资源简介

受力分析　共点力的平衡
知识梳理·双基自测
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理
知识点1　受力分析
1．受力分析
把研究对象(指定物体)在特定的物理环境中受到的所有力都找出来，并画出受力示意图的过程。
2．受力分析的一般顺序
若物体A在水平推力F作用下沿粗糙斜面上滑，则物体受力分析的顺序应如图乙所示。
(1)先画出重力。
(2)其次分析弹力。
(3)再分析摩擦力。
(4)最后分析电磁力。
特别提醒：弹力、摩擦力的产生条件之一都是接触，因此在分析这两种力时先找接触面，在每个接触面上逐一分析这两种力。
知识点2　共点力的平衡
1．平衡状态
物体处于静止状态或匀速直线运动状态。
2．平衡条件
F合＝0或者
如图，小球静止不动，物块匀速直线运动。
则：小球F合＝F′－G＝0。
物块Fx＝F1－Ff＝0，Fy＝F2＋FN－G＝0。
3．平衡条件的推论
(1)二力平衡：如果物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，这两个力必定大小相等，方向相反。
(2)三力平衡：如果物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与其余两个力的合力大小相等，方向相反。
(3)多力平衡：如果物体在多个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与其余几个力的合力大小相等，方向相反。
思考：速度等于零的物体一定处于平衡状态吗？为什么？
[答案]　物体速度等于零，合外力不一定等于零。合外力等于零时物体才处于平衡状态。
双基自测
一、堵点疏通
1．物体沿光滑斜面下滑时，物体受到重力、支持力和下滑力的作用。(　×　)
2．速度等于零的物体一定处于平衡状态。(　×　)
3．物体的平衡状态是指物体处于静止或速度等于零的状态。(　×　)
4．物体处于平衡状态时，加速度等于零。(　√　)
5．二力平衡时，这两个力必定等大反向。(　√　)
6．若物体受到三个力F1、F2、F3的作用而平衡，将F1转动90°时，三个力的合力大小为F1。(　√　)
7．多个共点力平衡时，其中任何一个力与其余各力的合力大小相等、方向相反。(　√　)
二、对点激活
1．如图所示是运动员在冬奥会比赛中滑雪的情景，此时运动员和滑板组成的系统受到的力有(　C　)
A．推力　 B．重力、推力
C．重力、空气阻力　 D．重力、推力、空气阻力
[解析]　本题考查受力分析。由题图中的情景可知，运动员处于腾空状态中，运动员和滑板组成的系统受到重力和空气阻力的作用，故A、B、D错误，C正确。
2．如图所示，某质点在共点力F1、F2、F3作用下处于静止状态，现将F1逆时针旋转60°，其他力均保持不变，那么该质点所受合力大小为(　A　)
A．F1　 B．F2＋F1
C．F3　 D．F1＋F3
[解析]　本题考查已知分力大小和方向计算合力大小。三力平衡时任意两个力的合力与第三个力等大、反向、共线，故除F1外的两个力F2、F3的合力大小等于F1，方向与F1相反；现将F1逆时针旋转60°，根据平行四边形定则可知，两个大小均为F1且互成120°角的力合成时，合力在两个分力的角平分线上，大小等于分力F1，故此时质点所受到的合力大小为F1，故选A。
3．(2020·重庆南开中学诊断)如图所示，竖直面光滑的墙角有一个质量为m、半径为r的半球体物块A。现在A上放一半径为r、质量为2 m的光滑球体B，A球球心距墙角的距离为2r，重力加速度为g。整个系统处于静止状态，则A、B间弹力大小为(　C　)
A． mg　 B．2 mg
C． mg　 D．4 mg
[解析]　本题借助平衡条件考查力的分解。选择B为研究对象，受力分析如图所示。根据几何关系可得θ＝30°，所以FN1＝＝＝mg，C正确。
核心考点·重点突破
HE XIN KAO DIAN ZHONG DIAN TU PO
考点一　受力分析、整体法与隔离法的应用
1．受力分析的四个方法
方法 内容
假设法 在未知某力是否存在时，先对其做出存在的假设，然后根据该力存在对物体运动状态的影响来判断该力是否存在
整体法 将加速度相同的几个相互关联的物体作为一个整体进行受力分析的方法
隔离法 将所研究的对象从周围的物体中分离出来，单独进行受力分析的方法
动力学 分析法 对加速运动的物体进行受力分析时，应用牛顿运动定律进行分析求解的方法
2．受力分析的四个步骤
特别提醒：受力分析时注意以下四点
(1)只分析研究对象所受的力，不分析研究对象对其他物体的作用力。
(2)只分析外力，不分析内力。
(3)只分析性质力，不分析效果力。
(4)分力、合力不要重复分析。
