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万有引力理论的成就
基础梳理
1、计算天体质量
（1）行星绕中心天体做匀速圆周运动时中心天体质量的计算
①依据：质量为m的行星绕中心天体做匀速圆周运动时，行星与中心天体间的万有引力充当向心力，即；
②结论：M＝，只要知道行星绕中心天体运动的周期T和半径r，就可以计算出中心天体的质量。
（2）在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G＝mg(g表示天体表面的重力加速度，也称为黄金代换公式)。
（3）海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。
（4）其他天体的发现
近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。
1.1、中心天体质量计算
【例1】一卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r，卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则地球的质量可表示为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案：AC
解析：根据G＝mr得，M＝，选项A正确，选项B错误。在地球的表面附近有mg＝G，则M＝，故C正确。
【变式1】已知下面哪组数据，可以算出地球的质量M（引力常量G已知）（
）
①月球绕地球运动的周期T1和月球与地球中心的距离R1
②地球绕太阳运动的周期T2和地球与太阳中心的距离R2
③地球绕太阳运动的速度v和地球与太阳中心的距离R2
④地球半径为R1和地球表面处的重力加速度g
A.①②
B.①③
C.②④
D.①④
答案：D
解析：①、月球绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力则有：G，得出地球的质量：M＝，故①正确；②、设太阳的质量为，地球绕太阳做圆周运动，由万有引力提供向心力，则有：，地球的质量刚好消去，不能求地球的质量，故②错误；③、设太阳的质量为，地球绕太阳做圆周运动，由万有引力提供向心力，则有：，地球的质量刚好消去，不能求地球的质量，故③错误；④、地球表面的物体重力等于万有引力，则有：mg＝G，解得：M＝，故④正确，所以选D。
【变式2】一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v，假设宇航员在该行星表面用弹簧测力计测量一质量为m的物体的重力，当物体处于竖直静止状态时，弹簧测力计的示数为F，已知引力常量为G，则这颗行星的质量为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：由F＝mg得，行星表面的重力加速度g＝卫星绕行星表面附近做半径为r的匀速圆周运动时，G＝m＝mg，整理得行星的质量M＝，选项B正确。
1.2、天体质量比值问题，
【例2】已知太阳光从太阳射到地球需要500s，地球半径约为6.4×106m，地球公转角速度约为2×10﹣7rad/s，根据上述数据以及日常天文知识，可以估算太阳的质量与地球质量之比约为（　　）
A．3.3×103
B．3.3×105
C．9.7×107
D．9.7×109
答案：B
解析：由题可得，太阳到地球的距离r=vt=m/s500s=1.5m，地球绕太阳做圆周运动，由向心力提供万有引力得：G，联立得太阳的质量为：M=，在地球表面的物体万有引力等于重力，有：g，得地球的质量为：m=，代入数据得太阳和地球质量之比为：3.3×105。
【变式3】设在地球上和在未知天体上，以相同的初速度竖直上抛一物体，物体上升的最大高度比为K(均不计阻力)，且已知地球和未知天体的半径比也为K，则地球质量与未知天体的质量比为
(
)
A．1
B．K
C．
D．1/K
答案：B
解析：在地球上：h=，在未知天体上；，因为，所以，根据G＝mg，
，可知：，又因为，故，选B。
2、计算天体的密度
若一颗卫星围绕中心天体做圆周运动的半径是r，周期是T，中心天体的半径为R，则天体的密度ρ＝，将M＝代入可得ρ＝。
