资源简介

第十一章　概率
11.1　随机事件的概率
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.事件的分类
确定事件
必然事件
在条件S下,一定会发生的事件,叫做相对于条件S的必然事件
不可能事件
在条件S下,一定不会发生的事件,叫做相对于条件S的不可能事件
随机事件
在条件S下　　　　　　　　　　　　　　的事件,叫做相对于条件S的随机事件?
2.频率与概率
(1)频率的概念:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的　　　　,称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的　　　　.?
(2)随机事件概率的定义:在　　　　的条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件A发生的　　　　会在某个　　　　附近摆动,即随机事件A发生的频率具有稳定性.这时这个　　　　叫做随机事件A的概率,记作P(A),有0≤P(A)≤1.?
(3)概率与频率的关系:对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用　　　　　　来估计概率P(A).?
3.事件的关系与运算
定　　义
符号表示
包含
关系
若事件A　　　　,则事件B　　　　　　　　,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)?
　　　　?
相等
关系
若B?A,且　　　　　,则称事件A与事件B相等?
　　　　?
并事件
(和事件)
若某事件发生,　　　　　　　　　　　　　　　　　　,则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)?
　　　　?
交事件
(积事件)
若某事件发生,　　　　　　　　　　　　　　　　　,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)?
　　　　?
续　表
定　　义
符号表示
互斥
事件
若A∩B为　　　　　　事件,则称事件A与事件B互斥?
　　　　?
对立
事件
若A∩B为　　　　　　事件,A∪B为　　　　　　　　　,则称事件A与事件B互为对立事件?
　　　　?
(Ω为必然
事件)
4.互斥事件与对立事件的关系
对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件.
5.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围:　　　　　　　　.?
(2)必然事件的概率:P(A)=　　　.?
(3)不可能事件的概率:P(A)=　　　.?
(4)概率的加法公式:若事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=　　　　　　.?
(5)对立事件的概率:若事件A与事件B互为对立事件,则A∪B为必然事件.P(A∪B)=　　　,P(A)=　　　　　.?
概率加法公式的推广
(1)当一个事件包含多个结果时,要用到概率加法公式的推广,即P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
(2)P(11.2　古典概型
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.基本事件
在一次试验中,我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果,它们是试验中不能再分的最简单的随机事件,其他事件可以用它们来描绘,这样的事件称为　　　　　　　.?
2.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是　　　　的.?
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成　　　　　　　　的和.?
3.古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.
(1)有限性:试验中所有可能出现的基本事件　　　　　　　　.?
(2)等可能性:每个基本事件出现的可能性　　　　.?
4.古典概型的概率公式
P(A)=.
1.任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和.
2.求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有列举法、列表法和树状图法.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)在一次古典概型试验中,其基本事件的发生一定是等可能的.(　　)
(2)基本事件的概率都是.若某个事件A包含的结果有m个,则P(A)=.(　　)
(3)掷一枚质地均匀的硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”,这三个结果是等可能事件.(　　)
(4)在古典概型中,如果事件A中基本事件构成集合A,所有的基本事件构成集合I,那么事件A的概率为.(　　)
(5)从1,2,3,4,5中任取出两个不同的数,其和为5的概率是0.2.(　　)
2.某同学打算编织一条毛线围巾送给妈妈,决定从妈妈喜欢的白色、黄色和紫色中随机选择两种颜色的毛线编织,那么这条围巾是由白色、紫色两种颜色的毛线编织的概率是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.
D.
3.(2019全国3,3)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
4.从集合A={1,3,5,7,9}和集合B={2,4,6,8}中各取一个数,那么这两个数之和除以3余1的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
5.(2020江苏,4)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是　　　　.?
关键能力学案突破　
考点
古典概型的概率
【例1】(1)《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题:齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛,齐王获胜的概率是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.
D.
(2)(2020云南昆明一中高三月考)把分别写有1,2,3,4的四张卡片全部分给甲、乙、丙三个人,每人至少一张,且若分得的卡片超过一张,则必须是连号,那么2,3连号的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
解题心得求有关古典概型的概率问题的解题策略
(1)求古典概型的概率的步骤是:①判断本次试验的结果是否是等可能的,设所求的事件为A;②分别计算基本事件的总数n和所求的事件A所包含的基本事件个数m;③利用古典概型的概率公式P(A)=,求出事件A的概率.
(2)对与顺序相关的问题处理方法为:若把顺序看作有区别,则在求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数时都看作有区别,反之都看作没区别.
(3)基本事件个数的确定方法
方法
适用条件
列表法
此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验,也可看成是坐标法
树状
图法
树状图是进行列举的一种常用方法,适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求
对点训练1(1)在《周易》中,长横“”表示阳爻,两个短横“”表示阴爻,有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦,共有23=8种组合方法,这便是《系辞传》所说:“太极生两仪,两仪生四象,四象生八卦”,有放回地取阳爻和阴爻一次有两种不同的情况,有放回地取阳爻和阴爻两次有四种不同的情况,有放回地取阳爻和阴爻三次有八种不同的情况,即为八卦.在一次卜卦中,恰好出现2个阳爻1个阴爻的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
(2)一个盒中有形状、大小、质地完全相同的5张扑克牌,其中3张红桃,1张黑桃,1张梅花.现从盒中一次性随机抽出2张扑克牌,则这2张扑克牌花色不同的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
考点
古典概型与其他知识的交汇问题(多考向探究)
考向1　古典概型与平面向量的交汇
【例2】连掷两次骰子得到的点数分别为m和n,记向量a=(m,n)与向量b=(1,-1)的夹角为θ,则θ∈0,的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
解题心得由两个向量的数量积公式,得出它们的夹角的余弦值的表达式,由夹角的范围得出点数m和n的关系m≥n,然后分别求m=n和m>n对应的事件个数,从而也清楚了基本事件的个数就是点数m和n组成的点的坐标数.
