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第十章　算法初步、统计与统计案例
10.1　算法初步
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.算法的定义
通常是指按照一定规则解决某一类问题的　　　　和　　　　的步骤.?
2.程序框图
(1)概念:程序框图又称　　　　　　,是一种用　　　　　　、　　　　　　及　　　　　　　　来表示算法的图形.通常程序框图由程序框和流程线组成,一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤;　　　　　　带方向箭头,按照算法步骤的执行顺序将　　　　　　连接起来.?
(2)程序框图的图形符号及其功能:
3.三种基本逻辑结构
　　名称
内容　　
顺序结构
条件结构
循环结构
定义
由若干个按先后顺序执行的步骤组成,这是任何一个算法都离不开的基本结构
算法的流程根据条件是否成立而选择执行不同流向的结构形式
从某处开始,按照一定的条件　　　　　　　　某些步骤的情况,反复执行的步骤称为　　　　　　?
适用情境
解决的问题不需分类讨论
解决的问题需分类讨论
解决的问题要进行许多重复的步骤,且这些步骤之间有相同的规律
续　表
　　名称
内容　　
顺序结构
条件结构
循环结构
程序框图
(1)
(2)
(1)
(2)
4.中国古代数学中的算法案例
(1)求两个正整数(奇数)最大公约数的算法
①更相减损术:用两数中较大的数减较小的数,把得到的差,与较小的数再构成一对新的数.再用这对数中较大的数减较小的数,以同样的操作一直做下去,直到产生一对相等的数,这个数就是最大公约数.
②辗转相除法:用两数中较大的数除以较小的数,把所得的余数和较小的数构成一对新的数,继续做上面的除法,直到较大的数被较小的数除尽,这个较小的数就是最大公约数.
(2)秦九韶算法:计算多项式的值的一种方法,如下:
f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+…+a1x+a0
=(anxn-1+an-1xn-2+an-2xn-3+…+a1)x+a0
=((anxn-2+an-1xn-3+an-2xn-4+…+a2)x+a1)x+a0
=…
=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)一个程序框图一定包含顺序结构,但不一定包含条件结构和循环结构.
(　　)
(2)算法只能解决一个问题,不能重复使用.
(　　)
(3)条件结构的出口有两个,但在执行时,只有一个出口是有效的.
(　　)
(4)当型循环是给定条件不成立时,执行循环体,反复进行,直到条件成立为止.
(　　)
(5)输入框只能紧接开始框,输出框只能紧接结束框.
(　　)
2.某地区打的士收费办法如下:不超过2公里收7元,超过2公里时,每车收燃油附加费1元,并且超过的里程每公里收2.6元(其他因素不考虑),计算收费标准的程序框图如图所示,则①处应填(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=2.0x+2.2
B.y=0.6x+2.8
C.y=2.6x+2.0
D.y=2.6x+2.8
(第2题图)
(第3题图)
3.我国古代数学名著《孙子算经》有鸡兔同笼问题,根据问题的条件绘制如图的程序框图,则输出的x,y分别是(　　)
A.12,23
B.23,12
C.13,22
D.22,13
4.如图的程序框图,当输出y=15后,程序结束,则判断框内应该填(　　)
A.x≤1
B.x≤2
C.x≤3
D.x≤4
(第4题图)
(第5题图)
5.运行如图所示的框图对应的程序,输出的结果为　　　　　.?
关键能力学案突破　
考点
条件结构为主的结果输出型问题
【例1】(1)对任意非零实数a,b,若a☆b的运算原理如图所示,则(lo)☆=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1
B.2
C.3
D.4
(第(1)题图)
(第(2)题图)
(2)输入a=1+,b=,c=,经过如图所示的程序运算后,输出的a,b,c的值分别为(　　)
A.1+
B.,1+
C.,1+
D.,1+
解题心得条件结构程序框图的解题技巧
(1)利用条件结构解决算法问题时,要根据题目的要求引入一个或多个判断框,而判断框内的条件不同,对应的下一个程序框中的内容和操作要相应地进行变化,故要逐个分析判断框内的条件.
(2)解决此类问题,可按下列步骤进行:①先弄清变量的初始值;②按照程序框图从上到下或从左到右的顺序,依次对每一个语句、每一个判断框进行读取,在读取程序框时,应注意判断后的结论分别对应着什么样的结果,然后按照对应的结果继续往下读取程序框图;③输出结果.
(3)如果含有嵌套的条件结构,一定要分清外层条件与内层条件及上下逻辑关系.
对点训练1(1)如图是根据我国古代数学专著《九章算术》中更相减损术设计的程序框图,若输入的a=18,b=42,则输出的a=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2
B.3
C.6
D.8
(2)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生.则按程序框图正确编程运行时输出y的值为3的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
考点
循环结构为主的结果输出型问题
(多考向探究)
考向1　逐步推理验证类型
【例2】(1)执行如图所示的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y的值满足(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=2x
B.y=3x
C.y=4x
D.y=5x
(2)执行如图所示的程序框图,则输出的n等于(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
解题心得解决循环结构程序框图问题的注意事项
(1)搞清楚判断框内的条件由计数变量还是累加变量来表示;
(2)要注意判断框内的不等式是否带有等号,这直接决定循环次数的多少;
(3)要准确利用程序框图的赋值语句与两个变量之间的关系,把握程序框图的整体功能,这样可以直接求解结果,减少运算的次数.
对点训练2(2017全国2,理8)执行下面的程序框图,如果输入的a=-1,则输出的S=(　　)
A.2
B.3
C.4
D.5
考向2　归纳推理得出规律类型
【例3】执行如图所示的程序框图,则程序最后输出的结果为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.
D.