特殊情况：当卫星环绕天体表面运动时，卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R，则ρ＝。
【例1】地球表面的重力加速度为g，地球的半径为R，引力常量为G，可以估算出地球的平均密度为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：A
解析：由黄金代换公式G＝mg，得:M，地球的体积为：V=，联立解得：。
【变式1】某同学想通过自己的计算求出地球的平均密度，通过课本上已有的数据发现地球赤道处的重力加速度比两极处的小，已知引力常量为G，地球可看成质量分布均匀的球体，自转周期为T，球的体积公式为，则地球的平均密度为（
）
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：在地球的两极处有：G＝mg0，在地球赤道上有：
G＝mg+ma，又：ma
=m，由题可知：，联立上式解得：M=，地球的体积为：V=，。
【变式2】一半径为R的星球A，在距球心r处有一卫星，它的周期是T，那么星球A的平均密度为(　　)
A．
B．
C．
D．
答案：A
解析：设星球A的质量为M，卫星的质量为m，由万有引力提供向心力，则有：，得：M＝，又星球A的体积为：V=，所以由，故选A。
3、天体运动的处理思路
（1）一般行星或卫星的运动可看成匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，所以研究天体时可建立基本关系式：，式中a是向心加速度。
（2）四个重要结论
项目
推导式
关系式
结论
v与r的关系
G＝m
v＝
r越大，v越小
ω与r的关系
G＝mrω2
ω＝
r越大，ω越小
T与r的关系
G＝mr
T＝2π
r越大，T越大
a与r的关系
G＝ma
a＝
r越大，a越小
总结：越高越慢
特别注意：在万有引力作用下的圆周运动中，卫星的都只与轨道半径r有关，只要r变化，卫星的都会发生变化。
【例1】下列说法正确的是（
）
A．由，卫星轨道半径增大到原来的两倍时，速度增大到原来的2倍
B．由，卫星轨道半径增大到原来的两倍时，速度增大到原来的倍
C．由，卫星轨道半径增大到原来的两倍时，向心力减为原来的
D．由，卫星轨道半径增大到原来的两倍时，向心力减为原来的
答案：C
解析：由，得，可知当轨道半径变为原来的2倍时，速度变为原来的倍，故A、B错误；
C、D，由，当轨道半径变为原来的2倍时，万有引力变为：，故C正确；D错误，选C。
【变式1】由于人造地球卫星受阻力的作用，其运行的轨道半径会逐渐变小。则线速度和周期的变化情况是（　
　）
A.
线速度减小，周期增大
B.
线速度减小，周期减小
C.
线速度增大，周期增大
D.
线速度增大，周期减小
答案：D
解析：根据卫星运动规律，当卫星的轨道半径减小时，线速度增大，周期变小，故选D。
【变式2】如图，A为置于地球赤道上的物体，B为绕地球做椭圆轨道运行的卫星，C为绕地球做圆周运动的卫星，P为B、C两卫星轨道的交点。已知A、B、C绕地心运动的周期相同。相对于地心，下列说法中正确的是（　
　）
A．卫星C的运行速度小于物体A的速度
B．物体A和卫星C具有相同大小的加速度
C．卫星B运动轨迹的半长轴与卫星C运动轨迹的半径相等
D．卫星B在P点的加速度大小与卫星C在该点加速度大小不相等
答案：C
解析：A项，物体A和卫星C的周期相同，则角速度相等，由可知，半径越大，线速度越大，由图可知，卫星C的半径大于物体A的半径，故A项错误；
B项，物体A和卫星C的周期相同，则角速度相等，由可知，半径越大，加速度越大，故B错误；
C项，由万有引力定律：得：，由于B、C的周期相同，所以卫星B的半长轴等于卫星C的轨道半径，故C正确。
D项，两卫星在P点的距离到地心的距离相等，由：可知，；两卫星加速度相等。
【变式3】火星探测项目是我国继神舟载人航天工程、嫦娥探月工程之后又一个重大太空探索项目．假设火星探测器在火星表面附近圆形轨道运行周期为T1，神舟飞船在地球表面附近圆形轨道运行周期为T2，火星质量与地球质量之比为p，火星半径与地球半径之比为q，则T1、T2之比为(　　)
A.　　　　　　　　
B.
C.
D.