对点训练2把一颗骰子投掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b,向量m=(a,b),n=(1,-2),则向量m与向量n垂直的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
考向2　古典概型与解析几何的交汇
【例3】(2020贵州贵阳一中高三月考)设a,b是从集合{1,2,3,4}中随机选取的数,则直线ax+by+4=0与圆x2+y2=2没有公共点的概率为　　　.?
解题心得直线与圆没有公共点,即圆心到直线的距离大于半径,由此得出a2+b2<8,则满足a2+b2<8的基本事件的个数就能求出来,从而转化成古典概型问题.
对点训练3设集合A={x|x2-3x-10<0,x∈Z},从集合A中任取两个元素a,b,且ab≠0,则方程=1表示焦点在x轴上的双曲线的概率为　　　　　.?
考向3　古典概型与函数的交汇
【例4】设a∈{2,4},b∈{1,3},函数f(x)=ax2+bx+1.
(1)求f(x)在区间(-∞,-1]上是减函数的概率;
(2)从f(x)中随机抽取两个,求它们在(1,f(1))处的切线互相平行的概率.
解题心得f(x)在区间(-∞,1]上是减函数可转化成开口向上的二次函数f(x)的图象的对称轴与x轴的交点的横坐标大于或等于-1,从而得出b≤a,从而不难得出b≤a包含的基本事件数.因此也就转化成了与概率的基本事件有关的问题.
对点训练4随机抛掷一枚质地均匀的骰子,记正面向上的点数为a,则函数f(x)=x2+2ax+2有两个不同零点的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
考点
古典概型与统计的综合问题
【例5】(2020云南德宏高三质检)共享单车进驻城市,绿色出行引领时尚.某市2019年对共享单车的使用情况进行了调查,数据显示,该市共享单车用户年龄分布如图1所示,一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示.若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”(20岁~39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或者40岁及以上)两类,将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用共享单车用户”,使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用共享单车用户”.已知在“经常使用共享单车用户”中有是“年轻人”.
(1)现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的分析,采用随机抽样的方法,抽取了一个容量为200的样本.请你根据题目中的数据,补全下列2×2列联表:
是否经常使用共享单车
年轻人
非年轻人
合计
经常使用
120
不常使用
80
合计
160
40
200
根据列联表独立性检验,判断有多大把握认为经常使用共享单车与年龄有关?
参考数据:
P(K2≥k0)
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
其中,K2=,n=a+b+c+d
(2)以频率为概率,把共享单车用户按经常使用与不经常使用进行分层,用分层抽样的方法在(1)的200户用户中抽取一个容量为5的样本,从中任选2户,求至少有1户经常使用共享单车的概率.
解题心得求概率与统计问题的一般步骤
第一步:根据概率统计的知识确定元素(总体、个体)以及要解决的概率模型;
第二步:将所有基本事件列举出来(可用树状图);
第三步:计算基本事件总数n,事件A包含的基本事件数m,代入公式P(A)=;
第四步:回到所求问题,规范作答.
对点训练5(2020河北唐山高三月考)街道办在小区东、西两区域分别设置10个摊位,供群众销售商品.某日街道办统计摊主的当日利润(单位:元),绘制如下茎叶图.
(1)根据茎叶图,计算东区10位摊主当日利润的平均数,方差;
(2)从当日利润90元以上的摊主中,选出2位进行经验推介,求选出的2位摊主恰好东、西区域各1位的概率.
数学建模主要体现在利用实际问题,正确列出基本事件,建立古典概率模型.古典概型中基本事件数的探求方法主要有:列举法、树形图法、列表法.
方法1　列举法求解古典概型
【例1】已知国家某5A级大型景区对每日游客数量拥挤等级规定如下表:
游客数
量/百人
[0,100)
[100,200)
[200,300)
≥300
拥挤等级
优
良
拥挤
严重拥挤
该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据:
(1)下面是根据统计数据得到的频率分布表,求a,b的值;
游客数量/百人
[0,100)
[100,200)
[200,300)
[300,400]
天数
a
10
4
1
频率
b
(2)估计该景区6月份游客人数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(3)某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩,求他这2天遇到的游客拥挤等级均为优的概率.
解(1)游客人数在[0,100)范围内的天数有15天,故a=15,b=.
(2)由题可得游客人数的平均数为
=120(百人).
(3)从5天中任选2天的选择方案有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10种,其中游客拥挤等级均为优的有(1,4),(1,5),(4,5),共3种,故所求的概率为.