例1　(2021·河北大名一中月考)L形木板P(上表面光滑)放在固定斜面上，轻质弹簧一端固定在木板上，另一端与置于木板上表面的滑块Q相连，如图所示。若P、Q一起沿斜面匀速下滑，不计空气阻力。则木板P的受力个数为(　C　)
A．3　　 B．4
C．5　 D．6
[解析]　本题考查受力分析问题。由于P、Q一起匀速下滑，受力平衡，对Q进行受力分析可知弹簧弹力不为零，所以木板P受到自身的重力、斜面的摩擦力、斜面的支持力、弹簧的弹力及滑块Q的压力5个力的作用，选项C正确。
〔变式训练1〕如图所示，物体A靠在竖直的墙面C上，在竖直向上的力F作用下，A，B物体保持静止，则物体A受力分析示意图正确的是(　A　)
[解析]　以A，B组成的整体为研究对象，水平方向不可能受力，整体和墙面C间没有弹力，故A与墙面C间无摩擦力，以A物体为研究对象，A受重力，B对A的垂直接触面的弹力和平行接触面的摩擦力，故选项A正确。
考点二　共点力作用下的静态平衡
处理平衡问题的常用方法
方法 基本思路 求解方法 条件
正交分解法 变矢量运算为代数运算 将各力分解到x轴和y轴上，运用两坐标轴上的合力等于零的条件列方程求解，即∑Fx＝0，∑Fy＝0 三个或三个以上共点力作用下物体的平衡
矢量三角形法 构建矢量三角形，利用几何知识求解 物体受同一平面内三个互不平行的力作用处于平衡状态时，这三个力的矢量箭头首尾相接，构成一个矢量三角形；反之，若三个力矢量箭头首尾相接恰好构成三角形，则这三个力的合力必为零，利用有关数学知识可求出未知力 三力平衡
力的合成法 通过平行四边形定则，构建矢量三角形，利用几何知识求解 物体受到三个力平衡时，任意两个力的合力与第三个力等大、反向，可以应用三角函数、相似三角形等知识求解 三力平衡
例2　(2021·山西运城期中)如图所示，水平固定杆上套一物块甲，甲与小球乙用一根不可伸长的轻绳相连，现用跟水平方向成α＝30°角F＝10 N的力拉着乙并带动甲一起向右匀速运动，在运动中两者的相对位置保持不变，甲与水平杆间的动摩擦因数为μ。在运动过程中，轻绳与水平方向的夹角为θ，已知甲、乙质量分别为2 kg和1 kg，重力加速度g取10 m/s2，则(　A　)
A．μ＝，θ＝30°　 B．μ＝，θ＝30°
C．μ＝，θ＝22.5°　 D．μ＝，θ＝22.5°
[解析]　本题考查力的平衡问题中整体法和隔离法的应用。取甲、乙整体为研究对象，受力分析如图所示，竖直方向有N＝m1g＋m2g－Fsin α，水平方向有Fcos α＝μN，解得μ＝，取乙为研究对象，设绳中拉力为T，则有Fsin α＋Tsin θ＝m2g，Fcos α＝Tcos θ，解得θ＝30°，故A正确。
方法技巧　整体法与隔离法的选用技巧
整体法是以几个物体构成的系统为研究对象进行求解的方法，在许多问题中用整体法比较方便，但用整体法不能求解系统内力；隔离法是把系统分成若干部分并隔离开来，分别以每一部分为研究对象进行分析。若分析外力对系统的作用时，用整体法；若分析系统内各物体之间的相互作用时，用隔离法。通常解答问题时，需要多次选取研究对象，即整体法与隔离法交替使用。
〔变式训练2〕如图所示，光滑的圆环固定在竖直面内，圆心为O，三个完全相同的小圆环a、b、c穿在大环上，小环c上穿过一根轻质细绳，细绳两端分别固定着小环a、b，通过不断调整三个小环的位置，最终三小环恰好平衡，平衡时a、b的距离等于绳子长度的一半。已知小环的质量为m，重力加速度为g，轻绳与c的摩擦不计。则 (　C　)
A．a与大环间的弹力大小为mg
B．绳子的拉力大小为mg
C．c受到绳子的作用力大小为3mg
D．c与大环间的弹力大小为3mg
[解析]　本题考查连接体的受力分析。三个小圆环能静止在光滑的圆环上，结合题意由几何知识知，a、b、c恰在一个等边三角形的三个顶点，对a受力分析如图甲所示，在水平方向上有Tasin 30°＝Nasin 60°，在竖直方向上有Tacos 30°＝mg＋Nacos 60°，解得Na＝mg，Ta＝mg，故A、B错误；以c为研究对象，进行受力分析，如图乙所示，c受到绳子作用力的大小为T′＝2Tacos 30°＝3mg，在竖直方向上Nc＝mg＋T′，解得Nc＝4mg，故C正确，D错误。
考点三　共点力作用下的动态平衡
1．动态平衡：通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢的变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态，在问题的描述中常用“缓慢”等语言叙述。
2．分析动态平衡问题的常用方法
(1)图解法：物体受到三个力的作用，其中一个力的大小、方向均不变，另一个力的方向不变，此时可用图解法，画出不同状态下力的矢量图，判断各个力的变化情况。
