的最小值；
(2)当0思路探究：(1)将原函数变形，利用基本不等式求解．
(2)利用函数的单调性求解．
[解]　(1)把a＝2代入f(x)＝x＋，
得f(x)＝x＋＝(x＋1)＋－1，
∵x∈[0，＋∞)，
∴x＋1>0，>0，
∴x＋1＋≥2，当且仅当x＋1＝，即x＝－1时，f(x)取等号，此时f(x)min＝2－1.
(2)当0若x＋1＋≥2，
则当且仅当x＋1＝时取等号，
此时x＝－1<0(不合题意)，
因此，上式等号取不到．
f(x)在[0，＋∞)上单调递增．
∴f(x)min＝f(0)＝a.
基本不等式是证明不等式、求某些函数的最大值及最小值的理论依据，在解决数学问题和实际问题中应用广泛．
(1)基本不等式通常用来求最值，一般用a＋b≥2(a>0，b>0)解“积定和最小”问题，用ab≤解“和定积最大”问题．
(2)在实际运用中，经常涉及函数f(x)＝x＋(k>0)，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等，构造定值条件的方法和对等号能否成立的验证．
3．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2
000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元，公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．
[解]　(1)设每件定价为t元，依题意，有[8－(t－25)×0.2]t≥25×8，
整理得t2－65t＋1
000≤0，
解得25≤t≤40.
因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
(2)依题意，x>25时，不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋x有解，等价于x>25时，a≥＋x＋有解．
∵＋x≥2＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，
∴a≥10.2.
因此当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的定价为每件30元．
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