解题心得归纳推理法适用的循环结构程序框图类型
(1)在解决一些有规律的科学计算问题,尤其是累加、累乘等问题时,往往可以利用循环结构来解决.执行循环结构首先要分清是先执行循环体,再判断条件,还是先判断条件,再执行循环体.其次注意控制循环的变量是什么,何时退出循环.最后要清楚循环体内的程序是什么,是如何变化的.
(2)当循环次数较多时,逐一列出前面的若干步骤,观察、归纳,利用周期性或规律性得出答案.
对点训练3执行如图所示的程序框图,则输出的结果n=　　　　　.?
考点
程序框图的补全问题
【例4】如图程序框图是为了求出满足3n-2n>2
020的最小偶数n,那么在和两个空白框中,分别可以填入(　　)
A.A>2
020和n=n+1
B.A>2
020和n=n+2
C.A≤2
020和n=n+1
D.A≤2
020和n=n+2
解题心得补全程序框图的条件或内容时,应结合初始条件和输出结果,分析控制循环的变量应满足的条件,或累加、累乘的变量的表达式,明确进入循环体时变量的情况、累加或累乘变量的变化.具体解题方法有以下两种:一是先假定空白处填写的条件,再正面执行程序,来检验填写的条件是否正确;二是根据结果进行回溯,直至确定填写的条件是什么.
注意:此类问题务必先分清是直到型循环结构还是当型循环结构,二者判断框中的条件在同一问题中相反.
对点训练4执行如图所示的程序框图,若输出k的值为8,则判断框内可填入的条件是(　　)
A.s≤
B.s≤
C.s≤
D.s≤
考点
程序框图的功能判断问题
【例5】如图是根据南宋数学家杨辉的“垛积术”设计的程序框图,该程序所能实现的功能是(　　)
A.求1+3+5+…+(2n-1)
B.求1+3+5+…+(2n+1)
C.求12+22+32+…+n2
D.求12+22+32+…+(n+1)2
解题心得判断程序框图的功能,根据程序框图的运行,分析其功能即可.
对点训练52020年国庆期间,全国共接待国内游客6.18亿人次,其中某30个景区日均实际接待人数与最大接待人数比值依次记为ai(i=1,2,…,30),若该比值超过1,则称该景区“爆满”,否则称为“不爆满”,则如图所示的程序框图的功能是(　　)
A.求30个景区的爆满率
B.求30个景区的不爆满率
C.求30个景区的爆满数
D.求30个景区的不爆满数
第十章　算法初步、统计
与统计案例
10.1　算法初步
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.明确　有限
2.(1)流程图　程序框　流程线　文字说明
流程线　程序框　(2)起始和结束　输入和输出的信息　赋值、计算　成立与否　先后顺序
3.反复执行　循环体
考点自诊
1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
2.D　当满足条件x>2时,即里程超过2公里,超过2公里时,每车收燃油附加费1元,并且超过的里程每公里收2.6元,所以y=2.6(x-2)+7+1=8+2.6(x-2),即整理可得y=2.6x+2.8.故选D.
3.B　由程序框图,得x=1,y=34,S=138;x=3,y=32,S=134;x=5,y=30,S=130;x=7,y=28,S=126;…;x=23,y=12,S=94.输出x=23,y=12.故选B.
4.C　当x=-3时,y=3;当x=-2时,y=0;当x=-1时,y=-1;当x=0时,y=0;当x=1时,y=3;当x=2时,y=8;当x=3时,y=15,x=4,结束.所以y的最大值为15,可知x≤3符合题意.判断框应填x≤3,故选C.
5.　第一次循环:S=9>1,S=1,k=2;第二次循环:S=,k=4;第三次循环:S=,k=8;第四次循环:S=1,k=16;第五次循环:S=,k=32;第六次循环:S=,k=64;第七次循环:S=1,k=128;第八次循环:S=,k=256;第九次循环:S=,k=512;第十次循环:S=1,k=1024;第十一次循环:S=,k=2048>2017,输出S=,故答案为.
关键能力·学案突破
例1(1)A　(2)C　(1)由程序框图可知,程序的作用是计算分段函数y=的函数值,因为(lo)☆=3☆4,a=3(2)结合题设中提供的算法流程图中算法程序可知:当输入数据a=1+,b=,c=时,因为ac=,则直接判定出b=1+对点训练1(1)C　(2)C　(1)由于更相减损术求的是最大公约数,18和42的最大公约数是6,故输出a=6,故选C.
(2)由程序框图知,输出y的值为3时,输入的x应是3的倍数且为偶数,即x=6,12,18,24,共4个数,由古典概型概率公式可得概率为.故选C.
例2(1)C　(2)C　(1)第一次循环:n=1,x=0+=0,y=1×1=1,不满足x2+y2≥36;
第二次循环:n=2,x=0+,y=2×1=2,不满足x2+y2≥36;
第三次循环:n=3,x=,y=3×2=6,满足x2+y2≥36,结束循环,输出x=,y=6,故x,y满足y=4x.
(2)第一次循环:a=sinx=sin,执行:n=n+1=1,x=x-π=π;
第二次循环:a=sinx=sinπ≠,执行:n=n+1=2,x=x-π=π-π=π;
第三次循环:a=sinx=sin,执行:n=n+1=3,x=x-π=π-π=;
第四次循环:a=sinx=sin,此时跳出循环,输出n=3.
对点训练2B　程序框图运行如下:
a=-1,S=0,K=1,进入循环,
S=0+(-1)×1=-1,a=1,K=2;
S=-1+1×2=1,a=-1,K=3;
S=1+(-1)×3=-2,a=1,K=4;
S=-2+1×4=2,a=-1,K=5;
S=2+(-1)×5=-3,a=1,K=6;
S=-3+1×6=3,a=-1,K=7,
此时退出循环,输出S=3.故选B.