(2)解析法：物体受到多个力的作用，可进行正交分解，利用解析法，建立平衡方程，根据自变量的变化确定因变量的变化。
(3)相似三角形法：物体受到三个力的作用，其中的一个力大小、方向均不变，另外两个力的方向都发生变化，可以用力三角形与几何三角形相似的方法。
(4)转圆法：物体受到三个力的作用，其中的一个力大小、方向都不变，另外两个力的方向都发生变化，但之间的夹角保持不变，可利用圆中弦确定，对应的圆周角也确定的方法解题。
例3　(2020·河南信阳一模)如图所示，足够长的光滑平板AP与BP用铰链连接，平板AP与水平面成53°角固定不动，平板BP可绕水平轴在竖直面内自由转动，质量为m的均匀圆柱体放在两板间，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，重力加速度为g。在使BP板由水平位置缓慢转动到竖直位置的过程中，下列说法正确的是(　D　)
A．平板AP受到的压力先减小后增大
B．平板AP受到的压力先增大后减小
C．平板BP受到的最小压力为0.6mg
D．平板BP受到的最大压力为mg
[解析]　本题考查动态平衡．小球受重力、平板AP的弹力F1和平板BP的弹力F2，如图所示，小球一直处于平衡状态，三个力中的任意两个力的合力与第三个力等值、反向、共线，故F1和F2的合力F一定与重力等大、反向、共线。当挡板PB逆时针缓慢地转向竖直位置的过程中，F1越来越大，F2先变小后变大，选项A、B错误。由几何关系可知，当F2的方向与AP的方向平行(即与F1的方向垂直)时，F2有最小值为F2min＝mgsin 53°＝0.8mg，当挡板BP竖直时，F2最大，为F2max＝mg·tan 53°＝mg，故C错误，D正确。
一力不变，两力方向都变的三力动态平衡
〔变式训练3〕(2021·山东潍坊中学月考)(多选)如图所示是一个简易起吊设施的示意图，AC是撑杆，质量不计，A端与竖直墙用铰链连接，一滑轮固定在A点正上方，现施一拉力F拉绕过滑轮系在C点的轻绳BC，使重物P缓慢上升，在AC杆达到竖直前(　BD　)
A．BC绳中拉力FT越来越大
B．BC绳中拉力FT越来越小
C．AC杆中的支持力FN越来越大
D．AC杆中的支持力FN不变
[解析]　本题为相似三角形法在动态平衡中的应用。以C点为研究对象，分析受力情况：重物的拉力(等于重物的重力G)、轻杆的支持力FN和绳子的拉力FT，作出受力情况如图所示。
由平衡条件得知，FN和FT的合力与G大小相等，方向相反，根据几何关系可得＝＝，使∠BAC缓慢变小时，AB、AC保持不变，BC变小，则FN保持不变，FT变小，故选B、D。
一力不变，两力方向都变但两力大小相等的三力动态平衡
〔变式训练4〕(2020·湖南师大附中月考)(多选)如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是(　AB　)
A．绳的右端上移到b′，绳子拉力不变
B．将杆N向右移一些，绳子拉力变大
C．绳的两端高度差越小，绳子拉力越小
D．若换挂质量更大的衣服，则衣架悬挂点右移
[解析]　设两段绳子间的夹角为2α，由平衡条件可知，2Fcos α＝mg，所以F＝，设绳子总长为L，两杆间距离为s，由几何关系L1sin α＋L2sin α＝s，得sin α＝＝，绳子右端上移，L、s都不变，α不变，绳子张力F也不变，A正确；杆N向右移动一些，s变大，α变大，cos α变小，F变大，B正确；绳子两端高度差变化，不影响s和L，所以F不变，C错误；衣服质量增加，绳子上的拉力增加，由于α不会变化，悬挂点不会右移，D错误。
一力不变，两力方向都变但两力夹角不变的三力动态平衡
〔变式训练5〕(多选)如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变，在OM由竖直被拉到水平的过程中(　AD　)
A．MN上的张力逐渐增大
B．MN上的张力先增大后减小
C．OM上的张力逐渐增大
D．OM上的张力先增大后减小
[解析]　由题意可知，重物在运动过程中受重力，MN绳拉力TMN，OM绳拉力TOM，TMN与TOM夹角保持不变。在某一时刻所受三个力示意图如图(甲)所示，将此三个力平移为矢量三角形如图(乙)所示。
因为mg大小、方向不变，TMN与TOM的夹角不变，故可将三个力平移入圆中，如图(丙)所示，mg为一条固定的弦(固定的弦所对应的圆周角为定值)，在OM由竖直拉到水平的过程中，可得TMN从0逐渐增大，OM水平时TMN最大。TOM先增大后减小，故A，D正确。
名师讲坛·素养提升
MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
平衡中的临界与极值问题