解题心得1.数学建模主要体现在利用实际问题,正确列出基本事件,建立古典概率模型.古典概型中基本事件数的探求方法主要有:
(1)列举法;
(2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目,常采用树状图法;
(3)列表法:适用于多元素基本事件的求解问题,通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
2.对于简单问题且基本事件数目不大的题目,一般采用列举法,列举时一定按一定的规则进行,做到不重不漏.
对点训练1(2020广西防城港高三模拟)设连续抛掷骰子两次所得的点数x,y构成点M(x,y),则点M落在圆x2+y2=10内的概率为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.
D.
方法2　树形图法求解古典概型
【例2】在电视台举行的某比赛中,甲,乙,丙三位评委对选手的综合表现,分别给出“待定”或“通过”的结论.对于选手A,只有甲、乙两位评委给出相同结论的概率为　　　　　.?
答案
解析画出树状图来说明评委给出A选手的所有可能结果:
由上可知评委给出A选手所有可能的结果有8种.对于A选手,“只有甲,乙两位评委给出相同结论”有2种,即“通过—通过—待定”“待定—待定—通过”,所以对于A选手“只有甲,乙两位评委给出相同结论”的概率是.
解题心得1.本题是通过现实操作的过程建模成为古典概型的,列出树形图,按树枝数目求解基本事件的数目.
2.树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目,常采用树状图法.在找基本事件个数时,一定要按顺序逐个写出:先(A1,B1),(A1,B2)…(A1,Bn),再(A2,B1),(A2,B2)…(A2,Bn),依次(A3,B1),(A3,B2)…(A3,Bn)…这样才能避免多写,漏写现象的发生.
对点训练2“石头、剪刀、布”是广为流传的游戏,游戏时甲、乙双方每次出“石头”“剪刀”“布”三种手势中一种,规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”,同样手势不分胜负,假定甲、乙两人每次都是等可能地出这三种手势,则两人同种手势的概率为　　　　　.?
方法3　列表法求解古典概型
【例3】如图,有两个可以自由转动的均匀转盘A,B,转盘A被均匀地分成4等份,每份分别标上1,2,3,4四个数字;转盘B被均匀地分成6等份,每份分别标上1,2,3,4,5,6六个数字.
同时转动A,B两个转盘,转盘停止后,指针各指向一个数字,将所指的两个数字作和,则事件“数字之和为奇数”发生的概率为　　　　　;事件“数字之和为偶数”发生的概率为　　　　　.?
答案
解析所有可能得到的数字之和如下表:
A
B
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
由上表可知,两数之和的情况共有24种,所以,P(数字之和为奇数)=,
P(数字之和为偶数)=.
解题心得1.本题是根据问题形成的原因进行数学建模的,利用图表描述同时转动A,B两个转盘,指针各指向一个数字的组合,从而建立古典概型模型.
2.列表法:适用于多元素基本事件的求解问题,通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
对点训练3两个布袋中分别装有三个小球,这三个小球的颜色分别为红色、白色、绿色,其他没有区别.把两袋小球都搅匀后,再分别从两袋中各取出一个小球,则取出两个相同颜色小球的概率为　　　　　.?
11.2　古典概型
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.基本事件
2.(1)互斥　(2)基本事件
3.(1)只有有限个　(2)相等
考点自诊
1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√
2.B　由题意,该同学选择的两种颜色的基本情况有:(白,黄),(白,紫),(黄,紫),共3种情况;其中满足要求的基本情况有1种,故所求概率为.
3.D　两位男同学和两位女同学排成一列,共有24种排法.两位女同学相邻的排法有12种,故两位女同学相邻的概率是.故选D.
4.D　从集合A={1,3,5,7,9},B={2,4,6,8}各取一个数,基本事件有(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(5,2),(5,4),(5,6),(5,8),(7,2),(7,4),(7,6),(7,8),(9,2),(9,4),(9,6),(9,8)共20个;其中两个数的和除以3余1基本事件有(1,6),(3,4),(5,2),(5,8),(7,6),(9,4)共6个,
∴两个数的和除以3余1的概率为p=.故选D.
5.　第1,2次向上的点数分别记为a,b,每个样本点记为(a,b),则所有的样本点为
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)
共36个,其中,点数和为5的样本点为(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),故所求概率为.
关键能力·学案突破
例1(1)A　(2)B　(1)因为双方各有3匹马,所以“从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛”的事件数为9种,满足“齐王获胜”的这一条件的情况为:齐王派出上等马,则获胜的事件数为3;齐王派出中等马,则获胜的事件数为2;齐王派出下等马,则获胜的事件数为1;故满足“齐王获胜”这一条件的事件数为6种,根据古典概型公式可得,齐王获胜的概率P=,故选A.
(2)分三类情况,第一类1,2连号,则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为(12,3,4),(12,4,3),(3,12,4),(4,12,3),(3,4,12),(4,3,12),有6种分法;
第二类2,3连号,则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为(1,23,4),(4,23,1),(23,1,4),(23,4,1),(1,4,23),(4,1,23),有6种分法;
第三类3,4连号,则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为(1,2,34),(2,1,34),(34,1,2),(34,2,1),(1,34,2),(2,34,1),有6种分法;
共有18种分法,则2,3连号的概率为.
对点训练1(1)C　(2)B　(1)在一次卜卦中得到六爻,基本事件总数n=23=8,这六爻恰好有2个阳爻1个阴爻包含的基本事件m=3,则这六爻恰好有2个阳爻1个阴爻的概率是P=.故选C.