例3B　由程序框图知,k=1,a=;k=2,a=;k=3,a=;k=4,a=;k=5,a=;k=6,a=;……
则此程序a的值构成了周期为4的周期数列,
当k=2018=504×4+2时,a=,即输出的a为.故选B.
对点训练39　由程序框图知,S=0+log22=1,n=n+1=2,不满足S>3,则返回继续循环;
S=1+log2,n=n+1=3,不满足S>3,则返回继续循环;
S=1+log2+log2=1+1=2,n=n+1=4,
不满足S>3,则返回继续循环;……
当n=k时,S=1+log2+log2+…+log2=1+log2,n=k+1,
要满足S=1+log2>3,则k≥8,k最小值为8,此时n=k+1=9.
例4D　因为程序框图为当型循环,所以当A满足条件时,才会进行循环,显然不能填A>2020,故排除A,B,由于要求输出n为偶数,且n的起始值为0,所以n=n+2.
对点训练4C　由程序框图可知,程序执行过程如下:s=0,k=0,满足条件;k=2,s=,满足条件;k=4,s=,满足条件;k=6,s=,满足条件;k=8,s=,这时应不满足条件,才能输出k=8,故判断框内的条件是s≤.
例5C　根据题意得a=1,S=1,i=2;a=4,S=1+4,i=3;a=9,S=1+4+9,i=4;a=16,S=1+4+9+16,i=5;……依次写出S的表达式,发现规律,满足C.
对点训练5B　根据题意得,程序框图中只有当ai≤1时,才计数一次,并且进入循环,进入下一次判断,而这一条件就是不爆满的意思,故程序框图的功能是求30个景区的不爆满率.故选B.10.2　随机抽样
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.总体、个体、样本、样本容量的概念
统计中所考察对象的全体构成的集合看做总体,构成总体的每个元素作为个体,从总体中抽取的　　　　　　　所组成的集合叫做样本,样本中个体的　　　　叫做样本容量.?
2.简单随机抽样
(1)定义:一般地,设一个总体含有N个个体,从中逐个　　　　　　地抽取n个个体作为样本(n≤N),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的　　　　　　　　,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.?
(2)常用方法:　　　　　　和　　　　　　　　.?
(3)应用范围:总体中的个体之间差异程度较小和数目较少.
(4)注意事项:利用随机数表抽样时,①选定的初始数和读数的方向是任意的;②对各个个体编号要视总体中的个体数情况而定,且必须保证所编号码的位数一致.
3.系统抽样
(1)定义:当总体中的个体比较多时,首先把总体分成均衡的若干部分,然后按照预先定出的规则,从每一部分中抽取一个个体,得到所需要的样本,这种抽样方法叫做系统抽样.
(2)系统抽样的步骤
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本.
①先将总体的N个个体　　　　　;?
②确定　　　　　,对编号进行　　　　　.当(n是样本容量)是整数时,取k=;?
③在第1段用　　　　　　　确定第一个个体编号l(l≤k);?
④按照一定的规则抽取样本.通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号　　　　　,再加k得到第3个个体编号　　　　　,依次进行下去,直到获取整个样本.?
(3)应用范围:总体中的个体数较多.
4.分层抽样
(1)定义:一般地,在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照　　　　　　　　　　,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法叫分层抽样.?
(2)应用范围:适用于总体由差异比较明显的几个部分组成.
(3)注意事项:利用分层抽样要注意按比例抽取,若各层应抽取的个体数不都是整数,则应当调整各层容量,即先剔除各层中“多余”的个体.
1.不论哪种抽样方法,总体中的每一个个体入样的概率都是相同的.
2.系统抽样一般也称为等距抽样,入样个体的编号相差分段间隔k的整数倍.
3.分层抽样是按比例抽样,每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)简单随机抽样是一种不放回抽样.(　　)
(2)在抽签法中,先抽的人抽中的可能性大.(　　)
(3)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样.(　　)
(4)用系统抽样从102名学生中选取20名,需剔除2名,这样对被剔除者不公平.(　　)
(5)在分层抽样中,每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.(　　)
2.(2020全国百校高三联考)为了调查某地区不同年龄的教师的工资情况,研究人员在A学校进行抽样调查,则比较合适的抽样方法为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.简单随机抽样
B.系统抽样
C.分层抽样
D.不能确定
3.为客观了解上海市民家庭存书量,上海市统计局社情民意调查中心通过电话调查系统开展专项调查,成功访问了2
007位市民,在这项调查中,总体、样本及样本容量分别是(　　)
A.总体是上海市民家庭总数量,样本是2
007位市民家庭的存书量,样本容量是2
007
B.总体是上海市民家庭的存书量,样本是2
007位市民家庭的存书量,样本容量是2
007
C.总体是上海市民家庭的存书量,样本是2
007位市民,样本容量是2
007
D.总体是上海市民家庭总数量,样本是2
007位市民,样本容量是2
007
4.有200人参加了一次会议,为了了解这200人参加会议的体会,将这200人随机编号为001,002,003,…,200,用系统抽样的方法(等距离)抽出20人,若编号为006,036,041,176,196的5个人中有1个没有抽到,则这个编号是(　　)
A.006
B.041
C.176
D.196
5.某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品,其中某月生产的产品数量之比依次为m∶3∶2,现用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本,已知A种型号产品抽取了45件,则m=(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
关键能力学案突破　
考点
简单随机抽样
【例1】(1)某校高一共有10个班,编号01至10,某项调查要从中抽取三个班作为样本,现用抽签法抽取样本,每次抽取一个号码,共抽3次,设五班第一次被抽到的可能性为a,第二次被抽到的可能性为b,则(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.a=,b=
B.a=,b=
C.a=,b=
D.a=,b=
(2)(2020山西太原高三质检)某口罩生产工厂为了了解口罩的质量,现将生产的50个口罩编号为01,02,…,50,利用如下随机数表从中抽取10个进行检测,若从下表中第1行第7列的数字开始向右依次读取2个数据作为1个编号,则被抽取的第8个个体的编号为(　　)
72
84
71
14
35　19
11
58
49
26　50
11
17
17
76　86
31
57
20
18　95
60
78
46
75
88
78
28
16
84　13
52
53
94
53　75
45
69
30
96　73
89
65
70
31　99
14
43
48
76
A.18
B.11
C.50
D.17
解题心得应用简单随机抽样时应注意的问题
(1)一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点:一是抽签是否方便;二是号签是否易搅匀.一般地,当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.