1．临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。
常见的临界状态有：
(1)两接触物体脱离与不脱离的临界条件是相互作用力为0(主要体现为两物体间的弹力为0)；
(2)绳子断与不断的临界条件为绳中张力达到最大值；绳子绷紧与松弛的临界条件为绳中张力为0；
(3)存在摩擦力作用的两物体间发生相对滑动或相对静止的临界条件为静摩擦力达到最大。
研究的基本思维方法：假设推理法。
2．极值问题
平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。一般用图解法或解析法进行分析。
3．策略方法
(1)做好受力分析的基础上，搞清各力夹角。
(2)难以确定方向和是否存在的力，用假设法分析各力变化趋势，判断可能情况。
(3)正交分解列方程，写出解析式。
(4)根据题中隐含的条件“恰好”“最大”“最小”，用数学方法结合物理实际讨论其临界和极值的情况。
例4　(2021·福建泉洪一中月考)如图所示，质量为m(可以看成质点)的小球P，用两根轻绳OP和O′P在P点拴接后再分别系于竖直墙上相距0.4 m的O、O′两点上，绳OP长0.5 m，绳O′P长0.3 m，今在小球上施加一方向与水平成θ＝37°角的拉力F，将小球缓慢拉起。绳O′P刚拉直时，OP绳拉力为FT1，绳OP刚松驰时，O′P绳拉力为FT2，则FT1∶FT2为(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)(　C　)
A．3︰4　 B．4︰3
C．3︰5　 D．4︰5
[解析]　本题考查受力平衡中的临界问题。绳O′P刚拉直时，由几何关系可知此时OP绳与竖直方向夹角为37°，小球受力如图甲，则FT1＝mg。绳OP刚松驰时，小球受力如图乙，则FT2＝mg。则FT1︰FT2＝3︰5，选项C正确。
名师点拨　涉及极值的临界问题的三种解答方法
(1)图解法
根据平衡条件作出力的矢量图，如只受三个力，则这三个力构成封闭矢量三角形，然后根据矢量图进行动态分析，确定最大值和最小值。
(2)假设推理法
先假设某种临界情况成立，然后根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。
(3)数学方法
根据物体的平衡条件列方程，在解方程时采用数学知识求极值，通常用到的数学知识有二次函数求极值、讨论公式求极值、三角函数求极值以及几何法求极值等。
〔变式训练6〕如图所示，质量为m的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑。对物体施加一大小为F水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，试求：
(1)物体与斜面间的动摩擦因数；
(2)这一临界角θ0的大小。
[答案]　(1)　(2)60°
[解析]　(1)如图(甲)所示，未施加力F时，对物体受力分析，由平衡条件得mgsin 30°＝μmgcos 30°
解得μ＝tan 30°＝。
(2)设斜面倾角为α时，受力情况如图(乙)所示，由平衡条件得
Fcos α＝mgsin α＋Ff′
FN′＝mgcos α＋Fsin α
Ff′＝μFN′
解得F＝
当cos α－μsin α＝0，即tan α＝时，F→∞，即“不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行”，此时，临界角θ0＝α＝60°。
2年高考·1年模拟
2 NIAN GAO KAO 1 NIAN MO NI
1．(2020·课标Ⅲ，17)如图，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O点处；绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连。甲、乙两物体质量相等。系统平衡时，O点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α和β。若α＝70°，则β等于(　B　)
A．45° 　　 B．55°
C．60°　 D．70°
[解析]　本题考查共点力的平衡问题。设甲、乙两物体的质量均为m，O点与墙连接的绳上的拉力为T，则O点与甲、乙相连的绳上的拉力均为mg，以O点为研究对象，在水平方向有mgsin α－Tsin β＝0，在竖直方向有mgcos α＋Tcos β＝mg，联立可得sin(β＋α)＝sin β，则β＝＝55°，故B正确，A、C、D错误。