答案：D
解析：神舟飞船和探测器做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，列式：，得：，由于在星球表面飞行，轨道半径等于星球半径，故：。
重点突破
1、质量和密度计算
1、假设地球可视为质量分布均匀的球体，已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G.则地球的密度为(　　)
A.
B.
C.
D
.
答案：B
解析：在地球两极万有引力等于重力，即mg0＝G，.在赤道处万有引力与支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律得G－mg＝mR，而由密度公式，故B项正确。
2、双星问题
如图所示，宇宙中两个靠得比较近的天体称为双星，它们绕其连线上的某固定点做匀速圆周运动．双星具有以下特点：
（1）由于双星和该固定点总保持三点共线，所以双星做匀速圆周运动的角速度和周期分别相同；
（2）由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等。
（3）轨道半径与质量的关系。
由和L＝，可得，，则。
【例1】(多选)宇宙观测发现，在宇宙中甲、乙两个星体组成的双星系统，它们同时绕其连线上的某点O做匀速圆周运动，已知甲、乙的质量之比为7∶1，由此可知(　　)
A．甲、乙的线速度大小之比为7∶1
B．甲、乙的向心力大小之比为1∶1
C．甲、乙的运行轨道半径之比为1∶7
D．甲、乙的周期之比为1∶7
答案：BC
解析：作为双星系统，甲乙两星体周期是相等的，角速度也是相等的，它们之间的万有引力提供各自的向心力得：mω2r＝Mω2R，甲乙质量比为7∶1，所以甲乙运行轨道半径之比为1∶7，根据v＝ωr可知，线速度之比为1∶7，故A错误，C正确；它们之间的万有引力提供各自的向心力，则甲乙向心力大小相等，故B正确；甲乙两星体可视为双星系统，周期是相等的，故D错误。
【变式1】(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100
s时，它们相距400
km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星(　　)
A．质量之积
B．质量之和
C．速率之和
D．各自的自转角速度
答案：BC
解析：由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点每秒转动12圈，则两中子星的周期相等，且均为T＝，两中子星的角速度均为，两中子星构成了双星模型，假设两中子星的质量分别为m1、m2，轨道半径分别为r1、r2，速率分别为v1、v2，则有：G＝m1ω2r1、G＝m2ω2r2，又r1＋r2＝L＝400
km，解得m1＋m2＝，A错误，B正确；又由v1＝ωr1、v2＝ωr2，则v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωL，C正确；由题中的条件不能求解两中子星自转的角速度，D错误。
课后练习
1、设太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视作半径为r的圆。已知万有引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足
A.
B.
C.
D.
答案：A
解析：太阳对行星的万有引力提供行星圆周运动的向心力即由此可得：。
2、有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速是地球上重力加速度的4倍，则该星球的质量是地球质量的
A.
B.
64倍
C.
16倍
D.
4倍
答案：B
解析：对星球：
对地球：?
?
比较、、、得，故ACD错误，B正确。
3、已知地球半径为R，月球半径为r，地球与月球之间的距离两球中心之间的距离为L，月球绕地球公转的周期为，地球自转的周期为，地球绕太阳公转的周期为，假设公转运动都视为圆周运动，引力常量为G，由以上条件可知??
A.
月球运动的加速度为
B.
月球的质量为
C.
地球的密度为
D.
地球的质量为
答案：A
解析：A.月球绕地球公转，万有引力提供圆周运动向心力，月球运动加速度就是向心加速度，故，故A正确；
B.因为月球是环绕天体，万有引力提供向心力的等式两边可以约去环绕天体的质量，故无法求得月球的质量，故B错误；
月球围绕地球做圆周运动，已知月球公转周期为，公转半径为为L，根据万有引力提供圆周运动向心力有：，可得地球的质量，地球的体积，则地球的密度，故CD错误。
4、人类设想未来将建立火星基地，并在火星轨道上建造空间站，如图所示，关闭动力的航天飞机在火星引力作用下经椭圆轨道向火星靠近，并将与空间站在B处对接，已知空间站绕火星做匀速圆周运动的半径为r，周期为T，引力常数为G，火星半径为R，下列说法正确的是（
）
A.