(2)在使用随机数法时,如遇到三位数或四位数,可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起,每三个或四个作为一个单位,自左向右选取,将超过总体号码或出现重复号码的数字舍去.
对点训练1(1)用简单随机抽样的方法从含有6个个体的总体中,抽取一个容量为2的样本,某一个体a“第一次被抽取”的可能性、“第二次被抽取”的可能性分别是(　　)
A.
B.
C.
D.
(2)某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试,先将700个零件进行编号,001,002,…,699,700.从中抽取70个样本,下图提供随机数表的第4行到第6行,若从表中第5行第6列开始向右读取数据,则得到的第6个样本编号是(　　)
32
21
18
34
29　78
64
54
07
32　52
42
06
44
38　12
23
43
56
77　35
78
90
56
42
84
42
12
53
31　34
57
86
07
36　25
30
07
32
86　23
45
78
89
07　23
68
96
08
04
32
56
78
08
43　67
89
53
55
77　34
89
94
83
75　22
53
55
78
32　45
77
89
23
45
A.623
B.328
C.253
D.007
考点
系统抽样
【例2】(1)(2020河南顶尖计划高三联考)某公司有3
000名员工,将这些员工编号为0001,0002,0003,…,3000,从这些员工中使用系统抽样的方法抽取200人进行“学习强国”的问卷调查,若0084号被抽到,则下面被抽到的是(　　)
A.0044号
B.0294号
C.1196号
D.2984号
(2)将参加夏令营的600名学生按001,002,…,600进行编号.采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本,且随机抽得的号码为003.这600名学生分别住在三个营区,从001到300在第Ⅰ营区,从301到495在第Ⅱ营区,从496到600在第Ⅲ营区,则三个营区被抽中的人数依次为(　　)
A.26,16,8
B.25,17,8
C.25,16,9
D.24,17,9
解题心得1.系统抽样适用的条件是总体容量较大,样本容量也较大.
2.使用系统抽样时,若总体容量不能被样本容量整除,可以先从总体中随机地剔除几个个体,从而确定分段间隔.
3.起始编号的确定应用简单随机抽样的方法,一旦起始编号确定,其他编号便随之确定.
4.系统抽样是等距抽样,利用系统抽样抽取的样本编号通常构成等差数列,但如果抽样规则另有说明(非等距抽样),得到样本编号则不一定成等差数列.
对点训练2(1)某学校从编号依次为01,02,…,90的90个学生中用系统抽样(等间距抽样)的方法抽取一个样本,已知样本中相邻的两个组的编号分别为14,23,则该样本中来自第四组的学生的编号为(　　)
A.32
B.33
C.41
D.42
(2)某校高三年级共有学生900人,编号为1,2,3,…,900,现用系统抽样的方法抽取一个容量为45的样本,若在第一组抽取的编号是5,则抽取的45人中,编号落在区间[479,719]的人数为(　　)
A.10
B.11
C.12
D.13
考点
分层抽样
【例3】(1)某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行了调查,参加调查的一共有20
000人,其中各种态度对应的人数如下表所示:
最喜爱
喜爱
一般
不喜欢
4
800
7
200
6
400
1
600
电视台为了了解观众的具体想法和意见,打算从中抽取100人进行详细的调查,为此要进行分层抽样,那么在分层抽样时,每类人中应抽取的人数分别为(　　)
A.25,25,25,25
B.48,72,64,16
C.20,40,30,10
D.24,36,32,8
(2)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件,为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取　　　　　件.?
(3)我国古代数学专著《九章算术》中有一衰分问题:今有北乡八千一百人,西乡七千四百八十八人,南乡六千九百一十二人,凡三乡,发役三百人,则北乡遣(　　)
A.104人
B.108人
C.112人
D.120人
解题心得分层抽样问题类型及解题思路
(1)求某层应抽个体数量:按该层所占总体的比例计算.
(2)已知某层个体数量,求总体容量或反之:根据分层抽样就是按比例抽样,列比例式进行计算.
(3)确定是否应用分层抽样:分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况.
对点训练3(1)某商场有四类食品,其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种,10种,30种,20种,现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测,若采用分层抽样的方法抽取样本,则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是　　　　　.?
(2)某林场共有白猫与黑猫1
000只,其中白猫比黑猫多400只,为调查猫的生长情况,采用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本,若样本中黑猫有6只,则n=　　　　　.?
(3)我国南宋数学家秦九韶所著《数书九章》中有“米谷粒分”问题:粮仓开仓收粮,粮农送来米512石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得216粒内夹谷27粒,则这批米内夹谷约(　　)
A.128石
B.64石
C.256石
D.32石
10.2　随机抽样
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.一部分个体　数目
2.(1)不放回　机会都相等
(2)抽签法　随机数法
3.(2)编号　分段间隔k　分段　简单随机抽样　(l+k)　(l+2k)　
4.(1)一定的比例
考点自诊
1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
2.C　因为调查教师的工资情况需要分年龄,所以使用分层抽样的方法能够正确反映不同年龄的教师的工资情况,按照年龄分层抽样.