2．(2020·山东，8)如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m和2m的物块A、B，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B间的接触面和轻绳均与木板平行。A与B间、B与木板间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．当木板与水平面的夹角为45°时，物块A、B刚好要滑动，则μ的值为(　C　)
A．　 B．
C．　 D．
[解析]　当木板与水平面的夹角为45°时，两物块刚好滑动，对A物块受力分析如图
沿斜面方向，A、B之间的滑动摩擦力f1＝μN＝μmgcos 45°
根据平衡条件可知T＝mgsin 45°＋μmgcos 45°
对B物块受力分析如图
沿斜面方向，B与斜面之间的滑动摩擦力
f2＝μN′＝μ·3mgcos 45°
根据平衡条件可知
2mgsin 45°＝T＋μmgcos 45°＋μ·3mgcos 45°
两式相加，可得2mgsin 45°＝mgsin 45°＋μmgcos 45°＋μmgcos 45°＋μ·3mgcos 45°
解得μ＝
ABD错误，C正确。故选C。
3．(2019·全国卷Ⅰ，19)(多选)如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮。一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块 N，另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态。现用水平向左的拉力缓慢拉动 N，直至悬挂 N的细绳与竖直方向成45°。已知M始终保持静止，则在此过程中(　BD　)
A．水平拉力的大小可能保持不变
B．M所受细绳的拉力大小一定一直增加
C．M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加
D．M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加
[解析]　选N为研究对象，受力情况如图甲所示，用水平拉力F缓慢拉动 N的过程中，水平拉力F逐渐增大，细绳的拉力T逐渐增大，A错，B对；对于M，受重力GM、支持力FN、绳的拉力T以及斜面对它的摩擦力f。如图乙所示，若开始时斜面对M的摩擦力f沿斜面向上，则T＋f＝GMsin θ，T逐渐增大，f逐渐减小，当f减小到零后，再反向增大。若开始时斜面对M的摩擦力沿斜面向下，此时T＝GMsin θ＋f，当T逐渐增大时，f逐渐增大，C错，D对。

甲 乙
4．(2019·全国卷Ⅲ，16)用卡车运输质量为m的匀质圆筒状工件，为使工件保持固定，将其置于两光滑斜面之间，如图所示。两斜面Ⅰ、Ⅱ固定在车上，倾角分别为30°和60°。重力加速度为g。当卡车沿平直公路匀速行驶时，圆筒对斜面Ⅰ、Ⅱ压力的大小分别为F1、F2，则(　D　)
A．F1＝mg，F2＝mg
B．F1＝mg，F2＝mg
C．F1＝mg，F2＝mg　
D．F1＝mg，F2＝mg
[解析]　如图所示，卡车匀速行驶，圆筒受力平衡，由题意知，力F′1与F′2相互垂直。
由牛顿第三定律知F1＝F′1，F2＝F′2，
则F1＝mgsin 60°＝mg，
F2＝mgsin 30°＝mg，选项D正确。
5．(2020·河北衡水中学检测)如图所示，一质量为m0＝4 kg、倾角θ＝45°的斜面体C放在光滑水平桌面上，斜面上叠放质量均为m＝1 kg的物块A和B，物块B的下表面光滑，上表面粗糙且与物块A下表面间的动摩擦因数μ＝0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力；物块B在水平恒力F作用下与物块A和斜面体C一起恰好保持相对静止地向右运动，取g＝10 m/s2，下列判断正确的是(　A　)
A．物块A受到的摩擦力大小Ff＝5 N
B．斜面体的加速度大小为a＝10 m/s2
C．水平恒力大小F＝15 N
D．若水平恒力F作用在A上，A、B、C三物体仍然可以相对静止
[解析]　本题考查受力分析、力的平衡和牛顿运动定律。对物块A和B整体受力分析，受重力、斜面体的支持力和水平恒力F，如图所示，根据牛顿第二定律有F－Nsin θ＝2ma，其中Ncos θ＝2mg；对物块A、B和斜面体C整体受力分析，根据牛顿第二定律有F＝(2m＋m0)a，联立解得a＝5 m/s2，F＝30 N，对物块A受力分析，根据牛顿第二定律可得物块A受到的摩擦力大小Ff＝ma＝5 N，故A正确，B、C错误；若水平恒力F作用在A上，则有F－μmg＝maA，解得aA＝25 m/s2>a，所以物块A相对物块B滑动，故D错误。

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