(2)所有会出现的情况有(红1,黑1),(红1,梅1),(红2,黑1),(红2,梅1),(红3,黑1),(红3,梅1),(红1,红2),(红1,红3),(红2,红3),(黑1,梅1)共10种.其中符合花色不同的情况有(红1,黑1),(红1,梅1),(红2,黑1),(红2,梅1),(红3,黑1),(红3,梅1),(黑1,梅1),共7种,根据古典概型的概率公式得P=.故选B.
例2C　∵cosθ=,θ∈,∴m≥n.
满足条件m=n的概率为,
满足条件m>n的概率为.
∴θ∈的概率为.故选C.
对点训练2D　抛掷一枚质地均匀的骰子包含6个基本事件,由函数f(x)=x2+2ax+2有两个不同零点,得Δ=4a2-8>0,解得a<-或a>.又a为正整数,故a的取值有2,3,4,5,6,共5种结果,所以函数f(x)=x2+2ax+2有两个不同零点的概率为.故选D.
例3　当圆心到直线距离d=时,直线与圆没有公共点,即<2?a2+b2<8.
又(a,b)共有如下结果:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16种,
使得a2+b2<8成立的有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),共4种,所以直线与圆没有公共点的概率是.
对点训练3　易得A={x|-2由条件知,(a,b)的所有可能取法有(-1,1),(-1,2),(-1,3),(-1,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),(1,-1),(2,-1),(3,-1),(4,-1),(2,1),(3,1),(4,1),(3,2),(4,2),(4,3),共20种,
方程=1表示焦点在x轴上的双曲线,应有a>0,b<0,
满足条件的有(1,-1),(2,-1),(3,-1),(4,-1)共4种,故所求的概率为.
例4解(1)由题意-≥-1,即b≤a.
而(a,b)可能为(2,1),(2,3),(4,1),(4,3),共4种,满足b≤a的有3种,故所求的概率为.
(2)由(1)可知,函数f(x)共有4种可能,从中随机抽取两个,有6种抽法.
因为函数f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率为f'(1)=a+b,
所以这两个函数中的a与b之和应该相等,而只有(2,3),(4,1)这1组满足,故所求的概率为.
对点训练4D　抛掷一枚质地均匀的骰子包含6个基本事件,由函数f(x)=x2+2ax+2有两个不同零点,得Δ=4a2-8>0,解得a<-或a>.又a为正整数,故a的取值有2,3,4,5,6,共5种结果,所以函数f(x)=x2+2ax+2有两个不同零点的概率为.故选D.
例5解(1)补全的列联表如下:
是否经常使用共享单车
年轻人
非年轻人
合计
经常使用
100
20
120
不常使用
60
20
80
合计
160
40
200
∵a=100,b=20,c=60,d=20,
∴K2的观测值k=≈2.083>2.072,
即有85%以上的把握认为经常使用共享单车与年龄有关.
(2)由(1)知,用分层抽样从经常使用共享单车的用户中抽取3户,记为1,2,3;从不常使用共享单车的用户中抽取2户,记为a,b;从中任选2户有如下基本事件:(1,2),(1,3),(1,a),(1,b),(2,3),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(a,b),共10种可能;其中至少有1户经常使用共享单车的有:(1,2),(1,3),(1,a),(1,b),(2,3),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),共9种可能,
故所求概率为.
对点训练5解(1)东区10位摊主利润的平均数是80,方差是×[(68-80)2+(69-80)2+(75-80)2+(73-80)2+(78-80)2+(80-80)2+(89-80)2+(81-80)2+(92-80)2+(95-80)2]=79.4.
(2)由题意可知,东区2位摊主分别设为A,B,西区3位摊主分别设为c,d,e.
再从这5位摊主中随机抽取2位,共包含:(A,B),(A,c),(A,d),(A,e),(B,c),(B,d),(B,e),(c,d),(c,e),(d,e),10种等可能的结果;
其中东、西两个区域各1位摊主事件包含(A,c),(A,d),(A,e),(B,c),(B,d),(B,e),共6种等可能的结果;
由古典概型计算公式可得,选出东、西两个区域各1位摊主的概率为.
素养提升微专题13——数学建模(多方法求解)
对点训练1D　连续抛掷骰子两次所得的点数x,y构成的点M(x,y)有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).共36个.其中落在圆x2+y2=10内的有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),共4个.故落在圆x2+y2=10内的概率为.
对点训练2　用S表示“石头”,用J表示“剪刀”,用B表示“布”,
一次游戏,甲、乙两人随机出手势的所有可能的结果如下图:
所有可能出的结果:(S,S)(S,J)(S,B)(J,S)(J,J)(J,B)(B,S)(B,J)(B,B)
从上面的树状图可以看出,一次游戏可能出现的结果共有9种,而且每种结果出现的可能性相同.所以,P(出同种手势)=.
对点训练3　(解法一)列举所有等可能结果,画树状图:
由上图可知,所有等可能结果共有9种,两个相同颜色小球的结果共3种,
∴P(相同颜色)=.