3.B　根据题目可知,总体是上海市民家庭的存书量,样本是2007位市民家庭的存书量,样本容量是2007,故选B.
4.B　由题意,从200人中用系统抽样的方法抽取20人,所以抽样的间隔为=10,若在第1组中抽取的数字为006,则抽取的号码满足6+(n-1)×10=10n-4,其中n∈N
,其中当n=4时,抽取的号码为36;当n=18时,抽取的号码为176;当n=20时,抽取的号码为196,所以041这个编号不在抽取的号码中,故选B.
5.C　∵用分层抽样方法抽取一个容量为120的样本,A种型号产品抽取了45件,
又∵某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品,某月生产产品数量之比依次为m∶3∶2,∴根据分层抽样的性质得,解得m=3.故选C.
关键能力·学案突破
例1(1)D　(2)D　(1)由简单随机抽样的定义知,在每次抽取中每个个体都有相同的可能性被抽到,故五班在每次抽样中被抽到的可能性都是,所以a=,b=.
(2)随机数表中第1行第7列的数字为1,所以第一个抽取的为14,被抽取的10个个体的编号依次为14,35,19,11,49,26,50,17,31,20,所以被抽取的第8个个体编号为17.
对点训练1(1)D　(2)A　(1)由于简单随机抽样中每个个体每次被抽到的机会均等,所以个体a“第一次被抽取”的可能性与“第二次被抽取”的可能性是相同的,都为.故选D.
(2)从第5行第6列开始向右读取数据,第一个数为253,第二个数是313,第三个数是457,下一个数是860,不符合要求,下一个数是736,不符合要求,下一个是253,重复,第四个是007,第五个是328,第六个是623,故选A.
例2(1)B　(2)B　(1)由题意得,抽出的号码为以15为公差的等差数列,因为0084号被抽到,所以可知被抽得的号码与84的差为15的整数倍.294-84=210=15×14,其他选项均不满足.故选B.
(2)由题意及系统抽样的定义可知,将这600名学生按编号依次分成50组,每一组各有12名学生,第k(k∈N
)组抽中的号码是3+12(k-1).令3+12(k-1)≤300,得k≤,因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25;令300<3+12(k-1)≤495,得对点训练2(1)A　(2)C　(1)因为由题可知相邻的两个组的编号分别为14,23,所以样本间隔为23-14=9,所以第一组的编号为14-9=5,所以第四组的编号为5+3×9=32,故选A.
(2)900人中抽取样本容量为45的样本,样本组距为900÷45=20,又第一组抽取的编号是5,则编号落在区间[479,719]的人数为(719-479)÷20=12,故选C.
例3(1)D　(2)18　(3)B　(1)(方法1)根据分层抽样的性质得,所以每类人中应抽取的人数分别为4800×=24,7200×=36,6400×=32,1600×=8.
(方法2)最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的比例为4800∶7200∶6400∶1600=6∶9∶8∶2,所以每类人中应抽取的人数分别为×100=24,×100=36,×100=32,×100=8.
(2)因为样本容量n=60,产品总数N=200+400+300+100=1000,所以.因此应从丙种型号的产品中抽取300×=18(件).
(3)由题意可知,这是一个分层抽样的问题,其中北乡可抽取的人数为300×=300×=108.
对点训练3(1)6　(2)20　(3)B　(1)本题主要考查对分层抽样的理解.根据分层抽样的性质得,则抽取的植物油类种数是10×=2,抽取的果蔬类食品种数是20×=4,所以抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是2+4=6.
(2)由题意,白猫、黑猫分别有700,300只,由分层抽样的特点,得,解得n=20,故答案为20.
(3)由题意,抽得样本中含谷27粒,占样本的比例为,则由此估计总体中谷的含量约为512×=64(石).10.3　用样本估计总体
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.统计图表
(1)频率分布直方图的画法步骤
①求极差(即一组数据中　　　　　与　　　　的差);?
②决定　　　　与　　　　;?
③将数据　　　　;?
④列　　　　　;?
⑤画　　　　　　.?
(2)频率分布折线图和总体密度曲线
①频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端的　　　　,就得到频率分布折线图.?
②总体密度曲线:随着样本容量的增加,作图时　　　　增加,　　　　减小,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的百分比,它能提供更加精细的信息.?
(3)茎叶图:茎叶图中茎是指　　　　的一列数,叶是从茎的　　　　生长出来的数.当样本数据较少时,用茎叶图表示数据的效果较好,它不但可以保留所有信息,而且可以随时记录,给数据的记录和表示都带来方便.?
(4)茎叶图的画法步骤
第一步:将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分;
第二步:将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列;
第三步:将各个数据的叶依次写在其茎的两侧.
2.样本的数字特征
数字特征
定　　义
众数
在一组数据中,出现次数　　　　的数据叫做这组数据的众数?
中位数
将一组数据按大小依次排列,把处在　　　　位置的一个数据(或最中间两个数据的　　　　　　)叫做这组数据的中位数.?
在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积和　　　?
平均数
样本数据的算术平均数,即10.4　变量间的相关关系、统计案例
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.变量间的相关关系
(1)定义:常见的两变量之间的关系有两类:一类是函数关系,另一类是　　　　　　　　　.当自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系.与函数关系不同,相关关系是一种　　　　　　　　　　.?
(2)散点图:表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图,它可直观地判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示.若这些散点分布在从左下角到右上角的区域,则称两个变量　　　　　　;若这些散点分布在从左上角到右下角的区域,则称两个变量　　　　　.?
(3)线性相关关系、回归直线:如果散点图中点的分布从整体上看大致在　　　　　　　　　　　　　,就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.?