图中航天飞机在飞向B处的过程中，加速度逐渐减小
B.
航天飞机在B处由椭圆轨道进入空间站轨道必须点火加速
C.
根据题中条件可以算出空间站受到火星引力大小
D.
根据题中条件可以算出火星的密度
答案：D
解析：A.图中航天飞机在飞向B处的过程中，根据牛顿第二定律得，
，由于r逐渐变小，所以加速度逐渐变大，故A错误；
B.椭圆轨道和圆轨道是不同的轨道，航天飞机不可能自主改变轨道，只有在减速变轨后，才能进入空间站轨道，故B错误；
C.由于空间站的质量不知，根据万有引力定律知，不能求出空间站受到火星引力的大小，故C错误；
D.对空间站，根据万有引力提供向心力，可求得M，由可求得火星密度，故D正确。
5、中国首个月球探测计划“嫦娥工程”预计在2017年送机器人上月球，实地采样送回地球，为载人登月及月球地基选址做准备，设想我国宇航员随“嫦娥”号登月飞船绕月球飞行，飞船上备有以下仪器：
计时表一只，B．弹簧秤一把，C．已知质量为m的物体一个，D．天平一只（附砝码一盒）。
在飞船贴近月球表面时可近似看成绕月球做匀速圆周运动，宇航员测量出飞船在靠近月球表面的圆形轨道绕行N圈所用的时间为t。飞船的登月舱在月球上着陆后，遥控机器人利用所携带的仪器又进行了第二次测量，科学家利用上述两次测量数据便可计算出月球的半径和质量。若已知万有引力常量为G，则：
（1）简述机器人是如何通过第二次测量物体在月球所受的重力F，并用相应的符号表示第二次测量的物理量，写出相关的物理关系式。
（2）试利用上述两次的测量数据（用符号表示）和已知的物理量推导求月球的半径和质量。
解析：（1）机器人在月球上用弹簧秤竖直悬挂物体，静止时读出弹簧秤的读数F，即为物体在月球上的重力大小。
（2）在月球上忽略月球的自转，则：，所以：，又
，所以联立上式得：月球的半径，月球的质量。
出门考
1、如图所示为太阳系示意图，假设地球和土星都绕太阳做匀速圆周运动，以下说法正确的是
A.
地球的绕行周期大于土星的绕行周期
B.
地球的绕行线速度小于土星的绕行线速度
C.
地球绕行的角速度小于土星绕行的角速度
D.
地球的向心加速度大于土星的向心加速度
答案：D
解析：A.根据得，，土星的轨道半径大于地球的轨道半径，则土星的绕行周期大于地球的绕行周期，故A错误；B.根据知，，土星的轨道半径大于地球的轨道半径，则土星的线速度小于地球的线速度，故B错误；C.根据，得，土星的轨道半径大于地球的轨道半径，则土星的角速度小于地球的角速度，故C错误；D.根据得，，土星的轨道半径大于地球的轨道半径，则土星的向心加速度小于地球的向心加速度，故D正确。
2、我国的“探月工程”计划将在2017年宇航员登上月球。若飞船贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动飞行的周期为T，宇航员登上月球后，以初速度竖直向上抛出一小球，测出小球从抛出到落回原处所需的时间为t，已知引力常量为G。求：
（1）月球的半径R；
（2）月球的质量M。
解析：将某物体由距月球表面高h处释放，经时间t后落到月球表面
根据自由下落的运动规律得：??
得??
嫦娥号登月飞船贴近月球表面做匀速圆周运动，测得飞船绕月运行周期为T?
根据万有引力提供向心力得：????
联立可求得月球的半径??
忽略月球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式?：???
可求得月球的质量

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