(解法二)列表如下:
布袋2
布袋1
红
白
绿
红
(红,红)
(红,白)
(红,绿)
白
(白,红)
(白,白)
(白,绿)
绿
(绿,红)
(绿,白)
(绿,绿)
由上表可知,所有等可能的结果共有9种,两个相同颜色小球的结果共3种,
∴P(相同颜色)=.11.3　几何概型
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.几何概型
(1)定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的　　　　(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.?
(2)特点
①无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个;
②等可能性:每个结果的发生具有等可能性.
(3)公式:
P(A)=　.?
2.随机模拟方法
(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验,通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法.
(2)用计算机或计算器模拟试验的方法的基本步骤是:①用计算机或计算器产生某个范围内的随机数,并赋予每个随机数一定的意义;②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N;③计算频率fn(A)=作为所求概率的近似值.
几种常见的几何概型
(1)与长度有关的几何概型,其基本事件只与一个连续的变量有关.
(2)与面积有关的几何概型,其基本事件与两个连续的变量有关,若已知图形不明确,可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,即可借助平面区域解决问题.
(3)与体积有关的几何概型,可借助空间几何体的体积公式解答问题.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)在几何概型中,每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一点被取到的机会相等.
(　　)
(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.
(　　)
(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.
(　　)
(4)相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的.
(　　)
(5)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.
(　　)
2.某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,则他等待的时间不多于15分钟的概率为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.
D.
3.
(2020陕西安康高三三模)部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形.谢尔宾斯基三角形是一种分形,由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出.具体操作是取一个实心三角形,沿三角形的三边中点连线,将它分成4个小三角形,去掉中间的那一个小三角形后,对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案,若向该图案随机投一点,则该点落在黑色部分的概率是
(　　)
A.
B.
C.
D.
4.(2020四川仁寿高三诊断)一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
5.
如图,在边长为1的正方形内有不规则图形Ω,由电脑随机从正方形中抽取10
000个点,若落在图形Ω内和图形Ω外的点分别为3
335,6
665,则图形Ω面积的估计值为　　　　　.?
关键能力学案突破　
考点
与长度、角度有关的几何概型
【例1】(1)(2020广西壮族自治区高三模拟)在区间[-1,1]上随机取一个数k,使直线y=k(x+3)与圆x2+y2=1相交的概率为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.
D.
(2)如图,四边形ABCD为矩形,AB=,BC=1,以A为圆心,1为半径作四分之一个圆弧,在∠DAB内任作射线AP,则射线AP与线段BC有公共点的概率为　　　　　.?
解题心得解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围.(1)当考察对象为点,点的活动范围在线段上时用线段长度之比计算;(2)当考察对象为线时,一般用角度之比计算.
对点训练1(1)某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课,每节课的时间为40分钟,第一节课上课的时间为7:50~8:30,课间休息10分钟.某同学请假后返校,若他在8:50~9:30之间随机到达教室,则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
(2)
如图所示,在平面直角坐标系内,射线OT落在30°角的终边上,任作一条射线OA,则射线OA落在∠yOT内的概率为　　　　　.?
考点
与面积、体积有关的几何概型
【例2】(1)(2020山东潍坊高三检测)七巧板是一种古老的中国传统智力玩具,是由七块板组成的.而这七块板可拼成许多图形,例如三角形、不规则多边形、各种人物、动物、建筑物等,若用七巧板拼成一只雄鸡,在雄鸡平面图形上随机取一点,则恰好取自雄鸡鸡尾(阴影部分)的概率为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.
D.
(2)(2020河南南阳高三模拟)灯笼是传统的照明工具,在传统节日各家庭院中挂上各种彩灯更显得吉祥喜庆,某庭院挂着一盏表面积为4π平方分米的西瓜灯(看成球),灯笼中蜡烛的灯焰可以近似看成底面半径为2厘米,高为4厘米的圆锥,现向该灯笼内任取一点,则该点取自灯焰内的概率为(　　)
A.0.004
B.0.012
C.0.024
D.0.036
解题心得求与面积、体积有关的几何概型的基本思路:用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域,由题意将已知条件转化为事件A对应的区域,在图形中画出事件A对应的区域,然后用公式P(A)=求出概率.
对点训练2(1)
(2020江西南昌二中高三月考)如图是折扇的示意图,A为OB的中点,若在整个扇形区域内随机取一点,则此点取自扇面(扇环)部分的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
(2)已知在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,PA=AB=2,现在该四棱锥内部或侧面任取一点O,则四棱锥O-ABCD的体积不小于的概率为　　　　　.?
考点
与线性规划有关的几何概型
【例3】(2020湖南衡阳八中高三月考)若不等式组表示的区域为Ω,不等式x2+y2-2x-2y+
1≤0表示的区域为T,则在区域Ω内任取一点,则此点落在区域T中的概率为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.
D.
解题心得几何概型与线性规划的交汇问题:先根据约束条件作出可行域,再确定形状,求面积大小,进而代入公式求概率.
对点训练3两位同学约定下午5:30~6:00在图书馆见面,且他们在5:30~6:00之间到达的时刻是等可能的,先到的同学需等待,15分钟后还未见面便离开,则两位同学能够见面的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
考点
随机模拟方法
【例4】从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为(　　)
A.
B.
C.
D.