(4)非线性相关:若散点图上所有点看上去都在　　　　　　　　　　　　　　　　附近波动,则称此相关为非线性相关.此时,可以用　　　　　　　　来拟合.?
(5)不相关:如果所有的点在散点图中　　　　　　　　　　　,那么称变量间是不相关的.?
2.两个变量的线性相关
(1)从散点图上看,如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近,称两个变量之间具有　　　　　　　　　,这条直线叫做　　　　　　　　　　　.?
(2)回归方程x+是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)的回归方程,其中是待定系数.
(3)通过求Q=(yi-bxi-a)2的最小值而得到回归直线的方法,即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.
(4)相关系数r=.
当r>0时,表明两个变量正相关;
当r<0时,表明两个变量负相关.
r的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性相关性越强.r的绝对值越接近于0时,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常当|r|大于0.75时,认为两个变量有很强的线性相关性.
(5)回归分析模型拟合效果的判断
R2=1-,R2越接近于1,表示回归效果越好.
3.独立性检验
(1)分类变量:变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这类变量称为分类变量.
(2)2×2列联表:假设有两个分类变量X和Y,它们的值域分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表(称2×2列联表)为:
X
Y
总　计
y1
y2
x1
a
b
a+b
x2
c
d
c+d
总计
a+c
b+d
a+b+c+d
K2=(其中n=a+b+c+d为样本容量).
(3)用K2的大小可以决定是否拒绝原来的统计假设H0,若K2值较大,就拒绝H0,即拒绝事件A与B无关.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)样本相关关系与函数关系都是一种确定性的关系,也是一种因果关系.
(　　)
(2)利用散点图可以直观判断两个变量是否具有线性相关关系.
(　　)
(3)事件X,Y关系越密切,则由观测数据计算得到的K2越大.
(　　)
(4)回归直线x+至少经过点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)中的一个点.(　　)
(5)两个变量的样本相关系数的绝对值越接近于1,它们的线性相关程度越强.
(　　)
2.某市食品研究部门为了解一种酒品的储藏年份与芳香度之间的相关关系,在市场上收集了一部分不同年份的该酒品,并测定了其芳香度如下表.
年份x
0
1
4
5
6
8
芳香度y
1.3
1.8
5.6
7.4
9.3
由最小二乘法得到回归方程=1.03x+1.13,但不小心在检测后滴到表格上一滴检测液,污损了一个数据,请你推测该数据为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.6.8
B.6.28
C.6.5
D.6.1
3.通过随机询问50名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表,
性别
爱好
不爱好
合计
男生
20
5
25
女生
10
15
25
合计
30
20
50
由K2=得K2=≈8.333.参照附表,得到的正确结论是(　　)
P(K2≥k0)
0.010
0.005
0.001
k0
6.635
7.879
10.828
A.有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B.有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”
D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”
4.(2020全国1,文5)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散点图:
由此散点图,在10
℃至40
℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是
(　　)
A.y=a+bx
B.y=a+bx2
C.y=a+bex
D.y=a+bln
x
5.已知下列命题:
①回归直线x+恒过样本点的中心(),且至少过一个样本点;
②两个变量相关性越强,则相关系数r就越接近于1;
③将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后,方差不变;
④在回归方程=2-0.5x中,当解释变量x增加一个单位时,预报变量平均减少0.5;
⑤在线性回归模型中,R2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率,R2越接近于1,表示回归效果越好;
⑥对分类变量X与Y,它们的随机变量K2的观测值k来说,k越小,“X与Y有关系”的把握程度越大;
⑦两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好.
则正确命题是　　　　　　　　.(把你认为正确的结论都写在横线上)?
关键能力学案突破　
考点
相关关系的判断
【例1】(1)对四组数据进行统计,获得以下散点图,关于其相关系数的比较,正确的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.r2B.r4C.r4D.r2(2)右图是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图和回归直线,若去掉一个点使得余下的5个点所对应的数据的相关系数最大,则应当去掉的点是(　　)
A.D
B.E
C.F
D.A
解题心得判断相关关系的方法
(1)散点图法:如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近,变量之间就有相关关系.如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系.
(2)相关系数法:利用相关系数判定,当|r|越趋近于1,相关性就越强.当r>0时,正相关;当r<0时,负相关.
(3)线性回归方程中当>0时,正相关;当<0时,负相关.
对点训练1(1)相关变量x,y的散点图如图所示,现对这两个变量进行线性相关分析,方案一:根据图中所有数据,得到线性回归方程x+,相关系数为r1;方案二:剔除点(10,21),根据剩下数据得到线性回归方程:x+,相关系数为r2.则(　　)
A.0B.0C.-1D.-1(2)某市国庆节7天假期的楼房认购量(单位:套)与成交量(单位:套)的折线图如图所示,小明同学根据折线图对这7天的认购量与成交量作出如下判断:①日成交量的中位数是16;②日成交量超过日平均成交量的有2天;③认购量与日期正相关;④10月7日认购量的增量大于10月7日成交量的增量.上述判断中错误的个数为(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
考点
回归分析
(多考向探究)
考向1　线性回归方程及应用
【例2】(2020陕西宝鸡质检)某地随着经济的发展,居民收入逐年增长,下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额),如下表1:
表1
年份x
2015
2016
2017
2018
2019
储蓄存款y/千亿元
5
6
7
8
10
为了研究计算的方便,工作人员将上表的数据进行了处理,t=x-2
014,z=y-5得到下表2:
表2
时间代号t
1
2
3
4
5
z
0
1
2
3
5
(1)求z关于t的线性回归方程;
(2)通过(1)中的方程,求出y关于x的回归方程;
(3)用所求回归方程预测到2022年年底,该地储蓄存款额可达多少?