解题心得将π看作未知数表示出四分之一的圆面积,根据几何概型的概率公式,四分之一的圆面积与正方形面积之比等于m与n之比,从而用m,n表示出π的近似值.
对点训练4(2020湖北金字三角高三线上联考)
“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一,他在《九章算术注》中提出割圆术,并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3
072边形,并由此求得了圆周率为3.141
5和3.141
6这两个近似数值,这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图,当分割到圆内接正六边形时,某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点,计算得出该点落在正六边形内的频率为0.826
9,那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为(　　)(参考数据:≈2.094
6)
A.3.141
9
B.3.141
7
C.3.141
5
D.3.141
3
11.3　几何概型
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.(1)长度
(3)
考点自诊
1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√
2.B　∵电台整点报时,∴事件总数包含的时间长度是60,∵满足他等待的时间不多于15分钟的事件包含的时间长度是15,由几何概型公式得到P=,故选B.
3.B　由图可知,黑色部分由9个小三角形组成,该图案由16个小三角形组成,设“向该图案随机投一点,则该点落在黑色部分”为事件A,由几何概型中的面积型可得:P(A)=.
4.C　由题知蜜蜂的安全飞行范围为以这个正方体的中心为中心且棱长为1的正方体内.这个小正方体的体积为1,大正方体的体积为27,故安全飞行的概率为.
5.　设图形Ω的面积为S,∵由电脑随机从正方形中抽取10000个点,落在图形Ω内和图形Ω外的点分别为3335,6665,
∴,∴S≈.
关键能力·学案突破
例1(1)C　(2)　(1)因为圆心(0,0),半径r=1,直线与圆相交,所以圆心到直线y=k(x+3)的距离d=≤1,解得-≤k≤,所以所求的概率为,故选C.
(2)连接AC,如图所示,tan∠CAB=,所以∠CAB=,直线AP在∠CAB内时,直线AP与线段BC有公共点,所以所求事件的概率为.
对点训练1(1)B　(2)　(1)由题意可知,第二节课的上课时间为8:40~9:20,时长40分钟.
若听第二节课的时间不少于20分钟,则需在8:50~9:00之间到达教室,时长10分钟.
所以听第二节课的时间不少于20分钟的概率为,故选B.
(2)因为射线OA在坐标系内是等可能分布的,所以射线OA落在∠yOT内的概率为.
例2(1)C　(2)A　(1)设包含7块板的正方形边长为4,其面积为4×4=16.
则雄鸡的鸡尾面积为标号为6的板块,其面积为S=2×1=2.
所以在雄鸡平面图形上随机取一点,则恰好取自雄鸡鸡尾(阴影部分)的概率为.
(2)设该灯笼的半径为R,则4πR2=4π,解得R=1(分米),所以该灯笼的体积V=(立方分米)=(立方厘米),该灯笼内的灯焰的体积V1=×π×22×4=(立方厘米),所以该点取自灯焰内的概率为=0.004.
对点训练2(1)D　(2)　(1)设扇形的圆心角为α,大扇形的半径长为R,小扇形的半径长为r,则S大扇形=R2,S小扇形=r2,R=2r.
根据几何概型,可得此点取自扇面(扇环)部分的概率为.
(2)当四棱锥O-ABCD的体积为时,设O到平面ABCD的距离为h,则×22×h=,解得h=.
如图所示,在四棱锥P-ABCD内作平面EFGH平行于底面ABCD,且平面EFGH与底面ABCD的距离为.
因为PA⊥底面ABCD,且PA=2,所以,
所以四棱锥O-ABCD的体积不小于的概率为=3=3=.
例3D　作出不等式组表示的区域Ω,
不等式x2+y2-2x-2y+1≤0化为(x-1)2+(y-1)2≤1,它表示的区域为T,如图所示:
则区域Ω表示△ABC,由解得点B(-1,2).
又A(-2,0),C(3,0),
∴S△ABC=×(3+2)×2=5,
又区域T表示圆面,且圆心M(1,1)在直线x+2y-3=0上,在△ABC内的面积为π×12=,
∴所求的概率为.
对点训练3D　因涉及两人见面时间,故考虑到是几何概型,建立平面直角坐标系列出满足条件的式子,计算出最终的概率.因为两人谁也没有讲好确切的时间,故样本点由两个数(甲、乙各自到达的时刻)组成;以5:30作为时间的起点建立如图所示的平面直角坐标系:
设甲、乙各在第x分钟和第y分钟到达,则样本空间为Ω={(x,y)|0≤x≤30,0≤y≤30},画成图为一正方形;会面的充要条件为|x-y|≤15,即事件A可以会面所对应的区域是图中的阴影部分,故由几何概型公式知所求概率为面积之比,即P(A)=,故选D.
例4C　
如图,两数的平方和小于1的数对所在的区域为图中阴影部分(不含边界),n个数对所在的区域为边长为1的正方形.由题意利用几何概型可知,,所以π≈.故选C.
对点训练4A　设圆的半径为r,则圆的面积为πr2,正六边形的面积为6××r×r=r2,因而所求该实验的频率为=0.8269,则π=≈3.1419.