附:对于线性回归方程x+,其中
解题心得回归分析问题的类型及解题方法
(1)求回归方程
①根据散点图判断两变量是否线性相关,如不是,应通过换元构造线性相关.
②利用公式,求出回归系数.
③待定系数法:利用回归直线过()求系数.
(2)利用回归方程进行预测,把线性回归方程看作一次函数,求函数值.
对点训练2下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员违章行为统计数据:
月份x
1
2
3
4
5
违章驾驶员人数/y
120
105
100
90
85
(1)请利用所给数据求违章人数y与月份x之间的回归方程;
(2)预测该路口9月份的违章驾驶员人数.
参考公式:,参考数据:xiyi=1
415.
考向2　非线性回归方程
【例3】(2020山东青岛高三模拟)近期,某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动,活动设置了一段时间的推广期,由于推广期内优惠力度较大,吸引了越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次,用x表示活动推出的天数,y表示每天使用扫码支付的人次(单位:十人次),统计数据如下表所示:
x
1
2
3
4
5
6
7
y/十人次
6
11
21
34
66
101
196
根据以上数据,绘制了如图所示的散点图.
(1)根据散点图判断,在推广期内,y=a+bx与y=c·dx(c,d均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型;(给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表1中的数据,建立y关于x的回归方程,并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次.
参考数据:
xiyi
xivi
100.54
62.14
1.54
2
535
50.12
3.47
其中vi=lg
yi,vi
参考公式:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归方程u中,u
解题心得1.根据样本画出散点图.观察散点图中散点的分布,从整体看,如果散点没有在某一条直线附近,称这两个变量具有相关性,但不是线性相关,即这两个变量非线性相关.
2.借助于散点图,与已学过的函数(如指数函数、对数函数、幂函数等)的图象相比较,找到合适的函数模型.
3.通过变量转换,把非线性回归问题化成线性回归问题,并求出线性回归方程.
4.再利用变量代换,可得非线性回归方程.
对点训练3(2020山东淄博高三一模)根据国家统计局数据,1978年至2018年我国GDP总量从0.37万亿元跃升至90万亿元,实际增长了243倍多,综合国力大幅提升.
将年份1978,1988,1998,2008,2018分别用1,2,3,4,5代替,并表示为t;y表示全国GDP总量,表中zi=ln
yi(i=1,2,3,4,5),zi.
(ti-)2
(ti-)(yi-)
(ti-)(zi-)
3
26.474
1.903
10
209.76
14.05
(1)根据数据及统计图表,判断=bt+a与=cedt(其中e=2.718…为自然对数的底数)哪一个更适宜作为全国GDP总量y关于t的回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由),并求出y关于t的回归方程.
(2)使用参考数据,估计2020年的全国GDP总量.
附:线性回归方程x+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为.
n
4
5
6
7
8
en的近似值
55
148
403
1
097
2
981
考点
独立性检验
【例4】(2020海南三亚模拟)自2017年起,部分省、市陆续实施了新高考,某省采用了“3+3”的选科模式,即考试除必考的语文、数学、外语三科外,再从物理、化学、生物、历史、地理、思想政治六个学科中,任意选取三科参加高考,为了调查新高考中考生的选科情况,某地区调查小组进行了一次调查,研究考生选择化学与选择物理是否有关系.已知在调查数据中,选物理的考生与不选物理的考生人数相同,其中选物理且选化学的人数占选物理人数的,在不选物理的考生中,选化学与不选化学的人数比为1∶4.
(1)若在此次调查中,选物理未选化学的考生有100人,试完成下面的列联表.
选科情况
选化学
不选化学
合计
选物理
不选物理
合计
(2)根据第(1)问的数据,能否有99%把握认为选择化学与选择物理有关系?
(3)若研究得到在犯错误概率不超过0.01的前提下,认为选化学与选物理有关系,则选物理又选化学的人数至少有多少?(单位:千人;精确到0.001)
附:K2=.
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
解题心得
1.
2个明确
(1)明确两类主体;
(2)明确研究的两个问题
2个关键
(1)准确画出2×2列联表;
(2)准确求解K2
3个步骤
(1)根据样本数据制成2×2列联表;
(2)根据公式K2=,计算K2的观测值;
(3)查表比较K2与临界值的大小关系,作统计判断
2.用K2的值可以决定是否拒绝原来的统计假设H0,若K2值较大,就拒绝H0,即拒绝事件A与事件B无关;换一种说法,计算随机变量的观测值k越大,说明“两个变量有关系”的可能性越大,根据临界表判断K2大于的临界值,然后下结论.
对点训练4每年六、七月份,我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节,如图是江南Q镇2009~2018年梅雨季节的降雨量(单位:mm)的频率分布直方图,试用样本频率估计总体概率,解答下列问题:
(1)请用样本平均数估计Q镇明年梅雨季节的降雨量.
(2)Q镇的杨梅种植户老李在犯愁,他过去种植的甲品种杨梅,亩产量受降雨量的影响较大(把握超过八成).而乙品种杨梅2009~2018年的亩产量(单位:kg/亩)与降雨量的发生频数(单位:年)如2×2列联表所示(部分数据缺失).请你帮助老李排解忧愁,他来年应该种植哪个品种的杨梅受降雨量影响更小?
(完善列联表,并说明理由)
亩产量
降雨量
合计
[200,400)
[100,200)∪[400,500]
<600
2
≥600
1
合计
10
P(K2≥k0)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
参考公式:K2=,其中n=a+b+c+d.
10.4　变量间的相关关系、统计案例
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.(1)相关关系　非确定性关系　(2)正相关
负相关
(3)一条直线附近
(4)某条曲线(不是一条直线)　一条曲线
(5)没有显示任何关系
2.(1)线性相关关系　回归直线　
考点自诊
1.(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√
2.D　由表中数据=4,回归方程=1.03x+1.13,∴=1.03×4+1.13=5.25,设污损的数据为a,
∴(1.3+1.8+5.6+a+7.4+9.3)=5.25,解得a=6.1,故选D.