高考大题专项(六)　概率与统计
例1解(1)根据中位数的定义知,
甲班同学身高的中位数是=169(cm),
乙班同学身高的中位数是=171.5(cm).根据平均数的公式,计算甲班的平均数×(158+162+163+168+168+170+171+179+179+182)=170(cm),
甲班样本的方差×[(158-170)2+(162-170)2+…+(182-170)2]=57.2.
(2)设“身高为176cm的同学被抽中”为事件A.
从乙班10名同学中抽取2名身高不低于173cm的同学有(181,173),(181,176),(181,178),(181,179),(179,173),(179,176),(179,178),(178,173),(178,176),(176,173),共10个基本事件,而事件A含有4个基本事件,所以P(A)=.
对点训练1解(1)甲厂这批轮胎宽度的平均值为
(195+194+196+193+194+197+196+195+193+197)=195(mm),
乙厂这批轮胎宽度的平均值为
(195+196+193+192+195+194+195+192+195+193)=194(mm).
(2)甲厂这批轮胎宽度在[194,196]内的数据为195,194,196,194,196,195,
平均数为(195+194+196+194+196+195)=195(mm),
方差为[(195-195)2+(194-195)2+(196-195)2+(194-195)2+(196-195)2+(195-195)2]=,
乙厂这批轮胎宽度在[194,196]内的数据为195,196,195,194,195,195,
平均数为(195+196+195+194+195+195)=195(mm),
方差为[(195-195)2+(196-195)2+(195-195)2+(194-195)2+(195-195)2+(195-195)2]=,
∵两厂标准轮胎宽度的平均数相等,但乙厂的方差更小,
∴乙厂的轮胎相对更好.
例2解(1)由题意,设这两天发芽的种子数分别为m,n,m、n的所有取值有(23,25),(23,30),(23,26),(23,16),(25,30),(25,26),(25,16),(30,26),(30,16),(26,16),共有10个,
设“m、n均不小于25”为事件A,则事件A包含的基本事件有(25,30),(25,26),(30,26),
所以P(A)=,
故从这5天中任选2天,发芽的种子数均不小于25的概率为.
(2)由数据得=12,=27,
∴=972,3=432.
又xiyi=977,=434.
∴,
=27-×12=-3,
∴y关于x的线性回归方程为
x-3.
(3)当x=10时,×10-3=22,|22-23|<2,
当x=8时,×8-3=17,|17-16|<2.
所得到的线性回归方程是可靠的.
对点训练2解(1)依题意,n=6,≈6.6,≈33-6.6×26=-138.6,
∴y关于x的线性回归方程为=6.6x-138.6.
(2)①利用所给数据,(yi-)2=236.64,(yi-)2=3
930,得线性回归方程=6.6x-138.6的相关指数R2=1-=1-≈1-0.060
2=0.939
8.
∵0.939
8<0.952
2,∴回归方程=0.06e0.230
3x比线性回归方程=6.6x-138.6拟合效果更好.
②由①得温度x=35
℃时,=0.06e0.230
3×35=0.06×e8.060
5.
∵e8.060
5≈3
167,
∴≈0.06×3
167≈190(个),
即当温度x=35
℃时,该种药用昆虫的产卵数估计为190个.
例3解(1)因为前三组的频率之和10×(0.002+0.009+0.020)=0.31<0.5,
前四组的频率之和10×(0.002+0.009+0.020+0.034)=0.65>0.5,所以中位数在第四组,设为x毫克,由(x-195)×0.034+0.31=0.5,解得x≈201.故乙流水线样本质量的中位数为201毫克.
(2)甲流水线样本中质量在(165,185]的产品共有5件,其中合格品有2件,设为A,B;不合格品3件,设为a,b,c,从中任取2件的所有取法有(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c)共10种,恰有一件合格品的取法有(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c)共6种,
所以两件产品中恰有一件合格品的概率为P=.
(3)由乙流水线样本的频率分布直方图可知,合格品的个数为100×(1-0.04)=96,
所以,2×2列联表是:
是否为
合格品
甲流水线
乙流水线
总计
合格品
92
96
188
不合格品
8
4
12
总计
100
100
200
所以K2
=
=≈1.418<2.072.
故不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下,认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关.
对点训练3解(1)收入在(33,41]上的返乡创业人员频率为0.010×4+0.005×4=0.06,估算这1000名外出务工返乡创业人员年收入为(33,41]万元的人数为1000×0.06=60(人).
(2)根据题意,这1000名返乡创业人员中年收入超过17万元的人数是1000×[1-(0.01+0.02+0.03+0.04)×4]=600,其中参加职业技术教育的人数是340人.
由此填写2×2列联表如下:
个人年收入是
否超过17万
已接受职业
技术教育
未接受职业
技术教育
总计
个人年收入
超过17万元
340
260
600
个人年收入不
超过17万元
260
140
400
总计
600
400
1
000
计算得K2的观测值k=≈6.944>6.635,所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该市这1000人返乡创业收入与创业人员是否接受职业技术教育有关.
例4解(1)由频率直方图可知(0.0075+0.01)×20=0.35,
(0.0075+0.01+0.015)×20=0.65,
因为0.35<0.5<0.65,所以所求中位数在(40,60],
不妨设中位数为x,则0.35+(x-40)×0.015=0.5,解得x=50.
所以核酸检测呈阴性人员年龄的中位数为50.
(2)因样本中核酸检测呈阴性的人员中年龄在(20,40]有20人,
设样本中核酸检测呈阴性的人数为n,则n=,即n=100,
用样本估计总体,所以该小区此次核酸检测呈阳性的人数为(101-100)×=5,即估计该小区此次核酸检测呈阳性的人数为5.
(3)由(2)可知,此次核酸检测呈阳性的人数为5,又因其男女比例为3∶2,
所以其中男性为3人,女性为2人,
将3名男性分别记为1,2,3,2名女性记为a,b,
从中任选两人的基本事件有(1,2),(1,3),(1,a),(1,b),(2,3),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(a,b),共10种,
其中至少有一名男性的基本事件有(1,2),(1,3),(1,a),(1,b),(2,3),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),共9种.
所以至少选到一名男性的概率.
对点训练4解(1)该校高三年级周日学习用时较长的是女生.
理由如下:列出女生周日学习时间频数表
学习
时间
[0,1)
[1,2)
[2,3)
[3,4)
[4,5)
[5,6]
频数
0
6
8
12
10
4
对比男生和女生学习时间频数表,可以发现:学习用时在2小时以上的男生有22人,女生有34人,学习用时在3小时以上的男生有15人,女生有26人,都是女生人数明显多于男生人数,所以该校高三年级周日学习用时较长的是女生.(言之有理即可)
(2)被抽到的80名学生中周日学习用时在[5,6]内的男生有2人,记为A,B,女生有4人,记为a,b,c,d,
设恰巧抽到1男1女为事件M,从中抽取2人,共有15个基本事件,
AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,Bd,ab,ac,ad,bc,bd,cd.
则M包含的基本事件为Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,Bd,共8个,
故P(M)=.∴恰巧抽到1男1女的概率为.
例5解(1)由茎叶图可知,男生中位数为=177cm,女生的中位数为=166.5cm.
(2)根据茎叶图,有“高个子”12人,“非高个子”18人,所以利用分层抽样的方法所抽取的“高个子”的人数为×5=2人,抽取的“非高个子”的人数为×5=3人.
(3)设“至少有一人是‘高个子’”为事件A,设高个子中选出的2人记为a,b,非高个子选出的3人记为1,2,3,则所有的选取方式有
(a,b),(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(1,2),(1,3),(2,3),共10种情形,其中满足至少有1人是高个子的有(a,b),(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),共7种情形,故所求的概率为:P(A)=.故至少有一人是“高个子”的概率为.
对点训练5解(1)由频率分布直方图得,这20个交通路段中,
轻度拥堵的路段有(0.1+0.2)×1×20=6(个),
中度拥堵的路段有(0.25+0.2)×1×20=9(个),
严重拥堵的路段有(0.1+0.05)×1×20=3(个).
(2)由(1)知,拥堵路段共有6+9+3=18(个),按分层抽样,从18个路段抽取6个,则抽取的三个级别路段的个数分别为×6=2,×9=3,×3=1,即从交通指数在[4,6),[6,8),[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1.
(3)记抽取的2个轻度拥堵路段为A1,A2,抽取的3个中度拥堵路段为B1,B2,B3,抽取的1个严重拥堵路段为C1,则从这6个路段中抽取2个路段的所有可能情况为(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),(B2,B3),(B2,C1),(B3,C1),共15种,其中至少有1个路段为轻度拥堵的情况为(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),共9种.
所以所抽取的2个路段中至少有1个路段为轻度拥堵的概率为.
例6解(1)因为,所以n=200,女生人数为200-110=90.
(2)列联表为:
性别
选择物理
选择历史
总计
男生
60
50
110
女生
30
60
90
总计
90
110
200
K2的观测值k
=
≈8.999>7.879,
所以有99.5%的把握认为选择科目与性别有关.
(3)从90个选择物理的学生中采用分层抽样的方法抽6名,
这6名学生中有4名男生,记为a、b、c、d;2名女生记为A、B,
抽取2人所有的情况为(a,b),(a,c),(a,d),(a,A),(a,B),(b,c),(b,d),(b,A),(b,B),(c,d),(c,A),(c,B),(d,A),(d,B),(A,B),共15种,
选取的2人中至少有1名女生情况的有(a,A),(a,B),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),(d,A),(d,B),(A,B),共9种,
故所求概率为P=.
对点训练6解(1)由题意,5+m+15+10+n+5=50,
且(5+m+15)∶(10+n+5)=3∶2,解得m=10,n=5.
(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表,如下
是否
赞同
年龄低于45
岁的人数
年龄不低于
45岁的人数
合计
赞同
27
10
37
不赞同
3
10
13
合计
30
20
50
根据公式计算K2的观测值k=≈9.98>6.635,
所以有99%的把握认为对发行消费券的态度与“以年龄45岁为分界点”有关.
(3)设年龄在[55,65)中不赞同发行消费券的人为A,B,C,赞同发行消费券的人为a,b,则从5人中随机选取2人有AB,AC,Aa,Ab,BC,Ba,Bb,Ca,Cb,ab,共10个结果;其中2人中至少有1人不赞同发行消费券的有AB,AC,Aa,Ab,BC,Ba,Bb,Ca,Cb,9个结果,所以2人中至少有1人不赞同发行消费券的概率为.

展开更多......

收起↑