3.A　因为8.333>7.879,由上表知7.879对应0.005,所以,有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”,或在犯错误的概率不超过0.5%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”,故选A.
4.D　结合题中散点图,由图像的大致走向判断,此函数应该是对数函数模型,故应该选用的函数模型为y=a+blnx.
5.③④⑤⑦　对于①,回归直线x+恒过样本点的中心(),可以不过任一个样本点,故①错误;
对于②,两个变量相关性越强,则相关系数r的绝对值就越接近于1,故②错误;
对于③,将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后,由方差的性质可得方差不变,故③正确;
对于④,在回归方程=2-0.5x中,当解释变量x每增加一个单位时,预报变量平均减少0.5个单位,故④正确;
对于⑤,在线性回归模型中,R2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率,R2越接近于1,表示回归效果越好,故⑤正确;
对于⑥,对分类变量X与Y,它们的随机变量K2的观测值k来说,k越大,
“X与Y有关系”的把握程度越大,故⑥错误;
对于⑦,可用残差平方和判断模型的拟合效果,残差平方和越小,模型的拟合效果越好,故⑦正确.
其中正确的为③④⑤⑦.
关键能力·学案突破
例1(1)A　(2)B　(1)题中图1和图3是正相关,相关系数大于0;图2和图4是负相关,相关系数小于0;图1和图2的点相对更加集中,所以相关性要强,所以r1接近于1,r2接近于-1,由此可得r2(2)因为相关系数的绝对值越大,越接近于1,则说明两个变量的相关性越强.因为点E到直线的距离最远,所以去掉点E,余下的5个点所对应的数据的相关系数最大,故选B.
对点训练1(1)D　(2)C　(1)由散点图得负相关,所以r1,r2<0,因为剔除点(10,21)后,剩下点数据更具有线性相关性,|r2|更接近1,所以-1(2)将成交量数据按由大到小顺序排列,中位数为26,所以①错;平均成交量为≈42.7,超过42.7的只有一天,所以②错;由图中可以看出,数据点并不是从左下分布至右上,所以③错;10月7日认购量增量为276-112=164,成交量增量为166-38=128,所以④对,故选C.
例2解(1)=3,=2.2,tizi=45,=55,
=1.2,
=2.2-3×1.2=-1.4,
所以=1.2t-1.4.
(2)将t=x-2
014,z=y-5,代入=1.2t-1.4,
得y-5=1.2(x-2
014)-1.4,即=1.2x-2
413.2.
(3)因为=1.2×2
022-2
413.2=13.2,
所以预测到2022年年底,该地储蓄存款额可达13.2千亿元.
对点训练2解(1)由表中数据知,=3,=100,
∴=-8.5,=125.5,
∴所求回归方程为=-8.5x+125.5.
(2)令x=9,则=-8.5×9+125.5=49.故预测该路口9月份的违章驾驶员人数为9.
例3解(1)根据散点图判断,y=c·dx适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型.
(2)∵y=c·dx,两边同时取常用对数得lgy=lg(c·dx)=lgc+x·lgd.设lgy=v,∴v=lgc+x·lgd.∵=4,=1.54,=140,∴d==0.25,c=d=0.54,
∴=0.54+0.25x,∴y=0.54+0.25x,∴y关于x的回归方程为=100.54+0.25x=100.54×100.25x=3.47×100.25x.把x=8代入上式,得=3.47×102=347.∴预测活动推出第8天使用扫码支付的人次为3
470.
对点训练3解(1)根据数据及图表可以判断,y=cedt更适宜作为全国GDP总量y关于t的回归方程.
对y=cedt两边取自然对数得lny=lnc+dt,令z=lny,a=lnc,b=d,得z=a+bt.
因为=1.405,
所以=1.903-1.405×3=-2.312,
所以z关于t的线性回归方程为=1.405t-2.312,
所以y关于t的回归方程为=e1.405t-2.312=(e-2.312)·e1.405t.
(2)将t=5.2代入=e1.405t-2.312,其中1.405×5.2-2.312=4.994,则=e4.994≈148.
于是2020年的全国GDP总量约为148万亿元.
例4解(1)列联表如下:
选科情况
选化学
不选化学
合计
选物理
150
100
250
不选物理
50
200
250
合计
200
300
500
(2)由列联表可知K2=>6.635,所以有99%把握认为选择化学与选择物理有关系.
(3)设选物理又选化学的有x千人,则列联表如下:
选科情况
选化学
不选化学
合计
选物理
x
x
x
不选物理
x
x
x
合计
x
2x
x
所以K2=x,
在犯错误概率不超过0.01的前提下,则K2≥6.635,即x≥6.635,解得x≥11.943,所以选物理又选化学的人数至少有11.943千人.
对点训练4解(1)频率分布直方图中第四组的频率为1-100×(0.002+0.004+0.003)=0.1.所以用样本平均数估计Q镇明年梅雨季节的降雨量为150×0.2+250×0.4+350×0.3+450×0.1=30+100+105+45=280(mm).
(2)根据频率分布直方图可知,降雨量在200~400之间的频数为10×100×(0.003+0.004)=7.
进而完善列联表如下.
亩产量
降雨量
合计
[200,400)
[100,200)∪
[400,500]
<600
2
2
4
≥600
5
1
6
合计
7
3
10
K2=≈1.270<1.323.
故认为乙品种杨梅的亩产量与降雨量有关的把握不足75%.
而推断甲品种杨梅的亩产量与降雨量有关的把握超过八成,故老李来年应该种植乙品种杨梅.

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